LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknllnen tedekunta / LUT School of Energy Systems LUT Kone Koneensuunnttelu Elas Altarrba SEKAELEMENTIT ABSOLUUTTISTEN SOLMUKOORDINAATTIEN MENETELMÄSSÄ Työn tarkastajat: Jar Mäknen (TUT) Tmo Nykänen (LUT) Työn ohjaajat: Prof. Ak Mkkola (LUT) TkT Marko Matkanen (LUT)
TIIVISTELMÄ Lappeenrannan teknllnen ylopsto Teknllnen tedekunta Koneensuunnttelu Elas Altarrba Sekaelementt absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmässä Lsensaatntyö 05 87 svua, 8 kuvaa ja 8 taulukkoa Tarkastajat: Hakusanat: Keywords: Jar Mäknen, apulasprofessor, Tampereen teknllnen ylopsto Tmo Nykänen, TkT, Lappeenrannan teknllnen ylopsto Sekaelementt, soldelementt, absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmä, elementtmenetelmä, ANCF, FEM Mxed fnte elements, sold elements, absolute nodal coordnate formulaton, fnte element method, ANCF, FEM Tässä lsensaatntyössä kästellään sekaelementten sovellusmahdollsuuksa absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmässä. Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmä on uudentyyppnen lähestymstapa elementtmenetelmän elementten koordnaatten määrttämseks ja sen yhtenä tavotteena on tehostaa suura srtymä ta kertymä ssältäven elementten laskentatehokkuutta. Tässä työssä absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmä estellään pääprtettän sekä annetaan esmerkkejä muutamsta tyypllsmmstä elementestä lausuttuna edellä manttujen koordnaatten perusteella. Sekaelementeks kutsutaan elementttyyppejä, mssä tuntemattomen muuttujen joukkoja on ana enemmän kun yks. Sekaelementt erottavat redusotumattomsta elementestä srtymäkentän ssältymnen muuttujaryhmään ja hybrdelementestä muuttujen denttset ulottuvuudet. Sekaelementtejä käytetään esmerkks kokoonpurstumattomen materaalen rakenneanalyysessä, alentamaan elementltä vaadttava jatkuvuusehtoja ta mallntamaan lmötä, mssä fyskaalset omnasuudet ovat jostan syystä vomakkaast tosstaan rppuvasa. Tämän lsensaatntyön krjottamseks on tehty tutkmusta sekaelementten mahdollsuukssta toma absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmässä. Tutkmuksen tuloksena on saatu akaan kaks tässä työssä esteltävää, varsn rajatun tomntakyvyn omaavaa sekaelementttyyppä, joden srtymäkentät on määrtelty globaalen koordnaatten suhteen ssältäen myös orentaatotermt. Tutkmusahe vaat kutenkn velä paljon lsätyötä, ennen kun sekaelementttyyppejä vodaan kauttaaltaan soveltaa absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmällä toteutetussa rakenneanalyysessä.
ABSTRACT Lappeenranta Unversty of Technology Faculty of Technology Machne Desgn Elas Altarrba Mxed Sold Elements Based on the Absolute Nodal Coordnate Formulaton Thess of Lcentate of Scence (Technology) 05 87 pages, 8 pctures, 8 tables Examners: Keywords: Jar Mäknen, Assocate Professor, Tampere Unversty of Technology Tmo Nykänen, Dr. Sc. (Tech.), Lappeenranta Unversty of Technology Mxed fnte elements, sold elements, absolute nodal coordnate formulaton, fnte element method, ANCF, FEM Ths thess nvestgates a mxed fnte element formulaton based on the absolute nodal coordnate formulaton, a relatvely new approach that adds orentaton terms makng t possble to orent the coordnate system of a fnte element wth respect to the global frame of reference. The most mportant beneft s that t results n relable fnte elements that are capable of accommodatng large rotatons or deformatons. The thess gves a general presentaton of the absolute nodal coordnate formulaton and offers some examples of the fnte elements. Mxed fnte elements belong to a specal group of elements havng more than one unknown varable. They dffer from rreducble fnte elements n that the dsplacement feld s always ncluded n mxed fnte elements. They dffer from hybrd elements n that the dmensons of ther varables are always equal n level. Mxed fnte element formulatons can be used when ncompressble materals are nvestgated, contnuous requrements of the element are reduced, or there s a dffcult nterconnecton of physcal phenomena. The work descrbed here begns wth an nvestgaton nto how mxed fnte elements can best be attached based on the absolute nodal coordnate formulaton. It contnues wth two types of mxed fnte elements beng attached to the absolute nodal coordnate formulaton and beng tested wth a number of example numercal analyses. The examples reveal that more research work and nvestgaton wll be needed before mxed fnte elements can be appled n a straghtforward and drect manner n the absolute nodal coordnate formulaton.
SISÄLLYSLUETTELO. Johdanto.... Elementtteorat... 8. Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmä... 8.. Elementn lausumnen globaaln koordnaatston suhteen... 8.. Elementn lkeyhtälöt.....3 Ulkoset vomat ja momentt.... Esmerkkejä palkk- ja laattaelementestä... 5.. Palkkelementt (Euler-Bernoull)... 6.. Palkkelementt (Tmoshenko)... 9..3 Laattaelementt (Krchhoff)... 0..4 Laattaelementt (Ressner-Mndln)... 3.3 Sekaelementtmenetelmä... 5.3. Sekaelementt elementtmenetelmässä... 5.3. Sekaelementten sovellusmahdollsuudet... 7.3.3 Sekaelementten numeernen stablus... 30.4 Esmerkkejä sekaelementestä... 34.4. Veubeke-Hu-Washzu-sekaelementt... 34.4. Kokoonpurstumattomuutta analysovat elementt... 37 3. Sekaelementt ja absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmä... 4 3. Srtymä-jänntyselementt... 4 3.. Srtymä-jänntys-sekaelementtkonstrukto... 4 3.. Srtymä-jänntys-sekaelementn suortuskyky... 47 3. Srtymä-pane-elementt... 54 3.. Srtymä-pane-sekaelementtkonstrukto... 54 3.. Srtymä-pane-sekaelementn suortuskyky... 59 4. Päätelmät... 66 4. Tutkmuskysymys... 66 4. Tasapanoehdot... 68 4.3 Muotofunktot ja lkeyhtälöt... 70 4.4 Tulevasuuden kehtysmahdollsuudet... 7 5. Yhteenveto... 75 Lähdeluettelo... 77
KÄYTETYT MERKINNÄT Latnalaset aakkoset A pnta-ala E kmmokerron H korkeus I jäyhyysmomentt k käyryyskerron L ptuus M momentt n vapausasteden lukumäärä T kneettnen energa U elastnen energa v Possonn suppeumaluku V tlavuus δw vrtuaalnen työ W paksuus Krekkalaset aakkoset Г lukuavaruus Δ suureen muutos λ Lamé n parametr μ Lamé n parametr Π funktonaal τ lekkausjänntys ρ theys σ normaaljänntys Ω lukuavaruus
