Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A

Transkriptio

1 Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi jossa cθ ja hy ovat ei-egatiivisia fuktioita ja φθ o aidosti kasvava fuktio reaalisesta parametrista θ vrt. moistee kohta 4..5 ja teht..0. Näytä, että sytyvällä mallilla f Y y; θ o mootoie uskottavuusosamäärä. Mitä muotoa ovat kriittiset alueet tasaisesti voimakkaimmassa yksisuutaisessa testissä? Vastaus: Tulkitaa, että reaalisella parametrilla θ tarkoitetaa yksiulotteista skalaariparametria. Muodostetaa yhteisjakauma tiheys- ja uskottavuus- sekä log-uskottavuusfuktiot:. f Y y; θ cθhy i e φθtyi cθ e φθ Lθ; y cθ e φθ lθ; y log cθ + φθ tyi hy i tyi ty i missä kerroi hy i o tiputettu pois, koska se ei riippuut parametrista. Olkoot θ < θ joitai parametriavaruude lukuja ja y joki aieisto. Todetaa, että jos cθ o jollai parametriavaruude alkiolla olla, olisi f:ki tällä parametrilla vakiofuktio olla eikä siis tf tai ptf. Voidaa siis olettaa, että mielekiitoisissa parametriavaruude osissa pätee cθ > 0 ja cθ > 0. Valitaa tuusluvuksi ty i ky. Tutkitaa sitte uskottavuusosamäärä fuktiota vy: vy Lθ ; y Lθ; y cθ e φθ ky cθ e φθky cθ cθ exp ky φθ φθ Fuktio arvojoukko o tehdyillä oletuksilla aidosti positiivie, jote siitä voidaa ottaa logaritmi. Logaritmi o aidosti kasvava fuktio, jote riittää tarkastella logaritmia tuusluvu ky suhtee: log vy log cθ cθ + kyφθ φθ

2 Tämä o tieteki sama asia kui jos oltaisii käsitelty suoraa logaritmiste uskottavuusfuktioide erotusta. Tässä muodossa esimmäie termi log cθ cθ ei riipu ky:stä; ku θ, θ o kiiitetty, kyseessä o ky: suhtee vakiotermi. Toisessa vakiokerroi φθ φθ > 0 oletuste ojalla φ oli kasvava. Site log vy o kasvava ky: fuktioa ja siis myös vy o kasvava ky: fuktioa. Toie vaihtoehto olisi tarkastella fuktio vy derivaattaa ky: suhtee: v y cθ cθ D ky exp ky φθ φθ cθ cθ φθ φθ exp ky φθ φθ Koska c oli ei-egatiivie fuktio ja myös ekspoettifuktio saa ei-egatiivisia arvoja, derivaata merki määrää φθ φθ, joka oli oletukse ojalla aidosti kasvava. Siis derivaatta o positiivie, fuktio kasvava ja uskottavuusosamäärä mootoie. Oletetaa, että testattavaa o hypoteesi H 0 : θ θ 0 vastaa H : θ > θ 0. Millä tahasa tällaiste hypoteesie testaamisee käytetyllä vy o Neyma-Pearso-apulausee ojalla voimakkai vertailtaessa mitä tahasa yksittäisiä pisteitä θ > θ 0, ja tästä sama huomio yleistyy kaikille θ > θ 0. Testisuuree suuret arvot ovat kriittisiä. Testi ja se kassa ekvivalettie testie atama kriittie alue merkitsevyystasolla α o siis muotoa {y : vy v α }. Aiaki jatkuvasti jakautuee, ollahypoteesi mukaise testisuuretta vastaava sm: vy, tapauksessa v α o vy: kvatiilifuktio arvo pisteessä α. Pisteestä vasemmalle jää tällöi todeäköisyys α ja oikealle hätätodeäköisyys α. Tehtävä. Moistee teht. 5.5 osa. Olkoot Y,..., Y Nµ, σ, jossa parametri o µ, σ. Testattavaa o H 0 : µ µ 0. Johda Waldi testisuure ja päättele, että saatava testi o yhtäpitävä tavallise kaksisuutaise t-testi kassa. Lueolla ja luetomoistee kohdassa tämä tehtii Rao testi osalta.. Vastaus: Johdetaa harjoitukse vuoksi ormaalimalli iformaatio sivutuotteea saamme log-

3 uskottavuusfuktio seuraavaa tehtävää varte alusta: fy; µ, σ π / σ / exp σ y i µ Lµ, σ ; y σ / exp σ y i µ σ / exp σ s + y µ lµ, σ logσ σ y i µ logσ σ s + y µ D µ l σ D σ l σ + σ y i µ σ y µ, y i µ σ + σ s + y µ D µµ l σ, D µσ l σ y µ, D σ σ l σ σ 3 y i µ σ σ 3 s + y µ ι, µ, σ E µ,σ σ ] σ ], ι, µ, σ E µ,σ σ Y µ ] 0, ι, µ, σ E µ,σ ] σ + σ 3 Y i µ ] σ + σ 3 E µ,σ Y i µ σ + σ 3 var µ,σ Y i σ + σ 3 σ σ + σ σ 4 Näistä saadaa samat Fisher-iformaatiomatriisi ja se kääteismatriisi kui moisteessaki: ] ιµ, σ σ 0 0 σ 4 ] ιµ, σ σ 0 σ 0 4 3

4 Luoollie ositus o θ µ, σ ψ, λ moistee merkiöi, jolloi ι µ, σ ι ψ, λ ι ψ,ψ ψ, λ ι µ,µ µ, σ ι ψ,ψ ι λ,ψ σ ι ψ,λ ι λ,λ ] ] σ ] ] σ 0 σ 0 4 Parametriavaruus o R 0, ja ollahypoteesi µ µ 0. Kiiostava parametri SU-estimaatti ˆψ ˆµ y ja parametripari µ, σ vapaa SU-estimaatti ˆθ o tuetusti y, s, koska otosvariassi lasketaa kaavalla s y i y. Ks...6 moisteesta. Siis Waldi testisuure o wy ˆψ ψ 0 T ι ψ,ψ ˆθ ˆψ ψ 0 y µ 0 T ι µ,µ ˆµ, ˆσ y µ0 y µ 0 ι µ,µ y, s y µ 0 y µ 0 s s / ty Suuret arvot ovat kriittisiä Waldi testisuure oudattaa asymptoottisesti khii eliö jakaumaa, tässä vapausasteella q. Koska x x o ei-egatiiviluvuilla aidosti kasvava kuvaus ku >, w ja t-testi ovat ekvivaletit testit. Tehtävä 3. Moistee teht. 5.5 osa. Olkoot Y,..., Y Nµ, σ, jossa parametri o µ, σ. Testattavaa o H 0 : µ µ 0. Johda uskottavuusosamäärä testisuure ja päättele, että saatava testi o yhtäpitävä tavallise kaksisuutaise t-testi kassa. Lueolla ja luetomoistee kohdassa tämä tehtii Rao testi osalta. 3. Vastaus: Log-uskottavuusfuktio ja vapaa SU-estimaatti ˆθ o määritetty edellisessä kohdassa: y, s. Muodostetaa sitte rajoitettu SU-estimaatti ˆθ 0. Rajoitetussa SU-estimaatissa ψ 0 µ 0 o selvä. Etsitää sitte rajoitetu SU-estimaati toie osa ˆλ 0 ˆσ 0 äskeisessä tehtävässä muodostetu L: σ 0-derivaata avulla: D σ lσ 0, µ 0 ; y σ 0 > σ < σ 0 + σ 0 y i µ 0 > 0 y i µ 0 σ4 0 y i µ 0 Tälle saadaa tutu sarjahajotelma avulla myös esitys: y i µ 0 y i y + y µ 0 y i µ 0 y i y + y µ 0 ˆσ y + y µ 0 : 4

5 Jos lasketaa suoraa uskottavuusfuktioide avulla ja merkitää z merk. y i y s, saadaa: Lˆµ, ˆσ ; y ˆσ / exp ˆσ / exp Lµ 0, ˆσ 0; y ˆσ 0 / exp Lˆµ, ˆσ ; y ˆσ Lµ 0, ; y ˆσ ˆσ z y i y, / exp / exp / exp ˆσ ˆσ ˆσ ˆσ ˆσ ˆσ / exp / exp / exp / exp / exp / / y i µ 0 y i y + y µ 0 z + y µ 0 z ˆσ z + y µ 0 zˆσ 0 zˆσ ˆσ y µ 0 ˆσ zˆσ + zy µ 0 zˆσ ˆσ y µ 0 ˆσ y µ0 z ˆσ ˆσ y µ0 z ˆσ ˆσ y µ0 s ˆσ ˆσ 0 s ˆσ 0 ˆσ ˆσ + y µ 0 / ˆσ ˆσ y + y µ 0 + y µ 0 / ˆσ s s + y µ 0 / s / + / y µ0 s/ / + ty ty y µ 0 s/ g ty 5

6 Siis vapaa SU-estimaati pisteessä ly, ˆσ ; y logˆσ ˆσ s + y y logˆσ ˆσ s ja rajoitetu SU-estimaati pisteessä lµ 0, ; y log s + y µ 0 Lasketaa esi jälkimmäiste termie erotus k eriksee: k ˆσ s + s + y µ 0 s ˆσ s + y µ 0 ] s ˆσ s + y µ 0 ] ˆσ + y µ 0 ˆσ y + y µ 0 s ˆσ + y µ 0 s ˆσ y µ 0 ˆσ ] ˆσ ˆσ + y µ 0 s y µ 0 y µ 0 ] s ˆσ ˆσ + y µ 0 ˆσ s 0 Siis uskottavuusosamäärä testisuuree laskemiseksi riittää laskea esimmäiste termie erotus: ] ry lˆθ; y lˆθ 0 ; y ly, ˆσ ; y lµ 0, ; y ] logˆσ + ] log log ˆσ ˆσ + y µ 0 log ˆσ ˆσ y + y µ 0 log + y µ 0 ˆσ s s log + y µ 0 s / log + y µ0 s/ log + ty ty y µ 0 s/ g ty Oletetaa > ja merkitää t ty 0, jolloi g t + t t > 0, jote g o aidosti kasvava kuvaus testisuureesta ty. Koska lisäksi suuret arvot olivat kriittisiä, uskottavuusosamäärä testisuure ja kaksisuutaie t-testi ovat ekvivaletit. 6

7 Tehtävä 4. Olkoot Y,..., Y N0, σ. Osoita, että tällä mallilla o mootoie uskottavuusosamäärä perustue tuuslukuu y i, ja johda tämä perusteella tasaisesti voimakkai testisuure ollahypoteesille H 0 : σ, ku vastahypoteesi o H : σ >. Esitä se tarvittaessa aidosti mootoisella muuoksella muutamalla sellaisessa muodossa, joka H 0 -jakauma o tuttu. Vastaus: Tutemato parametri o yt σ, parametriavaruus 0, ja uskottavuusfuktioksi ja log-uskottavuusfuktio voidaa valita: f Y y; σ π / σ / exp σ yi Lσ ; y σ / exp σ yi }{{} merk. ky 4. lσ ; y log σ σ ky Olkoot 0 < σ < σ. Selvästi L o aidosti positiivie, jote voidaa tarkastella suoraa uskottavuusosamäärä logaritmia, jolla o samat mootoisuusomiaisuudet kui uskottavuusosamäärällä: log vy log Lσ ; y Lσ ; y lσ ; y lσ ; y log σ σ ky + log σ + σ ky σ log σ + ky σ σ log σ σ log σ σ + ky σ σ + ky σ σ, σ σ missä esimmäie termi o ky: suhtee vakiotermi ja toisessa tekijä ky kerroi o σ σ σ σ o positiivie, koska imittäjässä esiityy aidosti positiivisia eliötermejä ja oletukse ojalla σ < σ σ σ > 0. Siis v riippuu aieistosta vai tuusluvu ky välityksellä ja o tämä aidosti kasvava fuktio kaikilla σ, σ 0,, ku σ < σ. Oltaisii voitu myös vedota tehtävää, ja todeta, että f Yi π / σ / exp }{{}}{{} σ y i }{{}}{{}, hy i cθ ty φθ i missä h ja c ovat ei-egatiivisia jopa positiivisia fuktioita ja φ o aidosti kasvava fuktio, koska φ θ D σ σ σ σ 4 > 0. Site mallilla o mootoie uskottavuusosamäärä ja ky o tasaisesti voimakkai testisuure ollahypoteesille H 0 : σ ja yksisuutaiselle yhdistetylle vastahypoteesille H : σ >. 7

8 Nollahypoteesi ollessa voimassa voidaa päätellä seuraavasti: Y i Y i Y i Z i N0, Zi W χ Y i N0, Y i N0, Zi W Y i χ Koska muuos ky g ky o aidosti mootoie positiiviluvuilla ky, myös ky o tasaisesti voimakkai testisuure. Nollahypoteesi ollessa voimassa se oudattaa khii eliö jakaumaa vapausasteella. Tehtävä 5. Olkoo mallia Y,..., Y Pµ. Tarkastellaa hypoteeseja H 0 : µ µ 0 ja H : µ µ, jossa 0 < µ 0 < µ. Osoita uskottavuusosamäärää tutkimalla eli Neymai Pearsoi apulausee avulla, että voimakkai testi saadaa testisuureesta y eli otoskeskiarvosta. 5. Vastaus: Oletetaa 0 < µ 0 < µ. Muodostetaa yhteistiheysfuktio ja logaritmie uskottavuusfuktio sekä uskottavuusosamäärä logaritmimuuos: f Y y; µ expµµ yi y i! exp µµ y Lµ; y exp µµ y lµ µ + y log µ log vy lµ lµ 0 y i! µ + y log µ + µ 0 y log µ 0 ] µ 0 µ + y log µ ] µ 0 Koska vy o voimakkai testisuure hypoteesiparille µ µ 0, µ µ, myös se aidosti kasvava muuos, tässä logaritmi, o voimakkai testisuure kullaki merkitsevyystasolla 0 < α <, jolla pätee P H0 vy v α α jollai v α. Oletetaa 0 < α < ja lasketaa tämä todeäköisyys: P H0 vy v α α P H0 µ 0 µ + Y log µ ] v α α µ 0 P H0 Y v α + µ µ 0 α log µ log µ 0 P H0 Y < v α + µ µ 0 α log µ log µ 0 Koska Y i olivat riippumattomia ja Poisso-jakautueita, ollahypoteesi ollessa voimassa parametrilla µ 0, iide summalla Y o Poisso-jakauma parametrilla µ 0. Havaitaa, että mielivaltaisella α ei voida taata, että löytyy sellaie v α, jolla yllä oleva yhtälö pätisi tarkasti. Tulkitaa, että tämä rajoitus voidaa kuiteki sivuuttaa. Edellee logaritmi log vy riippuu aieistosta vai tuusluvu y kautta. Lisäksi se o y: suhtee aidosti kasvava, koska oletukse µ 0 < µ ojalla µ µ 0 > log µ µ 0 > 0. Siis ekvivaletti testi saadaa myös testisuureesta y. T.s. Neyma-Pearsoi apulausetta voi soveltaa aia, ku 0 < µ 0 < µ, jote voimakkai testi saadaa testisuureesta y. 8

9 Tehtävä merkiöi: f Yi y i ; µ exp µµ yi y i! exp µ exp y i log µ }{{}}{{}}{{} cθ>0 ty i φθ, y i! }{{} hy>0 missä φ o logaritmifuktio eli kasvava. Site tehtävä perusteella ky y i y tai mikä tahasa se aidosti kasvava muuos, tässä ky g ky y, o voimakkai testisuure. 9