5. lukujonot ja sarjat.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "5. lukujonot ja sarjat."

Transkriptio

1 5. lukujonot ja sarjat. Lukujono on järjeste1y joukko lukuja x 1, x 2, x 3,..., x N Kun jonon alkiot lasketaan yhteen, saadaan sarja: N x i = x 1 + x 2 + x x N i=1 Yhteenlaskun tulosta sanotaan sarjan summaksi. Jos N on äärellinen summan voi aina laskea. Jos N on ääretön, sarjan summa voi lähestyä jotain lukua (siis muuta kuin ± ) tai olla lähestymä1ä.

2 Suppeneminen Jos sarjan summa lähestyy jotain lukua, sanotaan e1ä sarja suppenee (engl. "the series converges"). Jos sarjan summa ei lähesty mitään lukua, sanotaan e1ä sarja hajaantuu tai divergoi (engl. "the series diverges"). Tällä kurssilla käsitellään aritmeeista, geometrista ja Taylorin sarjaa.

3 AritmeeInen sarja a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + 2d) (a 1 + (n -1)d) d = vakio n a 2 a 3 [ ] = a 1 + (N 1)d N=1 a n = n a 1 + a n 2 Jos n, sarja hajaantuu. Esim: = = 5050

4 Geometrinen sarja a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q a 1 q n-1 q = vakio n-1 a 2 [ ] = a 1 q N N=0 a 3 a 4 a n = a 1(1- q n ) 1- q Kahden peräkkäisen termin suhde on aina a n+1 = a 1q n+1 a n a 1 q n = q Tätä käytetään tesnnä sille onko joku "tuntematon" sarja geometrinen vai ei.

5 Geometrisen sarjan suppeneminen Kun n, geometrinen sarja suppenee jos q < 1. Muuten se hajaantuu. Suppenevan geometrisen sarjan summa on: Esim: [ ] = a 1 q N = a 1 1- q N=0 ( q < 1) suhdeluku 1 2 suppenee suhdeluku 2 hajaantuu suhdeluku 1 hajaantuu

6 Taylorin sarja Jos funknonlla f(x) on kaikki derivaatat pisteessä x 0 (eli sen voi derivoida kuinka monta kertaa tahansa) niin funknon voi esi1ää Taylorin sarjana pisteessä x 0. f(x) = f(x 0 ) + f'(x 0)(x x 0 ) 1 + f'''(x 0 )(x x 0 )3 3! 1! +... = n=0 + f''(x 0)(x x 0 ) 2 2! f n (x 0 )(x x 0 ) n Käytännössä jos sarja suppenee, tarvitaan vain muutama termi. (Muista: 0! = 1). n!

7 Esimerkki: alkeisfunknoiden Taylorin sarjoja Esitä e x ja sin(x) taylorin sarjoina pisteen x 0 = 0 läheisyydessä. Laske sarjan neljä ensimmäistä termiä. Ratkaisu: Lasketaan ensin tarvi1avat derivaatat: d dx (ex ) = e x, d2 dx 2 (ex ) = e x, d3 dx 3 (ex ) = e x d d2 d3 (sin(x)) = cos(x), (sin(x)) = -sin(x), 2 dx dx dx 3 (ex ) = -cos(x) Taylorin sarjan 4 ensimmäistä termiä ovat: f(x) f(x 0 ) + f'(x 0 )(x x 0 )1 1! + f''(x 0 )(x x 0 )2 2! + f'''(x 0 )(x x 0 )3 3!