Matrst B E I J K L M S V Z knemaattnen matrs kmmomatrs ykskkömatrs Jacobn matrs jäykkyysmatrs dfferentaaloperaattor massamatrs muotofunktomatrs jänntyskentän nterpolontfunktomatrs venymäkentän nterpolontfunktomatrs Vektort e k fel fext fp fs r u ε σ solmusrtymävektor (ANCF) käyryysvektor elaststen vomen vektor ulkosten vomen vektor ulkosten pntavomen vektor ulkosten tlavuusvomen vektor asema- ja orentaatovektor solmusrtymävektor (FEM) venymävektor jänntysvektor Ylä- ja alandekst el elastnen voma EN Venymä paremmn approksmova Vebeuke-Hu-Washzu-funktonaal ext ulkonen voma GL Green-Lagrangen venymätensor HR Hellnger-Ressner-funktonaal valttu elementt p pnta-alaan vttaava alandeks s tlavuuteen vttaava alandeks VHW Vebeuke-Hu-Washzu-funktonaal
ALKUSANAT Haluan kttää tämän työn valmstumsta edesauttaneta tahoja. Hetä ovat muun muassa Lappeenrannan teknllsen ylopston koneensuunnttelun professor Ak Mkkola ja tutkjatohtor Marko Matkanen. Lsäks tohtor Oleg Dmtrochenko on antanut arvokkata neuvoja, joden avulla monet tässä työssä estetyt tutkmusongelmat on saatu ratkastua. Professor Josep M. Font-Llagunes Barcelonan UPC-ylopstosta tom säntänän vuoden kestäneen tutkjaveralun akana. Tämä lsensaatntyö on valtaosaltaan krjotettu Barcelonassa, mstä ktos hänelle. Päärahottaja, Suomen Akatema, ansatsee myös ktokset (projekt #3354). Lsäks tätä tutkmusta ovat rahottaneet myös Lappeenrannan teknllnen ylopsto sekä loppuvaheessa myös VdRoM-tutkmuskonsorto. Säätöden osalta tomntaa ovat olleet tukemassa myös Lappeenrannan teknllsen ylopston tuksäätö, Eml Aaltosen säätö ja KAUTE-säätö. Helle kaklle lämmn ktos, tukenne on ollut tärkeää ja merktyksellstä. Tämän lsäks myös monet muut henklöt ja tahot ansatsevat ktoksensa. Hedän panoksensa usen hukkuu verhohn ollen slt kutenkn tärkeää lopputuloksen saavuttamsen kannalta. Tällasesta lstasta van tuls aka ptkä. Ertysest haluan kutenkn mustaa opntotomston väkeä, Sar Damsténa ja Eeva Häyrstä. Teltä on ana saanut vastauksen shen, mtä kysytään; sllon, kun kysytään. Tovon, että jatkatte arvokasta työtänne ylopstomme jatko-opskeljoden parssa velä ptkään. Kakk hyvn etenevä e välttämättä ole hyvn suunnteltua, ekä kakk hyvn suunnteltu välttämättä etene hyvn. Sellasta elämä on. Lappeenrannassa 8.9.05 Elas Altarrba
. Johdanto Insnöörtetessä sovelletaan paljon ertyyppsä rakenneanalyysejä (Gere ym., 990; Crag ym., 006; García de Jalón ym., 994) tarkotuksena smuloda suunnteltuja ta jo olemassa oleva systeemejä. Tetoteknkan kehttymsen myötä tästä vrtuaalsuunntteluks kutsutusta teteenhaarasta on tullut jatkuvast keskesemp menetelmäkokonasuus, mnkä avulla tehostetaan monssa tapauksssa merkttävällä tavalla esmerkks kokonasta tuotekehtysprosessa. Tämän kehtyskulun seurauksena suunnttelutyö toteutetaan usen lähes kokonasuudessaan tetokoneavustesest ssältäen myös lukusat suunnteltavalle kohteelle tehtävät rakenne- ta muun tyyppset analyyst. Suunnttelumalleja käytetään myös CNC-koneden ohjaukseen, jollon vrtuaalsuunnttelusta on sellasenaan hyötyä myös valmstusprosessssa. Rakenneanalyysejä tehtäessä on usen tarkotuksena tarkastella tutkmuksen kohteena olevan systeemn käyttäytymstä haluttujen omnasuuksen, vomen ja muden fyskaalsten lmöden vakutuksen alla, tarkotuksena tehdä johtopäätöksä systeemn soveltuvuudesta kysesn olosuhtesn. Tämänkaltasella soveltuvuustarkastelulla vodaan tarkottaa joko täysn uuden, velä suunnttelupöydällä olevan systeemn omnasuuksen tarkastelua ta vahtoehtosest jo olemassa olevan systeemn ssältämen osen ta omnasuuksen tomntaa nn normaalst valltsevssa olosuhtessa kun erkostlantessakn. Rakenteden analysont vodaan toteuttaa tutkmusongelmasta rppuen monlla er lähestymstavolla. Esmerkks koneenrakennusteknkassa aemmn, konerakenteden ollessa huomattavast nykystä yksnkertasempa, laskettn komponentten omnasuuksa yleensä komponenttkohtasest, usen soveltaen klasssen lujuusopn analyyttsä ja dfferentaalsa yhtälötä (Gere ym., 990; Crag ym. 006). Nämä laskentamallt kehttyvät 700- ja 800-lukujen akana perustuen Newtonn klassseen mekankkaan sekä muun muassa Cauchyn ja Possonn työhön materaalomnasuuksen matemaattsen mallnnuksen parssa. Tätä aemmn suunnttelutyö perustu hyvn ptkälle kokemusperäseen tetoon rakenteden ja materaalen kuormtuskäyttäytymsestä erlasssa olosuhtessa. Ertysest koneenrakennusteknkassa yhtenä merkttävänä edstysaskeleena olvat Wöhlern tutkmukset rautatekaluston akseleden väsymsestä, mnkä seurauksena rakenteden analysonnssa alettn huomoda myös kuormtushstora, jollon monet aemmn selttämättömät vaurot votn ehkästä jo suunnttelupöydällä.
Klasssen lujuusopn soveltamsen selkeänä haasteena ovat kutenkn muodoltaan ta multa omnasuuksltaan monmutkaset rakenteet (Gere ym., 990; Hakala, 986). Alun pern tämäntyyppsä ongelma tul vastaan muun muassa moottorteknkassa, sekä ertysest lma-alusten kehtystyössä, mssä yhtenä tärkeänä tarkastelukokonasuutena on lma-aluksen runkorakenteen aerodynamkka ja kestävyys. Nähn haastesn vastatakseen Hrennkoff (94) ja Courant (943) esttelvät uudenlasen lähestymstavan, mssä tarkasteltavana olevan systeemn omnasuuksa määrttävän jatkuvan funkton arvojoukkoa dskretsodaan, el palotellaan äärellsn tarkasteluvälehn käyttäen valttua jakovälä, el verkkoa. Hrennkoffn ja Courantn esttelemä dea on nmetty sttemmn äärellsten elementten menetelmäks (Hakala, 986; Bathe, 996; Cook ym., 00; Zenkewcz ym., 000a). Tämä rakenneanalyyttnen lähestymstapa perustuu osttan Raylegh-Rtzn teoraan (Bremer, 008), mssä systeemä mallntaven kantafunktoden joukosta valttu tuntemattomen muuttujen suhteen dskretotu lneaarkombnaato sjotetaan ratkastavaa ongelmaa parhaten mallntavaan funktonaaln. Sjotuksen jälkeen funktonaaln äärarvoja approksmodaan tuntemattomen dskreetten muuttujen suhteen. Tonen merkttävä elementtmenetelmään vakuttanut teora on Galerknn (Zenkewcz ym. 000a) esttelemä, samankantasn panofunktohn perustuva lähestymstapa osttasdfferentaalyhtälöden tehokkaaks ratkasemseks. 900-luvun jälkpuolskolla nopeast kehttyneen tetoteknkan mahdollstaessa merkttäväst tehokkaammat numeerset analyyst, kehtty elementtmenetelmästä kaupallseen käyttöön kelpaava sovelluksa 970-lukuun mennessä. Elementtmenetelmällä on mahdollsta smuloda myös mallnnettaven monkappalesysteemen dynamkkaa (Géraldn ym., 00; Shabana, 00), mutta tähän tarkotukseen se e kutenkaan ana ole tehokkan mahdollnen lähestymstapa (Schehlen, 997; Shabana, 997b). Asa korostuu ertysest smulotaessa erttän jäykken kappaleden dynaamsa systeemejä, mssä elementtmenetelmä vo aheuttaa tuloksn lkaa numeersta epätarkkuutta ja on usen myös laskennallsest tarpeettoman raskas. Myös reunaehtojen asettamnen jäykken kappaleden dynaamsa, usen ertyyppsä nvelä ssältävä systeemejä ajatellen vo olla tapauksesta rppuen monmutkasta ja hankalast toteutettavaa (Shabana, 00). Näden haasteden ratkasemseks on dynamkan mallntamseen omaksuttu yleensä tonen, monkappaledynamkaks (Schehlen, 997; Shabana, 997b; Shabana, 00) kutsuttu lähestymstapa.
