KIDETUTKIMUS. 1. Työn tavoitteet. 2. Työn taustaa
|
|
- Sinikka Hakola
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysikaalisen kemian laboratorioharjoitukset I 1 KIDETUTKIMUS 1. Työn tavoitteet Tässä työssä havainnollistetaan kiteisten aineiden rakenteen tutkimista röntgendiffraktion avulla. Työssä ei käytetä kiteistä ainetta eikä terveydelle haitallista röntgensäteilyä, vaan ilmiötä mallinnetaan makroskooppisesti käyttämällä mikroaaltoja, joiden aallonpituus on joitakin senttimetrejä. Vastaavasti oikea kide korvataan suurikokoisella styroksista valmistetulla kuutiolla, johon on upotettu metallikuulia. Työn tarkoituksena on päätellä tutkittavan kiteen kiderakenne mittaamalla mikroaaltosäteilyn heijastuskulmia kiteestä.. Työn taustaa.1 Kiderakenne Kide on kiinteän aineen rakenteen ideaalinen malli, jossa todellisessa tilanteessa esiintyvät epätäydellisyydet jätetään huomioimatta. Kiteen voidaan ajatella muodostuneen siten, että keskenään identtisiä rakenneyksiköitä on pinottu kolmessa ulottuvuudessa vieri viereen. Kiteen kuvaamiseksi tarvitaan ensinnäkin joukko atomeja tai atomiryhmiä, jotka toistuvat kiteessä jatkuvasti. Tätä toistuvaa rakenneyksikköä kutsutaan kannaksi. Kannan lisäksi tarvitaan avaruushila, joka on säännöllinen, kolmeen riippumattomaan suuntaan jaksollinen diskreetti pistejoukko. Kaikilla hilan pisteillä on identtinen toisten pisteiden muodostama ympäristö. Avaruushilaan kuuluvat pisteet voidaan esittää lineaarisesti riippumattomien alkeisvektoreiden a 1, a ja a 3 avulla. Kun origo valitaan hilapisteeksi, kuuluvat hilaan ne pisteet, joiden paikkavektorit ovat muotoa r n1a1 na n3a3, missä kertoimet n i, i 1 3 ovat kokonaislukuja. Esimerkki avaruushilasta on esitetty kuvassa 1a. Vektorit a 1, a ja a 3 määrittelevät ns. alkeiskopin. Hilassa on täsmälleen yksi hilapiste kutakin alkeiskoppia kohti. Kiderakennetta kuvattaessa perusyksiköksi valitaan usein alkeiskoppia suurempi ns. yksikkökoppi, jonka tilavuus on alkeiskopin monikerta. Yksikkökoppi ja atomien tai atomiryhmien eli kannan sijainti siinä määräävät yhdessä kiderakenteen. Yksikkökopin koko ja muoto ilmaistaan särmävektorien a, b ja c avulla. Näitä vektoreita nimitetään usein kiteen kantavektoreiksi, vaikka yksikkökoppi ei olekaan alkeiskoppi. Yksikkökoppia kuvataan hilaparametreilla, jotka ovat sen särmien pituudet a, b ja c (näitä kutsutaan hilavakioiksi) ja särmien väliset kulmat, ja. Kuva 1b esittää yksikkökoppia.
2 KIDETUTKIMUS a) b) c a b Kuva 1. a) Avaruushila. Kuvassa on näkyvissä 7 alkeiskoppia. b) Yksikkökoppi. Symmetriaominaisuuksien perusteella voidaan päätellä, että kaikki mahdolliset kiteet voidaan johtaa 14:sta erilaisesta avaruushilasta, ns. Bravaisin hilasta. Bravaisin hilat jaetaan seitsemään luokkaan kantavektorien pituuksien ja keskinäisen asennon perusteella. Nämä luokat on esitelty taulukossa 1. Kuvassa näkyvät tämän työn kannalta tärkeät kuutiolliset hilat. Taulukko 1. Kolmidimensionaaliset Bravaisin hilat ja kidesysteemit. Tyyppinimityksissä s on yksinkertainen eli primitiiivinen, bc on tilakeskinen, fc on pintakeskinen, cc on sivukeskinen ja r on rhombohedrinen hila. Luokan nimi Jäsenten määrä Yksikkökopin muoto Tyyppi Kuutiollinen 3 a = b = c = = = 90 s, bc, fc Tetragonaalinen a = b c = = = 90 s, bc Ortorombinen 4 a b c = = = 90 s, bc, fc,cc Monokliininen a b c = = 90 s,cc Trikliininen 1 a b c 90 s Trigonaalinen 1 a = b = c = = 90 r Heksagonaalinen 1 a = b c = = 90, = 10 s a) Yksinkertainen (s) b) Tilakeskinen (bc) c) Pintakeskinen (fc) Kuva. Kuutiolliset hilat.
