HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

Transkriptio

1 HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X, var X 4 X X Määritellää Y X 3 3 Laske EX, CovX, EY sekä CovY Vertaa tätä TN IIa -kurssi Harjoitukse 5 tehtävää 4 Ratkaisu: Odotusarvo EX o odotusarvoista EX ja EX muodostettu pystyvektori EX EX EX Koska X ja X ovat riippumattomia, pätee CovX, X 0 Nyt CovX V arx CovX, X CovX, X V arx Muuokse odotusarvo ja kovariassimatriisi lasketaa moiuloitteisessa tapauksessa hyvi samaa tapaa kui yksiloitteisessa tapauksessa katso moistee yhtälöt 97 ja lause 9 EY EX Edellee kovariassimatriisi CovY saadaa kertomalla X: kovariassimatriisia oikealta muuoksessa käytety lieaarikuvausmatriisi traspoosilla ja vasemmalta lieaarikuvausmatriisilla itsellää CovY CovX Seuraava tehtävä o klassikko ja selittää, miksi periteie regressiosuora sovitus o erikoistapaus parhaasta lieaarisesta eusteesta Oletetaa, että käytettävissä o aieisto, y,,, y, jossa skalaari i o selittävä muuttuja arvo ja skalaari y i o selitettävä muuttuja arvo mitattua i:essä otosyksikössä Tällöi muuttuja y arvoja usei selitetää muuttuja arvo avulla muotoa y a + b oleva regressiosuora avulla, ts regressiosuora

2 ataa selittävä muuttuja arvoa i vastaava eustee tai sovittee a + b i Regressiosuora kertoimet lasketaa aieistosta kaavoilla i i y i ȳ b j, a ȳ b j Tässä ja ȳ ovat otoskeskiarvot, eli i i ja ȳ i y i Luoollisesti oletamme, että kertoime b kaava imittäjä ei ole olla Olkoot X ja Y diskreettejä satuaismuuttujia site, että PX, Y, y pari, y esiitymiskertoje määrä aieistossa Laske jakso 76 mukaise parhaa lieaarise eustee atama euste satuaismuuttujalle Y auki, ja totea että tällöi saamme yllä maiitu regressiosuora yhtälö Ratkaisu: Halutaa varmistaa, että keskieliövirhee mielessä paras Y : lieaarie euste EY + CovX, Y X EX V arx ataa regressiosuora yhtälö aetuilla X : ja Y : tiedoilla Lasketaa esi EX, EY, VarX ja CovX, Y Odotusarvo määritelmä ojalla EY y i {y i } P Y y i y i y i {y i } yi y i Sama päättely pätee sm:aa X Jatketaa kovariassii: i y i ȳ CovX E[X EXY EY ] P X, Y i, y i i EXy i EY i P X, Y i, y i i y i ȳ i y i ȳ i i X : variassi saadaa tästä muistamalla, että VarX CovX, X Nyt käyttämällä edellä laskettuja kaavoja, voidaa kirjoittaa parhaa lieaarise eustee kaava auki: EY + CovX, Y i V arx X EX ȳ + i y i ȳ i i ȳ a + b i i y i ȳ i + i ku a ja b ovat kute tehtäväaossa i i y i ȳ i i 3 Olkoot X ja Y riippumattomia satuaismuuttujia, joista kumpiki oudattaa tasajakaumaa U0, Toisi saoe vektorilla X, Y o tasajakauma yksikköeliössä Määritellää yt uusi satuaisvektori U, V lieaarimuuoksilla U X 3Y, V X + 4Y a Kirjoita muuos matriisikertolasku muotoo, ts muodosta sellaie eliömatriisi A, että U, V AX, Y, missä X, Y ja U, V ymmärretää pystyvektoreiksi

3 b Tutki mihi yksikköeliö pisteet X, Y kuvautuvat muuoksessa Vihje: kuvajoukko o eräs suuikas, ja voit aloittaa esim tutkimalla mihi eliö kulmat kuvautuvat Laske muuokse Jacobi determiatti ja päättele siitä vektori U, V tiheysfuktio Ratkaisu: a Huomataa, että U V 3 4 X Y X 3Y, X + 4Y jolloi lieaarikuvausta vastaava eliömatriisi o 3 A 4 b Aluksi huomataa, että deta 4 eli matriisi A o käätyvä ja se kääteismatriisi o 4 A A siis määrittää A: kääteiskuvaukse Huomataa, että U X 3Y X A V X + 4Y Y Siis U ja V voidaa määritellä kuvauste u g X, Y X 3Y ja v g X, Y X +4Y kautta ja iide kääteiskuvaukset ovat h U, V 4u + 3v 4 4 ja h U, V u + v Näistä kaikki ovat jatkuvasti derivoituvia, siis kuvaus A 4 4 o diffeomorfismi Tutkitaa seuraavaksi mihi kuvaus A kuvaa yksikköeliö pisteet laskemalla matriisikertolaskut A 0, 0 T, A 0, T, A, 0 T ja A, T Pisteiksi saadaa 0,0, -3,4,, ja -,6 Lieaarikuvaukse A Jakobi determiatti o matriisi A determiati itseisarvo kääteisluku: 4 deta 4 deta deta 4 Tasajakauma alueessa tiheysfuktio o aluee mita kääteisluku, eli tässä tapauksessa ytf f X,Y o vakiofuktio yksikköeliössä Täte lausee 93 mukaa f U,V u, v f X,Y, y 4 4, ku u, v B ja B o pisteide 0,0, -3,4,, ja -,6 määräämä suuikas 4 Jatkoa tehtävää 3 Laske satuaisvektori U, V odotusarvo ja kovariassimatriisi Voit käyttää joko kovariassi bilieaarisuutta tai kovariassi muuoskaavaa 79 Laske vielä U : ja V : korrelaatiokerroi Ratkaisu: Ykköstehtävä tapaa odotusarvovektori saadaa laskettua käyttämällä hyväksi yksittäiste kompoettie odotusarvoje lieaarisuutta Muistetaa myös, että U0, -jakauma odotusarvo o EU EU 3EV EU, V EV EU + 4EV 3

