Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
|
|
- Ville-Veikko Simo Seppälä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 2. Eukleideen algoritmi à 2.1 Suurimman yhteisen tekijän tehokas laskutapa Tässä luvussa tarkastelemme annettujen lukujen suurimman yhteisen tekijän etsimistä tehokkaalla tavalla. Erinomaisen käyttökelpoinen menetelmä on Eukleideen algoritmi, joka on ikivanha, mutta ei vähääkään vanhanaikainen laskutapa. Nykyisen tietotekniikan aikakautena sen merkitys sovelluksissa on vain entisestään kasvanut. Olkoot a ja b positiivisia kokonaislukuja ja a b. Kirjoitetaan luku a jakoalgoritmin mukaiseen muotoon a = qb+ r, 0 r < b, (ks. Lause 1.1). Jokainen lukujen a ja b yhteinen tekijä, sanokaamme t, on selvästi luvun b ja jakojäännöksen r = a - qb yhteinen tekijä ja myös päinvastoin. Todellakin, jos a = t a' ja b = t b', missä t, a', b' œ +, niin (2.1) r = a - qb = (t a') q (t b') = t (a' q b'), ts. t on luvun r tekijä ja oletuksen mukaan myös luvun b tekijä. Toisaalta, jos b = t b' ja r = t r', missä t, b', r' œ +, niin (2.2) a = q b + r = q (t b') + (t r') = t (q b' + r'), ts. t on luvun a tekijä ja oletuksen mukaan myös luvun b tekijä. Merkitään d = sytha, bl. Edellä nähdyn nojalla d b ja d r, joten d sythb, rl. Vastaavasti, kuten kohdassa (2.2) nähtiin, sythb, rl sytha, bl, joten d = sytha, bl = sythb, rl, kun a = qb+ r, 0 r < b. Jos r = 0 (ja siis a = qb), saadaan tulos sytha, bl = b. Olkoon r 0. Jatketaan nyt samalla tavalla lukujen b ja r kanssa. Niinpä kirjoitamme a = q 1 b + r 1, b = q 2 r 1 + r 2, missä 0 r 2 < r 1. Kuten edellä näimme sytha, bl = sythb, r 1 L = sythr 1, r 2 L. Jatketaan menettelyä kunnes toinen argumentti r n-1 on ensimmäisen argumentin r n-2 tekijä (näin käy lopulta, koska r 1 > r 2 > r 3 > > r n-2 > r n-1 > r n = 0). Luku r n-1 on täsmälleen etsitty lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä, ts. r n-1 = syt(a, b). Tämä algoritmi on nimeltään Eukleideen algoritmi (Euclid's Algorithm) ja se on erittäin nopea tapa laskea syt(a, b). Huomattavaa on, että sytha, bl löytyy ilman
2 Salakirjoitus 2 lukujen a ja b tekijöihinjakoa (jota suurten lukujen kyseessä ollen voi käytännössä olla mahdotonta löytää, vrt. RSA-haasteluvut käytä netissä hakusana: The RSA Challenge Numbers). Algoritmi 2.1 Yksinkertainen Eukleideen algoritmi syöte a, b positiivisia kokonaislukuja, a b while b > 0 do begin tulosta a aseta r = jakojäännös, kun a on jaettu luvulla b (siis r saadaan jakoyhtälöstä a = qb+ r, 0 r < b) aseta a = b aseta b = r end Käyttämällä Mathematica-funktioita While, Floor ja Print, yllä esitetty algoritmi voidaan ohjelmoida seuraavasti. Viimeinen nollasta eroava jakojäännös on sama kuin Algoritmin 2.1 lopussa tulostama luku a, joka puolestaan on syötteenä annettujen lukujen suurin yhteinen tekijä: a = 2345; b = 987; While@b 0, r = a Floor@a ê bd b; 8a, b< = 8b, r<; Print@8a, b<dd 8987, 371< 8371, 245< 8245, 126< 8126, 119< 8119, 7< 87, 0< Tämä algoritmi voitaisiin implementoida myös näin: Clear@fD; f@8a_, b_<d := 8b, r = a Floor@a ê bd b<; NestWhileList@f, 82345, 987<, Last@#D 0&D , 987<, 8987, 371<, 8371, 245<, 8245, 126<, 8126, 119<, 8119, 7<, 87, 0<<
3 Salakirjoitus 3 Tarkastellaan vielä kahta yksityiskohtaista esimerkkiä. Esimerkki 2.1 Laske lukujen 129 ja 15 suurin yhteinen tekijä. Ratkaisu. Käytetään jakoyhtälöä a = qb+ r, 0 r < b, toistuvasti. Lisäksi sytha, bl = sythb, rl = sythr, r'l =.... Siispä Eukleideen algoritmin toiminta näyttää seuraavalta: 129 = 8 * syt H129, 15L = syt H15, 9L 15 = 1 * syt H15, 9L = syt H9, 6L 9 = 1 * syt H9, 6L = syt H6, 3L 6 = 2 * syt H6, 3L = syt H3, 0L = 3 Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 3 = syt(129, 15). Esimerkki 2.2 Laske lukujen 2345 ja 123 suurin yhteinen tekijä. Ratkaisu. Tässä saadaan tulokseksi syt = 1. Tämä tulos löydetään Eukleideen algoritmilla seuraavasti: 2345 = 19 * = 15 * = 2 * = 1 * = 2 * Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 1 = syt(2345, 123). Harjoituksia 11 (a) Määritä d = syt(1233, 63). Välivaiheet tulee merkitä selkeästi näkyviin Tätä harjoitusta jatketaan vielä seuraavassa kohdassa 2.2 (esitä d muodossa d = s t 63, missä s, t œ ). 12 (a) Määritä syt(2333, 187). Tätä harjoitusta jatketaan vielä seuraavassa kohdassa 2.2 (esitä d muodossa d = s t 187, missä s, t œ ).
4 Salakirjoitus 4 à 2.2 Lineaarikombinaatio sytha, bl = ua+ vb Salakirjoituksissa lasketaan usein hyvin suurten lukujen, sanokaamme a, jakojäännöksillä - modulo jokin luku b. Tällaisten suurten lukujen a käänteisluvuilla (modulo b) on ensiarvoisen keskeinen merkitys, kuten tullaan näkemään. Lauseen 1.4 mukaan on olemassa kertoimet u ja v œ joiden avulla syt(a, b) voidaan esittää muodossa sytha, bl = ua+ vb. Siinä tapauksessa, että syt(a, b) = 1, kuten oli edellä Esimerkissä 2.2, tälle lineaarikombinaatiolle pätee u a + v b = 1. Tällöin saadaan u a = ( v) b + 1, ts. u a ª 1 (modulo b) ja siis u = a -1 (modulo b). Näin ollen lineaarikombinaatiota 1 = sytha, bl = ua+ vb voidaan suoraan käyttää hyväksi käänteisalkioiden a -1 (modulo b) laskemisessa. Edellä esiintynyt merkintä x ª y Hmod ml tarkoittaa, että m jakaa kokonaislukujen x ja y erotuksen x - y, ts. x - y = q m, eräälle q œ. Tällöin sanotaan, että x ja y ovat keskenään kongruentteja modulo m. Kongruensseja käsitellään laajemmin Kappaleessa 3. Kun Lauseen 1.4 mukaiset kertoimet u ja v halutaan löytää, ts. esittää syt(a, b) muodossa sytha, bl = ua+ vb, voidaan Algoritmia 2.1 muuntaa alla esitetyllä tavalla. Huomaa, että jättämällä pois symboleja u i ja v i sisältävät rivit, tämä (laajennettu) algoritmi palautuu yksinkertaiseen Eukleideen algoritmiin, jossa sytha, bl = sythr -1, r 0 L = sythr 0, r 1 L = sythr 1, r 2 L = = sythr n-1, r n L = sythr n-1,0l = r n-1. Algoritmin 2.2 oikeellisuuden todistus löytyy Liitteestä 1, jossa esitetään yksityiskohtaiseisesti tähän suoraviivaiseen tapaan johtavat tarkastelut. Liitteessä 1 nähdään lisäksi, että jakoalgoritmin tuottama jakojäännös r i voidaan esittää