5. lukujonot ja sarjat.
|
|
- Ville-Veikko Ketonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 5. lukujonot ja sarjat. Lukujono on järjeste1y joukko lukuja x 1, x 2, x 3,..., x N Kun jonon alkiot lasketaan yhteen, saadaan sarja: N x i = x 1 + x 2 + x x N i=1 Yhteenlaskun tulosta sanotaan sarjan summaksi. Jos N on äärellinen summan voi aina laskea. Jos N on ääretön, sarjan summa voi lähestyä jotain lukua (siis muuta kuin ± ) tai olla lähestymä1ä.
2 Suppeneminen Jos sarjan summa lähestyy jotain lukua, sanotaan e1ä sarja suppenee (engl. "the series converges"). Jos sarjan summa ei lähesty mitään lukua, sanotaan e1ä sarja hajaantuu tai divergoi (engl. "the series diverges"). Tällä kurssilla käsitellään aritmeeista, geometrista ja Taylorin sarjaa.
3 AritmeeInen sarja a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + 2d) (a 1 + (n -1)d) d = vakio n a 2 a 3 [ ] = a 1 + (N 1)d N=1 a n = n a 1 + a n 2 Jos n, sarja hajaantuu. Esim: = = 5050
4 Geometrinen sarja a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q a 1 q n-1 q = vakio n-1 a 2 [ ] = a 1 q N N=0 a 3 a 4 a n = a 1(1- q n ) 1- q Kahden peräkkäisen termin suhde on aina a n+1 = a 1q n+1 a n a 1 q n = q Tätä käytetään tesnnä sille onko joku "tuntematon" sarja geometrinen vai ei.
5 Geometrisen sarjan suppeneminen Kun n, geometrinen sarja suppenee jos q < 1. Muuten se hajaantuu. Suppenevan geometrisen sarjan summa on: Esim: [ ] = a 1 q N = a 1 1- q N=0 ( q < 1) suhdeluku 1 2 suppenee suhdeluku 2 hajaantuu suhdeluku 1 hajaantuu
6 Taylorin sarja Jos funknonlla f(x) on kaikki derivaatat pisteessä x 0 (eli sen voi derivoida kuinka monta kertaa tahansa) niin funknon voi esi1ää Taylorin sarjana pisteessä x 0. f(x) = f(x 0 ) + f'(x 0)(x x 0 ) 1 + f'''(x 0 )(x x 0 )3 3! 1! +... = n=0 + f''(x 0)(x x 0 ) 2 2! f n (x 0 )(x x 0 ) n Käytännössä jos sarja suppenee, tarvitaan vain muutama termi. (Muista: 0! = 1). n!
7 Esimerkki: alkeisfunknoiden Taylorin sarjoja Esitä e x ja sin(x) taylorin sarjoina pisteen x 0 = 0 läheisyydessä. Laske sarjan neljä ensimmäistä termiä. Ratkaisu: Lasketaan ensin tarvi1avat derivaatat: d dx (ex ) = e x, d2 dx 2 (ex ) = e x, d3 dx 3 (ex ) = e x d d2 d3 (sin(x)) = cos(x), (sin(x)) = -sin(x), 2 dx dx dx 3 (ex ) = -cos(x) Taylorin sarjan 4 ensimmäistä termiä ovat: f(x) f(x 0 ) + f'(x 0 )(x x 0 )1 1! + f''(x 0 )(x x 0 )2 2! + f'''(x 0 )(x x 0 )3 3!
8 f(x) f(x 0 ) + f'(x 0 )(x x 0 )1 1! + f''(x 0 )(x x 0 )2 2! + f'''(x 0 )(x x 0 )3 3! Saadaan siis: e x e 0 + e0 (x 0) 1 1! =1+ x + x2 2 + x3 6 + e0 (x 0) 2 2! + e0 (x 0) 3 3! sin(x) sin(0) + cos(0)(x 0)1 1! + -sin(0)(x 0)2 2! + -cos(0)(x 0)3 3! = x x3 6
9 Taylorin sarja hyöty Taylorin sarjalla voidaan mikä tahansa funkno ilmaista "lokaalisn" (jonkun pisteen läheisyydessä) likimääräisesn polynomina. Tämä helpo1aa usein laskemista huoma1avasn, koska polynomeja on helpompi käsitellä kuin esim trigonometrisia funknoita. Taylorin sarjakehitelmät ovat usein hyödyllisiä erilaisten rajaarvojen ja likimääräisten arvojen selvi1ämisessä.
