HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät Ratkaisuehdotuksia

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät Ratkaisuehdotuksia"

Transkriptio

1 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon θ positiivinen parametri, ja asetetaan 2θ 1 y exp y 2 /θ), kun y > 0 fy; θ) = 0, muuten Oletetaan, että Y 1,..., Y n ovat riippumattomia ja noudattavat kukin yllä mainittua jakaumaa. Muodosta tämän mallin uskottavuusfunktio sekä määritä suurimman uskottavuuden estimaatti θ. Ratkaisu: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa pyrin kirjoittamaan jokaisen tehtävän kannalta merkityksellisen) kohdan kirjoitettamaan näkyviin. Vaikenen muista kohdista :) Tehtävänä on on siis selvittää a) mallin uskottavuusfunktio Lθ; y) = cy)f Y y; θ) sekä b) suurimman uskottavuuden estimaatti θy) eli su-estimaatin. Jälkimmäinen on uskottavuusfunktion tai log-uskottavuusfunktion lθ; y) maksimikohta, joten tarvitsemme ensin uskottavuusfunktion L ja siten tilastollisen mallin määräävän yhteistiheysfunktion f Y. Voimme lähestyä tehtävää seuraavalla tavalla: c) Määräämme tilastollisen mallin yhteistiheysfunktion f Y d) Määräämme uskottavuusfunktion Lθ; y) e) Määräämme log-uskottavuusfunktion lθ; y) f) Tarkastelemalla derivaattaa l θ; y) ja sen käytöstä etsimme maksimikohdan eli su-estimaatin. Nyt riippumattomuuden ja potenssin laskusääntöjen nojalla n n f Y y; θ) = fy i ; θ) = 2θ 1 y i exp yi 2 /θ)1{ y i > 0 } = 2 n θ n n ) n y i exp yi 2 /θ)1{ y i > 0 kun i = 1,..., n } joten olemme määränneet yhteistiheysfunktion f Y. Erään uskottavuusfunktion saamme tästä jättämällä pelkästään aineistosta riippuvat tekijät sekä myös vakiot) pois, joten päättelemme, että n Lθ; y) = θ n exp yi 2 /θ)1{ y i > 0 kun i = 1,..., n } = θ n exp ty)/θ)1{ y i > 0 kun i = 1,..., n }

2 kun merkintöjen lyhentämiseksi esittelemme tunnusluvun ty) = i y 2 i. Olemme nyt määränneet pyydetyn mallin uskottavuusfunktion. Koska voimme olettaa vallan hyvin, että aineisto on järkevä, niin voimme ihan hyvillä mielin myös unohtaa aineistosta riippuvan indikaattorifunktion ja vain lyhyesti kirjoittaa uskottavuusfunktion olevan Lθ; y) = θ n exp ty)/θ) Jatkamme kohti su-estimaattia. Jos aineisto y ei ole järkevä eli jollakin i on havainto y i 0), niin su-estimaattia ei ole yksikäsitteisenä olemassa vaan kaikki parametrin arvot ovat yhtä uskottavia. Joten oletamme jatkossa, että aineisto on järkevä eli oletamme y i > 0 jokaisella i, joten indikaattoriosan voi unohtaa myös. Määräämällä log-uskottavuusfunktion lθ; y) ja suoraan laskemalla lθ; y) = log Lθ; y) = n log θ ty)/θ. Nyt voimmekin lähteä hakemaan log-uskottavuusfunktion maksimia ja derivoidaan siksi parametrin θ suhteen l θ) = n/θ + ty)/θ 2. Maksimit ja minimit löydämme etsimällä nollakohdat, eli laskemalla l θ) = n/θ + ty)/θ 2 = 0 nθ + ty) = 0 θ = ty)/n. Löysimme yhden nollakohdan, joka voisi siis olla etsitty log-uskottavuusfunktion maksimikohta. Tämän voimme varmistaa kahdella tapaa: tarkastelemalla derivaatan merkkiä tai toisen derivaatan avulla. Derivaatan merkin tarkastelu hieman yleistää nollakohdan hakemista l θ) 0 n/θ + ty)/θ 2 0 nθ + ty) 0 θ ty)/n. Havaitsemme siis, että log-uskottavuusfunktio l kasvaa, kun θ ty)/n ja vähenee, kun θ ty)/n, joten θ = θy) n = ty)/n = yi 2 /n on haettu su-estimaatti. Olisimme voineet päätellä kohdan ty)/n maksimikohdaksi tarkastelemalla toista derivaatan merkkiä tässä kohdassa. Nyt joten l θ) = n/θ 2 2ty)/θ = θ nθ 2ty)) l ty)/n) = ty)/n) nty)/n 2ty) ) = ty) n ty)) = ty) 2 n < 0, mikä kertoo luentojen mukaan, että ty)/n on maksimikohta, minkä tosin tiesimmekin jo. 2. Olkoon t 1, t 2, t ) = 1, 2, ), olkoon Y 1, Y 2 ja Y kolme riippumatonta eksponenttijakautunutta satunnaismuuttujaa ja Y i Expt i /µ) missä µ > 0. Näytä, että estimaattori T = Y 1 + 2Y 2 + Y

3 on parametrin µ harhaton estimaattori. Onko T täystehokas estimaattori? Perustele vastauksesi). Ratkaisu: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen tarvittava) kohta on kirjoitettu näkyviin. Taas tehtävässä on kaksi osaa: a) tulisi näyttää estimaattorin harhattomuus ja b) tulisi selvittää, onko estimaattori täystehokas Määritelmän mukaan estimaattori T on parametrin µ harhaton estimaattori, jos E µ T = µ jokaisella µ > 0. Tämä seuraa mukavasti laskemalla, sillä odotusarvon lineaarisuuden nojalla E µ T = E µ Y 1 + 2Y 2 + Y = E µy 1 + 2E µ Y 2 + E µ Y Koska tehtävänannon mukaan Y i Expt i /µ), niin E µ Y i = µ/t i, joten E µ T = µ + 2µ/2 + µ/ eli T on harhaton eli näytimme kohdan a)). = µ + µ + µ Kohta b) vaatii hieman lisää. Ensiksi tiedämme, että informaatioepäyhtälön nojalla var µ U 1 ιµ) on voimassa kaikilla parametrin µ harhattomilla estimaattoreilla ja estimaattori U on täystehokas, jos epäyhtälön alaraja tavoitetaan, eli jos var µ U = 1 ιµ). Toinen tapa ajatella on että estimaattori on täystehokas, jos sen teho on 100%, kun teho määritellään osamääränä teho U = 1/ ιµ) var µ U 100%. Riippumatta ajattelutavasta, on meidän siis selvittävä: c) mikä on var µ T? d) mikä on ιµ)? e) ja onko var µ T = 1/ ιµ)? Aloitetaan kohdasta c). Nyt riippumattomuuden ja varianssin laskusääntöjen mukaan var µ T = var 1 µ Y 1 + 2Y 2 + Y ) ) = 1 varµ Y var µ 2Y 2 ) + var µ Y ) ) = 1 9 varµ Y var µ Y var µ Y ). = µ

