766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN"

Transkriptio

1 766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Laske nämä tehtävät, jos koet, että sinulla on aukkoja Soveltavan sähkömagnetiikan perusasioiden hallinnassa. Älä välitä tehtävien numeroinnista. Alussa ovat tehtävät, myöhemmin ratkaisut. TEHTÄVÄT

2

3

4

5 RATKAISUT: RATKAISU: Sähköisen varauksen lähettämä sähkökentän vuo riippuu ainoastaan varauksen suuruudesta. Suljetun pinnan läpi tulevaan sähkökentän vuohon vaikuttaa ainoastaan pinnan sisäpuolella oleva kokonaisvaraus. Ulkopuoliset varaukset eivät vaikuta tähän vuohon. Suljetun pinnan läpi menevän sähkökentän vuo on a) Pinnan S 1 läpi kulkeva vuo b) Pinnan S 2 läpi kulkeva vuo c) Pinnan S 3 läpi kulkeva vuo d) Pinnan S 4 läpi kulkeva vuo d) Pinnan S 4 läpi kulkeva vuo e) Riippuvatko edellä olevat vastaukset siitä, miten sähkövaraus on jakautunut pintojen sisällä? Eivät riipu, sillä varaus lähettää ympärilleen tietyn vuon riippumatta varauksen paikasta, muodosta tai (geometrisesta) koosta. Ainoastaan varauksen suuruus vaikuttaa. Suljetun pinnan läpi kulkee kaikki vuo, mitä sisäpuolella olevista varauksista lähtee.

6 RATKAISU: E R Anita Aikion peruskurssin monisteesta Pallosymmetrisessä tapauksessa:

7 a) Yllä olevan yhtälön mukaan kokonaissähkövaraus on Miinus tulee siitä, että sähkökentän suunta on kohden Marsin keskipistettä. (Sähkökentän suunta on se suunta, mihin positiivinen varaus kulkisi.) b) Yllä olevasta yhtälöstä saadaan myös c) Anita Aikion peruskurssin monisteesta: Nyt Muista vielä, että

8 RATKAISU:

9 RATKAISU: a) Lasketaan aluksi sähkökenttä ulkokuoren ja sisäsylinterin välissä. Tässä käsittelyssä voidaan ulkokuori unohtaa, koska se ei vaikuta sisäpuolella olevaan kenttään. L Gaussin suljettu pinta Gaussin laki: E d A S Q sis 0 Nyt valitaan Gaussin pinnaksi sylinteri, jonka pituus on L ja pohjan säde r (> a). Lasketaan ensin yhtälön vasen puoli. d A on pinta-alkiovektori. Sen itseisarvo eli suuruus on pinta-alkion da suuruinen ja sen suunta on kohtisuoraan pintaa vastaan. (Kuvassa käytetään on sama asia.) E on sähkökenttä ja se on tällaisen äärettömän pitkän langan tapauksessa kohtisuorassa lankaa vastaan. d S -vektoria, mutta se

10 Kuvasta nähdään, että Gaussin pintana toimivan sylinterin vaipalla E ja d A ovat yhdensuuntaisia. Gaussin sylinterin päissä sen sijaan E ja d A ovat kohtisuorassa. Miten käy pistetulon E d A? Kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, niiden välinen pistetulo tulee nollaksi. Näin käy Gaussin sylinterin päissä. Kun vektorit ovat yhdensuuntaisia, niiden välinen pistetulo tulee pelkäksi itseisarvojen tuloksi eli tässä tapauksessa EdA:ksi. Näin käy vaipalla. (Edellä on sovellettu kaavaa: A B A B cos, missä α on vektoreiden A ja B välinen kulma.) Paloitellaan Gaussin lain vasen puoli: E d A E d A E d A EdA 0 EdA E da E S vaippa päät vaippa vaippa vaippa 2rL E saatiin ottaa pois integraalimerkin sisältä, sillä sähkökentän itseisarvo E on vakio vaipan alueella, koska vaippa on vakioetäisyydellä r sisäsylinterin pinnasta. Tällöin integraali: da vaippa kuvaa pelkkää vaipan alaa, joka on 2πrL. Gaussin lain vasen puoli saatiin kuntoon. Nyt oikea puoli: Q sis tarkoitti Gaussin pinnan sisään jäävää varausta. Lasketaan siis Gaussin sylinterin sisään jäävä varaus. Gaussin sylinterin pituus on L. Sisäsylinterissä on varaus pituusyksikköä kohden λ, joten Gaussin sylinterin sisään jää Q sis = Lλ. Nyt saadaan Gaussin laki muotoon: L E 2rL E r b) Ulomman sylinterikuoren ulkopuolella tilanne on täsmälleen samanlainen kuin kohdassa a). Jos piirretään Gaussin pinta siten, että vaippa on ulomman sylinterin ulkopuolella, Q sis on edelleen sama Lλ. (Perustelut esitetään d)-kohdassa.) Gaussin lain vasemmasta puolesta tulee myös sama. Eli ulomman sylinterikuoren ulkopuolella on myös E 2 0 r