8 f(x) f(x 0 ) + f'(x 0 )(x x 0 )1 1! + f''(x 0 )(x x 0 )2 2! + f'''(x 0 )(x x 0 )3 3! Saadaan siis: e x e 0 + e0 (x 0) 1 1! =1+ x + x2 2 + x3 6 + e0 (x 0) 2 2! + e0 (x 0) 3 3! sin(x) sin(0) + cos(0)(x 0)1 1! + -sin(0)(x 0)2 2! + -cos(0)(x 0)3 3! = x x3 6

9 Taylorin sarja hyöty Taylorin sarjalla voidaan mikä tahansa funkno ilmaista "lokaalisn" (jonkun pisteen läheisyydessä) likimääräisesn polynomina. Tämä helpo1aa usein laskemista huoma1avasn, koska polynomeja on helpompi käsitellä kuin esim trigonometrisia funknoita. Taylorin sarjakehitelmät ovat usein hyödyllisiä erilaisten rajaarvojen ja likimääräisten arvojen selvi1ämisessä.

10 Taylorin sarja kemiassa: esim 1 Sähkökentän voimakkuus E etäisyydellä r sähköisestä varauksesta q on (k = vakio): E = kq r 2 Tarkastellaan kahta vierekkäistä, saman suuruista mu1a vastakkaismerkkistä varausta (esim atomeja). Olkoon varausten välinen etäisyys 2d. Halutaan Netää sähkökentän voimakkuus kun ollaan etäisyyden r päässä varausten keskikohdasta (yksinkertaisuuden vuoksi 1 ulo1uvuudessa): E = kq (r d) 2 kq 2d (r + d) 2 r +q q

11 Muokataan hieman: E = = kq (r d) 2 kq (r + d) 2 kq r 2 (1 d r )2 kq r 2 (1+ d = kq r 2 (1 d r ) 2 (1+ d r ) 2 r )2 r q 2d +q Lasketaan sähkökentän voimakkuudelle raja arvo joka pätee kun r >> d, eli d/r 0. Kehitetään (1+d/r) 2 ja (1 d/r) 2 sarjoiksi muu1ujan d/r 2 suhteen. (1+x) 2 :n Taylorin sarja x = 0:n ympärillä: (1+ x) 2 (x 0) (1+ 0) 2 + 2(1+ 0) 3 1! =1 2x + 3x x (x - 0) (1+ 0) 4 2! (x - 0)

12 Äsken saanin: (1+ x) 2 1 2x (kun x 0) r q 2d +q Jolloin (1+ d r ) 2 1 2d r Ja edelleen ja (1 d r ) d r E = kq r 2 (1 d r ) 2 (1+ d r ) 2 kq 2d (1+ 2 r r = 4kqd r 3 (1-2d r )) Eli dipolin sähkökentän voimakkuus on kääntäen verrannollinen etäisyyden kolmanteen potenssiin. (Tämä on tärkeää molekyylien välisiä vuorovaikutuksia käsiteltäessä.)

13 Taylorin sarja kemiassa: esim 2 Mustan kappaleen säteilyjakauma (säteilyintensiteei aallonpituudella λ kappaaleen lämpönlan ollessa T): p(λ) = 8πhc λ 5 (e hc λkt -1) -1 Miltä p(λ) näy1ää kun aallonpituus on suuri (λ )? Ratkaisu: merkitään esin x = hc/λkt. Kun λ lähestyy ääretöntä, x lähestyy nollaa. Kehitetään ekspontenifunkno Taylorin sarjaksi x = 0 lähistöllä. 8πhc λ 5 (e hc λkt -1) -1 = 8πhc λ 5 (e x -1) -1 8πhc λ 5 (e 0 + e0 (x 0) 1! + e0 (x 0) 2 2! ) -1

14 8πhc λ 5 (e hc λkt -1) -1 = 8πhc λ 5 (e x -1) -1 8πhc λ 5 (e 0 + e0 (x 0) 1! = 8πhc λ 5 + e0 (x 0) 2 2! ) -1 (1+ x + x )-1 = 8πhc λ 5 (x + x )-1 Jos x on rii1ävän pieni, x 2, x 3 jne ovat paljon paljon pienempiä kuin x: voidaan siis unohtaa kaikki korkeammat termit Taylorin sarjasta, ja jä1ää vain lineaarinen termi p(λ) = 8πhc (x) -1 = 8πhc λ 5 λ 5 λkt hc = 8πkT mikä sa1uu olemaan klassisen fysiikan mukainen tulos... λ 4

