URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE (7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 38E. MEKAANISEN VÄRÄHELYN UKIMINEN. yön tavote 2. eoraa yössä tutustutaan harmonsen mekaansen värähdyslkkeen omnasuuksn seuraavssa tapauksssa: - vamenematon värähtely, jossa lkettä vastustava voma vodaan ptää olemattoman pennä. - vameneva värähtely, jossa lkettä vastustaa voma, joka on verrannollnen värähteljän nopeuteen. - pakkovärähtely, jossa vamennuksen lsäks värähteljään vakuttaa jaksollnen pakkovoma, joka syöttää värähteljälle energaa. Kun pakkovoman taajuus on sopva, saadaan akaan värähtelyn resonanss-lmö, jossa värähtelyn ampltud e vamene, vaan saattaa jopa kasvaa. Harmonsen värähtelyn teoraa on estetty ykstyskohtasemmn mm. ohjeen lopussa mantussa oppkrjassa Momentt 2 (s. 223 249). Shen on syytä perehtyä etukäteen. utkttava värähteljä on kertohelur, jossa kerrejous aheuttaa tasapanoasemaa koht palauttavan momentn. Helurn nopeuteen verrannollnen vastusmomentt saadaan akaan metallseen helurn ndusotaven pyörrevrtojen avulla (ks. esm. Momentt 2, s. 76 77). Pakkomomentt puolestaan aheutetaan helura jaksollsest nykvällä epäkeskopyörällä, jonka pyörmsnopeutta säädetään. A. Vameneva värähtely Helurn pokkeamaa tasapanoasemastaan ajan unktona lmasee helurn kertymäkulma θ(t) (huom. e hattua θ:n päällä). ässä työssä tutkttavan kertohelurn vamennus on hekkoa, jollon stä kuvaa yhtälö ˆ δ t θ t) = θ e sn(2π t ϕ). () ( ässä on kertymäkulman maksmarvo el ampltud (huom. hattu θ:n päällä) ajanhetkellä nolla el helahtelun käynnstyessä, δ on helurn vamennuskerron, ϕ on alkuehdosta rppuva vahe-ero ja on vamenevan värähtelyn taajuus. Yhtälön () sntekjä kuvaa jaksollsta värähtelyä tasapanoaseman molemmn puoln. Osa ˆ θ exp( δ t) kuvaa ajan unktona vamenevaa kertymäkulmaa. Vamenevan värähtelyn taajuus on 2 2 = ( 2π ) δ, (2) 2π mssä on värähteljän taajuus lman vamentavaa vastusvomaa.
URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE 2(7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 D Kertohelurn tapauksessa =, mssä D on helurn jousen palautuskerron (ks. esm. Momentt 2, s. 238) ja J on helurn htausmomentt sen helahdus- 2π J akseln suhteen (ks. esm. Momentt, s. 97 24). Värähtelytaajuuksa ja vastaavat jaksonajat ovat = ja =. (3) Vamenevan värähteljän akavako τ on aka, jonka kuluessa ampltud penenee e:nteen osaan alkuperäsestä arvosta (ks. yhtälön () ampltudtekjä). Värähtelyn vamennuskerron δ on akavakon kääntesarvo: δ =. (4) τ Vamennuksen vomakkuutta vodaan kuvata akavakon ta vamennuskertomen lsäks myös vamennussuhteella C, joka vodaan määrttää joko kahden peräkkäsen ampltudn suhteen avulla (C ) ta maksmampltudn ja n:nnen ampltudn suhteen avulla (C 2 ): ˆ n δ C = = e = ˆ θ τ θ e n+ ja C ˆ θ = θ 2 ˆ n / n. (5) Vamennuskertomen C :n ja C 2 :n tuls luonnollsest olla lkman yhtäsuuret hyvnkäyttäytyvälle värähteljälle. Värähtelyn vamennusta vodaan kuvata myös sen laatukertomella Q, joka on yhden värähdysjakson keskmääräsen värähtelyenergan suhde värähdysjakson akana värähteljästä postuvaan energaan. Laatukerron on stä suuremp, mtä paremmn värähtelyenerga sälyy, ts. mtä htaammn värähtely vamenee. Hekon vamennuksen tapauksessa laatukertomelle vodaan johtaa lauseke E π Q = 2π = π τ. (6) E δ B. Pakkovärähtely hävö Mekaanseen värähteljään vakuttava jaksollnen pakkovoma (säännöllsest tostuvat sysäykset) syöttää energaa värähteljälle kompensoden vamentaven vastusvomen aheuttama energahävötä. ällön sopvalla energan syöttötaajuudella värähteljä alkaa värähdellä pakkovoman tahdssa resonansstaajuudella r. 2 2 r = ( 2π ) 2δ. (7) 2π
URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE 3(7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 Esm. rppukenussa kenuvalle lapselle vodaan antaa lsävauhta sopvassa tahdssa kenahdusten tetyssä vaheessa, jollon kenumnen saadaan jatkumaan vamenematta ta sen ampltud vodaan jopa saada kasvamaan. Ilmötä kutsutaan resonanssks. Väärn ajotetulla vauhdnannolla tämä e onnstu. Resonansstlanteessa värähtelevän systeemn ampltud vo joskus kasvaa vomakkaast jopa kohtalokkan seurauksn (esm. acoma-joen sllan sortu vuonna 94 puuskttasen vomakkaan tuulen aheuttamassa resonanssssa). Lausekketa (2) ja (7) vertalemalla nähdään, että r < <. ässä työssä käytettävän kertohelurn tapauksessa värähtelyn ampltud rppuu pakkomomentn kulmataajuudesta ω seuraavan lausekkeen mukasest: ˆ θ = J Mˆ 2 2 2 2 ( ω ω ) + δ ω 4. (8) 3. yön suortus Yllä taajuudet on korvattu lausekkeen yksnkertasuuden vuoks vastaavlla kulmataajuukslla: ω = 2π ja ω = 2π, mssä on pakkomomentn taajuus. Pakkomomentt on harmonnen el muotoa M ( t) = Mˆ sn( ωt). ässä ˆM on pakkomomentn ampltud. Kun ampltud θˆ estetään pakkovoman taajuuden unktona, saadaan kuvan kaltanen kuvaaja, jonka muoto rppuu vamennuksesta el tekjästä δ yhtälön (8) nmttäjässä. Kuvaaja on lovemp pakkovoman taajuukslla, jotka ovat resonansstaajuutta r penempä, kun stä suuremmlla pakkovoman taajuukslla. yön onnstumsen edellytyksenä on, että mttaukset tehdään ertysen huolellsest. Lattetten käyttö- ja kytkentäohjeet ovat työpakalla, samon helur ja sen teholähde. Lsäks työssä tarvtaan kaks ylesmttara sekä kello joka mttajalle. 3..Pakkovärähtely ja resonanss Jaksollnen pakkomomentt saadaan akaan sähkömoottorn käyttämällä epäkeskokammella. Moottorn syötettävää jänntettä muutettaessa muuttuu moottorn kerrostaajuus ja samalla pakkomomentn taajuus. Nopeuteen verrannollnen vamentava momentt saadaan akaan syöttämällä sähkövrta kuparsen helurlevyn yhteydessä olevaan sähkömagneettn, jollon kuparlevyyn ndusotuu pyörrevrtoja,
URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE 4(7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 jotka aheuttavat nopeuteen verrannollsen vamennuksen. yön tämän osan havannosta prretään selostukseen kuvan kaltanen kuvaaja, josta määrtetään resonansstaajuuden arvo vrhearvoneen.. Sähkömagneetn sähkövrta säädetään valvojan lmottamaan arvoon. Sopva arvo on välllä 2 ma - 23 ma. Arvo 25 ma on ehdoton yläraja, jota e saa ylttää. Sähkövrran arvo muuttuu aluks heman kelan johtmen lämmetessä. Sen annetaan tasaantua tsestään ekä stä enää säädetä. asaantunut arvo merktään mustn. 2. Jänntettä kasvatettaessa pakkovoman taajuus kasvaa ja helurn ampltud kasvaa aluks, mutta resonansskohdan ohtuksen jälkeen se alkaa penentyä. Ensn tutktaan alustavast, mllä moottorn syötettävän jänntteen arvolla resonanss saavutetaan. utkmukseen valtaan jokn useammasta helursta, jotka kukn saavuttavat resonanssnsa er taajuukslla. Ensmmäseks jänntteeks säädetään 8,6 V ja jänntettä suurennetaan,2 V välen. Jolle värähtelyn ampltud muutaman havannon jälkeen ala kasvaa, aletaan resonansskohtaa etsä jänntettä lasken lähten jänntteestä 8,4 V. Nän haarukomalla etstään resonanssn kohta suurn prten. Jokasella jänntteen arvolla mtataan ensn helura heluttavan vvun edestakasesta lkkeestä jakson aka (vähntään) kahteen kertaan ja stten havataan tasaantunut ampltud el kertymäkulman suurn arvo θˆ. (Jos työtä tekee ryhmä, jokanen ryhmän jäsen mttaa akoja.) Jos akahavannot pokkeavat tosstaan paljon, tehdään lsämttaus, koska sllon on todennäkösest jossan mttauksessa tullut jokn vrhe. Selkeäst vrheellnen tulos hylätään. Havannosta luonnostellaan esm. tutkjan työkrjaan kuvaaja (θˆ jänntteen unktona), josta luetaan resonanssa lkman vastaava jännte. 3. Löydettyä resonansskohtaa vastaavan jänntteen molemmn puoln tehdään 5 havantoa lsää edellä mtattujen psteden välehn (esm. 9,5 V psteden 9,4 V ja 9,6 V väln jne.; yhteensä lsähavantoa) samalla tavalla kun kohdassa 2. avotteena on määrttää resonansstaajuus mahdollsmman tarkast ja samalla mtata mahdollsmman sst, kuvan kaltanen resonansskäyrä. 3.2.Vameneva värähtely Vamenevaa värähtelyä tutktaan käytetyllä helurlla lman pakkomomentta el nyt moottorn syötettävä jännte säädetään nollaan ja rrotetaan tonen johdn, mutta vamennusvrta jätetään entselleen. yön tämän osan havannosta prretään selostukseen puollogartmpaperlle kuvan 2 kaltanen kuvaaja, jossa estetään peräkkäset ampltudt ajan unktona, ja josta määrtetään vamenemsen akavako vrhearvoneen.. Helur pokkeutetaan tasapanoasemasta lähes nn ptkälle kun se kääntyy ja krjataan tämä äärasento ˆ θ (vrt. lauseke : ˆ θ on ampltudn arvo alkuhetkellä t = s, ts. ˆ θ = θ( t = s) ). Stten päästetään helur helahtelemaan ja mtataan vamenevan helahduksen jaksonaka vähntään kahteen
URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE 5(7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 4. ulosten kästtely kertaan. (yöryhmän kakk jäsenet mttaavat.) Jos ajat pokkeavat tosstaan paljon, tehdään lsämttaus kuten edellä. 2. Kuvaajaa 2 varten helur pokkeutetaan samaan äärasentoon ˆ θ kun edellä, päästetään se helahtelemaan ja krjataan peräkkäset ampltudn arvot (samalta puolelta kun lähtökulma!) ˆ θ ˆ θ ˆ θ ˆ, 2, L, n, θ n, kunnes ampltud on pen (alle 4). ehdään kaks onnstunutta mttaussarjaa lähten kummallakn kerralla samasta ˆ θ :n arvosta. 3.3.Vamenematon värähtely Myös vamenematonta värähtelyä vodaan tutka lkmääräsest työssä käytetyllä latteella, kun säädetään myös vamennusvrta nollaan. Helurn vamennus on tällön edellsn kohtn verrattuna hyvn pen, joten lkettä vodaan ptää vamenemattomana, vakka mm. ktkasta johtuva vamennus e elmnodu. Helur pokkeutetaan tasapanoasemasta, se päästetään helahtelemaan ja mtataan vamenemattoman helahduksen jaksonaka vähntään kahdest (työryhmän jokanen jäsen mttaa ajan). yöselostukseen laadtaan havannosta kuven ja 2 kaltaset graaset estykset. Ntä varten lasketaan havattujen jaksonakojen keskarvot: pakkovärähtelyn :n arvot kullakn käytetyllä jänntteellä, vamenevan helahtelun ja vamenemattoman helahtelun. Kutakn jaksonakaa vastaavat taajuudet lasketaan lausekkeden (3) perusteella. Vamenevan värähtelyn ampltudsarjosta lasketaan samon keskarvot peräkkäslle ampltudelle θˆ, mssä =, 2,, n. avallselle mm-paperlle laadtaan kuvan mukanen graanen estys helahdusampltudsta ˆ θ pakkomomentn taajuuden unktona. Ampltudaksellla mttaykskkönä on helurn astekon lukema (ykskötön, paljas luku). Kuvaajaan prretään käyrä havantopstetä myötällen ja huolellsest tasottaen. Käyrän hupun kohta merktään kuvoon pystykatkovvalla ja taajuusaksellta luetaan resonansstaajuus r. Käyrän hupun leveydestä arvodaan r :n tarkkuus d r. Kuvoon merktään lsäks selväst pystykatkovvon sekä vamenevan että vamenemattoman helahtelun taajuudet ja. Puollogartmpaperlle laadtaan jo työpakalla valvojan opastuksella graanen estys kohdassa 3.2. mtatusta vamenevan helahtelun ampltudesta θˆ ajan unktona sten, että lneaarsella vaaka-aksellla käytetään ajan ykskkönä värähdysakaa. Logartmselle pystyaksellle merktään havatut ampltudt. Pstestön mukasest prretään suora. Kuvaajasta ptäs tulla kuvan 2 kaltanen, mutta mttauspstetä on todennäkösest enemmän. Kuvaajan perusteella määrtetään edelleen valvojan opastuksella vamenemsen akavako τ ja arvodaan sen tarkkuus dτ. Akavakon kääntesarvo on helurn vamennuskerron δ. Kuvan 2 numeroarvot evät lty työssä käytettävn helurehn.
URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE 6(7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 Lopuks lasketaan helurn vamennussuhde C yhtälön (5) mukasest käyttäen kuvosta 2 määrtettyä τ:n arvoa ja mtattua helahdusakaa, sekä lasketaan helurn laatukerron Q yhtälöstä (6) havatun vamenemattoman värähtelyn taajuuden ja akavakon τ avulla. θ (mv. yks.) 2 3 4 5 6 7 t ( ) Kuva 2. Vamenevan värähtelyn ampltud ajan unktona. 5. Vrheenarvont Mtattujen helahdusakojen vrheks vodaan laskea kahden tehdyn mttauksen eron kymmenesosa. Mkäl akoja on mtattua useampa kun kaks, lasketaan vrhettä varten joko suurn pokkeama keskarvosta ta suurmman ja penmmän havannon erotus, jos halutaan olla varovasa. Kun helahdusakojen vrheet tunnetaan, vodaan taajuuksen vrherajat laskea seuraavan lausekkeen perusteella: d d, =,. (9) Yhtälön (4) mukaan akavakon ja vamennustekjän suhteellsen vrheen ylärajat ovat samat ja nlle vodaan arvoda ylärajat d :n avulla lausekkeesta dτ dδ d 2 τ δ d 2. ()
URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE 7(7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 Muut vrherajojen laskemsessa tarvttavat kaavat ovat seuraavat: dc C dδ + δ d () 6. Lopputulokset ja dq Q d + dτ. (2) τ 7. Krjallsuutta Lopputuloksna estetään kakken määrtettyjen suureden arvot vrherajoneen:. Mtatut taajuudet, sekä kuvaajasta määrtetty r vrherajoneen. Lsäks verrataan havattujen taajuuksen kesknästä järjestystä nden odotettuun järjestykseen huomoden mttaustarkkuus. 2. Akavako τ ja vamennuskerron δ vrherajoneen. 3. Vamennussuhde C sekä laatukerron Q vrherajoneen. Inknen,Pentt Mannnen, Rejo uoh, Jukka. Momentt - 2, Insnööryskka. Keuruu, Otavan krjapano.