11 c) Sähkökenttä r:n funktiona noudattaa alla olevaa kuvaajaa. r on etäisyys sylinterisysteemin keskiakselista. d) Johteen sisällä sähkökenttä on nolla. Siitä syystä ulkokuoren sisäpinnalla täytyy olla itseisarvoltaan sama mutta vastakkaismerkkinen varaus kuin sisäsylinterissä. Näin Gaussin laki toteutuu. Tästä puhuttiin tehtävässä 7. Jotta ulkosylinterin kokonaisvaraus olisi nolla, täytyy ulkopinnalla olla vastakkainen varaus. Varaustiheys ulkosylinterin sisäpinnalla = - λ Varaustiheys ulkosylinterin ulkopinnalla = λ

12 RATKAISU: Lasketaan aluksi sähkökenttä sylinterin ulkopuolella käyttäen Gaussin lakia Gaussin laki on E d A S Q sis 0 L Gaussin suljettu pinta Nyt valitaan Gaussin pinnaksi sylinteri, jonka pituus on L ja pohjan säde r. Lasketaan ensin yhtälön vasen puoli. d A on pinta-alkiovektori. Sen itseisarvo eli suuruus on pinta-alkion da suuruinen ja sen suunta on kohtisuoraan pintaa vastaan. (Kuvassa käytetään d S -vektoria, mutta se on sama asia.) E on sähkökenttä ja se on tällaisen pitkän sylinterin tapauksessa kohtisuorassa lankaa vastaan. Kuvasta nähdään, että Gaussin pintana toimivan sylinterin vaipalla E ja d A ovat yhdensuuntaisia. Gaussin sylinterin päissä sen sijaan E ja d A ovat kohtisuorassa. Miten käy pistetulon E d A? Kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, niiden välinen pistetulo tulee nollaksi. Näin käy Gaussin sylinterin päissä. Kun vektorit ovat yhdensuuntaisia, niiden välinen pistetulo tulee pelkäksi itseisarvojen tuloksi eli tässä tapauksessa EdA:ksi. Näin käy vaipalla. (Edellä on sovellettu kaavaa: A B A B cos, missä α on vektoreiden A ja B välinen kulma.)

13 Paloitellaan Gaussin lain vasen puoli: E d A E d A E d A EdA 0 EdA E da E S vaippa päät vaippa vaippa vaippa 2rL E saatiin ottaa pois integraalimerkin sisältä, sillä sähkökentän itseisarvo E on vakio vaipan alueella, koska vaippa on vakioetäisyydellä r varatun sylinterin akselista. Tällöin integraali: da vaippa kuvaa pelkkää vaipan alaa, joka on 2πrL. Gaussin lain vasen puoli saatiin kuntoon. Nyt oikea puoli: Q sis tarkoitti Gaussin pinnan sisään jäävää varausta. Lasketaan siis Gaussin sylinterin sisään jäävä varaus. Gaussin sylinterin pituus on L. Varatussa sylinterissä on varaus pituusyksikköä kohden λ, joten Gaussin sylinterin sisään jää Q sis = Lλ. Tästä on puhuttu Anita Aikion peruskurssin luentomateriaalissa: Nyt saadaan Gaussin laki muotoon: L E 2rL E 0 2 Sähkökentän suunta on suoraan poispäin johtavasta sylinteristä eli yksikkövektori rˆ :n suunta. Tätä suuntaa ei saada Gaussin laista, vaan se pitää laskea muulla tavalla tai päätellä. Lasketaan seuraavaksi varatun sylinterin aiheuttama potentiaaliero kahden pisteen välillä Anita Aikion peruskurssin luentomonisteesta: 0 r

14 Nyt sylinterin keskiakselista lasketun kahden eri etäisyyden välinen potentiaaliero on ( ) ( ) Tässä R on sylinterin säde ja r jokin etäisyys sylinterin keskiakselista (r > R). Tiedetään potentiaaliero V R V r (= 175 V) ja nyt pitäisi laskea se etäisyys r, jolla potentiaaliero sylinterin pintaan nähden on tuo annettu arvo. Haasteena voi olla r:n ratkaiseminen lausekkeesta luonnollisen logaritmin sisältä. Näin se menee: ( ) Korotetaan kumpikin puoli e:n potenssiin ja muistetaan, että ( ) ( ) R r = 2,28 cm Laskussa on käytetty seuraavia lukuarvoja: V R V r = 175 V R = 0,025 m λ = C/m

15 RATKAISU: Lainataanpa Anita Aikion peruskurssin materiaalia: Lasketaan ensin sähkökentän suuruus ja mietitään sen jälkeen suuntia. Yllä olevan yhtälön mukaan (Muista, että T = Vs/m 2 ) Sähkökentän suuruus on nyt laskettu. Se on sama a)-kohdassa ja b)-kohdassa, koska se ei riipu varauksen suuruudesta.

16 Mietitään nyt suuntia. Magneettikentän aiheuttaman voiman suunta positiivisesti varattuun liikkuvaan hiukkaseen saadaan oikean käden kolmisormisäännöstä: PEUKALO osoittaa hiukkasen nopeuden suuntaan, ETUSORMI magneettikentän suuntaan, KESKISORMI voiman suuntaan. Negatiivisesti varattuun liikkuvaan hiukkaseen vaikuttaa vastakkaissuuntainen voima. v B F (Kuva sivulta muokattu) Vektoreina vielä tämä sama: q> 0 B (etusormi) v (peukalo) B v F q< 0 F (keskisormi) Sähkökentälle suunnat menevät seuraavasti: Positiivinen varaus liikkuu sähkökentän suuntaan, negatiivinen varaus sähkökenttää vastaan. F F E q< 0 q> 0

17 a) On kyseessä positiivinen varaus. Nopeuden suunta on +y akselin suunta ja B kentän suunta on z akselin suunta. Kolmisormisäännön mukaan magneettikentän aiheuttaman voiman FB suunta on x -akselin suunta. Jotta magneettikentän aiheuttama voima kumoutuisi, sähkökentän aiheuttaman voiman FE suunta täytyy olla +x akselin suuntaan. Nyt on kyseessä positiivinen varaus, joten sähkökentän suunnan täytyy olla myös +x akselin suuntaan. Vastaus: ( ) q> 0 v B FB E FE a) On kyseessä negatiivinen varaus. Nopeuden suunta on +y akselin suunta ja B kentän suunta on z akselin suunta. Kolmisormisäännön mukaan magneettikentän aiheuttaman voiman FB suunta on x -akselin suunta positiiviselle varaukselle, joten tälle negatiiviselle varaukselle suunta on +x akselin suunta. Jotta magneettikentän aiheuttama voima kumoutuisi, sähkökentän aiheuttaman voiman FE suunta täytyy olla x -akselin suuntaan. Nyt on kyseessä negatiivinen varaus, joten sähkökentän suunnan täytyy olla +x akselin suuntaan. Vastaus: ( ) q< 0 v B FE FB E

18 RATKAISU: Tässä tehtävässä tutkitaan magneettikentän virtajohtimeen aiheuttamaa voimaa Anita Aikion peruskurssin materiaalissa on asiasta muun muassa seuraavaa: Oikean käden kolmisormisääntöä virtajohtimelle on demonstroitu seuraavissa kuvassa, joka on sivulta FB (keskisormi) B (etusormi) I (peukalo)

19 a) Tämän tehtävän metallisauvassa kulkee virta vasemmalta oikealle, koska virta kulkee jännitelähteen plus-navasta (piirikaaviossa pitkä viiva) kohti miinus-napaa. Magneettikentän suunta on katsojasta poispäin eli kohtisuoraan paperin sisään. Täten magneettikentän metallisauvaan aiheuttaman voiman suunta on ylöspäin. Koska magneettikenttä on kohtisuorassa virran suuntaa vastaan, voiman suuruuden lauseke voidaan kirjoittaa muotoon Maan vetovoima on alaspäin. Sen lauseke on tunnetusti Kun sauva juuri ja juuri pysyy paikoillaan Virran suuruutta ei ole annettu, mutta on annettu resistanssi. Jännitettä kysytään, joten eliminoidaan virta I yhtälöstä tutun puimuri-kaavan V = RI avulla. b) Resistanssin yhtäkkisen pienenemisen myötä virta kasvaa äkkiä ja samalla kasvaa magneettikentän metallisauvaan aiheuttama voima. Sauva saa kiihtyvyyden, joka voidaan laskea mekaniikasta tutun liikeyhtälön avulla:

20 Magneettikentän virtajohtimeen aiheuttamaa voimaa käsiteltiin jo edellisessä tehtävässä: Magneettikentän virtasilmukkaan aiheuttamaa vääntömomenttia (voiman momenttia) käsitellään Anita Aikion peruskurssin materiaalissa seuraavasti:

21 a) Silmukkamme päältä päin katsottuna ja jokaiseen sivuun vaikuttavat voimat: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -F I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x F x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -F I F x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x B kohtisuoraan I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x paperin sisään eli x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x poispäin katsojasta. Voimien suunta on saatu kolmisormisäännön avulla: FB (keskisormi) B (etusormi) I (peukalo) Virtajohtimeen vaikuttavan voiman lauseke on Vastakkaisten sivujen pituus on yhtä suuri, mutta vektorisuunta vastakkainen. (Sivun vektorisuunta on sama kuin virran suunta.) Magneettikenttä ja virta ovat samat. Vastakkaisiin sivuihin vaikuttavat voimat ovat yhtä suuret mutta vastakkaissuuntaiset, joten voimat kumoavat toisensa. Virtasilmukkaan vaikuttavien voimien summa on nolla.

22 Silmukkamme sivulta päin katsottuna ja magneettinen momentti: μ B I Virtasilmukkaan vaikuttavan vääntömomentin (voiman momentin) lauseke on Tässä lausekkeessa μ on virtasilmukan magneettinen momentti, jonka suuruus on IA (silmukassa kulkeva virta kertaa silmukan pinta-ala) ja suunta on kohtisuorassa silmukan tasoa vastaan siten, että suunta menee kuvan mukaisesti oikean käden peukalosäännöllä : Nyrkissä olevan käden sormet osoittavat virran suunnan ja pystyssä oleva peukalo magneettisen momentin suunnan. Alla oleva kuva on linkistä Tässä tapauksessa μ ja B ovat vastakkaissuuntaisia. Täten niiden ristitulo on nolla ja silmukkaan vaikuttava magneettinen momentti on myös nolla.

23 b) Nyt silmukkamme on vinosti magneettikenttään nähden, mutta päältä päin katsottuna tilanne on periaatteessa samanlainen. Alla olevaan kuvaan on merkitty jokaiseen sivuun vaikuttavat voimat: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -F I x x x x x x x x x x x x x x x x x -F x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x F I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x F x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x B kohtisuoraan I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x paperin sisään eli x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x poispäin katsojasta. Virtajohtimeen vaikuttavan voiman lauseke on Ristitulo ottaa huomioon silmukan sivuista vain sen komponentin, joka on kohtisuorassa magneettikenttää vastaan. Nämä komponentit ovat edelleen yhtä suuret vastakkaisilla sivuilla. Tilanne on periaatteessa sama kuin a)-kohdassa. Vastakkaisiin sivuihin vaikuttavat voimat ovat yhtä suuret mutta vastakkaissuuntaiset, joten voimat kumoavat toisensa. Virtasilmukkaan vaikuttavien voimien summa on nolla. Silmukkamme sivulta päin katsottuna ja magneettinen momentti: μ B θ =150 o I

24 Virtasilmukkaan vaikuttavan vääntömomentin (voiman momentin) lauseke on Vääntömomentin suuruus on ristitulon ominaisuuksien mukaan, missä θ on vektoreiden μ ja B välinen kulma. Kulma θ = 180 o 30 o = 150 o. (Silmukkaa käännettiin 30 o vaakasuorasta suunnasta, jolloin myös vektori μ kääntyi 30 o lähemmäksi B :n suuntaa. Aluksihan ne olivat vastakkaissuuntaiset.) = 0,081 Nm [Muista, että T = Vs/m 2 ja J = Nm = VAs] Vääntömomentin suunta Katsotaan silmukkaa sivulta: F μ B X μ τ:n suunta ja kiertosuunta -F Koska oikean käden kolmisormisäännön avulla saadaan, että vääntömomentin τ suunta on poispäin katsojasta. (Muista, että ristitulossa magneettisesta momentista μ otetaan huomioon vain se komponentti, joka on kohtisuorassa B :tä vastaan.) Kun τ :n suunta on poispäin katsojasta, se merkitsee, että kiertosuunta on myötäpäivään. Tässä voidaan käyttää oikean käden peukalosääntöä. τ (keskisormi) B (etusormi) μ (peukalo)

25 a) JOHDETAAN PITKÄN SUORAN VIRTAJOHTIMEN AIHETTAMAN MAGNEETTIKENTÄN LAUSEKE Käytetään Ampèren lakia: Bdl 0I sis Yhtälön vasen puoli kuvaa magneettikentän (= magneettivuon tiheyden) integraalia pitkin suljettua käyrää (niin kutsuttua Ampéren silmukkaa). d l on pituusalkiovektori, jonka suuruus on pituusalkio dl ja suunta silmukan suuntainen. Oikea puoli on tyhjiön permeabiliteetti kertaa Ampéren silmukan sisään jäävä kokonaisvirta. Pitkän suoran virtajohtimen tapauksessa valitaan Ampèren silmukaksi r-säteinen ympyrä. Seuraavalla sivulla on kuva tilanteesta ja siihen on merkitty Ampèren silmukka, d l :n suunta ja B :n suunta sekä virran i suunta. B kentän suunta saadaan virran suunnasta oikean käden peukalosäännöllä peukalo osoittaa virran suuntaa, muut sormet magneettikentän suuntaa:

26 Ampèren silmukka i r dl B Virtajohtimen kenttä muodostaa virtajohtimen ympärille ympyröitä, joiden keskipiste on virtajohtimen keskipisteessä. Ampéren lain vasen puoli on siten: B dl Bdl koska B ja dl yhdensuuntaisia vektoreita.. Bdl B dl koska B on vakio koko valitsemamme silmukan alueella. B dl B 2 r eli integraali dl on vain silmukan pituus. Yhtälön oikealla puolella μ0 on tyhjiön permeabiliteetti ja ISIS silmukan sisään jäävät virta, joka on tässä tapauksessa vain johtimen virta i. Oikea ja vasen puoli yhdistettynä on siis: 0i B 2r 0i B 2r Tämä on pitkän suoran virtajohtimen magneettikenttä etäisyydellä r johtimesta (tarkemmin sanottuna johtimen keskiakselista).

27 b) i r dr a L b Tässä tehtävässä pitäisi määrittää se magneettivuo dφb, mikä menee yllä olevassa kuvassa olevan ohuen (sinisen) kaistaleen läpi. Magneettivuosta on Anita Aikion peruskurssin materiaalissa kerrottu seuraavaa:

28 Sininen kaistale on hyvin kapea (äärettömän kapea), joten voimme olettaa, että B -kenttä on vakio kaistaleen alueella. Lisäksi B kenttä ja kaistale ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten pinta(-alkio)vektori on yhdensuuntainen B kentän kanssa. Kaistaleen pinta-ala da = Ldr. Nyt voimme kirjoittaa: Koko silmukan läpi menevä vuo saadaan integroimalla yllä oleva lauseke (ainoan) paikkamuuttujan r suhteen, joka muuttuu a :sta b :hen: [ ] Indusoituvasta lähdejännitteestä kerrotaan Anita Aikion peruskurssin monisteessa näin: Tässä tapauksessa vuon lausekkeessa ainoa aikamuuttuja on i : [ ]

29 c) Lasketaan vielä lukuarvo edellä esitetylle lähdejännitteelle: [ ] [ ]

30 θ =37 o B A Teoriaa tähän laskuun löytyy edellisestä tehtävästä. Kun silmukka, jossa on N johdinkierrosta, pyörähtää asennosta toiseen, siihen indusoituva (hetkellinen) lähdejännite on Nyt lasketaan keskimääräistä lähdejännitettä. Voimme laskea sen niin, että lasketaan vuon muutos jaettuna ajalla ja kerrottuna kierrosten lukumäärällä: Silmukan läpi menevä vuo on: missä θ on kenttäviivojen ja pinta-alavektorin välinen kulma. Pinta-alavektori ja silmukan pinta ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Nyt kun silmukan taso on alussa 37 asteen kulmassa magneettikentän kenttäviivoihin nähden, kulma θ on 90 o 37 o = 53 o. Lopussa, kun silmukan taso on kohtisuorassa kenttää vastaan, kulma θ on 0 o.

31 Lasketaan vuo alussa ja lopussa: missä a ja b ovat silmukan sivujen pituudet. Keskimääräinen lähdejännite on nyt ( ) ( )

32 Johdinsilmukkaan indusoituu lähdejännite silloin, kun magneettikentän vuo silmukan sisällä muuttuu. Magneettikentän vuo lasketaan ulkoisesta magneettikentästä ja silmukan pinta-alasta seuraavasti: Tässä vektori on pinta-alavektori, jonka suunta on kohtisuorassa pintaa vastaan. Tässä tapauksessa ja ovat yhdensuuntaisia, joten vuo on Tässä A on se osa silmukasta, jossa magneettikenttää on. Lähdejännite syntyy vuon muutoksesta seuraavalla tavalla:. a) Silmukan läpi kulkeva vuo ei muutu, koska silmukka on koko ajan vakiomagneettikentässä ε = 0 b) Silmukkaan syntyy lähdejännite seuraavalla tavalla: ( ) ( ) ( ) Eli silmukan läpi kulkeva magneettikentän vuo muuttuu pinta-alan muutoksen takia. (Tässä tarkoitetaan sitä pinta-alaa, millä alueella on magneettikenttää. Magneettikenttä pysyy vakiona.) Alla oleva kuva voi selventää asiaa:

33 x x x x x x x x x x x x x x x x x x B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x v c) Silmukka on kokonaan magneettikentän ulkopuolella. Silmukan läpi kulkeva vuo ei muutu ε = 0

34 JOHDETAAN PITKÄN SUORAN SOLENOIDIN SISÄLLÄ VAIKUTTAVAN MAGNEETTIKENTÄN LAUSEKE Olkoon solenoidissa n johdinkierrosta pituusyksikössä ja olkoon johdinkierroksissa kulkeva virta I. Käytetään Ampèren lakia: Bdl 0I sis Yhtälön vasen puoli kuvaa magneettikentän (= magneettivuon tiheyden) integraalia pitkin suljettua käyrää (niin kutsuttua Ampéren silmukkaa). d l on pituusalkiovektori, jonka suuruus on pituusalkio dl ja suunta silmukan suuntainen. Oikea puoli on tyhjiön permeabiliteetti kertaa Ampéren silmukan sisään jäävä kokonaisvirta. Valitaan pitkän suoran solenoidin tapauksessa Ampèren silmukaksi suorakaide, jonka leveys on a ja korkeus b. Alla on kuva tilanteesta ja siihen on merkitty Ampèren silmukka, d l :n suunta ja B :n suunta. Ampèren silmukka 2 a 4 dl 3 B 1 dl Lasketaan Ampéren lain vasen puoli siten, että paloitellaan integraali B dl Ampèren silmukkana toimivan suorakulmion eri sivuille. Huomaa kuvasta, että sivut on numeroitu.

35 B dl Sivu 1: 1 1 B dl 2 B dl 3 B dl 4 B dl 1 Bdl B dl Bdl koska B ja dl ovat yhdensuuntaisia vektoreita. 1 Sivu 2: B dl 0 koska B ja dl ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. 2 Sivu 3: B dl 0 koska magneettikenttä on nolla solenoidin ulkopuolella. 3 Oletimme, että solenoidi on hyvin pitkä, joten magneettikentän kenttäviivat kaartavat hyvin kaukaa takaisin solenoidin toisesta päästä sisään. Sivu 4: B dl 0 koska B ja dl ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. 4 Voimme nyt unohtaa sivut 2, 3, ja 4 ja keskittyä sivuun 1. 1 B dl 1 Bdl B 1 dl Ba B saatiin ottaa ulos integraalimerkin alta, koska se on (suunnilleen) vakio solenoidin sisällä. Nyt integraali dl tarkoittaa pelkästään sivun 1 pituutta a. 1 Ampèren lain vasen puoli on nyt laskettu. Lasketaan vielä oikea puoli ja yhdistetään tulokset. Yhtälön oikealla puolella μ0 on tyhjiön permeabiliteetti ja ISIS Ampèren silmukan sisään jäävät virrat. Silmukan sisään jää virrat NI missä N on Ampèren silmukan sisään jäävien johdinkierrosten lukumäärä. Koska pituusyksikköä kohden on n johdinkierrosta, a :n pituisessa solenoidin pätkässä on na johdinkierrosta. Ampèren lain oikea puoli on siis 0 I sis 0 nai Yhdistetään oikea puoli ja vasen puoli ja ratkaistaan B: Ba 0naI B 0nI

36 Nyt viimein saimme pitkän suoran solenoidin sisään jäävän magneettikentän lausekkeen. Laskemme nyt vuon, jonka tämä magneettikenttä aiheuttaa tämän tehtävän primäärikäämissä eli sisemmässä käämissä: Tämä sama vuo kulkee myös sekundäärikäämin läpi, koska solenoidien johdinkierrokset on käämitty päällekkäin, eli voidaan kirjoittaa Sekundäärikäämiin indusoituva lähdejännite on nyt: ( ) Voidaan ajatella, että virta pienenee tasaisesti, jolloin di1/dt on ΔI1 Δt eli virran muutos annetussa ajassa. ( ) 0,95 mv ( )

37 L B Poikkipinta-ala A a) Edellisessä tehtävässä johdettiin magneettikenttä pitkän suoran solenoidin sisällä. Sovelletaan tätä sisempänä olevaan kelaan eli primäärikelaan: Tässä yhtälössä n1 on johdinkierroksia/pituusyksikkö. Usein annetaan johdinkierrosten kokonaislukumäärä N1 ja solenoidin pituus L1. Niin tehdään tässäkin tehtävässä. Teemme helpon muunnoksen Lasketaan magneettivuo sisemmän solenoidin läpi. Magneettivuon yhtälö on Solenoidin sisällä magneettikenttä B 1 on kohtisuorassa poikkipintaa vastaan ja siten yhdensuuntainen poikkipinta-alavektorin A1 kanssa, jolloin cosθ1 = 1. Yllä olevasta yhtälöstä saadaan, kun sijoitamme A π(d1/2) 2, missä d1 on halkaisija:

38 ( ) ( ) b) Anita Aikion peruskurssin luentomateriaalista löytyy yhtälö keskinäisinduktanssille: Laskimme edellä vuon primäärikäämin sisällä eli ΦB1:n. Koska sekundäärikäämi on kierretty tiukasti primäärikäämin ympärille, sen läpi kulkee sama vuo kuin primäärikäämissäkin eli ΦB2=ΦB1. Keskinäisinduktanssi on nyt ( ) ( ) Huomaa: H = Vs/A c) Lasketaan lopuksi sekundäärikelaan indusoitunut lähdejännite: ( ) ( )

39 JOHDETAAN TOROIDIN SISÄLLÄ VAIKUTTAVAN MAGNEETTIKENTÄN LAUSEKE Olkoon toroidissa N johdinkierrosta ja olkoon johdinkierroksissa kulkeva virta I. Käytetään Ampèren lakia: Bdl 0I sis Yhtälön vasen puoli kuvaa magneettikentän (= magneettivuon tiheyden) integraalia pitkin suljettua käyrää (niin kutsuttua Ampéren silmukkaa). d l on pituusalkiovektori, jonka suuruus on pituusalkio dl ja suunta silmukan suuntainen. Oikea puoli on tyhjiön permeabiliteetti kertaa Ampéren silmukan sisään jäävä kokonaisvirta. Valitaan toroidin tapauksessa Ampèren silmukaksi ympyrä, jonka säde on R. Alla on kuva tilanteesta ja siihen on merkitty Ampèren silmukka, d l :n suunta ja B :n suunta. Toroidin sisällä magneettikentän kenttäviivat ovat toroidin suuntaisia ympyröitä. Toroidin ulkopuolelle magneettikenttä ei pääse. Ampèren silmukka Toroidin poikkipinta-ala A R I B dl

40 Lasketaan Ampéren lain vasen puoli: ja ovat yhdensuuntaisia, joten niiden pistetulosta tulee Bdl. Lisäksi B on vakio toroidin sisällä, joten se vodaan ottaa integraalimerkin eteen. Integraali tarkoittaa pelkästään toroidin pituutta joka on tässä tapauksessa πr. Ampèren lain vasen puoli on nyt laskettu. Lasketaan vielä oikea puoli ja yhdistetään tulokset. Yhtälön oikealla puolella μ0 on tyhjiön permeabiliteetti ja ISIS Ampèren silmukan sisään jäävät virrat. Silmukan sisään jäävät virrat NI missä N on Ampèren silmukan sisään jäävien johdinkierrosten lukumäärä. Ampèren lain oikea puoli on siis 0 I sis 0 NI Yhdistetään oikea puoli ja vasen puoli ja ratkaistaan B: 0NI B 2R 0NI B 2R Tämä on toroidin sisään jäävän magneettikentän lauseke. a) Lasketaan toroidin itseinduktanssin lauseke. Anita Aikion peruskurssin monisteessa kerrotaan itseinduktanssista seuraavaa:

41 Laskemme siis ensimmäiseksi magneettikentän vuon toroidin sisällä: Tästä saadaan itseinduktanssi Muista: H = Vs/A b) Lasketaan toroidiin indusoitunut lähdejännite kun virta muuttuu ΔI = 5,00 A ajassa Δt = 3,00 ms. Lähdejännitteen yhtälö saadaan Anita Aikion peruskurssin materiaalista: ( ) c) Virta toroidissa pienenee, jolloin myös sen aiheuttama magneettikenttä pienenee. Indusoitunut virta yrittää vastustaa muutosta ja ylläpitää alkuperäisen virran aiheuttamaa magneettikenttää eli se on samansuuntainen alkuperäisen virran kanssa. Lähdejännite on indusoituneen virran suuntainen eli a b.

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0

Lisätiedot

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri

Lisätiedot

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain

Lisätiedot

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän 3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina

Lisätiedot

a P en.pdf KOKEET;

a P  en.pdf KOKEET; Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten

Lisätiedot

SIS. Vinkkejä Ampèren lain käyttöön laskettaessa magneettikenttiä:

SIS. Vinkkejä Ampèren lain käyttöön laskettaessa magneettikenttiä: Magneettikentät 2 SISÄLTÖ: Ampèren laki Menetelmän valinta Vektoripotentiaali Ampèren laki Ampèren lain avulla voidaan laskea maneettikenttiä tietyissä symmetrisissä tapauksissa, kuten Gaussin lailla laskettiin

Lisätiedot

Sähkökentät ja niiden laskeminen I

Sähkökentät ja niiden laskeminen I ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä

Lisätiedot

SATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 14: Indusoitunut sähkömotorinen voima ja kertausta magneettikentistä

SATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 14: Indusoitunut sähkömotorinen voima ja kertausta magneettikentistä ATE112 taattinen kenttäteoria kevät 217 1 / 5 Tehtävä 1. Alla esitetyn kuvan mukaisesti y-akselin suuntainen sauvajohdin yhdistää -akselin suuntaiset johteet (y = ja y =,5 m). a) Määritä indusoitunut jännite,

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän

Lisätiedot

Fysiikka 7. Sähkömagnetismi

Fysiikka 7. Sähkömagnetismi Fysiikka 7 Sähkömagnetismi Magneetti Aineen magneettiset ominaisuudet ovat seurausta atomiydintä kiertävistä elektroneista (ytimen kiertäminen ja spin). Magneettinen vuorovaikutus Etävuorovaikutus Magneetilla

Lisätiedot

Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä

Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: S d S Q sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

Coulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q

Coulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =

Lisätiedot

Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen

Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen EMC - Kaapelointi ja kytkeytyminen Kaapelointi merkittävä EMC-ominaisuuksien kannalta yleensä pituudeltaan suurin elektroniikan osa > toimii helposti antennina

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ TYÖOHJE 14.7.2010 JMK, TSU 33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ Laitteisto: Kuva 1. Kytkentä solenoidin ja toroidin magneettikenttien mittausta varten. Käytä samaa digitaalista jännitemittaria molempien

Lisätiedot

Kuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/

Kuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/ 8 SÄHKÖMAGNETISMI 8.1 Yleistä Magneettisuus on eräs luonnon ilmiö, joka on tunnettu jo kauan, ja varmasti jokaisella on omia kokemuksia magneeteista ja magneettisuudesta. Uudempi havainto (1820, Christian

Lisätiedot

Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista

Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Johteet ja eristeet käyttäytyvät sähkökentässä eri tavalla. Koska johteessa on vaaasti liikkuvia varauksia, ne siirtyvät joko sähkökentän suuntaan (ositiiviset varaukset)

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches

Lisätiedot

Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus. kun asetetaan V( ) = 0

Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus. kun asetetaan V( ) = 0 Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus kun asetetaan V( ) = 0 Potentiaali ja sähkökenttä: tasaisesti varautut levyt Tiedämme edeltä: sähkökenttä E on vakio A B Huomaa yksiköt: Potentiaalin muutos pituusyksikköä

Lisätiedot

Magneettikentät ja niiden määrittäminen

Magneettikentät ja niiden määrittäminen Magneettikentät ja niiden määrittäminen SSÄLTÖ: Magneettinen voima Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Tasavirrat Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Magneettinen momentti iot-savartin

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

Johdanto. 1 Teoriaa. 1.1 Sähkönjohtimen aiheuttama magneettikenttä

Johdanto. 1 Teoriaa. 1.1 Sähkönjohtimen aiheuttama magneettikenttä FYSP105 / K2 HELMHOLTZIN KELAT Johdanto Työssä mitataan ympyränmuotoisten johdinkelojen tuottamaa magneettikenttää kelojen läheisyydessä sekä sähkövirran että etäisyyden funtiona. Sähkömagnetismia ja työssä

Lisätiedot

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista?

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

Eristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä

Eristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä risteet Johdannoksi vähän sähköisestä diolista Diolin muodostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. +q - q a Jos diolin varauksien itseisarvo on

Lisätiedot

Sähköstatiikasta muuta. - q. SISÄLTÖ Sähköinen dipoli Kondensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä

Sähköstatiikasta muuta. - q. SISÄLTÖ Sähköinen dipoli Kondensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköstatiikasta muuta SISÄLTÖ Sähköinen ipoli Konensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköinen ipoli Tässä on aluksi samaa asiaa kuin risteet -kappaleen alussa ja lopuksi vähän uutta asiaa luentomonisteesta.

Lisätiedot

Magneettikenttä ja sähkökenttä

Magneettikenttä ja sähkökenttä Magneettikenttä ja sähkökenttä Gaussin laki sähkökentälle suljettu pinta Ampèren laki suljettu käyrä Coulombin laki Biot-Savartin laki Biot-Savartin laki: Onko virtajohdin entisensä? on aina kuvan tasoon

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö. Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

RATKAISUT: 21. Induktio

RATKAISUT: 21. Induktio Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Tehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C

Tehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Magneettinen energia

Magneettinen energia Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee

Lisätiedot

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA

Lisätiedot

1.1 Magneettinen vuorovaikutus

1.1 Magneettinen vuorovaikutus 1.1 Magneettinen vuorovaikutus Magneettien välillä on niiden asennosta riippuen veto-, hylkimis- ja vääntövaikutuksia. Magneettinen vuorovaikutus on etävuorovaikutus Magneeti pohjoiseen kääntyvää päätä

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

SOVELLUS: SYKLOTRNI- KIIHDYTIN

SOVELLUS: SYKLOTRNI- KIIHDYTIN SOVELLUS: SYKLOTRNI- KIIHDYTIN sähköken+ä levyjen välissä vaihtuu jaksollisesj taajudella f cyc, niin e+ä se kiihdy+ää vara+ua hiukkasta aina kun se kulkee välikön ohi. potenjaali ΔV oskilloi ns. syklotroni

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633. Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633. Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633 Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI Sivumäärä: 10 Jätetty tarkastettavaksi: 06.03.2008 Työn tarkastaja Maarit

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

RATKAISUT: 18. Sähkökenttä

RATKAISUT: 18. Sähkökenttä Physica 9 1. painos 1(7) : 18.1. a) Sähkökenttä on alue, jonka jokaisessa kohdassa varattuun hiukkaseen vaikuttaa sähköinen voia. b) Potentiaali on sähkökenttää kuvaava suure, joka on ääritelty niin, että

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

34.2 Ulkoisen magneettikentän vaikutus ferromagneettiseen aineeseen

34.2 Ulkoisen magneettikentän vaikutus ferromagneettiseen aineeseen 34 FERROMAGNETISMI 34.1 Johdanto Jaksollisen järjestelmän transitiometalleilla on täyden valenssielektronikuoren (s-kuori) alapuolella vajaa d-elektronikuori. Tästä seuraa, että transitiometalliatomeilla

Lisätiedot

4. Gaussin laki. (15.4)

4. Gaussin laki. (15.4) Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Antti Haarto.05.013 Magneettivuo Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alavektorin A pistetulo Φ B A BAcosθ missä θ on

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Luku 6. reunaehtoprobleemat. 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Reunaehdot. Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan

Luku 6. reunaehtoprobleemat. 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Reunaehdot. Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan Luku 6 Sähköstatiikan reunaehtoproleemat 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan ( φ) = ρ ε 0, (6.1) josta 2 φ = ρ ε 0. (6.2) Tämä tulos on nimeltään

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1 Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla

Lisätiedot

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO

SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO LiikeJla vaiku5aa siihen, miten kentät syntyvät ja miten hiukkaset kokevat kenben väli5ämät vuorovaikutukset ja miltä kentät näy5ävät. Vara5u hiukkanen kokee sähkömagneebsen

Lisätiedot

1. Tasavirta. Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit. Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla

1. Tasavirta. Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit. Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla Fy3: Sähkö 1. Tasavirta Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla Sähkövirta I Sähkövirran suunta on valittu jännitelähteen plusnavasta miinusnapaan (elektronit

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

SOLENOIDIN MAGNEETTIKENTTÄ

SOLENOIDIN MAGNEETTIKENTTÄ SOLENOIDIN MAGNEETTIKENTTÄ 1 Johdanto Tarkastellaan suljettua pyöreää virtasilmukkaa (virta I), jonka säde on R. Biot-Savartin laista voidaan johtaa magneettivuon tiheydelle virtasilmukan keskiakselilla,

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ

FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ Työssä perehdytään johteissa ja tässä tapauksessa erityisesti puolijohteissa esiintyvään Hallin ilmiöön, sekä määritetään sitä karakterisoivat Hallin vakio, varaustiheys

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Peruskäsitteet Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet sähkövaraus teho ja energia potentiaali ja jännite sähkövirta Tarkoitus on määritellä sähkötekniikan

Lisätiedot

Virrankuljettajat liikkuvat magneettikentässä ja sähkökentässä suoraan, kun F = F eli qv B = qe. Nyt levyn reunojen välinen jännite

Virrankuljettajat liikkuvat magneettikentässä ja sähkökentässä suoraan, kun F = F eli qv B = qe. Nyt levyn reunojen välinen jännite TYÖ 4. Magneettikenttämittauksia Johdanto: Hallin ilmiö Ilmiön havaitseminen Yhdysvaltalainen Edwin H. Hall (1855-1938) tutki mm. aineiden sähköjohtavuutta ja löysi menetelmän, jolla hän pystyi mittaamaan

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Magneettikentät ja niiden määrittäminen

Magneettikentät ja niiden määrittäminen Magneettikentät ja niiden määrittäminen SSÄLTÖ: Magneettinen voima Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Tasavirrat Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Magneettinen momentti iot-savartin

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot