Magneettikentät ja niiden määrittäminen
|
|
- Helmi Hyttinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Magneettikentät ja niiden määrittäminen SSÄLTÖ: Magneettinen voima Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Tasavirrat Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Magneettinen momentti iot-savartin laki Ampèren laki Vektoripotentiaali Menetelmän valinta Magneettinen voima Magnetismi-ilmiö on monelle mysteeri. Siksi sen avulla voidaan helposti huijata ihmisiä ja myydä kaikenmaailman polttoaineen säästäjiä autoihin. Edelleen on kuitenkin kysymys Coulombin voimasta eli sähköisesti varautuneiden hiukkasten välisestä voimasta. Sen verran magnetismiilmiössä on outoa, että se voidaan johtaa suhteellisuusteorian avulla Coulombin voimasta. (Voitaisiin tietysti ajatella niinkin, että magneettinen voima on perusvoima ja Coulombin voima suhteellisuusteorian mukainen seuraus siitä.) Suppean suhteellisuusteorian ensimmäinen aksiooma sanoo, että fysiikan laeilla täytyy olla sama muoto kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa eli tasaisella nopeudella toistensa suhteen liikkuvissa koordinaatistoissa. Magneettikenttää tarvitaan, jotta tämä aksiooma toteutuisi sähkömagnetismissa. (Tästä on puhuttu enemmän kirjassa Grant & Phillips: Electromagnetism, kappaleessa 13.) Liikkuva varattu partikkeli aiheuttaa lähistöönsä magneettikentän. Vastaavasti magneettikentän voimavaikutus kohdistuu liikkuvaan varattuun partikkeliin, ei paikallaan pysyvään varaukseen. Arkielämästä tuttu kestomagneetin voimavaikutus perustuu myös varattujen partikkelien liikkeeseen, joka on materiaalin sisältämien atomien elektronien liikettä. Peruskurssin kirjassa on liikkuvan varatun (pistemäisen) partikkelin aiheuttama magneettikenttä esitetty yhtälöllä qv rˆ 4 r missä q on partikkelin varaus, v partikkelin nopeus, r partikkelin etäisyys siitä pisteestä, jossa magneettikenttä lasketaan ja rˆ yksikkövektori, joka ilmaisee suunnan varatusta partikkelista siihen pisteeseen, jossa magneettikenttä lasketaan. -kirjaimella merkityn suureen täsmällinen nimi on magneettivuon tiheys. Jos käytämme samaa merkitsemistapaa kuin luentomonisteessa on käytetty, yhtälö tulee muotoon qv ( r r') ( r) 3 4 r r'
2 Tässä yhtälössä vektori r ilmaisee sen pisteen, missä magneettikenttä lasketaan ja vektori r ' ilmaisee varauksen paikan. v on partikkelin nopeus. Tämä yhtälö antaa sekä magneettikentän suunnan että suuruuden. Jos yhtälöä osaa lukea oikein, huomaa, että magneettikentän voimaviivat kulkevat oheisen kuvan mukaisesti. Kuvasta ei näe magneettikentän voimakkuutta eri kohdissa, ainoastaan suunnan. Näitä asioita käsitellään myöhemmin tarkemmin. + v Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Edellä kerrottiin, että magneettikenttä vaikuttaa liikkuvaan varaukseen, ei paikallaan pysyvään varaukseen. Voiman suunta ei ole magneettikentän suuntainen vaan kohtisuoraan kenttäviivoja vastaan. Yhtälönä tämä magneettikentän aiheuttama voima, niin kutsuttu Lorentz-voima, on F qv Voiman suunnan saa (oikean käden) kolmisormisäännöstä. Positiiviselle varaukselle voiman suunta on oheisen kuvan mukainen, negatiiviselle vastakkaissuuntainen. v F Jos varattu partikkeli joutuu sähkö- ja magneettikenttään, siihen vaikuttaa näiden miolempien kenttien aiheuttama summavoima: F qe qv
3 Tasavirrat Tehdään tässä välissä pieni hyppäys tasavirtoihin. Sähkövirta on varausten liikettä. Virtatiheys määritellään yhtälöllä j Nev missä N on johde-elektronien tiheys (elektroneja tilavuusyksikössä), e alkeisvaraus ja v elektronikaasun nopeus. Miinusmerkki tulee tietysti siitä, että virran suunta on vastakkainen elektronien liikesuunnalle. Virtatiheys voidaan laskea myös käyttäen sähkökenttää ja johtavuutta σ, joka on kullekin aineelle ominainen suure: j E. Tätä kutsutaan Ohmin laiksi. Peruskurssista tutumpi Ohmin lain esitysmuoto on V =. Kyse on samasta asiasta, sillä virta voidaa laskea yhtälöllä j ds E ds A A Jännitteen ja virran suhde on resistanssi V l A poikkipinta-ala. Edelleen pätee myös peruskurssista tuttu yhtälö johtimen poikkipinta-alan läpi kulkenut varaus aikayksikössä., missä l on johtimen pituus ja A johtimen dq, joka kertoo, että virta on dt Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Koska magneettikenttä vaikuttaa liikkuvaan varaukseen, aiheuttaa se voiman myös virtajohtimeen. Virtahan on varausten liikettä. d l :n suuruiseen virtajohdinalkioon, jonka pituus on dl ja suunta virran suunta, aiheuttaa magneettikenttä voiman ja koko johtimeen voiman d F dl F dl. Suoraan virtajohtimeen magneettikenttä aiheuttaa voiman F l Vektori l on johdinvektori, jonka suunta on virran suunta ja pituus johtimen pituus.
4 Magneettimomentti Sähköstatiikassa esiteltiin sähköinen dipoli, jolla on suuri merkitys esimerkiksi eristeiden ymmärtämisessä. Vastaava ilmiö magnetismin puolella on virtasilmukka. Magneettiset materiaalit sisältävät pieniä virtasilmukoita samalla tavalla kuin eristeessä on pieniä dipoleja. Dipolimomenttia vastaa virtasilmukalla magneettimomentti. Se määritellää yhtälöllä m S missä on silmukassa kulkeva virta ja S pinta-alavektori, jonka suuruus on silmukan pinta-ala ja suunta riippuu virran suunnasta oheisen kuvan mukaisesti: S m Virtasilmukkaan vaikuttaa magneettikentässä voiman momentti (vääntömomentti) T m mistä aiheutuu potentiaalienergia U m iot-savartin laki Edellä esiteltiin liikkuvan varauksen aiheuttama magneettikenttä (tarkemmin sanottuna magneettivuon tiheys) yhtälöllä qv ( r r') ( r) 3 4 r r' missä vektori r ilmaisee sen pisteen, jossa magneettikenttä lasketaan ja vektori r ' ilmaisee varauksen paikan. v on partikkelin nopeus. Kuten on ollut jo puhetta, tämä yhtälö antaa sekä magneettikentän suunnan että suuruuden. Aikaisemmin esitettiin kuva magneettikentän voimaviivoista liikkuvan varauksen lähellä.
5 Jos johtimessa kulkee virta, voimme ajatella, että pieni johtimenpätkä dl sisältää liikkuvan pistevarauksen. Virta voidaan määritellä yhtälöllä dq dt Täten saamme qv dtv d x dt dt d x Täällä on pituusalkiovektoria muotoon d x tapana merkitä vektorilla d l. Nyt saamme edellä olevan yhtälön dl ( r r') ( r) 3 4 r r' Kun integroimme yli koko johtimen, saamme kaikkien johdinalkioiden dl aiheuttaman summamagneettikentän: ( r) dl' ( r r') 3 4 r r' Tämä on iot-savartin laki, jota käytetään virtajohtimen aiheuttaman magneettikentän laskemisessa. Ampèren laki Ampèren lain avulla voidaan laskea maneettikenttiä tietyissä symmetrisissä tapauksissa, kuten Gaussin lailla laskettiin sähkökenttiä. Ampèren lain integraalimuoto on kaavana: C dl SS Vasemmalla puolella integroidaan magneettivuon tiheyden ja pituusalkiovektorin pistetuloa pitkin suljettua käyrää, niin kutsuttua Ampèren silmukkaa. Oikealla puolella on Ampèren silmukan läpi kulkevat virrat kerrottuna tyhjiön permeabiliteetilla. Differentiaalimuoto Ampèren laista on j Ampèren lain integraalimuodon oikea puoli kirjoitetaan usein j d S eli Ampèren silmukan sisään jäävä virta lasketaan virtatiheysvektorin j ja johtimen poikkipinta-alan S avulla. Jos virtatiheys on vakio, kyseinen integraali tulee muotoon js. S
6 Vinkkejä Ampèren lain käyttöön laskettaessa magneettikenttiä: Varmista ensin, että voit käyttää kyseisessä tapauksessa Ampèren lain integraalimuotoa. Katso tämän kappaleen viimeistä kohtaa Menetelmän valinta. Valitse ensin Ampèren suljettu käyrä. Se on yleensä näissä laskuissa joko ympyrä tai suorakaide. (Katso kohtaa Menetelmän valinta.) Pitkille, suorille johtimille ja sylinterinmuotoisille johtimille valitaan ympyrä. Laajoille johtaville tasoille ja solenoideille valitaan suorakaide. Piirrä seuraavaksi virtojen aiheuttamat (magneetti)kenttäviivat ja Ampèren silmukka samaan kuvaan. Etsi ne kohdat, missä Ampèren silmukka ja kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset. Siellä tulo voidaan kirjoittaa muotoon dl. dl Etsi seuraavaksi ne kohdat, joissa Ampèren silmukka ja kenttäviivat ovat kotisuorassa toisiaan vastaan (tai kenttäviivat ovat hyvin harvassa kuten solenoidin ulkopuolella). Siellä dl on nolla. Yleensä niissä silmukan kohdissa, joissa dl voitiin kirjoittaa muotoon dl, on -kenttä vakio, jolloin voidaan ottaa integraalimerkin eteen. Nyt dl on pelkkä käyrän pituus Ampèren silmukan niistä kohdista, joissa silmukka ja C kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset. Huomaa, että nyt ei enää ole välttämättä kyseessä suljettu käyrä, jolle merkittäisiin dl. C Laske seuraavaksi Ampèren lain oikea puoli eli määritä suljetun käyrän sisään jäävät virrat SS. Joudut ehkä laskemaan virrat käyttäen virtatiheyttä j. Jos virtatiheys on vakio, virta on js eli virtatiheys kertaa johtimen poikkipinta-ala. Jos virtatiheys ei ole vakio johtimen poikkipinnalla, silloin integroit kylmän rauhallisesti käyttäen kaavaa S j d S Merkitse yhtä suuriksi se, minkä sait Ampèren lain vasemmalta puolelta ja se, minkä sait Ampèren lain oikealta puolelta. atkaise yhtälöstä magneettikenttä. Vektoripotentiaali Magneettikenttä voidaan lausua niin kutsutun vektoripotentiaalin A roottorina: A Katso Nygrénin monisteesta, mitä siellä kerrotaan vektoripotentiaalin yksikäsitteisyydestä. Opettele, mitä Coulombin mitta tarkoittaa. (Coulombin mittaa kysytään usein tentissä.)
7 Menetelmän valinta On tärkeää oppia valitsemaan oikea menetelmä magneettikentän määrittämiseen. Tässä materiaalissa on esitelty iot-savartin laki ja Ampèren lain integraali- ja differentiaalimuoto. On tapauksia, joissa Ampèren laki ei käy. Tästä on tietoa alla olevassa taulukossa. YHTEENVETO TOMVSTA AMPÈEN SLMUKOSTA Johtimen muoto Ampèren silmukka Pitkä suora johdin Ympyrä Koaksiaalikaapeli Ympyrä Sylinterin muotoinen johdin Ympyrä Toroidi Ympyrä Solenoidi Suorakulmio Laaja johtava taso Suorakulmio Ympyrä Ei voi käyttää Ampèren lakia Neliö Ei voi käyttää Ampèren lakia Kolmio Ei voi käyttää Ampèren lakia Mikä tahansa silmukka Ei voi käyttää Ampèren lakia Lyhyt suora johdin Ei voi käyttää Ampèren lakia Epämääräisen muotoinen johdin Ei voi käyttää Ampèren lakia
8 Esimerkki 1: Suorassa johtimessa, jonka pituus on 5 cm ja joka on x-akselin suuntainen, kulkee.5 A:n sähkövirta positiivisen x-akselin suuntaan. Johdin on magneettikentässä (.3T ) ˆj (.1T ) kˆ Mikä on johtimeen vaikuttava voima? atkaisu: Virtajohtimeen vaikuttava voima on: F dl Nyt tässä suorassa johtimessa kaikkien johdinalkioiden suunta eli virran suunta. ntegraalista tulee silloin: d l suunta on sama positiivisen x-akselin F l Lasketaan ristitulo: l liˆ ˆj kˆ y z F iˆ l ˆj y kˆ z [ˆ( i ) ˆ( j l z ) kˆ( l y )] l iˆ l kˆ z y F (.5A.5m.3T ) ˆj (.5A.5m.1T ) kˆ (7.5ˆ i 5 ˆ) j 1 Yksikkötarkastelua: 4 N T Vs m VAsm AmT m J m N Muista: VAs = J!!!
9 Esimerkki : Neliön muotoisessa johdinsilmukassa (sivun pituus a) kulkee virta. Silmukka aseteaan magneettikenttään kuvan mukaisesti siten, että magneettikentän ja silmukan tason normaalin väliin jää kulma α. a) Mikä on virtasilmukan magneettimomentti? b) Mikä voiman momentti kohdistuu virtasilmukkaan? c) Mikä on virtasilmukan potentiaalienergia magneettikentässä? α Silmukka sivusta katsottuna atkaisu: a) Magneettimomentti on m S Snˆ Vektori nˆ tarkoittaa pinta-alkiovektorin suuntaista eli pinnan normaalin suuntaista yksikkövektoria. Nyt m S a nˆ koska pinta-ala S on neliön muotoiselle silmukalle a.
10 b) Voiman momentti on vektorimuodossa: T S Snˆ a nˆ Skalaarimuodossa voiman momentiksi tulee: T a nˆ sin a sin c) Potentiaalienergia voidaan laskea kahdella tavalla. Joko yhtälöllä U P S Snˆ S nˆ cos a cos tai yhtälöllä U P m a nˆ a nˆ cos a cos Esimerkki 3: Oheisessa kuvassa esitettyyn suorakaiteen muotoiseen alueeseen tulee positiivisesti varattu hiukkanen +q P jonka varaus on q, massa m ja nopeus v. Alueeessa on paperin tason suuntainen homogeeninen sähkö- d kenttä E, jonka suunta näkyy kuvassa. a) Minkä E suuruinen ja suuntainen homogeeninen magneetti- S kenttä tarvitaan alueeseen, jotta varaus osuisi pisteeseen P. b) Sähkökenttä E kytketään pois. Minkä suuruinen ja suuntainen magneettikenttä tarvitaan alueeseen, jotta varaus osuisi pisteeseen S. atkaisu: Sähkö- ja magneettikentässä varaukseen q vaikuttaa Lorentz-voima: F qe qv a) Varaukseen vaikuttavan magneettikentän aiheuttaman voiman ja sähkökentän aiheuttaman voiman täytyy kumota toisensa, sillä varauksen rata on suora: qe qv Sähkökentän voima osoittaa alaspäin. Silloin magneettikentän voiman täytyy osoittaa ylöspäin. Käytetään kolmisormisääntöä magneettikentän suunnan määrittämiseksi:
11 v F Kuvan mukaan magneettikentän täytyy olla suoraan paperin tasosta sisäänpäin, jotta sen aiheuttama voima olisi ylöspäin, kun positiivisesti varattu kappale liikkuu vasemmalta oikealle. Koska nyt nopeus ja magneettikenttä ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan: v v Nyt saadaan magneettikentän suuruus. qe qv qe qv Magneettikentän suunta on siis kohtisuorassa paperin tasoa vastaan ja sisäänpäin. E v b) Sähkökenttää ei nyt ole. Varaus pitäisi saada kääntymään alaspäin. Kolmisormisäännön mukaan se vaatii magneettikentän, jonka suunta on suoraan paperin tasosta ulospäin. Varaus alkaa kulkea ympyrärataa pitkin. adan säteen r pitäisi olla sopivan suuruinen, jotta varaus osuisi pisteeseen S eli r = d. Ympyräradalla keskeisvoimana toimii magneettikentän aiheuttama voima. Voimme laskea skalaareilla ja otamme huomioon, että nopeus ja magneettikenttä ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jolloin magneettikentän aiheuttama voima on F = qv: Keskeisvoima = Lorentz-voima mv mv mv qv Suunta määritettiin edellä r qr qd
12 Esimerkki 4: Pitkässä suorassa virtajohtimessa kulkee virta. Laske magneettikenttä etäisyydellä a virtajohtimesta. atkaisu: iot-savartin laki: ( r) dl' ( r r') 3 4 r r' Jos sitä pistettä, jossa magneettikenttä lasketaan, merkitään P:llä, vektori r kuvaa P:n paikkaa ja vektori r ' kuvaa johdinalkion dl' paikkaa. Yleensä P sijoitetaan origoon, jolloin r =. l a α P Merkitään, että r = jolloin saadaan: dl' ( r r') dl' ( r') dl' ( r') r' dl' ( r) r r' 4 r' 4 r' 4 r' 3 Tehdään tällä kertaa niin, että päätellään magneettikentän suunta ja sen jälkeen lasketaan skalaareilla. Tämä tapa ei ole kuitenkaan suositeltava. Jäljempänä on esimerkki siitä, miten pituutta l käytetään muuttujana. Kolmisormisäännön avulla saadaan, että vektorin r' dl' suunta on paperin tasosta sisäänpäin: P
13 Siirrytään nyt skalaareihin: ' ) '(cos ' 'sin 'sin ' ' ' dl r dl r dl r dl r cos ' a r d a dl a l cos 1 ' tan ' iot-savartin laista saamme nyt: d a a r dl r dl r r 3 cos cos 1 ) (cos 4 ') ( ' cos 4 ') ( ' 'cos 4 ) ( d a cos 4 Kun on kyseessä äärettömän pitkä johdin, kulma α vaihtelee välillä π/ π/. Tästä saamme integroimisrajat: a a a d a r 1)] ( [1 4 sin / 4 cos 4 ) ( Tämä on pitkän suoran virtajohtimen aiheuttama magneettikenttä etäisyydellä a johtimesta. Magneettikentän suunta on kohtisuoraan johdinta vastaan ja pisteessä P (katso kuva!) paperin tasosta sisäänpäin.
14 Esimerkki 5: Pitkässä suorassa virtajohtimessa kulkee virta. Laske magneettikenttä etäisyydellä a virtajohtimesta. atkaisu: Ampéren laki on kaavan muodossa: dl Yhtälön vasen puoli kuvaa magneettikentän (= magneettivuon tiheyden) integraalia pitkin suljettua käyrää (niin kutsuttua Ampéren silmukkaa). d l on pituusalkiovektori, jonka suuruus on pituusalkio dl ja suunta silmukan suuntainen. Oikea puoli on tyhjiön permeabiliteetti kertaa Ampéren silmukan sisään jäävä kokonaisvirta. Lasketaan pitkän suoran virtajohtimen kenttä: sis dl a Valitaan Ampéren silmukaksi a-säteinen ympyrä. Virtajohtimen kenttä muodostaa virtajohtimen ympärille ympyröitä, joiden keskipiste on virtajohtimen keskipisteessä. Ampéren lain vasen puoli on siten: dl dl koska ja dl yhdensuuntaisia vektoreita.. dl dl koska on vakio koko valitsemamme silmukan alueella. dl a eli integraali dl on vain silmukan pituus. Yhtälön oikealla puolella μ on tyhjiön permeabiliteetti ja SS silmukan sisään jäävät virta, joka on tässä tapauksessa vain johtimen virta. Oikea ja vasen puoli yhdistettynä on siis: a a
15 Tämä on pitkän suoran virtajohtimen magneettikenttä etäisyydellä a johtimesta (tarkemmin johtimen keskipisteestä). Magneettikentän suunta saadaan oikean käden säännöllä: Puristetaan virtajohdinta oikealla kädellä niin, että peukalo on johtimen suuntaisesti ja osoittaa virran suuntaan. Muut sormet osoittavat kenttäviivojen suuntaan. Esimerkki 6: Kuutio, jonka sivun pituus on a, on sijoitettu xyz-koordinaatistoon kuvan mukaisesti siten, että yksi nurkka on origossa ja kolme särmää on koordinaattiakseleilla. Alueella on x-akselin suuntainen magneettivuon tiheys, jonka itseisarvo on. Kuution ympärille on kiedottu viiden nurkan kautta kulkeva johdinsilmukka, joka koostuu viidestä suorasta osasta kuvan mukaisesti. Johdinsilmukassa kulkee virta. Laske kuhunkin johtimen suoraan osaan vaikuttava voima. Anna tulokset vektorimuodossa. y 1 3 x 5 4 a z
16 atkaisu:
17 Esimerkki 7: Neliön (sivun pituus a) muotoisen johdinsilmukan yksi sivu on y-akselilla. Silmukassa kulkee virta kuvan mukaisesti. Alueessa on + z akselin suuntainen magneettikenttä, jonka suuruus riippuu y-akselista mitatusta etäisyydestä ja jonka yhtälö on a) Määritä silmukan magneettinen momentti? b) Määritä silmukkaan vaikuttava kokonaisvoima? c) Määritä magneettikentän silmukkaan aiheuttama voiman momentti (= vääntömomentti). Kxk ˆ, missä K on vakio. y a Kx a x atkaisu:
18 Esimerkki 8: Alla olevassa kuvassa on virtasilmukka, joka koostuu kolmesta suorasta osasta ja puoliympyrästä. Suorien osien pituudet ovat a, a ja a ja puoliympyrän kaarevuussäde a. Lyhyet sivut ovat kohtisuorassa pitkää sivua vastaan. Puoliympyrä ei ole kontaktissa pitkän sivun kanssa. Silmukassa kulkee virta kuvan mukaisesti. Laske -kenttä puoliympyrän kaarevuuskeskipisteessä P. a ei kontaktia a P atkaisu:
19
20 VAKAVA VAOTUS: Kun käytät iot-savartin lakia, älä ota johdinalkiota alueen reunasta, vaan jostakin epämääräisestä paikasta: dl Ei, ei ja ei! r P
21 Esimerkki 9: Pienen virtasilmukan säde on b ja siinä kulkee virta. Pisteessä P, joka on etäällä virtasilmukasta (katso kuva!), on virtasilmukan aiheuttama vektoripotentiaali pallokoordinaateissa lausuttuna: b A sin eˆ 4r Määritä -kenttä pisteessä P. Opastus: Saatat tarvita kaavakokoelmaa, joka jaetaan tentissä ja joka on myös tämän kurssin kotisivulla. z P θ r x φ y
22 atkaisu:
23 Esimerkki 1: Laaja levy, jonka paksuus on d, on asetettu xz-tason suuntaisesti symmetrisesti xztasoon nähden. (Katso kuva!). Levyssä kulkee virta, jonka virtatiheys noudattaa yhtälöä j j uˆ z Laske -kenttä y:n funktiona levyn sisällä ja levyn ulkopuolella. y x
24 Esimerkki 11: Pitkän, suoran virtajohtimen poikkipinta-ala on -säteinen ympyrä. Virtatiheys johtimessa noudattaa yhtälöä r j j, missä r on etäisyys johtimen keskiakselista ja j on vakio. Laske -kenttä johtimen sisäpuolella ja ulkopuolella a) käyttäen Ampèren lain integraalimuotoa, b) käyttäen Ampèren lain differentiaalimuotoa. atkaisu:
25
26 Magneettiset materiaalit ja magneettikentän energia Materiaalit jaetaan magneettisten ominaisuuksiensa mukaan kolmeen luokkaan: diamagneettiset, paramagneettiset ja ferromagneettiset aineet. Materia koostuu atomeista, joissa ydintä kiertää parvi elektroneja. Elektronin liike on sähkövirtaa. Elektronien liikkeestä ja sisäisestä spinistä johtuen atomilla voi olla magneettinen momentti. (Siis voi olla. Aina atomilla ei ole ulospäin havaittavaa magneettista momenttia, sillä elektronirakenne voi olla sellainen, että eri elektronien magneettiset momentit kumoavat toisensa.) Ne aineet, joilla ei ole pysyvää magneettista momenttia, ovat diamagneettisia. Kun tällainen aine asetetaan ulkoiseen magneettikenttään, indusoituu aineen atomeihin tai molekyyleihin magneettimomentti, joka on ulkoiselle magneettikentälle vastakkaissuuntainen. Nämä aineet heikentävät ulkoista kenttää. Paramagneettisten aineiden atomeilla ja molekyyleillä on pysyvä magneettinen momentti. Se asettuu ulkoisen kentän suuntaisesti, joten tällaisissa aineissa ulkoinen kenttä vahvistuu eli -kenttä on = + M = ulkoinen kenttä + magnetoitumasta aiheutunut kenttä. Ferromagneettisissa aineissa tämä ilmiö on erittäin voimakas. Ulkoisen kentän vaikutusta aineessa kuvataan käsitteellä magnetoituma: M N m missä N on atomien lukumäärä tilavuusyksikössä ja m atomin keskimääräinen momentti kentän suunnassa. ndusoitunut pintavirran tiheys (pituusyksikköä kohden) eli indusoitunut virtakate ulkoiseen magneettikenttään joutuneessa kappaleessa on J M M nˆ missä nˆ on pinnan suuntainen yksikkövektori. Joissakin lähteissä tätä suuretta merkitään symbolilla i S. Havainnollistetaan magnetoitumaa ja pintavirtoja oheisella kuvalla. Homogeenisessa magneettikentässä vierekkäisten atomien virrat kumoavat toisensa, jolloin kokonaisvirta materiaalin sisällä on nolla. Ainoastaan materiaalin pinnalle jää pintavirtaa samalla tavalla kuin eristeeseen, joka on sähkökentässä, tulee pinnalle pintavarausta. istitulo pinnan normaalin suuntaisen yksikkövektorin kanssa varmistaa sen, että kuvassa olevan sylinterin päihin ei tule yhtälön mukaan pintavirtaa. Siellähän atomien virrat kumoavat toisensa. Pintavirtaa tulee vain vaipalle.
27 n m M n Epähomogeeninen magneettikenttä aiheuttaa magnetoitumavirtatiheyden myös aineen sisälle: j M M Magneettinen suskeptiivisuus ei-ferromagneettisissa aineissa määritellään yhtälöllä: M Kun laskimme magneettikenttä (tarkemmin sanottuna magneettivuon tiheyksiä) eräissä symmetrisissä tapauksissa, käytimme Ampèren lakia C dl SS Jos käyttäisimme tätä samaa yhtälöä materiassa, meidän täytyisi ottaa huomioon myös indusoituneiden magneettisten momenttien virrat, mikä olisi hankalaa. Otamme siksi käyttöön uuden suureen, magneettikentän voimakkuus, jota merkitään kirjaimella H. H-kentän, -kentän ja magnetoituman välillä pätee yhtälö: H 1 M 1 -kentän ja H-kentän välillä on myös yhteys H, missä μ = (1 χ ) -1 on aineen suhteellinen permeabiliteetti. Nyt voidaan Ampèren laki kirjoittaa muotoon: C H dl F F tarkoittaa Ampèren silmukan sisään jääviä vapaita virtoja. Atomeihin ja molekyyleihin sidottujen elektronien virrat eivät ole vapaita virtoja.
28 Differentiaalimuodossa tämä yhtälö tulee muotoon H j f Erilaisten materiaalien rajapinnalla -kenttä ja H-kenttä käyttäytyvät seuraavasti: 1 ja H H 1 Eli -kentällä säilyy pintaa vastaan kohtisuorassa oleva komponentti muuttumattomana ja H-kentällä pinnan suuntainen komponentti. Magneettikenttään on sitoutunut energiaa samalla tavalla kuin sähkökenttäänkin. Analogisesti sähkökentän energiatiheyden kanssa saadaan magneettikentän energiatiheys: u 1 H Tilavuudessa V oleva magneettinen energia on U 1 V H d Esimerkki 1: Toroidin muotoisen rautasydämen keskimääräinen säde on 1 cm. autasydämessä on ilmarako, jonka leveys on 1, mm. autasydämen suhteellinen permeabiliteetti on 55. autasydämen ympärille on kiedottu käämi, jossa on kierrosta ja jossa kulee 5, A:n virta. Laske magneettikentän voimakkuus ja magneettivuon tiheys rautasydämessä ja ilmaraossa. atkaisu: Käytetään Ampèren lakia H-kentälle: H dl f Kun käytetään tätä muotoa Ampèren laista, ei lausekkeeseen tarvitse ottaa mukaan mahdollisia materiaalin sisäisiä virtoja. Virta f sisältää vain vapaat virrat, joita tässä tapauksessa on käämin virta. Piirretään Ampèren silmukka toroidin rautasydämen keskelle: käämi Ampèren silmukka r ilmarako
29 Olkoon Ampèren silmukan pituus rautasydämen kohdalla l ja ilmaraon kohdalla l, jolloin l + l = π r. H-kenttä on toroidin sisällä Ampèren silmukan suuntainen, jolloin saamme: l l l l l H l H dl H dl H dl H dl H dl H Tiedämme, että = μμ H ja että ilmassa μ = 1. Saamme Ampèren lain vasemman puolen muotoon: l l l H l H Monisteen on käsitelty - ja H-kenttien rajaehtoja, joiden mukaan rajapintaa vastaan kohtisuora komponentti säilyy -kentällä muuttumattomana: 1 Ampèren lain vasen puoli tulee muotoon: l l l l Ampèren silmukan sisäpuolelle jää N johdinsilmukkaa. Niissä jokaisessa kulkee virta eli f = N. Ampèren lain oikealle puolelle tulee siis vain N. ilmarako
30 Nyt voimme ratkaista -kentän, joka on sama sekä rautasydämessä että ilmaraossa: l l N N l l N (r l ) l 7 Vs 4 1 5A Am (.1m.1m).1m 55 Vs.5875 m.59t Laskemme vielä magneettikentän voimakkuuden: Vs.5875 H m 85 7 Vs Am A m Vs.5875 m ka H 47 7 Vs m 4 1 Am Lopulliset vastaukset ovat: A Magneettikentän voimakkuus rautasydämessä: H 85 m ka Magneettikentän voimakkuus ilmaraossa: H 47 m Magneettivuon tiheys rautasydämessä:. 59T Magneettivuon tiheys ilmaraossa:. 59T
31 Esimerkki : Hyvin laaja tasomainen levy (paksuus d) on asetettu xy-tason suuntaiseksi. Alueella vaikuttaa ulkoinen vakiomagneettikenttä, jonka vuontiheys on k ˆ. Laske H -kenttä levyssä, jos a) se on materiaalia, jonka suhteellinen permeabiilisuus on μ, b) se on kestomagneetti, jonka magnetoituma on M i kˆ. atkaisu: Esimerkki 3: Kahdessa geometrialtaan identtisessä toroidin muotoisessa kelassa on N johdinkierrosta. Molemmissa keloissa kulkee virta. Toinen toroidi on ilmatäytteinen ja toisen sisällä on rautasydän, jonka suhteellinen permeabilitetti on μ ja joka täyttää koko toroidin. Magneettikentän energia ilmatäytteisen toroidin sisällä on U 1 ja toisen toroidin sisällä U. Laske energioiden on U 1 ja U suhde. atkaisu:
32 Esimerkki 4: Hyvin pitkässä solenoidissa (pituus L, poikkipinta-ala A) on N kierrosta. Solenoidiin on asetettu rautasydän, jonka suhteellinen permeabiliteetti on μ ja joka täyttää solenoidin sisäpuolisen tilan. Laske magneettivuon tiheys, magneettikentän voimakkuus ja magneettikentän energia raudassa. atkaisu:
Magneettikentät ja niiden määrittäminen
Magneettikentät ja niiden määrittäminen SSÄLTÖ: Magneettinen voima Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Tasavirrat Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Magneettinen momentti iot-savartin
LisätiedotJakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen
Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina
Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain
LisätiedotMagneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan
LisätiedotSIS. Vinkkejä Ampèren lain käyttöön laskettaessa magneettikenttiä:
Magneettikentät 2 SISÄLTÖ: Ampèren laki Menetelmän valinta Vektoripotentiaali Ampèren laki Ampèren lain avulla voidaan laskea maneettikenttiä tietyissä symmetrisissä tapauksissa, kuten Gaussin lailla laskettiin
Lisätiedota P en.pdf KOKEET;
Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten
LisätiedotTÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA
TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua
7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN
766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Laske nämä tehtävät, jos koet, että sinulla on aukkoja Soveltavan sähkömagnetiikan perusasioiden hallinnassa. Älä välitä tehtävien numeroinnista.
LisätiedotMagneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän
3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina
LisätiedotLuku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan
Luku 27 Magnetismi Mikä aiheuttaa magneettikentän? Magneettivuon tiheys Virtajohtimeen ja varattuun hiukkaseen vaikuttava voima magneettikentässä Magneettinen dipoli Hallin ilmiö Luku 27 Tavoiteet Määrittää
LisätiedotRATKAISUT: 19. Magneettikenttä
Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee
LisätiedotYleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.
Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus
LisätiedotFysiikka 7. Sähkömagnetismi
Fysiikka 7 Sähkömagnetismi Magneetti Aineen magneettiset ominaisuudet ovat seurausta atomiydintä kiertävistä elektroneista (ytimen kiertäminen ja spin). Magneettinen vuorovaikutus Etävuorovaikutus Magneetilla
LisätiedotMagneettiset materiaalit ja magneettikentän energia
agneettiset ateriaait ja agneettikentän energia ateriaait jaetaan agneettisten oinaisuuksiensa ukaan koeen uokkaan: diaagneettiset, paraagneettiset ja ferroagneettiset aineet. ateria koostuu atoeista,
Lisätiedota) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella
Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi
Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
LisätiedotMagnetismi Mitä tiedämme magnetismista?
Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten
LisätiedotPotentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus. kun asetetaan V( ) = 0
Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus kun asetetaan V( ) = 0 Potentiaali ja sähkökenttä: tasaisesti varautut levyt Tiedämme edeltä: sähkökenttä E on vakio A B Huomaa yksiköt: Potentiaalin muutos pituusyksikköä
LisätiedotMagnetismi Mitä tiedämme magnetismista?
Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten
LisätiedotAiheena tänään. Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio. Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio
Sähkömagnetismi 2 Aiheena tänään Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio Käämiin vaikuttava momentti Magneettikentässä olevaan
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV
SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV Faradayn laki E B t Muuttuva magneettivuon tiheys B aiheuttaa ympärilleen sähkökentän E pyörteen. Sähkökentän
LisätiedotElektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018
Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Seuraavista 30 tehtävästä viisi tulee Elektrodynamiikka I:n loppukokeeseen 6.3.2018. Koska nämä tehtävät ovat kurssin koetehtäviä, vihjeitä niiden ratkaisemiseen
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä
Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet Induktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV
SATE2180 Kenttäteorian perusteet nduktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV nduktanssin määrittäminen Virta kulkee johtimessa, jonka poikkipinta on S a J S a d S A H F S b Virta aiheuttaa magneettikentän
LisätiedotEristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä
risteet Johdannoksi vähän sähköisestä diolista Diolin muodostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. +q - q a Jos diolin varauksien itseisarvo on
LisätiedotJakso 5. Johteet ja eristeet Johteista
Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Johteet ja eristeet käyttäytyvät sähkökentässä eri tavalla. Koska johteessa on vaaasti liikkuvia varauksia, ne siirtyvät joko sähkökentän suuntaan (ositiiviset varaukset)
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
Lisätiedot1.1 Magneettinen vuorovaikutus
1.1 Magneettinen vuorovaikutus Magneettien välillä on niiden asennosta riippuen veto-, hylkimis- ja vääntövaikutuksia. Magneettinen vuorovaikutus on etävuorovaikutus Magneeti pohjoiseen kääntyvää päätä
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 6 Magneettikentän lähteet (YF 28) Liikkuvan
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotCoulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q
Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =
LisätiedotMagnetoituvat materiaalit
Luku 8 Magnetoituvat materiaalit 8.1 Magnetoitumavirta Kappaleessa 7.8 esitetyn määritelmän perusteella virtasilmukan magneettimomentti voidaan esittää muodossa m = IS, (8.1) missä I on silmukassa kiertävä
LisätiedotSähköstatiikasta muuta. - q. SISÄLTÖ Sähköinen dipoli Kondensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä
Sähköstatiikasta muuta SISÄLTÖ Sähköinen ipoli Konensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköinen ipoli Tässä on aluksi samaa asiaa kuin risteet -kappaleen alussa ja lopuksi vähän uutta asiaa luentomonisteesta.
LisätiedotKuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/
8 SÄHKÖMAGNETISMI 8.1 Yleistä Magneettisuus on eräs luonnon ilmiö, joka on tunnettu jo kauan, ja varmasti jokaisella on omia kokemuksia magneeteista ja magneettisuudesta. Uudempi havainto (1820, Christian
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotMagneettikenttä väliaineessa
Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa Tässä luvussa käsitellään magneettikentän ominaisuuksia väliaineessa (RMC luku 9 osittain; CL luku 7 osittain; esitiedot KII luku 4). 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin
LisätiedotVinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: S d S Q sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi
Lisätiedota) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.
Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi
LisätiedotSMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO
SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO LiikeJla vaiku5aa siihen, miten kentät syntyvät ja miten hiukkaset kokevat kenben väli5ämät vuorovaikutukset ja miltä kentät näy5ävät. Vara5u hiukkanen kokee sähkömagneebsen
LisätiedotVirrankuljettajat liikkuvat magneettikentässä ja sähkökentässä suoraan, kun F = F eli qv B = qe. Nyt levyn reunojen välinen jännite
TYÖ 4. Magneettikenttämittauksia Johdanto: Hallin ilmiö Ilmiön havaitseminen Yhdysvaltalainen Edwin H. Hall (1855-1938) tutki mm. aineiden sähköjohtavuutta ja löysi menetelmän, jolla hän pystyi mittaamaan
LisätiedotJohdanto. 1 Teoriaa. 1.1 Sähkönjohtimen aiheuttama magneettikenttä
FYSP105 / K2 HELMHOLTZIN KELAT Johdanto Työssä mitataan ympyränmuotoisten johdinkelojen tuottamaa magneettikenttää kelojen läheisyydessä sekä sähkövirran että etäisyyden funtiona. Sähkömagnetismia ja työssä
LisätiedotFysiikka 1. Coulombin laki ja sähkökenttä. Antti Haarto
ysiikka 1 Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto 7.1.1 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä voi syntyä
LisätiedotFYSP1082 / K4 HELMHOLTZIN KELAT
FYSP1082 / K4 HELMHOLTZIN KELAT Johdanto Työssä mitataan ympyränmuotoisten johdinkelojen tuottamaa magneettikenttää kelojen läheisyydessä sekä sähkövirran että etäisyyden funktiona. Sähkömagnetismia ja
LisätiedotMagneettikenttä ja sähkökenttä
Magneettikenttä ja sähkökenttä Gaussin laki sähkökentälle suljettu pinta Ampèren laki suljettu käyrä Coulombin laki Biot-Savartin laki Biot-Savartin laki: Onko virtajohdin entisensä? on aina kuvan tasoon
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 14: Indusoitunut sähkömotorinen voima ja kertausta magneettikentistä
ATE112 taattinen kenttäteoria kevät 217 1 / 5 Tehtävä 1. Alla esitetyn kuvan mukaisesti y-akselin suuntainen sauvajohdin yhdistää -akselin suuntaiset johteet (y = ja y =,5 m). a) Määritä indusoitunut jännite,
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotSähkökentät ja niiden laskeminen I
ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA
LisätiedotElektrodynamiikka, kevät 2008
Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä
Lisätiedot1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 6 1.4 Kirjallisuutta...........................
Lisätiedot33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ
TYÖOHJE 14.7.2010 JMK, TSU 33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ Laitteisto: Kuva 1. Kytkentä solenoidin ja toroidin magneettikenttien mittausta varten. Käytä samaa digitaalista jännitemittaria molempien
Lisätiedot4. Gaussin laki. (15.4)
Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien
LisätiedotFYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ
FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ Työssä perehdytään johteissa ja tässä tapauksessa erityisesti puolijohteissa esiintyvään Hallin ilmiöön, sekä määritetään sitä karakterisoivat Hallin vakio, varaustiheys
LisätiedotLuku Ohmin laki
Luku 9 Sähkövirrat Sähkövirta määriteltiin kappaleessa 7.2 ja huomattiin, että magneettikenttä syntyy sähkövirtojen vaikutuksesta. Tässä kappaleessa tarkastellaan muita sähkövirtaan liittyviä seikkoja
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
Lisätiedot2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................
LisätiedotYdin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus 1 Ratkaisut 1
Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus Ratkaisut Tehtävä i) Isotoopeilla on sama määrä protoneja, eli sama järjestysluku Z, mutta eri massaluku A. Tässä isotooppeja keskenään ovat 9 30 3 0 4Be ja 4 Be, 4Si,
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit
KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ MIKKO LAINE 2. kesäkuuta 2015 1. Johdanto Tässä työssä määritämme Maan magneettikentän komponentit, laskemme totaalikentän voimakkuuden ja monitoroimme magnetometrin
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
Lisätiedot5 Magneettiset materiaalit
5 Magneettiset materiaalit 5.1 Magnetoituma Samoin kuin sähkökenttään asetettu eriste muuttaa sähkökenttää, muuttaa magneettikenttään asetettu aine magneettikenttää. Tämä aiheutuu atomien tai molekyylien
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
Lisätiedot34.2 Ulkoisen magneettikentän vaikutus ferromagneettiseen aineeseen
34 FERROMAGNETISMI 34.1 Johdanto Jaksollisen järjestelmän transitiometalleilla on täyden valenssielektronikuoren (s-kuori) alapuolella vajaa d-elektronikuori. Tästä seuraa, että transitiometalliatomeilla
LisätiedotRATKAISUT: 18. Sähkökenttä
Physica 9 1. painos 1(7) : 18.1. a) Sähkökenttä on alue, jonka jokaisessa kohdassa varattuun hiukkaseen vaikuttaa sähköinen voia. b) Potentiaali on sähkökenttää kuvaava suure, joka on ääritelty niin, että
Lisätiedot4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 FYSIIKAN LABORATORIO V 1.6 5.014 4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TYÖN TAVOITE Työssä tutkitaan vitajohtimen aiheuttamaa magneettikentää. VIRTAJOHTIMEN SYNNYTTÄMÄ MAGNEETTIKENTTÄ
LisätiedotSOVELLUS: SYKLOTRNI- KIIHDYTIN
SOVELLUS: SYKLOTRNI- KIIHDYTIN sähköken+ä levyjen välissä vaihtuu jaksollisesj taajudella f cyc, niin e+ä se kiihdy+ää vara+ua hiukkasta aina kun se kulkee välikön ohi. potenjaali ΔV oskilloi ns. syklotroni
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
LisätiedotVEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT
VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT 1/32 2 VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT Kenttäilmiöt Sähkö- ja magneettikentät Vaikeasti havaittavissa ihmisen aistein!
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotMagneettikenttä väliaineessa
Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaan tyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 13. lokakuuta 2016 Luentoviikko 7 Dynaamiset kentät (Ulaby, luku 6) Maxwellin yhtälöt Faradayn induktiolaki ja Lenzin laki Muuntaja Generaattori
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotVAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633. Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI.
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633 Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI Sivumäärä: 10 Jätetty tarkastettavaksi: 06.03.2008 Työn tarkastaja Maarit
Lisätiedotkaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ
58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,
LisätiedotSÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017
SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMagneettikenttä väliaineessa
Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaan tyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotHALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA
1 ALLIN ILMIÖ MOTIVOINTI allin ilmiötyössä tarkastellaan johteen varauksenkuljettajiin liittyviä suureita Työssä nähdään kuinka all-kiteeseen generoituu all-jännite allin ilmiön tutkimiseen soveltuvalla
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Peruskäsitteet Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet sähkövaraus teho ja energia potentiaali ja jännite sähkövirta Tarkoitus on määritellä sähkötekniikan
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotTietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan
3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
LisätiedotSÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017
SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä
Lisätiedot- Kahden suoran johtimen välinen magneettinen vuorovaikutus I 1 I 2 I 1 I 2. F= l (Ampèren laki, MAOL s. 124(119) Ampeerin määritelmä (MAOL s.
7. KSS: Sähkömagnetismi (FOTON 7: PÄÄKOHDAT). MAGNETSM Magneettiset vuoovaikutukset, Magneettikenttä B = magneettivuon tiheys (yksikkö: T = Vs/m ), MAO s. 67, Fm (magneettikenttää kuvaava vektoisuue; itseisavona
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotHarjoitustehtäviä kokeeseen: Sähköoppi ja magnetismi
Harjoitustehtäviä kokeeseen: Sähköoppi ja magnetismi 3. Selitä: a. Suljettu virtapiiri Suljettu virtapiiri on sähkövirran reitti, jonka muodostavat johdot, paristot ja komponentit. Suljetussa virtapiirissä
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Lisätiedot