3 Monkappaledynamkka on laaja teorakokonasuus, mkä on alun pern kehtetty jäykken kappaleden fyskan smulontn, mutta sttemmn kysestä teorajoukkoa on laajennettu mahdollstamaan myös muun muassa joustavuuden mallntamnen (García de Jalón ym., 994; Géraldn ym., 00; Bremer, 008; Shabana, 00). Monkappaledynamkan teoreettsen perustan ovat alun pern luoneet Newtonn klassnen fyskka ja Eulern menetelmät systeemn rajotteden ja nvelen määrttelemseks. Myöhemmn d Alembert (743) esttel monkappaledynamkassa keskesen vrtuaalsen työn teoran ja Lagrange (788) edelleen käytössä olevan ratkasumalln rajotetun systeemn dynamkan laskemseks. Tämän jälkeen monkappaledynamkan teorakokonasuutta on kehtetty ja täydennetty useaan otteeseen ssällyttämällä shen muun muassa omnasuuksltaan erlasa rajotteden määrttelymenetelmä (Shabana, 00), kontaktmallnnustyökaluja (García de Jalón ym., 994), joustavuuden mallnnusta, erlasa ntegrontmenetelmä (Géraldn ym., 00; García de Jalón ym., 994), sekä lukusa koordnaattsysteemejä (García de Jalón ym., 994). 980-luvulle tultaessa monkappaledynamkasta on tullut keskenen dynamkan analysontmenetelmä myös kaupallsssa ohjelmstossa. Ajateltaessa sekä elementtmenetelmän että monkappaledynamkan teorakokonasuukslle sovelluskohteden asettama vaatmuksa, votasn lstaa helpost kasvattaa loputtomn. Myös keskesmmstä vaatmukssta vodaan kstellä (Géraldn ym., 00; García de Jalón ym., 994; Wrggers, 008), mutta muutamat tärkeät omnasuudet votaneen lstata täten: Elementtmenetelmä Lukkutumattomuus Tavutustarkkuus Verkosta rppumaton laskentatarkkuus Elementtyhtälöden yksnkertasuus Laskentatehokkuus Monkappaledynamkka Rajotteet ja reunaehdot Nvelet ja ltokset Joustavuus ja muodonmuutokset Kertymen dynamkka Dynamkkayhtälöden yksnkertasuus Laskentatehokkuus Osn nämä vaatmukset ovat yhtenevä, kuten on lata esmerkks laskentatehokkuuden ja yhtälöden numeersen ratkastavuuden suhteen. Verkosta rppuvat tekjät ja lukkutumslmö ovat elementtmenetelmän ongelma snä mssä kertymen ja ertyyppsten nvelrajotteden määrttämnen panottuu enemmän monkappaledynamkkaan.
4 Puhuttaessa monkappaledynamkasta ja elementtmenetelmästä on kutenkn syytä huomata, että osa teteentekjöstä katsoo elementtmenetelmän olevan nykyään osa monkappaledynamkan teorakokonasuutta (Shabana, 00; Géraldn ym., 00; Wrggers, 008). Tämä näkemys e kutenkaan ole kauttaaltaan hyväksytty johtuen osttan molempen menetelmen nopeasta kehttymsestä vme vuoskymmennä sekä molempen teoroden kehtyshstoran erlasuudesta. Lsäks näden teoroden käyttötarkotuksessa ja sovellettavuudessa on myös merkttävä eroavuuksa. Tämän vuoks elementtmenetelmää usen tarkastellaan edelleen myös omana teorakokonasuutena (Cook ym., 00; Castersen ym. 009; Zenkewcz ym., 000a, Zenkewcz ym., 000b). Kappaleen joustavuuden menestyksekäs mallntamnen (Crag ym., 006; Géraldn ym., 00;) on teollsuuden ja teteen tarpeta ajatellen usen vähntään yhtä tärkeä asa, kun systeemn dynamkan mallnnus tarkotuksenmukasella tarkkuudella (García de Jalón ym., 994). Tämä vaatmus on myös yhtenänen nn elementtmenetelmälle kun monkappaledynamkallekn rppumatta stä, halutaanko ne katsoa kuuluvaks samaan teorakokonasuuteen va e. Esmerkks kokoonpanorobotten kehtystyössä tämä vaatmus tulee usen eslle, kun suunnteltavan robotn nvelvarsen dynamkkaan vakuttavat yhtä lalla käyttölatteden tuottamat tovotut lkkeet ja nstä aheutuva dynaamnen kohna, sekä yhtä lalla myös robotn komponentten joustot ja nstä usen seuraavat värähtelyt (Hoekstra, 986). Joustavuuden mallntamseen on olemassa lukusa er lähestymstapoja, jota ovat esmerkks kelluvan koordnaatston menetelmä, keskttyneden massojen teora (Shabana, 00) ja Crag-Bampton-muotohn perustuva lähestymstapa (Crag ym., 006). Joustavuuden mallntamnen kelluvan koordnaatston menetelmällä perustuu kahden ertyyppsen koordnaattjoukon soveltamseen (Shabana, 00). Tonen koordnaattjoukko määrttää kappaleen sjannn ja orentaaton kappaleen oman referensskoordnaatston suhteen, ja vastaavast tonen koordnaattjoukosta taas nässä valtussa pstessä tapahtuneen pokkeaman, el ss käytännössä kappaleessa tapahtuneen muodonmuutoksen. Näden koordnaattjoukkojen summavektort lausutaan globaaln sjantnsa suhteen määrttämällä kappaleen lokaaln koordnaatston orgon sjant, ja orentaatonsa suhteen käyttäen esmerkks Eulern kulmn, parametrehn ta Rodrquesn yhtälöön perustuvaa kertomatrsa (Géraldn ym., 00; Shabana, 00).
5 Kelluvan koordnaatston menetelmä e kutenkaan ole tehokas, mkäl tarkotuksena on mallntaa suura muodonmuutoksa ssältävä systeemejä (Shabana, 00). Tähän ongelmaan on vmesten 5 vuoden akana etstty ratkasua absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmästä, joka on kehtetty alun pern Shabanan (996, 997a) tutkmuksen tuloksena smulomaan ertysest systeemejä, mssä elementtkohtaset muodonmuutokset ja kertymät vovat olla pokkeuksellsen suura. Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmä perustuu osttan muun muassa teoraan suurten kertymen mallntamsesta asemavektoren (Shabana, 00), mssä absoluuttsten solmukoordnaatten tapaan elementn solmukoordnaatt lausutaan globaaln koordnaatston orgon suhteen. Tässä lähestymstavassa solmujen orentaato määrtetään penten, vrtuaalsten kertymen avulla, mnkä seurauksena sngulaarsuusongelmat ovat tavallsa (Géraldn ym. 00; García de Jalón ym., 994; Shabana, 00). Nämä ongelmat lmenevät usen ertysest palkkelementten tapauksessa lekkausmuodonmuutosten ollessa lausuttuna Serret-Frenetkoordnaatston (Serret, 85; Frenet, 85) avulla. Tosaalta on kutenkn myös havattu, että myös Euler-Bernoulln elementt vo usen olla tapuvanen sngulaarsuuteen (Shabana, 00). Sngulaarsuusongelmat ovat yks keskenen syy shen, mnkä vuoks mantun lähestymstavan soveltamnen on harvnasta. Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmässä sekä elementn solmujen sjant että nden orentaato lausutaan globaaln orgon suhteen sten, että solmukohtanen orentaato määrtellään kysesen solmun asemavektorn komponentten osttasdervaaton globaalen koordnaattakseleden suhteen (Shabana, 996). Tosn sanoen, tässä ss lasketaan muotofunktoden kulmakertoma globaaln koordnaatston suhteen akselkohtasest. Tämän lähestymstavan ansosta e solmujen orentaatoden määrttelemseks tarvta vrtuaalsa kertymä (Géraldn ym. 00; García de Jalón ym., 994), jollon nhn lttynestä sngulaarsuusongelmsta päästään eroon (Shabana, 996; Shabana, 997a). Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmässä jokanen solmu saa ss asemakoordnaattensa lsäks lukusa orentaatokoordnaatteja, joden määrään vakuttavat valttu koordnaatsto ulottuvuuksneen sekä haluttu tarkkuus orentaaton suhteen. Täysn parametrsotu elementt ssältää orentaatot kakken koordnaattakseleden suhteen, tosn sovelluskohteesta rppuen tätä lausuntatapaa e kutenkaan ana käytetä. Esmerkks laatat ja palkt ssältävät usen pokkeuksa.