15 6. Vektorit Vektori on n dimensioinen olio (useimmissa sovelluksissa = 2 tai 3) jolla on suunta ja pituus. Vektoria kuvataan usein nuolella joka kulkee kahden pisteen välillä. B( 1,5, 3) A(2,3,4) vektori AB = (-1-2)i + (5-3)j + (-3-4)k = -3i + 2j - 7k missä i, j ja k ovat yksikkövektoreita

16 Yksikkövektorit

17 Vektorin pituus Vektorin pituus lasketaan Pyhtagoran lauseen perusteella. Äskeiselle esimerkkivektorille: vektorin AB = - 3i + 2j - 7k pituus : AB = ( 3) 2 + (2) 2 + ( 7) 2 = YleisesN mille tahansa vektorille X = ai + bj + ck pätee: X = a 2 + b 2 + c 2 Vastaavanlainen kaava pätee myös ulo1uvuuksien määrän ollessa pienempi tai suurempi kuin 3.

18 Otetaan toinen vektori joka kulkee pisteestä A pisteeseen C. C(2,4,5) B( 1,5, 3) θ A(2,3,4) vektori AC = (2-2)i + (4-3)j + (5-4)k = j + k AC = = Olkoon vektorien välinen kulma θ. Kulman voi AB ja AC laskea pistetulon avulla. AB AC = AB AC cos(θ) cos(θ) = AB AC AB AC

19 Pistetulo Kahden vektorin pistetulo lasketaan seuraavasn: olkoon P = a p i + b p j + c p k ja Q = a q i + b q j + c q k P Q = a p a q + b p b q + c p c q Äskeisille esimerkkivektoreille siis AB = 3i + 2j - 7k ja AC = j + k AB AC = (-3) (-7) 1 = -5 cos(θ) = θ = arccos( 5 AB AC = )

20 Esimerkki Ammoniakin NH 3 atomien karteesisiksi koordinaateksi on laskennallisen kemian ohjelmalla saatu (yksikkönä Ångström): N H H H Laske H 1 N H 2 sidoskulma. Ratkaisu: muodostetaan vektorit NH 1 ja NH 2. vektori NH 1 = ( )i + ( )j + ( )k = i j k vektori NH 2 = ( )i + ( )j + ( )k = i j k

21 Sidoskulma saadaan nyt pistetulon avulla: = cos(θ) = NH 1 NH 2 NH 1 NH ( ) ( ) = θ = arccos( ) Mikä on noin puolitoista aste1a pienempi kuin todellinen mita1u sidoskulma.

22 7. Kompleksiluvut Yhtälöllä x 2 = 1 ei ole reaalilukuratkaisua tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjeste1y "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus i 2 = i i = 1 x = kompleksiluvun reaaliosa, Re(z) y = kompleksiluvun imaginääriosa, Im(z) Huom: älä sekoita imaginääriyksikköä i ja yksikkövektoria i

23 Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim: x 2 2x + 5 = 0 x = 2 ± ( 2) = 2 ± = 2 ± 4 i 2 Merkitään juuria Z 1 = 1 + 2i, Z 2 = 1 2i Re(Z 1 ) = 1 Re(Z 2 ) = 1 Im(Z 1 ) = 2 Im(Z 2 ) = 2 = 2 ± 16 2 =1± 2i

24 Kompleksilukujen laskutoimitukset Olkoon Z 1 = x 1 + y 1 i, Z 2 = x 2 + y 2 i Yhteenlasku: Z 1 + Z 2 = (x 1 + y 1 ) + (y 1 + y 2 )i Kertolasku: Z 1 Z 2 = (x 1 + y 1 i)(x 2 + y 2 i) = x 1 x 2 + x 1 y 2 i + x 2 y 1 i + y 1 y 2 i 2 = x 1 x 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i y 1 y 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i

25 Kompleksiluvun lii5oluku eli kompleksikonjugaa8 Merkitään Z* tai Z Z = x + yi Z* = x yi Huomaa e1ä kompleksiluku kerro1una lii1oluvullaan antaa reaaliluvun: Z Z* = x 2 + y 2 Kompleksiluvun jakolasku Z 1 = x 1 + y 1 i Z 2 x 2 + y 2 i = (x 1 + y 1 i)(x 2 y 2 i) (x 2 + y 2 i)(x 2 y 2 i) = (x 1x 2 + x 1 y 2 i + x 2 y 1 i y 1 y 2 ) x x 2 y 2 i x 2 y 2 i- y 2 2 i 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i x y 2 Kerrotaan molemmat puolet Z 2 *:lla

26 Kompleksiluvun pituus ja argumeni Kompleksiluku voidaan esi1ää vektorina ns. kompleksitasossa. Z = x + iy (x,y) Im(Z) y (x,y) x Re(Z)

27 Kompleksiluvun pituus ja argumeni Kompleksiluku voidaan esi1ää vektorina ns. kompleksitasossa. Z = x + iy (x,y) Im(Z) y r θ (x,y) r: pisteen etäisyys origosta θ: vektorin ja Re(Z) akselin välinen kulma x Re(Z)

28 Im(Z) r θ (x,y) Re(Z) Olkon Z = x + iy. Tällöin Re(Z) = x ja Im(Z) = y. r = kompleksiluvun pituus eli itseisarvo, merkitään Z. Lasketaan pythagoraan kaavalla: Z = r = Re(Z) 2 + Im(Z) 2 = x 2 + y 2 θ = kompleksiluvun argumeni, merkitään Arg(Z): arctan( Im(Z) ) jos Re(Z) > 0 Re(Z) Arg(Z) = θ = { arctan( Im(Z) ) + π jos Re(Z) < 0 Re(Z)

29 Yhteys napakoordinaa1eihin Im(Z) r θ (x,y) Re(Z) Re(Z) = r cos(θ) Im(Z) = r sin(θ) Z = r cos(θ) + i sin(θ)

30 Esimerkki Etsi kompleksiluvun pituus ja argumeni ja piirrä kompleksilukuvektori. a) Z = 1 + i Ratkaisu: Z = Re(Z) 2 + Im(Z) 2 = = 2 Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) = arctan(1 1 ) =

31 b) Z = 0.5 ( 3/2)i Ratkaisu: Z = Re(Z) 2 + Im(Z) 2 = ( )2 + (- 2 )2 =1 3 Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) +180 = arctan( 2 ) +180 =

32 Eulerin kaava Z =Re(Z) + Im(Z) i = r cos(θ) + r sin(θ) i = r (cos(θ) + i sin(θ)) = re iθ Z = r(cosθ + isinθ) = re iθ Eulerin kaava kytkee yhteen eksponen8funkbon ja trigonometriset funkbot, ja on hyvin hyödyllinen työkalu.

33 Eulerin kaavan sovelluksia Z = r(cosθ + isinθ) = re iθ KonjugaaI: Z* = re iθ = r(cos(-θ) + isin(-θ)) = r(cos θ - isin θ) Kertolasku Z 1 = r 1 e iθ 1, Z 2 = r 2 e iθ 2 Z 1 Z 2 = r 1 e iθ 1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e iθ 1 +iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 +θ 2 ) Jakolasku Z 1 Z 2 = r 1 eiθ1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 )

34 Eulerin kaavan sovelluksia Z 1 Z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) Tulon itseisarvo: Z 1 Z 2 = r 1 r 2 Tulon argumeni: Arg(Z 1 Z 2 ) = θ 1 +θ 2 Imaginääriyksikön ominaisuuksia: i = 1(cos θ + isin θ) = 1e i(π 2 ) i i = e i(π 2 ) e i(π 2 ) = e iπ = (cos π + isin π ) = -1

35 Eulerin kaavan sovelluksia Kompleksiluvun potenssi: Z n = (re iθ ) n = r n e i nθ = r n (cos(nθ) + isin(nθ)) = r n (cos θ + isin θ) n Tämä tunnetaan De Moivren kaavana, ja se on hyödyllinen paitsi kompleksilukujen potenssien laskemisessa, myös trigonometristen funknoiden potenssien ja moninkertaisten tai murtolukukulmien idennteeien laskemisessa.

36 Eulerin kaavan sovelluksia Trigonometristen funknoiden ilmaiseminen eksponenifunknoiden avulla: e iθ = cos θ + isin θ (1) e iθ = cos θ isin θ (2) lasketaan yhtälöt 1 ja 2 yhteen: e iθ + e iθ = 2cos θ cos θ = eiθ + e iθ 2 vähennetään yhtälö 2 yhtälöstä 1: e iθ e iθ = isin θ isin θ sin θ = eiθ e iθ 2i

37 Trigonometristen idennteeien johtaminen Eulerin & de Moivren avulla Äsken saanin: r n (cos(nθ) + isin(nθ)) = r n (cos θ + isin θ) n Olkoon r = 1 ja n = 2. Saadaan: cos(2θ) + isin(2θ) = (cos θ + isin θ) 2 Lasketaan oikea puoli auki: cos(2θ) + isin(2θ) = (cosθ + isinθ)(cosθ + isinθ) cos(2θ) + isin(2θ) = cos 2 θ + 2cosθ isinθ + i 2 sin 2 θ cos(2θ) + isin(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ + 2icosθsinθ Jo1a yhtälö voi päteä, reaali ja imaginääriosien tulee olla yhtä suuret, ts: cos(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ ja sin(2θ) = 2cosθsinθ

38 Eulerin kaava & integroinntehtävät Esimerkki: laske cos(2θ)sin 2 (3θ)dθ Ratkaisu: käytetään Eulerin kaavasta johde1ua lauseke1a sini ja kosinifunknoille: cos(2θ)sin 2 (3θ)dθ = ( ei 2θ + e 2 i 2θ )( ei 3θ i 3θ e ) 2 dθ 2i = 1 8 (ei 2θ + e i 2θ )(e i 3θ e i 3θ )(e i 3θ e i 3θ )dθ = 1 8 (ei 2θ + e i 2θ )(e i 6θ 2e iθ(3 3) + e i 6θ ) dθ = 1 8 (ei 8θ 2e i 2θ + e i 4θ + e i 4θ 2e i 2θ + e i 8θ ) dθ

39 cos(2θ)sin 2 (3θ)dθ = 1 8 (ei 8θ 2e i 2θ + e i 4θ + e i 4θ 2e i 2θ + e i 8θ ) dθ = 1 8 ((ei 8θ + e i 8θ ) + (e i 4θ + e i 4θ ) 2(e i 2θ + e i 2θ ) dθ = 1 8 2cos(8θ) + 2cos(4θ) 4cos(2θ)) dθ = 1 8 (2sin(8θ) 8 = sin(8θ) 32 sin(4θ) sin(4θ) 4 + sin(2θ) 4 4sin(2θ) ) + C 2 + C

40 Missä kompleksiluvut ovat parempia kuin tavalliset vektorit? Mitä kompleksiluvulle tapahtuu kun se kerrotaan imaginääriyksiköllä (a + bi)i = ai + bi 2 = b + ai a + bi vastaa tason vektoria (a,b) b + ai vastaa tason vektoria ( b,a) Lasketaan vektorien välinen kulma: cos(θ) = (a,b) ( b,a) (a,b) (b,a) = -ab + ba (a,b) (b,a) = 0 θ = 90

41 Missä kompleksiluvut ovat parempia kuin tavalliset vektorit? Im(Z) a b Imaginääriluvulle kertominen on helppo tapa kiertää kompleksivektoria 90. Kiertoja on muutenkin helpompi kuvata kompleksiluvuilla. a + bi b a Re(Z)

42 Kompleksiluvut kemiassa Imaginääriluku i esiintyy usein kvanikemian operaa1oreissa, näistä on jo tava1u esim: Liikemäärän operaa1ori: p ˆ x = -i d dx = i d dx ImpulssimomenIoperaa1ori: (huom: saman näköiset!) J ˆ z = i φ Myös aaltofunknoissa on usein kompleksilukutermejä.

43 Esimerkki: kvanimekaaninen pyörimisliike Massat m 1 ja m 2, vastakkaisilla puolilla origoa ja etäisyyksien r 1 ja r 2 päässä siitä, pyörivät origon ympäri. Merkitään kulmaa θ:lla. m 1 r 2 m 2 r 1 θ Systeemin Schrödingerin yhtälö: m 2 d 2 ψ I = 1 m 2 (r 2I dθ 2 = Eψ 1 + r 2 ) 2 m 1 +m 2 (hitausmomen+)

44 Edellä annetun schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu on ψ(θ) = Ce i aθ a R Ratkaisun reunaehdot saadaan vaanmalla e1ä aaltofunkno on sama kulmalle θ ja θ + 2π: ψ(θ) = ψ(θ + 2π ) Ce i aθ = Ce i a(θ+2π ) = e i a2π Ce i aθ mistä nähdän e1ä a:n on oltava kokonaisuluku: a = {0, ±1, ±2...}. Ratkaistaan seuraavaksi energia operoimalla Hamiltonin operaa1orila anne1uun funknoon: 2 2I d 2 ψ(θ) dθ 2 = 2 2I d 2 aθ Cei 2 dθ = 2 d 2I dθ Cei aθ ia = 2 2I Cei aθ (ia) 2 = 2 a 2 2I Ce i aθ

45 Äsken saanin 2 d 2 ψ(θ) 2I dθ 2 = 2 a 2 Ce i aθ = 2 a 2 2I 2I ψ(θ) Vertaamalla tätä alkuperäiseen Schrödingerin yhtälöön 2 d 2 ψ 2I dθ 2 = Eψ nähdään hen e1ä E = 2 a 2 2I missä edelleen a = {0, ±1, ±2...}. (Vain Netyt a:n kokonaislukuarvoja vastaavat energianlat ovat siis mahdollisia; sanotaan e1ä pyörivän kappaleen energianlat ovat kvan./uneet.

46 Esimerkki: vetyatomin aaltofunknon kulmaosat Vetyatomin aaltofunknossa on kolme ns kvanilukua, n l ja m. ψ n,l,m (r,θ,ϕ) = N n,l,m e r na 0 ( 2r )L 2l+1 n l 1 ( 2r )Y m l (θ,ϕ) na 0 na 0 Kun sivukvaniluku l = 1 ja magneeinen kvaniluku m = ± 1, kulmaosa joka kuvaa elektronin suuntaa vetyatomin ynmestä on palloharmoninen funkno johon sisältyy kompleksiarvoinen eksponeni: Y ±1 1 (θ,ϕ) = ( 3 1 8π ) 2 sin(θ)e ±iϕ Voidaan jakaa reaali ja imaginääriosiin Eulerin kaavalla.

5. lukujonot ja sarjat.

5. lukujonot ja sarjat. 5. lukujonot ja sarjat. Lukujono on järjeste1y joukko lukuja x 1, x 2, x 3,..., x N Kun jonon alkiot lasketaan yhteen, saadaan sarja: N x i = x 1 + x 2 + x 3 +...+ x N i=1 Yhteenlaskun tulosta sanotaan

Lisätiedot

5. lukujonot ja sarjat.

5. lukujonot ja sarjat. 5. lukujonot ja sarjat. Lukujono on järjeste1y joukko lukuja x 1, x 2, x 3,..., x N Kun jonon alkiot lasketaan yhteen, saadaan summa: N x i = x 1 + x 2 + x 3 +...+ x N i=1 Jos lukujono on ääre1ömän pitkä

Lisätiedot

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim: 6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus

Lisätiedot

5. lukujonot ja sarjat. Suppeneminen. Geometrinen lukujono ja summa. AritmeeMnen lukujono ja summa 1/31/13

5. lukujonot ja sarjat. Suppeneminen. Geometrinen lukujono ja summa. AritmeeMnen lukujono ja summa 1/31/13 5. lukujonot ja sarjat. Lukujono on järjeste4y joukko lukuja x 1, x, x 3,..., x N Kun jonon alkiot lasketaan yhteen, saadaan summa: N x i = x 1 + x + x 3 +...+ x N i=1 Jos lukujono on ääre4ömän pitkä (eli

Lisätiedot

Osa 5. lukujonot ja sarjat.

Osa 5. lukujonot ja sarjat. Osa 5. lukujonot ja sarjat. Summamerkintä Kurssilla on jo tullut vastaan ns. summamerkintä (kreikkalainen iso sigma): n k=1 Indeksin loppuarvo Indeksi jonka suhteen summataan a k =a 1 +a +a 3 +...+a n

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy

Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz z 2 y 2 x 2 = f(x,y,z)dx dy dz z y x Tyypillises. kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massa.heys, jolloin integraalin arvo on massa alueella jota integroin.rajat

Lisätiedot

Trigonometriset funk/ot

Trigonometriset funk/ot Trigonometriset funk/ot Suorakulmainen kolmio sin(θ) = a c cos(θ) = b c hypotenuusa c tan(θ) = sin(θ) cos(θ) = a b kulma θ b katee8 a katee8 a = c sin(θ) b = c cos(θ) cot(θ) = cos(θ) sin(θ) = b a Trigonometriset

Lisätiedot

VII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset

VII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset VII. KOMPLEKSILUVUT Kompleksilukujen joukko on VII.1. Laskutoimitukset C = {(x, y x R ja y R} ; siis joukkona C = taso R 2. Kun z = (x, y C, niin x R on z:n reaaliosa ja y R imaginaariosa, merkitään x

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13 4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa

Lisätiedot

C = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti

C = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti Vaasan yliopiston julkaisuja 189 9 OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus 9.1.1 Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä

Lisätiedot

Trigonometriset funk/ot

Trigonometriset funk/ot Trigonometriset funk/ot Suorakulmainen kolmio sin(θ) = a c cos(θ) = b c hypotenuusa c tan(θ) = sin(θ) cos(θ) = a b kulma θ b katee8 a katee8 a = c sin(θ) b = c cos(θ) cot(θ) = cos(θ) sin(θ) = b a Trigonometriset

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1 Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,

Lisätiedot

Kompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division

Kompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division Kompleksianalyysi Jukka Kemppainen Mathematics Division Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Integrointi 5. Sarjat 6. Residylaskentaa 7. Diskreetti systeemi 2 / 43 Kompleksiluvut

Lisätiedot

2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio

2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio 2 Kompleksiluvut 2A Kompleksilukujen konstruktio Kompleksiluvut ovat syntyneet reaaliluvuista luonnollisen tarpeen myötä: kaikilla epätriviaaleilla polynomiyhtälöillä, kuten yhtälöllä z 2 +1 = 0, ei ole

Lisätiedot

J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.

J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z. FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa

Lisätiedot

Esimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään:

Esimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään: Korkeammat erivaatat Jo kerran erivoitu funk6o voiaan erivoia uuelleen.! f(x) x " # x % & = 2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) x 2 Yleisemmin merkitään: n f(x) = f (n) (x) x n erkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Kompleksiluvuista Kaksiulotteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja, eli R 2

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Valintakoe

Valintakoe Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..

Lisätiedot

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Harju Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Heinäkuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) . Kompleksiluvut Kompleksiluvut C saadaan varustamalla taso R komponenteittaisella yhteenlaskulla (Esimerkki.3 (b)) ja kertolaskulla, joka määritellään asettamalla Huomaa, että ja (a, b)(c, d) =(ac bd,

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Kompleksianalyysi Funktiot

Kompleksianalyysi Funktiot Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien SMG-100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Osoitin Trigonometrinen muoto Polaarimuoto Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset Viime luennolla esitettiin, että

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot