Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta. VASTAUS: ...

Transkriptio

1 4 Alkeisfunktiot 41 Potenssifunktio 42 Polynomit ja rationaalifunktiot 102 Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta 103 Olkoon p() = a n n + + a 1 + a 0 reaalikertoiminen polynomi Todista, että polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta, jos a n a 0 < Todista, että jos kaksi polynomia, joiden asteluku on n, saavat samat arvot n eri pisteessä, niin polynimt ovat samat 105 Todista, että jos astetta n olevalla polynomilla p() = n j=0 a j j on kohdissa i kertalukua m i olevat nollakohdat (i = 1,2,,k) ja m 1 + m m k = n, niin voidaan kirjoittaa p() = a n ( 1 ) m 1 ( k ) m k 106 Olkoot p ja q polynomeja, deg p = n, degq = m, n m Osoita, että on olemassa polynomit h ja r siten, että degr < degq ja p = qh + r Osoita, että nämä ehdot määräävät yksikäsitteisesti polynomit h ja r 107 Polynomin p asteluku on 2 ja kaikilla R pätee p() a 3, missä a on vakio Osoita, että p() Etsi sen polynomin kertoimet, jonka juurina ovat luvut 1,2,, Piirrä käyrät a) y = 4 2, b) y = , c) y =

2 ja määritä niiden asymptootit 110 Minkä kahden muuttujan polynomiyhtälön ratkaisuna saadaan seuraava algebrallinen funktio: a) + 1, b) ? 43 Eksponentti- ja logaritmifunktio 111 Määritä raja-arvo lim /(ln) p (p N) pitämällä tunnettuna raja-arvoa lim t e t /t p = 112 Määritä raja-arvo lim 0+ (ln) p (p N) pitämällä tunnettuna raja-arvoa lim t e t /t p = ja sijoittamalla tähän t = ln 113 Määritä raja-arvot a) lim 0+, Piirrä funktioiden kuvaajat origon oikealla puolella a) 1; b) 0 b) lim Määritä raja-arvo ( lim 1 + y y y) e 115 Määritä raja-arvo ln a lim 0 a Olkoot a ja b positiivilukuja Määritä raja-arvo lim n ( an 1 an ) (b+1)n n b n n

3 e 1/a 117 Määritä ne muuttujan arvot, joilla käyrän y = ln(1+e ) ja sen asymptootin ordinaattojen erotus on < ln(1+e 3 ) > 3, jolloin asymptoottina on y = ; < 3, jolloin asymptoottina on y = Tutki, millainen y-tason joukko on {(,y) log y = log y } Piirrä kuvio 119 Osoita: a) log a b log b a = 1, b) log b a log c b = log c a 120 Olkoon a > 1 Todista: 1 2 (log a + log a y) log a [ 12 ( + y) ] 121 Vuotuinen korkoprosentti on 5 ja korko lisätään pääomaan a) jatkuvan koronkoron mukaisesti, b) puolivuosittain Mikä on eri tavoin saatujen pääomien suhde yhden vuoden kuluttua? ep( 1 20 ) : ( ) Pankkilainan vuotuinen korko on 12 % ja korko maksetaan kerran vuodessa Laman syvetessä pankki joutuu nostamaan korkoa Poliittisista syistä korkoprosenttia ei voida nostaa, vaan siirrytään järjestelmään, jossa kertynyt korko kuukausittain liitetään lainapääomaan, minkä jälkeen myös se alkaa kasvaa korkoa Kuinka monta prosenttia vuosittain kertyvä korko tällöin kasvaa? Selvitä rajaprosessilla, kuinka suureen vuotuisen koron kasvuun on mahdollista päästä, jos kertyvä korko alkaa kasvaa korkoa heti syntyessään 123 Radioaktiivisen aineen hajoamisessa ainemäärä noudattaa eksponentiaalista vähenemislakia m(t) = m 0 e αt, missä t on aika vuosissa, α aineelle ominainen vakio ja m 0 alkuperäinen ainemäärä Määritä puoliintumisaika, so aika, jossa ainemäärä vähenee puoleen, kun α = ln vuotta 44 Trigonometriset funktiot 124 Tutki, onko yhtälöllä sin(cos) = cos(sin) ratkaisuja Piirrä sopivat kuvaajat ja selvitä asia myös päättelemällä

