Magneettikentät ja niiden määrittäminen
|
|
- Amanda Kokkonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Magneettikentät ja niiden määrittäminen SSÄLTÖ: Magneettinen voima Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Tasavirrat Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Magneettinen momentti iot-savartin laki Ampèren laki Vektoripotentiaali Menetelmän valinta Magneettinen voima Magnetismi-ilmiö on monelle mysteeri. Siksi sen avulla voidaan helposti huijata ihmisiä ja myydä kaikenmaailman polttoaineen säästäjiä autoihin. Edelleen on kuitenkin kysymys Coulombin voimasta eli sähköisesti varautuneiden hiukkasten välisestä voimasta. Sen verran magnetismi-ilmiössä on outoa, että se voidaan johtaa suhteellisuusteorian avulla Coulombin voimasta. (Voitaisiin tietysti ajatella niinkin, että magneettinen voima on perusvoima ja Coulombin voima suhteellisuusteorian mukainen seuraus siitä.) Suppean suhteellisuusteorian ensimmäinen aksiooma sanoo, että fysiikan laeilla täytyy olla sama muoto kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa eli tasaisella nopeudella toistensa suhteen liikkuvissa koordinaatistoissa. Magneettikenttää tarvitaan, jotta tämä aksiooma toteutuisi sähkömagnetismissa. (Tästä on puhuttu enemmän kirjassa Grant & Phillips: Electromagnetism, kappaleessa 13.) Liikkuva varattu partikkeli aiheuttaa lähistöönsä magneettikentän. Vastaavasti magneettikentän voimavaikutus kohdistuu liikkuvaan varattuun partikkeliin, ei paikallaan pysyvään varaukseen. Arkielämästä tuttu kestomagneetin voimavaikutus perustuu myös varattujen partikkelien liikkeeseen, joka on materiaalin sisältämien atomien elektronien liikettä. Peruskurssin kirjassa on liikkuvan varatun (pistemäisen) partikkelin aiheuttama magneettikenttä esitetty yhtälöllä qv rˆ 4 r missä q on partikkelin varaus, v partikkelin nopeus, r partikkelin etäisyys siitä pisteestä, jossa magneettikenttä lasketaan ja rˆ yksikkövektori, joka ilmaisee suunnan varatusta partikkelista siihen pisteeseen, jossa magneettikenttä lasketaan. -kirjaimella merkityn suureen täsmällinen nimi on magneettivuon tiheys. Jos käytämme samaa merkitsemistapaa kuin luentomonisteessa on käytetty, yhtälö tulee muotoon ( r) 4 qv ( r r') r r' 3
2 Tässä yhtälössä vektori r ilmaisee sen pisteen, missä magneettikenttä lasketaan ja vektori r ' ilmaisee varauksen paikan. v on partikkelin nopeus. Tämä yhtälö antaa sekä magneettikentän suunnan että suuruuden. Jos yhtälöä osaa lukea oikein, huomaa, että magneettikentän voimaviivat kulkevat oheisen kuvan mukaisesti. Kuvasta ei näe magneettikentän voimakkuutta eri kohdissa, ainoastaan suunnan. Näitä asioita käsitellään myöhemmin tarkemmin. + v Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Edellä kerrottiin, että magneettikenttä vaikuttaa liikkuvaan varaukseen, ei paikallaan pysyvään varaukseen. Voiman suunta ei ole magneettikentän suuntainen vaan kohtisuoraan kenttäviivoja vastaan. Yhtälönä tämä magneettikentän aiheuttama voima, niin kutsuttu Lorentz-voima, on F qv Voiman suunnan saa (oikean käden) kolmisormisäännöstä. Positiiviselle varaukselle voiman suunta on oheisen kuvan mukainen, negatiiviselle vastakkaissuuntainen. v F Jos varattu partikkeli joutuu sähkö- ja magneettikenttään, siihen vaikuttaa näiden miolempien kenttien aiheuttama summavoima: F qe qv
3 Tasavirrat Tehdään tässä välissä pieni hyppäys tasavirtoihin. Sähkövirta on varausten liikettä. Virtatiheys määritellään yhtälöllä j Nev missä N on johde-elektronien tiheys (elektroneja tilavuusyksikössä), e alkeisvaraus ja v elektronikaasun nopeus. Miinusmerkki tulee tietysti siitä, että virran suunta on vastakkainen elektronien liikesuunnalle. Virtatiheys voidaan laskea myös käyttäen sähkökenttää ja johtavuutta σ, joka on kullekin aineelle ominainen suure: j E. Tätä kutsutaan Ohmin laiksi. Peruskurssista tutumpi Ohmin lain esitysmuoto on V = R. Kyse on samasta asiasta, sillä virta voidaa laskea yhtälöllä A j ds A E ds Jännitteen ja virran suhde on resistanssi R V l A, missä l on johtimen pituus ja A dq johtimen poikkipinta-ala. Edelleen pätee myös peruskurssista tuttu yhtälö dt kertoo, että virta on johtimen poikkipinta-alan läpi kulkenut varaus aikayksikössä., joka Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Koska magneettikenttä vaikuttaa liikkuvaan varaukseen, aiheuttaa se voiman myös virtajohtimeen. Virtahan on varausten liikettä. d l :n suuruiseen virtajohdinalkioon, jonka pituus on dl ja suunta virran suunta, aiheuttaa magneettikenttä voiman d F dl ja koko johtimeen voiman F dl. Suoraan virtajohtimeen magneettikenttä aiheuttaa voiman F l Vektori l on johdinvektori, jonka suunta on virran suunta ja pituus johtimen pituus.