6 Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmän esttelyn jälkeen tätä lähestymstapaa on täydennetty muun muassa lausumalla lukusa er elementttyyppejä absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmällä, tutkttu vomen ja momentten laskentaa ja mallnnusta kysesessä koordnaatstossa sekä perehdytty menetelmän yleseen sovelluskelposuuteen (Shabana, 997a; Schehlen, 997; Schehlen, 006). Tostaseks absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmällä on estelty muun muassa ertyyppsä palkkelementtejä perustuen Euler-Bernoulln ja Tmoshenkon palkkteorohn (Omar ym., 00; Dmtrochenko ym., 003; Iwa ym., 003; Dufva ym., 004; Dufva ym., 005). Myös Krchoffn ja Ressner-Mndlnn laattatyypt (Dufva ym., 005; Mkkola ym., 003; Mkkola ym., 006), sekä kuor- ja vvaelementtejä on tutkttu (Mkkola ym., 004; Kerkkänen ym., 006). Vomen ja momentten mallnnuksesta ovat tehneet tutkmusta muun muassa Escalona ym. (998), Berzer ym. (000), sekä Mkkola ym. (003). Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmää on pyrtty soveltamaan myös muun tyyppstenkn ongelmen ratkasemseks, kuten petsosähkösten lmöden smulontn (Nada ym., 0). Lsäks menetelmää on sovellettu jänntysten analysontn (Gerstmayr ym., 006) ja plastsen muodonmuutoksen smulontn (Gerstmayr ym., 004). Laskentatehokkuuden parantamseks nn elementn omnasuuksa (Gerstmayr ym., 008; Gerstmayr ym., 008), kun nlle soveltuva ntegrontmenetelmäkn on kehtetty (Sanborn ym., 009). Tostaseks tätä menetelmää e kaupallsssa sovelluksssa velä kutenkaan käytetä. Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmässä monentyyppset elementt kykenevät kästtelemään huomattavan suura muodonmuutoksa (Shabana, 996; Shabana, 997a; Shabana, 008; Shabana, 00). Esmerkks vvaelementn vo fyskaalssta omnasuukssta rppuen vääntää lähestulkoon solmuun tsensä ympär (Berzer ym., 000), yhden anoan laattaelementn avulla vodaan teorassa smuloda vakkapa vapaast rppuvaa lakanaa (Dmtrochenko ym., 003; Mkkola ym., 003) ja muun muassa hhnan käyttäytymnen hhnapyören suhteen vodaan toteuttaa pernteseen elementtmenetelmään nähden huomattavan penellä elementtmäärällä (Kerkkänen ym., 006). Suurten muodonmuutosten teoreettnen mahdollstamnen e kutenkaan tee menetelmästä velä automaattsest tarkkaa (Gerstmayr ym., 008) mallnnettaessa suura muodonmuutoksa ssältävä systeemejä. Lsäks kokemus on osottanut, että usen tämä lähestymstapa vaat elementten penestä määrästä huolmatta elementtkohtasta laskentatehoa paljon enemmän, kun mhn on totuttu tavanomasen elementtmenetelmän sovelluksssa.
7 Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmän tarjoamat mahdollsuudet ovat ptäneet huolen stä, että tutkmustyö kysesen teorakokonasuuden parssa on katsottu tarpeellseks (Schehlen, 997; Schehlen, 006; Shabana, 008). Sekaelementten (Castersen ym., 009; Boff ym., 008) kykyä toma absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmässä on kutenkn tähän mennessä tutkttu varsn vähäsest ja tulokset ovat olleet tostaseks lahoja (Altarrba ym., 0). On kutenkn syytä otaksua, että sekaelementten avulla vodaan absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmällä mallntaa useta sellasa fyskaalsa omnasuuksa, joden mallntamnen lman sekaelementtejä on haastavaa ta jossan tapauksssa ehkä jopa mahdotonta (Castersen ym., 009; Zenkewcz ym., 000a). Nätä lmötä vovat olla muun muassa kokoon purstumattomen materaalen mallntamnen (Zenkewcz ym., 000a) ta monssa tapauksssa ylesest ottaen kahdesta (ta useammasta) muuttuja-avaruudesta koostuvan systeemn smulont. Jälkmmäsestä tlanteesta esmerkknä vos olla vakkapa jonkn lämpöuunn kuorrakenteen käyttäytymnen lämpötlan ta paneen vakutuksen alla. Tämän työn tarkotuksena on tutka mahdollsuuksa soveltaa sekaelementtejä absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmään. Tavotteena on lausua kaks tunnettua sekaelementttyyppä, srtymä-jänntys-, ja srtymä-pane-sekaelementt absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmällä (Zenkewcz ym., 000a; Castersen ym., 009). Nämä sekaelementttyypt on valttu tutkmuskohteeks nden suhteellsen yksnkertasen konstrukton vuoks. Kehtettyjä elementtejä testataan numeersn testen ja tuloksa verrataan olemassa olevn, tavanomaseen elementtmenetelmään perustuvn rakenteeltaan samantyyppsn sekaelementtehn. Valttujen sekaelementten dynaamsa ja knemaattsa omnasuuksa anoastaan svutaan johtuen kysesen tutkmusongelman olevan mahdollsest nn laaja, ette sen ssällyttämnen tähän työhön ole rajauksesta johtuvsta systä tarkotuksenmukasta tse aheen tärkeydestä huolmatta. Pdemmän akaväln tavotteena vodaan ptää absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmän laajentamsta soveltumaan yhä uusen ja ertyyppsten ongelmen ratkasemseks. Sovelluksa tovotaan muun muassa bomekaansten systeemen smulontmahdollsuuksen parantamseks (Cown ym., 007), mkä on ollut yks keskenen taustatekjä ylesest puhuttaessa absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmän kehtystyöstä. Kutenkn myös perntesten nsnöörteteden, kuten koneensuunnttelun työkalujen kehttämseks vodaan tästä projektsta nähdä olevan hyötyä, ertysest puhuttaessa smulotaven systeemen ertystapaukssta.
8 Kuvassa havannollstetaan ylesellä tasolla menetelmen kehtyshstoraa ja tässä työssä kästeltyyn tutkmusongelmaan johtanutta tetä. Kuva : Tutkmusongelmaan johtanut kehtyshstora. Elementtteorat Tässä luvussa kästellään absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmä pääprtettän, kästellen ylesä omnasuuksa sekä antamalla esmerkkejä absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmällä lausutusta elementestä. Myös sekaelementtmenetelmää kästellään ahekokonasuutena selvttäen myös tämän elementtryhmän tyypllsä ertysprtetä. Sekaelementtkonstruktosta annetaan myös esmerkkejä, jotka ssältävät myös kolmannessa luvussa absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmällä lausuttavat sekaelementttyypt.. Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmä.. Elementn lausumnen globaaln koordnaatston suhteen Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmä on yks tapa määrttää elementn koordnaatsto. Tässä menetelmässä elementten solmukoordnaatt ssältävät asema- ja orentaatotermt, ja ne lausutaan käyttäen systeemn globaala koordnaatstoa (Shabana, 996; Shabana, 997a; Shabana, 998). Tämä lähestymstapa on kehtetty edesauttamaan ratkasun löytymstä sellaslle elementtmenetelmällä analysotavlle ongelmlle, mssä tyypllsä lmötä ovat suuret kertymät ta muodonmuutokset (Shabana, 008).