4 Koska tehtävänannon mukaan Y i Expt i /µ), niin var µ Y i = µ 2 /t 2 i, joten ) var µ T = 1 varµ Y var µ Y var µ Y = 1 9 Olemme siis selvittäneet kysymyksen c). µ 2 + 4µ 2 / µ 2 / 2) = 1 9 µ2 + µ 2 + µ 2 ) = µ2. Kohdan d) selvittämiseen tarvitsemme Fisherin informaation sekä aineistosta havaitun informaation) määritelmää ιµ) = E µ jµ; Y) = E µ l µ; Y)) Tarvitsemme siis vielä tilastollisen mallin f Y, jotta voimme selvittää log-uskottavuusfunktion l. Nyt tehtävänannon mukaan t i f Y y; µ) = f Yi y i ; µ) = µ exp t iy i /µ)1{ y i > 0 } = cy)µ exp t i y i /µ) missä cy) riippuu vain aineistosta. Voimme siten valita uskottavuusfunktioksi ja log-uskottavuusfunktioksi lµ; y) Lµ; y) = µ exp wy)/µ) lµ; y) = log µ wy)/µ, missä tunnusluku wy) = t i y i. Derivoimalla kahdesti parametrin µ suhteen näemme, että l µ; y) = /µ + wy)/µ 2, l µ; y) = /µ 2 2wy)/µ. ja joten Fisherin informaatio on siten ιµ) = E µ /µ 2 + 2wY)/µ ) = /µ 2 + 2E µ Y 1 + 2Y 2 + Y )/µ Siispä havaitsemme, että = /µ µ/µ = /µ 2 joten estimaattori T on täystehokas. var µ T = µ2 = 1 ιµ),. Olkoon Y 1,..., Y n Pµ) Poisson-jakautuneita ja riippumattomia havaintoja vastaavia satunnaismuuttujia. Etsi tässä mallissa parametrille µ reaaliarvoinen tyhjentävä tunnusluku. Ratkaisu: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen tai lähes jokainen) kohta on kirjoitettu näkyviin. Määritelmän mukaan tunnusluku T = ty) on parametrin µ tyhjentävä tunnusluku, jos satunnaisvektorin Y ehdollinen jakauma ehdolla T = t ei koskaan riipu parametrista µ. Tiedämme lisäksi, että tämä on yhtäpitävää faktorointikriteerin kanssa,

5 jonka mukaan tunnusluku ty) on tyhjentävä tunnusluku jos ja vain jos jollakin tunnusluvulla hy) ja jollakin gt; µ) voimme jakaa yhteistiheysfunktion tuloksi kaikilla aineistoilla y ja µ > 0 f Y y; µ) = hy)gty); µ) Tätä varten tarvitsemme tilastollisen mallin määräävän yhteispistetodennäköisyysfunktion f Y. Koska Y i Pµ) ja havainnot ovat riippumattomia, niin f Y y; µ) = n e µ µ y i /y i!1{ y i = 0, 1, 2,... } ) = e nµ n y i! ) 1 µ yi 1{ y i = 0, 1, 2,... jokaisella i } Jos merkitsemme ty) = n y i ja yhdistämme kaikki vain aineistosta riippuvat tekijät yhteen, eli jos merkitsemme hy) = n y i! ) 1 1{ yi = 0, 1, 2,... jokaisella i }, voimme kirjoittaa edellisen muodossa f Y y; µ) = e nµ hy)µ ty) = hy)gty); µ) kun merkitsemme gt; µ) = e nµ µ t. Olemme siten saaneet hajotettua yhteispistetodennäköisyysfunktion f Y faktorointikriteerin mukaiseksi tuloksi, joten voimme todeta, että tunnusluku ty) = y i on parametrin µ tyhjentävä tunnusluku. Koska ty) on lisäksi reaaliarvoinen, olemme löytäneet erään reaaliarvoisen parametrin µ tyhjentävä tunnusluvun. Huomaamme myös, että mikä tahansa tunnusluku αty) jollakin vakiolla α R kävisi myös vallan mainioisti, joten esimerkiksi myös otoskeskiarvo y kävisi myös. 4. Oletetaan, että havaintoja vastaavat satunnaismuuttujat Y 1,..., Y n ovat riippumattomia ja noudattava kukin samaa jatkuvaa jakaumaa, jonka tiheysfunktio on gammajakauman erikoistapaus ja θ on positiivinen parametri. fy; θ) = 1 2 θ y 2 exp y/θ) 1{ y > 0 } a) Määrää mallin Fisherin informaatio ιθ). vihje: satunnaismuuttujan Y i odotusarvo saadaan gammajakauman avulla suoraan ilman integrointia) b) Halutaan testata nollahypoteesia H 0 : θ = θ 0 kaksisuuntaista vastahypoteesia H 1 : θ θ 0 vastaan. Johda Raon pistemäärätestisuure. Ratkaisu: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen tai lähes jokainen) kohta on kirjoitettu näkyviin. Tehtävän a)-kohdan periaate on sama kuin tehtävässä 2, eli määrätään ensin loguskottavuusfunktio, sitten määrätään tämän avulla aineistosta havaittu informaatio ja lopuksi lasketaan sen odotusarvo eli Fisherin odotettu) informaatio.

6 Koska havaintoja y i vastaavat satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, joten n n f Y y; θ) = fy i ; θ) = 1 2 θ yi 2 exp y i /θ) 1{ y i > 0 } ) n = cy)θ n exp y i /θ) = cy)θ n exp ny/θ) missä cy) riippuu vain aineistosta ja y on otoskeskiarvo. Kunhan aineisto y on järkevä eli y i > 0 kullakin i), voimme todeta, että eräs uskottavuusfunktio on ja log-uskottavuusfunktio on Lθ; y) = θ n exp ny/θ) lθ; y) = n log θ ny/θ. Derivoimalla kahdesti parametrin θ suhteen saamme lausekkeet l θ; y) = n/θ + ny/θ 2 ja l θ; y) = n/θ 2 2ny/θ joten aineistosta havaittu informaatio jθ; y) on jθ; y) = n/θ 2 + 2ny/θ. Fisherin informaatioksi ιθ) saamme siten ιθ) = E θ jθ; Y) = E θ n θ + 2nY ) = n 2 θ θ + 2n 2 θ E θy, missä ensimmäinen yhtäsuuruus oli määritelmä Fisherin informaatiolle ja viimeisessä sovelsimme vain lineaarisuutta ja tietoa E θ β = β vakioilla β. Vielä pitäisi laskea otoskeskiarvon odotusarvo E θ Y = E θ n 1 n ) Y i n = n 1 E θ Y i = n 1 n E θ Y 1 = ne θy 1 n = E θ Y 1 ja tässä laskussa sovelsimme jälleen kerran lineaarisuutta sekä tietoa, että satunnaismuuttujat Y i ovat samoin jakautuneita, joten niiden odotusarvot ovat samoja. Vielä tulisi laskea satunnaismuuttujan Y 1 odotusarvo. Tehtävänannossa on kerrottu satunnaismuuttujan tiheysfunktio, joten voisimme käyttää määritelmää ja laskea E θ Y 1 = θ y exp y/θ)dy Jos emme tuntisi ylläolevaa tiheysfunktiota paremmin, voisimme laskea tämän muuttujanvaihdolla x = y/θ ja sen jälkeen integroimalla osittain muutaman kerran. Tunnistamme kyllä ylläolevan integraalin integroitavan funktion olevan vakiokerrointa vaille gammajakautuneen satunnaismuuttujan tiheysfunktioksi, joten paljon parempi tapa olisi integroida tilastotieteilijän tapaan, eli etsiä sopiva vakio c > 0, jotta E θ Y 1 = c P θ Z > 0) = c. missä Z on jokin gammajakautunut satunnaismuuttuja. Mutta vielä helpompi on todeta, että tehtävänannonkin mukaan Y 1 Gκ, λ) joillakin κ > 0 ja λ > 0, joten tiedämme E θ Y 1 = κ/λ,

7 eli kunhan selvitämme mitkä κ ja λ ovat, on odotusarvo selvitetty. Koska tehtävänannon tiheysfunktio ja yleinen gammajakauman tiheysfunktio ovat fy; θ) y 2 exp y/θ) ja fy; κ, λ) y κ 1 exp λy) joten päättelemme, että tiheysfunktiot ovat samat, jos ja vain jos κ 1 = 2 ja λ = 1/θ. Siispä κ = ja λ = 1/θ eli Y 1 G, 1/θ) ja siten E θ Y 1 = κ λ = 1/θ = θ. Olemme nyt saaneet Fisherin informaation viimeisen palasen laskettua, joten ιθ) = n θ + 2n 2 θ E θy = n θ + 2n 2 θ E θy 1 = n 2n θ + θ2 θ eli löysimme a)-kohdassa kysytyn Fisherin informaation. = n θ 2 Kohdassa b) tehtävänannossa pyydettiin johtamaan Raon pistemäärätestisuure, kun haluaisimme testata yksinkertaista nollahypoteesia H 0 : θ = θ 0, kun vastahypoteesi on kaksisuuntainen H 1 : θ θ 0. Luentomonisteen perusteella voimme soveltaa siten kumpaa vain Raon testisuuretta u 1/2 y) tai uy). Jos käyttäisimme ensimmäistä, niin testin havaittu merkitsevyystaso laskettaisiin laskemalla kun taas käyttämällä jälkimmäistä p = P θ0 u 1/2 Y) u 1/2 y) ), p = P θ0 uy) uy)), mutta kumpikin antaa luonnollisesti samat havaitut merkitsevyystasot. Raon pistemäärätestisuure u 1/2 on luentomonisteen mukaan u 1/2 y) = l θ 0 ; y) ιθ 0 ) ja uy) on tämän neliö eli uy) = u 1/2 y)) 2 ) Näemme siis, että tarvitsemme pistemääärän l θ 0 ; y) sekä Fisherin informaation ιθ 0 ), mutta laskimme nämä jo aiemmin, joten u 1/2 y) = l θ 0 ; y) ιθ 0 ) = n/θ 0 + ny/θ0 2 n θ 2 0 = n θ 2 0 θ 0 + y) θ 0 n = ny θ0 ) θ 0 Tämä lasku vaati hieman sieventelyjä, mutta loppupelleissä kyseessä oli rationaalilausekkeiden yhteenlasku ja yhteisten tekijöiden ottaminen :) Saamme samalla vaivalla myös toisen Raon pistemäärätestisuureen korottamalla lauseke neliöön, eli uy) = u 1/2 y) ) 2 = ny θ0 ) θ 0 )2 = ny θ 0 ) 2 θ 2 0 Koska tehtävänannossa ei tarkemmin sanottu kumpaa käyttäisimme, olisi vallan hyvin riittänyt laskea kumpi vain :) 5. a) Olkoon Y 1,..., Y n riippumatton satunnaisotos jakaumasta, jonka tiheysfunktio f riippuu reaaliarvoisesta parametrista θ. Miten määritellään parametrin θ luottamusväli luottamustasolla 1 α?

8 b) Oletaan, että kohdan a) tiheysfunktio f on gammajakauman G2, θ) tiheysfunktio löytyy tehtäväpaperin takaa). Olkoon W = Y Y n ) 2θ. Määrää muotoa 0, a) oleva parametrin θ luottamusväli luottamustasolla 1 α satunnaismuuttujan W avulla. vihje: perustele gammajakauman ominaisuuksien avulla, että W χ 2 4n). Ratkaisu: Tehtävän a)-kohta on teoriakysymys, joten mitään ei tarvitse laskea :) Aineistosta riippuva parametriavauruuden Ω R väli Ay) = ay), by)) on parametrin θ luottamusväli luottamustasolla 1 α, jos P θ θ AY)) = P θ ay) < θ < by)) 1 α kaikilla θ Ω. Väli voi luonnollisesti olla avoin kuten yllä), suljettu tai puoliavoin. Tehtävänannossa ei kysytty luottamusvälin tulkintaa, mutta toistokokeena tulkittuna luottamusväli luottamustasolla 1 α tarkoittaa, että odotamme että keskimäärin vähintään n 1 α) kertaa tuntematon parametri θ on välillä Ay), kun toistamme kokeen n kertaa. Tehtävän b)-kohdassa kysytään luottamusväliä luottamustasolla 1 α, joka on muotoa 0, a). Vihjeen mukaan W χ 2 4n on saranasuure, joten voimme määrätä kysytyn luottamusvälin mukavasti sen avulla. Perustelemme tämän lopuksi. Koska W on saranasuure, niin P θ b < W < c) = F W c) F W b) jokaisella θ, missä F W on khiin neliön vapausasteella 4n) kertymäfunktio. Tärkein havainto on siis se, että tämä kertymäfunktio ei riipu parametrista θ. Vasen puoli voidaan puolestaan kirjoittaa toisessa muodossa P θ b < W < c) = P θ b < 2θnY < c) = P b θ 2nY < θ < c ). 2nY Koska haemme muotoa 0, a) olevaa luottamusväliä, on luvuksi b valittava 0 eli b = 0. Luku c saadaan siten määräämällä P θ 0 < W < c) = F W c) F W 0) = F W c) 1 α, jonka voimme mukavasti selvittää kvantiilifunktion q W = F 1 W c q W 1 α). avulla Koska pienempi luottamusväli on parempi, valitsemme c = q W 1 α), joten kysytyksi luottamusväliksi voimme lopulta valita Ay) = 0, ) c = 2ny 0, q W 1 α) 2ny Jätimme perustelun sille, että W χ 2 4n tehtävän loppuun, joten jatkamme nyt sen parissa. Vihjeen mukaan tämä pitäisi selvitä gammajakauman ominaisuuksista, joten tutkimme tehtäväpaperin mukana olleita tietoja. Tehtäväpaperin tiedoissa kerrotaan, että gammajakaumalla on yhteenlaskuominaisuus, jonka mukaan ). Z = Y Y n G , θ) = G2n, θ) sillä Y i G2, θ) ja satunnaismuuttujat ovat riippumattomia. Lisäksi tehtäväpaperissa kerrotaan, että jos c > 0 ja X on gammajakautunut, niin myös tulo cx on gammajakautunut.