4 Seuraavaksi laskemme kovariassimatriisi CovX, Y ja muuokse A uude kovariassimatriisi Esiksi muistetaa, että V arx V ary, ja koska X ja Y ovat riippumattomia, pätee CovX, Y Nyt kovariassi muutamie käy helposti: CovU, V 3 CovX, Y Kovariassimatriisista saamme suoraa satuaismuuttujie variassit ja kovariassit Korrelaatiokertoimeksi ρ saadaa ρ covu, V V aru V arv Olkoo X ja Y satuaismuuttujia, joide yhteistiheysfuktio o Määritellää satuaismuuttujat f X,Y, y 8y { 0 < <, y > 4 } U X, V X 4Y a Laske satuaismuuttujie U ja V yhteistiheysfuktio b Ovatko U ja V riippumattomia? c Sekä U että V riippuvat samasta satuaismuuttujasta X Oko b kohta tämä tiedo kassa mielestäsi sopusoiussa vai ristiriidassa? Ratkaisu: a Olkoot U g, y X ja V g, y X Molemmat kuvaukset 4Y ovat hyvi määriteltyjä Y 0, sekä jatkuvie kuvauste tuloia ja summia jatkuvia Lisäksi molempie kuvauste arvojoukko o 0, g : tapauksessa tämä o ilmeistä, g : jälkimmäie termi voidaa taas ottamalla lim,y, 4 kasvattaa mielivaltaise lähelle ykköstä tai ottamalla lim 0 pieetää ollaa Näillä kuvauksilla o olemassa kääteisfuktiot h u, v u ja h u, v u Taas huomataa, että ämä ovat hyvi määriteltyjä ja jatkuvia Lisäksi v o syytä kiiittää huomiota äide arvojoukkoihi: h saa arvot 0,, ku taas h : arvojoukko o koko R + Lisäksi sekä kuvauste että äide kääteiskuvauste osittaisderivaatat ovat jatkuvia, jote g : 0, R + 0,, g, y g, y, g, y o diffeomorfismi

5 Lasketaa seuraavaksi kuvaukse h : 0, 0, R +, hu, v h u, v, h u, v Jakobiaai käyttämällä apua kuvaukse osittaisderivaatoista koostuvaa matriisia: 0 J h u, v det u v u v u v Nyt käyttämällä satuaismuuttuja muutokaava yleistystä useampaa ulottuvuutee voimme laskea yhteistiheysfuktio: f V,U v, u f X,Y h u, v, h u, v J h u, v { 0 < u <, 0 < v < } u u { 0 < u <, 0 < v < } 8 u v v { 0 < u <, 0 < v < } Kyseessä o siis tasajakauma alueessa b f U,V u, v { 0 < u < } { 0 < v < }, eli ytf voidaa faktoroida kahde yhde muuttuja ei-egatiivise fuktio tuloksi Sm:t U ja V ovat siis riippumattomia c Tieto ei ole ristiriidassa b-kohda kassa Tehtävä 6 tarvittavat määritelmät löytyvät moistee luvusta 8 6 Satuaismuuttujilla X ja Y o jatkuva yhteisjakauma yhteistiheysfuktiolla f X,Y, y 60 y { 0 < y } a Laske ehdollie tiheys f X Y y, ku 0 < y < b Laske ehdollie tiheys y f Y X y, ku 0 < < c Laske m yf Y X y dy, ku 0 < < Arvo m o yt ehdollise jakauma odotusarvo eli s ehdollie odotusarvo EY X Huomaa, että kurssilla tulee myös käyttöö myös käsite EY X mx ja ämä käsitteet ja site myös merkiät eivät tarkoita samaa asiaa Tätä käsitellää luvussa 84 Ratkaisu: Itegroimalla voidaa ratkaista reuatiheysfuktiot f Y y 60y 4 { 0 < y < } ja f X 5 { 0 < < } Nyt: a f X Y y f X,Y, y f Y y 60 y { 0 < y } 60y 4 { 0 < y < } 3 { 0 < y } 8y3 b f Y X y f X,Y, y f X 60 y { 0 < y } 5 { 0 < < } 8y { 0 < y } c m yf Y X y 8y 3 3