Potentiaali ja potentiaalienergia

Transkriptio

1 Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti, joka riippuu pelkästään varauksesta mitatusta etäisyydestä (siis pallokoordinaatistossa E r = E r (r), E ϕ = 0, E θ = 0), nähdään pallokoordinaatiston roottorin avulla helposti, että E = 0, (2.1) eli kenttä on pyörteetön. Sama tulos voidaan hiukan pitemmin laskea myös karteesisessa koordinaatistossa. Useiden varausten ja siis myös jatkuvasti jakautuneen varauksen aiheuttama kenttä on pistemäisten varausten aiheuttamien kenttien summa, joten tämä tulos on voimassa myös kokonaissähkökentälle. Myöhemmin Faradayn lain yhteydessä nähdään, että on olemassa induktiosähkökenttiä, jotka eivät noudata Coulombin lakia. Näille yhtälö (2.1) ei ole voimassa. Kun E = 0, sähkökenttä voidaan aina esittää muodossa E = φ. (2.2) Tällöin nimittäin E = ( φ) = 0, joten sähkökenttä toteuttaa yhtälön (2.1). Näinollen staattinen sähkökenttä voidaan aina esittää skalaarikentän φ gradientin avulla. Tästä kentästä käytetään nimitystä sähköstaattinen potentiaali tai skalaaripotentiaali tai pelkästään potentiaali. Potentiaalin yksikkö on voltti ja sen merkintä on V. 2.2 Potentiaali ja potentiaalienergia Kappaleessa 0.8 osoitettiin, että skalaarikentän gradientti on kohtisuorassa kentän vakioarvopintoja vastaan. Koska sähkökentän suunta on potentiaalin gradientin suunnalle vastakkainen, on siis sähkökenttäkin kohtisuorassa potentiaalin vakioarvopintoja vastaan. 31

2 32 LUKU 2. POTENTILI J POTENTILIENERGI Yhtälön (2.2) perusteella sähkökenttä on potentiaalin (kolmiulotteinen) derivaatta. Tämän perusteella voi arvata, että potentiaali on jollakin tavalla lausuttavissa sähkökentän integraalina. Tämä nähdään seuraavasti. Koska E = φ ja potentiaalin kokonaisdifferentiaali voidaan kirjoittaa muotoon dφ = φ ds, sähkökentän viivaintegraali pitkin käyrää C, joka ulottuu pisteestä pisteeseen B, voidaan kirjoittaa muotoon B (C) E ds = B (C) B φ ds = dφ = φ(r ) φ(r B ) = U B, (2.3) missä r ja r B ovat pisteiden ja B paikkakoordinaatit ja U B on pisteiden ja B välinen potentiaaliero eli jännite. Integraalin arvo ei siis ollenkaan riipu integroimistiestä vaan ainoastaan alku- ja loppupisteiden välisestä potentiaalierosta. Kun valitaan integroinnin loppupisteeksi yleinen piste r, saadaan yhtälöstä (2.3) potentiaalin ja sähkökentän väliseksi riippuvuudeksi φ(r) = φ(r ) r r E ds, (2.4) missä sähkökenttä voidaan integroida pisteestä r pisteeseen r pitkin mielivaltaista tietä. Koska sähkökenttään asetettuun sähkövaraukseen kohdistuu voima, joka voi liikuttaa sähkövarausta, sähkökentällä on kyky tehdä työtä. Jos sähkökentän E aiheuttama voima liikuttaa varausta q matkan δs, kenttä tekee työn qe δs. Kentän tekemä työ pisteestä pisteeseen B pitkin tietä C on siis viivaintegraali W B(C) = B (C) qe ds. (2.5) On huomattava, että tietyissä osissa varauksen kulkurataa qe δs voi olla positiivinen ja toisissa osissa negatiivinen. Edellisessä tapauksessa sähkökenttä tekee työtä ja jälkimmäisessä tapauksessa varaukseen on kohdistettava ulkoinen voima, jotta varaus saataisiin liikkumaan. Tämä kaikki voidaan tulkita sähkökentän tekemäksi työksi; edellisessä tapauksessa sähkökentän tekemä työ on positiivinen, jälkimmäisessä negatiivinen. Samoilla perusteluilla kuin yhtälöä (2.3) johdettaessa voidaan yhtälö (2.6) kirjoittaa muotoon W B = q B (C) B E ds = q dφ = q[φ(r ) φ(r B )] = qu B. (2.6) Tästä nähdään, että tehty työ ei millään tavalla riipu siitä, mitä tietä pitkin varaus liikkuu, joten tietä ei tarvitse kiinnittää. Siksi on mahdollista määritellä potentiaalienergia W = qφ, (2.7)

3 2.2. POTENTILI J POTENTILIENERGI 33 a)!s C 2 F = qe B b)!s C 2 F = qe B!s C 1 F = qe!s C 1 F = qe jonka avulla yhtälö (2.6) saa muodon Kuva 2.1: Sähkökentän tekemä työ. W B = W (r ) W (r B ). (2.8) Yhtälön (2.8) perusteella esimerkiksi W (r B ) = W (r ) W B, mikä tulkitaan siten, että sähkökentän siirtäessä varauksen pisteestä pisteeseen B potentiaalienergia pienenee määrällä W B. Vastaavasti, jos siirrytään pisteestä B takaisin pisteeseen, on kentän tekemä työ W B = W (r B ) W (r ) = W B. Tämä tarkoitaa sitä, että jos kenttä joutuu tekemään jonkin positiivisen työn siirtäessään varauksen pisteestä pisteeseen B, se saa saman energian takaisin, jos se siirtää saman varauksen pisteestä B takaisin pisteeseen. Näinollen kenttä kykenee säilyttämään energian. Mekaniikassa tällaista kenttää sanotaankin konservatiiviseksi. Kuva 2.1 a esittää tilannetta, missä varaus siirtyy pisteestä pisteeseen B pitkin kahta tietä C 1 ja C 2. Kummassakin tapauksessa kentän tekemä työ on saman suuruinen. Kuvan 2.1 b tapauksessa taas varaus kulkee ensin :sta B:hen pitkin tietä C 1 ja sitten takaisin :han pitkin tietä C 2. Tässä tapauksessa kokonaistyö on W = qe ds = W B(C1) W B(C2) = 0. (2.9) C1,C2 Erotus saa arvon nolla, koska työt pitkin teitä C 1 ja C 2 ovat samat. Miinusmerkki johtuu siitä, että kuvien 2.1 a ja 2.1 b esittämissä tapauksissa siirrokset δs tiellä C 2 ovat vastakkaissuuntaisia. Tulos osoittaa, että sähkökentän tekemä työ pitkin suljettua tietä on nolla. Sama asia voidaan osoittaa toisella tavalla seuraavasti. Stokesin lauseen avulla sähkökentän tekemä työ pitkin suljettua tietä on W = qe ds = q E ds = 0, (2.10) C1,C2 sillä E = 0 kaikkialla avaruudessa. Tässä S on pinta, jonka reunakäyrä yhdistetty integroimistie (C 1, C 2 ) on. Tämä teoria osoittaa, että potentiaali littyy läheisesti potentiaalienergiaan, ja teoriassa esiintyy pelkästään potentiaalin ja potentiaalienergian erotuksia. Tästä seuraa, että potentiaalin ja potentiaalienergian nollakohta voidaan valita vapaasti. S

4 34 LUKU 2. POTENTILI J POTENTILIENERGI 2.3 Coulombin potentiaali Kun sähkökenttä tunnetaan, potentiaali voidaan laskea yhtälön (2.4) avulla. Pistevarauksen q potentiaali eli Coulombin potentiaali saadaan kaavasta φ(r) = φ( ) r q q r dr = φ( ) + dr, (2.11) r3 r2 missä φ( ) on potentiaali äärettömyydessä, pistevaraus on asetettu origoon ja integrointi suoritetaan pitkin pistevarauksesta lähtevää suoraa. Kun valitaan φ( ) = 0 ja suoritetaan integrointi, saadaan Coulombin potentiaalin lauseke φ(r) = r q r. (2.12) Jos avaruudessa sijaitsee N pistevarausta q i paikoissa r i, niin yhtälön (1.7) mukaan kokonaissähkökenttä pisteessä r on yksittäisten varausten aiheuttamien sähkökenttien E i (r) summa. Toisaalta jokainen varaus aiheuttaa muotoa (2.12) olevan potentiaalin φ i (r) ja E i (r) = φ i (r). Näinollen E(r) = E i (r) = φ i (r) = φ i (r). (2.13) Koska toisaalta E(r) = φ(r), voidaan kaikkien pistevarausten yhdessä aiheuttamaksi potentiaaliksi asettaa φ(r) = φ i (r) = 1 q i r r i. (2.14) 2.4 Jatkuvasti jakautuneen varauksen potentiaali Jatkuvasti jakautuneen varauksen potentiaali voidaan laskea pistevarauksen potentiaalin avulla samalla periaatteella kuin sähkökenttä kappaleessa 1.4. Jaetaan avaruus ensin pieniin tilavuusalkioihin. Jos i:nnen alkion tilavuus on δτ i on sen varaus δq = ρ(r i )δτ i, missä r i on alkion paikka. Yhtälön (2.14) mukaisesti kaikkien näin saatujen varausalkioiden aiheuttama potentiaali on tällaisten alkioiden aiheuttamien potentiaalien summa. Siis φ(r) = 1 n ρ(r i )δτ i r r i. (2.15) Kun avaruuden jakoa tilavuuselementteihin tihennetään rajatta, summa lähenee tilavuusintegraalia, joten potentiaali on φ(r) = 1 ρ(r )dτ r r, (2.16)

5 2.5. SÄHKÖDIPOLI 35 missä tilavuusintegrointi suoritetaan koko avaruuden yli. Samalla periaatteella nähdään, että ohuella pinnalla olevan varauksen aiheuttama potentiaali on φ(r) = 1 S σ(r )ds r r missä integraali lasketaan kaikkien varattujen pintojen yli., (2.17) 2.5 Sähködipoli Sähköinen dipoli koostuu pistemäisistä varauksista q ja q, jotka ovat etäisyydellä a toisistaan. Keskeinen dipolia kuvaava suure on dipolimomentti p = qa, (2.18) missä q on dipolin positiivisen pään varaus ja a on negatiivisesta varauksesta positiiviseen piirretty vektori. Dipolimomentin yksikkö on [p] = [q][s] = Cm. (2.19) Kun sähködipolia katsotaan kaukaa, se näyttää pistemäiseltä, ja siksi joskus puhutaan pistedipolista. Jos positiivinen ja negatiivinen varaus olisivat täsmälleen päällekkäin avaruudessa, ne kumoaisivat toisensa ja niiden aiheuttama kokonaissähkökenttä olisi nolla. Varausten vähäinen etäisyys saa aikaan sen, että kentät eivät täsmälleen kumoa toisiaan. On kuitenkin helppo arvata, että kokonaiskenttä pienenee voimakkaammin etäisyyden funktiona kuin pistevarauksen kenttä, sillä mitä kauempana dipolista ollaan, sitä pistemäisemmältä dipoli näyttää. Kuvan 2.2 mukaisilla merkinnöillä dipolin potentiaali paikassa r on φ = q ( 1 1 ). (2.20) r + r p z +q a/2 0 a/2 -q! r + r r - Kuva 2.2: Dipolin potentiaalin ja sähkökentän laskeminen.

6 36 LUKU 2. POTENTILI J POTENTILIENERGI Ilmeisesti vektorit r ± voidaan esittää r:n avulla muodossa joten r ± = r a 2 u z, (2.21) r 2 ± = r 2 + a2 4 au z r. (2.22) Laketaan potentiaalin likiarvo kaukana dipolista. Tällöin a 2 /4 r 2, joten ( r± 2 r 2 au z r = r 2 1 au ) z r r 2 1 = 1 ( r ± r 1 au z r r 2 ) 1/2. (2.23) Tässä au z r/r 2 1, joten lauseketta voi approksimoida käyttäen sarjakehitelmää (1 + x) 1/2 = 1 x/2 + 3x 2 /8.... Siis 1 = 1 ( 1 ± 1 r ± r 2 au ) z r r 2 Sijoittamalla tämä yhtälöön (2.20) saadaan 1 r + 1 r = au z r r 3. (2.24) φ = qau z r r 3 = p r r 3 = p cos θ r 2, (2.25) missä on käytetty dipolimomentin määritelmää p = qau z. Sähkökenttä voidaan nyt laskea pallokoordinaatistossa potentiaalin gradientin avulla. Koska potentiaali ei riipu atsimuuttikulmasta ϕ, kentäksi saadaan φ E = φ = u r r u 1 θ r = φ θ = p cos θ 2πε 0 r u 3 r + p sin θ r u 3 θ p r 3 (2 cos θu r + sin θu θ ). (2.26) Nähdään, että kenttä on sylinterisymmetrinen, mikä on tietenkin suora seuraus varaussysteemin sylinterisymmetriasta. Karteesisessa koordinaatistossa kentän komponentit ovat monimutkaisempia lausekkeita. Ne voitaisiin johtaa sijoittamalla yhtälöön (2.25) paikkavektorin komponenttiesitys r = xu x + yu y + zu z ja laskemalla gradientti karteesisessa koordinaatistossa. Tulos osoittaa, että potentiaali- ja sähkökenttä pienenevät etäisyyden funktiona jyrkemmin kuin pistevarauksen kentät; dipolikentän potentiaali kuten 1/r 2 (pistevarauksen potentiaali kuten 1/r) ja sähkökenttä kuten 1/r 3 (pistevarauksen sähkökenttä kuten 1/r 2 ). Tämä johtuu siitä, että lähellä toisiaan olevat vastakkaismerkkiset varaukset heikentävät toistensa kenttiä. On syytä huomata, että tulokset (2.25) ja (2.26) pätevät vain kaukana dipolista, missä kaavoja johdettaessa tehdyt approksimaatiot ovat voimassa. Dipolin lähellä tulisi käyttää kenttien tarkkoja lausekkeita.

7 2.6. VRUSSYSTEEMIN POTENTILIENERGI Varaussysteemin potentiaalienergia Jos varaus q 1 sijaitsee pisteessä r 1 ja varaus q 2 tuodaan äärettömän kaukaa pisteeseen r 2, on yhtälön (2.6) mukaisesti tehtävä työ q 1 q 2 W 12 = q 2 φ 1 (r 2 ) = r 2 r 1 = q 1φ 2 (r 1 ), (2.27) joka varastoituu varaussysteemin potentiaalienergiaksi. Tässä φ 1 (r 2 ) on varauksen q 1 aiheuttama potentiaali pisteessä r 1 ja φ 2 (r 1 ) varauksen q 2 aiheuttama potentiaali pisteessä r 1. Potentiaalienergia voidaan lausekkeen symmetrisyyden vuoksi tulkita varauksen q 1 potentaalienergiaksi varauksen q 2 aiheuttamassa kentässä tai päinvastoin. Tämän vuoksi voidaan myös kirjoittaa W 12 = 1 2 [q 2φ 1 (r 2 ) + q 1 φ 2 (r 1 )]. (2.28) Jos seuraavaksi tuodaan varaus q 3 äärettömyydestä paikkaan r 3, on varausten keräämiseen tarvittava kokonaistyö W 123 = q 1 q 2 r 2 r 1 + q 1 q 3 r 3 r 1 + q 2 q 3 r 3 r 2 = q 2 φ 1 (r 2 ) + q 3 φ 1 (r 3 ) + q 3 φ 2 (r 3 ) = q 1 φ 2 (r 1 ) + q 1 φ 3 (r 1 ) + q 2 φ 3 (r 2 ), (2.29) missä φ 1, φ 2 ja φ 3 ovat varausten q 1, q 2 ja q 3 aiheuttamat potentiaalikentät. Laskemalla yhteen kaavan (2.29) mukaiset kaksi potentiaalienergian esitystä saadaan 2W 123 = q 1 [φ 2 (r 1 ) + φ 3 (r 1 )] + q 2 [φ 1 (r 2 ) + φ 3 (r 2 )] + q 3 [φ 1 (r 3 ) + φ 2 (r 3 )] = q 1 φ(r 1 ) + q 2 φ(r 2 ) + q 3 φ(r 3 ). (2.30) Tässä φ(r i ) on muiden varausten aiheuttama kokonaispotentiaali pisteessä r i. Näin saadaan tulos W 123 = 1 2 [q 1φ(r 1 ) + q 2 φ(r 2 ) + q 3 φ(r 3 )]. (2.31) Ilmeisesti vastaava tulos on voimassa mielivaltaisen kokoiselle varausjoukolle. Näinollen varaussysteemin potentiaalienergian laskemiseksi ei ole tarpeellista laskea erikseen jokaisen varauksen paikalleen tuomiseen tarvittavaa työtä, vaan voidaan tarkastella tilannetta, jossa kaikki varaukset ovat jo paikallaan ja käyttää koko varaussysteemin aiheuttamaa potentiaalikenttää. Tulos osoittaa myös, että tarvittava työ ei riipu siitä, missä järjestyksessä ja millaisia teitä pitkin varaukset tuodaan paikoilleen. Tämä kaikki on seurausta sähkökentän konservatiivisuudesta. Edellisen perusteella n:n varauksen potentiaalienergia voidaan kirjoittaa muotoon W = 1 n q i φ(r i ), (2.32) 2 missä φ(r i ) on kaikkien muiden paitsi i:nnen varauksen aiheuttama potentiaali paikassa r i. Jos kyseessä on avaruuteen jakautunut varaustiheys, voidaan kirjoittaa W = 1 ρ(r)φ(r)dτ. (2.33) 2

8 38 LUKU 2. POTENTILI J POTENTILIENERGI 2.7 Dipolin potentiaalienergia ulkoisessa kentässä Tarkastellaan sähködipolia ulkoisessa sähkökentässä ja oletetaan, että varausten välinen etäisyys pysyy vakiona (kuva 2.3). Tällöin dipolin sisäinen potentiaalienergia pysyy vakiona ja kiinnostavaa on ainoastaan, millaisen voiman ulkoinen kenttä kohdistaa dipoliin ja millainen potentiaalienergia tähän voimaan liittyy. Silloin dipolin potentiaalienergia sähkökenttään E liittyvässä potentiaalikentässä φ on Tässä joten W = qφ(r B ) qφ(r ) = q[φ(r B ) φ(r )]. (2.34) B U = φ(r B ) φ(r ) = E dr = ae cos θ, (2.35) W = qu = qae cos θ = pe cos θ = p E. (2.36) Potentiaalienergia saa minimin W min = pe, kun p ja E ovat samansuuntaisia ja maksimin W max = pe, kun p ja E ovat vastakkaissuuntaisia. Tässä on siis valittu potentiaalienergia nollaksi, kun p ja E ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Dipolin potentiaalienergiaa voi tarkastella myös sähkökentän tekemän työn avulla. Sähkökenttä kohdistaa positiiviseen varaukseen voiman qe ja negatiiviseen varaukseen voiman qe. Nämä yhdessä muodostavat voimaparin, jonka aiheuttama vääntömomentti on T = qae sin θ = pe sin θ. (2.37) Tämä voidaan ilmeisesti esittää vektorimuodossa T = p E. (2.38) Kun voimapari kiertää dipolia suunnasta θ = π/2 suuntaan θ, se tekee työn W = θ π/2 T dθ = pe θ π/2 sin θdθ = pe / θ cos θ = pe cos θ = p E. (2.39) π/2 Vertaamalla yhtälöön (2.36) nähdään, että tämä työ varastoituu dipolin potentiaalienergiaksi.! Kuva 2.3: Dipolin potentiaalienergian laskeminen.