4 Magneettimomentti Sähköstatiikassa esiteltiin sähköinen dipoli, jolla on suuri merkitys esimerkiksi eristeiden ymmärtämisessä. Vastaava ilmiö magnetismin puolella on virtasilmukka. Magneettiset materiaalit sisältävät pieniä virtasilmukoita samalla tavalla kuin eristeessä on pieniä dipoleja. Dipolimomenttia vastaa virtasilmukalla magneettimomentti. Se määritellää yhtälöllä m S missä on silmukassa kulkeva virta ja S pinta-alavektori, jonka suuruus on silmukan pintaala ja suunta riippuu virran suunnasta oheisen kuvan mukaisesti: S m Virtasilmukkaan vaikuttaa magneettikentässä voiman momentti (vääntömomentti) T m mistä aiheutuu potentiaalienergia U m iot-savartin laki Edellä esiteltiin liikkuvan varauksen aiheuttama magneettikenttä (tarkemmin sanottuna magneettivuon tiheys) yhtälöllä ( r) 4 qv ( r r') r r' 3 missä vektori r ilmaisee sen pisteen, jossa magneettikenttä lasketaan ja vektori r ' ilmaisee varauksen paikan. v on partikkelin nopeus. Kuten on ollut jo puhetta, tämä yhtälö antaa sekä magneettikentän suunnan että suuruuden. Aikaisemmin esitettiin kuva magneettikentän voimaviivoista liikkuvan varauksen lähellä.
5 Jos johtimessa kulkee virta, voimme ajatella, että pieni johtimenpätkä dl sisältää liikkuvan pistevarauksen. Virta voidaan määritellä yhtälöllä dq dt Täten saamme q v dtv dx dt dt x dx Täällä on pituusalkiovektoria d tapana merkitä vektorilla d l. Nyt saamme edellä olevan yhtälön muotoon ( r) 4 dl r ( r r') r' 3 Kun integroimme yli koko johtimen, saamme kaikkien johdinalkioiden dl aiheuttaman summamagneettikentän: ( r) 4 dl' ( r r') r r' 3 Tämä on iot-savartin laki, jota käytetään virtajohtimen aiheuttaman magneettikentän laskemisessa. Ampèren laki Ampèren lain avulla voidaan laskea maneettikenttiä tietyissä symmetrisissä tapauksissa, kuten Gaussin lailla laskettiin sähkökenttiä. Ampèren lain integraalimuoto on kaavana: C dl SS Vasemmalla puolella integroidaan magneettivuon tiheyden ja pituusalkiovektorin pistetuloa pitkin suljettua käyrää, niin kutsuttua Ampèren silmukkaa. Oikealla puolella on Ampèren silmukan läpi kulkevat virrat kerrottuna tyhjiön permeabiliteetilla. Differentiaalimuoto Ampèren laista on Ampèren lain integraalimuodon oikea puoli kirjoitetaan usein j j ds eli Ampèren silmukan sisään jäävä virta lasketaan virtatiheysvektorin j ja johtimen poikkipinta-alan S avulla. Jos virtatiheys on vakio, kyseinen integraali tulee muotoon js. S
6 Vinkkejä Ampèren lain käyttöön laskettaessa magneettikenttiä: Varmista ensin, että voit käyttää kyseisessä tapauksessa Ampèren lain integraalimuotoa. Katso tämän kappaleen viimeistä kohtaa Menetelmän valinta. Valitse ensin Ampèren suljettu käyrä. Se on yleensä näissä laskuissa joko ympyrä tai suorakaide. (Katso kohtaa Menetelmän valinta.) Pitkille, suorille johtimille ja sylinterinmuotoisille johtimille valitaan ympyrä. Laajoille johtaville tasoille ja solenoideille valitaan suorakaide. Piirrä seuraavaksi virtojen aiheuttamat (magneetti)kenttäviivat ja Ampèren silmukka samaan kuvaan. Etsi ne kohdat, missä Ampèren silmukka ja kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset. Siellä tulo dl voidaan kirjoittaa muotoon dl. Etsi seuraavaksi ne kohdat, joissa Ampèren silmukka ja kenttäviivat ovat kotisuorassa