10 Taylorin sarja kemiassa: esim 1 Sähkökentän voimakkuus E etäisyydellä r sähköisestä varauksesta q on (k = vakio): E = kq r 2 Tarkastellaan kahta vierekkäistä, saman suuruista mu1a vastakkaismerkkistä varausta (esim atomeja). Olkoon varausten välinen etäisyys 2d. Halutaan Netää sähkökentän voimakkuus kun ollaan etäisyyden r päässä varausten keskikohdasta (yksinkertaisuuden vuoksi 1 ulo1uvuudessa): E = kq (r d) 2 kq 2d (r + d) 2 r +q q
11 Muokataan hieman: E = = kq (r d) 2 kq (r + d) 2 kq r 2 (1 d r )2 kq r 2 (1+ d = kq r 2 (1 d r ) 2 (1+ d r ) 2 r )2 r q 2d +q Lasketaan sähkökentän voimakkuudelle raja arvo joka pätee kun r >> d, eli d/r 0. Kehitetään (1+d/r) 2 ja (1 d/r) 2 sarjoiksi muu1ujan d/r 2 suhteen. (1+x) 2 :n Taylorin sarja x = 0:n ympärillä: (1+ x) 2 (x 0) (1+ 0) 2 + 2(1+ 0) 3 1! =1 2x + 3x x (x - 0) (1+ 0) 4 2! (x - 0)
12 Äsken saanin: (1+ x) 2 1 2x (kun x 0) r q 2d +q Jolloin (1+ d r ) 2 1 2d r Ja edelleen ja (1 d r ) d r E = kq r 2 (1 d r ) 2 (1+ d r ) 2 kq 2d (1+ 2 r r = 4kqd r 3 (1-2d r )) Eli dipolin sähkökentän voimakkuus on kääntäen verrannollinen etäisyyden kolmanteen potenssiin. (Tämä on tärkeää molekyylien välisiä vuorovaikutuksia käsiteltäessä.)
13 Taylorin sarja kemiassa: esim 2 Mustan kappaleen säteilyjakauma (säteilyintensiteei aallonpituudella λ kappaaleen lämpönlan ollessa T): p(λ) = 8πhc λ 5 (e hc λkt -1) -1 Miltä p(λ) näy1ää kun aallonpituus on suuri (λ )? Ratkaisu: merkitään esin x = hc/λkt. Kun λ lähestyy ääretöntä, x lähestyy nollaa. Kehitetään ekspontenifunkno Taylorin sarjaksi x = 0 lähistöllä. 8πhc λ 5 (e hc λkt -1) -1 = 8πhc λ 5 (e x -1) -1 8πhc λ 5 (e 0 + e0 (x 0) 1! + e0 (x 0) 2 2! ) -1
14 8πhc λ 5 (e hc λkt -1) -1 = 8πhc λ 5 (e x -1) -1 8πhc λ 5 (e 0 + e0 (x 0) 1! = 8πhc λ 5 + e0 (x 0) 2 2! ) -1 (1+ x + x )-1 = 8πhc λ 5 (x + x )-1 Jos x on rii1ävän pieni, x 2, x 3 jne ovat paljon paljon pienempiä kuin x: voidaan siis unohtaa kaikki korkeammat termit Taylorin sarjasta, ja jä1ää vain lineaarinen termi p(λ) = 8πhc (x) -1 = 8πhc λ 5 λ 5 λkt hc = 8πkT mikä sa1uu olemaan klassisen fysiikan mukainen tulos... λ 4
15 6. Vektorit Vektori on n dimensioinen olio (useimmissa sovelluksissa = 2 tai 3) jolla on suunta ja pituus. Vektoria kuvataan usein nuolella joka kulkee kahden pisteen välillä. B( 1,5, 3) A(2,3,4) vektori AB = (-1-2)i + (5-3)j + (-3-4)k = -3i + 2j - 7k missä i, j ja k ovat yksikkövektoreita
16 Yksikkövektorit
17 Vektorin pituus Vektorin pituus lasketaan Pyhtagoran lauseen perusteella. Äskeiselle esimerkkivektorille: vektorin AB = - 3i + 2j - 7k pituus : AB = ( 3) 2 + (2) 2 + ( 7) 2 = YleisesN mille tahansa vektorille X = ai + bj + ck pätee: X = a 2 + b 2 + c 2 Vastaavanlainen kaava pätee myös ulo1uvuuksien määrän ollessa pienempi tai suurempi kuin 3.
18 Otetaan toinen vektori joka kulkee pisteestä A pisteeseen C. C(2,4,5) B( 1,5, 3) θ A(2,3,4) vektori AC = (2-2)i + (4-3)j + (5-4)k = j + k AC = = Olkoon vektorien välinen kulma θ. Kulman voi AB ja AC laskea pistetulon avulla. AB AC = AB AC cos(θ) cos(θ) = AB AC AB AC
19 Pistetulo Kahden vektorin pistetulo lasketaan seuraavasn: olkoon P = a p i + b p j + c p k ja Q = a q i + b q j + c q k P Q = a p a q + b p b q + c p c q Äskeisille esimerkkivektoreille siis AB = 3i + 2j - 7k ja AC = j + k AB AC = (-3) (-7) 1 = -5 cos(θ) = θ = arccos( 5 AB AC = )
20 Esimerkki Ammoniakin NH 3 atomien karteesisiksi koordinaateksi on laskennallisen kemian ohjelmalla saatu (yksikkönä Ångström): N H H H Laske H 1 N H 2 sidoskulma. Ratkaisu: muodostetaan vektorit NH 1 ja NH 2. vektori NH 1 = ( )i + ( )j + ( )k = i j k vektori NH 2 = ( )i + ( )j + ( )k = i j k
21 Sidoskulma saadaan nyt pistetulon avulla: = cos(θ) = NH 1 NH 2 NH 1 NH ( ) ( ) = θ = arccos( ) Mikä on noin puolitoista aste1a pienempi kuin todellinen mita1u sidoskulma.
22 7. Kompleksiluvut Yhtälöllä x 2 = 1 ei ole reaalilukuratkaisua tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjeste1y "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus i 2 = i i = 1 x = kompleksiluvun reaaliosa, Re(z) y = kompleksiluvun imaginääriosa, Im(z) Huom: älä sekoita imaginääriyksikköä i ja yksikkövektoria i
23 Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim: x 2 2x + 5 = 0 x = 2 ± ( 2) = 2 ± = 2 ± 4 i 2 Merkitään juuria Z 1 = 1 + 2i, Z 2 = 1 2i Re(Z 1 ) = 1 Re(Z 2 ) = 1 Im(Z 1 ) = 2 Im(Z 2 ) = 2 = 2 ± 16 2 =1± 2i
24 Kompleksilukujen laskutoimitukset Olkoon Z 1 = x 1 + y 1 i, Z 2 = x 2 + y 2 i Yhteenlasku: Z 1 + Z 2 = (x 1 + y 1 ) + (y 1 + y 2 )i Kertolasku: Z 1 Z 2 = (x 1 + y 1 i)(x 2 + y 2 i) = x 1 x 2 + x 1 y 2 i + x 2 y 1 i + y 1 y 2 i 2 = x 1 x 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i y 1 y 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i
25 Kompleksiluvun lii5oluku eli kompleksikonjugaa8 Merkitään Z* tai Z Z = x + yi Z* = x yi Huomaa e1ä kompleksiluku kerro1una lii1oluvullaan antaa reaaliluvun: Z Z* = x 2 + y 2 Kompleksiluvun jakolasku Z 1 = x 1 + y 1 i Z 2 x 2 + y 2 i = (x 1 + y 1 i)(x 2 y 2 i) (x 2 + y 2 i)(x 2 y 2 i) = (x 1x 2 + x 1 y 2 i + x 2 y 1 i y 1 y 2 ) x x 2 y 2 i x 2 y 2 i- y 2 2 i 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i x y 2 Kerrotaan molemmat puolet Z 2 *:lla
26 Kompleksiluvun pituus ja argumeni Kompleksiluku voidaan esi1ää vektorina ns. kompleksitasossa. Z = x + iy (x,y) Im(Z) y (x,y) x Re(Z)
27 Kompleksiluvun pituus ja argumeni Kompleksiluku voidaan esi1ää vektorina ns. kompleksitasossa. Z = x + iy (x,y) Im(Z) y r θ (x,y) r: pisteen etäisyys origosta θ: vektorin ja Re(Z) akselin välinen kulma x Re(Z)
28 Im(Z) r θ (x,y) Re(Z) Olkon Z = x + iy. Tällöin Re(Z) = x ja Im(Z) = y. r = kompleksiluvun pituus eli itseisarvo, merkitään Z. Lasketaan pythagoraan kaavalla: Z = r = Re(Z) 2 + Im(Z) 2 = x 2 + y 2 θ = kompleksiluvun argumeni, merkitään Arg(Z): arctan( Im(Z) ) jos Re(Z) > 0 Re(Z) Arg(Z) = θ = { arctan( Im(Z) ) + π jos Re(Z) < 0 Re(Z)
29 Yhteys napakoordinaa1eihin Im(Z) r θ (x,y) Re(Z) Re(Z) = r cos(θ) Im(Z) = r sin(θ) Z = r cos(θ) + i sin(θ)
30 Esimerkki Etsi kompleksiluvun pituus ja argumeni ja piirrä kompleksilukuvektori. a) Z = 1 + i Ratkaisu: Z = Re(Z) 2 + Im(Z) 2 = = 2 Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) = arctan(1 1 ) =
31 b) Z = 0.5 ( 3/2)i Ratkaisu: Z = Re(Z) 2 + Im(Z) 2 = ( )2 + (- 2 )2 =1 3 Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) +180 = arctan( 2 ) +180 =
32 Eulerin kaava Z =Re(Z) + Im(Z) i = r cos(θ) + r sin(θ) i = r (cos(θ) + i sin(θ)) = re iθ Z = r(cosθ + isinθ) = re iθ Eulerin kaava kytkee yhteen eksponen8funkbon ja trigonometriset funkbot, ja on hyvin hyödyllinen työkalu.
33 Eulerin kaavan sovelluksia Z = r(cosθ + isinθ) = re iθ KonjugaaI: Z* = re iθ = r(cos(-θ) + isin(-θ)) = r(cos θ - isin θ) Kertolasku Z 1 = r 1 e iθ 1, Z 2 = r 2 e iθ 2 Z 1 Z 2 = r 1 e iθ 1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e iθ 1 +iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 +θ 2 ) Jakolasku Z 1 Z 2 = r 1 eiθ1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 )
34 Eulerin kaavan sovelluksia Z 1 Z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) Tulon itseisarvo: Z 1 Z 2 = r 1 r 2 Tulon argumeni: Arg(Z 1 Z 2 ) = θ 1 +θ 2 Imaginääriyksikön ominaisuuksia: i = 1(cos θ + isin θ) = 1e i(π 2 ) i i = e i(π 2 ) e i(π 2 ) = e iπ = (cos π + isin π ) = -1
35 Eulerin kaavan sovelluksia Kompleksiluvun potenssi: Z n = (re iθ ) n = r n e i nθ = r n (cos(nθ) + isin(nθ)) = r n (cos θ + isin θ) n Tämä tunnetaan De Moivren kaavana, ja se on hyödyllinen paitsi kompleksilukujen potenssien laskemisessa, myös trigonometristen funknoiden potenssien ja moninkertaisten tai murtolukukulmien idennteeien laskemisessa.
36 Eulerin kaavan sovelluksia Trigonometristen funknoiden ilmaiseminen eksponenifunknoiden avulla: e iθ = cos θ + isin θ (1) e iθ = cos θ isin θ (2) lasketaan yhtälöt 1 ja 2 yhteen: e iθ + e iθ = 2cos θ cos θ = eiθ + e iθ 2 vähennetään yhtälö 2 yhtälöstä 1: e iθ e iθ = isin θ isin θ sin θ = eiθ e iθ 2i
37 Trigonometristen idennteeien johtaminen Eulerin & de Moivren avulla Äsken saanin: r n (cos(nθ) + isin(nθ)) = r n (cos θ + isin θ) n Olkoon r = 1 ja n = 2. Saadaan: cos(2θ) + isin(2θ) = (cos θ + isin θ) 2 Lasketaan oikea puoli auki: cos(2θ) + isin(2θ) = (cosθ + isinθ)(cosθ + isinθ) cos(2θ) + isin(2θ) = cos 2 θ + 2cosθ isinθ + i 2 sin 2 θ cos(2θ) + isin(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ + 2icosθsinθ Jo1a yhtälö voi päteä, reaali ja imaginääriosien tulee olla yhtä suuret, ts: cos(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ ja sin(2θ) = 2cosθsinθ
38 Eulerin kaava & integroinntehtävät Esimerkki: laske cos(2θ)sin 2 (3θ)dθ Ratkaisu: käytetään Eulerin kaavasta johde1ua lauseke1a sini ja kosinifunknoille: cos(2θ)sin 2 (3θ)dθ = ( ei 2θ + e 2 i 2θ )( ei 3θ i 3θ e ) 2 dθ 2i = 1 8 (ei 2θ + e i 2θ )(e i 3θ e i 3θ )(e i 3θ e i 3θ )dθ = 1 8 (ei 2θ + e i 2θ )(e i 6θ 2e iθ(3 3) + e i 6θ ) dθ = 1 8 (ei 8θ 2e i 2θ + e i 4θ + e i 4θ 2e i 2θ + e i 8θ ) dθ
39 cos(2θ)sin 2 (3θ)dθ = 1 8 (ei 8θ 2e i 2θ + e i 4θ + e i 4θ 2e i 2θ + e i 8θ ) dθ = 1 8 ((ei 8θ + e i 8θ ) + (e i 4θ + e i 4θ ) 2(e i 2θ + e i 2θ ) dθ = 1 8 2cos(8θ) + 2cos(4θ) 4cos(2θ)) dθ = 1 8 (2sin(8θ) 8 = sin(8θ) 32 sin(4θ) sin(4θ) 4 + sin(2θ) 4 4sin(2θ) ) + C 2 + C
40 Missä kompleksiluvut ovat parempia kuin tavalliset vektorit? Mitä kompleksiluvulle tapahtuu kun se kerrotaan imaginääriyksiköllä (a + bi)i = ai + bi 2 = b + ai a + bi vastaa tason vektoria (a,b) b + ai vastaa tason vektoria ( b,a) Lasketaan vektorien välinen kulma: cos(θ) = (a,b) ( b,a) (a,b) (b,a) = -ab + ba (a,b) (b,a) = 0 θ = 90
41 Missä kompleksiluvut ovat parempia kuin tavalliset vektorit? Im(Z) a b Imaginääriluvulle kertominen on helppo tapa kiertää kompleksivektoria 90. Kiertoja on muutenkin helpompi kuvata kompleksiluvuilla. a + bi b a Re(Z)
42 Kompleksiluvut kemiassa Imaginääriluku i esiintyy usein kvanikemian operaa1oreissa, näistä on jo tava1u esim: Liikemäärän operaa1ori: p ˆ x = -i d dx = i d dx ImpulssimomenIoperaa1ori: (huom: saman näköiset!) J ˆ z = i φ Myös aaltofunknoissa on usein kompleksilukutermejä.
43 Esimerkki: kvanimekaaninen pyörimisliike Massat m 1 ja m 2, vastakkaisilla puolilla origoa ja etäisyyksien r 1 ja r 2 päässä siitä, pyörivät origon ympäri. Merkitään kulmaa θ:lla. m 1 r 2 m 2 r 1 θ Systeemin Schrödingerin yhtälö: m 2 d 2 ψ I = 1 m 2 (r 2I dθ 2 = Eψ 1 + r 2 ) 2 m 1 +m 2 (hitausmomen+)
44 Edellä annetun schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu on ψ(θ) = Ce i aθ a R Ratkaisun reunaehdot saadaan vaanmalla e1ä aaltofunkno on sama kulmalle θ ja θ + 2π: ψ(θ) = ψ(θ + 2π ) Ce i aθ = Ce i a(θ+2π ) = e i a2π Ce i aθ mistä nähdän e1ä a:n on oltava kokonaisuluku: a = {0, ±1, ±2...}. Ratkaistaan seuraavaksi energia operoimalla Hamiltonin operaa1orila anne1uun funknoon: 2 2I d 2 ψ(θ) dθ 2 = 2 2I d 2 aθ Cei 2 dθ = 2 d 2I dθ Cei aθ ia = 2 2I Cei aθ (ia) 2 = 2 a 2 2I Ce i aθ
45 Äsken saanin 2 d 2 ψ(θ) 2I dθ 2 = 2 a 2 Ce i aθ = 2 a 2 2I 2I ψ(θ) Vertaamalla tätä alkuperäiseen Schrödingerin yhtälöön 2 d 2 ψ 2I dθ 2 = Eψ nähdään hen e1ä E = 2 a 2 2I missä edelleen a = {0, ±1, ±2...}. (Vain Netyt a:n kokonaislukuarvoja vastaavat energianlat ovat siis mahdollisia; sanotaan e1ä pyörivän kappaleen energianlat ovat kvan./uneet.
46 Esimerkki: vetyatomin aaltofunknon kulmaosat Vetyatomin aaltofunknossa on kolme ns kvanilukua, n l ja m. ψ n,l,m (r,θ,ϕ) = N n,l,m e r na 0 ( 2r )L 2l+1 n l 1 ( 2r )Y m l (θ,ϕ) na 0 na 0 Kun sivukvaniluku l = 1 ja magneeinen kvaniluku m = ± 1, kulmaosa joka kuvaa elektronin suuntaa vetyatomin ynmestä on palloharmoninen funkno johon sisältyy kompleksiarvoinen eksponeni: Y ±1 1 (θ,ϕ) = ( 3 1 8π ) 2 sin(θ)e ±iϕ Voidaan jakaa reaali ja imaginääriosiin Eulerin kaavalla.
5. lukujonot ja sarjat.
5. lukujonot ja sarjat. Lukujono on järjeste1y joukko lukuja x 1, x 2, x 3,..., x N Kun jonon alkiot lasketaan yhteen, saadaan sarja: N x i = x 1 + x 2 + x 3 +...+ x N i=1 Yhteenlaskun tulosta sanotaan
Lisätiedot5. lukujonot ja sarjat.
5. lukujonot ja sarjat. Lukujono on järjeste1y joukko lukuja x 1, x 2, x 3,..., x N Kun jonon alkiot lasketaan yhteen, saadaan summa: N x i = x 1 + x 2 + x 3 +...+ x N i=1 Jos lukujono on ääre1ömän pitkä
Lisätiedot6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:
6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus
Lisätiedot5. lukujonot ja sarjat. Suppeneminen. Geometrinen lukujono ja summa. AritmeeMnen lukujono ja summa 1/31/13
5. lukujonot ja sarjat. Lukujono on järjeste4y joukko lukuja x 1, x, x 3,..., x N Kun jonon alkiot lasketaan yhteen, saadaan summa: N x i = x 1 + x + x 3 +...+ x N i=1 Jos lukujono on ääre4ömän pitkä (eli
LisätiedotOsa 5. lukujonot ja sarjat.
Osa 5. lukujonot ja sarjat. Summamerkintä Kurssilla on jo tullut vastaan ns. summamerkintä (kreikkalainen iso sigma): n k=1 Indeksin loppuarvo Indeksi jonka suhteen summataan a k =a 1 +a +a 3 +...+a n
Lisätiedot1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa
Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
Lisätiedot1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa
1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotKOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
Lisätiedot1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.
BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i
LisätiedotKompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
Lisätiedota) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
LisätiedotKompleksilukujen alkeet
Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi
LisätiedotTilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy
z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz z 2 y 2 x 2 = f(x,y,z)dx dy dz z y x Tyypillises. kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massa.heys, jolloin integraalin arvo on massa alueella jota integroin.rajat
LisätiedotTrigonometriset funk/ot
Trigonometriset funk/ot Suorakulmainen kolmio sin(θ) = a c cos(θ) = b c hypotenuusa c tan(θ) = sin(θ) cos(θ) = a b kulma θ b katee8 a katee8 a = c sin(θ) b = c cos(θ) cot(θ) = cos(θ) sin(θ) = b a Trigonometriset
LisätiedotVII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset
VII. KOMPLEKSILUVUT Kompleksilukujen joukko on VII.1. Laskutoimitukset C = {(x, y x R ja y R} ; siis joukkona C = taso R 2. Kun z = (x, y C, niin x R on z:n reaaliosa ja y R imaginaariosa, merkitään x
Lisätiedotz Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)
. Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.
LisätiedotKompleksiluvut Kompleksitaso
. Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen
LisätiedotAnalyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004
Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut
LisätiedotKompleksiluvut. JYM, Syksy /99
Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37
Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotLuoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotOsa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
LisätiedotC = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti
Vaasan yliopiston julkaisuja 189 9 OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus 9.1.1 Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä
LisätiedotTrigonometriset funk/ot
Trigonometriset funk/ot Suorakulmainen kolmio sin(θ) = a c cos(θ) = b c hypotenuusa c tan(θ) = sin(θ) cos(θ) = a b kulma θ b katee8 a katee8 a = c sin(θ) b = c cos(θ) cot(θ) = cos(θ) sin(θ) = b a Trigonometriset
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotPerustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotJonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).
Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
LisätiedotKompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division
Kompleksianalyysi Jukka Kemppainen Mathematics Division Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Integrointi 5. Sarjat 6. Residylaskentaa 7. Diskreetti systeemi 2 / 43 Kompleksiluvut
Lisätiedot2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio
2 Kompleksiluvut 2A Kompleksilukujen konstruktio Kompleksiluvut ovat syntyneet reaaliluvuista luonnollisen tarpeen myötä: kaikilla epätriviaaleilla polynomiyhtälöillä, kuten yhtälöllä z 2 +1 = 0, ei ole
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
LisätiedotTämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
Lisätiedot0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
LisätiedotEsimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään:
Korkeammat erivaatat Jo kerran erivoitu funk6o voiaan erivoia uuelleen.! f(x) x " # x % & = 2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) x 2 Yleisemmin merkitään: n f(x) = f (n) (x) x n erkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotLukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.
Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Kompleksiluvuista Kaksiulotteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja, eli R 2
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotValintakoe
Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..
LisätiedotKolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Harju Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Heinäkuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen
LisätiedotVektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori
Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotVastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
Lisätiedot(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)
. Kompleksiluvut Kompleksiluvut C saadaan varustamalla taso R komponenteittaisella yhteenlaskulla (Esimerkki.3 (b)) ja kertolaskulla, joka määritellään asettamalla Huomaa, että ja (a, b)(c, d) =(ac bd,
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotKompleksianalyysi Funktiot
Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien
SMG-100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Osoitin Trigonometrinen muoto Polaarimuoto Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset Viime luennolla esitettiin, että
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedot2. Polynomien jakamisesta tekijöihin
Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Lisätiedot