Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa"

Transkriptio

1 Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus - käsinlaskuesimerkkejä - kaikki välivaiheet esittävä ohjelma Mathematicalla Laajennettu Eukleideen algoritmi - suoraviivainen tapa Etsitään annettujen positiivisten lukujen a ja b suurimman yhteisen tekijän d = syt(a, b) esitys lukujen a ja b lineaarkombinaationa muodossa d = u a + v b; u, v Z; suoraviivaisella tavalla. Tässä tavassa jakoalgoritmin tuottama jakojäännös r i esitetään jokaisella askeleella muodossa u i a + v i b. Viimeisen jakojäännöksen r n ollessa nolla, on viimeinen nollasta eroava jakojäännös r n-1 etsitty lineaarikombinaatio d = syt(a, b) = r n-1 = u a + v b. Aloitetaan laskemalla yksityiskohtaisesti useita ensimmäisiä rivejä: a b > 0 a = q 1 b + r 1 ; r 1 = a q 1 b = u 1 a + v 1 b, missä u 1 = 1, v 1 = q 1 Z b = q 2 r 1 + r 2 ; r 2 = b q 2 r 1 = b q 2 (a q 1 b) = q 2 a + (1 q 2 v 1 )b = u 2 a + v 2 b, missä u 2 = q 2, v 2 = 1 q 2 v 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3 ; r 3 = r 1 q 3 r 2 = (a q 1 b ) q 3 (b q 2 (a q 1 b )) = u 1 a + v 1 b q 3 (q 2 a + (1 q 2 v 1 )b) = u 1 a + v 1 b q 3 ( u 2 a + v 2 b) = (u 1 q 3 u 2 )a + (v 1 q 3 v 2 )b = u 3 a + v 3 b, missä u 3 = u 1 q 3 u 2, v 3 = v 1 q 3 v 2 r 2 = q 4 r 3 + r 4 ; r 4 = r 2 q 4 r 3 = (b q 2 (a q 1 b )) q 4 ((a q 1 b ) q 3 (b q 2 (a q 1 b ))) = u 2 a + v 2 b q 4 (u 3 a + v 3 b) = (u 2 q 4 u 3 )a + (v 2 q 4 v 3 )b = u 4 a + v 4 b, missä u 4 = u 2 q 4 u 3, v 4 = v 2 q 4 v 3 r 3 = q 5 r 4 + r 5 ; r 5 = r 3 q 5 r 4 = u 5 a + v 5 b, missä u 5 = u 3 q 5 u 4, v 5 = v 3 q 5 v 4 ja niin edelleen. Meillä on siis a = q 1 b + r 1, r 1 = a q 1 b b = q 2 r 1 + r 2, r 2 = b q 2 r 1. Tämän lisäksi yleiset jakojäännökset sekä kertoimet u i ja v i ovat ilmeisestikin muotoa r i = r i-2 q i r i-1 = u i a + v i b,

2 Salakirjoitus 2 missä u i = u i-2 q i u i-1 ja v i = v i-2 q i v i-1, aina kun i 3. (*) Koska u 1 = 1, v 1 = q 1 ja u 2 = q 2, v 2 = 1 q 2 v 1, niin u 2 = u 0 q 2 u 1, v 2 = v 0 q 2 v 1, kun u 0 = 0 ja v 0 = 1. Toisin sanoen, valitsemalla r 0 = b; u 0 = 0 ja v 0 = 1 sekä u 1 = 1, v 1 = q 1, voidaan (*) laajentaa koskemaan myös arvoa i = 2. Saadaan siis r 1 = a q 1 b r i = r i-2 q i r i-1 = u i a + v i b u i = u i-2 q i u i-1 v i = v i-2 q i v i-1, aina kun i 2. Merkitään vielä r -1 = a, r 0 = b; u -1 = 1 ja v -1 = 0 sekä u 0 = 0 ja v 0 = 1. Tällöin ensimmäinen yhtäsuuruus r 1 = a q 1 b sekä arvot u 1 ja v 1 saadaan yleisistä palautuskaavoista myös tapauksessa i = 1: r i = r i-2 q i r i-1 = u i a + v i b u i = u i-2 q i u i-1 v i = v i-2 q i v i-1, aina kun i 1. Yllä esitetyistä laskelmista voidaan myös havaita, että luvun a (> 0) kerroin u i on positiivinen aina kun indeksi i on pariton ja negatiivinen aina kun i > 0 on parillinen. Luvun b (> 0) kertoimen v i etumerkki puolestaan vaihtelee päinvastoin: v i on negatiivinen aina kun indeksi i > 0 on pariton ja positiivinen aina kun i on parillinen. Esitetään seuraavaksi tämä laajennettu Eukleideen algoritmi valmiin ohjelman muodossa (kuten jo kappaleessa 2.2), ja todistetaan sen virheetön toiminta matemaattisella induktiolla. Algoritmi 2.2 Laajennettu Eukleideen algoritmi syöte a b > 0 alkuarvot r -1 = a; r 0 = b; u -1 = 1; u 0 = 0; v -1 = 0; v 0 = 1; n = 0; while r n > 0 do begin aseta n = n + 1; tulosta r n-2 = q n r n-1 + r n, r n-1 > r n 0; aseta u n = u n-2 - q n u n-1 ; aseta v n = v n-2 - q n v n-1 ; end aseta u = u n-1 ; v = v n-1 ; (2.2) syt(a, b) = r n-1 = u a + v b Algoritmin 2.2 oikeellisuuden todistus: Aluksi huomataan, että luvut r n, n 1, muodostavat ei-negatiivisten kokonaislukujen aidosti vähenevän jonon. Näin ollen algoritmin toiminta päättyy vähintään a iteraation jälkeen (käytännössä huomattavan paljon nopeammin).

3 Salakirjoitus 3 Algoritmin palauskaavasta r i = r i-2 q i r i-1 seuraa, että jokainen jakojäännöksien r i-2 ja r i-1 yhteinen tekijä on myös jakojäännöksien r i ja r i-1 yhteinen tekijä. Toisaalta jokainen jakojäännöksien r i ja r i-1 tekijä t on myös lukujen r i-2 ja r i-1 tekijä, koska muodoista r i = t r i ' ja r i-1 = t r i-1 ' (t, r i ', r i-1 ' Z + ) seuraa palautuskaavan nojalla, että r i-2 = r i + q i r i-1 = t r i ' + q i t r i-1 ' = t (r i ' + q i r i-1 '), ts. t on luvun r i-2 (ja oletuksen mukaan myös luvun r i-1 ) tekijä. Siis syt(r i-2, r i-1 ) = syt(r i-1, r i ), aina kun 1 i n, ja näin ollen syt(a, b) = syt(r -1, r 0 ) = syt(r 0, r 1 ) = syt(r 1, r 2 ) = = syt(r n-1, r n ) = syt(r n-1, 0) = r n-1. Tämä todistaa ensimmäisen yhtäsuuruuden kohdassa (2.2). Osoitamme nyt, että kaikille k, -1 k n, on voimassa (2.3) u k a + v k b = r k. Huomaa, että tässä sijoitus k = n - 1 tuottaa toisen yhtäsuuruuden kohdassa (2.2). Kun k = -1 ja k = 0 relaatio (2.2) on voimassa alkuarvojen r -1 = a; r 0 = b; u -1 = 1; u 0 = 0; v -1 = 0; v 0 = 1; valinnan perusteella. Jatketaan matemaattisella induktiolla. Tehdään induktio-oletus (i.o.), että (2.2) on voimassa, kun n = k 2 ja kun n = k 1. Algoritmin palautuskaavojen ja induktio-oletuksen nojalla seuraa, että r k = r k-2 - q k r i.o. k-1 = {u k-2 a + v k-2 b} - q k {u k-1 a + v k-1 b} = (u k-2 q k u k-1 ) a + (v k-2 q k v k-1 ) b = u k a + v k b. Induktioperiaatteen nojalla kohta (2.3) on tosi. Näin ollen Algoritmi 2.2 toimii oikein. Tietenkään ei ole välttämätöntä tallettaa kaikkia muuttujien r k, u k ja v k väliarvoja. Vain kaksi viimeistä yhdessä q k :n kanssa riittää. Muut väliarvot olivat mukana algoritmissa vain helpottamassa todistuksen lukemista. Huomautus. Koska kertoimet u i ja v i lasketaan lineaaristen yhtälöiden u i = u i-2 q i u i-1 v i = v i-2 q i v i-1 avulla, voitaisiin ne ja saman tien seuraavalla askeleella tarvittavat u i-1 ja v i-1 tuottaa ja tallentaa matriisimuodossa seuraavasti: u i v i u i-1 v i-1 = -q i u i-1 v i-1 u i-2 v i-2. Koska u -1 = 1; u 0 = 0; v -1 = 0; v 0 = 1; meillä on u 0 v 0 u -1 v -1 = Kun i = 1, saadaan u 1 v 1 u 0 v 0 = -q Seuravassa askeleessa saadaan u 2 v 2 u 1 v 1 = -q u 1 v 1 u 0 v 0 = -q ( -q ). Tässä kahden viimeisen matriisin ympärillä olevat sulkumerkit voidaan jättää merkitsemättä matriisien liitäntä- eli

4 Salakirjoitus 4 assosiatiivisuusominaisuuksien nojalla. Lopullisessa lineaarikombinaatiossa syt(a, b) = r n-1 = u a + v b kertoimet ovat u = u n-1 ; v = v n-1 ja ne löytyvät n 1 matriisikertolaskun jälkeen saatavan tulomatriisin ensimmäiseltä vaakariviltä sen jälkeen, kun tarvittavat kertoimet q i ovat löytyneet: u n-1 v n-1 u n-2 v n-2 = -q n q q Alla olevassa käsinlaskuesimerkissä, jossa lasketaan syt(368, 123), saadaan q 1 = 2 ja q 2 = 1. Tuossa tapauksessa on kolme riviä, joten n = 3. Kertoimiksi saadaan u = u n-1 = -1 ; v = v n-1 = 3. Nämä luvut löytyvät tulomatriisin ensimmäiseltä vaakariviltä: Jätämme lukijalle tämän elegantin laskentatavan ohjelmoinnin harjoitustehtäväksi emmekä enää käsittele sitä tässä yhteydessä. Käsinlaskuesimerkki: a = 368 ja b = 123 Tässä syt = 1, mikä nähdään Eukleideen algoritmilla seuraavasti: 368 = 2 * = 1 * = 122 * Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 1 = syt(368, 123). Esitetään syt = 1 nyt lukujen a = 368 ja b = 123 lineaarikombinaationa. Tässä yksinkertaisessa tilanteessa laskelmat on helppo tehdä käsin. Meillä siis on voimassa r i = r i-2 q i r i-1 = u i a + v i b, missä u i = u i-2 q i u i-1, v i = v i-2 q i v i-1, u 0 = 0 ja v 0 = 1 sekä u 1 = 1, v 1 = q 1. Niinpä laskemme seuraavasti: r i-2 = q i r i-1 + r i ; r i = r i-2 q i r i-1 = u i a + v i b ; u i, v i, q i = 2* ; 122 = 368 2*123 ; u 1 = 1, v 1 = q 1 = = 1* ; 1 = 123 1*(368 2*123) = 1* *123 ; u 2 = u 0 q 2 u 1 = 0 1*1 = 1, v 2 = v 0 q 2 v 1 = 1 1*( 2) = 3

5 Salakirjoitus = 122*1 + 0 ; 1 = syt(368, 123) = u a + v b, missä u = u 2 = 1 ja v = v 2 = 3. Siis syt(368, 123) = 1 = 1* *123. Tämä tulos on helppo varmistaa ja todeta oikeaksi. Käsinlaskuesimerkki: a = 1431 ja b = 1368 Tässä syt = 9, mikä nähdään Eukleideen algoritmilla seuraavasti: 1431 = 1 * = 21 * = 1 * = 2 * = 2 * Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 9 = syt(1431, 1368). Laketaan vielä lineaarikombinaatio 9 = u i a + v i b. Tässä a = 1431 ja b = 1368 sekä kuten edellä r i = r i-2 q i r i-1 = u i a + v i b, missä u i = u i-2 q i u i-1, v i = v i-2 q i v i-1, u 0 = 0 ja v 0 = 1 sekä u 1 = 1, v 1 = q 1. Keskitytään nyt vain kaikkein oleellisiimpaan, eli lukujen u i ja v i laskemiseen kullakin askeleella: r i-2 = q i r i-1 + r i ; r i = r i-2 q i r i-1 = u i a + v i b ; u i, v i, q i = 1* = a b = u 1 a + v 1 b; u 1 = 1, v 1 = q 1 = = 21* = u 2 a + v 2 b; u 2 = u 0 q 2 u 1 = 0 21*1 = 21, v 2 = v 0 q 2 v 1 = 1 21*( 1) = = 1* = u 3 a + v 3 b; u 3 = u 1 q 3 u 2 = 1 1*( 21) = 22, v 3 = v 1 q 3 v 2 = 1 1*22 = = 2* = u 4 a + v 4 b; u 4 = u 2 q 4 u 3 = 21 2*22 = 65, v 4 = v 2 q 4 v 3 = 22 2*( 23) = = 2* = syt(1431, 1368) = u a + v b, missä u = u 4 = 65 ja v = v 4 = 68. Siis syt(1431, 1368) = 9 = 65* *1368. Tarkista vielä tämä tulos kertomalla luvut ja laskemalla saadut tulot yhteen. Laajennetun Eukleideen algoritmin ohjelmointi Mathematicalla Esitetään aluksi Eukleideen perusalgoritmi ilman lineaarikombinaatiota. Tällöin laskelmien rakenne on varsin yksinkertainen. Jos käyttäjän antama (positiivinen luku) a on pienempi kuin b, vaihdetaan ensin näiden lukujen a ja b järjestys:

6 Salakirjoitus 6 Clear[f]; f[{a_, b_}] := If[a b, {a, "=", Floor[a / b], "*", b, "+", a - Floor[a / b] * b}, f[{b, a}]]; f[{a_, _, _, _, b_, _, r_}] := Module[{myPr = ""}, If[r 0, Print["\nTässä syt = ", b, ".", "\n\ntulos nähdään Eukleideen algoritmilla seuraavasti:\n"]; mypr, {b, "=", Floor[b / r], "*", r, "+", b - Floor[b / r] * r}]]; Esimerkki: Clear[Eukleides]; Eukleides[a_, b_] := ( Print[ (steps = Rest[NestWhileList[f, {a, b}, (# =!= "") &]]) // TableForm]; Print["Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = ", Last[steps[[Length[steps] - 2]]], " = syt(", a, ", ", b, ")."] ) Eukleides[1234, 2345] Tässä syt = 1. Tulos nähdään Eukleideen algoritmilla seuraavasti: 2345 = 1 * = 1 * = 9 * = 30 * = 1 * = 3 * Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 1 = syt(1234, 2345). Palautetaan seuraavaksi mieleen yllä todistetun laajennetun algoritmin pseudokoodi: Algoritmi 2.2 Laajennettu Eukleideen algoritmi syöte a b > 0

7 Salakirjoitus 7 alkuarvot r -1 = a; r 0 = b; u -1 = 1; u 0 = 0; v -1 = 0; v 0 = 1; n = 0; while r n > 0 do begin aseta n = n + 1; tulosta r n-2 = q n r n-1 + r n, r n-1 > r n 0; aseta u n = u n-2 - q n u n-1 ; aseta v n = v n-2 - q n v n-1 ; end aseta u = u n-1 ; v = v n-1 ; Meillä on siis aluksi: r -1 = a; r 0 = b; (a b > 0) u -1 = 1; u 0 = 0; v -1 = 0; v 0 = 1; n = 0; r -1 = a = q 1 b + r 1 ; r 1 = a q 1 b = u 1 a + v 1 b, missä u 1 = u -1 q 1 u 0, v 1 = v -1 q 1 v 0 r 0 = b = q 2 r 1 + r 2 ; r 2 = b q 2 r 1 = u 2 a + v 2 b, missä u 2 = u 0 q 2 u 1, v 2 = v 0 q 2 v 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3 ; r 3 = u 3 a + v 3 b, missä u 3 = u 1 q 3 u 2, v 3 = v 1 q 3 v 2 r 2 = q 4 r 3 + r 4 ; r 4 = u 4 a + v 4 b, missä u 4 = u 2 q 4 u 3, v 4 = v 2 q 4 v 3 Esitetään nyt jakoalgoritmin suorittava funktio jako ja sitä käyttävä funktio laajennettueukleides: Clear[jako]; jako[{a_, b_}] := If[a b, Print[r -1, "=", a, "=", q 1, "*", r 0, "+", r 1, "=", Floor[a / b], "*", b, "+", a - Floor[a / b] * b, "; ", r 1, "=", a - Floor[a / b] * b, "=", u 1, "a +", v 1, "b", " = ", "(", 1-0, ")*", a, " + (", 0 - Floor[a / b], ")*", b]; {1, a, Floor[a / b], b, a - Floor[a / b] * b, {0, 1}, 1-0, a, 0 - Floor[a / b], b} (* = {indeksi=n=1,r -1,q 1, r 0,r 1,{u 0,v 0 },u 1 =u -1 -q 1 *u 0,a,v 1 =v -1 -q 1 *v 0,b} *), jako[{b, a}]]; jako[ {n_, r1_, q3_, r2_, r3_, {u2_, v2_}, u3_, a_, v3_, b_}] := Module[{i, q4, r4, u4, v4, nextstep}, If[r3 0, "", (q4 = Floor[r2 / r3]; r4 = r2 - q4 * r3; u4 = u2 - q4 * u3; v4 = v2 - q4 * v3; nextstep = {i = n + 1, r2, q4, r3, r4, {u3, v3}, u4, a, v4, b}; Print[r i-2, "=", r2, "=", q i, "*", r i-1, "+", r i, "=", q4, "*", r3, "+", r4, "; ", r i, "=", r4, "=", u i, "a +", v i, "b", " = ", "(", u4, ")*", a, " + (", v4, ")*", b]; nextstep)]];

8 Salakirjoitus 8 Clear[laajennettuEukleides]; laajennettueukleides[a_, b_] := (Print["Laajennettu Eukleideen algoritmi toimii seuraavasti:"]; Print["a = ", Max[a, b], ", b = ", Min[a, b]]; lastrelevantstep = NestWhile[jako, {a, b}, (# =!= "") &, 1, Infinity, -2]; Print["Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = ", lastrelevantstep[[5]], " = syt(", a, ", ", b, ")."]; Print["Lineaarikombinaatio: ", lastrelevantstep[[5]], " = u a + v b = ", "(", lastrelevantstep[[7]], ")*", Max[a, b], " + (", lastrelevantstep[[9]], ")*", Min[a, b], "."];); Esimerkki: laajennettueukleides[123,368] laajennettueukleides[123, 368] Laajennettu Eukleideen algoritmi toimii seuraavasti: a = 368, b = 123 r -1 =368=q 1 *r 0 +r 1 =2* ; r 1 =122=u 1 a +v 1 b = (1)*368 + (-2)*123 r 0 =123=q 2 *r 1 +r 2 =1*122+1; r 2 =1=u 2 a +v 2 b = (-1)*368 + (3)*123 r 1 =122=q 3 *r 2 +r 3 =122*1+0; r 3 =0=u 3 a +v 3 b = (123)*368 + (-368)*123 Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 1 = syt(123, 368). Lineaarikombinaatio: 1 = u a + v b = (-1)*368 + (3)*123. Tarkistuslaskelmia luvuilla a ja b sekä tuloksena saaduilla luvuilla u ja v: lastrelevantstep (* siis {i,r i-2,q i,r i-1,r i,{u i-1,v i-1 },u i,a,v i,b}, kun i = n-1 *) {2, 123, 1, 122, 1, {1, -2}, -1, 368, 3, 123}

9 Salakirjoitus 9 Print["Lineaarikombinaatio u a + v b = ", "(", lastrelevantstep[[-4]], ")*", lastrelevantstep[[-3]], " + (", lastrelevantstep[[-2]], ")*", lastrelevantstep[[- 1]], " tuottaa sievennettynä luvun:"]; lastrelevantstep[[- 4]] * lastrelevantstep[[- 3]] + lastrelevantstep[[-2]] * lastrelevantstep[[-1]] Lineaarikombinaatio u a + v b = (-1)*368 + (3)*123 tuottaa sievennettynä luvun: 1 Tämähän on aivan oikein. Esimerkki: laajennettueukleides[34527, ] laajennettueukleides[34 527, ] Laajennettu Eukleideen algoritmi toimii seuraavasti: a = , b = r -1 = =q 1 *r 0 +r 1 =529* ; r 1 =8862=u 1 a +v 1 b = (1)* (-529)* r 0 =34 527=q 2 *r 1 +r 2 =3* ; r 2 = 7941=u 2 a +v 2 b = (-3)* (1588)* r 1 =8862=q 3 *r 2 +r 3 =1* ; r 3 = 921=u 3 a +v 3 b = (4)* (-2117)* r 2 =7941=q 4 *r 3 +r 4 =8* ; r 4 = 573=u 4 a +v 4 b = (-35)* (18 524)* r 3 =921=q 5 *r 4 +r 5 =1* ; r 5 =348 =u 5 a +v 5 b = (39)* ( )* r 4 =573=q 6 *r 5 +r 6 =1* ; r 6 =225 =u 6 a +v 6 b = (-74)* (39 165)*34 527

10 Salakirjoitus 10 r 5 =348=q 7 *r 6 +r 7 =1* ; r 7 =123 =u 7 a +v 7 b = (113)* ( )* r 6 =225=q 8 *r 7 +r 8 =1* ; r 8 =102 =u 8 a +v 8 b = (-187)* (98 971)* r 7 =123=q 9 *r 8 +r 9 =1*102+21; r 9 =21 =u 9 a +v 9 b = (300)* ( )* r 8 =102=q 10 *r 9 +r 10 =4*21+18; r 10 =18= u 10 a +v 10 b = (-1387)* ( )* r 9 =21=q 11 *r 10 +r 11 =1*18+3; r 11 =3= u 11 a +v 11 b = (1687)* ( )* r 10 =18=q 12 *r 11 +r 12 =6*3+0; r 12 =0=u 12 a +v 12 b = ( )* ( )* Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 3 = syt(34 527, ). Lineaarikombinaatio: 3 = u a + v b = (1687)* ( )* Tarkistuslaskelmia luvuilla a ja b sekä tuloksena saaduilla luvuilla u ja v: lastrelevantstep (* siis {i,r i-2,q i,r i-1,r i,{u i-1,v i-1 },u i,a,v i,b}, kun i = n-1 *) {11, 21, 1, 18, 3, {-1387, }, 1687, , , }

11 Salakirjoitus 11 Print["Lineaarikombinaatio u a + v b = ", "(", lastrelevantstep[[-4]], ")*", lastrelevantstep[[-3]], " + (", lastrelevantstep[[-2]], ")*", lastrelevantstep[[- 1]], " tuottaa sievennettynä luvun:"]; lastrelevantstep[[- 4]] * lastrelevantstep[[- 3]] + lastrelevantstep[[-2]] * lastrelevantstep[[-1]] Lineaarikombinaatio u a + v b = (1687)* ( )* tuottaa sievennettynä luvun: 3 Tämäkin on oikein. Kokeillaan saadun syt(a,b) :n laskemista vielä Eukleideen perusalgoritmilla ilman lineaarikombinaatiota. Tällöin laskelmien rakenne on yksinkertainen. Samat laskelmat ovat toki näkyvissä jo edellisen tulostuksen vasemmanpuoleisessa reunassa. Eukleides[34 527, ] Tässä syt = 3. Tulos nähdään Eukleideen algoritmilla seuraavasti: = 529 * = 3 * = 1 * = 8 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 4 * = 1 * = 6 * Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 3 = syt(34 527, ).

12 Salakirjoitus 12 Esimerkki: a = Fibonacci[100]; b = Fibonacci[99]; laajennettueukleides[ , ] a = Fibonacci[100] b = Fibonacci[99] laajennettueukleides[a, b] Laajennettu Eukleideen algoritmi toimii seuraavasti: a = , b = r -1 = =q 1 *r 0 +r 1 =1* ; r 1 = =u 1 a +v 1 b = (1)* (-1)* r 0 = =q 2 *r 1 +r 2 =1* ; r 2 = =u 2 a +v 2 b = (-1)* (2)* r 1 = =q 3 *r 2 +r 3 =1* ; r 3 = =u 3 a +v 3 b = (2)* (-3)* Tähän väliin jäävät ohjelman tulostukset on tarkoituksella poistettu. r 94 =5=q 96 *r 95 +r 96 =1*3+2; r 96 =2=u 96 a +v 96 b = ( )* ( )* r 95 =3=q 97 *r 96 +r 97 =1*2+1; r 97 =1=u 97 a +v 97 b = ( )* ( )* r 96 =2=q 98 *r 97 +r 98 =2*1+0; r 98 =0=u 98 a +v 98 b = ( )* ( )* Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 1 = syt( , ). Lineaarikombinaatio: 1 = u a + v b = ( )* ( )*

13 Salakirjoitus 13 Tarkistuslaskelmia luvuilla a ja b sekä tuloksena saaduilla luvuilla u ja v: lastrelevantstep (* siis {i,r i-2,q i,r i-1,r i,{u i-1,v i-1 },u i,a,v i,b}, kun i = n-1 *) {97, 3, 1, 2, 1, { , }, , , , } Print["Lineaarikombinaatio u a + v b = ", "(", lastrelevantstep[[-4]], ")*", lastrelevantstep[[-3]], " + (", lastrelevantstep[[-2]], ")*", lastrelevantstep[[- 1]], " tuottaa sievennettynä luvun:"]; lastrelevantstep[[- 4]] * lastrelevantstep[[- 3]] + lastrelevantstep[[-2]] * lastrelevantstep[[-1]] Lineaarikombinaatio u a + v b = ( )* ( )* tuottaa sievennettynä luvun: 1 Tulos on oikein! Näille suurille luvuille Fibonacci[100] ja Fibonacci[99] tarvittiin suurimman yhteisen tekijän laskemiseen vain = 98 askelta, vaikka kyseessä on hankalin mahdollinen tapaus (kun algoritmin toiminnan nopeutta verrataan luvun b arvoon, a > b 1). Todellakin, algoritmin toiminta on hitaimmillaan silloin, kun jakojäännös r k pienenee kussakin askeleessa r k-2 = q k r k-1 + r k mahdollisimman vähän. Tällaiseen tilanteeseen puolestaan joudutaan, jos r k-2 = r k-1 + r k aina kun 2 k n - 1, ts. jos jokaisella askeleella osamäärä q k saa arvon 1 (mahdollisesti ensimmäistä askelta a = q 1 b + r 1 lukuunottamatta). Tarkemmin tätä asiaa käsitellään päätekstin Kappaleessa 2.3. Se että kaikki kertoimet q i ovat ykkösiä tapauksessa a = Fibonacci[100], b = Fibonacci[99] näkyy helpoiten perusalgoritmista: Eukleides[ a = Fibonacci[100], b = Fibonacci[99] ] Tässä syt = 1. Tulos nähdään Eukleideen algoritmilla seuraavasti: = 1 * = 1 *

14 Salakirjoitus = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 *

15 Salakirjoitus = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 2 * Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 1 = syt( , ). Huomautus. Koska tässä lineaarikombinaatio u a + v b = 1, saadaan u a 1 = v b, ts. u a 1 (mod b) ja näin ollen u a -1 (mod b). Salakirjoituksissa tällaisilla käänteisalkioilla on hyvin keskeinen merkitys, kuten tullaan näkemään. Tämän viimeisen esimerkin tapauksessa lauseke u a + v b on ( )* ( )* = 1, joten (mod ), ts * (mod ).

Salausmenetelmät / Osa I Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät / Osa I Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät / Osa I Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus

Lisätiedot

2. Eukleideen algoritmi

2. Eukleideen algoritmi 2. Eukleideen algoritmi 2.1 Suurimman yhteisen tekijän tehokas laskutapa Tässä luvussa tarkastellaan annettujen lukujen suurimman yhteisen tekijän etsimistä tehokkaalla tavalla. Erinomaisen käyttökelpoinen

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 2. Eukleideen algoritmi à 2.1 Suurimman yhteisen tekijän tehokas laskutapa Tässä luvussa tarkastelemme annettujen

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,

Lisätiedot

2 j =

2 j = 1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9) 1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4.1 Alkuluokka ja Eulerin φ-funktio Yleensä olemme kiinnostuneita vain niistä jäännösluokista modulo m, joiden alkiot ovat suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa. Näiden

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

1 Tätä dokumenttia, Ketjumurtoluvuista.pdf, saa levittää vain yhdessä lähdekoodinsa

1 Tätä dokumenttia, Ketjumurtoluvuista.pdf, saa levittää vain yhdessä lähdekoodinsa Sisältö Eukleideen algoritmi Jakoyhtälö positiivisille kokonaisluvuille 2 2 Eukleideen algoritmi 2 3 Laajennettu Eukleideen algoritmi 3 2 Ketjumurtoluvut 4 2 Irrationaalilukujen ketjumurtolukukehitelmä

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

4.3. Matemaattinen induktio

4.3. Matemaattinen induktio 4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 2 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 2 ratkaisu 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018, Harjoitus 2 ratkaisu Harjoituksen aiheena on algoritmien oikeellisuus. Tehtävä 2.1 Kahvipurkkiongelma. Kahvipurkissa P on valkoisia ja mustia kahvipapuja,

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9. Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n)) Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

d Z + 17 Viimeksi muutettu

d Z + 17 Viimeksi muutettu 5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta

Lisätiedot

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Calculus Lukion 7 MAA Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 6 MAA11 Lukuteoria ja logiikka Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Lukuteorian kurssi lukioon

Lukuteorian kurssi lukioon TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Sini Siira Lukuteorian kurssi lukioon Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SIIRA, SINI: Lukuteorian

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus

Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus Pro gradu -tutkielma Jonna Luokkanen 22452 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 24 Sisältö Johdanto 2 Johdatus ketjumurtolukuihin 2 Ketjumurtoluvun

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio. Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7

Lisätiedot

Kohdissa 2 ja 3 jos lukujen valintaan on useita vaihtoehtoja, valitaan sellaiset luvut, jotka ovat mahdollisimman lähellä listan alkua.

Kohdissa 2 ja 3 jos lukujen valintaan on useita vaihtoehtoja, valitaan sellaiset luvut, jotka ovat mahdollisimman lähellä listan alkua. A Lista Aikaraja: 1 s Uolevi sai käsiinsä listan kokonaislukuja. Hän päätti laskea listan luvuista yhden luvun käyttäen seuraavaa algoritmia: 1. Jos listalla on vain yksi luku, pysäytä algoritmi. 2. Jos

Lisätiedot

1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet.

1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. 1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. Differentiaalilaskennassa on aika tavallinen tilanne päästä tutkimaan SULJETUL- LA VÄLILLÄ JATKUVAA FUNKTIOTA. Oletuksena on tällöin funktion

Lisätiedot