Teknillinen korkeakoulu Mat Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut

Transkriptio

1 Teknillinen korkeakoulu Mat Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet Mikkola/Ärölä 4. harjoituksen ratkaisut Teht. 1 Jacobin determinantin J det F materiaalisen aikaderivaatan laskemiseksi lasketaan ensin mielivaltaisen kääntyvän toisen kertaluvun tensorin A determinantin suunnattu derivaatta. D deta[u] d dɛ deta + ɛu ɛ d dɛ det AI + ɛa 1 U ɛ 1 deta d U dɛ deti + ɛa 1 ɛ Tensorin S determinantti voidaan lausua pääinvarianttien avulla muodossa dets ωi ω + I 1 Sω 2 I 2 Sω + I S, kaikilla ω R, 2 missä I 1 S, I 2 S, I S ovat tensorin S pääinvariantit I 1 S trs, I S det S. Soveltamalla nyt lauseketta 2 arvolla ω 1 saadaan I 2 S 1 2 trs 2 trs 2, d U dɛ deti + ɛa 1 ɛ d 1 + I1 ɛa 1 U + I 2 ɛa 1 U + I ɛa 1 U dɛ ɛ d dɛ 1 + ɛi1 A 1 U + ɛ 2 I 2 A 1 U + ɛ I A 1 U ɛ 4 I 1 A 1 U tra 1 U A T : U. Tensorin determinantin sunnatulle derivaatalla saadaan näin ollen lauseke D deta[u] detaa T : U. 5 Käyttämällä ylla saatua tulosta ja derivoinnin ketjusäätöä voidaan kirjoittaa J d dt detft D detft[ḟt] detff T : Ḟ J trḟf 1. 6 Oppikirjassa on annettu yhteydet L v T..7a ja ḞF 1 L..18. Näitä käyttäen saadaan Jacobin determinantin materiaaliseksi aikaderivaataksi Teht. 2 Kulmaliikemäärän säilymisyhtälö on D Dt J J tr v J div v. 7 x ρ v d x ρ b d + x t d. 8 Käyttämällä Reynoldsin kuljetuslausetta.5.8 ja ottamalla huomioon yhteys ẋ v saadaan yhtälön ensimmäinen termi muotoon D Dt x ρ v d ρ D Dt x v d 1 ρ v v + x v d x ρ v d. 9

2 Cauchyn yhteyden.4.1 avulla saadaan kulmaliikemäärän säilymisyhtälön viimeisestä termistä x t d x n σ d. 1 Ristitulo voidaan kirjoittaa permutaatiosymbolia E e ijk e i e j e k käyttäen seuraavasti.2.44, 45 a b e ijk a j b k e i, e ijk 1, indeksien ijk parillisella permutaatiolla 1, indeksien ijk parittomalla permutaatiolla, jos jotkut indekseistä ovat samoja Kirjoittamalla 1 indeksinotaatiota käyttäen ja soveltamalla Gaussin lausetta vrt..5.1 saadaan x n σ d e ijk x j n l σ lk d e i 11 e ijk x j σ lk d e i 12 x j σ lk eijk σ lk + e ijk x j σ lk eijk δ jl σ lk + e ijk x j eijk σ jk + e ijk x j σ lk d ei 1 d ei 14 d ei 15 E : σ + x divσ d. 16 Kulmaliikemäärän säilymisyhtälö voidaan näin ollen kirjoittaa muodossa x ρ v d x ρ b d E : σ + x divσ d 17 x ρ v ρ b divσ d E : σ d. 18 Liikemäärän säilymisyhtälön B..2 mukaan on jolloin kulmaliikemäärän säilymisyhtälöstä jää jäljelle ρ v ρ b divσ, 19 E : σ d e ijk σ jk e i σ 2 σ 2 σ 1 σ 1 σ 12 σ Jotta yllä esitetty toteutuisi, on oltava σ ij σ ji, eli σ σ T. Cauchyn jännitystensori on siis symmetrinen. Teht. Koordinaatistoissa xy ja ˆxŷ lausuttujen vektorien r ja ˆr välillä on yhteys.2.4 [ ] [ ] ˆr R T cos θ sin θ r, R Rxˆx R xŷ. sin θ cos θ R yˆx R yŷ 21 Kuvassa 1 on esitetty elementin keskiviivan tangentin yksikkösuuntavektori ê pisteessä pisteessä x, sekä dierentiaaliset pituusalkiot eri koorodinaattisuunnille. 2

3 y x x e dx dx dy x, ξ Kuva 1: Elementin keskiviivaa pitkin kulkeva korotationaalinen koordinaatti ˆx, dimensioton koordinaatti ξ ja tangentiaalinen suuntavektori ê. Parametrin ξ avulla lausutun xy-tason käyrän derivaatta saadaan lausekkeesta Merkitsemällä dx dy dx/dξ dy/dξ. 22 x,ξ { x/ ξ y/ ξ voidaan tangentiaalinen yksikkösuuntavektori kirjoittaa 2 ê x x,ξ x,ξ. 24 Elementin muotofunktioiden ja solmupisteiden koordinaattien avulla lausuttuna on { x xξ x I N I ξ, yξ y I N I ξ, x x y I N I ξ, 25 missä indeksi I viittaa elementin solmunumeroihin ja toistuvan indeksin yli summataan. Viimeisestä lausekkeesta saadaan koordinaatin ξ suhteen derivoimalla Korotationaalinen venymänopeus on.4.15 x,ξ x I N I,ξ ξ. 26 ˆD x ˆv x ˆx ˆv x ξ ξ ˆx 1 ˆv x x,ξ ξ. 27 Korotationaaliseksi nopeudeksi saadaan xy-koordinaatiston nopeuskomponenttien avulla lausuttuna ˆv i R ji v j ˆv x R xˆx v x + R yˆx v y. 28 Sijoittamalla tähän nopeuskomponentit v x ja v y solmunopeuksien avulla lausuttuna saadaan ˆv x N I ξr xˆx v xi + R yˆx v yi. 29 Tästä saadaan korotationaalisen nopeuden derivaataksi elementtikoordinaatin ξ suhteen ˆv x ξ N I,ξξR xˆx v xi + R yˆx v yi. Kaikki tarvittavat tulokset on nyt johdettu ja voidaan ryhtyä tarkastelemaan korotationaalista venymänopeutta elementin eri kohdissa. Tarkastellaan ensin solmua 2. Tässä solmussa on ξ ja θ, jolloin saadaan N,ξ [ [ ] [ ], Rxˆx R xŷ 1 R yˆx R yŷ 1 ]. 1

4 Näin ollen saadaan x,ξ x I N I,ξ 1 2 { r sin θ { + r1 cos θ + 1 { r sin θ 2 { r sin θ, 2 josta edelleen x,ξ r sin θ. Nyt R xˆx 1 ja R yˆx, joten lausekkeesta saadaan ˆv,ξ N I,ξ R xˆx v xi + R yˆx v yi 1 2 v r sin θ v r sin θ v r sin θ. 4 Korotationaaliseksi venymänopeudeksi solmussa 2 saadaan näin ollen ˆD x 1 x,ξ ˆv x,ξ v r sin θ r sin θ v r r. 5 Todetaan saadun tuloksen olevan yhtäpitävä sylinterikoordinaatistossa lausutun venymänopeuden D θθ v r /r kanssa. Tehtävän toisessa kohdassa pyydettiin suoritamaan samat laskut Gaussin pisteessä ξ 1/. Kyseisessä pisteessä saadaan N,ξ 1 2 [ ] , Rxˆx cos α, R yˆx sin α, α θ/. 6 Yllä oleva muotofunktiomatriisin derivaatta ja solmupistekoordinaatit sijoittamalla päädytään tulokseen x,ξ x I N I,ξ Tästä saadaan muutamien välivaiheiden jälkeen x,ξ r { sin θ 2 2 cos θ. 7 r 7 8 cos θ + cos 2 θ 1/2. 8 Tarvittavat arvot sijoittamalla saadaan melko monen välivaiheen jälkeen ˆv,ξ N I,ξ R xˆx v xi + R yˆx v yi v r 2 sin α cos θ + cos α sin θ + 2 sin α. 9 Korotationaaliseksi venymänopeudeksi Gaussin pisteessä saadaan näin ollen ˆD x 1 x,ξ ˆv x,ξ v r r 2 sin α 2 sin α cos θ + cos α sin θ cos θ + cos2 θ Kulman θ arvoilla θ.1 ja θ.5 saadaan kummassakin tapauksessa yhdeksän merkitsevän numeron tarkkuudella ˆD x v r /r. Teht. 4 Oppikirjassa on tensorin A pääinvarianteiksi annettu B5.2.1 a,b,c I 1 A tra, 41 I 2 A 1 tra 2 2 tra 2, 42 I A deta. 4 Ottamalla huomioon yhteys tra A : I saadaan Cauchyn jännitystensorin ensimmäisen invariantin materiaaliseksi aikaderivaataksi 1 σ σ : I + σ : İ σ : I tr σ. 44 4

5 Invariantin derivaatan lausumiseksi Jaumannin derivaatan avulla käytetän harjoituksessa saatua tulosta, jonka mukaan tensoreiden A ja B ollessa symmetrisiä ja toteuttaessa lisäksi ehdon AB BA ovat voimassa yhteydet A : Ḃ A : ja B J Ȧ : B A J : B. 45 Tensorit σ ja I ovat symmetrisia ja toteuttavat kertolaskun kommutatiivisuusehdon, joten 1 σ σ : I σ J : I 46 Toisen invariantin materiaaliseksi aikaderivaataksi saadaan 2 σ 1 D σ : Iσ : I σ T : σ 2 Dt σ : Iσ : I σ T : σ σ T : σ 47 2 σ : Iσ : I tr σ σ tr σ σ 1 2 σ : Iσ : I σ σ : I. Jaumannin derivaatan määritelmää ja trace-operaation ominaisuuksia käyttäen voidaan kirjoittaa σ J σ : I tr σ Wσ σw T σ Saadaan siis pyydetty tulos tr σσ trwσσ trσw T σ tr σσ trwσσ + trσwσ 48 tr σσ trσwσ + trσwσ tr σσ σσ : I. 2 σ σ : Iσ : I σ σ : I σ J : Iσ : I σ J σ : I. 49 Kolmannen invariantin materiaaliseksi aikaderivaataksi saadaan σ D Dt detσ detσ σ T : σ I tr σ σ 1. 5 Tämän lausumiseksi Jaumannin aikaderivaatan avulla käytetään Jaumannin derivaatan määritelmää ja trace-operaation ominaisuuksia. trσ J σ 1 tr σ Wσ σw T σ 1 tr σσ 1 trwσσ 1 + trσwσ 1 51 tr σσ 1 trw + trσ 1 σw tr σσ 1 σσ 1 : I. Saadaan siis tulos σ I tr σ σ 1 I trσ J σ Tehtävän kohdassa b tuli osoittaa Cauchyn jännityksen materiaalisen aikaderivaatan olessa deviatorinen myös jännityksen Jaumannin derivaatan olevan deviatorinen. Yleinen toisen kertaluvun tensori A voidaan kirjoittaa muodossa A αi + deva, α 1 tra, 5 missä αi on tensorin pallo-osa ja deva deviaatio-osa. Yllä olevasta saadaan tensorin deviaatioosaksi deva A 1 trai. 54 5

6 Cauchyn jännitystensorin materiaalisen aikaderivaatan ollessa deviatorinen pätee siis σ dev σ 1 tr σi tr σ. 55 Ottamalla trace Cauchyn jännityksen Jaumannin derivaatasta, sijoittamalla tähän yllä saatu tulos ja ottamalla huomioon tensorin W vinosymmetria saadaan trσ J tr σ trwσ trσw T trwσ trσw T trwσ trw T σ trwσ + trwσ. 56 Saatiin siis tulos trσ J, kun σ devσ, joten jännityksen σ ollessa deviatorinen on myös jännityksen Jaumannin aikaderivaatta σ J deviatorinen. 6