Luku 3: Virheetön kide

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luku 3: Virheetön kide"

Transkriptio

1 Luku 3: Virheetön kide Suurin osa teknisistä materiaaleista ovat kiteisiä. Materiaalit voidaan kiderakenteensa puolesta jakaa 7:ään kidesysteemiin ja 14:sta piste- eli Bravais-hilaan. Metallien kiderakenne on suhteellisen yksinkertainen jopa niin, että valtaosassa metalleja mahdollisten atomijärjestysten lukumäärä on vain kolme. Keraameilla kiderakenne on yleensä varsin monimutkainen. Lasit puolestaan ovat atomijärjestykseltään amorfisia ja polymeerit koostuvat usein sekä kiteisestä että amorfisesta osasta kiderakenteen ollessa näissä yhtä monimutkainen kuin keraameilla. Kiteisen rakenteen määrittämiseksi on tunnettava/pystyttävä määrittämään atomien paikat kiteessä sekä kidesuunnat ja -tasot. 3.1 Seitsemän systeemiä ja neljätoista hilaa Kiteiselle atomijärjestykselle on ominaista jaksollisuus, jossa tietty perusyksikkö, alkeiskoppi toistuu läpi rakenteen. Alkeiskopin geametria voidaan määritellä kolmen vektorin (ns. siirrosvektorin) muodostamalla suuntaissärmiöllä, jossa vektorit ovat ā, b ja c ja niiden väliset kulmat α, β ja γ, ks. kirjan kuva 3.2. Kiteinen atomijärjestyksen voidaan ajatella rakentuvan kahdessa vaiheessa: 1. Muodostetaan ensin kiteen runko-osa, ristikko eli (piste)hila jakamalla tyhjä tila samankokoisiin ja muotoisiin alkeiskoppeihin. Matemaattisesti tämä tapahtuu käyttäen hilavektoria r = uā + v b + w c jossa ā, b ja c ovat alkeiskopin määrittävät vektorit. Kokonaislukujen u, v ja w saadessa kaikki mahdolliset kokonaislukuarvot 0, ±1, ±2, ±3... hilavektori r määrittää alkeiskoppien nurkkapisteet ja samalla jakaa tilan alkeiskopin kokoisiin yksiköihin. Koska alkeiskoppien pitää täyttää tila 100 %:sti, mah- 1

2 dollisia koppimuotoja on vain seitsemän = kidesysteemit. Katso taulukko 3.1. Vaikka muotoja on vain seitsemän, voidaan kiteinen järjestys kuitenkin jakaa äärettömän monella tavalla samanmuotoisiin alkeiskoppeihin. 2. Lisätään luotuun imaginaariseen ristikkoon atomit asettamalla jokaiseen hilavektorin r määrittämään pisteeseen motiivi, joka koostuu joko yhdestä atomista (primitiivinen, merkintä P), kahdesta atomista (tilakeskinen, I tai päätypintakeskinen, C) tai neljästä atomista (pintakeskinen, P). Kuva 1: Motiivit. Yhdistämällä hila + motiivi voidaan rakentaa 14 erilaista yksikkökoppia = Bravais-hilat, joita esitetty taulukossa 3.2. Huomaa yksikkökopin ja alkeiskopin ero: alkeiskoppi sisältää yhteensä vain yhden atomin (1/8 atomia 8:ssa nurkkapisteessä), kun taas yksikkökopissa on 1,2 tai 4 atomia. Esimerkiksi pintakeskisessä kuutiollisessa (pkk) on 8 nurkka-atomia (1/8 atomista) ja kuusi sivutahkon keskellä olevaa atomia (1/2 atomista) mistä saadaan 8 1/ /2 = 4 atomia. Yksikkökoppien käyttö helpottaa hahmottamista: Esimerkiksi pintakeskinen kuutiollinen -rakenne voidaan esittää myös rakenteena, joka koostuu trikliinisistä alkeiskopeista, mutta rakenteen hahmottaminen olisi silloin hankalampaa. 3.2 Metallinen rakenne Metallien kiderakenne on yksinkertainen. Yleisimmät Bravais-hilat ovat pintakeskinen kuutiollinen (pkk), tilakeskinen kuutiollinen (tkk) ja tiivispakkauksellinen heksagoninen (tph) 2

