Tilastollinen todennäköisyys

Transkriptio

1 Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole symmetrisiä. Määritelmä, tilastollie todeäköisyys: Kokeellisesti hakittua todeäköisyyde arvoa saotaa tilastolliseksi todeäköisyydeksi. Eli tilastoaieistosta laskettua suhteellista frekvessiä kutsutaa tilastolliseksi todeäköisyydeksi. Määritelmä, simuloiti: Simuloiilla tarkoitetaa käytäö tilatee/tapahtuma jäljittelemistä esim. tietokoetta hyödytäe. Esimerkki: Nastaa heitetää kerra. Millä todeäköisyydellä se pudottuaa o kärki a) ylöspäi b) alaspäi a) Todeäköisyys riippuu astasta heitetää astaa riittävä mota kertaa ja tutkitaa mitä lukua alkeistapaukse kärki ylös frekvessi f ky jaettua kaikkie heittoje lukumäärällä lähestyy. Kyseie lukuha o suhteellie frekvessi f ky. Taulukoiti ataa f ky f 0,19 ku, ky Eli P "kärki ylös" = 0,19 b) Alkeistapaukse kärki alas frekvessi f ka o 1 f ky, jote P "kärki alas" = 1 P "kärki ylös" = 1 0,19 = 0,381 f ky , , , , , , ,19 1

2 Määritelmä, tapahtuma tilastollie todeäköisyys: Tapahtuma A tilastollie todeäköisyys o luku, jota suhteellie frekvessi lähestyy, ku koetta toistetaa yhä uudellee, siis tapahtuma A esiitymiskertoje lukumäärä kokee toistoje lukumäärä Huomaa, että tämä ei ole tarkka todeäköisyyde arvo, vaa tilastollie arvio tapahtuma todeäköisyydelle. Jos tapahtuma A koostuu äärellisestä määrästä alkeistapauksia, ii se todeäköisyys o suotuisie alkeistapauksie todeäköisyyksie summa. Esimerkki: Suomalaisia kuuluu veriryhmii seuraavasti: 44% A, 17% B, 8% AB ja 31% 0. Mikä o todeäköisyys, että satuaisesti valittu suomalaie kuuluu veriryhmii A tai B? Nyt perusjoukko E = A, B, AB, 0 ja tapahtuma T = A, B P T = + P B = 0,44 + 0,17 = 0,1 Edellä käydyt tilastollise todeäköisyyde omiaisuudet atavat aihee todeäköisyyde laajempaa määrittelyy: Määritelmä, todeäköisyys äärellisessä perusjoukossa: Äärellisessä perusjoukossa E = {e 1, e 2, e 3,, e } määritelty fuktio P o todeäköisyysfuktio, jos seuraavat ehdot täyttyvät: 1) Fuktio P arvot eli alkeistapauste todeäköisyydet ovat ei-egatiivisia reaalilukuja P e 1, P e 2, P e 3,, P e 0. 2) Kaikkie alkeistapauste todeäköisyyksie summa o 1. Toisi saoe, varma tapahtuma todeäköisyys o 1 P e 1 + P e 2 + P e P e = 1 Tapahtuma A = {a 1, a 2, a 3,, a m } todeäköisyys o suotuisie alkeistapauste a 1, a 2, a 3,, a m todeäköisyyksie summa = P a 1 + P a 2 + P a P a m. Huomaa erityisesti 1) kohda ei-egatiivisuus, mikä tarkoittaa sitä, että jolleki alkeistapaukselle e k voi olla P e k = 0. Kuiteki jollaki toisella tod.äk.fuktiolla Q voi olla Q e k > 0 (sama alkeistapaus). 2

3 Esimerkki 1: Olkoo E = 1,2,3,4 ja P 1 = 0,1, P 2 = 0,2, P 3 = 0,3 ja P 4 = 0,4 a) Osoita, että P o todeäköisyysfuktio b) Laske ku A = 1,3 a) Nyt P 1, P 2, P 3, P 4 0 ja summa P 1 + P 2 + P 3, + P 4 = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 = 1 b) = P 1,3 = P 1 + P 3 = 0,1 + 0,3 = 0,4 Esimerkki 2: E = {e 1, e 2, e 3,, e 9 } Tiedetää, että: P e 1 = 0,13, P e 2 = 0,05, P e 3 = 0,05, P e 4 = 0,47, P e 5 = 0,01, P e = 0,03, P e 7 = 0,2, P e 8 = 0,0, P e 9 = 0 Tällöi P o tod.äk.fuktio, sillä P e 1, P e 2, P e 3,, P e 9 0 ja P e 1 + P e P e 9 = 1. P e 9 = 0, mutta Q e 9 = 0,19 e 9 e 2 e 1 e = a 2 e 8 e 5 = a 1 = a 4 A = {a 1, a 2, a 3, a 4 } = {e 2, e, e 3, e 8 } Tapahtumalle A pätee: e 4 e 7 e 3 = P a 1 + P(a 2 )+ P(a 3 )+ P(a 4 ) = P(e 2 )+ P(e )+ P(e 3 )+ P(e 8 ) = 0,19 = a 3 3

4 Tilastollie todeäköisyys (jatkuu): Ku tarkastellaa tiety ilmiö alkeistapausta ja se esiitymiskertoja, ii suoritetaa useita ilmiöö liittyviä satuaiskokeita ja merkitää saadut tulokset muistii. Pitkissä koesarjoissa kuki alkeistapaukse esiitymiskertoje suhde tehtyihi satuaiskoekertoihi lähestyvät alkeistapaukse todeäköisyyttä sitä paremmi mitä eemmä suoritetaa satuaiskokeita. Satuaisilmiö Alkeistapaus Satuaiskokee tulos Koliko heitto Saadaa kruua Saadaa klaava Kruua Klaava 1. heitto 2. heitto 3. heitto 4. heitto 5. heitto. heitto 7. heitto 8. heitto kruua kruua kruua klaava klaava kruua kruua klaava 9. heitto 10. heitto 11. heitto 12. heitto 13. heitto 14. heitto. heitto klaava kruua klaava klaava klaava klaava kruua Tapahtuma, joka koostuu äärellisestä määrästä alkeistapauksia, todeäköisyys o suotuisie alkeistapauste todeäköisyyksie summa. Alkeistapaukse ja tapahtuma todeäköisyyttä merkitää P tapahtuma = jotai, esim. P kr. = 0,5. Frekvessillä tarkoitetaa alkeistapaukse esiitymiskertoje lukumäärää (esiitymistiheyttä), merkitää f(alkeistapaus), esim. f(kr. ) = 17. Kaikkie satuaiskokeide lukumäärää merkitää kirjaimella, esim. = 34. Alkeistapaukse kruua suhteellie frekvessi o f = 17 0,48 P(kr. ). 34 f(kr. ) 1. heitto 2. heitto 3. heitto 4. heitto kruua kruua kruua klaava 5. heitto. heitto 7. heitto 8. heitto klaava kruua kruua klaava 9. heitto 10. heitto 11. heitto 12. heitto klaava kruua klaava klaava 13. heitto 14. heitto. heitto klaava klaava kruua f 1 1 = = , 13 0,4 14 0, ,

5 Geometrie todeäköisyys Ku perusjoukossa (otosavaruudessa) E o ääretö määrä alkeistapauksia, ii klassie todeäköisyys ei toimi. Tällöi hyödyetää tilastollista todeäköisyyttä. Moesti tilastollise todeäköisyyde selvittämie o aikaa vievää ja ehkä haastavaaki. Tällöi voidaa hyödytää satuaisilmiöö (satuaiskokeesee) liittyvää geometriaa eli geometrisia mittoja, kute pituuksia, pita-aloja, tilavuuksia todeäköisyyksiä laskettaessa/määritettäessä. Määritelmä, geometrie todeäköisyys: Jos perusjoukko E ja se tapahtuma A voidaa tulkita taso alueiksi E ja A, ii tapahtuma A geometrie todeäköisyys o äide alueide pita-aloje M A ja M E suhde = M(A) M(E). Määritelmä, geometrie todeäköisyys (jatkuu): Jos perusjoukko E ja tapahtuma A voidaa tulkita jaoiksi tai 3-ulot. kappaleiksi, ii tapahtuma A geometrie todeäköisyys määritellää vastaavasti jaoje pituuksie tai 3-ulot. kappaleide tilavuuksie suhteea. Yleisesti = M(A) jouko A geometrie mitta = M(E) jouko E geometrie mitta Huom! Geometrista todeäköisyyttä hyödyetää ku perusjoukko o ääretö, mutta jollaki tavoi mitattavissa. (Mita määritelmä?) Esimerkki: Tarkastellaa taso yksikköympyrä (säde o siis 1) pisteitä. Niitä o äärettömä paljo. Mikä o todeäköisyys, että umpimähkää ympyrältä valittu piste osuisi kuvassa äkyvää sektorii? VAST: Pita-aloje suhteesta saadaa sektori p. a. ympyrä p. a. = 0 30 = 1 0,1 0 5