Diffraktio. Luku 36. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun

Transkriptio

1 Luku 36 Diffraktio PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman Lectures by James Pazun

2 Johdanto Ääni kuuluu helposti nurkan taakse Myös valo voi taipua nurkan taakse Ilmiötä sanotaan diffraktioksi Seurausta valon aaltoluonteesta Kysymys monen valoaallon yhdistymisestä Ilmiö selittää DVD-levyn heijastukset Molekyylien rakenteen määrittämisessä käytettävä röntgenmenetelmä ja holografia perustuu diffraktioon

3 Fresnelin ja Fraunhoferin diffraktio Geometrisen optiikan mukaan pistemäinen valonlähde, joka valaisee varjostimen edessä olevaa esinettä, tuottaa terävän varjon Näin ei tapahdukaan valon aaltoluonteesta johtuen Tapahtuu interferenssiä, jota kutsutaan diffraktioksi eli valon taipumiseksi Diffraktiota tapahtuu, kun valo kulkee äärellisen kokoisen aukon läpi tai esineen reunan läheltä Ilmiön havaitseminen vaatii monokromaattisen, pistemäisen valolähteen ei havaita arkielämässä

4 Fresnelin ja Fraunhoferin diffraktio Kuva alla: partaterä asetettu monokromaattisen pistelähteen ja varjostimen puoleen väliin valoa taipunut (vähän) varjon puolelle, valoisa puoli koostuu interferenssijuovista Diffraktiokuvio voidaan analysoida Huygensin periaatteen avulla: aaltorintaman jokainen piste toimii sekundäärisen palloaallon lähteenä Fresnelin diffraktio: valon lähde, este ja varjostin ovat lähellä toisiaan Fraunhoferin diffraktio: lähde, este ja varjostin kaukana toisistaan

5 Diffraktio kapeassa raossa Monokromaattinen tasoaalto (samansuuntaiset säteet) saapuu rakoon Valo taipuu pystysuunnassa, muodostuu diffraktiokuvio Vaakasuora taipuminen mitätöntä, koska rako on hyvin pitkä

6 Diffraktio kapeassa raossa Kokonaisamplitudi pisteessä P saadaan laskemalla raosta tulevien sekundääristen osa-aaltojen amplitudit yhteen, huomioiden vaihe-erot Jos varjostin kaukana, niin aallot saman suuntaisia (Fraunhoferin diffraktio)

7 Diffraktio kapeassa raossa Jos raon yläosasta ja keskeltä lähtevien säteiden matkaero (a/2) sin = /2, säteet kumoavat toisensa Myös kaikki muut sädeparit näiden alapuolella kumoavat toisensa Tumma juova kohdissa Yleisemmin (jakamalla rako useampaan osaan):

8 Diffraktio kapeassa raossa Tummien kohtien välissä kirkkaat juovat (myös keskellä) Pienillä kulmilla sin tummille juoville Jos x on varjostimen etäisyys raosta, m:nnen tumman juovan etäisyys keskimaksimista

9 Esim Kapeaa rakoa valaistaan laservalolla, jonka aallonpituus on 633 nm. Diffraktiokuviota havaitaan 6 m:n päässä olevalla varjostimella. Päämaksimin molemmin puolin olevien ensimmäisten minimien välimatkaksi mitataan 32 mm. Kuinka leveä on rako?

10 Vaiheenosoitindiagrammi Sinimuotoiset funktiot voidaan esittää pyörivän vektorin avulla, jonka vaakaakselin suuntainen projektio esittää funktion hetkellistä arvoa Viereisessä kuvassa tarkastellaan vektoreiden resultanttiamplitudin E P määrittämistä Molempia aaltoja esittävät vektorit näkyvät vaaka-akselilla Hetkellä t aallon 2 vektori muodostaa kulman t vaaka-akselin kanssa Aallon 1 vektori muodostaa kulman edellisen vektorin kanssa Kuvan perusteella voidaan määrittää resultanttiaaltoa kuvaava vektori ja sen amplitudi

11 Kapean raon diffraktiokuvion intensiteetti Jaetaan raon kohdalla tasoaalto joukoksi sekundäärisiä pistelähteitä Resultanttiamplitudi pisteessä P lasketaan vaiheenosoitusdiagrammilla Etäisyys jokaisesta lähteestä keskipisteeseen O on sama ei vaiheeroja vaiheenosoittimet saman suuntaisia asettuvat vaaka-akselille hetkellä t = 0 Resultanttiamplitudi E 0

12 Kapean raon diffraktiokuvion intensiteetti Aaltojen saapuessa pisteeseen P kulmassa 0 peräkkäisten sekundääristen lähteiden aalloilla (vakio) vaihe-ero Resultanttiamplitudi osa-aaltojen vaihevektorien summa (kuva c) Jos raon tasoaalto jaetaan äärettömän moneksi sekundääriseksi lähteeksi, osaaallot muodostavat ympyrän (sektorin) kaaren (kuva d), kaaren pituus E 0 Resultanttiamplitudi: Intensiteetti:

13 Kapean raon diffraktiokuvion intensiteetti Reunimmaisten säteiden välinen matkaero on a sin vaihe-ero Tummat juovat kohdissa, joissa osoittaja on nolla ( /2 = m ): Kirkkaat raidat suunnilleen (ei tarkasti) sinifunktion maksimikohdissa sin( /2) = 1: Tarkasti 1. sivumaksimi 2.869, toinen 4.918

14 Kapean raon diffraktiokuvion intensiteetti Sivumaksimien approksimatiiviset intensiteetit: Approksimaation tulokset: Tarkat tulokset:

15 Kapean raon diffraktiokuvion intensiteetti Ensimmäisten minimien kulmat: = /a Diffraktiokuvion leveä kun raon leveys a aallonpituuden luokkaa Ääniaallon aallonpituus metrin luokkaa taipuu voimakkaasti oviaukosta Valon aallonpituus noin 500 nm ei taivu oviaukosta

16 Esim Laske kapean raon diffraktiokuvion intensiteetti suunnassa, jossa raon äärimmäisten pisteiden välinen vaihe-ero on 66 radiaania. Jos kyseinen suunta on θ = 7,0, niin laske montako aallonpituutta raon leveys on.

17 Esim Laske sivun esimerkin 36.1 koejärjestelyssä intensiteetti varjostimen pisteessä, joka on 3,0 mm:n päässä keskimaksimista.

18 Kaksi äärellisen kokoista rakoa Youngin kahden raon kokeessa raot oletettiin äärettömän kapeiksi Jos rakojen leveys on äärellinen, kahden raon interferenssikuvio moduloituu yhden raon diffraktiokuviolla Kuva a: yhden raon (leveys a) diffraktiokuvio Kuva b: kahden äärettömän kapean raon (välimatka d = 2a) interferenssikuvio Kuva c: Kahden a:n levyisen raon kuvio Intensiteetti interferenssin ja diffraktion intensiteettien tulo: Laser Diffraction and Interference: missä

19 Kahdeksan rakoa Kahdeksan rakoa, kapeita verrattuna aallonpituuteen aallot leviävät lähes tasaisesti joka suuntaan Konstruktiivinen interferenssi, kun matkaero vierekkäisistä raoista pisteeseen P aallonpituuden monikerta (kuten kahden raon kokeessa):

20 Kahdeksan rakoa Maksimien välissä minimit, kun matkaero aallonpituuden puoliluku (kuten kahdelle raolle), vastaten vaiheeroa, 3, 5 (kuva a) Lisäminimit, kun vaihe-ero on /4:n monikerta (kuvat b ja c)

21 Kahdeksan rakoa Maksimien välissä minimit, kun matkaero aallonpituuden puoliluku (kuten kahdelle raolle), vastaten vaiheeroa, 3, 5 Lisäminimit, kun vaihe-ero on /4:n monikerta Päämaksimit samassa kohtaan kuin kahden raon kokeessa, mutta niiden leveys pienempi Jos rakojen lukumäärä on N, päämaksimien välissä (N-1) minimiä, ja minimit havaitaan, kun vierekkäisten säteiden vaihe-ero on 2 /N:n monikerta Minimien välissä sivumaksimit Päämaksimit sitä kapeampia ja korkeampia, mitä suurempi N (leveys 1/N, korkeus N 2 )

22 Diffraktiohila Kasvattamalla rakojen lukumäärää saadaan päämaksimeista hyvin kapeita ja teräviä Suuri joukko tasaisin välein d olevia a- levyisiä rakoja muodostaa diffraktiohilan Vieressä läpäisyhilan poikkileikkaus, rakojen välimatka d on hilavakio Päämaksimit (hilayhtälö): Ensimmäisen kertaluvun maksimeille m = 1, toisen m = 2

23 Diffraktiohila Kasvattamalla rakojen lukumäärää saadaan päämaksimeista hyvin kapeita ja teräviä Suuri joukko tasaisin välein d olevia a- levyisiä rakoja muodostaa diffraktiohilan Vieressä läpäisyhilan poikkileikkaus, rakojen välimatka d on hilavakio Päämaksimit (hilayhtälö): Ensimmäisen kertaluvun maksimeille m = 1, toisen m = 2 Jos hilaa valaistaan valkoisella valolla, jokaiseen kertalukuun muodostuu oma spektri Heijastushilassa raot korvataan heijastavalla pinnalla, välit ei heijasta

24 Esim Hilaa, jossa on 600 rakoa millimetrillä valaistaan kohtisuorasti näkyvällä valolla ( nm). (a) Laske spektrin kulmaleveys ensimmäisessä kertaluvussa. (b) Osoita, että kolmannen kertaluvun spektrin violetti reuna ja toisen kertaluvun punainen reuna menevät päällekkäin.

25 Diffraktiohila spektrometri Diffraktiohila taittaa eri aallonpituudet eri kulmiin Aallonpituudet voidaan laskea hilayhtälön avulla Aallonpituuden ja kulman välinen suhde helpommin määritettävissä kuin prismalle Kun rakoja paljon, kulmat voidaan määrittää hyvin tarkasti hyvä resoluutio Osa auringon valosta absorboituu kaasumolekyyleihin, absorptiota vastaavat aallonpituudet näkyvät tummina juovina diffraktiohilaspektrissä voidaan päätellä kaasukehän koostumus

26 Diffraktiohila spektrometri

27 Diffraktiohila spektrometri Jos pienin aallonpituus ero, joka voidaan erottaa, on, laiteen erotuskyky on Oletetaan, että kahden aallonpituuden päämaksimit voidaan vielä erottaa toisistaan, jos toisen maksimi sattuu toisen maksimin vieressä olevaan minimiin Päämaksimin vaihe-ero = m2, ensimmäisen sivumaksimin = m2 + 2 /N erotus d = 2 /N Toisaalta vaihe-ero = 2 dsin / Derivoimalla hilayhtälö dsin = m :n suhteen saadaan dcos d = md

28 Esim. Montako rakoa hilassa on oltava, jotta natriumin dubletti (aallonpituudet 589,00 ja 589,59 nm) erotetaan ensimmäisessä kertaluvussa? Neljännessä kertaluvussa?

29 Diffraktio röntgensäteillä Röngensäteiden aallonpituus ~10-10 m Löysi Wilhelm Röngen vuonna 1895 Max von Laue 1912: kiteet toimii diffraktiohiloina röntgensäteille

30 Diffraktio röntgensäteillä SM aallon vuoksi atomeiden varaukset värähtelevät tuottavat siroavan aallon Tason peräkkäisistä atomeista sironneiden säteiden matkaero sama, jos tulokulma ja sirontakulma samat: a = r diffraktiomaksimi Kun = a = r, peräkkäisistä tasoista sironneiden säteiden matkaero 2dsin diffraktiomaksimille (Braggin ehto) Maksimi voidaan nähdä, jos < 2d/m NaCl-kiteessä d = nm < nm, kun m = 1 diffraktio vaatii röngensäteitä

31 Diffraktio röntgensäteillä Diffraktio erisuuntaisista 3D-tasoista tuottaa maksimin, jos tulokulma ja siroamiskulma samat Rosalind Franklin selvitti DNA:n kaksoiskierrerakenteen röngendiffraktion avulla vuonna 1953 (diffraktiokuvio oikealla)

32 Esim Röntgensädekimppu, jonka aallonpituus on 0,154 nm, ohjataan piikiteeseen kidetasojen suunnassa. Kun säteen tulokulmaa kasvatetaan hitaasti, ensimmäinen voimakas sirontamaksimi havaitaan kulmalla 34,5. Mikä on kidetasojen välimatka? Havaitaanko seuraava maksimi suuremmalla kulmalla?

33 Diffraktio pyöreässä aukossa Tummat renkaat: Kirkkaat renkaat: Keskiympyrää kutsutaan Airyn levyksi Ensimmäisen kirkkaan renkaan intensiteetti vain 1.7% keskikohdan intensiteetistä

34 Diffraktio pyöreässä aukossa ja erotuskyky Optisissa systeemeissä diffraktio asettaa rajan, kuinka lähellä olevat kuvapisteet voidaan erottaa toisistaan Aukon kokoa kasvattamalla saadaan Airyn levyn kokoa pienennettyä Rayleigh n kriteerin mukaan kaksi kohdetta on juuri erotettavissa toisistaan, jos toisen diffraktiokuvion maksimi sattuu toisen 1. minimin kohdalle

35 Esim Kameran f / 2 linssin polttoväli on 50 mm ja se muodostaa kuvan 9,0 m:n päässä olevasta esineestä. (a) Laske kahden vielä juuri ja juuri toisistaan erotettuvan esinepisteen etäisyys toisistaan. Mikä on vastaavien kuvapisteiden välimatka? (b) Miten tilanne muuttuu, kun linssi muutetaan f 16 linssiksi?

36 Holografia Suoraan tulevan ja esineestä siroavan valon yhteisvaikutuksena filmille muodostuu hyvin monimutkainen interferenssikuvio Filmi kehitetään, jolloin saadaan hologrammi Kehitetyn hologrammin läpi ohjataan monokromaattista valoa, jolloin syntyy kaksi kuvaa, todellinen kuva filmin taakse ja valekuva filmin eteen

37 Holografia Filmille saapuu samanaikaisesti tasoaalto suoraan lähteestä ja palloaalto pistemäisestä esineestä P Konstruktiivinen interferenssi: Koska b 0 >>, Kun positiivia valaistaan, syntyy pisteeseen P interferenssimaksimi (P:n kuva) Lisäksi divergoiva aaltokartio, joka näyttää lähtevän pisteestä P (P:n valekuva)

38 Holografia Kaksi valokuvaa hologrammista eri kulmista perspektiivi muuttuu 3D kuvassa