9 Havaitsemme siten, että W = 2θ Y Y n ) = 2θZ G2n, θ/2θ)) = G2n, 1 2 ). Tämä kertoo nyt mukavasti, että W on saranasuure. Lisäksi tiedämme khiin neliön olevan gammajakauman erikoistapaus ja χ 2 4n = G4n/2, 1 2 ) = G2n, 1 2 ). Siispä pienellä jakaumapäättelyllä näimme, että W G2n, 1 2 ) = χ2 4n.

l (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on

l (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka

Lisätiedot

2. Uskottavuus ja informaatio

2. Uskottavuus ja informaatio 2. Uskottavuus ja informaatio Aluksi käsittelemme uskottavuus- ja log-uskottavuusfunktioita Seuraavaksi esittelemme suurimman uskottavuuden estimointimenetelmän Ensi viikolla perehdymme aiheeseen lisääkö

Lisätiedot

Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä:

Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä: 4. Tyhjentyvyys Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä: Voidaanko päätelmät perustaa johonkin tunnuslukuun t = t(y) koko aineiston y sijasta? Mitä

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen

Lisätiedot

3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin

3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A Tilastollinen päättely II, kevät 07 Harjoitus A Heikki Korpela 3. tammikuuta 07 Tehtävä. (Monisteen tehtävä.3 Olkoot Y,..., Y n Exp(λ. Kirjoita vastaava tilastollisen mallin lauseke (ytf. Muodosta sitten

Lisätiedot

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 8B Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 8B Ratkaisuehdotuksia. HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 8B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatkoa Harjoitus 8A tehtävään 3. Muodosta odotusarvolle µ approksimatiivinen

Lisätiedot

Kertausluento. Tilastollinen päättely II - 2. kurssikoe

Kertausluento. Tilastollinen päättely II - 2. kurssikoe Kertausluento Tilastollinen päättely II - 2. kurssikoe Yleistä tietoa TP II -2. kurssikokeesta 2. kurssikoe maanantaina 6.5.2019 klo 12.00-14.30 jossakin Exactumin auditoriossa Kurssikokeeseen ilmoittaudutaan

Lisätiedot

5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II

5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II 5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II Tässä pykälässä pohditaan edellä tarkasteltujen kolmen testisuureen yleistystä malleihin, joiden parametri on useampiulotteinen, ja testausasetelmiin, joissa

Lisätiedot

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka 3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä

Lisätiedot

6.1.2 Luottamusjoukon määritelmä

6.1.2 Luottamusjoukon määritelmä 6.1.1 Johdanto Olemme tarkastelleet piste-estimointia: tavoitteemme oli etsiä tunnuslukuja t, joilla piste t(y) hyvä arvio mallin parametrille θ (tai sen muunnokselle g(θ)). Pelkän piste-estimaatin esittäminen

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa

Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II. kurssikoe 18.1.15 Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin

3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia

Lisätiedot

2. Uskottavuus ja informaatio

2. Uskottavuus ja informaatio 2. Uskottavuus ja informaatio Viimeksi käsittelimme uskottavuusfunktioita, log-uskottavuusfunktioita ja su-estimaatteja Seuraavaksi tarkastelemme parametrin muunnoksia ja kuinka su-estimaatit käyttäytyvät

Lisätiedot

Kertausluento. Tilastollinen päättely II - 1. kurssikoe

Kertausluento. Tilastollinen päättely II - 1. kurssikoe Kertausluento Tilastollinen päättely II - 1. kurssikoe Yleistä tietoa TP II -1. kurssikokeesta 1. Kurssikoe on to 7.3 klo 12.00-14.30 (jossakin Exactumin auditorioista, salijako selvinnee tuolloin torstiana).