toisiaan vastaan (tai kenttäviivat ovat hyvin harvassa kuten solenoidin ulkopuolella). Siellä dl on nolla. Yleensä niissä silmukan kohdissa, joissa dl voitiin kirjoittaa muotoon dl, on -kenttä vakio, jolloin voidaan ottaa integraalimerkin eteen. Nyt C dl on pelkkä käyrän pituus Ampèren silmukan niistä kohdista, joissa silmukka ja kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset. Huomaa, että nyt ei enää ole välttämättä kyseessä suljettu käyrä, jolle merkittäisiin dl. C Laske seuraavaksi Ampèren lain oikea puoli eli määritä suljetun käyrän sisään jäävät virrat SS. Joudut ehkä laskemaan virrat käyttäen virtatiheyttä j. Jos virtatiheys on vakio, virta on js eli virtatiheys kertaa johtimen poikkipinta-ala. Jos virtatiheys ei ole vakio johtimen poikkipinnalla, silloin integroit kylmän rauhallisesti käyttäen kaavaa j ds S Merkitse yhtä suuriksi se, minkä sait Ampèren lain vasemmalta puolelta ja se, minkä sait Ampèren lain oikealta puolelta. Ratkaise yhtälöstä magneettikenttä. Vektoripotentiaali Magneettikenttä voidaan lausua niin kutsutun vektoripotentiaalin A roottorina: A Katso Nygrénin monisteesta, mitä siellä kerrotaan vektoripotentiaalin yksikäsitteisyydestä. Opettele, mitä Coulombin mitta tarkoittaa. (Coulombin mittaa kysytään usein tentissä.)
7 Menetelmän valinta On tärkeää oppia valitsemaan oikea menetelmä magneettikentän määrittämiseen. Tässä materiaalissa on esitelty iot-savartin laki ja Ampèren lain integraali- ja differentiaalimuoto. On tapauksia, joissa Ampèren laki ei käy. Tästä on tietoa alla olevassa taulukossa. YHTEENVETO TOMVSTA AMPÈREN SLMUKOSTA Johtimen muoto Ampèren silmukka Pitkä suora johdin Ympyrä Koaksiaalikaapeli Ympyrä Sylinterin muotoinen johdin Ympyrä Toroidi Ympyrä Solenoidi Suorakulmio Laaja johtava taso Suorakulmio Ympyrä Ei voi käyttää Ampèren lakia Neliö Ei voi käyttää Ampèren lakia Kolmio Ei voi käyttää Ampèren lakia Mikä tahansa silmukka Ei voi käyttää Ampèren lakia Lyhyt suora johdin Ei voi käyttää Ampèren lakia Epämääräisen muotoinen johdin Ei voi käyttää Ampèren lakia Esimerkki 1: Suorassa johtimessa, jonka pituus on 5 cm ja joka on x-akselin suuntainen, kulkee.5 A:n sähkövirta positiivisen x-akselin suuntaan. Johdin on magneettikentässä (.3T )ˆj (.1T ) kˆ Mikä on johtimeen vaikuttava voima? Ratkaisu: Virtajohtimeen vaikuttava voima on: F dl Nyt tässä suorassa johtimessa kaikkien johdinalkioiden d l suunta on sama positiivisen x- akselin suunta eli virran suunta. ntegraalista tulee silloin: F l
8 Lasketaan ristitulo: l liˆ ˆ j kˆ y z F iˆ l ˆj y kˆ z [ˆ( i ) ˆ( j l z ) kˆ( l y )] l iˆ z l kˆ y F (.5A.5m.3T )ˆj (.5A.5m.1T ) kˆ (7.5ˆ i 5ˆ) j 1 4 N Yksikkötarkastelua: Vs VAsm T AmT m m Muista: VAs = J!!! J m N Esimerkki : Neliön muotoisessa johdinsilmukassa (sivun pituus a) kulkee virta. Silmukka aseteaan magneettikenttään kuvan mukaisesti siten, että magneettikentän ja silmukan tason normaalin väliin jää kulma α. a) Mikä on virtasilmukan magneettimomentti? b) Mikä voiman momentti kohdistuu virtasilmukkaan? c) Mikä on virtasilmukan potentiaalienergia magneettikentässä? α Silmukka sivusta katsottuna Ratkaisu: a) Magneettimomentti on m S Snˆ Vektori nˆ tarkoittaa pinta-alkiovektorin suuntaista eli pinnan normaalin suuntaista yksikkövektoria.