3 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysikaalisen kemian laboratorioharjoitukset I 3. Hilatasot ja Millerin indeksit Hilatasot ovat hilapisteiden kautta kulkevia yhdensuuntaisia tasoja, joita voidaan asettaa kulkemaan äärettömän monella eri tavalla. Kuvassa 3a on esitetty muutamia erilaisia hilatasoja. Jokaisella yhdensuuntaisella tasojen parvella on määrätty suunta yksikkökopin särmävektorien a, b ja c suhteen. Tätä suuntaa samoin kuin yhdensuuntaisia hilatasoja kuvataan Millerin indeksien avulla. Tietyn hilatason Millerin indeksit saadaan selville määrittämällä ensin tason leikkauspisteet vektoreiden a, b ja c kanssa. Olkoot ne kuvan 3b mukaisesti u ', v ' ja w '. Muodostetaan nyt näistä luvuista käänteisluvut 1/ u ', 1/ v' ja 1/ w '. Millerin indeksit h, k ja l saadaan laventamalla edellä lasketut käänteisluvut pienimmiksi mahdollisiksi kokonaisluvuiksi. Hilatasoa merkitään symbolilla (hkl). Jos hilataso on jonkin akselin suuntainen, akselin ja tason leikkauspisteen ajatellaan sijaitsevan äärettömän kaukana ja vastaava Millerin indeksi on tässä tilanteessa 1/ 0. Kuvassa 4 on esitetty joitakin kuutiollisten kiteiden tärkeimpiä hilatasoja ja taulukossa näkyvät niiden mahdolliset Millerin indeksit. a) b) c w c d a u a v b b Kuva 3. a) Esimerkkejä hilatasoista. b) Kuution sisälle piirrettyä tasoa kuvataan sen ja akselien a, b ja c leikkauspisteiden käänteislukujen 1/u, 1/v ja 1/w avulla saatavilla Millerin indekseillä (100) (110) (111) Kuva 4. Kuutiollisten kiteiden hilatasoja ja niiden Millerin indeksit.
4 4 KIDETUTKIMUS h + k + l Taulukko. Kuutiollisten kiteiden Millerin indeksit. Primitiivinen s (hkl) 1 (100) Pintakeskinen fc (hkl) Tilakeskinen bc (hkl) (110) (110) 3 (111) (111) 4 (00) (00) (00) 5 (10) 6 (11) (11) 8 (0) (0) (0) 9 (300)/(1) 10 (310) (310) 11 (311) (311) 1 () () () 13 (30) 14 (31) (31) 16 (400) (400) (400) 17 (410)/(3) 18 (411)/(330) (411)/(330) 19 (331) (331) 0 (40) (40) (40) 1 (41) (33) (33) 4 (4) (4) (4)
5 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysikaalisen kemian laboratorioharjoitukset I 5 3. Teoriaa Kun kiteeseen kohdistetaan röntgensäteilyä, säteily taipuu eli diffraktoituu, jolloin kiteen jälkeen havaitaan intensiteetiltään voimakkaita maksimeja muutamissa säteilyn tulosuunnasta selvästi poikkeavissa suunnissa. W. H. Bragg ja W. L. Bragg selittivät ilmiön vuonna 1913 seuraavasti: Kiteeseen osuva säteily siroaa elektroneista kaikkiin suuntiin, mutta useimmissa suunnissa sironneet aallot interferoivat keskenään destruktiivisesti. Tiettyjen ehtojen vallitessa sironneet aallot voivat kuitenkin interferoida konstruktiivisesti, jolloin syntyy intensiteettimaksimi. Säteilyn aaltoluonteen perusteella voidaan ajatella, että kiteeseen kohdistettu röntgensäteily heijastuu kiteen hilatasoista. Kuvan 5 tilanteessa kohdistetaan säteilyä, jonka aallonpituus on, kiteeseen, jossa tarkasteltavat peräkkäiset hilatasot sijaitsevat etäisyydellä d toisistaan. Saapuvien ja heijastuvien aaltojen kulmat ovat nyt yhtä suuret. Saapuvat säteet I ja II ovat yhdensuuntaisia ja keskenään samassa vaiheessa, jolloin ne osuvat samassa tulokulmassa eri hilatasoihin. Säde II kulkee kiteessä pidemmän matkan kuin säde I. Säteiden I ja II matkaeroksi saadaan kuvan perusteella AB+BC = dsin. Säteet I ja II vahvistavat toisiaan, kun niiden matkaero on aallonpituuden kokonainen monikerta eli kun d sin n, n 1,,3,. (1) I I II II AB = BC= dsin A B C d Kuva 5. Röntgensäteilyn heijastuminen atomitasoista. Yhtälö (1) on nimeltään Braggin laki ja sitä voidaan käyttää esimerkiksi kiteen hilavakion määrittämiseen, kun maksimien heijastuskulmat mitataan ja käytetyn säteilyn aallonpituus tunnetaan. Kuutiollisen kiteen tapauksessa voidaan osoittaa, että yhdensuuntaisten peräkkäisten hilatasojen välimatkan d hkl ja yksikkökopin särmän pituuden a eli hilavakion välillä on yhteys d hkl a, () h k l
6 6 KIDETUTKIMUS missä h, k ja l ovat hilatasojen Millerin indeksit. Käyttämällä yhtälöä () saadaan tähän työhön sopiva esitysmuoto Braggin laille sin n, n 1,,3,. (3) d hkl Yhtälön (3) avulla saadaan tietyiltä hilatasoilta (hkl) tapahtuvien heijastusten kulmat tai jos kulmat on mitattu, saadaan peräkkäisten hilatasojen välimatka d hkl, jonka avulla kiteen hilavakio a voidaan laskea. 4. Mittauslaitteisto Työssä käytettävä laitteisto on esitetty kuvassa 6. Laitteistoon kuuluvat mikroaaltolähettimen ja vastaanottimen sekä tutkittavan metallikuulilla varustetun styroksikiteen lisäksi parafiiniöljyllä täytetyt linssit sekä vastaanottimeen kytketty virtamittari. Linssit on lisätty koelaitteistoon fokusoimaan säteilyä paremmin vastaanottimeen. Varsinaisessa mittauksessa pyritään havaitsemaan heijastusmaksimeja vastaavia kulmia. Jotta eri hilatasoista tapahtuvia heijastuksia voitaisiin havaita, kiteen asentoa paikallaan pysyvältä lähettimeltä tulevan säteilyn suhteen on voitava muuttaa. Siksi kide on sijoitettu alustalle, jonka avulla sitä voidaan pyörittää. Heijastusmaksimien etsimistä varten vastaanotin ja sen fokusointilinssi on sijoitettu pyörimään pääsevän telineen päälle. Kiteen alustaan on kiinnitetty kulma-asteikko, josta vastaanottimen ja lähettimen välisen kulman arvo voidaan lukea. Linssit Kiteen alusta Vastaanotin Lähetin Pyörivä teline Kulma-asteikko Virtamittari Kuva 6. Kidetutkimuksen mittauslaitteisto.
7 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysikaalisen kemian laboratorioharjoitukset I 7 5. Tehtävät 5.1 Ennakkotehtävät Ennen työvuorolle saapumista tee seuraavat tehtävät 1. Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet: a) Kide, b) Hilaparametrit, c) Millerin indeksit ja d) Braggin laki.. Suunnittele mittauksia varten mittauspöytäkirja. Suunnittelussa auttaa, kun luet seuraavasta tarkasti kohdan mittaustehtävät. 3. Tarkastelemalla tutkittavaa kidettä havaitaan metallikuulien välimatkan olevan n. 4 cm. Laske yhtälön (3) avulla, pienin mahdollinen heijastuskulma ensimmäisessä kertaluvussa (n =1) olettaen, että kiteen hilavakio on a = 4 cm ja että kide olisi a) yksinkertainen, b) pintakeskinen ja c) tilakeskinen kuutiollinen kide. Mikroaaltojen aallonpituus on,8 cm. 5. Mittaustehtävät 1. Laitteiston säätäminen: Aseta aluksi lähetin, vastaanotin, kide ja linssit suoralle linjalle (kulma = 0 o ) siten, että linssit ovat suunnilleen polttovälinsä (n. 55 cm) päässä lähettimestä ja vastaanottimesta ja vastaanotin liikkuvan telineen päällä sen päässä. Tarkasta, että kiteen alla oleva kulma-asteikkolevy on nollan kohdalla kiinnitettynä ruuvilla liikkumattomaksi, ja että vastaanotintelineen merkkiviiva on levyn toisen nollaviivan kohdalla. Kytke lähettimeen virta (pistorasia pöydän yläpuolella). Kytke vastaanottimeen pitkillä johtimilla virtamittari, joka näyttää vastaanottimen havaitseman intensiteettiin verrannollisen virran. Valitse säätämisvaiheessa virtamittariin asteikko, jonka maksimivirta on satoja A:ja (esimerkiksi AVO-mittaria käytettäessä 50 A). Säädä sitten laitteisto etsimällä ensin vastaanottimen linssille se etäisyys ja se asento, jolloin virta on suurimmillaan. Siirrä sen jälkeen mittari lähettimen luo ja etsi toisellekin linssille sekä lähettimelle optimiasento. Toista menettely varmuuden vuoksi. Tämän jälkeen linssien ja lähettimen paikat eivät saa muuttua mittausten aikana.. Kiteen ensimmäisen heijastusmaksimin etsiminen: Käytä näissä mittauksissa virtamittarin herkintä mahdollista asteikkoa, esimerkiksi AVO-mittarissa 50 A:n asteikkoa. Siirry epäherkempään asteikkoon vain tilapäisesti, jos virta joissakin kohdissa ylittää herkimmän asteikon maksimivirran. Näin varmistat, että havaitset myös ne heijastusmaksimit, joiden intensiteetti on pieni. Säädä ensin vastaanottimen teline asentoon, joka vastaa jotakin ennakkotehtävässä 3 laske-
8 8 KIDETUTKIMUS maasi kulman arvoa, huomaa, että mittauskulman arvo on kuvan 5 mukaisesti. Pyöritä sen jälkeen kidettä, niin että löydät vastaanottimen havaitseman virran maksimiarvon. Tutki tällä tavalla, löytyykö ennustamastasi kohdasta heijastusmaksimi. Kirjaa ylös kulman ja sitä vastaavan maksimivirran arvot. Tutki vastaavasti myös muut laskemasi kulman arvot. Mikä on näiden tarkastelujen perusteella oikea kiderakenne? Esitä johtopäätöksesi ohjaajalle, jonka kanssa voit pohtia myös jatkomittauksia. 3. Ensimmäisen heijastusmaksimin mittaus: Tutki tämän jälkeen tarkemmin oikeaa ensimmäistä heijastusmaksimia vastaavan kulman ympäristö. Valitse kuudesta kahdeksaan kulman arvoa lasketun kulman arvon ympäristöstä, molemmilta puolilta (3-4 arvoa/puoli) ja käännä vastaanottimen telinettä asteen välein. Pyöritä maksimivirran löytämiseksi jokaisella kulman arvolla myös kidettä. Kirjaa kulmat ja niitä vastaavat maksimivirran arvot mittauspöytäkirjaasi. 4. Muiden heijastusmaksimien etsiminen: Muiden heijastusmaksimien löytämiseksi etsi ensin maksimien karkeat paikat mittaamalla vastaanottimen virtaa kulman funktiona muuttamalla kulmaa viiden asteen välein aloittaen edellisessä kohdassa 3. käytetystä suurimmasta kulman arvosta. (Voit pyöristää suurimman kulman lähimpään suurempaan viidellä jaolliseen kulman arvoon.) Maksimivirran löytymiseksi muista pyörittää myös kidettä vaihdettuasi kulman arvoa. Mittaa virtaan verrannollinen intensiteetti niin suureen kulmaan asti kuin pystyt. Tässä karkeassa mittauksessa löydät todennäköisesti vain muutamia kiinnostavia kulman arvoja, joilla havaitut virran arvot poikkeavat merkittävästi nollasta. 5. Muiden heijastusmaksimien mittaaminen: Säädä sitten kiteen tarkempaa diffraktiokäyrää varten kulmaa asteen välein kiinnostavien kulmien ympäristössä ja mittaa kunkin heijastusmaksimin ympäristöstä maksimivirrat 6-8 kulman arvolla. 6. Heijastusmaksimien mittaaminen kiteen toiselta puolelta: Kun olet tutkinut kaikkien kiinnostavien kulmien ympäristöt, käännä asteikkolevyä 180 o ja mittaa kaikkien heijastusmaksimien (myös ensimmäisen) ympäristöt kiteen toiselta puolelta samalla tavalla. Levyn kääntäminen tapahtuu löysäämällä asteikon kiinnitysruuvi, kääntämällä levy ja kiristämällä ruuvi uudelleen niin, että asteikko ei pääse liikkumaan. Käytä koko ajan virtamittarin mahdollisimman herkkää asteikkoa.
9 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysikaalisen kemian laboratorioharjoitukset I 9 6. Mittaustulosten käsittely Mittaustulosten käsittelyssä voi edetä seuraavasti: 1. Heijastuskulmien määrittäminen: Piirrä kiteen diffraktiokäyrä eli vastaanottimen havaitsemaan intensiteettiin verrannollinen maksimivirta kulman funktiona ja määritä siitä heijastusmaksimeja vastaavat kulmat i keskimaksimin molemmilta puolilta määritettyjen kulmien keskiarvona. Näin vältytään virheeltä, jonka eri puolilta määritettyjen kulmien käyttö erikseen aiheuttaisi, jos keskimaksimi ei olekaan tarkasti kohdassa 0. Keskimaksimia lähinnä on 1, sitten jne.. Kulmia vastaavien Millerin indeksien hakeminen: Tee sitten alla olevan mallin mukainen taulukko 3, johon kirjoitat riittävästi rivejä ja sarakkeet kaikille havaitsemillesi kulmille i. Käytä taulukossa niitä indeksiyhdistelmiä, jotka ovat mahdollisia päättelemäsi kiderakenteen tapauksessa. (Yksinkertaiselle kuutiolliselle kiteelle kaikki taulukossa 3 näkyvät indeksiyhdistelmät ovat mahdollisia, pintakeskisen kuution tapauksessa mahdollisia ovat vain ne yhdistelmät, joissa joko kaikki indeksit ovat parittomia tai kaikki indeksit ovat parillisia ja tilakeskisen kuution kohdalla kelpaavat vain ne yhdistelmät, jotka tuottavat parillisen indeksien neliöiden summan, vrt. taulukko.) Valitse laatimastasi taulukosta vakioarvot eli sellaiset luvut, jotka ovat suunnilleen yhtä suuria eri riveillä, siten, että ne löytyvät pienimmän kulman sarakkeesta mahdollisimman ylhäältä ja kulman suuretessa alemmilta riveiltä. (Mittaustarkkuudesta johtuen yhtä suuruus tarkoittaa tässä, että luvut ovat samat kahdesta kolmeen desimaalin tarkkuudella.) Merkitse taulukkoon valitsemasi vakioarvot esimerkiksi alleviivauksin tai ympyröimällä. Huomaa, että näitä arvoja voi löytyä taulukosta useammasta kohdasta. Esimerkiksi, jos löydät kolmea havaitsemaasi kulmaa vastaavat suunnilleen yhtä suuret arvot kohdista, joissa Millerin indeksien neliöiden summa on 6, 1 ja 18, löytyvät yhtä suuret arvot myös kohdista 3, 6 ja 9 sekä, 4 ja 6. Tämä johtuu siitä, että yhtälö, johon taulukkomenetelmämme perustuu, on voimassa myös, kun se kerrotaan molemmin puolin samalla luvulla. Jotta saisit analyysisi tulokseksi hilavakion, etkä sen tuntemattomalla luvulla kerrottua monikertaa, sinun on etsittävä taulukosta pienimpiä Millerin indeksien summia vastaavia vakioarvoja. 3. Hilaparametrin määrittäminen: Kun olet mielestäsi löytänyt oikeat Millerin indeksit, laadi alla olevan taulukon 4 tapainen taulukko. Esitä siinä kuvaajasta saadut : t sekä niitä vastaavat Millerin indeksit (hkl) ja laske sitten näiden avulla i kiteen hilavakio. Laske hilavakion lopullinen arvo kaikkien saamiesi tulosten keskiarvona ja määritä sen virheraja suurimpana poikkeamana keskiarvosta. Vertaa saamaasi tulosta ennakkotehtävässä 3 käytettyyn arvoon 4,0 cm.
10 10 KIDETUTKIMUS Taulukko 3. Heijastuskulmia vastaavien Millerin indeksien määrittäminen. sin h + k + l 1 (hkl) ( h k l ) ( h sin k l ) ( h sin k 3 l )... 1 (100) (110) 3 (111) 4 (00) 5 (10) 6 (11) 8 (0) Taulukko 4. Kiteen hilavakion määrittäminen. ( ) (hkl) a (cm) a i a (cm) i i a :n keskiarvo a max a i a 7. Lopputulokset Ilmoita lopputuloksina kiderakenne sekä kiteen hilavakio virherajoineen. Muista liittää selostukseesi myös ennakkotehtävien 1 ja 3 ratkaisut.
Työn tavoitteita. 1 Teoriaa
FYSP103 / K3 BRAGGIN DIFFRAKTIO Työn tavoitteita havainnollistaa röntgendiffraktion periaatetta konkreettisen laitteiston avulla ja kerrata luennoilla läpikäytyä teoriatietoa Röntgendiffraktio on tärkeä
LisätiedotBraggin ehdon mukaan hilatasojen etäisyys (111)-tasoille on
763343A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 2 Kevät 2018 1. Tehtävä: Kuparin kiderakenne on pkk. Käyttäen säteilyä, jonka aallonpituus on 0.1537 nm, havaittiin kuparin (111-heijastus sirontakulman θ arvolla
LisätiedotLuku 3: Virheetön kide
Luku 3: Virheetön kide Suurin osa teknisistä materiaaleista ovat kiteisiä. Materiaalit voidaan kiderakenteensa puolesta jakaa 7:ään kidesysteemiin ja 14:sta piste- eli Bravais-hilaan. Metallien kiderakenne
LisätiedotMateriaalifysiikan perusteet P Ratkaisut 1, Kevät 2017
Materiaalifysiikan perusteet 51104P Ratkaisut 1, Kevät 017 1. Kiderakenteen alkeiskopin hahmottamiseksi pyritään löytämään kuvitteellisesta rakenteesta sen pienin toistuva yksikkö (=kanta). Kunkin toistuvan
Lisätiedotd sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila
Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Optisessa hilassa on hyvin suuri määrä yhdensuuntaisia, toisistaan yhtä kaukana olevia
LisätiedotKRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA
KRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA Aloita kertaamalla hilan indeksointi niin, että osaat kuutiollisen kiteen tasojen ja suuntien Miller-indeksit. Vektorit määritellään yleisessä muodossa r
Lisätiedot1.5 RÖNTGENDIFFRAKTIO
1.5 RÖNTGENDIFFRAKTIO 1.5.1 Kiinteän aineen rakenne Kiinteät aineet voidaan luokitella kahteen ryhmään sen mukaan, millä tavalla niiden atomit tai molekyylit ovat järjestäytyneet. Amorfisten aineiden,
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotChem-C2400 Luento 2: Kiderakenteet Ville Jokinen
Chem-C2400 Luento 2: Kiderakenteet 11.1.2019 Ville Jokinen Oppimistavoitteet Metalli-, ioni- ja kovalenttinen sidos ja niiden rooli metallien ja keraamien kiderakenteissa. Metallien ja keraamien kiderakenteen
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
LisätiedotKidehilan perusominaisuudet
Kidehilan perusominaisuudet Kiteen muodostaa hila (usein kutsutaan Bravaisin hilaksi) ja yhdestä tai useammasta atomista muodostuva kanta(klusteri). Kantaklusteri toistuu kiteessä hilan määräämällä tavalla
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista
LisätiedotPHYS-C0240 Materiaalifysiikka kevät 2017
PHYS-C0240 Materiaalifysiikka kevät 2017 Prof. Martti Puska Emppu Salonen Ville Vierimaa Janika Tang Luennot 9 ja 10: Sironta kiteistä torstait 13.4. ja 20.4.2017 Aiheet Braggin sirontaehto Lauen sirontaehto
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotLuento 3. Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria
Luento 3 Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria Luento 3 Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria Kidesuunnat Kidesuuntien määrittäminen kuutiollisessa
LisätiedotKidehilan perusominaisuudet
Kidehilan perusominaisuudet Kiteen muodostaa hila (usein kutsutaan Bravaisin hilaksi) ja yhdestä tai useammasta atomista muodostuva kanta(klusteri). Kantaklusteri toistuu kiteessä hilan määräämällä tavalla
Lisätiedot7. Resistanssi ja Ohmin laki
Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi
LisätiedotPERUSMITTAUKSIA. 1 Työn tavoitteet
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 PERUSMITTAUKSIA 1 Työn tavoitteet Tässä työssä määrität tutkittavaksesi annetun metallikappaleen tiheyden laskemalla sen suoraan
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotKALTEVA TASO. 1. Työn tavoitteet. 2. Teoria
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1. Työn tavoitteet Tämän työn ensimmäisessä osassa tutkit kuulan, sylinterin ja sylinterirenkaan vierimistä pitkin kaltevaa tasoa.
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT HILA JA PRISMA MIKKO LAINE 9. toukokuuta 05. Johdanto Tässä työssä muodostamme lasiprisman dispersiokäyrän ja määritämme työn tekijän silmän herkkyysrajan punaiselle valolle. Lisäksi
LisätiedotTyö 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 Työ 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA TYÖN TAVOITE Työssä perehdytään optisiin ilmiöihin tutkimalla valon kulkua linssisysteemeissä ja prismassa. Tavoitteena on saada
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotTyö 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1
Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
LisätiedotOPTIIKAN TYÖ. Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti:
Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti: OPTIIKAN TYÖ Vastaa ensin seuraaviin ennakkotietoja mittaaviin kysymyksiin. 1. Mitä tarkoittavat
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotKiinteän aineen ominaisuuksia I. Kiteisen aineen perusominaisuuksia
Kiinteän aineen ominaisuuksia I Kiteiden perustyypit Kiderakenteiden peruskäsitteitä Kiteisen aineen perusominaisuuksia Kide on suuresta atomijoukosta muodostunut säännöllinen ja stabiili, atomiseen skaalaan
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotKuva 1. Ohmin lain kytkentäkaavio. DC; 0 6 V.
TYÖ 37. OHMIN LAKI Tehtävä Tutkitaan metallijohtimen päiden välille kytketyn jännitteen ja johtimessa kulkevan sähkövirran välistä riippuvuutta. Todennetaan kokeellisesti Ohmin laki. Välineet Tasajännitelähde
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
LisätiedotKuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.
FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin
LisätiedotSEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA
1 SEISOVA AALTOLIIKE MOTIVOINTI Työssä tutkitaan poikittaista ja pitkittäistä aaltoliikettä pitkässä langassa ja jousessa. Tarkastellaan seisovaa aaltoliikettä. Määritetään aaltoliikkeen etenemisnopeus
LisätiedotMb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
Lisätiedot= = = 1 3.
9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala
Lisätiedot1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011
1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
LisätiedotVAIHTOVIRTAPIIRI. 1 Työn tavoitteet
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö- ja magnetismiopin laboratoriotyöt AHTOTAP Työn tavoitteet aihtovirran ja jännitteen suunta vaihtelee ajan funktiona. Esimerkiksi Suomessa käytettävä verkkovirta
LisätiedotHALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA
1 ALLIN ILMIÖ MOTIVOINTI allin ilmiötyössä tarkastellaan johteen varauksenkuljettajiin liittyviä suureita Työssä nähdään kuinka all-kiteeseen generoituu all-jännite allin ilmiön tutkimiseen soveltuvalla
LisätiedotYleistä vektoreista GeoGebralla
Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotVASTUSMITTAUKSIA. 1 Työn tavoitteet
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö ja magnetismiopin laboratoriotyöt VASTUSMTTAUKSA Työn tavoitteet Tässä työssä tutustut Ohmin lakiin ja joihinkin menetelmiin, joiden avulla vastusten resistansseja
Lisätiedot33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ
TYÖOHJE 14.7.2010 JMK, TSU 33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ Laitteisto: Kuva 1. Kytkentä solenoidin ja toroidin magneettikenttien mittausta varten. Käytä samaa digitaalista jännitemittaria molempien
LisätiedotLuku 3: Kiinteiden aineiden rakenne
Luku 3: Kiinteiden aineiden rakenne Käsiteltäviä aiheita Kuinka atomit järjestyvät kiinteiksi aineiksi? (tällä erää keskitymme metalleihin) Kuinka materiaalin tiheys riippuu sen rakenteesta? Milloin materiaaliominaisuudet
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotMAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste
MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.
LisätiedotYHDEN RAON DIFFRAKTIO. Laskuharjoitustehtävä harjoituksessa 11.
YHDEN RAON DIFFRAKTIO Laskuharjoitustehtävä harjoituksessa 11. Vanha tenttitehtävä Kapean raon Fraunhoferin diffraktiokuvion irradianssijakauma saadaan lausekkeesta æsin b ö I = I0 ç b è ø, missä b = 1
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotProjektityö M12. Johdanto
Projektityö M12 Johdanto Projektityö sisältää kuutta tehtävää, kuitenkin ne kaikki koskevat saman yhtälön ratkaisua. Yhtälö on sin x 2 =e 2x (1.1) Sen ratkaisu voidaan käsitellä tutkimalla funktio y=e
LisätiedotDiffraktio. Luku 36. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun
Luku 36 Diffraktio PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman Lectures by James Pazun Johdanto Ääni kuuluu helposti nurkan taakse Myös valo voi taipua
Lisätiedotja J r ovat vektoreita ja että niiden tulee olla otettu saman pyörimisakselin suhteen. Massapisteen hitausmomentti on
FYSA210 / K1 HITAUSMOMENTTI Työn tavoitteena on opetella määrittämään kappaleen hitausmomentti kappaletta pyörittämällä ja samalla havainnollistaa kitkan vaikutusta. Massapisteinä toimivat keskipisteestään
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotVALON DIFFRAKTIO YHDESSÄ JA KAHDESSA RAOSSA
1 VALON DIFFRAKTIO YHDESSÄ JA KAHDESSA RAOSSA MOTIVOINTI Tutustutaan laservalon käyttöön aaltooptiikan mittauksissa. Tutkitaan laservalon käyttäytymistä yhden ja kahden kapean raon takana. Määritetään
LisätiedotKenguru 2019 Student lukio
sivu 0 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Koodi (ope täyttää): Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta
LisätiedotFysiikan laboratoriotyöt 3 Sähkömotorinen voima
Fysiikan laboratoriotyöt 3 Sähkömotorinen voima Työn suorittaja: Antti Pekkala (1988723) Mittaukset suoritettu 8.10.2014 Selostus palautettu 16.10.2014 Valvonut assistentti Martti Kiviharju 1 Annettu tehtävä
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotRATKAISUT: 16. Peilit ja linssit
Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
Lisätiedothavainnollistaa Dopplerin ilmiötä ja interferenssin aiheuttamaa huojuntailmiötä
FYSP0 / K3 DOPPLERIN ILMIÖ Työn tavoitteita havainnollistaa Dopplerin ilmiötä ja interferenssin aiheuttamaa huojuntailmiötä harjoitella mittausarvojen poimimista Capstonen kuvaajalta sekä kerrata maksimiminimi
LisätiedotFysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä
Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Tekijä: Mikko Laine Tekijän sähköpostiosoite: miklaine@student.oulu.fi Koulutusohjelma: Fysiikka Mittausten suorituspäivä: 04.02.2013 Työn
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
Lisätiedot1.1 ATOMIN DISKREETIT ENERGIATILAT
1.1 ATOMIN DISKREETIT ENERGIATILAT 1. MITTAUKSET Franckin ja Hertzin kokeen ja ionisaatiopotentiaalin mittauslaitteisto: jännitelähde digitaalinen yleismittari suojatut banaanijohdot neonputki telineineen
LisätiedotOHJEITA TYÖSELOSTUKSEN LAATIMISEEN
OHJEITA TYÖSELOSTUKSEN LAATIMISEEN Raportointi kuuluu tärkeänä osana jokaisen fyysikon työhön riippumatta siitä työskenteleekö hän tutkijana yliopistossa, opettajana koulussa vai teollisuuden palveluksessa.
Lisätiedot2. Sähköisiä perusmittauksia. Yleismittari.
TURUN AMMATTKORKEAKOULU TYÖOHJE 1 TEKNKKA FYSKAN LABORATORO 2.0 2. Sähköisiä perusmittauksia. Yleismittari. 1. Työn tavoite Tutustutaan tärkeimpään sähköiseen perusmittavälineeseen, yleismittariin, suorittamalla
LisätiedotKuva 1. Braggin diffraktio sarjasta atomitasoja.
RÖNTGENDIFFRAKTIO 1 Johdanto Röntgendiffraktio on menetelmä, jolla voidaan tutkia kiinteän aineen rakennetta. Menetelmä perustuu sähkömagneettisen säteilyn aaltoluonteeseen ja periodisesta hilarakenteesta
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotAvaruuslävistäjää etsimässä
Avaruuslävistäjää etsimässä Avainsanat: avaruusgeometria, mittaaminen Luokkataso: 6.-9. lk, lukio Välineet: lankaa, särmiön muotoisia kartonkisia pakkauksia(esim. maitotölkki tms.), sakset, piirtokolmio,
LisätiedotFYSP1082 / K4 HELMHOLTZIN KELAT
FYSP1082 / K4 HELMHOLTZIN KELAT Johdanto Työssä mitataan ympyränmuotoisten johdinkelojen tuottamaa magneettikenttää kelojen läheisyydessä sekä sähkövirran että etäisyyden funktiona. Sähkömagnetismia ja
LisätiedotOhjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin
Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat
LisätiedotFYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ
FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ Työssä perehdytään johteissa ja tässä tapauksessa erityisesti puolijohteissa esiintyvään Hallin ilmiöön, sekä määritetään sitä karakterisoivat Hallin vakio, varaustiheys
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotLyhyt, kevät 2016 Osa A
Lyhyt, kevät 206 Osa A. Muodostettu yhtälö, 2x 2 + x = 5x 2 Kaikki termit samalla puolla, 2x 2 4x + 2 = 0 Vastaus x = x:n derivaatta on x 2 :n derivaatta on 2x f (x) = 4x + derivoitu väärää funktiota,
LisätiedotTyö 31A VAIHTOVIRTAPIIRI. Pari 1. Jonas Alam Antti Tenhiälä
Työ 3A VAIHTOVIRTAPIIRI Pari Jonas Alam Antti Tenhiälä Selostuksen laati: Jonas Alam Mittaukset tehty: 0.3.000 Selostus jätetty: 7.3.000 . Johdanto Tasavirtapiirissä sähkövirta ja jännite käyttäytyvät
LisätiedotDiplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut
A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 8.5.014, malliratkaisut Kalle ja Anne tekivät fysikaalisia kokeita liukkaalla vaakasuoralla jäällä.
LisätiedotA Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
Lisätiedot3. Optiikka. 1. Geometrinen optiikka. 2. Aalto-optiikka. 3. Stokesin parametrit. 4. Perussuureita. 5. Kuvausvirheet. 6. Optiikan suunnittelu
3. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Aalto-optiikka 3. Stokesin parametrit 4. Perussuureita 5. Kuvausvirheet 6. Optiikan suunnittelu 3.1 Geometrinen optiikka! klassinen optiikka! Valoa kuvaa suoraan
LisätiedotHelsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13
Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3
LisätiedotRatkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...
Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.
LisätiedotTämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
LisätiedotKenguru 2019 Student Ratkaisut
sivu 0 / 22 3 pistettä TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 VASTAUS C B D C B E C A 4 pistettä TEHTÄVÄ 9 10 11 12 13 14 15 16 VASTAUS B B E D A E A A 5 pistettä TEHTÄVÄ 17 18 19 20 21 22 23 24 VASTAUS E E D D C C B
LisätiedotOsallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai
Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:
Lisätiedot