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

5 Hypoteesien testaaminen

5 Hypoteesien testaaminen 5 Hypoteesien testaaminen Seuraavaksi tutustumme tilastollisiin testeihin ja niihin liittyviin peruskäsitteisiin Esittelemme aluksi hypoteesit sekä testisuureet ja puhumme p-arvosta (eli havaitusta merkitsevyystasosta)

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe (kesto 2h 30 min)

Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe (kesto 2h 30 min) Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe 8..7 (kesto h 3 min) Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu. Ei

Lisätiedot

2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2

2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2 HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.

Lisätiedot

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1) HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1

Lisätiedot

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Maximum likelihood-estimointi Alkeet Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1 Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X

Lisätiedot

Pelaisitko seuraavaa peliä?

Pelaisitko seuraavaa peliä? Lisätehtävä 1 seuraavassa on esitetty eräs peli, joka voidaan mallintaa paramterisena tilastollisena mallina tehtävänä on selvittää, kuinka peli toimii ja näyttää mallin takana oleva apulause (Tehtävä

Lisätiedot

1. Tilastollinen malli??

1. Tilastollinen malli?? 1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen

Lisätiedot

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu 1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

5 Hypoteesien testaaminen

5 Hypoteesien testaaminen 5 Hypoteesien testaaminen Seuraavaksi tutustumme tilastollisiin testeihin ja niihin liittyviin peruskäsitteisiin Esittelemme aluksi hypoteesit sekä testisuureet ja puhumme p-arvosta (eli havaitusta merkitsevyystasosta)

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ). HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen aineiston kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

Yleistä tietoa kokeesta

Yleistä tietoa kokeesta Yleistä tietoa kokeesta Kurssikoe järjestetään maanantai 7.5. klo 12-15 jossakin Exactumin auditorioista. Korvaava kurssikoe keskiviikkona (yleisenä tenttipäivänä) 11.4. klo 16-19 jossakin Exactumin auditorioista.

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 5. Väliestimointi Johdanto Luottamusvälien konstruointi Luottamusvälien vertailu

Tilastollinen päättely. 5. Väliestimointi Johdanto Luottamusvälien konstruointi Luottamusvälien vertailu ilastollinen päättely 5.. Johdanto Estimointi, Joukkoestimointi, Kriittinen alue, uottamusjoukko, uottamustaso, uottamusväli, Otos, Parametri, Peittotodennäköisyys, Piste-estimointi, Väliestimaatti, Väliestimaattori,

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen datan kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu 5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu 10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

k S P[ X µ kσ] 1 k 2.

k S P[ X µ kσ] 1 k 2. HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017

Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

η i (θ)t i (x) A(θ) + c(x),

η i (θ)t i (x) A(θ) + c(x), 288 Luku 10. Perusmallit ja niiden sovelluksia muotoa (10.9.1) log f θ (x) = p η i (θ)t i (x) A(θ) + c(x), i=1 missä θ = (θ 1,...,θ p ) ja A(θ), c(x), η i (θ) ja T i (x) ovat tunnettuja funktioita. Lisäksi

Lisätiedot

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 017 Laskuharjoitus 4, Kotitehtävien palautus Mycourses:iin PDF-tiedostona

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7, HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8. HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Uskottavuuden ominaisuuksia

Uskottavuuden ominaisuuksia Luku 9 Uskottavuuden ominaisuuksia 9.1 Tyhjentävyys T yhjentävyys (Fisher 1922) luonnehtii täsmällisesti havaintoihin sisältyvän informaation kvantitatiivisesti. Parametrin θ estimaatti T(x) on tyhjentävä

Lisätiedot

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista

Lisätiedot