9 Tosn kun tavanomanen elementtmenetelmä, absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmä e lähtökohtasest aseta rajoja elementten tavutukselle ta kerrolle (Shabana, 998). Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmässä elementn jokanen solmu lausutaan globaalen asemavektoren elementn muotofunktoden avulla sten, että ( x, y z ) e r S, =, (.) mssä r on elementn satunnasest valtun psteen sjannn määrttävä vektor, S on elementn muotofunktomatrs ja e elementn solmukoordnaatten asemavektor. Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmässä asemavektor ssältää nformaaton valtun solmun asemasta globaaln koordnaatston suhteen, mutta tämän lsäks myös psteen orentaatotermt, el tosn sanoen kysesen solmun muotofunktoden akselkohtaset kulmakertomet suhteessa globaaln koordnaatstoon. Tämä lähestymstapa ankkuro ss muotofunktot elementn Serret-Frenet-tyyppseen (Serret, 85; Frenet, 85) lokaaln koordnaatstoon. Tämänkaltasessa koordnaatstossa orentaato seuraa valttua käyrää sten, että sen akselt ovat akseltyypstä rppuen ana joko tangentaals- ta normaalorentaatossa suhteessa käyrään, elementn muotofunktoden määrttäessä tässä tapauksessa nämä käyrät. Elementn solmukoordnaatten asemavektor vodaan krjottaa ss tarkemmn; T T T T é k k k k k T æ r ö æ r ö æ r ö ù e = ( r ) ç ç ç, (.) ë ç è x ø ç è y ø ç è z ø û mssä elementn solmun k sjant määrtellään asemavektorlla r k ja sjannn Serret- Frenet-orentaato tämän vektorn dervaaton, el ss määrttelemällä muotofunktoden kulmakertomet er koordnaattakselen dervaaton valtussa psteessä. Dmensoltaan ulottuvuuksen suhteen määräytyvä muotofunktomatrs määrtetään seuraavast; S [ s I s I s I s I K s ] =, (.3) 3 3 3 3 4 3 ni 3 mssä tässä tapauksessa kolmulottesen elementn muotofunktot s, s,, sn kerrotaan 3 x 3-tyyppsellä ykskkömatrslla I3.
0 Tätä peraatetta elementn kakken solmujen määrttelemsestä globaaln koordnaatston suhteen havannollstetaan kuvalla, mssä yksnkertanen kakssolmunen vvaelementt on lausuttu absoluuttsten asemakoordnaatten suhteen. Solmussa on nähtävssä myös orentaatota määrttävät lokaalt Serret-Frenet-koordnaatstot. Mkä tahansa pste vvaelementssä vodaan määrttää käyttämällä globaaleja asemavektoreta. Kuva : Palkkelementt absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmällä Muotofunktoden muodostamseen e absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmä suoraan tarjoa mtään erllstä metodkkaa dfferentotujen funktoden vaatmusta lukuun ottamatta (Shabana, 996; Shabana, 997a), vaan nden on perustuttava sovellettavan elementn matemaattseen malln, kuten on lata tavanomasen elementtmenetelmänkn suhteen (Hakala, 986). Sovellettava approksmaato vo olla esmerkks tavanomanen polynomapproksmaato (Hakala, 986; Shabana, 008) ta Hermten polynomehn perustuva (Sanborn, 0). Jotta kulmakertomn perustuvan Serret-Frenet-orentaaton laskenta kutenkn onnstus, ptää muotofunktomatrsn ssältää myös dervotujen polynomapproksmaatoden perusteella muodostetut muotofunktot.
.. Elementn lkeyhtälöt Yksttäsen elementn (ta vahtoehtosest koko elementtsysteemn) dynamkka vodaan absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmällä määrtellä (Shabana, 008; Shabana, 00) Lagrangen (788) dynamkkaa mukallen lman elementn vamennusvakutuksen huomomsta seuraavast; & f, (.4) M e + K e = ext mssä M on elementn massamatrs, K jäykkyysmatrs ja fext ulkosten vomen vektor. Tämä yksnkertanen lähestymstapa on mahdollnen, koska absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmä e edellytä vrtuaalsten, el penten srtymen ta kertymen määrttelyä solmujen asemavektoressa (Shabana; 00). Elementn massamatrs M muodostetaan muotofunktomatrsen avulla, jollon se saa ana vakoarvoja, mnkä seurauksena esmerkks kelluvan koordnaatston menetelmässä käytetyn elementn keskpakovoma suhteessa lokaaln koordnaatstoon määrttävää nelöllstä nopeusvektora e tarvta (Shabana, 00). Massamatrs lasketaan seuraavast; ò M = ρ S S dv, (.5) V T mssä ρ on elementn smuloman materaaln theys. Massamatrsn muodostamnen perustuu elementn kneettsen energan määrtelmään (Escalona ym., 998; Shabana, 998; Shabana, 008), mkä absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmällä määrtetään yhtälöllä; T = æ ç è T T ç T T ò r r& r& dv = e& ò r S S dv e& Þ ò r S S dv = V V ö ø V M. (.6) Massamatrsn vakont e kutenkaan merktse myös jäykkyysmatrsn vakonta, vaan jäykkyysmatrs on yleensä jopa erttän epälneaarnen (Escalona ym., 998; Shabana, 008). Jäykkyysmatrsn määrttämnen rppuu yleensä elementttyypstä, usessa tapauksssa se kutenkn muodostetaan elementn venymäenergaan perustuvlla lähestymstavolla. Tätä asaa kästellään tarkemmn esmerkken yhteydessä.
..3 Ulkoset vomat ja momentt Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmässä elementtn kohdstuvat ulkoset vomat määrtellään käyttäen kahta tosstaan pokkeavaa lähestymstapaa (Mkkola ym., 003; Shabana, 008). Vomen määrttely vo tapahtua käyttämällä apuna elementn lokaala koordnaattsysteemä (Escalona ym., 998) ta stten vahtoehtosest soveltaen kontnuummekankkaan perustuvaa lähestymstapaa (Shabana, 997a; Shabana, 00). Elementn lokaala koordnaatstoa apuna käyttävä lähestymstapa soveltuu muun muassa Krchhoffn ta Ressner-Mndlnn laattateorohn perustuven laattaelementten mallntamseen ja se on lähestymstavaltaan varsn yksnkertanen ja suoravvanen. Menetelmä perustuu vrtuaalsen työn teoraan (Shabana, 00) ja snä erotellaan erkseen valttuhn pstesn vakuttaven vomen ja momentten vakutus. Vomat ja momentt lokaaln koordnaatston menetelmällä Elementn lokaaln koordnaatstoon perustuvassa lähestymstavassa ulkoset vomat ja nden vakutus elementssä vakuttavn elastsn vomn määrtellään yhtälöllä.7 (Shabana, 997a; Shabana, 998; Escalona ym., 998); f T ext d r = T T = f exts de f gende, (.7) mssä vektor fext on elementn ulkosten vomen vektor, δr on valttujen solmujen absoluuttsen aseman ja orentaaton määrttävä, voman vakutuksesta aheutuvan vrtuaalsen srtymän määrttävä vektor, S on elementn muotofunktomatrs ja δe elementn solmujen vrtuaalsen srtymän määrttävä asema- ja orentaatovektor. Kuten yhtälöstä.7 nähdään, elastset vomat vodaan määrttää ylestetyssä muodossa ulkosten vomen vektorn ja muotofunktoden tulolla (Escalona ym., 998). Tästä ss seuraa, että ulkonen voma vodaan määrtellä joko solmukohtasest ta vahtoehtosest ntegromalla voma vakuttamaan elementn yl, jollon esmerkks panovoman vakutuksen mallntamnen mahdollstuu.
3 Momentten määrttämnen (Escalona ym., 998; Shabana, 00) valtussa solmussa toteutetaan kertomatrsen avulla. Tässä yksnkertastetussa esmerkssä kerto tapahtuu Eulern kulmen teoran perusteella kahdessa ulottuvuudessa. Kertomatrsn lausuman kertymän α ja valtun solmun orentaaton vällle määrtetään yhteys yhtälöllä.8; û ù ë é - = û ù ë é - x r x r x r x r d cos sn sn cos a a a a, (.8) mssä term d on muotoa ø ö ç ç è æ + ø ö ç ç è æ = x r x r d. (.9) Yhtälöden.8 ja.9 avulla vodaan ratkasta vrtuaalnen kertymä δα (Escalona ym., 998); d x r x r x r x r - = d d da, (.0) jollon momentten ja vrtuaalsen kertymän tulo määrttää momentn tuottaman vrtuaalsen työn; d Mda W =. (.) Vomen lausunta kontnuummekankan lähestymstavalla Tonen lähestymstapa vomen määrttämseks on käyttää kontnuummekankan menetelmää (Shabana, 997a; Shabana, 008), jollon elementn omaa lokaala koordnaatstoa e tarvta ulkosten vomen määrttämseks. Tämä lähestymstapa perustuu venymäenergaperaatteeseen (Gere ym., 990), mssä elementn venymät määrtellään ANCF-sovelluksssa yleensä Green-Lagrangen venymätensorlla.
4 Venymäenerga määrtellään ylesellä tasolla tarkasteltuna yhtälöllä. (Shabana, 008), mutta on syytä huomoda, että energayhtälöä e vo sellasenaan tässä muodossa soveltaa er kaklle elementttyypelle; ò = V T dv U ε E ε, (.) mssä ε on Green-Lagrangen symmetrsestä venymätensorsta muodostettu venymävektor ja E elementn kmmomatrs. Venymätensor on muotoa (Shabana, 008); ( ) 3 I J J ε - = T GL, (.3) mssä venymstä johtuvat srtymägradentt määrtetään muodostamalla asemavektorn Jacobnmatrs elementn muotofunktoden ja globaalen koordnaattakseleden suhteen; n n n z S y S x S z S y S x S z S y S x S e J û ù ë é = M M M, (.4) ja mssä vektor e on elementn solmujen absoluuttnen asema- ja orentaatovektor. Elementn venymäenergan avulla määrtetään elaststen vomen vektor muodostamalla vastaavast Jacobnmatrs energan ja vektorn e suhteen; T el U ø ö ç ç è æ = e f. (.5)
5. Esmerkkejä palkk- ja laattaelementestä Tässä luvussa estellään neljä esmerkkä palkk- ja laattaelementestä lausuttuna absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmällä. Molemmat palkkelementt lausutaan tasotapauksessa (Shabana, 997a; Shabana, 998), tonen palkesta noudattaa Euler- Bernoulln palkkteoraa ja tonen lekkausmuodonmuutokset huomovaa Tmoshenkon teoraa (Gere ym., 990). Palkkelementt ovat mahdollsa lausua tasotapauksen lsäks myös kolmulottesessa tlassa, vakka elementn lokaal koordnaatsto e kolmatta ulottuvuutta ssältäskään. Tämä metodkka mahdollstuu muun muassa Yakoubn ym. (00) ja Dufvan ym. (006) julkasemen tutkmustulosten osottamalla tavalla. Tässä luvussa esteltävät laattaelementt perustuvat Krchhoffn ja Ressner-Mndlnn laattateorohn, josta Ressner-Mndlnn teoraan perustuva laattaelementt kykenee mallntamaan myös lekkausmuodonmuutoksa. Nämä elementttyypt lausutaan kolmulottesessa avaruudessa ja ne vovat muokkautua snä elementn omnasuuksen tarjoamen mahdollsuuksen puttessa, vakka laattaelementn lokaal koordnaatsto onkn van kaksulottenen. Nämä elementttyypt ovat alun pern lausuttu absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmällä Dmtrochenkon ym. (003), Mkkolan ym. (004) ja Dufvan ym. (005) tekemän tutkmuksen tuloksena. Muta absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmällä lausuttuja elementttyyppejä ovat muun muassa lneaarpalkk (Kerkkänen ym., 005), kolmoelementt (Dmtrochenko ym., 008) ja korkeamman asteen laatat (Mkkola ym., 003). Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmään soveltuven elementten tutkmustyö on vmesen vuoskymmenen akana ollut vlkasta ja jatkunee vlkkaana edelleen, mstä osotuksena ovat muun muassa lähteet (García-Vallejo ym., 007; Dmtrochenko ym., 008; Dmtrochenko ym., 009; Matkanen ym., 009; Sanborn ym., 009; Sanborn ym., 0; Nada ym., 0).
6.. Palkkelementt (Euler-Bernoull) Euler-Bernoulln palkkteoraa noudattavan palkkelementn solmujen globaal asemont määrtellään absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmälle omnasella tavalla asemavektorlla r; r = S e, (.6) mssä e on solmujen asemat ja orentaatot määrttävä vektor (Berzer ym., 000); [ e e e ] T e = e 3 K 8, (.7) ja S muotofunktomatrs; S [ S I S I S I S ] =, (.8) 3 4I mssä I on x -tyyppnen ykskkömatrs ja palkn muotofunktot (Shabana, 008) ovat 3 3 æ 3x ö æ x ö 4x x S = - ç + ç, S x - + ø è L ø è L =, L L (.9) 3 3x x S3 = - ja 3 L L S 3 x x =. L L 4 - Euler-Bernoulln palkkelementn venymäenerga (Berzer ym., 000; Shabana, 008) vodaan määrttää kahdella tosstaan heman pokkeavalla lähestymstavalla. Mkäl palkkelementtä sovelletaan absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmälle omnasn suurten kertymen smulonttehtävn, on suosteltavaa käyttää elementn kaartumsomnasuuksa tarkast määrttävää käyryystermä (Berzer ym., 000). Sovellettaessa käyryystermä e elementlle tarvtse tehdä lneaarsuusoletuksa, jollon tapumaomnasuudet ovat kauttaaltaan epälneaarsa. Usen käyryystermn ntegront vaat kutenkn numeersten ntegrontmenetelmen, kuten Gaussn kvadratuuren soveltamsta, johtuen sen hankalasta konstruktosta ratkastavaks Remannn analyyttsellä ntegronnlla.
7 Käyryysterm vodaan määrtellä monn er tavon rppuen stä, mten tarkast sen halutaan kuvaavan suura kertymä (Dmtrochenko ym., 003; Gerstmayr ym., 006). Yks mahdollnen käyryystermn määrtelmä on k = r x r x r x -3, (.0) mssä asemavektora r osttasdervodaan elementn ptuusakseln suhteen. Vrtuaalsen työn peraatetta noudattaen lausutaan elementn muodonmuutokset nyt yhtälöllä. (Berzer ym., 000; Shabana, 008); ò ò d W = E A e de dl + E I k dk dl, (.) L x x L mkä johdetaan venymäenergayhtälöks (Berzer ym., 000; Shabana, 008); U = ò L E A ( x ) dl + ò E I ( k ) e dl, (.) L mssä E on materaaln kmmokerron, A elementn pokkpnta-ala, εx ptuussuuntanen venymä, I jäyhyysmomentt ja L elementn ptuus. Venymäenergan perusteella määrtetään elementn elastset vomat ja nden yhtäläsyys jäykkyysmatrsn K (Berzer ym., 000; Shabana, 008); T æ U ö = ç K e. (.3) f el ç = e è ø Aemmn manttu, käyryystermn soveltamseks vahtoehtonen venymen lneaarsontn perustuva lähestymstapa lähtee ajatuksesta, että venymät jaetaan svuttas- ja ptkttässuuntasn venymn. Tämä lähestymstapa on estelty alun pern Escalonan ym. (998) krjottamassa julkasussa. Lneaarsonnssa perusajatuksena on, että tarkastellaan elementn muodonmuutoksa valtun referensspsteen suhteen sten, että toteutuneet muodonmuutokset määrtetään yhtälöllä.4;
8 ( ) ( ) y x e S S S S d d d û ù ë é - - = û ù ë é = 0 0, (.4) mssä solmun ja slle valtun referensspsteen välnen muodonmuutosvektor d ssältää x- ja y-koordnaattakseleden suhteen lausutut komponentt ollen täten yhtenevä myös absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmässä käytettyyn tapaan lmasta sjant muotofunktoden suhteen. Nän saadaan kaks ykskkövektora a ja b elementn lokaaln koordnaatston suhteen määrttämään lneaarsa muodonmuutoksa: y x r r r r a a a - - = û ù ë é = ja y x a c b b b = û ù ë é =, (.5) mssä c on ykskön mttanen xy-tason suhteen muodostettu normaalvektor asemavektoreden alandeksen ja määrtellessä esmerkks palkn ensmmästä ja tosta päätysolmua ta vahtoehtosest jotan muuta valttua referensspstettä. Täten muodonmuutokset jaetaan vastaavast ptkttäs- ja svuttassuuntasn, jollon muodonmuutosta kuvaavaks vektorks saadaan û ù ë é - = û ù ë é = T T svuttas ptuus m x d d b d a d d, (.6) mnkä perusteella määrtellään venymäenerga nyt sten, että; T L svuttas ptuus dx x d I E x d A E U e K e = ø ö ç ç è æ + ø ö ç ç è æ = ò. (.7)
9.. Palkkelementt (Tmoshenko) Tmoshenkon lekkausmuodonmuutokset sallvaa palkkteoraa osttan noudattava palkkelementt on julkastu absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmällä lausuttuna Omarn ja Shabanan (00) työn tuloksena. Pokkeus lekkausmuodonmuutosten suhteen Tmoshenkon teoraan (Gere ym., 990) verrattuna lmenee lähnnä snä, että tässä tapauksessa gradenttvektoren määrteltyyn lekkauspntaan vo tulla myös käyrstymä (Omar ym., 00). Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmän tapaan globaal asemavektor r määrttää elementn solmujen aseman; r = S e, (.8) mssä vektor e on solmujen asema- ja orentaatovektor (Omar ym., 00); [ e e e ] T e = e 3 K, (.9) ja S muotofunktomatrs; S [ S I S I K S ] =, (.30) 6I ssältäen tasotapauksessa x -ykskkömatrsn I ja muotofunktot (Shabana, 008) 3 3 S = - 3x + x, = L( x - x + x ) 3 3 S 4 = 3x - x, 5 = L( -x + x ) S, = L( h - xh ) S 3, S ja S = Lxh 6, (.3) mssä ξ = x/l, η = y/l, termn L määrtellessä palkkelementn ptuutta. Elementn venymäenergan määrttelemnen pokkeaa lekkausmuodonmuutosten taka merkttäväst Euler-Bernoulln teoraan perustuvasta palkkelementstä. Lneaarsontn perustuva lähestymstapaa e käytännössä ole mahdollsta toteuttaa ja käyryystermn soveltamnen on sellasenaan hankalaa, sllä sen tuls huomoda myös elementn lekkausmuodonmuutokset (Omar ym., 00). Ratkasu löytyy kutenkn kontnuummekankasta, mssä Green- Lagrangen venymätensor määrtellään yhtälöllä.3;
0 T ( J J I ) ε GL = -, (.3) mssä I on x -ykskkömatrs ja J aemmn yhtälössä.4 määrtelty Jacobnmatrs. Kahdessa ulottuvuudessa lausuttuna tämä tensor määrttelee muodonmuutokset sekä x- ja y- akseleden suhteen, sekä myös lekkausmuodonmuutoksen xy-tasossa. Venymäenerga määrtellään yhtälöllä.33, joka tässä tapauksessa vastaa yhtälössä. esteltyä venymäenergayhtälöä; U = T T ò σ ε dv = ò ε E ε V V dv, (.33) mssä E on kmmomatrs ja ε Green-Lagrangen symmetrsestä tensorsta muodostettu venymävektor. Integront on tehtävä palkn tlavuuden yl, sllä tosn kun Euler- Bernoulln palkkelementn tapauksessa, tässä energayhtälössä e ole erllsä, palkn eptuusulottuvuuksa huomova kerrontermejä (Omar ym., 00). Elementn elastset vomat ja jäykkyysmatrs noudattavat seuraavaa peraatetta; T æ U ö = ç K e. (.34) f el ç = e è ø..3 Laattaelementt (Krchhoff) Krchhoffn laattateora e mallnna lankaan laatassa tapahtuva lekkausmuodonmuutoksa. Elementt lausutaan kolmessa ulottuvuudessa, mutta sen oletetaan olevan hyvn ohut, jollon elementn paksuuden vakutusta sen käyttäytymseen pdetään nn vähäsenä, että elementt oletetaan monessa suhteessa elastslta omnasuuksltaan kaksulotteseks. Krchhoffn laattaelementt on lausuttu absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmällä Dufvan ym. (005) tutkmuksen tuloksena ja tälle menetelmälle omnaseen tapaan elementn solmujen globaalt asemat ja orentaatot lausutaan seuraavast; r = S e, (.35)
mssä 36-vapausastesen elementn (Dmtrochenko ym., 003; Dufva ym., 005; Shabana, 008) solmut määrtellään yhtälöllä; [ e e e ] T e = e 3 K 36, (.36) ssältäen asemavektort jokaselle solmulle x-, y- ja z-, sekä orentaatovektort globaalen x- ja y-akseleden suhteen. Muotofunktomatrs S määrtellään yhtälöllä; S [ S I S I K S ] =, (.37) 3 3 I 3 mssä I3 on 3 x 3-tyyppnen ykskkövektor ja gradenttensa suhteen elementten yl jatkuvat muotofunktot (Dufva ym., 005) ovat S = -( x -)( h -)( h -h + x - x ), = -xh ( - 3x - 3h + h + x ) - S, 7 ( ) S = -Lx x - ( h ), = Lx h( x ) - S, 8 - ( ) S = -Hh h - ( x ), = Hxh ( h ) 3 - ( h -h - 3x + x )( ) 4 = x h - S, 9 - S, = h ( x -)( x - x - 3h + h ) S, 0 S = -Lx ( x -)( h ), = Lxh ( x ) 5 - S, - S = Hxh( h - ), = -Hh ( x -) ( h ) 6 S, - (.38) mssä ξ = x/l ja η = y/h, kun L määrttää laatan ptuutta ja H leveyttä. Green-Lagrangen yhtälöön perustuvaa kontnuummekankan lähestymstapaa venymä määrteltäessä muodostetaan kolmulottenen venymätensor (Dufva ym., 005; Shabana, 008); T ( J J I ) ε - GL = 3, (.39) mssä I3 on 3 x 3-tyyppnen ykskkömatrs ja Jacobnmatrs J on määrtelty aemmn yhtälössä.4.
Muodostettaessa symmetrsestä venymätensorsta venymävektor, vodaan tulos lausua yhtälöllä; [ ε ε ] T ε = GL ε, (.40) (,) GL(,) GL(,) mssä alandekst vttaavat Green-Lagrangen venymätensorn alkohn. Krchhoffn laatan käyrstymstä kuvaava venymävektor k määrtellään yhtälöllä; z T -3 T -3 T -3 [ r ] T ' xxn n r' yyn n r' xyn k = n, (.4) mssä asemavektora r on dervotu alandeksen osottamen muuttujen suhteen ja vektor n määrtellään rsttulona n = r x r y (Dufva ym., 005). Elementn venymäenerga saa ss muodon; U = T ε dv0 ò k E k (.4) T ò E ε dv0 + V0 V0 mssä E on elementn kmmomatrs. Mkäl laattaelementt on käyrstynyt jo smulaaton valtussa alkutlanteessa, lausutaan elementn tlavuus seuraavast; x V0 = V, (.43) ξ mssä V on elementn tlavuus käyrstymättömänä. Elaststen vomen ja jäykkyysmatrsn suhteet määrtetään yhtälöllä.44 saaden nän saman muodon, kun useassa aemmnkn estellyssä tapauksessa; T æ U ö el = ç K e. (.44) f ç = e è ø
3..4 Laattaelementt (Ressner-Mndln) Verrattaessa Ressner-Mndlnn ja Krchhoffn laattateoraa, merkttävn eroavuus on Ressner-Mndlnn teoran kyky salla elementn muodonmuutokset myös paksuussuunnassa. Tämän vuoks Ressner-Mndlnn teora soveltuu selkeäst Krchhoffn laattaa paksummlle laatolle. Nässä tapauksssa vo laattaelementn paksuus olla esmerkks 0 % nelöelementn ptuudesta ta leveydestä (Mkkola ym., 003). Tämän nelsolmusen laatan solmujen asemat globaalssa koordnaatstossa määrtellään yhtälöllä; r = S e, (.45) mssä 48-vapausastesen elementn solmujen asemat ja orentaatot (Mkkola ym., 003) lausutaan vektorlla e; [ e e e ] T e = e 3 K 48, (.46) ja muotofunktot matrslla S; S [ S I S I K S ] =, (.47) 3 3 6I 3 mssä I3 on 3 x 3-tyyppnen ykskkömatrs. Ressner-Mndlnn laattateoraan perustuvassa laattaelementssä, samon kun Krchhoffnkn laattaelementssä, muotofunktoden muodonmuutosgradentt määrtetään joko jatkuvks laattaelementn keskpnnan suhteen er elementten välllä ta stten vastaavassa tapauksessa epäjatkuvks.
4 Gradenteltaan elementten yl jatkuvat muotofunktot ovat muotoa (Mkkola ym., 003); S = ( x + )( x -) ( h + )( h - ), = h x ( x - 3)( h 3) S, 9 - S = Lx ( x -) ( h + )( h - ), = -Lh x ( x -)( h 3) S, 0 - S = Hh( x -) ( x + )( h - ), = -Hh x ( h -)( x 3) 3 ( x -)( ) 4 = WV h - S, S = WVxh S, -, S = -x ( x - 3)( h + )( h - ), = -h ( x + )( x -) ( h 3) 5 S, 3 - S = Lx ( x -)( h + )( h - ), = -Lxh ( x -) ( h 3) 6 S, 4 - S = -Hhx ( x - 3)( h - ), = Hh ( x -) ( x + )( h ) 7 S, 5 - S = -WxV ( h ), = -WhV ( x ) 8 - S, 6 - (.48) mssä ξ = x/l, η = y/h, ζ = z/w, L on elementn ptuus, H leveys ja W paksuus. Kontnuummekankan Green-Lagrangen venymäteoraa noudattaen muodostetaan venymätensor (Mkkola ym., 003); T ( J J I ) ε GL = - 3, (.49) mssä I3 on 3 x 3-tyyppnen ykskkömatrs ja J yhtälössä.4 estelty Jacobnmatrs venymäenergan saadessa muodon; U ò T = ε E ε V dv, (.50) mssä E on kmmomatrs ja ε Green-Lagrangen symmetrsestä venymätensorsta muodostettu venymävektor. Elastset vomat sekä jäykkyysmatrs noudattavat yhtälöä; T æ U ö el = ç K e. (.5) f ç = e è ø
5.3 Sekaelementtmenetelmä.3. Sekaelementt elementtmenetelmässä Sekaelementeks kutsutaan elementttyyppejä, jotka ssältävät useamman kun yhden muuttuja-avaruuden (Atlur ym., 983; Zenkewcz ym., 000; Castersen ym., 009). Tähän ryhmään kuuluvat elementt mahdollstavat myös monen sellasten tutkmusongelmen ta rakenneanalyysen ratkasemsen, mtkä vosvat olla joko mahdottoma ta anakn erttän haasteellsa ratkasta käyttämällä esmerkks tavanomasta, srtymäperustasta elementtmenetelmää. Sekaelementten kehtystyö on alkanut 960-luvulla (Vsser, 969; Herrmann, 968a; Herrmann, 968b; Atlur ym. 983; Zenkewcz ym., 000a; Zenkewcz ym., 000b), johtaen ensn sekaelementelle soveltuven varaatofunktonaalen kehttämseen, josta tunnetun on mahdollsest Veubeke-Hu-Washzun funktonaal (de Veubeke, 97). Tonen funktonaal, mtä on sekaelementtsovelluksssa käytetty paljon, on Hellnger-Ressner-funktonaal (Hellnger, 94; Ressner, 950). Tosn jälkmmäsen funktonaaln sovellusmahdollsuuksen rajotteet ovat olleet tedossa jo ptkään ja lsäks sllä on mahdollsta analysoda van srtymen ja jänntysten suhdetta rajottaen sen sovellusmahdollsuuksa jo lähtökohtasest merkttävällä tavalla. Sekaelementten konstruktota usessa tapauksssa merkttäväst rajottavat Babushka- Brezzn (Babushka, 973; Brezz, 974) ehdot ovat myös edellä mantun poneertyön tulosta ja monet tunnetummat sekaelementtkehtelmät on julkastu pääasassa 970-luvun akana (Atlur ym., 983). Sekaelementtmenetelmää on kutenkn rakenneanalyysessä käytetty yleensä van erkostapauksssa, tosn tästä huolmatta kehtystyötä sekaelementten ympärllä on tehty suhteellsen vlkkaast myös vmesen vuoskymmenen akana, mnkä osottavat muun muassa tutkmusjulkasut (Alsafade ym., 00; Castersen ym., 009; Hjelmstad ym., 00; Hjelmstad ym., 003; Kumar ym., 004; L, 007; Santos ym., 009; Sur, 005). Kakka elementttyyppejä, jotka ssältävät enemmän kun yhden muuttuja-avaruuden, e kutenkaan kutsuta sekaelementeks. Useamman muuttuja-avaruuden analysonnn mahdollstavat elementttyypt vovat olla myös redusotumattoma ta hybrdelementtejä (Zenkewcz ym., 000a). Useamman tuntemattoman muuttujan elementten jaottelu manttuhn ryhmn toteutetaan tarkastelemalla elementten ssältämen tuntemattomen muuttujen kentten luonnetta ja omnasuuksa.
6 Usemmssa tapauksssa redusotumattomat elementt erotetaan sekaelementestä srtymäkentän peraatteella. Mkäl srtymä ssältävä muuttuja-avaruus kuuluu tarkasteltavaan elementttyyppn ja srtymen lsäks elementllä analysodaan myös jotan muuta fyskaalsta lmötä, kutsutaan elementtä yleensä sekaelementks. Mkäl srtymä e analysoda lankaan ta srtymäkenttä vodaan elementstä redusoda sten, että elementt on edelleen numeersest stabl ja sen avulla kyetään ratkasemaan analysotava ongelma, nmetään elementttyypp yleensä redusotumattomaks. Tätä jaottelua noudatetaan usen (Babushka ym., 983; Castersen ym., 009; Zenkewcz ym., 983; Zenkewcz ym., 000a), mutta se on kutenkn osn kstanalanen (Atlur ym., 983). Redusotumattomen ja sekaelementten lsäks myös hybrdelementt (Atlur ym. 983) ssältävät useamman kun yhden muuttuja-avaruuden, mutta eroavat nästä kutenkn muuttuja-avaruuksen ulottuvuusehtoja tarkasteltaessa (Atlur ym., 983; Zenkewcz ym., 000a). Seka- ja redusotumattomssa elementessä muuttujen on ana oltava ulottuvuudeltaan samanastesa, el esmerkks srtymä- ja jänntyskentät on määrteltävä vakkapa normaalssa kolmulottesessa tlassa. Hybrdmenetelmssä tätä edellytystä e lähtökohtasest ole, joten samalla elementllä vodaan peraatteessa mallntaa nn tlavuuskun kaksulottesa pntakohtasakn lmötä. Sekaelementtmenetelmän soveltamnen tulee kysymykseen, mkäl halutun analyysn tekemnen tavanomasella srtymämenetelmällä ols sellasenaan mahdotonta, analysotava systeem ssältää vomakkaast tosstaan rppuvasa tekjötä ta tavanomasen srtymämenetelmän nterpolontfunktoden jatkuvuusvaatmukset olsvat vaketa toteuttaa (Atlur ym., 983; Zenkewcz ym., 000a). Rakenneanalyysessä tämänkaltaset sekat vovat olla seurausta esmerkks materaalomnasuukssta ta musta fyskaalssta tekjöstä. Kokemus elementtanalyysestä on osottanut, että tavanomasten analyysen ollessa kyseessä tarvtaan sekaelementten omnasuuksa yleensä harvon, sllä monssa tlantessa nstä e saada merkttäväst apua analyysn tarkotuksenmukaseen toteuttamseen, mutta stä vaston nstä koostuven systeemen numeernen ratkasemnen vaat usen enemmän laskentatehoa. Lsäks sekaelementtrakenteden numeerssta rajotukssta johtuen analysotavaan tlanteeseen sopva, numeersest vakata elementttyyppejä on yleensä tarjolla vähemmän verrattuna esmerkks srtymämenetelmään perustuvn elementttyyppehn (Atlur ym., 983; Zenkewcz ym., 000a) rajaten sekaelementtmenetelmän sovellusmahdollsuuksa entsestään.