Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v.

Transkriptio

1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 2006, 2008 ja 2010 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v ja 2010) Huom.: tämä on vuoden 2010 virallinen versio Sopivaa oheis- ja lisälukemistoa tarjoavat esimerkiksi seuraavat oppikirjat: * B. Bollobás, Linear Analysis. Cambridge Univ. Press, (ytimekäs yleiskirja) * D. Werner, Funktionalanalysis. Springer. (hyvä yleiskirja, saksankielinen) * W. Rudin, Real and Complex Analysis (3. painos). McGraw-Hill, (luvut 3-5, ei kata koko kurssia; lisäksi reaali- ja kompleksianalyysia) * A. Friedman, Foundations of Modern Analysis. Dover, (edullinen ja tiivis yleiskirja, myös mittateoriaa ja reaalianalyysia) * W. Rudin, Functional Analysis. McGraw-Hill, (erilainen sisältö ja rakenne, laaja yleiskirja) * J. Conway, A Course in Functional Analysis. Springer, (yleiskirja) * I. J. Maddox, Elements of Functional analysis. Cambridge Univ. Press, 1977 (perusteellinen, mutta vanhempi yleiskirja)

2 Sisältö 0. Johdanto 1 1. Metriikka ja metrinen avaruus 4 2. Normi ja normiavaruus 8 l p -avaruudet 16 Lineaariset operaattorit Täydellisyys ja Banachin avaruus 31 Vektoriarvoisista sarjoista 38 L p -avaruudet 43 Banachin kiintopistelause (epälineaarinen FA) Hilbertin avaruudet 61 Ortogonaaliset projektiot 72 Ortonormaalit kannat Fourier-sarjat 88 Yhteenveto (Fourier-sarjojen L 2 -teoriasta) 96 Sobolev-avaruudet 98 Sovelluksista differentiaaliyhtälöihin Lineaariset operaattorit 112 Neumannin sarja Tasaisen rajoituksen periaate 125 Banach Steinhausin lauseen sovelluksia Fourier-sarjoihin Avoimen kuvauksen lause 135 Sovellus Fourier-analyysiin Dualiteetti 148 Hilbertin avaruuden duaali 151 Hahn Banachin lauseet 153 Bilineaarimuodot ja Lax Milgramin lause 162 Biduaali 166 Transpoosi Transpoosi ja adjungaatti 146 Adjungaatti Kompaktisuudesta 12 Riesz-Fredholmin teoria 19

3 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1 0. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia (joskus myös yleisempien topologisten vektoriavaruuksien ominaisuuksia). näiden välisten jatkuvien lineaaristen (tai epälineaaristen) kuvausten ominaisuuksia. edellisten kohtien monia eri sovelluksia. Yritämme seuraavan valmistelevan esimerkin kautta selvittää, miksi tällaisia kysymyksiä tutkitaan ja millaisia sovelluksia funktionaalianalyysillä tyypillisesti on (tarkempiin yksityiskohtiin palataan kurssin aikana) Esimerkki. Tarkastellaan integraaliyhtälöä (0.2) f(x) λ 1 0 K(x, s)f(s)ds = g(x), x [0, 1], missä g : [0, 1] R ja K : [0, 1] [0, 1] R ovat annettuja jatkuvia kuvauksia, sekä λ R on parametri. Tehtävänä on löytää funktio f, jolle yhtälö (0.2) pätee. Käy ilmi että i) jos parametri λ on pieni, yhtälön ratkaisufunktio f on olemassa ja yksikäsitteinen; toisaalta ii) kaikilla parametrin arvoilla λ näin ei välttämättä ole; herää siis kysymys, mitä voidaan sanoa näistä poikkeuksellisista parametreista. Tällaisiin kysymyksiin päädytään esimerkiksi monissa fysiikan ongelmissä, vaikkapa viulun kielen ominaisvärähtelyjä määrättäessä. Itse asiassa, yksi matemaattisen fysiikan keskeisistä kysymyksistä 1900 luvun taitteessa oli selittää miksi ominaisvärähtelyjen joukko (so. poikkeusparametrien joukko) on diskreetti; kysymys palautui differentiaaliyhtälöiden kautta tyyppiä (0.2) oleviin yhtälöihin. Huomaa, että funktio K(x, s) voi olla hyvinkin monimutkainen, eikä yhtälön suora integrointi, tavalla tai toisella, voi tulla kysymykseen; korkeintaan voimme hakea numeerisia ratkaisuja, kunhan yhtälöt kunnolla ymmärretään. Miten yhtälöitä (0.2) voisi silloin lähestyä?

4 2 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Tilanteen selvittämistä varten identifioidaan ensin (mahdollisten) ratkaisujen avaruus; luonnollinen arvaus on seuraava vektoriavaruus, joka esiintyy jo Analyysi I:ssä, C(0, 1) = { f : [0, 1] R : f jatkuva välillä [0, 1] }. Avaruuteen liittyy luonnollinen etäisyyden mitta, eli normi (tästä myöhemmin paljon lisää): f = sup f(t) = max f(t), f C(0, 1). t [0,1] t [0,1] Pari ( C(0, 1), ) tulee olemaan tyypillinen esimerkki Banachin avaruudesta. Yhtälöön (0.2) liittyy operaattori (kuvaus) T : C(0, 1) C(0, 1), (Tf)(x) = 1 0 K(x, s)f(s)ds, x [0, 1]. Huomataan, että tämä kuvaus on avaruuden C(0, 1) luonnollisen yhteenlaskun suhteen lineaarinen, so. T (λ 1 f + λ 2 g)=λ 1 T (f)+λ 2 T (g) f, g C(0, 1), λ 1,λ 2 R. Havaitaan, että yhtälö (0.2) voidaan kirjoittaa operaattoriyhtälömuotoon (I λt )(f) =f λt (f) =g (Tässä I on avaruuden C(0, 1) identtinen kuvaus.) Kysymys on siis siitä, onko lineaarinen operaattori I λt kääntyvä (bijektio) C(0, 1) C(0, 1)! Integraaliyhtälömme (0.2) on nyt muuttunut lineaarisen operaattorin ominaisarvotehtäväksi, ja ratkaisua varten meidän tulee kehittää lineaarialgebrallisia menetelmiä vektoriavaruuksissa kuten C(0, 1). Nopeasti havaitaan kuitenkin selvä pulma: vektoriavaruus C(0, 1) on ääretönulotteinen! (Polynomien perusominaisuuksista seuraa, että monomien muodostama joukko {t n : n =0, 1, 2,...} on vapaa.) Ei siis ole ollenkaan selvää mitkä/millä ehdoin lineaarialgebran tulokset yleistyvät näihin uusiin avaruuksiin. Tai mitä operaattoreilta vaaditaan, että lineaarialgebran ominaisarvotehtävät yleistyvät näihin ääretönulotteisiin tilanteisiin. Funktionaalianalyysi pyrkii vastaamaan tämän tyyppisiin kysymyksiin, kehittämään ääretönulotteisten avaruuksien teoriaa silmälläpitäen esim. yllä kuvatun kaltaisia sovelluskohteita. Tällä kurssilla selvitämme Banach avaruuksien perusominaisuudet, keskeisimmät esimerkit (funktio- yms.)avaruuksista sekä myös Banach avaruuksien operaattoreiden perusominaisuudet. Pyrimme myös antamaan esimerkkejä teorian sovelluksista, ja tulemme mm. osoittamaan yo.

5 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 3 väitteen i); jos aika riittää kurssin loppupuolella voidaan myös tarkastella kysymystä ii). Sana funktionaali tarkoitti alunperin (noin ) sellaista jatkuvaa kuvausta, jonka määrittelyjoukko on jokin funktioavaruus ; tyypillisesti ϕ: C(0, 1) R, ϕ(f) = φ: C(0, 1) R, φ(f) = f(s)ds, f(s) 2 ds tai (epälineaarinen funktionaali). Nyttemmin termin käyttö on hieman muuttunut, kuten myöhemmin huomaamme. Funktionaalianalyysin sovellusaloja ovat muun muassa (muu) klassinen analyysi (reaali- ja kompleksianalyysi, harmoninen analyysi) differentiaali-, osittaisdifferentiaali- ja integraaliyhtälöt (DY,ODY, IY) matemaattinen fysiikka (kvanttimekaniikka,... ) optimointi variaatiolaskenta ja approksimaatioteoria dynaamiset systeemit numeerisen analyysin teoria tn-teoria ja stokastiikka. Kääntäen, analyysi ja sen sovellukset synnyttävät jatkuvasti uusia funktionaalianalyysin tutkimuksia.

6 4 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Metriikka ja metrinen avaruus Funktionaalianalyysin peruskurssin taustalla on metristen avaruuksien peruskäsitteet (avoimet joukot, pistejonon suppeneminen, kuvauksen jatkuvuus yms.). Palautamme aluksi mieliin joitakin yleisiä asioita Määritelmä. Olkoon X joukko. Kuvaus d : X X R + on metriikka X:ssä, jos (M1) (M2) (M3) d(x, z) d(x, y)+d(y, z) kaikilla x, y, z X ( kolmioepäyhtälö ) d(y, x) =d(x, y) kaikilla x, y X d(x, y) = 0 x = y (Huom: d(x, y) 0 kaikilla x, y X.) Sanomme, että (X, d) eli joukko X varustettuna metriikalla d, on metrinen avaruus (yleensä jätetään d merkitsemättä, jos se selviää yhteydestä). Huomautus. (1) Funktionaalianalyysin peruskurssilla joukko X on (yleensä) vektoriavaruus ja metriikka d on (yleensä) jonkin normin indusoima (vrt. luku 2). (2) Kuvaus d : X X R + on semimetriikka, jos d toteuttaa ehdot (M1), (M2) sekä ehdon (M4) d(x, x) = 0 kaikilla x X. (Saattaa siis olla d(x, y) = 0 vaikka x y.) Merkintöjä: Olkoon (X, d) metrinen avaruus, x X, r>0: B(x, r) ={ y X : d(x, y) <r} avoin x-keskinen, r-säteinen pallo B(x, r) ={ y X : d(x, y) r } suljettu x-keskinen, r-säteinen pallo. X r x B(x, r) Kuva 1. Avoin pallo B(x, r) metrisessä avaruudessa (X, d)

7 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5 Oletamme, että lukija on tutustunut metristen avaruuksien perusteisiin (vrt. esim. [Väisälä : Topologia I]). Lukijan tulisi kerrata, mitä metrisissä avaruuksissa tarkoittavat käsitteet avoin joukko, suljettu joukko ja kompakti joukko; samoin mitä tarkoitetaan ympäristöllä, ympäristökannalla, aliavaruudella, suppenevalla pistejonolla, jatkuvalla kuvauksella,... Muistamisen helpottamiseksi listaamme alla lyhyesti eräitä näistä käsitteistä. Olkoon (X, d) metrinen avaruus: avoimet ja suljetut joukot: joukko A X on avoin, jos jokaista a A vastaa sellainen r = r(a) > 0, että avoin pallo B(a, r) A. A X on suljettu, jos komplementti A c = { x X : x/ A } on avoin. metriikan indusoima topologia on joukkoperhe τ d = { A X : A on avoin X:ssä }. ympäristökanta, relatiivitopologia jonon raja-arvo ja suppeneminen: jono (x n ) X suppenee kohti x X, jos d(x n,x) n 0. Siis jokaista ε> 0 vastaa sellainen n ε N, että d(x n,x) <ε kaikilla n n ε. Merkintä: x n n x tai lim x n = x. n jatkuva kuvaus : Olkoot (X, d) ja (Y, d ) metrisiä avaruuksia. Kuvaus f : X Y on jatkuva pisteessä a X, jos jokaista ε > 0 vastaa sellainen δ = δ(a, ε) > 0, että d (f(a),f(y)) <ε aina kun d(a, y) <δ (ja y X). f on jatkuva X:ssä jos f on jatkuva jokaisessa pisteessä a X. kompakti joukko (Heine-Borelin lause,... ) 1.2. Esimerkki. R n varustettuna euklidisella metriikalla n (1.3) d(x, y) = x j y j 2 = x 1 y x n y n 2, j=1 kun x =(x 1,..., x n ),y =(y 1,..., y n ) R n. (Erikoistapaus n =1: d(x, y) = x y, x, y R).

8 6 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Kuvaus d on metriikka: Topo I, Vektorianalyysi (tai myöhemmin luvussa 2 avaruuden l p yhteydessä). Kolmioepäyhtälö on tässä tapauksessa (epä-triviaali) arvio n n n x j z j 2 x j y j 2 + y j z j 2 j=1 j=1 kaikilla (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ), (z 1,..., z n ) R n. Tapauksessa n = 2 ja x =(x 1,x 2 ) siis piste y =(y 1,y 2 ) B ( x, r ) jos ja vain jos (x 1 y 1 ) 2 +(x 2 y 2 ) 2 <r 2. j=1 (x 1,x 2) r Kuva 2. Avoin tason R 2 pallo B((x 1,x 2 ),r) Huomautus. Vastaavasti kaava (1.3), kun x =(x 1,..., x n ),y =(y 1,..., y n ) C n,määrittelee metriikan avaruuteen C n. Metrinen avaruus (X, d) on separoituva, jos on olemassa sellainen numeroituva osajoukko A X, että joukon A sulkeuma Ā = X. Sanomme tällöin myös, että A on tiheä X:ssä. Palautetaan mieliin, että sulkeuma määritellään metriikan d avulla seuraavasti: jos A X, niin piste x Ā jos jokaisella r > 0pätee B(x, r) A. Erityisesti: x Ā on olemassa sellainen pistejono (a n) A, että d(a n,x) n 0. Separoituvuusehto Ā = X tarkoittaa siis: jos y X ja ε> 0 ovat mielivaltaisia, niin on olemassa sellainen alkio a A, että d(a, y) <ε Esimerkki. (R n,d) on separoituva, kun d on euklidinen etäisyys ja n = 1, 2,.... Todistus. Analyysi I:n nojalla tiedämme, että Q = R, missä Q on rationaalilukujen joukko. Jos x =(x 1,..., x n ) R n ja ε> 0 on annettuja, niin valitaan jokaisella j {1,..., n} sellainen q j Q, että x j q j < ε n,j=1,..., n.

9 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 Tällöin q =(q 1,..., q n ) Q Q = Q n, joka on numeroituva joukko (koska Q on numeroituva) ja n d(x, q) = x j q j 2 < n ε2 }{{} n = ε. j=1 < ε2 n Lopuksi käyttökelpoinen kriteeri ei-separoituvuudelle: 1.5. Lause. Olkoon X metrinen avaruus ja oletetaan, että on olemassa ylinumeroituva kokoelma U avaruuden X avoimia pistevieraita epätyhjiä osajoukkoja (siis aina jos U, V U ja U V, niin U V = ). Silloin X ei ole separoituva. Todistus. Vastaoletus: Oletetaan, että X on separoituva. Tällöin X = A, missä A = {a 1,a 2,... } on numeroituva. Jos U U, niin U X on avoin ja epätyhjä. Tällöin on olemassa sellaiset a U ja r>0, että B(a, r) U. Vastaoletuksen perusteella voidaan kiinnittää sellainen n U N, että a nu B(a, r) U. Saadaan siis kuvaus α: U N, α(u) =n U kun U U. Näin saatu kuvaus α on injektio: jos U, V U ja U V, niin oletuksen nojalla U V =. Tämä tarkoittaa, että a nu a nv eli n U n V, joten kuvaus α on injektio U N. Tästä kuitenkin seuraisi, että U on numeroituva (mieti miksi!), mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. 1:1 Harjoitustehtäviä

10 8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I & II määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet, mutta kompleksikertoimiset avaruudet määritellään täysin analogisesti: Avaruudessa E on yhteenlaskun x + y lisäksi annettu skalaarilla kertominen (λ, x) λx, siis kuvaus C E E, joka toteuttaa ehdot λ(x + y) =λx + λy, λ(µx) = (λµ)x ja (λ + µ)x = λx + µx kaikilla vektoreilla x, y E ja skalaareilla λ, µ C. Useimmiten kurssin tulokset ja käsitteet toimivat täysin samoin molemmilla skalaarikunnan valinnoilla, R tai C, ja käytämme silloin skalaarikunnalle merkintää K. Jos skalaarikunta pitää spesifioida, siitä huomautetaan erikseen Esimerkkejä. (1) C n = {z = (z 1,..., z n ) : z 1,..., z n C} on C- kertoiminen vektoriavaruus. n-vektorien summa ja skalaarilla kertominen määritellään koordinaatteittain kuten vektoriavaruuden R n tapauksessa. (2) Myös kompleksisten polynomien avaruus n P = {p(z) = a k z k : a 0,..., a n C, n N {0}}, k=0 on C-kertoiminen vektoriavaruus. Summa p + q ja skalaarilla λp kertominen määritellään pisteittäin, kun p, q P ja λ C. Dimensio: Kerrataan ensin lineaarialgebran käsitteitä. Jos A E on osajoukko, sen virittämä E:n vektorialiavaruus on n (2.2) span(a) ={ λ k x k : x k A, λ k K,k =1,..., n, n N}. Lineaarialgebrasta muistetaan myös, että vektorijono x 1,..., x n E on lineaarisesti riippumaton eli vapaa, jos λ 1 x 1 + λ n x n = 0 λ 1 = = λ n =0 Honkasalon monisteen Lineaarialgebra I sivulla 50 on todistettu seuraava tulos, jonka oletamme tunnetuksi: Vektoriavaruus E on äärellisulotteinen (so. äärellisen vektorijoukon virittämä) jos ja vain jos E:n vapaiden jonojen pituudet ovat ylhäältä rajoitetut, so. on olemassa sellainen luku M<, että jokaisessa E:n vapaassa jonossa on korkeintaan M vektoria.

11 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 9 Muistutetaan vielä, että äärellisulotteisen avaruuden E dimensio dim(e) on E:n kannan (so. vapaan virittäjäjoukon) vektorien lukumäärä; tämä lukumäärä on kannasta riippumaton luku. (Tässä (x 1,..., x n ) on E:n kanta jos ja vain jos jokaisella vektorilla x E on yksikäsitteinen esitys x = λ 1 x λ n x n lineaarikombinaationa.) Tämä kaikki toimii myös, kun kerroinkuntana on C. Esimerkiksi yllä C n on äärellisulotteinen (tarkemmin, n-ulotteinen). Nimittäin, (e 1,..., e n ) on eräs kanta vektoriavaruudelle C n, missä e 1 = (1, 0,..., 0),..., e n = (0,..., 0, 1) C n. Selvästi z =(z 1,..., z n )= n z ke k kaikilla z C n. Toisaalta, P on ääretönulotteinen: Polynomit p n (z) = z n, n N {0}, muodostavat vapaan joukon (miksi?), ja koska tuo joukko on ääretön, yo. tuloksen nojalla dim(p) =. Keskeinen idea Funktionaalianalyysissä on tuoda hyödyllistä rakennetta esimerkiksi funktioiden muodostamiin vektoriavaruuksiin. Ensimmäisessä askeleessa etäisyyskäsite luodaan erilaisten normien avulla Määritelmä. Olkoon E K-kertoiminen vektoriavaruus. Kuvaus p : E R + on normi E:ssä, jos (N1) p(x + y) p(x) + p(y) kaikilla x, y E ( kolmioepäyhtälö ) (N2) p(ax) = a p(x) kaikilla x E, a K ( homogeenisuus ) (N3) p(x) = 0 x = 0 (nolla-alkio E:ssä) Tavallisesti merkitään p(x) = x. Paria (E, ) eli vektoriavaruutta E varustettuna normilla sanotaan normiavaruudeksi. Huomautus. (1) Normi edellyttää, että määrittelyjoukko E on lineaariavaruus: x + y E ja ax E aina kun x, y E ja a K. (2) Kuvaus p : E R + on seminormi E:ssä, jos p toteuttaa ehdot (N1) ja (N2). 1 Tällöin p( 0) = p(0 0) = 0 p( 0) = 0, ja { x E : p(x) = 0 } on avaruuden E vektorialiavaruus ehtojen (N1) ja (N2) nojalla. 1 tämä yleisempi käsite on joskus tarpeen; tällä kurssilla suhteellisen harvoin

12 10 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2.4. Esimerkkejä. (1) n x 2 = x 2 j x = x x 2 n, x =(x 1,..., x n ) R n, j=1 on avaruuden R n euklidinen normi, kun n =1, 2,.... Ehdot (N1)-(N3) toteutuvat; katso TopoI. Hieman myöhemmin tämä todistetaan myös erikoistapauksena yleisemmän avaruuden l p yhteydessä. Vastaavasti kaava n z 2 = z j 2 = z z z n 2, z =(z 1,..., z n ) C n, j=1 antaa euklidisen normin avaruuteen C n. Ehto (N1) on tässä muotoa n n n z j + w j 2 z j 2 + w j 2. j=1 j=1 (Muistutus: jos z = a + ib C, niin z 2 = zz = a 2 + b 2, missä z = a ib. Tapauksessa n =1pätee edellä z + w z + w kun z, w C. Tämä on kompleksilukujen kolmioepäyhtälö, joka usein tulee käyttöön jatkossa. Todistusidea: z + w 2 =(z + w)(z + w) = z 2 +2Re(zw)+ w 2 ( z + w ) 2. Viimeisessä vaiheessa käytimme arviota Re(u) u, u C.) (2) Kun A on mielivaltainen joukko, asetetaan j=1 B(A, K) := { f : A K : f := sup f(t) < }. t A Tämä on rajoitettujen kuvausten A K vektoriavaruus, jos asetetaan (f + g)(t) =f(t)+g(t), (af)(t) =af(t) kun f, g B(A, K),a K. Helposti nähdään, että f on normi: Perustelu. Olkoon f, g B(A, K) ja t A. Tällöin (f + g)(t) = f(t)+g(t) ey sup yli = t A f(t) + g(t) määr. f + g = sup (f + g)(t) f + g t A f + g eli ehto (N1) on voimassa. (Edellä ey tarkoittaa reaali- tai kompleksilukujen kolmoiepäyhtälöä, riippuen skalaarikunnasta). Olkoon a K skalaari. Tällöin (af)(t) = af(t) = a f(t) sup yli t:n af = a f

13 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 11 eli myös ehto (N2) on voimassa. Koska f = sup f(t) =0 f(t) = 0 t A t A f on 0-funktio, niin myös (N3) toteutuu. (3) Myös R n :ssä (tai C n :ssä) voidaan määritellä normi edellisen kohdan erikoistapauksena: tällöin A = {1,..., n}, jolloin saadaan normi x := sup( x 1,..., x n ), missä x =(x 1,..., x n ) K n. Vaikka tämä normi antaa myös euklidisen topologian (vrt. Esim 2.13 alla), sup-normin geometria on hieman erilainen. Esimerkiksi dimensiossa n = 2 avaruuden E =(R 2, ) vastaava suljettu yksikköpallo B E = {x E : x 1} näyttää seuraavalta: y (0, 1) (1, 0) x Kuva 3. Pallo B E avaruudessa E =(R 2, ) (4) Toinen erikoistapaus (2)-kohdasta saadaan, kun A = N. Tällöin merkitään l := B(N, K) ={x =(x n ) : x n K n, x = sup x n < }. n N Avaruudessa l siis (x n )+(y n )=(x n + y n ) ja a(x n )=(ax n ) kun (x n ), (y n ) l ja a K. Olkoon e n = (0, 0,..., 0, }{{} 1, 0,...) l kun n N. Tällöin n:s joukko {e n : n N} on lineaarisesti riippumaton (Miksi?), joten dim(l )=. Seuraavaksi osoitetaan pari normin perusominaisuutta, joista seuraavan lauseen (2)-kohta liittää normiavaruudet metrisiin Lause. Olkoon (E, ) normiavaruus. Tällöin (1) kaikilla x, y E on voimassa (ns. ey alaspäin ) x y x y. Erityisesti, kuvauksena normi x x on tasaisesti jatkuva E:ssa.

14 12 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI (2) kuvaus d: E E R +,d(x, y) := x y on metriikka avaruudessa E. Erityisesti x = d(x, 0), x E. Todistus. (1) (vrt. Topo I, Vektorianalyysi) Olkoon x, y E. Tällöin x = x y + y ey = x y x y x y + y symm = y x y x (N2) = x y = x y x y (2) (vrt. Topo I) kaikilla x, y, z E on voimassa d(x, z) = x z = x y + y z (N1) x y + y z = d(x, y)+d(y, z), joten (M1) toteutuu. Ehto (M2) seuraa välittömästi ehdosta (N2). Edelleen d(x, y) = x y =0 (N3) x y = 0 x = y, joten myös (M3) on voimassa. Normiavaruudessa voidaan siis puhua normin indusoimasta metrisen topologian käsitteistä, kuten avoimista palloista ja joukoista, jonojen suppenemisesta, jatkuvista funktioista jne. Metrisinä avaruuksina funktioavaruudet voivat olla melko suuria, esimerkkinä olkoon vaikkapa l, joka ei ole edes separoituva (vrt. Harjoitukset). Useille käytännössä eteen tuleville funktioavaruuksille separoituvuus toisaalta pätee; myöhemmin osoitamme tämän esimerkiksi C(0, 1):lle. Seuraava esimerkki valaisee pistejonojen suppenemisen (avaruudessa l ) Esimerkki. Olkoon y (n) = (1, 1,..., 1, 0, 0,...) l (alussa n kpl ykkösiä) kun n N. Suppeneeko jono (y (n) ) avaruudessa (l, )? Ratkaisu. Merkitään y (n) =(y (n) k ) l, jolloin siis määritelmän mukaan y (n) k = 1 kun 1 k n ja y (n) k = 0 kun k > n. Olkoon y =(y k ) l sellainen jono että y (n) y = sup k y k y (n) k 0. n Erityisesti, kiinteällä k N pätee y k y (n) k n y k 0. Tästä seuraa, että = lim n y (n) k = 1 kaikilla k = 1, 2,..., eli raja-arvojonon on oltava y =

15 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 13 (1, 1, 1,...) l. Toisaalta, y (n) (1, 1, 1,...) = (0,..., 0, 1, 1,...) (alussa n kpl nollia), joten y (n) (1, 1, 1,...) =1 n N. Tämä tarkoittaa, että jono (y (n) ) ei voi supeta avaruudessa (l, ). (Vaihtoehtoinen tapa: selvästi y (n) = e e n kun n N, missä e n = (0, 0,..., 0, }{{} 1, 0,...) l kun n N. Havaitaan, että kaikilla n > m pätee n:s y (n) y (m) = e m e n =1. Tällöin jono (y (n) ) ei voi supeta avaruudessa (l, ), koska jonon alkiot eivät edes toteuta Cauchyn ehtoa, vrt. Lause 3.2 alla). Normiavaruuden luonnolliset rakenteet ovat yhteensopivat, toisin sanoen: 2.7. Lause. Normiavaruudessa (E, ) kuvaukset ψ 1 : E E E, ψ 1 (a, b) := a + b, ja ψ 2 : K E E, ψ 2 (λ, a) := λa ovat jatkuvia. Todistus. Harjoitukset 1. Huomautus. Normiavaruuden E metriikka on siirto- eli translaatioinvariantti: d(x + a, y + a) = x + a (y + a) = x y = d(x, y) kaikilla x, y, a E. Joitakin seurauksia: (i) normin avoimelle pallolle pätee B(a, r) =a + B( 0,r) kaikilla a E ja r>0. Tästä, sekä ominaisuudesta (N2) saadaan, että joukko A E on avoin (vast. suljettu, kompakti) jos ja vain jos x 0 + A ja λa ovat avoimia (vast. suljettuja, kompakteja), kun λ K \{0} ja x 0 E ovat mielivaltaisia. (ii) Jos x 0 U E, niin U on pisteen x 0 ympäristö jos ja vain jos U x 0 on nolla-alkion 0 ympäristö. (iii) Pistejono (x n ) n=0 E suppenee alkioon y E jos ja vain jos x n y 0 kun n avaruudessa E. Edellä käytimme merkintöjä x 0 + A = { x 0 + y : y A } E, λa = { λx : x A }. Yleisemmin, jos A E, B E ja Λ K, niin asetetaan A + B = { x + y : x A, y B }, ΛA = { λx : λ Λ,x A }.

16 14 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Monet funktioavaruuksien konvergenssikäsitteistä voidaan kuvata normin avulla (ja kääntäen, normi antaa konvergenssikäsitteen): 2.8. Esimerkkejä. (1) Kun avaruus C(0, 1) = {f : [0, 1] K jatkuva } varustetaan tavallisella normillaan f = sup t [0,1] f(t), pätee f n f 0 kun n f n (x) f(x) tasaisesti joukossa [0, 1]. (Kompleksisessä tapauksessa f = f 1 + if 2 on jatkuva [0, 1] C jos ja vain jos reaaliosa f 1 ja imaginaariosa f 2 ovat molemmat jatkuvia funktioita [0, 1] R.) (2) Toisaalta C(0, 1):ssä voidaan määritellä myös normi f 1 = 1 f(t) dt, 0 kun f C(0, 1). (Selvitä itsellesi miksi 1 on normi C(0, 1):ssä!). Nyt pätee lim f n f 1 =0 n 1 0 f n (t) f(t) dt 0 f n (x) f(x) keskimäärin. Esimerkiksi, jos f n (t) =t n, niin f n 0 keskimäärin eli normin 1 mielessä, koska f n 1 = 1 n+1 0 kun n. Toisaalta jono (f n) ei konvergoi supnormin mielessä 0 -funktioon, sillä f n = 1 jokaisella n N. Annetuista normiavaruuksista saadaan muodostettua uusia avaruuksia monella eri tavalla. Tulemme jatkossa näkemään tästä useitakin esimerkkejä. Aloitamme seuraavalla yksinkertaisella periaatteella Lause. Jokainen normiavaruuden (E, ) vektorialiavaruus F on normiavaruus (E:n indusoimalla normilla varustettuna) Esimerkkejä. (1) Voimme esimerkiksi valita E = B([0, 1], K), jolla on aliavaruutena jatkuvien funktioiden avaruus F = C(0, 1). (Lisätieto: C(0, 1) on avaruuden B([0, 1], K) suljettu vektorialiavaruus sup-normin suhteen (myöhemmin).) (2) Olkoon E = l ; seuraavat jonoavaruudet ovat sen vektorialiavaruuksia: c := {x =(x n ) l : lim n c 0 := {x =(x n ) l : lim n x n =0}. x n on olemassa}, Molemmissa normi on siis x = sup n x n. Edellä x n K kaikilla n N. Jos x n = a n + ib n C, niin jono (x n ) suppenee jos ja vain jos reaalijonot (a n ) ja (b n ) suppenevat. (Lisätieto: c ja c 0 ovat avaruuden l suljettuja vektorialiavaruuksia.) Monesti on hyödyllistä muuttaa normia, ilman että sen määräämä topologia tai konvergenssi muuttuu. Tämä idea johtaa seuraavaan käsitteeseeen.

17 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Määritelmä. Vektoriavaruuden E normit 1 ja 2 ovat ekvivalentteja, jos on olemassa vakiot C 1,C 2 > 0, joille C 1 x 1 x 2 C 2 x 1 x E Lause. Olkoot 1 ja 2 ekvivalentteja normeja avaruudessa E. Tällöin ne määrittelevät avaruudessa E samat avoimet ja suljetut joukot (eli ne määrittävät saman topologian; siis τ 1 = τ 2, missä τ 1 = {U E : U on 1 avoin joukko}.) Todistus. Harjoitukset Esimerkki. (1) Avaruuden C n normit n x 2 = x j 2 = x x x n 2, j=1 ovat ekvivalentit: x = max 1 j n x j, x =(x 1,..., x n ) C n x x 2 n x, x C n. Nimittäin, jos x =(x 1,..., x n ) C n ja j 0 {1,..., n} on sellainen indeksi, että x = x j0, niin n x 2 = x j 2 n x j0 2 = n x. j=1 (Tulemme myöhemmin näkemään, että itse asiassa jokaisen äärellisulotteisen vektoriavaruuden kaikki normit ovat ekvivalentit.) (2) Olkoon P = {p(z) = n k=0 a kz k : a 0,..., a n C,n N {0}} polynomien muodostama vektoriavaruus. Tällöin esimerkiksi p 1 = n k=0 a k ja p 2 = max a k, kun p(z) = k n a k z k, ovat hyvin määriteltyjä (Miksi?) normeja (Miksi?) avaruudessa P. Normit eivät ole kuitenkaan ekvivalentteja: jos p n (z) = n k=0 zk = 1+z +...+z n, niin jokaisella n pätee p n 2 = 1 mutta p n 1 = n + 1. Koska tässä n voidaan valita mielivaltaisen suureksi, normit ovat epäekvivalentit Esimerkki. Merkitään C k (0, 1) = { f : [0, 1] K : f, f,..., f (k) ovat jatkuvia välillä [0, 1] }, k=0

18 16 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI kun k N. Tässä f (j) on funktion fj:s derivaatta, ja f (0) = f. Normit f = sup f = 0 j k 0 t 1 sup f (j) (t) = sup f (j), ja k j=0 sup 0 t 1 f (j) (t) = 0 j k k f (j) ovat ekvivalentteja avaruudessa C k (0, 1), minkä todistus jää harjoitustehtäväksi. Ääretönulotteisessä normiavaruudessa avoimet (tai suljetut) joukot voivat joskus tuottaa yllätyksiä verrattuna euklidisen avaruuden (R n, 2 ) tilanteeseen Esimerkki. Olkoon j=0 A = {(x n ) c 0 : x n < 1 n kaikilla n N}. Tällöin A ei ole avoin joukko normiavaruudessa (c 0, ). Nimittäin selvästi nollajono 0 = (0, 0,...) A. Näytämme, että 0 ei ole joukon A sisäpiste, toisin sanoen, ei ole olemassa sellaista r > 0, että avoin pallo B( 0,r) A. Olkoon r>0 annettu ja y (n) = (0, 0,..., 0, r/2, 0,...) (missä r/2 on jonon n:s koordinaatti), kun n N. Tällöin y (n) = r/2, eli y (n) B( 0,r) kaikilla n N. Toisaalta, jos kiinnitetään n N jolle 1 n < r 2, niin erityisesti y(n) / A. Näin siis B( 0,r) A ei ole voimassa millään r>0. l p -avaruudet Normiavaruudet l, c ja c 0 ovat esimerkkejä klassisista Banachin (jono)avaruuksista. Mainitsemme vielä esimerkkinä avaruuden l 1 = {x =(x n ) : x 1 := x n < }, joka on itseisesti eli absoluuttisesti suppenevien sarjojen avaruus. Myös tässä 1 on helppo todistaa normiksi, koska kolmioepäyhtälö seuraa arviosta x n + y n x n + y n summaamalla indeksin n suhteen. Vaikeammin käsiteltäviä esimerkkejä ovat muut ns. l p -avaruudet, joita nyt ryhdymme määrittelemään Määritelmä. Olkoon 1 p<. Tällöin ( ) 1 l p := {(x n ) : x p := x n p p < }.

19 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 17 Tässä x n K kaikilla n N, ja jonojen summa ja skalaarilla kertominen on määritelty koordinaateittain: (x n )+(y n )=(x n + y n ) ja λ(x n ) = (λx n ) jonoille (x n ), (y n ) ja λ K. Seuraavassa p ja q ovat reaalilukuja, jotka täyttävät ehdot: p>1, q > 1 ja 1 p + 1 q =1. Sanomme lukuja p ja q toistensa duaalieksponenteiksi. Esimerkiksi p = q = 2 tai p = 7, q = 7 ovat duaalieksponenttipareja. Edelleen on voimassa, että 6 q = ja p + q = pq. p p 1 Seuraavana tavoitteena on osoittaa, että (l p, p ) on normiavaruus, ja erityisesti että kolmioepäyhtälö on voimassa p :lle Lemma. Jos a 0, b 0 sekä p ja q ovat duaalieksponentteja, niin (2.18) ab ap p + bq q. Todistus. Jos a = 0 tai b = 0, niin (2.18) on voimassa. Voimme olettaa: a, b > 0. Merkitään ϕ(t) = tp p + t q q, t > 0. Tällöin ϕ (t) = t p 1 t q 1 = tp+q 1, joten ϕ (t) < 0, kun 0 < t < 1 ja t q+1 ϕ (t) > 0, kun t>1. Siispä ϕ saa pienimmän arvonsa, kun t = 1, eli kaikilla t>0 on voimassa 1= 1 p + 1 q = ϕ(1) ϕ(t) =tp p + t q q. Sijoitetaan t = a 1/q b 1/p, jolloin saadaan 1 ap/q pb + bq/p qa koska p q + 1 = p ja q p + 1 = q. a ab p p q +1 + b q p +1 q = ap p + bq q, Lause (Hölderin epäyhtälö jonoille). Olkoot 1 < p, q < sellaiset, että =1.Tällöin p q (H) x k y k ( x k p ) 1 p ( y k q ) 1 q kaikilla jonoilla (x k ) l p, (y k ) l q (tässä x k,y k K kaikilla k ja K = R tai K = C). Näin siis (x k y k ) 1 (x k ) p (y k ) q, ja erityisesti (x k ) l p, (y k ) l q = tulojono (x k y k ) l 1.

20 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Huomautus. Kun epäyhtälöön (H) sijoitetaan luvut, jotka toteuttavat lisäehdot 0 = x k = y k kaikilla k > n, saadaan erikoistapauksena äärellinen versio Hölderin epäyhtälöstä: n n n (H ) x k y k ( x k p ) 1 p ( y k q ) 1 q kaikilla (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) K n ja n =1, 2, 3,... Todistus. Merkitään A =( x k p ) 1 p = (xk ) p, B =( y k q ) 1 q = (yk ) q, jolloin A 0,B 0. Jos A = 0 tai B = 0, niin x k = 0 kaikilla k N tai y k = 0 kaikilla k N. Tällöin (H) on ilmeinen, sillä vasen puoli = 0. Voidaan siis olettaa: A>0, B>0. Kiinnitetään k N ja sovelletaan Lemmaa 2.17 luvuille a = x k ja b = y k. Saadaan A B x k A y k B 1 p x k p A p + 1 q y k q B q kaikilla k N. Summataan nämä arviot muuttujan k suhteen, jolloin 1 x k x k y k = AB A y k B 1 x k p + 1 y k q p A p q B q = 1 p 1 x A p k p + 1 q 1 y B q k q = 1 p + 1 q =1. } {{ } =A p }{{} =B q Kertomalla puolittain luvulla AB saadaan lopulta x k y k AB = (x k ) p (y k ) q. Hölderin erikoistapauksella p = q = 2 on oma nimitys ja merkitys (vrt. Hilbertin avaruudet, luku 4) Seuraus (Schwarzin epäyhtälö). Jos x =(x k ),y =(y k ) l 2, niin (S) x k y k ( x k 2 ) 1 2 ( y k 2 ) 1 2 = x 2 y 2 kaikilla jonoilla (x k ), (y k) l2. Äärellisten jonojen erikoistapauksessa saadaan n n n (S ) x k y k ( x k 2 ) 1 2 ( y k 2 ) 1 2

21 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 19 kaikilla luvuilla x 1,..., x n,y 1,..., y n K ja kaikilla n N. Huomautus. Schwarzin epäyhtälö takaa, että avaruudessa l 2 ns. bilineaarimuoto < x, y > = x k y k, x =(x k ),y =(y k ) l 2 on hyvin määritelty. Tämä antaa l 2 :een sisätulon rakenteen; tulemme näkemään Hilbertin avaruuksia koskevassa luvussa 4, että sisätuloavaruuksilla on monia poikkeuksellisen hyviä ominaisuuksia. Hölderin epäyhtälön avulla voimme osoittaa, että l p -normit toteuttavat kolmioepäyhtälön; saatua arviota sanotaan (usein) Minkowskin epäyhtälöksi Lause (Minkowskin epäyhtälö). Olkoon 1 <p<. Tällöin (M) ( x k + y k p ) 1 p ( x k p ) 1 p +( y k p ) 1 p kaikilla jonoilla (x k ), (y k) lp. Huomautus. Kun (x k ) l p, (y k ) l p, niin summajono (x k + y k ) l p, joten l p on siis vektoriavaruus. Valitsemalla x k =0,y k = 0 kun k n + 1 saadaan äärellinen versio: n n n (M ) ( x k + y k p ) 1 p ( x k p ) 1 p +( y k p ) 1 p kaikilla luvuilla x 1,..., x n,y 1,..., y n K ja n N. Todistus. Voidaan olettaa, että x k + y k p > 0, koska epäyhtälö (M) on muuten ilmeinen. Olkoon 1 < q < sellainen, että p = 1 (eli siis q = ). Hölderin p q p 1 epäyhtälön (H) ja skalaarikunnan K kolmioepäyhtälön avulla saadaan x k + y k p = x k + y k p 1 x k + y k }{{} x k + y k x k x k + y k p 1 + y k x k + y k p 1 (H) ( x k p ) 1 p ( x k + y k q(p 1) ) 1 q +( y k p ) 1 p ( x k + y k q(p 1) ) 1 q = ( ) (x k ) p + (y k ) p ( x k + y k p ) 1 q,

22 20 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI koska q(p 1) = p. Jakamalla saatu epäyhtälö puolittain positiivisella termillä ( x k + y k p ) 1 q saadaan ( x k + y k p) 1 1 q (x k ) p + (y k ) p. Tämä on tarkalleen etsitty Minkowskin epäyhtälö (M), koska 1 1 q = 1 p. Edellä sekä Hölderin epäyhtälön (H) käyttö että viimeinen jakovaihe edellyttävät luonnollisesti, että jono ( x k + y k p 1 ) l q ja summajono (x k + y k ) l p. Yllä todettiin jo, että x k + y k q(p 1) = x k + y k p. Näin haluttua tietoa varten riittää varsin alkeellinen arvio ( ) a + b p ( a + b ) p (2 max{ a, b }) p 2 p ( a p + b p ), joka on voimassa kaikilla a, b K. Nimittäin, kun sijoitetaan a = x k, b = y k epäyhtälöön ( ) ja summataan yli muuttujan k saadaan x k + y k p 2 p ( x k p + y k p ) <, koska (x k ), (y k ) l p.näin Lause 2.22 on saatu täydellisesti todistetuksi. Huomautus. Erikoistapauksessa p = 2 äärellisiä jonoja koskeva epäyhtälö (M ) on itse asiassa tuttu kolmioepäyhtälö kotiavaruuden K n euklidiselle normille x 2 = x x n 2, x =(x 1,..., x n ) K n, kun n =1, 2,... (vrt. Vektorianalyysi, Topo I). Kootaan yhteen edelliset tulokset seuraavaksi tärkeäksi lauseeksi l p -avaruuksista (tapaukset p = 1 tai p = käsiteltiin aikaisemmin) Lause. (l p, p ) on normiavaruus kun 1 <p<. Todistus. Jos x =(x k ) l p,y =(y k ) l p, niin x+y =(x k +y k ) ja Minkowskin epäyhtälön (M) mukaan x + y p =( x k + y k p ) 1 p ( x k p ) 1 p +( y k p ) 1 p = x p + y p (ja erityisesti x + y l p, kuten edellä jo nähtiin). Siis (N1) pätee. Koska ax p =( ax k p ) 1 p = a ( x k p ) 1 p = a x p,

23 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 21 kun x =(x k ) l p,a K, niin myös homogeenisuusehto (N2) on voimassa. Edelleen 0= (x k ) p =( x k p ) 1 p )= xk =0 k N = (x k ) = (0, 0,...) = 0, joten myös (N3) toteutuu. Huomautus. l p -avaruuksien välilläpätevät seuraavat sisältyvyydet (joukkoina): l 1 l p l q c 0 l, kun 1 < p < q <. Normeille pätevät vastaavasti arviot jonoille x =(x k ) (Harjoitukset 2). x x q x p x 1 Edellä olemme piirtäneet yksikköpallot normien 2 ja suhteen. Entä yksikköpallo yleisten l p -normien suhteen? Alla kuva tapauksesta p = 3 ja p =1 tason R 2 tapauksessa; mieti millainen on yksikköpallo yleisellä p! (0, 1) y (0, 1) y (1, 0) x (1, 0) x Lisätietoja. On olemassa luontevia ja käyttökelpoisia vektoriavaruuksia E, joissa on luonnollinen siirtoinvariantti topologia τ, joka kuitenkaan ei ole minkään E:n normin indusoima (ts. ei ole olemassa sellaista normia : E R +, että τ = τ ). Sellaisten avaruuksien teoriaa ei käsitellä kurssin aikana; esimerkkeinä mainitaan kuitenkin: (1) Varustetaan avaruus C(R n )={f : R n R f jatkuva } topologialla τ, jonka suhteen jono f n f kun n, jos lim sup f n (x) f(x) =0 n x K kaikilla kompakteilla joukoilla K R n. Topologia τ saadaan kasvavasta seminormiperheestä ( m ), missä f m = sup x K m f(x), f C(R n ), kun K m =[ m, m] n R n sekä m N, tai vaihtoehtoisesti siirtoinvariantista metriikasta d(f, g) = 2 m f g m, f, g C(R n ). 1+ f g m m=1

24 22 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Vastaavaa topologiaa ei kuitenkaan voi kuvata pelkästään yhden normin avulla (HT 2:??). Topologinen vektoriavaruus (C(R n ),τ) on ns. nukleaarinen Frechetin avaruus. Vastaava koskee myös avoimella välillä (0, 1) jatkuvien funktioiden avaruutta {f : (0, 1) R f jatkuva }, sekä äärettömän monta kertaa derivoituvien funktioiden avaruutta C (0, 1) = {f : [0, 1] K f (j) jatkuva jokaisella j N}. (Mieti miksi f = sup t (0,1) f(t) ei kelpaa normiksi, kun f on jatkuva avoimella välillä (0, 1)!) (2) Olkoon 0 <p<1. On luontevaa sanoa, että jono x =(x k ) l p, jos x p =( x k p ) 1 p <. Tällöin x x p toteuttaa normin ehdot (N2) ja (N3) sekä kolmioepäyhtälön heikommassa muodossa x + y p =( x k + y k p ) 1 1 p 2 p 1 ( x p + y p ) kaikilla x =(x k ), y =(y k ) l p.tässä vakio 2 1 p 1 > 1, kun 0 <p<1, eli p on ns. kvasinormi l p :ssä. Alla kuva yksikköpallosta {(x, y) R 2 : x p + y p 1}, kun p =1/2. (0, 1) y (1, 0) x Edellisen kuvan perusteella p ei voi olla normi tapauksessa 0 < p < 1, koska vastaava yksikköpallo ei ole konveksi. Nimittäin, jokaisessa normiavaruudessa (E, ) yksikköpallo B E = {x E : x 1} on konveksi joukko: tx + (1 t)y B E kaikilla x, y B E ja 0 < t < 1. Yksikköpallon konveksisuus seuraa tässä arviosta tx + (1 t)y t x + (1 t) y 1. (3) Kaikkien jonojen muodostama avaruus s = { (x n ): x n K jokaisella n N }.

25 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 23 Avaruudessa s on summa ja skalaarilla kertominen määritelty kuten avaruudessa l, ja voidaan osoittaa että 1 d(x, y) = 2 x k y k k 1+ x k y k, x =(x k),y =(y k ) s, on avaruuden siirtoinvariantti metriikka (HT 2:??). Avaruus s on myös nukleaarinen Frechetin avaruus. Lineaariset operaattorit Olkoon E ja F K-kertoimisia vektoriavaruuksia. Kuvaus T : E F on lineaarinen jos T (αx + βy) =αt (x)+βt (y) x, y E ja α, β K Sanomme usein että T on lineaarinen operaattori ja merkitsemme lyhyesti Tx merkinnän T (x) sijaan. Äärellisulotteisessa normiavaruudessa kaikki lineaariset kuvaukset ovat jatkuvia (todetaan myöhemmin), mutta äärettömän monen dimension avulla jatkuvuus on helppo rikkoa (annamme esimerkin hieman myöhemmin). Jos E, F ovat normiavaruuksia, on siis luonnollista kysyä: Milloin lineaarinen kuvaus T : E F on jatkuva?? Vastausta varten tarvitsemme uuden käsitteen, rajoitetut operaattorit Määritelmä. Olkoot E ja F normiavaruuksia sekä T : E F lineaarinen. Sanomme, että T on rajoitettu, jos on olemassa vakio C< jolle Tx F C x E kaikilla x E. Yleisesti sanotaan että normiavaruuden osajoukko A E on rajoitettu, jos sup{ x : x A} M < ; yhtäpitävästi (Miksi?), A:n halkaisija on äärellinen. Helposti nähdään (vrt. Lemma 2.26 alla), että lineaarinen kuvaus T on rajoitettu jos ja vain jos se kuvaa E:n rajoitetut joukot F :n rajoitetuiksi joukoiksi Esimerkki. Olkoon E = F = l 2 ja T : E F kuvaus T :(x k ) (3x k+1 ) kun x =(x k) l2.tällöin T on lineaarinen (Miksi?) ja rajoitettu: ( ) 1/2 ( ) 1/2 ( ) 1/2 Tx 2 = 3x k+1 2 =3 x k x k 2 =3 x 2 Huomaamme, että vaadituksi vakioksi voidaan ottaa C = 3.

26 24 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Operaattorin rajoittuneisuus voidaan testata seuraavan suureen avulla Lemma. Lineaarinen operaattori T : E F on rajoitettu jos ja vain jos (2.27) T := sup{ Tx : x E, x 1} <. Todistus. Jos T on rajoitettu, niin on olemassa sellainen vakio C<, että T x C x kaikilla x E. Tällöin selvästi T C. Oletetaan kääntäen, että T <. Koska x x = 1 jokaisella x E, x 0, nähdään lineaarisuudesta että ( ) Tx x = x T T kaikilla x E. x Tästä saamme (jatkossa varsin keskeisen arvion!) (2.28) Tx T x jokaisella x E, eli T : E F on rajoitettu. Niinkuin merkintä jo vihjaa, saatua suuretta T kutsutaan lineaarisen kuvauksen T normiksi (normin ominaisuudet todetaan myöhemmin luvussa 6). Se mittaa kuinka suureksi joukoksi T kuvaa yksikköpallon B E = {x E : x 1}. Olemme siis Lemmassa 2.26 tarkistaneet, että operaattori T on rajoitettu jos ja vain jos sen normi T <. Jos tarve vaatii, merkitsemme avaruudet E ja F näkyviin, so. T E F Esimerkkejä. (1) Olkoon E = l 2 ja F = l 1 sekä Tx = T (x k ) := ( 1 k x k ) =(x 1, x 2 2, x 3 3,...). Onko T rajoitettu operaattorina l 2 l 1? Heti havaitaan että Tx 1 = 1 k x k. Tässä arvio x k ( x k 2) 1/2 ei päde kaikilla jonoilla (xk ) l 1, vaan käytämme sen sijaan Hölderin epäyhtälöä (H) kun p = q = 2, Tx 1 = 1 k x k ( ) 1/2 ( ) 1/2 1 x k 2 k 2 = C x 2 missä C = 1/k2 <. (Analyysi II; itse asiassa, C = π 2 /6). Näin ollen T : l 2 l 1 on rajoitettu ja saamme normille arvion T π 2 /6.

27 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 25 (2) Rakennetaan seuraavaksi lineaarinen operaattori, joka ei ole rajoitettu. Voimme vaikkapa tarkastella kaikkien (reaalisten) polynomien muodostamaa avaruutta n P = { p(t) = a k t k : a 0,..., a n R, n N {0} }, k=0 ja varustetaan se normilla p = max{ a k : k =0,..., n}, kun n k=0 a kt k. Tällöin (derivaatta)kuvaus T : n k=0 a kt k n ka k t k 1 on lineaarinen (Miksi?), mutta se ei ole rajoitettu: Jos p n (t) =t n, n N, silloin p n =1, Tp n = np n 1 = n sup{ Tp : p =1,p P } =. Palataan sitten alkuperäiseen kysymykseemme, milloin lineaarinen kuvaus on jatkuva? Käy ilmi, että lineaarinen operaattori on jatkuva täsmälleen silloin kun se on rajoitettu! Lause. Olkoot E, F normiavaruuksia ja T : E F lineaarikuvaus. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (i) T on rajoitettu operaattori (ii) T on jatkuva (koko E:ssä) (iii) T on jatkuva yhdessä pisteessä x 0 E. Todistus. (i) (ii): jos x, y E ja ε> 0, niin Tx Ty T lin. = T (x y) T x y <ε kun x y ε T. (ii) (iii): ilmeinen (iii) (i): Olkoon T jatkuva pisteessä x 0. Jos ε> 0 annettu, voimme jatkuvuuden määritelmän perusteella valita sellaisen luvun δ> 0 että aina Jos nyt x E ja x δ, saadaan x x 0 δ Tx Tx 0 < ε. Tx = T lin. T (x + x 0 ) Tx 0 < ε. Toisaalta, jos x B E on mielivaltainen, niin δx = δ x δ ja siis δ Tx = T (δx) < ε, eli Tx < ε δ x B E. Siten T ε δ ja olemme näin näyttäneet, että T on rajoitettu. Erityisesti, näemme, että Esimerkki 2.29.(2) antaa lineaarisen operaattorin T : P P, joka ei ole jatkuva.

28 26 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Näillä tiedoin voimme myös aloittaa johdannossa esitetyn integraalioperaattorin tarkemman tarkastelun. Tulemme palaamaan teemaan useasti myöhemminkin Esimerkki. Olkoon K : [0, 1] [0, 1] R jatkuva (ns. ydinfunktio). Kun f C(0, 1) = {f : [0, 1] R f jatkuva }, muunnamme sen uudeksi funktioksi Tf, missä (Tf)(x) = 1 0 K(x, s)f(s)ds, x [0, 1]. Väite: näin saadaan jatkuva lineaarinen operaattori T : C(0, 1) C(0, 1). Meidän on siis osoitettava kolme asiaa: 1. f Tf on lineaarinen, 2. Tf on jatkuva funktio välillä [0, 1] aina kun f on jatkuva välillä [0, 1], 3. operaattorina T on rajoitettu C(0, 1) C(0, 1). Jätetään 1. väite lukijan tehtäväksi (tämä palautuu integraalin lineaarisuuteen kurssista Analyysi II). Väite 2. kertoo että todellakin T ( C(0, 1) ) C(0, 1). Sitä varten arvioidaan (Tf)(x) (Tf)(y) = K(x, s)f(s)ds 1 K(x, s) K(y, s) f(s) ds. 0 K(y, s)f(s)ds Funktion Tf jatkuvuus siis palautuu ydinfunktion K ominaisuuksiin. Heti kuitenkin huomataan, että pelkkä pisteittäinen K:n jatkuvuus ei riitä, vaan arvio pitää tehdä tasaisesti muuttujan s [0, 1] suhteen. Tarvitsemme siis hieman tietoja kurssilta Topologia I: Oletamme tunnetuksi, että kompaktissa joukossa määritelty jatkuva funktio on tasaisesti jatkuva 2. Sovellamme tätä tietoa ydinfunktioon (x, s) K(x, s). Koska [0, 1] [0, 1] on kompakti (eli suljettu ja rajoitettu joukko tasossa R 2 ) tason euklidisen normin 2 suhteen, jokaisella ε> 0löydämme sellaisen δ> 0 että jos niin silloin x y = (x, s) (y, s) 2 < δ, (2.32) K(x, s) K(y, s) <ε kaikilla s [0, 1]. 2 Funktio g : A R on tasaisesti jatkuva joukossa A jos jokaista ε> 0 kohti löytyy sellainen δ = δ(ε) > 0 että aina x y <δ g(x) g(y) <ε. Olennaista tässä siis on, että vaadittu δ riippuu vain etäisyydestä x y, eikä siitä missä pisteet x, y sijaitsevat.

29 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 27 Erityisesti, luvun δ> 0 suuruus ei riippunut pisteestä s. Saamme näin (2.33) (Tf)(x) (Tf)(y) ε 1 0 f(s) ds ε f, kun x y < δ. Koska ε oli mielivaltainen, olemme osoittaneet Tf:n jatkuvuuden (väite 2). Myös väite 3. käyttää tuttua topologista tulosta (Topologia I, Vektorianalyysi): Koska K on jatkuva (ja reaaliarvoinen) kompaktissa joukossa [0, 1] [0, 1], se saa siinä suurimman ja pienimmän arvonsa, ja erityisesti K on rajoitettu. Siis eräällä vakiolla M< pätee K(x, s) M< kaikilla x, s [0, 1]. Näin saamme kaikilla f C(0, 1) arvion (Tf)(x) 1 0 K(x, s) f(s) ds M f, mikä siis antaa Tf M f.näin ollen T on rajoitettu operaattori; voimme itse asiassa valita M = K = sup K(x, s), (x,s) [0,1] [0,1] jolloin T K. Olemme siten todistaneet viimeisenkin väitteen 3. (Kommentti: Esimerkin tulos pätee myös kompleksiarvoisille ydinfunktioille K : [0, 1] [0, 1] C. Tässä tapauksessa C(0, 1) koostuu jatkuvista funktioista f : [0, 1] C, ja kompleksiarvoinen integraali on 1 0 f(s)ds = 1 0 f 1 (s)ds + i 1 0 f 2 (s)ds, kun f = f 1 + if 2 C(0, 1), missä f 1 (s) =Ref(s) ja f 2 (s) =Imf(s), s [0, 1]. Argumentti on kompleksisessa tapauksessa hyvin samanlainen ylläolevan kanssa, ja jätämme yksityiskohdat lukijan pohdittaviksi.) Huomautus. Yllä esitetty integraalioperaattorin jatkuvuuden todistus antaa hieman enemmänkin kuin mitä Esimerkki 2.31 tarvitsi: Havaitaan että funktion Tf jatkuvuus riippuu olennaisesti vain ytimestä K eikä niinkään funktiosta f. Koska tällä havainnolla on käyttöä myöhemmin, formalisoidaan sitä hieman, käyttäen jatkuvuusmodulin käsitettä: Olkoon meillä funktio w : [0, ) [0, ) jolle t w(t) on jatkuva, aidosti kasvava ja w(t) =0 t =0 Sanomme silloin että w on jatkuvuusmoduli.

30 28 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI y w(t) Nimittäin, jos A on normiavaruuden E osajoukko ja funktiolle g : A C pätee (2.35) g(x) g(y) w( x y ) kaikilla x, y A, niin w kertoo kuinka jatkuva g on. [Tyypillinen esim: w(t) =t α, 0 < α < 1.] Jos g:llä on jatkuvuusmoduli w joukossa A, eli (2.35) pätee, se on selvästikin tasaisesti jatkuva (Miksi?). Mutta pätee myös kääntäen, että jokaisella tasaisesti jatkuvalla funktiolla on jatkuvuusmoduli. Voimme nimittäin asettaa w 0 (t) = sup{ g(x) g(y) : x, y A, x y t}. Tasaisen jatkuvuuden nojalla w 0 on jatkuva ja w 0 (t) 0 kun t 0. Aidosti kasvava siitä saadaan määrittelemällä w(t) =w 0 (t) +t. Tälle (2.35) selvästi pätee, ja siten g:llä on jatkuvuusmoduli w. Jos palaamme Esimerkkiin 2.31, ytimellä K on ylläolevan nojalla jatkuvuusmoduli w K. Lisäksi, arviot (2.32), (2.33) antavat (2.36) (Tf)(x) (Tf)(y) w K ( x y ) f w K ( x y ) mikäli f 1, eli f B E, E = C(0, 1). Toisin sanoen, oli f:n jatkuvuus miten heikkoa tahansa, Tf:n jatkuvuus on aina vähintään luokkaa w K! t Harjoitustehtäviä 2:1 Olkoon f n (t) =t n kun t [0, 1] ja n N. Suppeneeko jono (f n ) jatkuvien funktioiden avaruudessa (C(0, 1), )? 2:2 Olkoon g n (t) =n(e t/n 1) ja g(t) =t kun t [0, 1] ja n N. Näytä, että g n g 0 kun n.[vihje: tutki esimerkiksi erotusfunktion ääriarvoja.] 2:3 Olkoon (E, ) normiavaruus skalaarikuntana K. Näytä, että kuvaukset (x, y) x + y : E E E ja (λ, x) λx : K E E ovat jatkuvia. [Muistutus: Riittää esimerkiksi näyttää että x n + y n x + y kun n aina kun x n x ja y n ye:ssä, ja samoin toisessa tapauksessa.]

31 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 29 2:4 Olkoot 1 ja 2 normeja vektoriavaruudessa E. Näytä, että x = max{ x 1, x 2 }, x E, määrittelee normin avaruudessa E. Etsi lisäksi esimerkki sellaisista normeista 1 ja 2 tasossa R 2, että x 0 = min{ x 1, x 2 } ei ole normi tasossa. 2:5 Olkoon (E, ) normiavaruus ja F E aito vektorialiavaruus (siis F E). Voiko F olla avoin joukko avaeuudessa E? [Vihje: jos x E \ F, mieti mitä tapahtuu puolisuoralla {λx : λ> 0}.] 2:6. Tutki ovatko seuraavat joukot avoimia (avaruuksien vastaavien sup-normien suhteen): A = {f C(0, 1) : f(t) > 0 kaikilla t [0, 1]}, B = {(x k ) l : x k > 0 kaikilla k N}. 2:7. Olkoon e n = (0,..., 0, 1, 0,...) l 1 (ykkönen n:nellä paikalla) kun n = 1, 2,.... Asetetaan A = {e n : n N} ja B = { e n + 1 n e 1 : n N}. Perustele miksi A ja B ovat avaruuden l 1 suljettuja ja rajoitettuja joukkoja, mutta summajoukko A + B = {a + b : a A, b B} ei ole suljettu. 2:8. Näytä, että c 0 = {(x n ) l : lim n x n = 0} on avaruuden l suljettu vektorialiavaruus sup-normin suhteen. Osoita lisäksi että c 0 on separoituva normiavaruus. [Vihje: Tarkista, että finiittisten jonojen joukko c 00 = {(x n ):x n 0äärellisen monella n} on separoituva ja tiheä c 0 :ssa.] 2:9. Osoita, että rajoitettujen jonojen avaruus (l, ) ei ole separoituva. [Vihje: Tutki esimerkiksi karakterististen funktioiden {χ A : A N} l muodostamaa jonoperhettä, tai diagonalisoi. Edellä χ A (n) = 1 jos n A ja χ A (n) = 0 muulloin. Voit vapaasti käyttää tietoa, että potenssijoukko P(N) = {A : A N} on ylinumeroituva.] 2:10. Olkoon 1 <p<. Etsi sellainen jono (x (n) ) l p, että x (n) p 1 kaikilla n N ja jonolla (x (n) ) ei ole normissa p suppenevia osajonoja. Tässä x (n) =(x (n) k ) lp kaikilla n N. [Huom.: Tämän esimerkin perusteella suljettu yksikköpallo B l p siis ei ole kompakti joukko avaruudessa l p.] 2:11. Olkoon 1 p < q.näytä, että x q x p kun x =(x n ) l p. Päättele, että l 1 l p l q c 0 kun 1 p < q.[vihje. Tutki aluksi sellaista jonoa x =(x n ) l p jolle x p = 1.] 2:12. Määritellään Tf(x) = 1 0 x t f(t)dt, x [0, 1],

32 30 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI kaikilla f C(0, 1). Näytä, että T on (hyvin määritelty) rajoitettu lineaarinen kuvaus C(0, 1) C(0, 1). Anna jokin yläarvio T :n normille T. 2:13. Olkoon E normiavaruus ja T : E R lineaarinen kuvaus. Kuvauksen T ydin on Ker(T )={x E : Tx =0}. Osoita: T on jatkuva jos ja vain jos Ker(T ) on E:n suljettu vektorialiavaruus. [Vihje: suuntaan oleta, ettei T ole jatkuva origossa ja näytä, että Ker(T ) ei ole suljettu. Lauseen 2.30 nojalla on jokaisella n N olemassa sellaiset vektorit x n E, että x n = 1 ja Tx n n. Olkoon y n = yn Tx n kun n N. Koska T 0 on olemassa x E jolle Tx = 1. Kirjoita x = x y n + y n, sekä totea että x y n Ker(T ) kaikilla n ja lisäksi y n 0 kun n.]

33 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaalilukujen joukko R (varustettuna normilla x y ) eroaa ratkaisevasti rationaalilukujen joukosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella: reaalilukujono (x n ) suppenee R:ssä jos ja vain jos (x n ) on Cauchyn jono (ts. (x n ) toteuttaa Cauchyn suppenemisehdon). Tätä reaalilukujen joukon R ominaisuutta sanotaan täydellisyydeksi. Toisena esimerkkinä mainitaan avaruus varustettuna seminormilla E = {f : [0, 1] R f on Riemann-integroituva} f 1 = 1 0 f(t) dt, f E. Avaruus (E, 1 ) ei ole täydellinen (todistus sivuutetaan); tämä puute oli eräs keskeisistä syistä Lebesgue integraalin käyttöönottoon ja kehittämiseen. Yleisemmällä tasolla, (esim. differentiaali)yhtälöitä ratkaistaan tyypillisesti hakemalla approksimatiivisia ratkaisuja, ja lähes säännöllisesti funktioavaruuksilta vaaditaan täydellisyyttä, jotta approksimatiivisille ratkaisuille löydetään jokin rajafunktio Määritelmä. Normiavaruuden (E, ) jono (x n ) n N on Cauchyn jono, jos jokaista ε> 0 vastaa sellainen luku m ε N, että aina kun k m ε ja j m ε. x k x j <ε Huomautus. Kun tarkastellaan jonon (x n ) n N määräämiä loppuosan joukkoja A m = { x n : n m }, missä m =1, 2,..., niin huomataan näiden halkaisijoitten avulla, että: (x n ) on Cauchyn jono lim m diam(a m ) = 0. Edellä joukon A E halkaisija on diam(a) = sup x,y A x y. Seuraavat kaksi lausetta kertovat Cauchy jonojen perusominaisuudet (erikoistapauksessa (R, )nämä ominaisuudet esiintyvät jo Analyysi I:ssä) Lause. Normiavaruuden E suppeneva jono (x n ) on aina Cauchyn jono. Todistus. Olkoon lim n x n = y eli lim n x n y = 0. Jos ε> 0, on olemassa sellainen m ε N, että x n y < ε 2 kaikilla n m ε. Siis kun j, k m ε, niin x k x j ey x k y + y x j < ε 2 + ε 2 = ε. Toisaalta,

34 32 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 3.3. Lause. Normiavaruuden E Cauchy jono (x n ) on rajoitettu, eli on olemassa M< jolle x n M kaikilla n N. Todistus. Olkoon (x n ) E Cauchy jono ja A m = { x n : n m }. Koska (x n ) on Cauchy jono, niin on siis olemassa sellainen m 0 N, että diam(a m0 ) < 1. Jos y A m0, niin kolmioepäyhtälön avulla saadaan y ey y x m0 + x m0 < 1+ x m0. Siispä täyden jonon (x n ) vektoreille saamme arvion sup x n max{ x 1, x 2,..., x m0 1, 1+ x m0 } <. n N Alamme sitten tarkastelemaan täydellisiä normiavaruuksia Määritelmä. Normiavaruus (E, ) on täydellinen, jos avaruuden E jokainen Cauchyn jono (x n ) suppenee avaruudessa E (siis on olemassa sellainen y E, että lim n x n = y). Täydelliset normiavaruudet ovat funktionaalianalyysin keskeinen tutkimuskohde ja työkalu, joten näille on otettu käyttöön oma nimi (puolalaisen Stefan Banach in ( ) mukaan, joka merkittävällä tavalla kehitti alaa) Määritelmä. Täydellistä normiavaruutta (E, ) sanotaan Banachin avaruudeksi (usein sanomme lyhyesti: E on Banachin avaruus). Selvitetään seuraavaksi mitkä edellisessä luvussa löydetyistä avaruuksista ovat täydellisiä, ja erityisesti, kuinka käytännössä näytetään että annettu normiavaruus on täydellinen. Olkoon siis ensin A joukko ja varustettuna normilla B(A, K) =B(A) := {x : A K x rajoitettu kuvaus}, x = sup x(t), t A kun x B(A, K) Lause. (B(A, K), ) on Banachin avaruus. Todistus. Todistus perustuu skalaarikunnan K täydellisyyteen. Nimittäin, olkoon (x n ) Cauchyn jono avaruudessa B(A, K), ε> 0 ja t A mielivaltainen. Koska on olemassa sellainen indeksi m ε, että (3.7) x k (t) x j (t) x k x j <ε