9 Nyt m S a nˆ koska pinta-ala S on neliön muotoiselle silmukalle a. b) Voiman momentti on vektorimuodossa: T S Sn ˆ a nˆ Skalaarimuodossa voiman momentiksi tulee: T a ˆ n sin a sin c) Potentiaalienergia voidaan laskea kahdella tavalla. Joko yhtälöllä U P S Snˆ S nˆ cos a cos tai yhtälöllä U P m a ˆ n a nˆ cos a cos Esimerkki 3: Oheisessa kuvassa esitettyyn suorakaiteen muotoiseen alueeseen tulee positiivisesti varattu hiukkanen +q P jonka varaus on q, massa m ja nopeus v. Alueeessa on paperin tason suuntainen homogeeninen sähkö- d kenttä E, jonka suunta näkyy kuvassa. a) Minkä E suuruinen ja suuntainen homogeeninen magneetti- S kenttä tarvitaan alueeseen, jotta varaus osuisi pisteeseen P. b) Sähkökenttä E kytketään pois. Minkä suuruinen ja suuntainen magneettikenttä tarvitaan alueeseen, jotta varaus osuisi pisteeseen S.
10 Ratkaisu: Sähkö- ja magneettikentässä varaukseen q vaikuttaa Lorentz-voima: F qe qv a) Varaukseen vaikuttavan magneettikentän aiheuttaman voiman ja sähkökentän aiheuttaman voiman täytyy kumota toisensa, sillä varauksen rata on suora: q E qv Sähkökentän voima osoittaa alaspäin. Silloin magneettikentän voiman täytyy osoittaa ylöspäin. Käytetään kolmisormisääntöä magneettikentän suunnan määrittämiseksi: v F Kuvan mukaan magneettikentän täytyy olla suoraan paperin tasosta sisäänpäin, jotta sen aiheuttama voima olisi ylöspäin, kun positiivisesti varattu kappale liikkuu vasemmalta oikealle. Koska nyt nopeus ja magneettikenttä ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan: v v Nyt saadaan magneettikentän suuruus. q E qv qe qv E v Magneettikentän suunta on siis kohtisuorassa paperin tasoa vastaan ja sisäänpäin. b) Sähkökenttää ei nyt ole. Varaus pitäisi saada kääntymään alaspäin. Kolmisormisäännön mukaan se vaatii magneettikentän, jonka suunta on suoraan paperin tasosta ulospäin. Varaus alkaa kulkea ympyrärataa pitkin. Radan säteen r pitäisi olla sopivan suuruinen, jotta varaus osuisi pisteeseen S eli r = d. Ympyräradalla keskeisvoimana toimii magneettikentän aiheuttama voima. Voimme laskea skalaareilla ja otamme huomioon, että nopeus ja magneettikenttä ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jolloin magneettikentän aiheuttama voima on F = qv: Keskeisvoima = Lorentz-voima mv mv mv qv r qr qd Suunta määritettiin edellä
11 Esimerkki 4: Pitkässä suorassa virtajohtimessa kulkee virta. Laske magneettikenttä etäisyydellä a virtajohtimesta. dl' ( r r') Ratkaisu: iot-savartin laki: ( r) 3 4 r r' Jos sitä pistettä, jossa magneettikenttä lasketaan, merkitään P:llä, vektori r kuvaa P:n paikkaa ja vektori r ' kuvaa johdinalkion dl' paikkaa. Yleensä P sijoitetaan origoon, jolloin r =. l a α P Merkitään, että r = jolloin saadaan: ( r) 4 dl' ( r r') r r' 3 4 dl' ( r') r' 3 4 dl' ( r') r' 3 4 r' dl' r' 3 Tehdään tällä kertaa niin, että päätellään magneettikentän suunta ja sen jälkeen lasketaan skalaareilla. Tämä tapa ei ole kuitenkaan suositeltava. Jäljempänä on esimerkki siitä, miten pituutta l käytetään muuttujana. Kolmisormisäännön avulla saadaan, että vektorin r ' dl' suunta on paperin tasosta sisäänpäin: P
12 Siirrytään nyt skalaareihin: r ' r ' dl' a cos r' dl 'sin r'sin dl' r'(cos ) dl' 1 l' atan dl' a cos d iot-savartin laista saamme nyt: 1 (cos ) a r'cos dl' cos dl' cos ( r) 3 4 ( r') 4 ( r') 4 a cos d 4 cos a d Kun on kyseessä äärettömän pitkä johdin, kulma α vaihtelee välillä π/ π/. Tästä saamme integroimisrajat: cos ( r) d / sin [1 ( 1)] 4 a 4 a 4 a a Tämä on pitkän suoran virtajohtimen aiheuttama magneettikenttä etäisyydellä a johtimesta. Magneettikentän suunta on kohtisuoraan johdinta vastaan ja pisteessä P (katso kuva!) paperin tasosta sisäänpäin.
13 Esimerkki 5: Pitkässä suorassa virtajohtimessa kulkee virta. Laske magneettikenttä etäisyydellä a virtajohtimesta. Ratkaisu: Ampéren laki on kaavan muodossa: dl sis Yhtälön vasen puoli kuvaa magneettikentän (= magneettivuon tiheyden) integraalia pitkin suljettua käyrää (niin kutsuttua Ampéren silmukkaa). d l on pituusalkiovektori, jonka suuruus on pituusalkio dl ja suunta silmukan suuntainen. Oikea puoli on tyhjiön permeabiliteetti kertaa Ampéren silmukan sisään jäävä kokonaisvirta. Lasketaan pitkän suoran virtajohtimen kenttä: dl a Valitaan Ampéren silmukaksi a-säteinen ympyrä. Virtajohtimen kenttä muodostaa virtajohtimen ympärille ympyröitä, joiden keskipiste on virtajohtimen keskipisteessä. Ampéren lain vasen puoli on siten: dl dl koska ja dl yhdensuuntaisia vektoreita.. dl dl koska on vakio koko valitsemamme silmukan alueella. dl a eli integraali dl on vain silmukan pituus. Yhtälön oikealla puolella μ on tyhjiön permeabiliteetti ja SS silmukan sisään jäävät virta, joka on tässä tapauksessa vain johtimen virta. Oikea ja vasen puoli yhdistettynä on siis: a a
14 Tämä on pitkän suoran virtajohtimen magneettikenttä etäisyydellä a johtimesta (tarkemmin johtimen keskipisteestä). Magneettikentän suunta saadaan oikean käden säännöllä: Puristetaan virtajohdinta oikealla kädellä niin, että peukalo on johtimen suuntaisesti ja osoittaa virran suuntaan. Muut sormet osoittavat kenttäviivojen suuntaan. Esimerkki 6: Kuutio, jonka sivun pituus on a, on sijoitettu xyz-koordinaatistoon kuvan mukaisesti siten, että yksi nurkka on origossa ja kolme särmää on koordinaattiakseleilla. Alueella on x-akselin suuntainen magneettivuon tiheys, jonka itseisarvo on. Kuution ympärille on kiedottu viiden nurkan kautta kulkeva johdinsilmukka, joka koostuu viidestä suorasta osasta kuvan mukaisesti. Johdinsilmukassa kulkee virta. Laske kuhunkin johtimen suoraan osaan vaikuttava voima. Anna tulokset vektorimuodossa. y 1 3 x 5 4 a z
15 Ratkaisu:
16 Esimerkki 7: Neliön (sivun pituus a) muotoisen johdinsilmukan yksi sivu on y-akselilla. Silmukassa kulkee virta kuvan mukaisesti. Alueessa on + z akselin suuntainen magneettikenttä, jonka suuruus riippuu y-akselista mitatusta etäisyydestä ja jonka yhtälö on Kxˆ k, missä K on vakio. a) Määritä silmukan magneettinen momentti? b) Määritä silmukkaan vaikuttava kokonaisvoima? c) Määritä magneettikentän silmukkaan aiheuttama voiman momentti (= vääntömomentti). y a Kx a x Ratkaisu:
17 Esimerkki 8: Alla olevassa kuvassa on virtasilmukka, joka koostuu kolmesta suorasta osasta ja puoliympyrästä. Suorien osien pituudet ovat a, a ja a ja puoliympyrän kaarevuussäde a. Lyhyet sivut ovat kohtisuorassa pitkää sivua vastaan. Puoliympyrä ei ole kontaktissa pitkän sivun kanssa. Silmukassa kulkee virta kuvan mukaisesti. Laske -kenttä puoliympyrän kaarevuuskeskipisteessä P. a ei kontaktia a P Ratkaisu:
18
19 VAKAVA VAROTUS: Kun käytät iot-savartin lakia, älä ota johdinalkiota alueen reunasta, vaan jostakin epämääräisestä paikasta: dl Ei, ei ja ei! r P
