Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Transkriptio

1 MAA11 Koe Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi jonkinlainen selitys vastauspaperille, pelkkä kyllä/ei vastaus ei riitä! b) Onko lause ( A B) ( A ( C B)) tautologia? 3. Opettaja tarjoaa lukiolaisille karkkia, jäätelöä ja limpparia. Onko mahdollista toteuttaa jokainen näistä kolmen oppilaan toiveesta? Paavo toivoo: En halua, että Elina saa jäätelöä, enkä halua, että Markus saa limpparia! Elina toivoo: En halua, että Markus saa limpparia ja jos minä saan jäätelöä, niin sitten Paavo ei saa saada karkkia. Markus toivoo: En halua, että Elina saa jäätelöä ja haluan, että Paavo saa karkkia. 4. a) Määritä lukujen ja suurin yhteinen tekijä ja pienin yhteinen jaettava alkulukuhajotelman avulla. b) Osoita, että parittoman kokonaisluvun neliö on aina pariton. 5. a) Määritä lukujen 341 ja 666 suurin yhteinen tekijä Eukliden algoritmin avulla. b) Määritä kaikki positiiviset kolminumeroiset kokonaisluvut, jotka ovat jaollisia sekä luvulla 7 että a) Määritä yhtälön 11x + 73y = 5 ratkaisu. b) Todista, että jos n on kokonaisluku, niin luku n 3 n on jaollinen luvulla Osoita, että jokaisella kokonaisluvulla n luku n ( n ) on jaollinen luvulla Olkoon n sellainen positiivinen kokonaisluku, että n+1 on kokonaisluvun neliö. Osoita, että n+1 on kahden peräkkäisen kokonaisluvun neliöiden summa.

2 MAA11 Koe RATKAISUT: (mod17) 38 4(mod17) (mod17) (mod17) ( (mod17) 9 4 ) 5 1 4(mod17) (mod17) ( 1) (mod17) 9 1 4(mod17) 13(mod17) 1 4(mod17) 43 9(mod17) 4 4(mod17) 4 5 (mod17) ( ) 1 Jakojäännös on siis 13! 4(mod17) (mod17) ( 1) (mod17) 9 1 4(mod17) 13(mod17) 1 4(mod17). a) Täytyy tutkia, onko 101 jaollinen alkuluvuilla, jotka ovat pienempiä kuin Tätä pienempiä alkulukuja ovat:,3,5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, ei ole jaollinen millään noista, joten se on alkuluku. b) ( A B) ( A ( C B)) A B C A A B C B A ( C B) ( A B) ( A ( C B))

3 MAA11 Koe Lause on aina tosi kaikilla A, B ja C:n totuusarvoilla, joten se on tautologia! 3. Lauseet voi formalisoida seuraavasti: A= Elina saa jäätelöä B=Markus saa limpparia C=Paavo saa karkkia Toiveet voi formalisoida: Paavo:D= A B, Elina: E= B (A C) ja Markus F= A C. Kaikki kolme toivetta pitää olla voimassa yhtä aikaa, eli siis: D E F D E F A B C A B B (A C) A C D E F

4 MAA11 Koe D E F on tosia ainoastaan, jos A ja B epätosia ja C tosi, eli siis Rehtori toteuttaa oppilaiden toiveet jos hän ei anna Elinalle jäätelöä, Markukselle ei limpparia, ja antaa Paavolle karkkia. 4. a) Ratkaisu: Jaetaan luvut ensin alkulukutekijöihin syt(78078,374374) pyj (78078,374374) b) Ratkaisu: Olkoon pariton kokonaisluku muotoa k + 1, missä k on kokonaisluku. Nyt. Koska (k k) on parillinen, niin (k k) 1on (k 1) 4k 4k 1 (k k) 1 pariton. Siis parittoman kokonaisluvun neliö on aina pariton. 5. a) 341 = 4 x = 1 x = 6 x = x = 14 x = 3 x 1 => SYT(341, 666) = 1 b) Ratkaisu: Jos luku on jaollinen sekä luvulla 7 että luvulla 11, niin se on jaollinen luvulla 77 (koska 7 ja 11 ovat alkulukuja). Haetaan väliltä kaikki luvulla 77 jaolliset luvut.

5 MAA11 Koe , , , , , , Vastaus: Luvut ovat 154, 31, 308, 385, 46, 539, 616, 693, 770, 847 ja a) Ratkaisu: Tehdään Eukleideen algoritmi syt( 11,73) =1 Ja sitten takaperin: (34 6 5) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( 3) Nyt ( 3) ( 3) ( 115) x=75 ja y= -115

6 MAA11 Koe b) n 3 n n( n 1) n( n 1)( n 1) ( n 1) n( n 1) ovat kolme peräkkäistä kokonaislukua. Jonkin kolmesta peräkkäisestä kokonaisluvusta on oltava parillinen, siis jaollinen luvulla. Jonkin kolmesta peräkkäisestä kokonaisluvusta on oltava jaollinen luvulla 3. siis jaollinen luvuilla ja 3. Se on siis jaollinen luvulla 6 = x 3. n n 3 on 7. Oletus: n on kokonaisluku Väite: n( n ) on jaollinen luvulla 3. Todistus: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodoilla 3q, 3q+1 tai 3q+ missä q on jokin kokonaisluku. Nyt: Eli oli n minkä muotoinen kokonaisluku hyvänsä, n ( n ) on aina jaollinen luvulla Oletuksen nojalla n 1 p, missä p on kokonaisluku. Koska n+1 on pariton, on p pariton, joten p on muotoa q+1 pariton luku, missä q on kokonaisluku.

7 MAA11 Koe Siis n 1 (q 1) n 1 4q 4q 1 1 n 4q 4 q : n q q Ja tästä taas seuraa se, että n:stä seuraava luku n+1 on muotoa: n q q 1 1 n q q q 1 1 n 1 q ( q 1) eli n on kahden peräkkäisen kokonaisluvun q ja q+1 neliöiden summa!