4 Ei ole 125 Määritä seuraavat raja-arvot: 1 cos sin3 a) lim 0 2, b) lim 0 tan5, 2 + tan3 2 tan3 tan(2 2 ) d) lim, e) lim sin(3 2 ), c) lim sin π, f) lim a sin 3 a 3 2 a 2 + sin( a) a) 1/2; b) 3/5; c) π; d) 3/ 2; e) 2/3; f) 1/ 3 2a, jos a 0;, jos a = 0 45 Trigonometrian kaavoja 126 Laadi taulukko, jossa funktiot sin, cos, tan ja cot ovat lausutut toistensa avulla 127 Olkoon sinα = 7/25 ja cotβ = 5/12 Laske lausekkeen sin(α β) mahdolliset arvot Neljä eri arvoa: ±323/325, ±253/ Osoita, että kolmion kulmat toteuttavat yhtälöt a) sinα + sinβ + sinγ = 4cos α 2 cos β 2 cos γ 2, b) tanα + tanβ + tanγ = tanαtanβtanγ, c) cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 cosαcosβcosγ 129 Ratkaise seuraavat trigonometriset yhtälöt: a) sin2 = cos7, b) tan2 = 3tan, c) cos2 = sin + cos, d) 4sin 2 = tan, e) sin + sin = cos + cos a) = 18 π + n 2π 9 = π 2 +n2π; d) = nπ tai = 12 π 130 Ratkaise seuraavat trigonometriset epäyhtälöt: 3π tai = 10 + n 2π 5 ; b) = nπ tai = ± π 6 + nπ; c) = 3π 4 +nπ tai = 5π 12 +nπ; e) = π 4 +n2π tai π+n2π 3π 2 a) sin < sin, b) sin2 sin3, c) sin4 > cot tan + nπ tai = n2π tai +n2π; n Z

5 a) 2π k2π < < π k2π tai π+k2π < < 2π+k2π, k = 0,1,2,; 2π 5 + nπ tai 3π 5 + nπ 4π 5 + nπ, n Z; c) π 4 + n π 2 < < π 2 + n π 2, n Z b) = nπ tai π 5 +nπ 131 Ratkaise yhtälöparit a) cos3cos2y = y = π 3, b) { sincosy = 1 + sinycos tan( + y) = 3 a) = n π 3, y = π 6 + n π 2 tai = π 9 + n π 3, y = n π 2 ; 5π b) = 12 + k π 2, y = 12 π + k π 2 + n2π; k,n Z 132 Missä y-tason osissa on voimassa sin( y) + cos > 0? Suorat y = π 2 +n2π ja y = 2+ π 2 +n2π jakavat y-tason sunnikkaisiin; epäyhtälö on voimassa kaikkien suoria = n2π peittävien suunnikkaiden sisäosissa 133 Määritä raja-arvo sin( π 3 lim ) π 1 2cos 3 1/ Olkoon f () = sin 2 + Määritä jokin luku δ > 0 siten, että Miten tehtävä liitty funktion f jatkuvuuteen? Esimerkiksi δ = 1/ < δ = f ( 1 ) f ( 2 ) < Harmoninen värähtely 135 Saata kahden sinivärähtelyn summa a) sin3 + sin5, b) sin10 + sin9 muotoon Acosαsinβ, mikä voidaan tulkita muuttuva-amplitudiseksi sinivärähtelyksi amplitudina A cos α Piirrä värähtelyn kuvaaja sekä samaan kuvioon amplitudikäyrän kuvaaja a) 2 cos sin 4; 136 b) 2 cos(/2) sin(19/2) Piirrä funktion y = sin10 + sin9 kuvaaja Piirrä myös funktion y = 2cos 2 kuvaaja samaan kuvioon Miten em funktiot suhtautuvat toisiinsa? Laske yhteys trigonometrisesti

6 137 Kaksi eritaajuista, mutta sama-amplitudista sinivärähtelyä yhdistetään: y(t) = sin 10t + sin(9t + π/2) Saata värähtely muotoon y(t) = Acos(ω 1 t + ϕ 1 )sin(ω 2 t + ϕ 2 ) Piirrä värähtelyn kuvaaja Mikä tulkinta voidaan antaa yhdistetyn värähtelyn tekijälle Acos(ω 1 t + ϕ 1 )? 138 Osoita, että y = sin esittää harmonista värähtelyä Määritä amplitudi, frekvenssi ja vaihe y = 1 2 sin(2 π 2 ), A = 1 2, f = 1 π, ϕ = π Vaihtovirran kolmen eri vaiheen jännitteet ovat sama-amplitudisia ja samataajuisia sinivärähtelyjä, joiden vaihe-ero on 2π/3: Mikä on jännitteiden summa? Määritä harmonisen värähtelyn V i (t) = V 0 sin(ωt + ϕ i ), i = 1,2,3; ϕ 2 = ϕ 1 + 2π 3, ϕ 3 = ϕ 1 + 4π 3 y = sinω + 2sin(ω + 2π 3 ) + 3sin(ω + 4π 3 ) amplitudi ja vaihekulma Piirrä komponenttivärähtelyjen ja summan kuvaajat y = 3sin(ω + 7π/6) 141 Määritä värähtelyn y = A sin ω + A sin(ω + ϕ) amplitudi, kun vaihe-ero on a) ϕ = π/2, b) ϕ = π, c) ϕ = 2π a) 2A; b) 0; c) 2A 142 Mikä on värähtelyn sin 5 + sin 7 amplitudikäyrän jakso? Montako värähdystä mahtuu jaksolle? Mikä on värähtelyn jakso? Piirrä kuvio 47 Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot 143 Laske tarkat arvot lausekkeille a) sin(arccos( 3 5 )), b) cos(arcsin( 3 5 )), c) sin(arctan( 3)), d) sin(arccot( 3)) a) 4/5; b) 4/5; c) 3/2; d) 1/2

7 144 Laske tarkat arvot lausekkeille a) sin(arctan2 arctan3), b) cos(arccot arctan 3 7 ), c) tan(arcsin 1 2 arccos 2 3 ) a) 1/(5 2); b) 1/(29 2); c) 1 7 ( ) 145 Mitä arvoja lauseke arccos(cos13π/4) voi saada? ±3π/4 + n2π, n Z 146 Ratkaise yhtälöt a) arctan = π/4 arctan 3, a) = 1/2; b) ei ratkaisua b) arccos = arctan 1 + arccos( 3/4) 147 Piirrä käyrä arctan + arctan y = π/4 y = 1 1 +, > Määritä harmonisten värähtelyjen a) y = sin + sin( arctan 4 3 ), amplitudi ja vaihekulma Piirrä kuvaajat b) y = 5sin(ω + arctan 1 2 ) + 2 2sin(ω + 3π 4 ) + 3sin(ω π) a) y = 4 5 sin( arctan 1 2 ); b) y = 2 3sin(ω + 2π 3 ) 149 Lisäämällä harmoniseen värähtelyyn y 1 = 2sin(ω + arctan2 2) sopivasti valittu harmoninen värähtely y 2, jonka kulmataajuus on myös ω, saadaan summaksi värähtely y = 6sinω Mikä on värähtelyn y 2 amplitudi? Sievennä seuraavat lausekkeet ja piirrä kuvaajat: a) y = arctan(tan), b) y = arctan 2 1 2, c) y = arctan, d) y = sin(2arctan), 1 2 e) y = y = arctan + arctan 1 2, f) y = 2arctan + arcsin

8 a) y = nπ, kun π 2 + nπ < < π 2 + nπ, n Z; b) y = π + 2arctan, kun < 1; y = 2arctan, kun 1 < < 1; y = π + 2arctan, kun > 1; c) y = arcsin, ] 1,1[; d) y = ; e) y = 3π 4, kun < 1; y = π, kun > 1; f) y = π, kun < 1; y = 4arctan, kun 1 1; y = π, kun > Tutki graafisesti kaavan 2arcsin = arccos(1 2 2 ) voimassaoloa Millä muuttujan arvoilla funktiot ovat määriteltyjä? 152 Tutki kaavan voimassaoloa käyttäen sijoitusta = sint, π 2 t π Tutki kaavan 2arcsin = arccos(1 2 2 ) arctan + arctany = arctan + y, y 1, 1 y voimassaoloa Siirrä kaavassa kaikki termit samalle puolen yhtäläisyysmerkkiä ja piirrä vastaava pinta z = f (,y) Kaava on voimassa, jos y < 1; muutoin ei 48 Hyperboliset funktiot 154 Osoita, että hyperbolisille funktioille pätee kaava (cosh + sinh) n = coshn + sinhn Millainen luku voi n olla? n R 155 Osoita, että yhtälöllä coscosh + 1 = 0 on äärettömän monta reaalijuurta 49 Hyperbolisia kaavoja 156 Johda kaavat, joissa sinh(/2) ja cosh(/2) lausutaan funktion cosh avulla

9 157 Johda hyperbolisille funktioille kaavat sinh + sinhy =, sinh sinhy =, cosh + coshy =, cosh coshy = samalla tavoin kuin vastaavat kaavat johdetaan trigonometrisille funktioille Onko kaavoissa merkkieroja? 410 Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot 158 Laske logaritmin avulla tarkka arvo lausekkeelle arcosh 2 ln(1 + 2) 159 Laske tarkat arvot funktioille cosh ja tanh, kun = arsinh 4 3 5/3, 4/5 160 Osoita, että Millä arvoilla R kaava on pätevä? 161 arcosh = ln( ± 2 1) = ±ln( + 2 1) Millä arvoilla funktio f () = arcosh(coth(ln)) on määritelty? Sievennä funktion lauseke ja piirrä sen kuvaaja 162 Lausu funktio f () = arsinh 2 1 logaritmifunktion avulla Millä muuttujan reaaliarvoilla funktio on määritelty? Miten funktio suhtautuu funktioon arcosh? Piirrä funktion kuvaaja Määritelty, jos 1; 163 f () = ln( ) = arcosh Sievennä lausekkeet a) tanh(arcosh), b) artanh 2 +1 a) 2 1 ; b) arsinh