HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät Ratkaisuehdotuksia
|
|
- Tiina Jaakkola
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon θ positiivinen parametri, ja asetetaan 2θ 1 y exp y 2 /θ), kun y > 0 fy; θ) = 0, muuten Oletetaan, että Y 1,..., Y n ovat riippumattomia ja noudattavat kukin yllä mainittua jakaumaa. Muodosta tämän mallin uskottavuusfunktio sekä määritä suurimman uskottavuuden estimaatti θ. Ratkaisu: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa pyrin kirjoittamaan jokaisen tehtävän kannalta merkityksellisen) kohdan kirjoitettamaan näkyviin. Vaikenen muista kohdista :) Tehtävänä on on siis selvittää a) mallin uskottavuusfunktio Lθ; y) = cy)f Y y; θ) sekä b) suurimman uskottavuuden estimaatti θy) eli su-estimaatin. Jälkimmäinen on uskottavuusfunktion tai log-uskottavuusfunktion lθ; y) maksimikohta, joten tarvitsemme ensin uskottavuusfunktion L ja siten tilastollisen mallin määräävän yhteistiheysfunktion f Y. Voimme lähestyä tehtävää seuraavalla tavalla: c) Määräämme tilastollisen mallin yhteistiheysfunktion f Y d) Määräämme uskottavuusfunktion Lθ; y) e) Määräämme log-uskottavuusfunktion lθ; y) f) Tarkastelemalla derivaattaa l θ; y) ja sen käytöstä etsimme maksimikohdan eli su-estimaatin. Nyt riippumattomuuden ja potenssin laskusääntöjen nojalla n n f Y y; θ) = fy i ; θ) = 2θ 1 y i exp yi 2 /θ)1{ y i > 0 } = 2 n θ n n ) n y i exp yi 2 /θ)1{ y i > 0 kun i = 1,..., n } joten olemme määränneet yhteistiheysfunktion f Y. Erään uskottavuusfunktion saamme tästä jättämällä pelkästään aineistosta riippuvat tekijät sekä myös vakiot) pois, joten päättelemme, että n Lθ; y) = θ n exp yi 2 /θ)1{ y i > 0 kun i = 1,..., n } = θ n exp ty)/θ)1{ y i > 0 kun i = 1,..., n }
2 kun merkintöjen lyhentämiseksi esittelemme tunnusluvun ty) = i y 2 i. Olemme nyt määränneet pyydetyn mallin uskottavuusfunktion. Koska voimme olettaa vallan hyvin, että aineisto on järkevä, niin voimme ihan hyvillä mielin myös unohtaa aineistosta riippuvan indikaattorifunktion ja vain lyhyesti kirjoittaa uskottavuusfunktion olevan Lθ; y) = θ n exp ty)/θ) Jatkamme kohti su-estimaattia. Jos aineisto y ei ole järkevä eli jollakin i on havainto y i 0), niin su-estimaattia ei ole yksikäsitteisenä olemassa vaan kaikki parametrin arvot ovat yhtä uskottavia. Joten oletamme jatkossa, että aineisto on järkevä eli oletamme y i > 0 jokaisella i, joten indikaattoriosan voi unohtaa myös. Määräämällä log-uskottavuusfunktion lθ; y) ja suoraan laskemalla lθ; y) = log Lθ; y) = n log θ ty)/θ. Nyt voimmekin lähteä hakemaan log-uskottavuusfunktion maksimia ja derivoidaan siksi parametrin θ suhteen l θ) = n/θ + ty)/θ 2. Maksimit ja minimit löydämme etsimällä nollakohdat, eli laskemalla l θ) = n/θ + ty)/θ 2 = 0 nθ + ty) = 0 θ = ty)/n. Löysimme yhden nollakohdan, joka voisi siis olla etsitty log-uskottavuusfunktion maksimikohta. Tämän voimme varmistaa kahdella tapaa: tarkastelemalla derivaatan merkkiä tai toisen derivaatan avulla. Derivaatan merkin tarkastelu hieman yleistää nollakohdan hakemista l θ) 0 n/θ + ty)/θ 2 0 nθ + ty) 0 θ ty)/n. Havaitsemme siis, että log-uskottavuusfunktio l kasvaa, kun θ ty)/n ja vähenee, kun θ ty)/n, joten θ = θy) n = ty)/n = yi 2 /n on haettu su-estimaatti. Olisimme voineet päätellä kohdan ty)/n maksimikohdaksi tarkastelemalla toista derivaatan merkkiä tässä kohdassa. Nyt joten l θ) = n/θ 2 2ty)/θ = θ nθ 2ty)) l ty)/n) = ty)/n) nty)/n 2ty) ) = ty) n ty)) = ty) 2 n < 0, mikä kertoo luentojen mukaan, että ty)/n on maksimikohta, minkä tosin tiesimmekin jo. 2. Olkoon t 1, t 2, t ) = 1, 2, ), olkoon Y 1, Y 2 ja Y kolme riippumatonta eksponenttijakautunutta satunnaismuuttujaa ja Y i Expt i /µ) missä µ > 0. Näytä, että estimaattori T = Y 1 + 2Y 2 + Y
3 on parametrin µ harhaton estimaattori. Onko T täystehokas estimaattori? Perustele vastauksesi). Ratkaisu: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen tarvittava) kohta on kirjoitettu näkyviin. Taas tehtävässä on kaksi osaa: a) tulisi näyttää estimaattorin harhattomuus ja b) tulisi selvittää, onko estimaattori täystehokas Määritelmän mukaan estimaattori T on parametrin µ harhaton estimaattori, jos E µ T = µ jokaisella µ > 0. Tämä seuraa mukavasti laskemalla, sillä odotusarvon lineaarisuuden nojalla E µ T = E µ Y 1 + 2Y 2 + Y = E µy 1 + 2E µ Y 2 + E µ Y Koska tehtävänannon mukaan Y i Expt i /µ), niin E µ Y i = µ/t i, joten E µ T = µ + 2µ/2 + µ/ eli T on harhaton eli näytimme kohdan a)). = µ + µ + µ Kohta b) vaatii hieman lisää. Ensiksi tiedämme, että informaatioepäyhtälön nojalla var µ U 1 ιµ) on voimassa kaikilla parametrin µ harhattomilla estimaattoreilla ja estimaattori U on täystehokas, jos epäyhtälön alaraja tavoitetaan, eli jos var µ U = 1 ιµ). Toinen tapa ajatella on että estimaattori on täystehokas, jos sen teho on 100%, kun teho määritellään osamääränä teho U = 1/ ιµ) var µ U 100%. Riippumatta ajattelutavasta, on meidän siis selvittävä: c) mikä on var µ T? d) mikä on ιµ)? e) ja onko var µ T = 1/ ιµ)? Aloitetaan kohdasta c). Nyt riippumattomuuden ja varianssin laskusääntöjen mukaan var µ T = var 1 µ Y 1 + 2Y 2 + Y ) ) = 1 varµ Y var µ 2Y 2 ) + var µ Y ) ) = 1 9 varµ Y var µ Y var µ Y ). = µ
4 Koska tehtävänannon mukaan Y i Expt i /µ), niin var µ Y i = µ 2 /t 2 i, joten ) var µ T = 1 varµ Y var µ Y var µ Y = 1 9 Olemme siis selvittäneet kysymyksen c). µ 2 + 4µ 2 / µ 2 / 2) = 1 9 µ2 + µ 2 + µ 2 ) = µ2. Kohdan d) selvittämiseen tarvitsemme Fisherin informaation sekä aineistosta havaitun informaation) määritelmää ιµ) = E µ jµ; Y) = E µ l µ; Y)) Tarvitsemme siis vielä tilastollisen mallin f Y, jotta voimme selvittää log-uskottavuusfunktion l. Nyt tehtävänannon mukaan t i f Y y; µ) = f Yi y i ; µ) = µ exp t iy i /µ)1{ y i > 0 } = cy)µ exp t i y i /µ) missä cy) riippuu vain aineistosta. Voimme siten valita uskottavuusfunktioksi ja log-uskottavuusfunktioksi lµ; y) Lµ; y) = µ exp wy)/µ) lµ; y) = log µ wy)/µ, missä tunnusluku wy) = t