jokaisella askeleella muodossa u i a + v i b. Viimeisen jakojäännöksen r n ollessa nolla, on viimeinen nollasta eroava jakojäännös r n-1 juuri etsitty lineaarikombinaatio d = sytha, bl = r n-1 = ua+ vb. Algoritmi todistetaan matemaattisella induktiolla ja siitä esitetään käsinlaskuesimerkkejä. Edelleen lukija löytää Liitteestä 1 perustelut matriisien kertolaskun käytölle lineaarikombinaation laskemisessa. Lopuksi Liitteestä 1 löytyy kaikki välivaiheet esittävä Mathematica-ohjelma, jota Mathematica-ympäristön käyttäjät voivat kokeilla. Tuon ohjelman voi myös muuntaa johonkin toiseen ohjelmointiympäristöön. Algoritmi 2.2 Laajennettu Eukleideen algoritmi syöte a b > 0 alkuarvot r -1 = a; r 0 = b; u -1 = 1; u 0 = 0; v -1 = 0; v 0 = 1; n = 0; while r n > 0 do begin aseta n = n + 1; tulosta r n-2 = q n r n-1 + r n, r n-1 > r n 0; aseta u n = u n-2 - q n u n-1 ; aseta v n = v n-2 - q n v n-1 ; end aseta u = u n-1 ; v = v n-1 ; (2.2) sytha, bl = r n-1 = ua+ vb Todistus: Katso Liite 1 (Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa). Ñ
5 Salakirjoitus 5 Vaikka kannustammekin lukijaa perehtymään Liitteeseen 1, emme vaadi tällä salakirjoitusten peruskurssilla siinä esitettyjä perusteluja hallittavaksi loppukokeessa. Esitämme nyt kuitenkin yhden esimerkin tuossa liitteessä kirjoitetun laajennettueukleides-ohjelman toiminnasta (vrt. Esimerkki 2.1 yllä): laajennettueukleides@129, 15D Laajennettu Eukleideen algoritmi toimii seuraavasti: a = 129, b = 15 r -1 =129=q 1 *r 0 +r 1 =8*15+9; r 1 =9=u 1 a +v 1 b = H1L*129 + H-8L*15 r 0 =15=q 2 *r 1 +r 2 =1*9+6; r 2 =6=u 2 a +v 2 b = H-1L*129 + H9L*15 r 1 =9=q 3 *r 2 +r 3 =1*6+3; r 3 =3=u 3 a +v 3 b = H2L*129 + H-17L*15 r 2 =6=q 4 *r 3 +r 4 =2*3+0; r 4 =0=u 4 a +v 4 b = H-5L*129 + H43L*15 Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 3 = syth129, 15L. Lineaarikombinaatio: 3 = u a + v b = H2L*129 + H-17L*15. Lasketaan tämä lineaarikombinaatio nyt käsin toisella, aluksi ehkä helpommalla, tavalla. Ainakin tämä alhaalta ylöspäin etenevä laskutapa tulee hallita. Siis jompikumpi tapa kuuluu kurssin keskeisiin vaatimuksiin. Tavan - suoraviivainen ylhäältä alas (yllä), tai alhaalta ylös (alla) - voi valita itse sen mukaan kumpi tuntuu luontevalta. Esimerkki 2.3 Laske lukujen 129 ja 15 suurin yhteinen tekijä ja esitä se muodossa u*129 + v*15. Esimerkissä 2.1 laskimme jo, että viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 3 = syt(129, 15). Toistamme tässä vielä nämä laskut: Hrivi 1L 129 = 8 * Hrivi 2L 15 = 1 * Hrivi 3L 9 = 1 * Hrivi 4L 6 = 2 * Lähdemme nyt liikkeelle riviltä 3, jossa on viimeinen nollasta eroava jakojäännös (syt = 3). Saadaan: 3 = 9-1*6 (rivi 3) Nyt riviltä 2 saadaan ratkaistuksi edeltävä jakojäännös 6 = 15-1*9. Sijoittamalla tämä laskematon lauseke (15-1*9) luvun 6 paikalle yllä, saadaan: 3 = 9-1*6 (rivi 3)
6 Salakirjoitus 6 = 9-1*(15-1*9) (rivi 2) = -1*15 + 2*9 (sievennys) Riviltä 1 saadaan jakojäännös 9 = 129-8*15. Sijoittamalla lauseke (129-8*15) luvun 9 paikalle edellä saatuun viimeiseen muotoon, saadaan: 3 = 9-1*6 (rivi 3) = 9-1*(15-1*9) (rivi 2) = -1*15 + 2*9 (sievennys) = -1*15 + 2*(129-8*15) (rivi 1) = 2*129 + (-17)*15 (sievennys) Siis kysytty lineaarikombinaatio on 3 = syt(129, 15) = u a + v b = 2*129 + (-17)*15. Huomattakoon vielä, että yllä sievennys tarkoitti sitä, että kootaan yhteen (so. esitetään yhden kertoimen avulla) jatkossa ylemmiltä riveiltä löytyvät jakojäännökset (3, 6, 9) tai luvut b ja a (15, 129). Esitettyjä kertolaskuja ei tule laskea loppuun, koska silloin menetettäisiin lausekkeiden rakenne. Laskemisen kannalta näitä lukuja käsitellään siis symboleina tai merkkijonoina. Samaa ajattelutapaa kannattaa käytää myös, jos kirjoittaa tämän algoritmin ohjelman muotoon symbolisen laskennan ohjelmointiympäristössä. Esimerkki 2.4 Laske lukujen 2345 ja 123 suurin yhteinen tekijä ja esitä se muodossa u* v*123. Esimerkissä 2.2 laskimme jo, että viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 1 = syt(2345, 123). Toistamme vielä nämä laskut: Hrivi 1L 2345 = 19 * Hrivi 2L 123 = 15 * Hrivi 3L 8 = 2 * Hrivi 4L 3 = 1 * Hrivi 5L 2 = 2 * Laskemme nyt kysytyn lineaarikombinaation seuraavasti: 1 = 3-1*2 (rivi 4) = 3-1*(8-2*3) (rivi 3) = -1*8 + 3*3 (sievennys) = -1*8 + 3*(123-15*8) (rivi 2) = 3*123-46*8 (sievennys) = 3*123-46*( *123) (rivi 1) = -46* (3 + (-46)(-19))*123 (sievennys) = -46* *123 (sievennys) Siis kysytty lineaarikombinaatio on 1 = syt(2345, 123) = u a + v b = (-46)* *123. Mathematicassa tämä laajennettu Eukleideen algoritmi on standardi funktio ExtendedGCD. Lukujen suuruusjärjestyksestä käyttäjän ei tarvitse huolehtia:
7 Salakirjoitus 7 a = 963; b = 4320; ExtendedGCD@a, bd 89, 8 157, 35<< Todellakin 9 = syt(963, 4320) = 157* *4320. Harjoituksia 11 Määritä syt(1233, 63) ja esitä se muodossa s t 63, missä s, t œ. Välivaiheet tulee merkitä selkeästi näkyviin 12 Määritä syt(2333, 187) ja esitä se muodossa s t 187, missä s, t œ. 12' Lisäharjoitus. Valitse itse luvut a ja b. Laske valitsemillasi luvuilla d = syt(a, b) ja esitä d muodossa d = s a + t b, missä s, t œ. à 2.3 Eukleideen algoritmin kompleksisuus Päätämme tämän kappaleen Eukleideen algoritmin kompleksisuuden tarkasteluun. Olkoon a > b 1. Verrataan algoritmin toiminnan nopeutta luvun b arvoon. Algoritmin toiminta on hitaimmillaan silloin, kun jakojäännös r k pienenee kussakin askeleessa r k-2 = q k r k-1 + r k mahdollisimman vähän. Tällaiseen tilanteeseen joudutaan, jos r k-2 = r k-1 + r k aina kun 2 k n - 1, ts. jos jokaisella askeleella (ensimmäistä askelta a = q 1 b + r 1 lukuunottamatta) osamäärä q k saa arvon 1 edellyttäen, että se on ylipäätään mahdollista. Tällöin on myös voimassa r n-2 = 2 r n-1, kun r n = 0. Toisin sanoen, sellainen luvun a pienin arvo (a > b 1), jolle sytha, bl:n laskeminen vie n - 2 askelta (so. riviä) saadaan, kun a = F n ja b = F n-1, missä jono HF i L i 0 on kuuluisa Fibonacci-lukujono, joka määritellään asettamalla F 0 = 0, F 1 = 1 ja F i+2 = F i+1 + F i aina kun i 0. Jonon alku on siis: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,.... Alla Mathematican toiminta kohdistuu toistuvasti listoihin, jotka koostuvat kahdesta peräkkäisestä Fibonacci-luvusta (tässä käytetään Nest-funktiota). Näin saadaan menetelmä Fibonacci-lukujen laskemiseksi. Tässä esimerkissä lasketaan F 99 ja F 100, jotka ovat jo hyvin suuria lukuja: f@8u_, v_<d := 8v, u + v< n = 99; Nest@f, 80, 1<, nd , < Voidaan käyttää myös Mathematican sisäänrakennettua funktiota: Fibonacci. Fibonacci@100D Tarkastellaan vielä yllä esitettyä analyysiä kirjoittamalla Mathematicalla funktio sytiteroinnit. Siinä käytetään jakojäännöksen laskemiseen valmista funktiota Mod:
8 Salakirjoitus 8 sytiteroinnit@n_integer? Positive, m_integer? PositiveD := Module@ 8a = n, b = m, r, t = 0<, While@ b > 0, r = Mod@a, bd; 8a, b, t< = 8b, r, t + 1<D; td n = 100; sytiteroinnit@fibonacci@nd, Fibonacci@n 1DD 98 Siis tosiaankin sytha, bl:n laskeminen vie tapauksessa n = 100 juuri nuo aiemmin mainitut n - 2 askelta, kun a = F n ja b = F n-1. Kokeillaan vielä tapausta n = 10. Tässäkin tapauksessa Eukleideen algoritmin toiminta päättyy 8 askeleessa, ts. tarvitaan 8 riviä. Tässä Fibonacci-luvut ovat seuraavat: 8Fibonacci@10D, Fibonacci@9D< 855, 34< Eukleideen algoritmi päättyy rivillä numero 8: Hrivi 1L 55 = 1 * Hrivi 2L 34 = 1 * Hrivi 3L 21 = 1 * Hrivi 4L 13 = 1 * Hrivi 5L 8 = 1 * Hrivi 6L 5 = 1 * Hrivi 7L 3 = 1 * Hrivi 8L 2 = 2 * Asettamalla F n = cf n Fibonacci-lukujen määrittelyrelaatiossa F i+2 = F i+1 + F i, saadaaan f 2 = f + 1, jonka nollakohdat ovat: 1 è!!! 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. Esitämme ilman todistusta seuraavan ylärajan Eukleideen algoritmin kompleksisuudelle. 2 Se voidaan todistaa induktiolla luvun a suhteen (erottelemalla tapaukset b ÅÅÅÅÅ a ÅÅÅÅÅ < b < a). f ja a f Lause 2.3 Eukleideen algoritmin kompleksisuus Olkoot a ja b positiivisia kokonaislukuja, a > b 1 ja olkoon f = 1 + è!!! 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. Tällöin 2 Eukleideen algoritmin tarvitsema iteraatioiden lukumäärä syt(a, b):n laskemiseksi on korkeintaan 1 + log f b. Testataan tätä vielä yhdellä suhteellisen suurella luvun b arvolla:
9 Salakirjoitus 9 a = Fibonacci@1000D; b = Fibonacci@999D; sytiteroinnit@a, bd Ceiling@Log@H1 + Sqrt@5DL ê 2,bDD Ja vielä yhdellä suhteellisen pienellä luvun b arvolla: a = Fibonacci@1000D; b = 100; sytiteroinnit@a, bd Ceiling@Log@H1 + Sqrt@5DL ê 2,bDD 3 10 Käytännössä Eukleideen algoritmi toimii usein paljon nopeammin, kuin mitä Lauseen 2.3 yläraja antaisi aiheen odottaa. Kaikki etätehtävät kappaleeseen 2 2. Eukleideen algoritmi Suurimman yhteisen tekijän tehokas laskutapa ja lineaarikombinaatio sytha, bl = ua+ vb 11 Määritä syt(1233, 63) ja esitä se muodossa s t 63, missä s, t œ. Välivaiheet tulee merkitä selkeästi näkyviin 12 Määritä syt(2333, 187) ja esitä se muodossa s t 187, missä s, t œ. 12' Lisäharjoitus. Valitse itse luvut a ja b. Laske valitsemillasi luvuilla d = syt(a, b) ja esitä d muodossa d = s a + t b, missä s, t œ.
2. Eukleideen algoritmi
2. Eukleideen algoritmi 2.1 Suurimman yhteisen tekijän tehokas laskutapa Tässä luvussa tarkastellaan annettujen lukujen suurimman yhteisen tekijän etsimistä tehokkaalla tavalla. Erinomaisen käyttökelpoinen
LisätiedotSalausmenetelmät / Osa I Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät / Osa I Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus
LisätiedotLiite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa
Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus - käsinlaskuesimerkkejä - kaikki välivaiheet esittävä
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 4. Eulerin a Fermat'n lauseet à 4.1 Alkuluokka a Eulerin -funktio Yleensä olemme kiinnostuneita vain niistä äännösluokista
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Jaollisuus à. Tekijöihin jako Kerrataan aluksi muutamia merkintöjä: on luonnollisten lukujen joukko, on kokonaislukujen
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Lisätiedot2 j =
1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
LisätiedotJäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan
Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,
Lisätiedot4. Eulerin ja Fermat'n lauseet
4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4.1 Alkuluokka ja Eulerin φ-funktio Yleensä olemme kiinnostuneita vain niistä jäännösluokista modulo m, joiden alkiot ovat suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa. Näiden
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
Lisätiedot(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)
1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)
LisätiedotLineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
LisätiedotR 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,
2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotA = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
LisätiedotRekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä
Rekursiolause Laskennan teorian opintopiiri Sebastian Björkqvist 23. helmikuuta 2014 Tiivistelmä Työssä käydään läpi itsereplikoituvien ohjelmien toimintaa sekä esitetään ja todistetaan rekursiolause,
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
Lisätiedotf(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))
Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
LisätiedotShorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
LisätiedotKohdissa 2 ja 3 jos lukujen valintaan on useita vaihtoehtoja, valitaan sellaiset luvut, jotka ovat mahdollisimman lähellä listan alkua.
A Lista Aikaraja: 1 s Uolevi sai käsiinsä listan kokonaislukuja. Hän päätti laskea listan luvuista yhden luvun käyttäen seuraavaa algoritmia: 1. Jos listalla on vain yksi luku, pysäytä algoritmi. 2. Jos
LisätiedotKaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine
Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotTodistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.
18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotValitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.
MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Lisätiedot(p j b (i, j) + p i b (j, i)) (p j b (i, j) + p i (1 b (i, j)) p i. tähän. Palaamme sanakirjaongelmaan vielä tasoitetun analyysin yhteydessä.
Loppu seuraa suoralla laskulla: n n Tave TR = p j (1 + b (i, j)) j=1 = 1 + 1 i
LisätiedotHarjoitus 1 -- Ratkaisut
Kun teet harjoitustyöselostuksia Mathematicalla, voit luoda selkkariin otsikon (ja mahdollisia alaotsikoita...) määräämällä soluille erilaisia tyylejä. Uuden solun tyyli määrätään painamalla ALT ja jokin
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
LisätiedotLukuteorian kurssi lukioon
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Sini Siira Lukuteorian kurssi lukioon Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SIIRA, SINI: Lukuteorian
LisätiedotNimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla
6. Digitaalinen allekirjoitus Digitaalinen allekirjoitus palvelee samaa tarkoitusta kuin perinteinen käsin kirjotettu allekirjoitus, t.s. Liisa allekirjoittaessaan Pentille lähettämän viestin, hän antaa
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotRSA-salakirjoitus. Simo K. Kivelä, Apufunktioita
Simo K. Kivelä, 25.1.2005 RSA-salakirjoitus Ron Rivest, Adi Shamir ja Leonard Adleman esittivät vuonna 1978 salakirjoitusmenettelyn, jossa tietylle henkilölle osoitetut viestit voidaan salakirjoittaa hänen
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotLukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot
Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
Lisätiedot815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset
815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 6 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotAlgebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen
Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman
LisätiedotKompleksilukujen kunnan konstruointi
ckunta.nb Kompleksilukujen kunnan konstruointi Seuraava esitys osoittaa, miten kompleksilukujoukko voidaan määritellä tunnetuista reaalisista käsitteistä lähtien. Määrittelyjen jälkeen on helppoa osoittaa
LisätiedotLUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN
LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen
LisätiedotLuku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko
Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 28.1.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 28.1.2009 1 / 28 Esimerkki: murtoluvun sieventäminen Kirjoitetaan ohjelma, joka sieventää käyttäjän antaman murtoluvun.
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotAlgoritmit 1. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 1 Demot 1 31.1.-1.2.2018 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka tutkii onko kokonaisluku tasan jaollinen jollain toisella kokonaisluvulla siten, että ei käytetä lainkaan jakolaskuja Jaettava
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotAVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta
AVL-puut eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta pohjana jo esitetyt binäärihakupuiden operaatiot tasapainotus vie pahimmillaan lisäajan lisäys- ja
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot4.3. Matemaattinen induktio
4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta
LisätiedotTämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
Lisätiedot