20 Esimerkki 9: Pienen virtasilmukan säde on b ja siinä kulkee virta. Pisteessä P, joka on etäällä virtasilmukasta (katso kuva!), on virtasilmukan aiheuttama vektoripotentiaali pallokoordinaateissa lausuttuna: b A sin eˆ 4r Määritä -kenttä pisteessä P. Opastus: Saatat tarvita kaavakokoelmaa, joka jaetaan tentissä ja joka on myös tämän kurssin kotisivulla. z P θ r x φ y
21 Ratkaisu:
22 Esimerkki 1: Laaja levy, jonka paksuus on d, on asetettu xz-tason suuntaisesti symmetrisesti xz-tasoon nähden. (Katso kuva!). Levyssä kulkee virta, jonka virtatiheys noudattaa yhtälöä j j uˆ z Laske -kenttä y:n funktiona levyn sisällä ja levyn ulkopuolella. y x
23 Esimerkki 11: Pitkän, suoran virtajohtimen poikkipinta-ala on R-säteinen ympyrä. Virtatiheys johtimessa noudattaa yhtälöä r j j, R missä r on etäisyys johtimen keskiakselista ja j on vakio. Laske -kenttä johtimen sisäpuolella ja ulkopuolella a) käyttäen Ampèren lain integraalimuotoa, b) käyttäen Ampèren lain differentiaalimuotoa. Ratkaisu:
24
Magneettikentät ja niiden määrittäminen
Magneettikentät ja niiden määrittäminen SSÄLTÖ: Magneettinen voima Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Tasavirrat Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Magneettinen momentti iot-savartin
LisätiedotJakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen
Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina
Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain
LisätiedotSIS. Vinkkejä Ampèren lain käyttöön laskettaessa magneettikenttiä:
Magneettikentät 2 SISÄLTÖ: Ampèren laki Menetelmän valinta Vektoripotentiaali Ampèren laki Ampèren lain avulla voidaan laskea maneettikenttiä tietyissä symmetrisissä tapauksissa, kuten Gaussin lailla laskettiin
LisätiedotMagneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan
LisätiedotTÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA
TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua
7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri
LisätiedotMagneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän
3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN
766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Laske nämä tehtävät, jos koet, että sinulla on aukkoja Soveltavan sähkömagnetiikan perusasioiden hallinnassa. Älä välitä tehtävien numeroinnista.
LisätiedotYleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.
Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus
LisätiedotLuku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan
Luku 27 Magnetismi Mikä aiheuttaa magneettikentän? Magneettivuon tiheys Virtajohtimeen ja varattuun hiukkaseen vaikuttava voima magneettikentässä Magneettinen dipoli Hallin ilmiö Luku 27 Tavoiteet Määrittää
Lisätiedota) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella
Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.
LisätiedotFysiikka 7. Sähkömagnetismi
Fysiikka 7 Sähkömagnetismi Magneetti Aineen magneettiset ominaisuudet ovat seurausta atomiydintä kiertävistä elektroneista (ytimen kiertäminen ja spin). Magneettinen vuorovaikutus Etävuorovaikutus Magneetilla
LisätiedotRATKAISUT: 19. Magneettikenttä
Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi
Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
LisätiedotMagnetismi Mitä tiedämme magnetismista?
Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten
Lisätiedota P en.pdf KOKEET;
Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten
LisätiedotMagnetismi Mitä tiedämme magnetismista?
Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten
LisätiedotPotentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus. kun asetetaan V( ) = 0
Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus kun asetetaan V( ) = 0 Potentiaali ja sähkökenttä: tasaisesti varautut levyt Tiedämme edeltä: sähkökenttä E on vakio A B Huomaa yksiköt: Potentiaalin muutos pituusyksikköä
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä
Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV
SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV Faradayn laki E B t Muuttuva magneettivuon tiheys B aiheuttaa ympärilleen sähkökentän E pyörteen. Sähkökentän
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotAiheena tänään. Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio. Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio
Sähkömagnetismi 2 Aiheena tänään Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio Käämiin vaikuttava momentti Magneettikentässä olevaan
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotSähköstatiikasta muuta. - q. SISÄLTÖ Sähköinen dipoli Kondensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä
Sähköstatiikasta muuta SISÄLTÖ Sähköinen ipoli Konensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköinen ipoli Tässä on aluksi samaa asiaa kuin risteet -kappaleen alussa ja lopuksi vähän uutta asiaa luentomonisteesta.
LisätiedotSMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO
SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO LiikeJla vaiku5aa siihen, miten kentät syntyvät ja miten hiukkaset kokevat kenben väli5ämät vuorovaikutukset ja miltä kentät näy5ävät. Vara5u hiukkanen kokee sähkömagneebsen
LisätiedotElektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018
Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Seuraavista 30 tehtävästä viisi tulee Elektrodynamiikka I:n loppukokeeseen 6.3.2018. Koska nämä tehtävät ovat kurssin koetehtäviä, vihjeitä niiden ratkaisemiseen
LisätiedotEristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä
risteet Johdannoksi vähän sähköisestä diolista Diolin muodostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. +q - q a Jos diolin varauksien itseisarvo on
LisätiedotFysiikka 1. Coulombin laki ja sähkökenttä. Antti Haarto
ysiikka 1 Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto 7.1.1 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä voi syntyä
Lisätiedota) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.
Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi
LisätiedotVinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: S d S Q sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotFYSP1082 / K4 HELMHOLTZIN KELAT
FYSP1082 / K4 HELMHOLTZIN KELAT Johdanto Työssä mitataan ympyränmuotoisten johdinkelojen tuottamaa magneettikenttää kelojen läheisyydessä sekä sähkövirran että etäisyyden funktiona. Sähkömagnetismia ja
LisätiedotJohdanto. 1 Teoriaa. 1.1 Sähkönjohtimen aiheuttama magneettikenttä
FYSP105 / K2 HELMHOLTZIN KELAT Johdanto Työssä mitataan ympyränmuotoisten johdinkelojen tuottamaa magneettikenttää kelojen läheisyydessä sekä sähkövirran että etäisyyden funtiona. Sähkömagnetismia ja työssä
LisätiedotCoulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q
Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =
LisätiedotJakso 5. Johteet ja eristeet Johteista
Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Johteet ja eristeet käyttäytyvät sähkökentässä eri tavalla. Koska johteessa on vaaasti liikkuvia varauksia, ne siirtyvät joko sähkökentän suuntaan (ositiiviset varaukset)
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotKuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/
8 SÄHKÖMAGNETISMI 8.1 Yleistä Magneettisuus on eräs luonnon ilmiö, joka on tunnettu jo kauan, ja varmasti jokaisella on omia kokemuksia magneeteista ja magneettisuudesta. Uudempi havainto (1820, Christian
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 6 Magneettikentän lähteet (YF 28) Liikkuvan
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedot1.1 Magneettinen vuorovaikutus
1.1 Magneettinen vuorovaikutus Magneettien välillä on niiden asennosta riippuen veto-, hylkimis- ja vääntövaikutuksia. Magneettinen vuorovaikutus on etävuorovaikutus Magneeti pohjoiseen kääntyvää päätä
LisätiedotMagneettikenttä ja sähkökenttä
Magneettikenttä ja sähkökenttä Gaussin laki sähkökentälle suljettu pinta Ampèren laki suljettu käyrä Coulombin laki Biot-Savartin laki Biot-Savartin laki: Onko virtajohdin entisensä? on aina kuvan tasoon
LisätiedotLuku Ohmin laki
Luku 9 Sähkövirrat Sähkövirta määriteltiin kappaleessa 7.2 ja huomattiin, että magneettikenttä syntyy sähkövirtojen vaikutuksesta. Tässä kappaleessa tarkastellaan muita sähkövirtaan liittyviä seikkoja
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotVirrankuljettajat liikkuvat magneettikentässä ja sähkökentässä suoraan, kun F = F eli qv B = qe. Nyt levyn reunojen välinen jännite
TYÖ 4. Magneettikenttämittauksia Johdanto: Hallin ilmiö Ilmiön havaitseminen Yhdysvaltalainen Edwin H. Hall (1855-1938) tutki mm. aineiden sähköjohtavuutta ja löysi menetelmän, jolla hän pystyi mittaamaan
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
Lisätiedotkaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ
58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,
LisätiedotELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA
Lisätiedot4. Gaussin laki. (15.4)
Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien
LisätiedotSOVELLUS: SYKLOTRNI- KIIHDYTIN
SOVELLUS: SYKLOTRNI- KIIHDYTIN sähköken+ä levyjen välissä vaihtuu jaksollisesj taajudella f cyc, niin e+ä se kiihdy+ää vara+ua hiukkasta aina kun se kulkee välikön ohi. potenjaali ΔV oskilloi ns. syklotroni
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet Induktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV
SATE2180 Kenttäteorian perusteet nduktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV nduktanssin määrittäminen Virta kulkee johtimessa, jonka poikkipinta on S a J S a d S A H F S b Virta aiheuttaa magneettikentän
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
LisätiedotYdin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus 1 Ratkaisut 1
Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus Ratkaisut Tehtävä i) Isotoopeilla on sama määrä protoneja, eli sama järjestysluku Z, mutta eri massaluku A. Tässä isotooppeja keskenään ovat 9 30 3 0 4Be ja 4 Be, 4Si,
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit
KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotSähkökentät ja niiden laskeminen I
ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
Lisätiedot1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 6 1.4 Kirjallisuutta...........................
LisätiedotElektrodynamiikka, kevät 2008
Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä
Lisätiedot33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ
TYÖOHJE 14.7.2010 JMK, TSU 33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ Laitteisto: Kuva 1. Kytkentä solenoidin ja toroidin magneettikenttien mittausta varten. Käytä samaa digitaalista jännitemittaria molempien
LisätiedotMagneettikenttä väliaineessa
Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa Tässä luvussa käsitellään magneettikentän ominaisuuksia väliaineessa (RMC luku 9 osittain; CL luku 7 osittain; esitiedot KII luku 4). 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotFYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ
FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ Työssä perehdytään johteissa ja tässä tapauksessa erityisesti puolijohteissa esiintyvään Hallin ilmiöön, sekä määritetään sitä karakterisoivat Hallin vakio, varaustiheys
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotVEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT
VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT 1/32 2 VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT Kenttäilmiöt Sähkö- ja magneettikentät Vaikeasti havaittavissa ihmisen aistein!
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Lisätiedot7. Resistanssi ja Ohmin laki
Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedot4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 FYSIIKAN LABORATORIO V 1.6 5.014 4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TYÖN TAVOITE Työssä tutkitaan vitajohtimen aiheuttamaa magneettikentää. VIRTAJOHTIMEN SYNNYTTÄMÄ MAGNEETTIKENTTÄ
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotHALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA
1 ALLIN ILMIÖ MOTIVOINTI allin ilmiötyössä tarkastellaan johteen varauksenkuljettajiin liittyviä suureita Työssä nähdään kuinka all-kiteeseen generoituu all-jännite allin ilmiön tutkimiseen soveltuvalla
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Lisätiedotx (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1
BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita
LisätiedotSÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017
SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Johdanto (Ulaby 1.2 1.3) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Vektorit ja koordinaatistot
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
LisätiedotKYSYMYS: Lai*akaa varaukset järjestykseen, posi9ivisesta nega9ivisempaan.
: Lai*akaa varaukset järjestykseen, posi9ivisesta nega9ivisempaan. Protoni Elektroni 17 protonia 19 electronia 1,000,000 protonia 1,000,000 elektronia lasipallo puu*uu 3 elektronia (A) (B) (C) (D) (E)
Lisätiedot4 Tasavirrat ja magneettikentät
4 Tasavirrat ja magneettikentät Edellisissä luvuissa käsiteltiin paikallaan olevien sähkövarausten välisiä voimia. Jos varaus on liikkeessä, se voi kokea myös magneettisen voiman. Magneettinen voima johtuu
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ MIKKO LAINE 2. kesäkuuta 2015 1. Johdanto Tässä työssä määritämme Maan magneettikentän komponentit, laskemme totaalikentän voimakkuuden ja monitoroimme magnetometrin
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
Lisätiedot