i y i. Derivoimalla kahdesti parametrin µ suhteen näemme, että l µ; y) = /µ + wy)/µ 2, l µ; y) = /µ 2 2wy)/µ. ja joten Fisherin informaatio on siten ιµ) = E µ /µ 2 + 2wY)/µ ) = /µ 2 + 2E µ Y 1 + 2Y 2 + Y )/µ Siispä havaitsemme, että = /µ µ/µ = /µ 2 joten estimaattori T on täystehokas. var µ T = µ2 = 1 ιµ),. Olkoon Y 1,..., Y n Pµ) Poisson-jakautuneita ja riippumattomia havaintoja vastaavia satunnaismuuttujia. Etsi tässä mallissa parametrille µ reaaliarvoinen tyhjentävä tunnusluku. Ratkaisu: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen tai lähes jokainen) kohta on kirjoitettu näkyviin. Määritelmän mukaan tunnusluku T = ty) on parametrin µ tyhjentävä tunnusluku, jos satunnaisvektorin Y ehdollinen jakauma ehdolla T = t ei koskaan riipu parametrista µ. Tiedämme lisäksi, että tämä on yhtäpitävää faktorointikriteerin kanssa,
5 jonka mukaan tunnusluku ty) on tyhjentävä tunnusluku jos ja vain jos jollakin tunnusluvulla hy) ja jollakin gt; µ) voimme jakaa yhteistiheysfunktion tuloksi kaikilla aineistoilla y ja µ > 0 f Y y; µ) = hy)gty); µ) Tätä varten tarvitsemme tilastollisen mallin määräävän yhteispistetodennäköisyysfunktion f Y. Koska Y i Pµ) ja havainnot ovat riippumattomia, niin f Y y; µ) = n e µ µ y i /y i!1{ y i = 0, 1, 2,... } ) = e nµ n y i! ) 1 µ yi 1{ y i = 0, 1, 2,... jokaisella i } Jos merkitsemme ty) = n y i ja yhdistämme kaikki vain aineistosta riippuvat tekijät yhteen, eli jos merkitsemme hy) = n y i! ) 1 1{ yi = 0, 1, 2,... jokaisella i }, voimme kirjoittaa edellisen muodossa f Y y; µ) = e nµ hy)µ ty) = hy)gty); µ) kun merkitsemme gt; µ) = e nµ µ t. Olemme siten saaneet hajotettua yhteispistetodennäköisyysfunktion f Y faktorointikriteerin mukaiseksi tuloksi, joten voimme todeta, että tunnusluku ty) = y i on parametrin µ tyhjentävä tunnusluku. Koska ty) on lisäksi reaaliarvoinen, olemme löytäneet erään reaaliarvoisen parametrin µ tyhjentävä tunnusluvun. Huomaamme myös, että mikä tahansa tunnusluku αty) jollakin vakiolla α R kävisi myös vallan mainioisti, joten esimerkiksi myös otoskeskiarvo y kävisi myös. 4. Oletetaan, että havaintoja vastaavat satunnaismuuttujat Y 1,..., Y n ovat riippumattomia ja noudattava kukin samaa jatkuvaa jakaumaa, jonka tiheysfunktio on gammajakauman erikoistapaus ja θ on positiivinen parametri. fy; θ) = 1 2 θ y 2 exp y/θ) 1{ y > 0 } a) Määrää mallin Fisherin informaatio ιθ). vihje: satunnaismuuttujan Y i odotusarvo saadaan gammajakauman avulla suoraan ilman integrointia) b) Halutaan testata nollahypoteesia H 0 : θ = θ 0 kaksisuuntaista vastahypoteesia H 1 : θ θ 0 vastaan. Johda Raon pistemäärätestisuure. Ratkaisu: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen tai lähes jokainen) kohta on kirjoitettu näkyviin. Tehtävän a)-kohdan periaate on sama kuin tehtävässä 2, eli määrätään ensin loguskottavuusfunktio, sitten määrätään tämän avulla aineistosta havaittu informaatio ja lopuksi lasketaan sen odotusarvo eli Fisherin odotettu) informaatio.
6 Koska havaintoja y i vastaavat satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, joten n n f Y y; θ) = fy i ; θ) = 1 2 θ yi 2 exp y i /θ) 1{ y i > 0 } ) n = cy)θ n exp y i /θ) = cy)θ n exp ny/θ) missä cy) riippuu vain aineistosta ja y on otoskeskiarvo. Kunhan aineisto y on järkevä eli y i > 0 kullakin i), voimme todeta, että eräs uskottavuusfunktio on ja log-uskottavuusfunktio on Lθ; y) = θ n exp ny/θ) lθ; y) = n log θ ny/θ. Derivoimalla kahdesti parametrin θ suhteen saamme lausekkeet l θ; y) = n/θ + ny/θ 2 ja l θ; y) = n/θ 2 2ny/θ joten aineistosta havaittu informaatio jθ; y) on jθ; y) = n/θ 2 + 2ny/θ. Fisherin informaatioksi ιθ) saamme siten ιθ) = E θ jθ; Y) = E θ n θ + 2nY ) = n 2 θ θ + 2n 2 θ E θy, missä ensimmäinen yhtäsuuruus oli määritelmä Fisherin informaatiolle ja viimeisessä sovelsimme vain lineaarisuutta ja tietoa E θ β = β vakioilla β. Vielä pitäisi laskea otoskeskiarvon odotusarvo E θ Y = E θ n 1 n ) Y i n = n 1 E θ Y i = n 1 n E θ Y 1 = ne θy 1 n = E θ Y 1 ja tässä laskussa sovelsimme jälleen kerran lineaarisuutta sekä tietoa, että satunnaismuuttujat Y i ovat samoin jakautuneita, joten niiden odotusarvot ovat samoja. Vielä tulisi laskea satunnaismuuttujan Y 1 odotusarvo. Tehtävänannossa on kerrottu satunnaismuuttujan tiheysfunktio, joten voisimme käyttää määritelmää ja laskea E θ Y 1 = θ y exp y/θ)dy Jos emme tuntisi ylläolevaa tiheysfunktiota paremmin, voisimme laskea tämän muuttujanvaihdolla x = y/θ ja sen jälkeen integroimalla osittain muutaman kerran. Tunnistamme kyllä ylläolevan integraalin integroitavan funktion olevan vakiokerrointa vaille gammajakautuneen satunnaismuuttujan tiheysfunktioksi, joten paljon parempi tapa olisi integroida tilastotieteilijän tapaan, eli etsiä sopiva vakio c > 0, jotta E θ Y 1 = c P θ Z > 0) = c. missä Z on jokin gammajakautunut satunnaismuuttuja. Mutta vielä helpompi on todeta, että tehtävänannonkin mukaan Y 1 Gκ, λ) joillakin κ > 0 ja λ > 0, joten tiedämme E θ Y 1 = κ/λ,
7 eli kunhan selvitämme mitkä κ ja λ ovat, on odotusarvo selvitetty. Koska tehtävänannon tiheysfunktio ja yleinen gammajakauman tiheysfunktio ovat fy; θ) y 2 exp y/θ) ja fy; κ, λ) y κ 1 exp λy) joten päättelemme, että tiheysfunktiot ovat samat, jos ja vain jos κ 1 = 2 ja λ = 1/θ. Siispä κ = ja λ = 1/θ eli Y 1 G, 1/θ) ja siten E θ Y 1 = κ λ = 1/θ = θ. Olemme nyt saaneet Fisherin informaation viimeisen palasen laskettua, joten ιθ) = n θ + 2n 2 θ E θy = n θ + 2n 2 θ E θy 1 = n 2n θ + θ2 θ eli löysimme a)-kohdassa kysytyn Fisherin informaation. = n θ 2 Kohdassa b) tehtävänannossa pyydettiin johtamaan Raon pistemäärätestisuure, kun haluaisimme testata yksinkertaista nollahypoteesia H 0 : θ = θ 0, kun vastahypoteesi on kaksisuuntainen H 1 : θ θ 0. Luentomonisteen perusteella voimme soveltaa siten kumpaa vain Raon testisuuretta u 1/2 y) tai uy). Jos käyttäisimme ensimmäistä, niin testin havaittu merkitsevyystaso laskettaisiin laskemalla kun taas käyttämällä jälkimmäistä p = P θ0 u 1/2 Y) u 1/2 y) ), p = P θ0 uy) uy)), mutta kumpikin antaa luonnollisesti samat havaitut merkitsevyystasot. Raon pistemäärätestisuure u 1/2 on luentomonisteen mukaan u 1/2 y) = l θ 0 ; y) ιθ 0 ) ja uy) on tämän neliö eli uy) = u 1/2 y)) 2 ) Näemme siis, että tarvitsemme pistemääärän l θ 0 ; y) sekä Fisherin informaation ιθ 0 ), mutta laskimme nämä jo aiemmin, joten u 1/2 y) = l θ 0 ; y) ιθ 0 ) = n/θ 0 + ny/θ0 2 n θ 2 0 = n θ 2 0 θ 0 + y) θ 0 n = ny θ0 ) θ 0 Tämä lasku vaati hieman sieventelyjä, mutta loppupelleissä kyseessä oli rationaalilausekkeiden yhteenlasku ja yhteisten tekijöiden ottaminen :) Saamme samalla vaivalla myös toisen Raon pistemäärätestisuureen korottamalla lauseke neliöön, eli uy) = u 1/2 y) ) 2 = ny θ0 ) θ 0 )2 = ny θ 0 ) 2 θ 2 0 Koska tehtävänannossa ei tarkemmin sanottu kumpaa käyttäisimme, olisi vallan hyvin riittänyt laskea kumpi vain :) 5. a) Olkoon Y 1,..., Y n riippumatton satunnaisotos jakaumasta, jonka tiheysfunktio f riippuu reaaliarvoisesta parametrista θ. Miten määritellään parametrin θ luottamusväli luottamustasolla 1 α?
8 b) Oletaan, että kohdan a) tiheysfunktio f on gammajakauman G2, θ) tiheysfunktio löytyy tehtäväpaperin takaa). Olkoon W = Y Y n ) 2θ. Määrää muotoa 0, a) oleva parametrin θ luottamusväli luottamustasolla 1 α satunnaismuuttujan W avulla. vihje: perustele gammajakauman ominaisuuksien avulla, että W χ 2 4n). Ratkaisu: Tehtävän a)-kohta on teoriakysymys, joten mitään ei tarvitse laskea :) Aineistosta riippuva parametriavauruuden Ω R väli Ay) = ay), by)) on parametrin θ luottamusväli luottamustasolla 1 α, jos P θ θ AY)) = P θ ay) < θ < by)) 1 α kaikilla θ Ω. Väli voi luonnollisesti olla avoin kuten yllä), suljettu tai puoliavoin. Tehtävänannossa ei kysytty luottamusvälin tulkintaa, mutta toistokokeena tulkittuna luottamusväli luottamustasolla 1 α tarkoittaa, että odotamme että keskimäärin vähintään n 1 α) kertaa tuntematon parametri θ on välillä Ay), kun toistamme kokeen n kertaa. Tehtävän b)-kohdassa kysytään luottamusväliä luottamustasolla 1 α, joka on muotoa 0, a). Vihjeen mukaan W χ 2 4n on saranasuure, joten voimme määrätä kysytyn luottamusvälin mukavasti sen avulla. Perustelemme tämän lopuksi. Koska W on saranasuure, niin P θ b < W < c) = F W c) F W b) jokaisella θ, missä F W on khiin neliön vapausasteella 4n) kertymäfunktio. Tärkein havainto on siis se, että tämä kertymäfunktio ei riipu parametrista θ. Vasen puoli voidaan puolestaan kirjoittaa toisessa muodossa P θ b < W < c) = P θ b < 2θnY < c) = P b θ 2nY < θ < c ). 2nY Koska haemme muotoa 0, a) olevaa luottamusväliä, on luvuksi b valittava 0 eli b = 0. Luku c saadaan siten määräämällä P θ 0 < W < c) = F W c) F W 0) = F W c) 1 α, jonka voimme mukavasti selvittää kvantiilifunktion q W = F 1 W c q W 1 α). avulla Koska pienempi luottamusväli on parempi, valitsemme c = q W 1 α), joten kysytyksi luottamusväliksi voimme lopulta valita Ay) = 0, ) c = 2ny 0, q W 1 α) 2ny Jätimme perustelun sille, että W χ 2 4n tehtävän loppuun, joten jatkamme nyt sen parissa. Vihjeen mukaan tämä pitäisi selvitä gammajakauman ominaisuuksista, joten tutkimme tehtäväpaperin mukana olleita tietoja. Tehtäväpaperin tiedoissa kerrotaan, että gammajakaumalla on yhteenlaskuominaisuus, jonka mukaan ). Z = Y Y n G , θ) = G2n, θ) sillä Y i G2, θ) ja satunnaismuuttujat ovat riippumattomia. Lisäksi tehtäväpaperissa kerrotaan, että jos c > 0 ja X on gammajakautunut, niin myös tulo cx on gammajakautunut.
9 Havaitsemme siten, että W = 2θ Y Y n ) = 2θZ G2n, θ/2θ)) = G2n, 1 2 ). Tämä kertoo nyt mukavasti, että W on saranasuure. Lisäksi tiedämme khiin neliön olevan gammajakauman erikoistapaus ja χ 2 4n = G4n/2, 1 2 ) = G2n, 1 2 ). Siispä pienellä jakaumapäättelyllä näimme, että W G2n, 1 2 ) = χ2 4n.
l (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
2. Uskottavuus ja informaatio
2. Uskottavuus ja informaatio Aluksi käsittelemme uskottavuus- ja log-uskottavuusfunktioita Seuraavaksi esittelemme suurimman uskottavuuden estimointimenetelmän Ensi viikolla perehdymme aiheeseen lisääkö
Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä:
4. Tyhjentyvyys Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä: Voidaanko päätelmät perustaa johonkin tunnuslukuun t = t(y) koko aineiston y sijasta? Mitä
Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B
Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen
3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin
3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia
Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A
Tilastollinen päättely II, kevät 07 Harjoitus A Heikki Korpela 3. tammikuuta 07 Tehtävä. (Monisteen tehtävä.3 Olkoot Y,..., Y n Exp(λ. Kirjoita vastaava tilastollisen mallin lauseke (ytf. Muodosta sitten
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 8B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 8B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatkoa Harjoitus 8A tehtävään 3. Muodosta odotusarvolle µ approksimatiivinen
Kertausluento. Tilastollinen päättely II - 2. kurssikoe
Kertausluento Tilastollinen päättely II - 2. kurssikoe Yleistä tietoa TP II -2. kurssikokeesta 2. kurssikoe maanantaina 6.5.2019 klo 12.00-14.30 jossakin Exactumin auditoriossa Kurssikokeeseen ilmoittaudutaan
5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II
5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II Tässä pykälässä pohditaan edellä tarkasteltujen kolmen testisuureen yleistystä malleihin, joiden parametri on useampiulotteinen, ja testausasetelmiin, joissa
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
6.1.2 Luottamusjoukon määritelmä
6.1.1 Johdanto Olemme tarkastelleet piste-estimointia: tavoitteemme oli etsiä tunnuslukuja t, joilla piste t(y) hyvä arvio mallin parametrille θ (tai sen muunnokselle g(θ)). Pelkän piste-estimaatin esittäminen
1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II. kurssikoe 18.1.15 Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin
3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia
2. Uskottavuus ja informaatio
2. Uskottavuus ja informaatio Viimeksi käsittelimme uskottavuusfunktioita, log-uskottavuusfunktioita ja su-estimaatteja Seuraavaksi tarkastelemme parametrin muunnoksia ja kuinka su-estimaatit käyttäytyvät
Kertausluento. Tilastollinen päättely II - 1. kurssikoe
Kertausluento Tilastollinen päättely II - 1. kurssikoe Yleistä tietoa TP II -1. kurssikokeesta 1. Kurssikoe on to 7.3 klo 12.00-14.30 (jossakin Exactumin auditorioista, salijako selvinnee tuolloin torstiana).
Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
5 Hypoteesien testaaminen
5 Hypoteesien testaaminen Seuraavaksi tutustumme tilastollisiin testeihin ja niihin liittyviin peruskäsitteisiin Esittelemme aluksi hypoteesit sekä testisuureet ja puhumme p-arvosta (eli havaitusta merkitsevyystasosta)
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe (kesto 2h 30 min)
Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe 8..7 (kesto h 3 min) Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu. Ei
2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
Maximum likelihood-estimointi Alkeet
Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X
Tilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
Pelaisitko seuraavaa peliä?
Lisätehtävä 1 seuraavassa on esitetty eräs peli, joka voidaan mallintaa paramterisena tilastollisena mallina tehtävänä on selvittää, kuinka peli toimii ja näyttää mallin takana oleva apulause (Tehtävä
1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu
1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)
Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
5 Hypoteesien testaaminen
5 Hypoteesien testaaminen Seuraavaksi tutustumme tilastollisiin testeihin ja niihin liittyviin peruskäsitteisiin Esittelemme aluksi hypoteesit sekä testisuureet ja puhumme p-arvosta (eli havaitusta merkitsevyystasosta)
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen aineiston kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin
tilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
Yleistä tietoa kokeesta
Yleistä tietoa kokeesta Kurssikoe järjestetään maanantai 7.5. klo 12-15 jossakin Exactumin auditorioista. Korvaava kurssikoe keskiviikkona (yleisenä tenttipäivänä) 11.4. klo 16-19 jossakin Exactumin auditorioista.
edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
Tilastollinen päättely. 5. Väliestimointi Johdanto Luottamusvälien konstruointi Luottamusvälien vertailu
ilastollinen päättely 5.. Johdanto Estimointi, Joukkoestimointi, Kriittinen alue, uottamusjoukko, uottamustaso, uottamusväli, Otos, Parametri, Peittotodennäköisyys, Piste-estimointi, Väliestimaatti, Väliestimaattori,
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A
Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio
3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4
Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
Testejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen datan kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
k S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017
Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia
ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan
Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
η i (θ)t i (x) A(θ) + c(x),
288 Luku 10. Perusmallit ja niiden sovelluksia muotoa (10.9.1) log f θ (x) = p η i (θ)t i (x) A(θ) + c(x), i=1 missä θ = (θ 1,...,θ p ) ja A(θ), c(x), η i (θ) ja T i (x) ovat tunnettuja funktioita. Lisäksi
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 017 Laskuharjoitus 4, Kotitehtävien palautus Mycourses:iin PDF-tiedostona
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Uskottavuuden ominaisuuksia
Luku 9 Uskottavuuden ominaisuuksia 9.1 Tyhjentävyys T yhjentävyys (Fisher 1922) luonnehtii täsmällisesti havaintoihin sisältyvän informaation kvantitatiivisesti. Parametrin θ estimaatti T(x) on tyhjentävä
805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista