Luku 3: Virheetön kide

Transkriptio

1 Luku 3: Virheetön kide Suurin osa teknisistä materiaaleista ovat kiteisiä. Materiaalit voidaan kiderakenteensa puolesta jakaa 7:ään kidesysteemiin ja 14:sta piste- eli Bravais-hilaan. Metallien kiderakenne on suhteellisen yksinkertainen jopa niin, että valtaosassa metalleja mahdollisten atomijärjestysten lukumäärä on vain kolme. Keraameilla kiderakenne on yleensä varsin monimutkainen. Lasit puolestaan ovat atomijärjestykseltään amorfisia ja polymeerit koostuvat usein sekä kiteisestä että amorfisesta osasta kiderakenteen ollessa näissä yhtä monimutkainen kuin keraameilla. Kiteisen rakenteen määrittämiseksi on tunnettava/pystyttävä määrittämään atomien paikat kiteessä sekä kidesuunnat ja -tasot. 3.1 Seitsemän systeemiä ja neljätoista hilaa Kiteiselle atomijärjestykselle on ominaista jaksollisuus, jossa tietty perusyksikkö, alkeiskoppi toistuu läpi rakenteen. Alkeiskopin geametria voidaan määritellä kolmen vektorin (ns. siirrosvektorin) muodostamalla suuntaissärmiöllä, jossa vektorit ovat ā, b ja c ja niiden väliset kulmat α, β ja γ, ks. kirjan kuva 3.2. Kiteinen atomijärjestyksen voidaan ajatella rakentuvan kahdessa vaiheessa: 1. Muodostetaan ensin kiteen runko-osa, ristikko eli (piste)hila jakamalla tyhjä tila samankokoisiin ja muotoisiin alkeiskoppeihin. Matemaattisesti tämä tapahtuu käyttäen hilavektoria r = uā + v b + w c jossa ā, b ja c ovat alkeiskopin määrittävät vektorit. Kokonaislukujen u, v ja w saadessa kaikki mahdolliset kokonaislukuarvot 0, ±1, ±2, ±3... hilavektori r määrittää alkeiskoppien nurkkapisteet ja samalla jakaa tilan alkeiskopin kokoisiin yksiköihin. Koska alkeiskoppien pitää täyttää tila 100 %:sti, mah- 1

2 dollisia koppimuotoja on vain seitsemän = kidesysteemit. Katso taulukko 3.1. Vaikka muotoja on vain seitsemän, voidaan kiteinen järjestys kuitenkin jakaa äärettömän monella tavalla samanmuotoisiin alkeiskoppeihin. 2. Lisätään luotuun imaginaariseen ristikkoon atomit asettamalla jokaiseen hilavektorin r määrittämään pisteeseen motiivi, joka koostuu joko yhdestä atomista (primitiivinen, merkintä P), kahdesta atomista (tilakeskinen, I tai päätypintakeskinen, C) tai neljästä atomista (pintakeskinen, P). Kuva 1: Motiivit. Yhdistämällä hila + motiivi voidaan rakentaa 14 erilaista yksikkökoppia = Bravais-hilat, joita esitetty taulukossa 3.2. Huomaa yksikkökopin ja alkeiskopin ero: alkeiskoppi sisältää yhteensä vain yhden atomin (1/8 atomia 8:ssa nurkkapisteessä), kun taas yksikkökopissa on 1,2 tai 4 atomia. Esimerkiksi pintakeskisessä kuutiollisessa (pkk) on 8 nurkka-atomia (1/8 atomista) ja kuusi sivutahkon keskellä olevaa atomia (1/2 atomista) mistä saadaan 8 1/ /2 = 4 atomia. Yksikkökoppien käyttö helpottaa hahmottamista: Esimerkiksi pintakeskinen kuutiollinen -rakenne voidaan esittää myös rakenteena, joka koostuu trikliinisistä alkeiskopeista, mutta rakenteen hahmottaminen olisi silloin hankalampaa. 3.2 Metallinen rakenne Metallien kiderakenne on yksinkertainen. Yleisimmät Bravais-hilat ovat pintakeskinen kuutiollinen (pkk), tilakeskinen kuutiollinen (tkk) ja tiivispakkauksellinen heksagoninen (tph) 2

3 Näistä pkk ja tph ovat ns. tiivispakkauksellisia rakenteita eli niissä atomipallot täyttävät 74 % kopin tilavuudesta (ja siten tyhjän tilan osuus on 26 %). Tkk on vain tiiviisti pakattu rakenne täyttöasteella 68 % (tyhjää tilaa siten 32 %). Kun atomit asettuvat tasolle siten, että jokaista atomia ympäröi kuusi naapuria (lettupannun kuvio) saadaan tiivispakkauksellinen atomitaso. Pinoamalla näitä tasoja päällekkäin jaksolla ABCABC... saadaan pkk ja jaksolla ABABAB... saadaan tph, katso kuva 3.7. Korkeampaa matematiikkaa käyttäen voidaan yksikkökopin särmän pituuden a (= hilavakio) ja atomipallon säteen r välille löytää yhteys Taulukko 1: Hilavakio atomisäteen funktiona. Bravais-hila Hilavakio ja atomisäteen yhteys tkk a = 4r/ 3 pkk a = 4r/ 2 tph a = 2r 3.6 Hilapisteet, suunnat ja tasot Kristallografia liityy olennaisena osana useaan alaan kuten metallurgiaan, geologiaan, puolijohdeteollisuuteen. Kaikissa näissä käytetään yhtenäistä systeemiä kidesuuntien ja -tasojen nimeämisessä. Indeksointa selvittävä video löytyy oppimateriaaleista. Kristallografiassa käytetään runsaasti vektorimatematiikkaa. Vaikka jokainen on tietysti perehtynyt tähän matematiikan osa-alueeseen, aihetta kertaava teksti löytyy oppimateriaalista. 3.7 Röntgendiffraktio Materiaalien kiderakenteen analysointi perustuu yleensä röntgendiffraktioon. Monirakeisen materiaalin kiderakenteen analysointi perustuu kahteen yksinkertaiseen kaavaan; Braggin laki 3

4 n λ = 2d sinθ (1) missä n = 1, 2, 3..., λ on röntgensäteilyn aallonpituus, d heijastavien atomitasojen välinen etäisyys ja θ on heijastuskulma. Toinen tarpeellinen kaava sitoo atomitasojen välisen etäisyyden (d) hilavakion (a) ja tason indeksit (hkl) toisiinsa. Kuutiollisessa rakenteessa tämä kaava on d hkl = a h 2 + k 2 + l 2 (2) Yhdistämällä nämä kaksi saadaan sin 2 θ = λ2 4a 2 }{{} =vakio ( k 2 + k 2 + l 2) (3) Diffraktiomittauksessa muutetaan röntgensäteen tulokulmaa ja rekisteröidään esimerkiksi atomitasoilta (111), (200), (220), (220)... saatavat heijastukset sekä näitä vastaavat heijastuskulmat (θ). Kuten kaavasta 3 nähdään kasvavat heijastuskulmien sin 2 arvot samassa suhteessa kuin heijastavien tasojen indeksien neliöiden summa. Kiderakenteen ratkaiseminen perustuu tähän yhteyteen. Metallikiteen kaikki atomitasot eivät välttämättä anna heijastusta (heijastukset tulevat vain alkeiskopeista). Tästä saadaan heijastusehdot, jotka on esitetty kirjan taulukossa 3.4. Sanastoa Joidenkin termien suomennokset. 4

5 Englanti GENERAL atomic packing factor Bravais lattice crystal system family of directions family of planes lattice constant lattice direction lattice parameter lattice position linear density Miller-Bravais indices Miller indices planar density point lattice atomien pakkaustiheys Bravaishila kidesysteemi, -järjestelmä suunnan muoto tason muoto hilavakio hilasuunta hilaparametri hilapiste lineaarinen tiheys Miller-Bravais -indeksit Miller -indeksit tasotiheys hilapiste Toisin kuin englanninkielisessä kirjallisuudessa, käsitteitä lineaarinen tiheys ja tasotiehys ei käytetä Suomessa kovinkaan yleisesti. Käsitteen atomien pakkaustiheys (APF) asemesta Suomessa käytetään yleisemmin käsitettä tyhjän tilan osuus = 1-APF. Englanti STRUCTURES body-centered cubic cubic close packed face-centered cubic hexagonal close packed tilakeskinen kuutiollinen kuutiollinen tiivispakkaus pintakeskinen kuutiollinen heksagoninen tiivispakkaus Englanti DIFFRACTION Bragg angle Bragg equation Bragg law diffraction diffraction angle diffractometer interplanar spacing primitive unit cells reflection rules x-radiation x-ray diffraction heijastuskulma Braggin yhtälö Braggin laki diffraktio heijastuskulma diffratometri (atomi)tasojen välinen etäisyys primitiivinen yksikkökoppi heijastusehdot röntgensäteily röntgendiffraktio 5