3 Näistä pkk ja tph ovat ns. tiivispakkauksellisia rakenteita eli niissä atomipallot täyttävät 74 % kopin tilavuudesta (ja siten tyhjän tilan osuus on 26 %). Tkk on vain tiiviisti pakattu rakenne täyttöasteella 68 % (tyhjää tilaa siten 32 %). Kun atomit asettuvat tasolle siten, että jokaista atomia ympäröi kuusi naapuria (lettupannun kuvio) saadaan tiivispakkauksellinen atomitaso. Pinoamalla näitä tasoja päällekkäin jaksolla ABCABC... saadaan pkk ja jaksolla ABABAB... saadaan tph, katso kuva 3.7. Korkeampaa matematiikkaa käyttäen voidaan yksikkökopin särmän pituuden a (= hilavakio) ja atomipallon säteen r välille löytää yhteys Taulukko 1: Hilavakio atomisäteen funktiona. Bravais-hila Hilavakio ja atomisäteen yhteys tkk a = 4r/ 3 pkk a = 4r/ 2 tph a = 2r 3.6 Hilapisteet, suunnat ja tasot Kristallografia liityy olennaisena osana useaan alaan kuten metallurgiaan, geologiaan, puolijohdeteollisuuteen. Kaikissa näissä käytetään yhtenäistä systeemiä kidesuuntien ja -tasojen nimeämisessä. Indeksointa selvittävä video löytyy oppimateriaaleista. Kristallografiassa käytetään runsaasti vektorimatematiikkaa. Vaikka jokainen on tietysti perehtynyt tähän matematiikan osa-alueeseen, aihetta kertaava teksti löytyy oppimateriaalista. 3.7 Röntgendiffraktio Materiaalien kiderakenteen analysointi perustuu yleensä röntgendiffraktioon. Monirakeisen materiaalin kiderakenteen analysointi perustuu kahteen yksinkertaiseen kaavaan; Braggin laki 3

4 n λ = 2d sinθ (1) missä n = 1, 2, 3..., λ on röntgensäteilyn aallonpituus, d heijastavien atomitasojen välinen etäisyys ja θ on heijastuskulma. Toinen tarpeellinen kaava sitoo atomitasojen välisen etäisyyden (d) hilavakion (a) ja tason indeksit (hkl) toisiinsa. Kuutiollisessa rakenteessa tämä kaava on d hkl = a h 2 + k 2 + l 2 (2) Yhdistämällä nämä kaksi saadaan sin 2 θ = λ2 4a 2 }{{} =vakio ( k 2 + k 2 + l 2) (3) Diffraktiomittauksessa muutetaan röntgensäteen tulokulmaa ja rekisteröidään esimerkiksi atomitasoilta (111), (200), (220), (220)... saatavat heijastukset sekä näitä vastaavat heijastuskulmat (θ). Kuten kaavasta 3 nähdään kasvavat heijastuskulmien sin 2 arvot samassa suhteessa kuin heijastavien tasojen indeksien neliöiden summa. Kiderakenteen ratkaiseminen perustuu tähän yhteyteen. Metallikiteen kaikki atomitasot eivät välttämättä anna heijastusta (heijastukset tulevat vain alkeiskopeista). Tästä saadaan heijastusehdot, jotka on esitetty kirjan taulukossa 3.4. Sanastoa Joidenkin termien suomennokset. 4

5 Englanti GENERAL atomic packing factor Bravais lattice crystal system family of directions family of planes lattice constant lattice direction lattice parameter lattice position linear density Miller-Bravais indices Miller indices planar density point lattice atomien pakkaustiheys Bravaishila kidesysteemi, -järjestelmä suunnan muoto tason muoto hilavakio hilasuunta hilaparametri hilapiste lineaarinen tiheys Miller-Bravais -indeksit Miller -indeksit tasotiheys hilapiste Toisin kuin englanninkielisessä kirjallisuudessa, käsitteitä lineaarinen tiheys ja tasotiehys ei käytetä Suomessa kovinkaan yleisesti. Käsitteen atomien pakkaustiheys (APF) asemesta Suomessa käytetään yleisemmin käsitettä tyhjän tilan osuus = 1-APF. Englanti STRUCTURES body-centered cubic cubic close packed face-centered cubic hexagonal close packed tilakeskinen kuutiollinen kuutiollinen tiivispakkaus pintakeskinen kuutiollinen heksagoninen tiivispakkaus Englanti DIFFRACTION Bragg angle Bragg equation Bragg law diffraction diffraction angle diffractometer interplanar spacing primitive unit cells reflection rules x-radiation x-ray diffraction heijastuskulma Braggin yhtälö Braggin laki diffraktio heijastuskulma diffratometri (atomi)tasojen välinen etäisyys primitiivinen yksikkökoppi heijastusehdot röntgensäteily röntgendiffraktio 5

KRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA

KRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA KRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA Aloita kertaamalla hilan indeksointi niin, että osaat kuutiollisen kiteen tasojen ja suuntien Miller-indeksit. Vektorit määritellään yleisessä muodossa r

Lisätiedot

Materiaalifysiikan perusteet P Ratkaisut 1, Kevät 2017

Materiaalifysiikan perusteet P Ratkaisut 1, Kevät 2017 Materiaalifysiikan perusteet 51104P Ratkaisut 1, Kevät 017 1. Kiderakenteen alkeiskopin hahmottamiseksi pyritään löytämään kuvitteellisesta rakenteesta sen pienin toistuva yksikkö (=kanta). Kunkin toistuvan

Lisätiedot

Luku 3: Kiinteiden aineiden rakenne

Luku 3: Kiinteiden aineiden rakenne Luku 3: Kiinteiden aineiden rakenne Käsiteltäviä aiheita Kuinka atomit järjestyvät kiinteiksi aineiksi? (tällä erää keskitymme metalleihin) Kuinka materiaalin tiheys riippuu sen rakenteesta? Milloin materiaaliominaisuudet

Lisätiedot

KIDETUTKIMUS. 1. Työn tavoitteet. 2. Työn taustaa

KIDETUTKIMUS. 1. Työn tavoitteet. 2. Työn taustaa Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysikaalisen kemian laboratorioharjoitukset I 1 KIDETUTKIMUS 1. Työn tavoitteet Tässä työssä havainnollistetaan kiteisten aineiden rakenteen tutkimista röntgendiffraktion

Lisätiedot

Kidehilan perusominaisuudet

Kidehilan perusominaisuudet Kidehilan perusominaisuudet Kiteen muodostaa hila (usein kutsutaan Bravaisin hilaksi) ja yhdestä tai useammasta atomista muodostuva kanta(klusteri). Kantaklusteri toistuu kiteessä hilan määräämällä tavalla

Lisätiedot

1.Growth of semiconductor crystals

1.Growth of semiconductor crystals BST, fall 2012 1 1.Growth of semiconductor crystals Origin of the properties of matter is in the atomic structure, or in more details, both in how electrons bind the atoms and in quantum dynamics of the

Lisätiedot

Kidehilan perusominaisuudet

Kidehilan perusominaisuudet Kidehilan perusominaisuudet Kiteen muodostaa hila (usein kutsutaan Bravaisin hilaksi) ja yhdestä tai useammasta atomista muodostuva kanta(klusteri). Kantaklusteri toistuu kiteessä hilan määräämällä tavalla

Lisätiedot

Kiinteän aineen ominaisuuksia I. Kiteisen aineen perusominaisuuksia

Kiinteän aineen ominaisuuksia I. Kiteisen aineen perusominaisuuksia Kiinteän aineen ominaisuuksia I Kiteiden perustyypit Kiderakenteiden peruskäsitteitä Kiteisen aineen perusominaisuuksia Kide on suuresta atomijoukosta muodostunut säännöllinen ja stabiili, atomiseen skaalaan

Lisätiedot

1.5 RÖNTGENDIFFRAKTIO

1.5 RÖNTGENDIFFRAKTIO 1.5 RÖNTGENDIFFRAKTIO 1.5.1 Kiinteän aineen rakenne Kiinteät aineet voidaan luokitella kahteen ryhmään sen mukaan, millä tavalla niiden atomit tai molekyylit ovat järjestäytyneet. Amorfisten aineiden,

Lisätiedot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan

Lisätiedot

Työn tavoitteita. 1 Teoriaa

Työn tavoitteita. 1 Teoriaa FYSP103 / K3 BRAGGIN DIFFRAKTIO Työn tavoitteita havainnollistaa röntgendiffraktion periaatetta konkreettisen laitteiston avulla ja kerrata luennoilla läpikäytyä teoriatietoa Röntgendiffraktio on tärkeä

Lisätiedot

Luento 3. Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria

Luento 3. Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria Luento 3 Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria Luento 3 Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria Kidesuunnat Kidesuuntien määrittäminen kuutiollisessa

Lisätiedot

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1 Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!

Lisätiedot

1. Materiaalien rakenne

1. Materiaalien rakenne 1. Materiaalien rakenne 1.3 Kiderakenteista 2. Luento 4.11.2010 www.helsinki.fi/yliopisto 1.3 Kiderakenteista 1.3.1 Aineen faasit: Kiteisyyden määrittäminen Kiteisyyden eli kiderakenteen määrittämiset

Lisätiedot

4. Selitä sanoin ja kuvin miten n- ja p-tyypin puolijohteiden välinen liitos toimii tasasuuntaajana?

4. Selitä sanoin ja kuvin miten n- ja p-tyypin puolijohteiden välinen liitos toimii tasasuuntaajana? Tentti 4..2006. a) Selitä Braggin laki röntgensäteiden heijastukselle kiteistä. b) Tutki onko tasoissa (00), (0) ja () sammuneita heijastuksia tilakeskeisessä kuutiollisessa rakenteessa. Toista sama pintakeskeisessä

Lisätiedot

Luento 10:Kertausta: Kemiallinen tasapaino + Kiinteän olomuodon kemia CHEM-A1250

Luento 10:Kertausta: Kemiallinen tasapaino + Kiinteän olomuodon kemia CHEM-A1250 Luento 10:Kertausta: Kemiallinen tasapaino + Kiinteän olomuodon kemia 9.2.2017 CHEM-A1250 Tasapaino ja tasapainovakio Kaksisuuntainen reaktio a A+ b B p P + r R Eteenpäin menevän reaktion nopeus: rr 1

Lisätiedot

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka kevät 2017

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka kevät 2017 PHYS-C0240 Materiaalifysiikka kevät 2017 Prof. Martti Puska Emppu Salonen Ville Vierimaa Janika Tang Luennot 9 ja 10: Sironta kiteistä torstait 13.4. ja 20.4.2017 Aiheet Braggin sirontaehto Lauen sirontaehto

Lisätiedot

, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n,

, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n, S-114.6, Fysiikka IV (EST),. VK 4.5.005, Ratkaisut 1. Selitä lyhyesti mutta mahdollisimman täsmällisesti: a) Keskimääräisen kentän malli ja itsenäisten elektronien approksimaatio. b) Monen fermionin aaltofunktion

Lisätiedot

Metallit jaksollisessa järjestelmässä

Metallit jaksollisessa järjestelmässä Metallit Metallit käytössä Metallit jaksollisessa järjestelmässä 4 Metallien rakenne Ominaisuudet Hyvin muokattavissa, muovattavissa ja työstettävissä haluttuun muotoon Lujia Verraten korkea lämpötilan

Lisätiedot

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA. Rigaku SmartLab:n käyttö terästutkimuksessa. Aino Tirri

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA. Rigaku SmartLab:n käyttö terästutkimuksessa. Aino Tirri TEKNILLINEN TIEDEKUNTA Rigaku SmartLab:n käyttö terästutkimuksessa Aino Tirri KONETEKNIIKAN TUTKINTO-OHJELMA Kandidaatintyö 2017 TEKNILLINEN TIEDEKUNTA Rigaku SmartLab:n käyttö terästutkimuksessa Aino

Lisätiedot

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla. FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin

Lisätiedot

Nyt. = R e ik R ψ n (r + R R ) = e ik R [ = e ik R b n ψ n (r R),

Nyt. = R e ik R ψ n (r + R R ) = e ik R [ = e ik R b n ψ n (r R), Tiukan sidoksen malli Tarkastellaan sellaisia kiderakenteita, joissa atomien elektronien aaltofunktiot ovat lokalisoituneet isäntäionien läheisyyteen. Jos unohdetaan periodisuuden vaikutukset, elektronien

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kuva 1. Braggin diffraktio sarjasta atomitasoja.

Kuva 1. Braggin diffraktio sarjasta atomitasoja. RÖNTGENDIFFRAKTIO 1 Johdanto Röntgendiffraktio on menetelmä, jolla voidaan tutkia kiinteän aineen rakennetta. Menetelmä perustuu sähkömagneettisen säteilyn aaltoluonteeseen ja periodisesta hilarakenteesta

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

763628S Kondensoidun materian fysiikka

763628S Kondensoidun materian fysiikka 763628S Kondensoidun materian fysiikka Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto 10. tammikuuta 2012 Yleistä Kurssin verkkosivu löytyy osoitteesta: https://wiki.oulu.fi/display/763628s/ Etusivu Se sisältää

Lisätiedot

E p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis

E p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis 763343A IINTEÄN AINEEN FYSIIA Ratkaisut 3 evät 2017 1. Tehtävä: CsCl muodostuu Cs + - ja Cl -ioneista, jotka asettuvat tilakeskeisen rakenteen vuoropaikoille (kuva). Laske tämän rakenteen Madelungin vakion

Lisätiedot

763628S Kondensoidun materian fysiikka

763628S Kondensoidun materian fysiikka 76368S Kondensoidun materian fysiikka Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto 8. helmikuuta 01 Yleistä Kurssin verkkosivu löytyy osoitteesta: https://wiki.oulu.fi/display/76368s/etusivu Se sisältää

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

RUOSTUMATTOMAT TERÄKSET

RUOSTUMATTOMAT TERÄKSET 1 RUOSTUMATTOMAT TERÄKSET 3.11.2013 Seuraavasta aineistosta kiitän Timo Kauppia Kemi-Tornio Ammattikorkeakoulu 2 RUOSTUMATTOMAT TERÄKSET Ruostumattomat teräkset ovat standardin SFS EN 10022-1 mukaan seostettuja

Lisätiedot

KJR-C2004 materiaalitekniikka. Harjoituskierros 2

KJR-C2004 materiaalitekniikka. Harjoituskierros 2 KJR-C2004 materiaalitekniikka Harjoituskierros 2 Pienryhmäharjoitusten aiheet 1. Materiaaliominaisuudet ja tutkimusmenetelmät 2. Metallien deformaatio ja lujittamismekanismit 3. Faasimuutokset 4. Luonnos:

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Luku 4: Hilaviat. Käsiteltäviä aiheita. Mitkä ovat jähmettymismekanismit? Millaisia virheitä kiinteissä aineissa on?

Luku 4: Hilaviat. Käsiteltäviä aiheita. Mitkä ovat jähmettymismekanismit? Millaisia virheitä kiinteissä aineissa on? Käsiteltäviä aiheita Luku 4: Hilaviat Mitkä ovat jähmettymismekanismit? Millaisia virheitä kiinteissä aineissa on? Voidaanko vikojen määrää ja tyyppiä kontrolloida? Miten viat vaikuttavat materiaaliominaisuuksiin?

Lisätiedot

Metallien plastinen deformaatio on dislokaatioiden liikettä

Metallien plastinen deformaatio on dislokaatioiden liikettä Metallien plastinen deformaatio on dislokaatioiden liikettä Särmädislokaatio 2 Ruuvidislokaatio 3 Dislokaatioiden ominaisuuksia Eivät ala/lopu tyhjästä, vaan: muodostavat ympyröitä alkavat/loppuvat raerajoille,

Lisätiedot

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman

Lisätiedot

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma 1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma Pisteen, suoran ja tason avulla lähdetään muodostamaan uusia geometrian käsitteitä. Jos suora sahataan (keskeltä!!) poikki ja heitetään toinen puoli pois,

Lisätiedot

Diffraktio. Luku 36. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun

Diffraktio. Luku 36. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun Luku 36 Diffraktio PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman Lectures by James Pazun Johdanto Ääni kuuluu helposti nurkan taakse Myös valo voi taipua

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Fononit. Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa

Fononit. Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa Fononit Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa Atomien lämpövärähtely Mikä on atomien värähtelyn taajuus ja amplitudi? Tarkastellaan

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Osallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai

Osallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:

Lisätiedot

OPTIIKAN TYÖ. Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti:

OPTIIKAN TYÖ. Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti: Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti: OPTIIKAN TYÖ Vastaa ensin seuraaviin ennakkotietoja mittaaviin kysymyksiin. 1. Mitä tarkoittavat

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 12 Tavoitteet Diffraktio Fresnel- ja Fraunhofer-diffraktio Diffraktio yhdestä raosta Yhden raon kuvion intensiteetti Monen

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Työssä mitataan välillisesti elektronien taipumiskulmat ja lasketaan niiden sekä elektronin energian avulla grafiitin hilavakioita.

Työssä mitataan välillisesti elektronien taipumiskulmat ja lasketaan niiden sekä elektronin energian avulla grafiitin hilavakioita. FYSA230/1 ELEKTRONIEN DIFFRAKTIO 1 Johdanto Elektronien diffraktio on interferenssi-ilmiö, joka osoittaa hiukkasilla olevan aaltoluonteen. Hiukkasten aaltoluonne on hyvin fundamentaalisesti fysiikan maailmankuvaan

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 21. marraskuuta 2016 Tasoaaltojen heijastus ja läpäisy (Ulaby 8.1 8.5) Kohtisuora heijastus ja läpäisy Tehon heijastus ja läpäisy Snellin laki

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi lyhyesti. a) a, c, e, g, b),,, 7,, Ratkaisut: a) i ja k - oikea perustelu ja oikeat kirjaimet, annetaan

Lisätiedot

Vaihdetaan ryhmässä (1) summausindeksiksi K, jolloin saadaan (E E 0 k K 1

Vaihdetaan ryhmässä (1) summausindeksiksi K, jolloin saadaan (E E 0 k K 1 Heikot periodiset potentiaalit Useiden metallien (alkuaineryhmissä I, II, III ja IV) johde-elektronit liikkuvat heikossa kiteen ionien muodostamassa potentiaalissa, sillä näillä metalleilla on s- tai p-elektroni

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

Kvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi

Kvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Fysiikan laboratoriotyöt 2, osa 2 ATOMIN SPEKTRI

Fysiikan laboratoriotyöt 2, osa 2 ATOMIN SPEKTRI Fysiikan laitos, kevät 2009 Fysiikan laboratoriotyöt 2, osa 2 ATOMIN SPEKTRI Valon diffraktioon perustuvia hilaspektrometrejä käytetään yleisesti valon aallonpituuden määrittämiseen. Tätä prosessia kutsutaan

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ 76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot