ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

Transkriptio

1 ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 11 / versio 23. marraskuuta 2015

2 Aaltojohdot ja resonaattorit (Ulaby ) TE-, TM- ja TEM-aaltomuodot Suorakulmaisen aaltoputken perusaaltomuoto TE 10 Katkoaaltoluku ja etenemiskerroin Etenemisnopeudet Muut TE mn - ja TM mn -aaltomuodot Impedanssisuureet Onteloresonaattori 2 (17)

3 Yleinen ohjattu aalto Kun aaltojohtorakenteen geometria on riippumaton z-koordinaatista, voidaan yleinen +z-suuntaan etenevä aaltomuoto kirjoittaa osoitinmuodossa ) Ẽ = ( x ẽ x + ŷ ẽ y + ẑ ẽ z e jβz ( x h x + ŷ h y + ẑ h ) z e jβz H = missä β on vaihe- tai etenemiskerroin. Aaltomuoto on TE kun ẽ z = 0 mutta h z 0 TM kun h z = 0 mutta ẽ z 0 TEM kun ẽ z = h z = 0 TEM-aaltomuoto (esim. koaksiaalijohdossa) on varsin tasoaaltomainen: erityisesti β = k = ω µε ja u p = 1/ µε. 3 (17)

4 Suorakulmainen aaltoputki b y PEC (Putki on äärettömän pitkä z-suunnassa.) Ẽ =?, H =? a x Haetaan Maxwellin yhtälöiden ratkaisu, joka toteuttaa oikeat reunaehdot putken reunoilla. Tasoaalto toteuttaa yhtälöt muttei reunaehtoja, mutta entä jos valitaan kahden tasoaallon kombinaatio sopivan ovelasti? 4 (17)

5 TE 10 -aaltomuoto kahdella tasoaallolla x Ẽ 1 x Ẽ 2 k z k x k 1 = k 1 k 2 x + k 2 z H 1 H 2 k 2 k z z z k x Valitaan aluksi Ẽ 1 = ŷ E 1 e jk xx e jk zz, Ẽ 2 = ŷ E 1 e +jk xx e jk zz, jolloin Ẽ = Ẽ 1 + Ẽ 2 toteuttaa oikeat reunaehdot, kun x = 0, y = 0 ja y = b. ( ) Ẽ = ŷ E 1 e jkxx e +jk xx e jk zz = ŷ E 1 ( 2j) sin(k x x) e jk zz Reunaehto toteutuu myös reunalla x = a, kun valitaan k x = π/a. Merkitään E 0 = 2jE 1, β = k z, k c = k x. 5 (17)

6 TE 10 -aaltomuodon kentät Ẽ = ŷ E 0 sin(k c x) e jβz, k c = π a, k2 c + β2 = k 2 = ω 2 µε Magneettikenttä saadaan joko tasoaalloilla H 1 + H 2 tai Faradayn lain avulla: 1 H = jωµ Ẽ = j kη Ẽ = j x ŷ ẑ kη x 0 z 0 Ẽ y 0 = j ( ẑ Ẽ ) y kη x x Ẽ y z = ẑ jk ce 0 kη cos(k cx) e jβz x βe 0 kη sin(k cx) e jβz Poikittaiskenttien suhde on aaltoimpedanssi Z TE = kη β 6 (17)

7 TE 10 -aaltomuodon kentät TE 10 -aaltomuodon kentät: värillä E y ja nuolilla (H z, H x ) x/a z/a (ωt = 0 ja k = 1.25 k c ) 7 (17)

8 Tulkintaa TE 10 -aaltomuodon voidaan ajatella koostuvan kahdesta vinosti edestakaisin heijastuvasta tasoaallosta: 1 a x k 2 k 1 β k c Jos aaltoluku k = ω µε > k c = π/a = katkoaaltoluku, aaltomuoto etenee etenemiskertoimella β = k 2 k 2 c > 0 (kun aaltoputki oletetaan häviöttömäksi). 1 Huom: Tasoaallot 1 ja 2 toteuttavat tasoaaltoyhtälöt, mutta niiden summa = TE 10 -aaltomuoto ei toteuta tasoaaltoyhtälöitä. z 8 (17)

9 Katkoaaltoluku k c ja etenemiskerroin β Yleisesti, jos jollakin aaltomuodolla on katkoaaltoluku k c, voidaan erottaa kaksi perustapausta: β β = β = k (tasoaalto) k 2 k 2 c Aaltomuoto etenee etenemiskertoimella β > 0, kun k > k c : Ẽ e jkz k c α k c k α = k 2 c k 2 Kun k < k c saadaan etenemätön eli hiipuva aalto: β = jα, α > 0, e jβz = e αz 9 (17)

10 Muut katko- ja etenemisparametrit Katkoaaltoluku voidaan myös kirjoittaa muodossa k c = 2π λ c = ω c µε = 2πfc µε, missä λ c on vapaan tilan katkoaallonpituus putken täyteaineessa, ω c on katkokulmataajuus ja f c on katkotaajuus. (Tarkemmin määritellään, että f c on taajuus, jolla etenemiskerroin β = 0, mutta sehän johtaa nimenomaan yllä olevaan kaavaan.) Etenevän aaltomuodon (etenemissuuntainen) aallonpituus aaltojohdossa on λ g = 2π β. 10 (17)

11 Signaalin etenemisnopeudet Aikasignaalin E(t) = E 0 cos(ωt βz) vakiovaihe ωt βz = vakio = A z = ωt β A β liikkuu +z-suuntaan vaihenopeudella dz dt = ω β u p = ω β 11 (17)

12 Signaalin etenemisnopeudet Entä jos summataan kahta aikasignaalia (ω ± ω, β ± β)? E(t) = E 0 cos [(ω + ω) t (β + β) z] + E 0 cos [(ω ω) t (β β) z] = E 0 cos [(ωt βz) + ( ωt βz)] + E 0 cos [(ωt βz) ( ωt βz)] Kaavalla cos(x + y) + cos(x y) = 2 cos(x) cos(y) saadaan E(t) = 2E 0 cos(ωt βz) cos( ωt βz) }{{}}{{} kantoaalto modulaatio Kun ω 0, modulaatio (informaatio) liikkuu +z-suuntaan ryhmänopeudella u g = dω dβ = 1 dβ/dω

13 Muut TE mn - ja TM mn -aaltomuodot Suorakulmaisen a b-kokoisen aaltoputken TE mn - ja TM mn -aaltomuotojen katkoaaltoluvut ovat (mπ ) 2 ( ) nπ 2 k c = + a b (Voidaan ajatella, että putkessa on m puolikasta katkoaallonpituutta x-suunnassa ja n puolikasta y suunnassa.) Katkotaajuus f mn = u p0 2 (m ) 2 + a ( ) n 2 u p0 = 1 b µε Kun a > b, alin aaltomuoto on TE 10. Toiseksi alin on TE 20 tai TE 01. Alin TM-muodo on TM (17)

14 Aaltoputken aaltomuodot Jokaisella aaltomuodolla on oma katkoaaltoluku k c ja lisäksi etenemiskerroin β = k 2 k 2 c riippuu taajuudesta (k = ω µε). Aaltomuodon etenemisnopeudet u p ja u g riippuvat taajuudesta, joten aaltoputki on käytännössä melko kapeakaistainen. Eri aaltomuodoilla on reilusti erilaiset etenemisnopeudet, joten yleensä varmistetaan, että vain perusaaltomuoto etenee. Vertaa TEM-aaltomuotoon, jolla ei ole katkotaajuutta (eli k c = 0) ja tästä syystä taajuudesta riippumatta u p = u g = u p0 = 1/ µε. 14 (17)

15 Impedanssisuureet +z-suuntaan eteneville aalloille Siirtojohdon ominaisimpedanssi Z 0 = V 0 + I 0 + Tasoaallon väliaineimpedanssi µ η = ε : H = 1 ηẑ Ẽ, Ẽ = ηẑ H TE- ja TM-aaltomuotojen aaltoimpedanssit Z TE = k β η : Ẽ = Z TE ẑ H Z TM = β k η : H = 1 Z TM ẑ Ẽ (TE: korkea impendanssi ja TM: Matala impedanssi.) 15 (17)

16 Suorakulmainen onteloresonaattori Oikosulkemalla suorakulmainen aaltoputki kohdissa z = 0 ja z = d saadaan onteloresonaattori, jonka resonanssitaajuudet ovat (m f mnp = u ) 2 ( ) p0 n 2 ( ) p a b d Alin resonanssimuoto on mitoista riippuen joko TE 101, TE 011 tai TM 110. (Muoto, jossa kaksi indeksiä ovat nollia ei ole olemassa, vaikka kirjan tekstistä ehkä voisi saada tällaisen käsityksen.) Onteloresonaattorista voidaan tehdä kapeakaistainen kaistanpääästösuodatin kytkemällä siihen kaksi koaksiaalijohtoa. 16 (17)

17 Hyvyysluku eli Q-arvo 0 db S 21 = läpäisykerroin Kaistanpäästösuodattimen hyvyysluku 3 db f f 0 f Q = f 0 f Onteloresonaattorisuodattimen tapauksessa f 0 f mnp. Hyvyysluku voidaan myös määritellä resonanssitaajuudella: Q = 2π resonaattoriin varastoitunut energia häviöenergia yhden jakson aikana Häviöenergiaan sisältyy kaikki resonaattorista poistuva energia. 17 (17)