RATKAISUOHJEET Harjoitus 1

Transkriptio

1 RATKAISUOHJEET Hajoitus Vektoi -kompoeti ( î : ketoime) saat, ku väheät loppupistee -koodiaatista alkupistee -koodiaati Samalla peiaatteella tulee y- ja mahdollie z-kompoetti uuu a) Vektoi AB loppupiste o B = (-,) ja alkupiste A = (, - ), jote uuu AB = (-- ) ˆi+ (-(- )) ˆj=- ˆi+ 4ˆj uuu b) B = ( -(- )) ˆi+ ( - ) ˆj= ˆi- ˆj uuu c) A = (- ) ˆi+ (-(- )) ˆj=- ˆi+ ˆj Vektoit lasketaa yhtee laskemalla vastikompoetit yhtee uuu uuu d) AB + B = (- + ) ˆi+ (4- ) ˆj=- iˆ+ ˆj Vektoi keotaa vakiolla ketomalla se kompoetit kyseisellä vakiolla uuu uuu uuu uuuu uuuv uuuv e) A - B = A -(- B) = ( - ˆi+ ) ˆj + ( ˆi- ) ˆj =-ˆi-ˆj, huomaa tässä B =-B uuu uuu uuu f) AB : pituus o AB 4 AB = (- ) + 4 = 5, jote yksikkävektoi o uuu ˆ ˆ AB =- 5 i+ 5 j v = km/h o vede vitausvauhti v = 5 km/h o soutuvauhti vedessä v = v -v o vauhti suoaa joe yli v Soutusuuta siq = =,6 Þ q» 6,9astetta v Soutuaika s,5km t = = =,5h = 7 mi s v 4 km/h Määitellää esi vektoi B aettuje pisteide avulla (vt tehtävä ) B= (-- ) iˆ+ (-4- ) ˆj+ (-(- )) kˆ =-4ˆi- 7ˆj+ 4k ˆ a) Vektoi A skalaaipojektio vektoi B suutaa o p = A cosa, missä a o vektoeide A ja B välie kulma Pistetulo o tuetusti AB = AB cosa, jote AB 9 p = = = Tässä siis A = 4ˆi- ˆj+ k ˆ B 9 b) Vektoipojektio o B 4ˆ 7ˆ 4 p= p =- i- j+ kˆ B 9 9 9

2 i j k 4 a) j (i - 4 k) = = i( -8 -) - j( - ) + k( - 6) =-8i-6k -4 TAI j (i - 4 k) = 6( j i) - 8( j k) =-6k-8i i j k b) ( i + j - k) (i - j + 4 k) = - = i(4 -) - j(8 + ) + k( -4 - ) = i- j-7k - 4 TAI ( i + j - k) (i - j + 4 k) = 6( i i) - 4( i j) + 8( i k) + ( j i) - ( j j) + 4( j k) - ( k i) + ( k j) - 4( k k) = i-j-7k 5 a) Yhtälö aa+ bb= Û aˆi+ aˆj- akˆ + 5bˆi- bˆj+ bkˆ = ˆi- 5ˆj+ akˆ ja edellee (a + 5 b) ˆi+ ( a - b) ˆj+ (- a + b) kˆ = ˆi- 5ˆj+ akˆ kompoeteista saat yhtälöyhmä ìa + 5b = ï ía - b =-5 ï î - a + b = a Kahdesta esimmäisestä yhtälöstä atkeaa b = ja a = ja sitte viimeisestä a =- b) Vektoi o kohtisuoassa vektoia A B vastaa, jote -5 a A B= - = ( + 5) + a( -6-5) =-- a= 5 - ( ) Þ a=- uuu 6 a) PQ =- ˆi+ ˆj+ kˆ u uu ja PR = ˆi+ ˆj-kˆ Mekitää ˆi ˆj kˆ uuu uuu N= PQ PR = - =- ˆi+ ˆj-kˆ - Tätä vastaava yksikkövektoi o - i+ ˆj-kˆ ˆ =± =± (- i+ ˆj- kˆ)

3 b) Koska -vektoi käki o tasolla, eotusvektoi -OP uuu o myös tasolla (ks kuva), eli se o uuu uuu kohtisuoassa ˆ -vektoia vastaa O siis ( - OP) ˆ =, missä OP = ˆi+ ˆj ja = iˆ+ yˆj+ zk ˆ ± -( - ) + ( -) - =, joka johtaa sitte lopputuloksee - y+ z = 4 Tulee ( y z)

4 RATKAISUOHJEET Hajoitus a) Polyomifuktio o jatkuva, jote lim f( ) = f( ) Tässä tapauksessa lim( ) = = 4 b) Toispuoleiset aja-avot - -( -) lim f( ) = lim = lim = lim( - ) =- ja lim f( ) = lim = lim = lim() = ovat eisuuet, jote aja-avoa ei yksikäsitteiseä ole olemassa c) Tässä t - ( t- )( t+ ) t+ f() t = = =, josta ähdää, että t - t+ ( t-) t- lim f() t = + ja lim f() t = - + t - t Ääetö ( ) ei ole luku, koska sillä ei ole avoa Se vai ketoo, että fuktio avo kasvaa (siis muuttuu koko aja) kohti ääettömyyttä, ku takastelupistettä lähestytää Tässä tapauksessa aja-avoa ei siis ole olemassa d) Tässä o lim lim = + - = +, mutta aja-avoa ei edelleekää ole olemassa a) Fuktio ei ole jatkuva takastelupisteessä, jote se ei voi olla deivoituva TAI myös laskemalla f( ) - f( ) - ( -) lim = lim = lim = lim = f( ) - f( ) (-)- - = = = lim lim lim Raja-avot eisuuia, jote fuktio ei ole deivoituva b) Fuktio o jatkuva takastelupisteessä, jote se voi olla deivoituva Takastetaa oko ja ( )- ( ) - ( - )( + ) f f lim = lim = lim = lim( + ) = f( ) - f( ) (-) - ( -) lim = lim = lim = lim = O deivoituva, deivaata avo o f '() = ja

5 a) Tässä --D D f( +D) - f( ) = - = =- +D ( +D ) ( +D) ja tulee f æ ö '( ) = lim ç - =- D è ( +D) ø b) Tässä ( +D - )( +D + ) D f( +D) - f( ) = +D - = = ( +D + ) +D + ja tulee f æ ö '( ) = lim D ç = è +D + ø 4 Deivaata määitelmä ojalla, ku f( ) =, tulee Tässä biomikehitelmä mukaa D ( +D) - = lim D D æö æ ö - æ ö - æ ö ( +D ) = ç ( D ) + K+ ç ( D ) + ç ( D ) + ç ( D) èø è-ø è-ø èø ( -) - - = ( D ) + + ( D ) + ( D ) + jolloi eotusosamäää osoittajaksi jää ja edellee eotusosamäääksi ( -) ( +D) - = ( D ) ( D ) + - ( D) ( +D) - ( -) = ( D ) + + ( D ) + D Ku tästä otetaa aja-avo D, ii jäljelle jää vai D - = -, ts ht ( )-ht ( ) 5 Keskiopeus aikavälillä t = t = o = 6,8 (m/s) t-t Hetkellie opeus deivoimalla h'( t) = -,6t, josta hetkellä t = tulee 8,4 (m/s) Huomioita: ) Nopeudella o aia suuta Tässä tehtävässä suuta selviää etumekeistä Ku opeus o plus-mekkistä kappale letää (siis opeus o) ylöspäi Miius-mekki takoittaa suutaa alaspäi ) Yksiköt: koska kokeus o h( t) t,8t = + -, ii :e yksikkö o m, : yksikkö o m/s ja,8: yksikkö o m/s Näillä h'() t : yksiköksi tulee m/s

6 6 a) Tässä voit soveltaa joko tulo deivoitia 4 D( + )( - ) = ( - ) + ( + ) = tai ketomalla deivoitava esi auki ja deivoimalla sitte 5 4 D ( + )( - ) = D ( ) = b) Osamäää deivoiilla D + ( + )- + - / ( + ) = + = = + (+ ) ( + ) / c) D D D (si + si ) = (si ) + (si ) = cos( ) + si ( ) cos( )

7 RATKAISUOHJEET Hajoitus Vitausopeus o F() 4 = k, josta F '( ) 4 = k ja avio muutokselle saa muodo (s 7) () '() 4 D F» F D = k D Vitaamisopeude suhteelliselle muutokselle tulee D 4 D D» = F k 4 4 F k Tästä atkaistaa sätee suhteellie muutos ja lasketaa sille avio D DF,» = =,5 4 F 4 Tässä siis D F / F =, ( %: suhteellie muutos vitausopeudessa) ja tulos D /»,5 takoittaa, että tavitaa oi,5 %: sätee suhteellie muutos f( ) =, 5 = ja D = D f ( ) = f ( +D ) - f ( ) = '( ) 5 5 ( + ) -» f D = = = ( ) Kijoitetaa esi pita-ala esimekiksi : fuktioa A( ) = y= (6 - ) = 6- ja haetaa sitte se, joka ataa suuimma pita-ala Kiittiseksi pisteeksi, deivaata ollakohdasta A'( ) = 6-4= tulee = 5 Tämä vastaa maksimia, sillä toie deivaatta A''( ) =- 4 o kiittisessä pisteessä (ja äköjää myös kaikkialla) egatiivie Fuktio euakohdissa A ( = ) = A ( = ) =, jote maksimi o A (5) = 9-45 = 45 Vastaus: Sivut ovat = 5m ja y = m Pita-ala o 45 m 4 a) si =, jote voidaa soveltaa l'hospitali säätöä lim si si Dsi cos Tulee lim = lim = lim = = si Dsi cos

8 e -( + ) -(+ ) = =, jote voidaa soveltaa l'hospitali säätöä b) lim e -( + ) e - e Tulee lim = lim = lim = (Huom! Sovellettu kaksi ketaa) æ a ö c) lim l ç + = ei täytä sellaiseaa l'hospitali vaatimuksia è ø æ aö l a ç + æ ö Kijoitetaa l è ø ç + = ja sovelletaa l'hospitalia tähä Tulee è ø / - æ aö æ aö æ a ö lç + ç + ç - a lim è ø = lim è ø è ø = lim = a - + a/ 5 Lasketaa esi kokoaisdiffeetiaali ja kijoitetaa siitä muoto æ R ö æ R ö k kl dl d dr = ç dl + ç d = dl - d = R -R è l ø è d ø l dr dl d = - R l Tästä päästää avioimaa suhteellise vihee yläajaa, ku kijoitetaa DR Dl D + R l D l D D R Numeoavoilla =,5 ja =, saadaa,5 +, =,7 eli 7 % l R 6 a) Implisiittise deivoii vaatimus f(, y) = toteutuu, ku siietää aetussa yhtälössä vasemmalle puolelle Tulee meetelmällä f(, y) = y - = Tästä implisiittise deivoii f dy - =- =- = f d y y y

9 Tässä o huomattava, että tulos o voimassa vai, ku ³ (koska y =± ) b) Käyä y = o y-koodiaatistossa oikealle avautuva paabeli Käyä piitämiseksi lasketaa muutamia apupisteitä ja hahmotellaa kuvaaja: Pisteet, joissa =, ovat (, + ) ja (,- ) Tageti kulmakeoi (deivaatta) esimmäisessä o /y =+ / ja jälkimmäisessä /y =- / c) Pisteessä (,) tageti kulmakeoi o, jote tagetti o suoaa ylöspäi pitki y-akselia

10 RATKAISUOHJEET Hajoitus 4 a) Suljetu aluee hahmottamiseksi esi kaattaa piitää kuvaaja Käyät leikkaavat toisiaa, ku = + ja tästä saat ± ( ) ± 5 ì-/ -- = Þ = = = í 4 î Itegoimisajoiksi tulee siis -/ ja Pita-alaksi itegoidaa b) [ ] g( ) d- f ( ) d = g( ) - f ( ) d = é ë + - ù ûd -/ -/ -/ -/ é ù æ 6 ö æ ö 5 = ê + - = ç ç - + = + = -/ë û ú è ø è8 ø Käyät leikkaavat toisiaa, ku si = cos Þ ta = eli pisteissä = p /4 ja = 5 p /4, ku p Pita-alaksi tulee p/4 5 p/4 p (cos - si ) d + (si - cos ) d + (cos -si ) d p/4 5 p/4 p/4 5 p/4 p ( ) ( ) ( ) = si + cos + -cos - si = si + cos p/4 5 p/4 = ( - ) + ( + ) + (+ ) = 4 Fuktio f( ) = + - yleie itegaalifuktio o F ( ) = + - +, joka deivaatta o alkupeäie fuktio, ts F'( ) = f( ) Itegaalifuktio kiittiset pisteet saadaa siis ollakohdista f( ) = Tulee - ± 4+ - ± 4 ì = Þ = = =í 6 6 î / Itegaalifuktio toie deivaatta o F''( ) = f '( ) = 6+ ja tämä kiittisissä pisteissä saa avot F ''(- ) = - 4 < ja F ''(/ ) = 4 > Pisteessä =- o siis maksimi ja kijoittamalla F - = = saadaa tulos = ( ) ( ) ( )

11 a) f = d= = (5- ) = 6 b) p p p p æ ö f = cos d = ç cos + d = cos d + d p - p è ø 4p 4p p p æ ö p ç si = + = + = p è ø p p 4 a) b) c) cos(5- ) d = 5cos(5+ ) d = si(5+ ) cos si si 4 4 d= d = d = l( + ) Osittaisitegoiti: f( g ) '( d ) = f( g ) ( )- f'( gd ) ( ) d) e d= e - e d = e - e + = ( - ) e + e) si d =- cos + cos d ja sitte uudellee osittaisitegoiilla =- cos + si + cos = ( - ) cos + si

12 5 a) Sijoitus t = - eli = (- t) ja edellee = (- t) / ja = (-t) / Diffeetiaali d = =- ( - ) dt -/ d dt t dt Itegoimisajat: = Þ t = ja = Þ t = Lasketaa: æ ö - = - ç - - =- - =- - è ø / / -/ / / / d ( t) t ( t) dt ( t) t dt ( t t ) dt ja itegoidaa / / / / æ / 5/ ö - d =- ( ) ( ) t - t dt = t t dt t t - = ç - = - = è 5 ø 5 5 b) Sijoitus u = p l du p d du Diffeetiaali du = d = d, josta = d p Rajat: = Þ u = p l= ja = eþ u = p l e= p Itegoidaa: e p si( p l ) si( u) p d = du = (- cos( u) ) = (- cos( p ) + cos() ) = p p p p 6 Keotaa alkupeäie saja q :lla ja väheetää tästä alkupeäie saja: ja tästä - qs = aq + aq + aq + L + aq + aq - - S = a + aq + aq + L + aq + aq eotus: qs - S =- a + aq -q S( q- ) = a( - + q ) Þ S = a -q

13 RATKAISUOHJEET Hajoitus 5 a) Suppeevuusehto o a + lim = lim = lim 5 < 5 /! ( )! /( )!! a + ja tästä saadaa < Saja suppeee siis kaikilla : avoilla lim 5 + b) Suppeevuusehto o a + + lim = lim = lim < / a / + + ja tästä saadaa < = = Saja suppeee, ku - < < + + / lim lim + + / c) Suppeevuusehto o lim = lim - ( - ) < ja tästä seuaa + ( ) ( ) / ( ) - (-) ( - ) / + - < = = Saja suppeee, ku - < - < eli ku < < lim lim + + / a) 4 = K=å = f( ) a a a a a a () - ( ) = K=å = f a a a a a () () = K= å ( ) - - = f a a a a ( 4 K å = f () = a + a 4 + = a ( -)( -) je Selvästi ähdää, että ( k ) -k f ( ) = åa( -)( -) L ( - k+ ) = k Deivoiissa saja esimmäie "vakiotemi" ollautuu aia pois, jote saja alku siityy koko aja ylemmille : avoille k:essa deivaatassa esimmäie temi o - = k b) Deivaatassa ( k f ) ( = ) temit, joissa > k keoi k k - = - =, jote temit häviävät Vai esimmäisessä temissä, missä ja tulee = k, o ( k f ) () = akk ( -)( k- ) L = ak! Tästä sitte k k k - = = Tämä jää ollasta poikkeavaksi

14 a k ( k f ) () = tai vaihtamalla ideksi k saadaa k! a ( f ) () =! () - - f = f = e = - e ( ) ( ) ( ) () - ( ) - f =- e = (-) e ( ) ( ) () - - f = e = - e () f () = (-) () f () = (-) () f () = (-) selvästi ( f ) ( ) = (-) e - ( f ) () = (-) Sajaksi tulee siis Suppeemissäde f () (-) e!! 6 ( ) - = = = å å K = = R = = = =, + a! ( ) / ( )! lim lim lim lim a ( ) /! - ( + )! + eli saja suppeee kaikilla : avoilla 4 f () ( ) = si f () () = f () ( p /) = f () ( ) = cos f () () = f () ( p /) = f () ( ) =-si f () () = f () ( p /) =- f () ( ) =-cos f () () =- f () ( p /) = f (4) ( ) = si f (4) () = f (4) ( p /) = f (5) ( ) = cos Kootaa sajat: f (5) () = 5 a) si = - + -K, ku a =! 5! b) 4 f (5) ( p /) = æ p ö æ p ö si= - ç - + ç - -K, ku a = p /! è ø 4! è ø c) Laskimella si( p /8) =,98795 a-kohda sajasta: si( p / 8) =,7897 -, 756 +,89- K =,94498 b-kohda sajasta: si( p /8) =, -,776 +,99- K =,9885 Havaitaa, että b-kohda saja suppeee opeammi Tämä johtuu siitä, että takastelupiste = p /8 o lähempää kehityspistettä a = p / kui kehityspistettä a =

15 5 Käytetää elativistise kieettise eegia lausekkeessa E æ ö sajakehitelmää ç -b è ø ki = mc b b b -b = K Poimi saja esimekiksi fysiika vakio- ja kaavakokoelmasta, missä = K, missä < Sijoita tähä =- b Suppeemieki vamistuu, koska b = ( v / c) = ei-elativistisillä opeuksilla Katkaistaa saja ii, että mukaa tulee vai kaksi esimmäistä temiä Kieettiseksi eegiaksi tulee appoksimaatio æ ki b ö b æ v» + - = = ö = v E mc ç mc mc ç m è ø ècø 6 Pätee e = + ( ) + ( ) +K, cos( ) ( ) ( ) 4 4 = - + +K, jote l( ) ( ) ( ) ( ) + = - + +K ja e - + ( )l( ) 8 lim = lim = ( -cos ) æ9 8 ö ç è ø

16 RATKAISUOHJEET Hajoitus 6 a) a + i + i + i + i -i ( ) / ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) lim = lim = lim = = = = a + i Koska <, ii suhdetesti mukaa saja suppeee b) z = 5+ i, - i z* = 5- i + i ja z = zz* = = = 7 + Yleisesti z iy [cos( ) i si( )] e f p i( + ) = + = f+ p + f + p =,,,, missä = + y ja f = acta( y/ ) a) z = -i = + (- ) = 8 = ja = ± ± K f = acta( - / ) = acta( - ) = - p / 4 (tai - p /4+ p = p /4) Kuvasta äet, että p /4 ei käy, jote b) z =- + i = (- ) + ( ) = + = ja z = e i (- p/4+ p) f = acta( - / ) = p / (tai - p /, joka ei käy, kuva) z = e i ( p/+ p) z = + i, joka = + = ja f = acta(/) = acta() = p / 4, ( - p /4 ei käy) ip ( ) 5 + i = e = e = p + i p = - - i =- - i 5 /4 i5 p/4 ( ) 4 4 (cos5 /4 si5 /4) 4 ( / / ) 4 4 i( k ) 4 Peiaate: Esitä aettu kompleksiluku esi apakoodiaattimuodossa z = a + ib = e f+ p / / i( k )/ ja laske sitte juuet sivulla 9 esitetyllä tavalla: z = e f+ p Muista, että eisuuia juuia o olemassa kappaletta a) z =- =- + i eli = (- ) + = ja f = acta( / (- )) = acta() = p (tai, ei käy) i( k ) O siis z = e p+ p / ( / /), k =, ±, ± K ja sitte z = e i p + k p, k =-,, Kolmasia juuia o kolme kappaletta ( = ), jote valitaa kolme peäkkäistä k: avoa (oma mau mukaa)

17 k =- : k = : / i( p /- p /) i( -p /) z = e = e = cos( - p /) + isi( - p /) = -i / i( p/) z = e = cos( p /) + isi( p /) = + i / i( p /+ p/) i( p) k =+ : z = e = e = cos( p) + isi( p) =- b) z =- 8i = -8ieli = + (- 8) = 8 ja f = acta( - 8 / ) =- p / (tai + p /, joka ei käy) ( / ) = 8 i - + k,,, z e p p k = ± ± K, josta / / i( /6 k /) z = 8 e - p + p, k =-,, / i( -5 p/6) k =- : z = e = ( cos( - 5 p / 6) + isi( - 5 p / 6) ) =- -i / i( -p /6) k = : z = e = ( cos( - p / 6) + isi( - p / 6) ) = -i / i( p /) k =+ : z = e = ( cos( p / ) + isi( p / ) ) = i ì - y =- 5 5 a) Yhtälöstä ( + iy) = + yi + i y =-5-8i saadaa yhtälöpai í î y =-8 Jälkimmäisestä atkaistaa y =- 4/ ja ku tämä sijoitetaa edellisee, tulee - 6 / =- 5 eli ( ) 5( ) = Tämä o toise astee yhtälö :lle Ratkaisuksi kijoitetaa - 5 ± (5) -4(-6) - 5 ± ± 7 = = = eli = ja =- 6 Jälkimmäie ei kelpaa, koska o eaaliluku Ratkaisu = johtaa juuii =, y =-4 Þ -5-8i = -4i =-, y = 4 Þ -5-8i =- + 4i b) Yhtälö z + (i- ) z+ 5- i= o toise astee yhtälö, joka juuet ovat -(i- ) ± (i-) -4(5-i) - i± -4 - i i - i± -5-8i z = = = Ku tähä sijoitetaa a-kohda tulokset -5-8i = + - 4i ja - + 4i, tulee - i± ( + -4 i) - i± m4i ì-i z = = =í î + i - i± (- + 4 i) - im± 4i ì+ i z = = =í î - i Ratkaisut ovat siis z = - i ja z= + i

18 d d z = e - e = ie + ie = e + e = cos z dz i dz i æp ö i p + i - i p + i i p - -i p siç + il = e - e = e e -e e è ø i i ( /) l - i p -i ( p /) l i ( p /) - -i ( p e e e e e e /) - = - = - = i + i i i i æ ö 4 5 = ç i+ i = + = iè ø iz -iz iz -iz iz -iz 6 a) si ( ) ( ) ( ) ( / l) ( / l) ( /) l ( /) l b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

19 RATKAISUOHJEET Hajoitus 7 a) Yhtälö ketaluku o kaksi, koska yhtälössä esiityy kokeimpaa y: toie deivaatta Riippumato muuttuja o Yhtälössä atkaistaa y:tä, joka o : fuktio b) Yhtälö o lieaaie, koska y ja se deivaatat esiityvät siiä kokeitaa esimmäisessä potessissa c) y =, y ' =, y '' = ja ku ämä sijoitetaa alkupeäisee yhtälöö, tulee eli yhtälö toteutuu ( ) ( ) = Þ =, f dy Deivoidaa f(, y) = + y = 4 implisiittisesti: =- =- =- d f y y y (TAI + yy' = Þ y' =- / y) Sijoitetaa tämä alkupeäisee yhtälö dy =, jolloi tulee d y - y = y Tulos o epätosi a) Sepaoidaa esi muotoo y dy = ( -) d ja itegoi tulos y = - + / Tästä y = - + ja edellee y = ( - + ) Tässä siis = o vakio b) Sepaoidaa muotoo ja itegoi esi tulos ( ) l t l e t + d = = + = ja sitte t t =± e e = e Tässä =± e Alkuehto johtaa vastauksee ( t = ) = e = = ( t) = e t t dt M N 4 a) Tässä M (, y) = y + ja N(, y) = - Yhtälö o eksakti, koska = = y F O olemassa fuktio Fy, (, ) jolle pätee = M = y + ja F = N = - ja y diffeetiaaliyhtälö atkaisu o F(, y) = Haetaa siis fuktiota Fy (, ) Ratkaisemie: F F = y+ Þ F= y+ + hy ( ) ja sitte = + h'( y) = - Þ h'( y) =- y

20 eli h( y) =- y+ c ja lopulta saadaa F(, y) = y+ - y+ c Diffeetiaaliyhtälö atkaisuksi kijoitetaa F(, y) = c eli y+ - y =, missä = c - c Vastaus voidaa - muotoilla myös muotoo y = - Ratkaisu takistamie: Esimekiksi atkaisusta y+ - y = implisiittisellä deivoiilla saadaa F dy y + =- =- (TAI y+ y' + - y' = Þ y' = (sama kui edellä) ), d F - y josta edellee ( ) ( ) - dy =- y + d Ku tämä sijoitetaa alkupeäisee diffeetiaaliyhtälöö ( ) ( ) y + d + - dy, tulee =, joka o tosi b) Sepaoituvaa yhtälöä: Sepaoidaa esi muotoo t t æe + te ö ç t dt = - dy è te + ø y Vasemmalla puolelle osoittaja o c æ t c e ö imittäjä deivaatta, jote l te + =- l y + c = l + l e = l Tästä y ç y è ø c e t ± = te + ja edellee yt () = t y te +, missä c =± e Alkuehto y () =- ataa :lle - y() = =-Þ =-, jote yt () = t te + Eksaktia yhtälöä: (, ) ( t t t M N M t y = e + te ) y ja N( t, y) = ( te + ) ja lisäksi =, jote yhtälö o eksakti y t F t F t t t t = N, josta F= ( te+ ) y+ gt () ja edellee = y( e + te ) + g '( t) = y( e + te ) = M y t t Tästä äemme, että g'( y ) =, eli g() t = vakio Ratkaisu o F( y, t) = ( te + ) y =, josta y = Alkuehto y () =- ataa :lle avo - t ( te + ) 5 a) Kijoitetaa yhtälö esi muodossa d v = g -gv, missä g = k/ m= s - ja g = ms - dt dv Yhtälö sepaoituu = dt g -gv ja itegoimalla tulee - l g - g v = t + ja tästä edellee g -gt-g -gt ( ) ( ) l g- gv =-gt- g = l e = l e, missä = e -g - Edellee g- gv=± e g t josta - () t ( g e gt v = - ), missä =± Alkuehto v () = ( g- ) = ataa = g, jote g g g - t v ( t) = ( -e g ) g

21 - g ms m b) Rajaopeus vte = lim v ( t) = = =, eli oi cm sekuissa t - g s s g g - t c) 99% ajaopeudesta, ku v ( t) =,99 = ( -e g ), josta - e -g t =,99 eli g g e -g t - = ja lopulta t = l =,5 s g 6 Molemmat ovat lieaaisia kl: yhtälöitä dy a) Stadadimuodosta - y = + ähdää, että P ( ) =- ja Q( ) = + d m( ) æ ö Lasketaa e = ep ( P( ) d) = ep( - l ) = epç l = è ø ja atkaistaa m( ) y( ) = ( )( e ( ) ) Q d+ m e æ ö æ æ -ö ö - = ç ( + ) d + d = ç ç + + = ( l - ) + è ø è è ø ø ( l ) = + - TAI suoaa itegoivaa tekijää käyttäe: d m( ) d æ ö dy( ) ædy ö ( e y ( )) = ç y ( ) ( ) =- y+ = y ç - = ( + ), d d è ø d èd ø jote æ -ö - y( ) = ( ) d d l + = ç + = - + è ø eli y( ) = (l + ) - b) Stadadimuoto o dy y e d - = Tässä ( ) m ( ) - Lasketaa ep( ) e = - = e ja atkaistaa P =- ja Q( ) = e - y( ) = e e e d + e = e e + e = e + e TAI itegoiva tekijä avulla: d m( ) d dy( ) - ædy ö - ( e y( ) ) = ( e y( ) ) =- e y( ) + e = e ç - y = e e = e d d d èd ø jote - e y( ) = e d= e + ja lopulta y( ) = e + e,

22 RATKAISUOHJEET Hajoitus 8 dy + y t + tty + y DY = f( y, ) = o homogeeie, koska f ( t, ty) = = = f (, y) d y+ y tty + t y y + y Ratkaistaa sijoittamalla v = y/ Þ y = v, josta dy d v = v + Tulee d d dv + v + v v + = = d v + v v + v joka sepaoituu muotoo v dv = d - Saadaa v -v - d = d v -v Þ - l - v = l + K, josta l l l K K - e - l( e v = + = ) ja edellee - v = -, missä =± e -K Palautetaa v = y/ ja saadaa y - = ja lopulta - y = a) Kaakteistie yhtälö o -4-5=, joka juuet ovat 4 ± 6 + ì = 5 = = ± Þí î =- 5 Yleiseksi atkaisuksi tulee y( ) = ce + ce -, josta alkuehtoa vate deivoidaa 5 y'( ) = 5ce - ce - Alkuehdoista saadaa yhtälöpai -5 ì y( - ) = ce + ce = ì c = e í, josta -5 í îy'( - ) = 5ce - ce = 9 îc = e ( + ) -( + ) y( ) = e e + e e = e + e 5 ja alkuehdot täyttävä yksittäisatkaisu o b) Kaakteistise yhtälö - + = juuet ovat ± = = ± i = a ± ib 4 DY: yleie atkaisu o a / y( ) = e [ c cos( b) + c si( b)] = e [ c cos(5 / ) + c si(5 / )] c) Kaakteistise yhtälö = aioa juui o - ± - = =- 5 = -5 Yleiseksi atkaisuksi tulee y ( ) = e ( c+ c) a) Homogeeie yhtälö y'' + y' - y =, joka kaakteistise yhtälö + - = atkaisut ovat - ± ± ì = = = Þí î =- Yleie atkaisu o y( ) = ce + ce = ce + ce - h

23 b) Nyt g( ) = si, jote yitteeksi valitaa y ( ) = Acos + Bsi Ku tämä ja deivaatat y' ( ) = - Asi + Bcos ja y'' ( ) =-Acos - Bsi sijoitetaa alkupeäisee p p täydellisee yhtälöö y'' + y' - y = si, saadaa -Acos -Bsi - Asi + Bcos -Acos - Bsi = si Jäjestellää vaseta puolta (- A+ B- A)cos + (-B- A- B)si= si, jolloi saadaa ketoimille A ja B yhtälöpai p ì- A+ B- A= B- A= ìb- 9A= í Þí, î-b- A- B=-B- A= î-b- A= josta luetaa suoaa A =- / ja B =- / Yksittäisatkaisuksi tulee yp( ) =- cos - si c) Täydellise yhtälö yleie atkaisu o - yh( ) + yp( ) = ce + ce - cos - si 4 a) Homogeeie osa: Kaakteistise yhtälö - = juuet ovat, =±, jote yh( ) = ce + ce - Yksittäisatkaisu: Tässä g( ) =- + o esimmäise astee polyomi, jote valitaa yitteeksi esimmäise astee polyomi yp( ) = a+ b Tämä ja deivaatat y' p( ) = a ja y'' p ( ) = sijoitettua alkupeäisee yhtälöö y'' - y =- + ataa -a- b=- + Tästä atkaisemme a = ja b =-, jote y ( ) = - p - Täydellise yhtälö atkaisu: y( ) = yp( ) + yh( ) = - + ce + ce b) Homogeeie osa: Kaakteistise yhtälö t t = juui o =, jote h() t = ce + cte Yksittäisatkaisu: t t Tässä g() t = te, jote luoollie valita yitteeksi olisi ate Tämä kuiteki atkaisee jo homogeeise yhtälö, jote se ei aa lieaaisesti iippumatota tulosta eikä site lopullista t atkaisua Valitaa yitteeksi () t = hte (), missä ht () o joki vielä tutemato fuktio Deivaatat ovat t t ' p( t) e h' e h = + ja p '' ( ) t '' 4 t ' 4 t p t e h e h e h = + + ja ku ämä sijoitetaa alkupeäisee yhtälöö, tulee h'' = t, josta h= t /6 (tässä itegoimisvakiot voidaa valita olliksi, koska haetaa yksittäisatkaisua) Täydellise diffeetiaaliyhtälö lopullie atkaisu o t () t = t e + h() t 6 5 a) Sijoitetaa vektoii ˆ =- gt k+ v ˆ ˆ ˆ ˆ t =- gt k+ ( vi+ vyj+ vzk) t umeoavot (SI-yksiköissä) g =, v = v = 5 ja v ja jäjestellää y z = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ =- 5t k+ 5ti+ 5tj+ tk = 5ti+ 5tj+ 5(4 t-t ) k

24 Muutama saa yksiköistä: Kompoeteissa 5ti ˆ ja 5tj ˆ lukuavo 5 yksikkö o m/s Kompoetissa 5(4 t-t ) k lukuavo 5 yksikkö o m/s ja lukuavo 4 yksikkö o s ˆ b) Deivoidaa opeudeksi v = & = 5ˆi+ 5ˆj+ 5(4-) tkˆ, josta aja hetkellä t = tulee v = & = 5ˆi+ 5ˆj-kˆ Nopeude yksiköksi tulee m/s Vauhti o itseisavo v = v = = 5 6 (m/s) c) Lakikokeudessa z: suutaie opeus o olla, eli 5(4- t) =, josta t = (s) d/ dt 5ˆi+ 5ˆj+ 5(4- ) t kˆ m/s ˆi+ ˆj+ (4-) t kˆ d) T= = = Laaduto (yksiköt supistuvat pois) d/ dt m/s (4- t) + (4- t) ˆi+ ˆj+ (4-4) kˆ b) Lakikokeudessa t =, jote T= = ( i ˆ + ˆ j) + (4-4) c) Maahaosumishetki o t = = 4, jote ˆi+ ˆj+ (4-8) kˆ ˆi+ ˆj-4kˆ T= = + (4-8) 5 Käyä piitää vektoi = ( ) = ˆi+ ˆj (kuva vieessä) d/ d ˆi+ ˆj T= =, joka o d/ d + 4 î, ku = ˆ ˆ ˆ i+ j j dt dt/ d (+ 4 ) = = ds d/ d + 4 () 4 (8), joka o j ˆ ku = dt k = =, ku = ds dt N= = ˆ j= ˆ j, ku = k ds = =, ku = k

25 RATKAISUOHJEET Hajoitus 9 a) v = v T, josta d ( ) d v d T a= vt = T+ v dt dt dt Koska d T d T / d d T k N = = = / v, ii d T = v k N ja saadaa ds dt dt dt dt d a= v v T+ N, missä = dt k = Rcos( w t) ˆi+ Rsi( w t) ˆj b) d ˆ ˆ v = =- Rwsi( wt) i+ Rwcos( wt) j ja v = v = Rw si ( wt) + cos ( wt) = Rw dt dv Kiihtyvyydet ovat at = = ja an R dt = v w = v R = Tässä siis = R, koska R-säteisessä ympyäliikkeessä: d d / si( ˆ ˆ dt T= =- wt) i+ cos( wt) j ja =-wcos( w ˆ ˆ t) i-wsi( wt) j dt dt dt dt dt d Edellee = / =- cos( w ˆ ˆ t) i- si( wt) j, josta ds dt dt R R dt k = = cos ( wt) - si ( wt) =, jote = = R ds R R k Muuetaa esi = ˆi+ yˆjapakoodiaatistoo, jossa ì = cosf í îy = sif ˆ cos ˆ si ˆ ì ï e = fi+ fj í ˆ si ˆ cos ˆ ïîef =- fi+ fj Þ ì si ˆ si cos ˆ si ˆ ï fe = f fi+ fj í Þ ˆ cosfˆ cos si cos ˆ ˆ j= sifeˆ ˆ + cosfef ïî ef =- f fi+ fj ì ï eˆ cos ˆ si ˆ = fi+ fj ˆ ˆ í ˆ si ˆ cos ˆ ïîef =- fi+ fj Þ ì ïcosfeˆ = cosfcosfi+ cosfsifj í sifˆ si si ˆ Þ si cos ˆ ˆ i = cosfeˆ ˆ -sife ïî ef =- f fi+ f fj Saadaa = ˆi+ yˆj= cosféëcosfeˆ si ˆ si si ˆ cos ˆ ˆ - fefùû+ féë fe + fefùû= e kt kt Tässä tehtävässä = be, jote = be e ˆ Nopeus deivoidaa v = = eˆ ˆ + & kt kt & & fef Tässä tehtävässä = be, & = kbe ja f & = c, kt jote v = be ( keˆ ˆ + ce f ) a) Skalaaiketä f = z- y gadietti yleisessä pisteessä (, y, z) o f ˆ f ˆ f Ñ f = i+ j+ kˆ = zˆi- yˆj+ k, ˆ y z josta pisteessä (,, ) tulee Ñ f = 4ˆi- 6ˆj+ k ˆ f

26 b) Suuattu deivaatta Ñ ˆf =Ñ f ˆ saa suuimma avosa gadieti Ñ f suutaa, jote Ñf Ñ f Ñ f Ñ ˆ ˆ f =Ñ f =Ñ f = = = = 56 = 4 Ñf Ñ f a) Nähdää, että ( + + y ) z = eli f ( yz,, ) = z+ z+ yzja = b) Tasa-avopia gadietti Ñ f = zˆi+ 4 yzˆj+ (+ + y ) ko ˆ kohtisuoassa pitaa vastaa Pisteessä (,) o =, y = ja z =, jote gadietiksi tulee Ñ f = 6ˆi+ 8ˆj+ kˆ ja yksikköomaalivektoiksi saadaa Ñ f 6ˆi+ 8ˆj+ kˆ ˆ = = = (6iˆ+ 8ˆj+ kˆ) Ñ f c) Gadietista Ñ f = zˆi+ 4 yzˆj+ (+ + y ) k ˆ luetaa, että vektoi osoittaa ylöspäi, jos 5 a) z = ja 4yz = ja + + y > Viimeie ehto o aia voimassa ja kaksi esimmäisestä toteutuu, jos = ja y = (vaihtoehto z = ei toteudu missää pisteessä) z (,) = = + + f(, y) y = +, ˆ ˆ Ñ f = i+ yj, joka pisteessä (,-) o 4 ˆ i- 4 ˆ j b) Napakoodiaateissa = cosf ja y = sif, jote f(, f) = cos f+ si f = Napakoodiaatistossa Nabla o Ñ= eˆ ˆ + e f, jote Ñ f = e ˆ f Pisteessä ( =, y =- ) eli koodiaateissa ìï = + y = í o Ñ f = 4 e ˆ ï îf = acta( y/ ) =- p / 4 c) Napakoodiaatisto pisteessä (, -p / 4) cos( / 4) ˆi+ si( / 4) ˆj= (/ eˆ = - p - p ) ˆi-(/ ) ˆj, jote 4 eˆ 4ˆ 4ˆ = i- j 6 a) Nopeus o olla, ku + = Þ =- ja + y -y- = eli yt y( y- ) = Nopeus o siis olla pisteissä (-,) ja (-,) b) Pyöteisyys: iˆ ˆj kˆ Ñ V = / / y / z = (6- y)ˆ k y y Pisteessä (-,) Ñ V=6k ˆ ja vesimassa kietyy vastapäivää Pisteessä (-,) Ñ V = ja vesimassa ei kiey

27 RATKAISUOHJEET Hajoitus R ˆi ˆj k ˆ Tämä o z-akseli suutaie ( u) du= ( u- u + ) ( + u + y) + (- u+ z) yksikkövektoi (avolla u = ), jos ï ì- + = Þ = í + = y Þ =- y ï î - + z = Þ z = 4 F d= ( y d + ydy) a) Sijoitetaa y = ja dy = d = ( ) + d =, b) Sijoitetaa = y 4 4 ( ) + 4 d = = ja dy = d c) Matkalla (,) (,) o = ja Matkalla (,) (,) o y = ja Yhteesä + = F = é( + ) + + ( - ) d ë y d zdy yz dzùû d = : ( y ydy) y= + = + = dy = : ( d ) a) Sijoitetaa ( = t ja d = tdt ) sekä ( y = t ja dy = dt ) sekä ( z = t ja dz t= 5 4 é ( t ) t t ( t t ) 6t ù ë û dt = =, éë ùû+ éë ùû b) ( ) d ( ) ( y ) dy ( y ) = y= z= ( ) ( ) = + éë + + z + z - dzùû= + + = = 6t dt ) 4 Puoliympyällä apakoodiaatti = o vakio ja vai kulma f muuttuu: p Sijoituksilla ì= cosf = cosf í Þ îy = sif = sif ìd=-sifdf í saat I = d îdy = cosfdf f =-p f= p Ñ F= - ˆi- - ˆj+ cos - cos k ˆ = O kosevatiivie 5 a) ( ) ( z z ) ( y y )

28 ì f ï = y cos + z ï ì ysi + z + f( yz, ) ï f ï b) F =Ñf Þ í = ysi-4 Þf= íysi- 4 y+ gz (, ) Valitaa ï y ï z z hy (, ) ï f î + + = ï z + î z jolloi f (, y, z) = y si+ z + z- 4y+ a Tässä a o vakio c) W = f( p /, -,) -f(,, - ) = 5 + 4p ì f = z- 4y+ a ï íg = z + z + a ï î = - + h y si 4y a 6 a) Esi kosevatiivisuus: Ñ F = ˆi( -) -ˆj( - ) + k ˆ( - ) = æ Sitte ˆ f ˆ f ˆ f ö -Ñ f = FÛ - ˆ ˆ mg ˆ ç i + j + k = i+ j- k, josta itegoimalla è y z ø ì + f( yz, ) ï f = í + gz (, ), josta f = mgz + a, ku f = g = mgz + a ja h = a, ja a o vakio ï îmgz+ hy (, ) b) Esi kosevatiivisuus: Ñ F eˆ ˆ ˆ eq siqef = / / q / f ˆ ( ) ˆ ( ) si ˆ ( ) q q f siq = siq é ëe - - e - + e - ù û = -/ Sitte -Ñ y = F Û æ ˆ æ y ö ˆ æ y ö æ y öö - ç e ˆ ˆ ˆ ç q f q f + e ç + =- + + q e ç siq f e e e, josta itegoimalla è è ø è ø è øø ì- / + f( qf, ) ï y = í + g (, f), josta y = - + a, ku f = a, ja g = h=- + a, a o vakio ï î + h (, q)

29 RATKAISUOHJEET Hajoitus a) Suoa y = - 4 leikkaa y-akseli pisteessä (, -4) ja suoa y = + pisteessä (,) Suoat leikkaavat toisesa, ku - 4= + eli pisteessä (6,8) Pita-ala saadaa "katettua", ku ì: 6 í îy: y y eli b) 6 æ + ö A = da = dy d = 8 ç A = è y= -4 ø 6 æ + ö M = da dy d 6 A = 8 = = ç 8 A = è y= -4 ø 6 æ + ö ym = yda ydy d 6 A = 8 = = ç 8 A = è y= -4 ø a) b) ( ) ( si ) si da= Rdq R qdf = R qdfdq Pallo pita katetaa, ku q : p ja f: p Lasketaa æ ö A= R siqdf dq = pr siqdq = 4pR ç q= èf= ø q= p p p ( ) ( si ) ( ) si dv = dq qdf d = qddfdq Pallo tilavuus katetaa, ku q : p, f: p ja : R Lasketaa p æ p R æ ö ö 4 V = siqd df dq = pr ç ç q= èf= è = ø ø 4 Tilavuusitegaalissa ( ) ( y) ( z ) Ñ F = + + = 4+ 6z, jote y z Ñ F dv = (4 + 6 z) ddydz = V z= y= = Pitaitegaalissa o kuusi pitaa: Ylös: d ˆ A= k ddy, F da = z ddy ja z = Alas: d ˆ A =-k ddy, F da =-z ddy ja z = Vasemmalle: da =-ˆj ddz, F da =-yddz ja y = 4 Oikealle: da= ˆj ddz, F da = yddz ja y = 5 Etee: da= ˆi dydz, F da = dydz ja =

30 6 Taakse: da =-ˆi dydz, F da =-dydz ja = Itegaalista tulee (samassa jäjestyksessä): F da= ddy ddz + dydz + = = A y= = z= = z= y= 5 Polkuitegaalissa y =, dy = : = a, d = : y = b, dy = : 4 =, d = : a b a b ÑF d = Ñ é ë ( - y ) d + ydyù û o eljä osaa: d= a aydy = ab ( - b ) d =- a + ab dy = Polkuitegaalista tulee Pitaitegaalissa A y= = b Ñ F d = ab ˆ Ñ =4 y Ñ F da = 4yddy = ab a F k ja pita-alkio o da = k ˆdA, jote 6 Ku Geei lauseessa valitaa M = ja ddy = Ñ dy A Polkuitegaalissa o kolme osaa: y =, dy = : dy = y = - + : =, d = : y= 9 dy = - d = y= = Polkuitegaalista tulee dy = y= Ñ N = / saadaa 9 dy =, joka o yt siis myös itegaali ddy avo Kolmio pita-ala o A = /= 9/ (kata ketaa kokeus pe ), jote massakeskipisteelle tulee: M = ddy 9/ A = = 9/ A Suoaa symmetia peusteella (tai valitsemalla M = y / ja N = ) saadaa y = A M