Amazon.com: $130,00. Osia, jaetaan opetusmonisteissa
|
|
- Juha Mäkelä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 Kurssin käytännön järjestelyt Luennot (12 kpl) tiistaisin klo 9 12 luokassa Y313 Luennoitsija TkT Mitri Kitti Vastaanotto luentojen yhteydessä mitri.kitti@hse.fi Luentomoniste kurssin verkkosivuilla Laskuharjoitukset torstaisin luokassa Y307 Laskuharjoitusassistentti tekn. yo. Ilkka Leppänen ileppane@cc.hut.fi Ensimmäinen laskuharjoitus torstaina Harjoitustehtävät kurssin verkkosivuilla 1.1 Kurssimateriaali Kirk, D.E., Optimal Control Theory, An Introduction, Dover Publications, Inc., Amazon.com: $17,79. Kamien, M.L & Schwartz, N.L, Dynamic Optimization The Calculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management, 2nd Edition, North Holland, Amazon.com: $130,00. Osia, jaetaan opetusmonisteissa Betts, J. T., Practical Methods for Optimal Control Using Nonlinear Programming, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Amazon.com: $ Osia, jaetaan opetusmonisteissa Bertsekas, D. P., Dynamic Programming and Optimal Control, Athena Scientific, Massachusettes, Osia, jaetaan opetusmonisteissa 1.2 Kurssin suorittaminen ja ohjelma Kurssi suoritetaan tentillä. Kotitehtäviä jaetaan viikottain, joista saadut pisteet huomioidaan tenteissä seuraavaan luennointikertaan saakka. 1. Historiaa, dynaamisen optimointitehtävän määrittely, tilaesitys 2. Optimiohjaustehtäviä, dynaaminen ohjelmointi 3. Diskreetin ja jatkuvan ajan tilasäätäjät, H-J-B-yhtälö 4. Variaatiolaskennan perusteet 5. Variaatiotehtävän transversaalisuusehdot 1
2 6. Rajoitetut variaatiotehtävät 7. Äärettömän aikavälin variaatiotehtävät 8. Ohjaustehtävä variaatioperiaatteella 9. Minimiperiaate, minimiaikatehtävät 10. Minimiponnistustehtävät, singulaariset ratkaisut 11. Vaihetasoanalyysi, diskontattu kohdefunktionaali 12. Optimisäätötehtävien numeeriset ratkaisumenetelmät 1.3 Kurssin tavoite Oppia ohjaamaan dynaamisia systeemeitä optimaalisesti jonkin annetun kriteerin suhteen. Tyypillisesti dynaamisen systeemin mallina käytetään 1. kertaluokan differentiaaliyhtälösysteemiä. Esimerkkejä: 1. Etsi lentokoneen ohjaus siten, että se lentää minimiajassa annetusta alkutilasta annettuun lopputilaan. 2. Pääomaa voidaan joko kuluttaa, mikä tuottaa hyötyä, tai laittaa kasvamaan korkoa. Etsi optimaalinen kulutus-säästöstrategia. 3. Biologinen malli: etsi optimaalinen kalastusstrategia, kun kokonaispopulaation koolle oletetaan jonkinlainen dynamiikka. 2 Dynaamiset optimointimallit: historiaa Tyrian prinsessa Didon maanmittausongelma, Karthago b max a S x(t)dt ds = b a 1 + ẋ2 (t)dt = L, x(a) = x(b) = 0. Brachistochrone-ongelma: millaista rataa x(t) pitkin kappale putoaa pisteestä A pisteeseen B lyhimmässä ajassa? Siis, etsi x(t), joka minimoi integraalin 0 dt = S ds v = b a [2gx(τ)] 1 2 [1 + ẋ(τ)] 1 2 dτ. }{{}}{{} 1 ds v Johann Bernoulli formuloi ongelman vuonna 1696; ratkaisun esittivät puoli vuotta myöhemmin Jacob Bernoulli, Leibnitz, Isaac Newton ja l Hospital. Leonhard Euler (1744): variaatiolaskenta, Eulerin yhtälö; välttämätön ehto variaatiotehtävän ratkaisulle luku: klassinen Lagrangen mekaniikka ja Hamiltonin periaate. 2
3 Hamiltonin periaate: kappale kulkee pisteestä A pisteeseen B siten, että integraali tb t A L(x, ẋ)dt minimoituu, missä Lagrangen funktio L(x, ẋ) on kappaleen kineettisen ja potentiaalienergian välinen erotus. Esim. jouselle L(x, ẋ) = 1 2 mẋ2 1 2 kx2. Lagrangen liikeyhtälö on edellä olevan tehtävän Eulerin yhtälö, mikä puolestaan on edellä olevan tehtävän Newtonin liikeyhtälö luku: dynaaminen optimointi, optimiohjaustehtävä variaatiotehtävän yleistys. Etsi ohjaus u(t), joka toteuttaa annetut rajoitukset ja minimoi annetun integraalin (kohdefunktio) L. S. Pontryagin: välttämättömät ehdot optimiohjaustehtävälle reuna-arvotehtävän muodossa. R. E. Bellman: dynaaminen ohjelmointi. Toinen tapa ratkoa erityisesti diskretoituja dynaamisia optimointitehtäviä; ns. optimaalisuusperiaatteen laskennallista soveltamista : yleistys laajojen järjestelmien optimointiin ja erilaisiin pelitehtäviin: sotilas- ja siviili-ilmailun sovellukset, taloussovellukset, tietoverkkojen reititysongelmat yms. 2.1 Dynaamisten ongelmien luokittelu Sen mukaan, montako kriteeriä ja päätöksentekijää (pelaajia, ohjaajia, optimoijia, säätäjiä) Päättäjät Kriteerit Optimiohjaus, dynaaminen optimointi 1 (ohjaus u) 1 Nollasummainen differentiaalipeli 2 (ohjaus u 1, u 2 ) 2; J 1 = J 2 Monitavoitteinen optimointi 1 (ohjaus u) useita Dynaamisia joukkuetehtäviä useita (u 1,...,u n ) 1 Ei-nollasummainen differentiaalipeli useita useita Huomaa, että päättäjänä, päätösmuuttujana tai ohjausmuuttujana voi olla useita ohjauskomponentteja; u(t) R m. Muita jakoja: stokastiset deterministiset, jatkuvan ajan diskreetin ajan tehtävät 3
4 2.2 DOT:n muodostaminen, systeemin tilaesitys Sivut ss. 4 8 pääosin lähteen [Kirk, Ch. 1] pohjalta Tilaesitys on ryhmä (yleensä 1. kertaluokan) differentiaali- tai differenssiyhtälöitä tilamuuttujille x i (t) ja ulkoisille ohjausmuuttujille u j (t). Vapaa muuttuja on usein aika, voi olla myös esim. paikka. Diskreettiaikaisille systeemeille tullaan aikaa merkitään alaindeksillä, siis tila on x k, missä k indeksoi ajanhetkeä. Määritelmä. Vektori x = [x 1 x n ] T on systeemin tila, jos jokaisella tarkasteluvälin hetkellä t 1 pätee, että kun tunnetaan x(t 1 ), niin ohjaus u(t), t t 1 määrää tilan kaikkina tulevina ajanhetkinä t t 1. Toisin sanoen tila pitää sisällään kaiken tulevaisuuden kannalta tarpeellisen informaation systeemin historiasta, riippumatta ohjauksesta, jolla siihen on tultu. Huom! Tilaesitys ei ole yksikäsitteinen. Toisin sanoen on olemassa monta tapaa kuvata systeemiä tilaesityksellä. Yleensä tilalle saadaan esitys ẋ 1 (t) = f 1 (x 1 (t),...,x n (t), u 1 (t),...,u m (t), t). ẋ n (t) = f n (x 1 (t),...,x n (t), u 1 (t),...,u m (t), t) Systeemin tila x(t) = [x 1 x n ] T, ohjaus u(t) = [u 1 u m ] T. Vektorimuodossa ẋ(t) = f(x(t),u(t), t). Usein tilaesitykseen liitetään ulkopuolista tarkkailijaa tai mittaussuureita kuvaavat ulostuloyhtälöt y j (t) = c j (x 1 (t),..., x n (t), u 1 (t),...,u m (t), t), j = 1,...,p, jotka määräävät sen, miten havaittu ulostulo riippuu systeemin tilasta x ja ohjauksesta u. Vektorimuodossa y(t) = c(x(t), u(t), t). Yleisesti dynaaminen systeemi S: { ẋ(t) = f(x(t),u(t), t), x(t0 ) = x S : 0 y(t) = c(x(t),u(t), t), x(t) on n-ulotteinen tilavektori, systeemin alkutila x 0 annettu y(t) on p-ulotteinen ulostulovektori u(t) on m-ulotteinen ohjausvektori Tällä kurssilla optimointitehtävissä oletetaan tila yleensä täydellisesti tunnetuksi: y(t) = x(t), t. 2.3 Esimerkki 1 Kitkattomasti liikkuvaa autoa, m = 1, ohjataan kaasupolkimella, kiihdyttävä voima α(t) 0, ja jarrupolkimella, hidastava voima β(t) 0, t. 4
5 Etäisyys alkupisteestä d. Valitaan tilamuuttujiksi paikka d ja nopeus v. Ohjaukset α(t) ja β(t). d(t) = v(t) v(t) = α(t) + β(t) [ ] [ ] [ ] [ ] d(t) α(t) x(t) =, u(t) = ẋ(t) = x(t) + u(t) v(t) β(t) }{{}}{{} A B 2.4 Esimerkki 2 Auto lähtee pysähtyneenä pisteestä O ja pysähtyy pisteeseen e: [ ] [ ] 0 e x( ) =, x(t 0 f ) = 0 Auto ei peruuta, kiihtyvyydet rajoitetut 0 x 1 (t) e 0 x 2 (t) 0 u 1 (t) M 1 M 2 u 2 (t) 0 Polttoainetta rajoitettu määrä G 2.5 Tilaesityksen edut [k 1 u 1 (t) + k 2 x 2 (t)] dt G Tilaesitys on vakiintunut tapa kuvata dynaamisia systeemeitä Esitystapa on matemaattisesti käyttökelpoinen Usein tilavektorin komponenteilla on fysikaalinen (todellinen) tulkinta Tilaesityksen avulla voidaan tutkia systeemin ominaisuuksia Ohjattavuus Tarkkailtavuus Stabiilisuus 2.6 Systeemien luokittelu Epälineaarinen a) aikavariantti ja b) -invariantti systeemi a) ẋ(t) = f(x(t),u(t), t) b) ẋ(t) = f(x(t),u(t)) 5
6 Lineaarisen aikavariantin systeemin ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) tilayhtälön ratkaisu (ohjauksen u(t) vaste) on x(t) = ϕ(t, )x( ) + t ϕ(t, τ)b(τ)u(τ)dτ, missä ϕ(t, ) on systeemin tilansiirtomatriisi (kuvaa nollaohjauksella tilan muutosta hetkestä hetkeen t). Aikainvariantissa tapauksessa A ja B vakioita. ϕ(t, ) = ϕ(t ) = e A(t ), missä e At I + At + 1 2! A2 t 2 + Tilansiirtomatriisin ominaisuuksia: ϕ(t, t) = I ϕ(t 2, t 1 )ϕ(t 1, ) = ϕ(t 2, ) ϕ 1 (t 2, t 1 ) = ϕ(t 1, t 2 ) d d) = A(t)ϕ(t, ) Tilansiirtomatriisin määrittämiseksi on monia keinoja. Eräs tapa aikainvariantissa tapauksessa on määrittää eksponenttisarja numeerisesti. 2.7 Ohjaukset Ohjausfunktio u(t) on yleensä määritelty ja rajoitettu: u(t) U, missä U on esim. paloittain jatkuvien funktioiden joukko ja u(t) Ω, missä Ω kuvaa rajoitusjoukkoa U sisältää siis ne ohjaukset, joilla systeemiyhtälö on mielekäs ja Ω antaa toteutettavissa olevat ohjaukset Sallitut ohjaukset: u(t) Ω U Maalijoukko G, mihin tila halutaan ohjata, siis (x(t f ), t f ) G R n+1, kun t f on loppuaika Käypien ohjausten joukko (G;x 0 ) on niiden ohjausfunktioiden u(t) : [, t f ] R n, u(t) Ω U joukko, joilla maalijoukko G on saavutettavissa tilasta x Ohjattavuus Käypien ohjausten määrittämiseen liittyvä käsite. Tarkastellaan systeemiä alkutilassa x 0 = x( ), ja t. ẋ(t) = f(x(t),u(t), t) Määritelmä. Jos on olemassa äärellinen t 1 ja ohjaus u(t), t [, t 1 ], joka siirtää tilan x 0 origoon hetkeen t 1 mennessä, niin tila x 0 on ohjattava hetkellä. Jos kaikki x 0 :t ovat ohjattavia, niin systeemi on täydellisesti ohjattava. 6
7 Huom! Jos systeemi ei ole ohjattava, on optimiratkaisun etsiminen turhaa! Lause. Lineaarinen aikainvariantti n-ulotteinen systeemi ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) on täydellisesti ohjattava jos ja vain jos n mn- ohjattavuusmatriisin E [ B AB A 2 B... A n 1 B ] rangi on n eli matriisissa E on n lineaarisesti riippumatonta riviä. 2.9 Tarkkailtavuus Tarkastellaan systeemiä alkutilassa x 0 = x( ), ja t. ẋ(t) = f(x(t),u(t), t) y(t) = c (x(t),u(t), t) Määritelmä. Jos systeemin alkutila x 0 voidaan määrittää tarkkailemalla systeemin ulostuloa y(t) aikavälillä [, t 1 ], tilan x 0 sanotaan olevan tarkkailtava hetkellä. Jos kaikki alkutilat x 0 ovat tarkkailtavia kaikille, systeemi on täydellisesti tarkkailtava. Lause. Lineaarinen aikainvariantti systeemi ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) on täydellisesti tarkkailtava jos ja vain jos n qn -tarkkailtavuusmatriisin G [ C T A T C T (A T ) 2 C T... (A T ) n 1 C T] rangi on n eli matriisissa G on n lineaarisesti riippumatonta riviä Esimerkki 2 Tutkiaan edellisen autoesimerkin ohjattavuutta [ ] [ ] [ ] A =, B =, AB =, E = [ ] E:n rangi on 2, joten systeemi on täydellisesti ohjattava. Jos vain kaasu käytössä, niin [ ] [ ] [ ] [ ] A =, B =, AB =, E = E:n rangi on 2, joten systeemi on täydellisesti ohjattava myös pelkällä kaasulla. 7
8 3 Dynaamisen optimointitehtävän määrittely Optimointikriteeri Dynaamisessa optimoinnissa kriteeri on funktionaali eli funktio funktiosta, joka kuvaa funktion reaaliluvuille: J : C 1 (a, b) R Tarkastellaan vain kriteereitä, joilla on additiivisuusominaisuus Esim. kriteerillä J(u(t)) = 1 R t1 u(t)dt Olkoon annettu systeemi S: Tavoitejoukko G : (x(t f ), t f ) G Ohjausrajoitukset u(t) Ω U J(u (t0,t 1 )) = J(u (t0,t)) + J(u (t,t1 )) t (, t 1 ) ei ole tätä ominaisuutta ẋ(t) = f(x(t),u(t), t), x( ) = x 0 Tavoitejoukko + ohjausrajoitukset käypien ohjausten joukko Kohdefunktionaali J(u(t)) Etsi sellainen ohjaus u (t), jolla J(u (t)) J(u(t)), u(t), u (t) on tällöin optimiohjaus Yleinen tehtävä min J ẋ(t) = f(x(t),u(t), t) x( ) = x 0, u(t) Ω U, missä J = h(x(t f ), t f ) + t f g(x(t),u(t), t)dt. Siis annetulla u(t) Ω U x(t) = x(u(t); t) tilayhtälöstä, sijoita x(u(t); t) J:hin, jolloin saat J = J(u(t)); eli J voidaan käsittää funktionaalina J : Ω U R 3.1 Optimiohjaustehtäviä [Kirk, Ch. 2] 1. Minimiaikatehtävä: ohjaa systeemi minimiajassa lopputilaan J = t f = 2. Lopputilakustannus: minimoi esim. lopputilan poikkeama annetusta tilasta J = [x(t) r(t)] T [x(t) r(t)] = x(t f ) r(t f ) 2 3. Minimiponnistustehtävä: minimoidaan esim. polttoaineenkulutusta J = dt u T (t)ru(t)dt = u(t) 2 R 8
9 4. Seurantatehtävä: halutaan systeemin tilan seuraavan annettua referenssirataa r(t) mahdollisimman tarkasti J = x(t) r(t) 2 Q(t) dt, missä Q(t) on symmetrinen, positiivisesti semidefiniitti n n- matriisi, eli x T (t)q(t)x(t) 0, x(t). Q(t):n valinta perustuu kunkin tilakomponentin oletettuun tärkeyteen. Jos ohjausta ei ole rajoitettu (esim. u i (t) 1), niin ohjauksen arvot voidaan pitää rajoitettuna ottamalla ohjaus mukaan kustannukseen. Myös maali r(t f ) voidaan ottaa mukaan samaan kustannukseen J = x(t f ) r(t f ) 2 H + [ ] x(t) r(t) 2 Q(t) + u(t) 2 R(t) dt H on symmetrinen positiivisesti semidefiniitti n n-matriisi R(t) on symmetrinen positiivisesti definiitti m m-matriisi t [, t f ]. Q(t) on symmetrinen positiivisesti semidefiniitti n n-matriisi t [, t f ] 5. Tilasäätäjä: kun r(t) = 0 t saadaan ns. tilasäätäjä- eli regulaattoritehtävä, jolla halutaan stabiloida systeemi origoon. Tilasäätäjissä ei painomatriiseilla H, Q(t) ja R(t) yleensä ole fysikaalista (tai taloudellista) merkitystä. Ne ovat viritysparametreja 6. Optimaalinen suunnittelu. Esim. rakennettava L:n korkuinen pylväs, joka kantaa jonkin kuorman ja minimoi käytetyn rakennusmateriaalin (tilavuuden) 7. Optimaalinen taloudenpito 3.2 Esimerkki Olkoon alkupääoma K( ) = K 0 [ ] ja pääoman tuottavuus F(K(t)) [ /aikayksikkö]. Pääoman tuotto voidaan ohjata joko kulutukseen C(t) tai pääoman kasvattamiseen (investointi) K(t). Paljonko kannattaa kuluttaa ja paljonko käyttää investointeihin? Olkoon kulutuksesta saatu hyöty U(C(t)): Koko elämänilo: J = t f U(C(t))dt Systeemi: K(t) = F(K(t)) C(t), nyt siis C(t) on ohjaus ja K(t) on tila Lopputilarajoitus: K(t f ) 0 Mikä on siis optimaalinen kulutusfunkio C (t)? 9
Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle.
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 9 1. Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle. Tilayhtälö on x k+1 = f k (x k, u k ), k = 1,..., N 1 alkuehdolla
LisätiedotAmazon.com: $130,00. Osia, jaetaan opetusmonisteissa
1 Kurssin käytännön järjestelyt Luennot (12 kpl) tiistaisin klo 9 12 luokassa Y313 Luennoitsija TkT Mitri Kitti Vastaanotto luentojen yhteydessä email: mitri.kitti@hse.fi Luentomoniste kurssin verkkosivuilla
Lisätiedot1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä
1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Johdetaan lineaarisen aikavariantin systeemin ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(t 0 ) = x 0 yleinen ratkaisu. Tarkastellaan ensin homogeenistä yhtälöä. Lause
Lisätiedot1.1 Kurssimateriaali. 1.2 Kurssin suorittaminen ja ohjelma. Luennot (12 kpl) tiistaisin klo 9 12 luokassa Y313
1 Kurssin käytännön järjestelyt Luennot (12 kpl) tiistaisin klo 9 12 luokassa Y313 Luennoitsija DI Janne Karelahti, U243 Vastaanotto tiistaisin klo 13 14 email: janne.karelahti@hut.fi Luentomoniste kurssin
Lisätiedotv AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = =
Mat-214 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti Mallivastaukset kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1
Mat-214 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A, säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB ja säiliöstä
LisätiedotJos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on. p(0) = p(s) = 0.
Mat-.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 1 1. Olkoon maaston korkeus y(s) derivoituva funktio ja etsitään tien profiilia x(s). Päätösmuuttuja on tien jyrkkyys
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 11
Mat-.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 11 1. Olkoon tehtaan tuotanto x(t) ajan hetkellä t ja investoitava osuus tuotannosta u(t). Tehdasta kuvaa systeemiyhtälö ẋ(t) = u(t)x(t) x() = c
Lisätiedot12 Jatkuva-aikaisten tehtävien numeerinen ratkaiseminen
12 Jatkuva-aikaisten tehtävien numeerinen ratkaiseminen Ratkaisumenetelmät jaetaan epäsuoriin ja suoriin menetelmiin Epäsuora menetelmä yrittää ratkaista Pontryaginin minimiperiaatteen mukaiset vättlämättömät
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa
Lisätiedot[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 3
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: Kustannusfunktio: J = 2 xt NHx
Lisätiedotx = ( θ θ ia y = ( ) x.
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan systeemianalyysin laitos Mat-2429 Systeemien Identifiointi 5 harjoituksen ratkaisut Esitetään ensin systeemi tilayhtälömuodossa Tiloiksi valitaan
Lisätiedot6 Variaatiolaskennan perusteet
6 Variaatiolaskennan perusteet Sivut ss. 22 26 pääosin lähteen [Kirk, Ch. 4, ss. 107 127] pohjalta Variaatiolaskenta keskittyy lokaaliin analyysiin eli funktion lokaalin minimin vastineisiin funktionaaleilla.
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),...
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun ja t f ovat kiinteitä ja tiedetään
LisätiedotDynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II
Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
LisätiedotHarjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox
Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen
Lisätiedot8. kierros. 1. Lähipäivä
8. kierros 1. Lähipäivä Viikon aihe Tilaestimointi Tilasäätö Saavutettavuus, ohjattavuus Tarkkailtavuus, havaittavuus Mitoitus Kontaktiopetusta: 8 tuntia Kotitehtäviä: 4 tuntia Tavoitteet: tietää Saavutettavuus
Lisätiedotk = 1,...,r. L(x 1 (t), x
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = t g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun
LisätiedotMat Työ 1: Optimaalinen lento riippuliitimellä
Mat-2.132 Työ 1: Optimaalinen lento riippuliitimellä Miten ohjaan liidintä, jotta lentäisin mahdollisimman pitkälle?? 1 työssä Konstruoidaan riippuliitimen malli dynaamisen systeemin tilaesitys Simuloidaan
LisätiedotHarjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1
Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän
LisätiedotSäätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla
Säätötekniikkaa Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla servo-ongelma: ulostulon seurattava referenssisignaalia mahdollisimman tarkasti,
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ
Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotLuento 6: Monitavoitteinen optimointi
Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
LisätiedotLuento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja
Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Seuraavassa esitetään optimointitehtävien numeerisia ratkaisumenetelmiä, eli optimointialgoritmeja, keittokirjamaisesti.
Lisätiedot8. kierros. 2. Lähipäivä
8. kierros 2. Lähipäivä Viikon aihe Tilaestimointi Tilasäätö Saavutettavuus, ohjattavuus Tarkkailtavuus, havaittavuus Mitoitus Kontaktiopetusta: 8 tuntia Kotitehtäviä: 4 tuntia Tavoitteet: tietää Saavutettavuus
LisätiedotDiskreettiaikainen dynaaminen optimointi
Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u
LisätiedotOptimaalisuusehdot. Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0
Optimaalisuusehdot Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0 i = 1,..., m j = 1,..., l missä f : R n R, g i : R n R kaikilla i = 1,..., m, ja h j : R n R kaikilla j = 1,..., l
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotLuento 6: Monitavoiteoptimointi
Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotTehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.
Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,
Lisätiedot(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa
Lisätiedotẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotOptimointi. Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa. Ongelman mallintaminen. Mallin ratkaiseminen. Ratkaisun analysointi
Optimointi Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa Ongelman mallintaminen Mallin ratkaiseminen Ratkaisun analysointi 1 Peruskäsitteitä Muuttujat: Sallittu alue: x = (x 1, x 2,...,
Lisätiedotf (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2
BMA581 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Syksy 15 1. (a) Olisiko virhe likimain.5, ja arvio antaa siis liian suuren arvon. (b) Esim (1,1.5) tai (,.5). Funktion toinen derivaatta saa
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Johdanto. Kurssin tavoitteet Käytännön järjestelyt Suosituksia suorittamiseen
Talousmatematiikan perusteet: Johdanto Kurssin tavoitteet Käytännön järjestelyt Suosituksia suorittamiseen Kurssin tavoitteet Matematiikkaa hyödynnetään monilla kauppa- ja taloustieteen osaalueilla Esim.
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotMalliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
LisätiedotY (z) = z-muunnos on lineaarinen kuten Laplace-muunnoskin
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.429 Systeemien Identifiointi 3. harjoituksen ratkaisut. Vapaan vasteen löytämiseksi asetetaan ohjaukseksi u(t)
LisätiedotTIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Yleistä https://korppi.jyu.fi/kotka/r.jsp?course=96762 Sisältö Johdanto yksitavoitteiseen
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.
DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LisätiedotLuento 4: Lineaarisen tehtävän duaali
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotUseita oskillaattoreita yleinen tarkastelu
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotPaikannuksen matematiikka MAT
TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotOsakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.
LisätiedotMonitavoiteoptimointi
Monitavoiteoptimointi Useita erilaisia tavoitteita, eli useita objektifunktioita Tavoitteet yleensä ristiriitaisia ja yhteismitattomia Optimaalisuus tarkoittaa yleensä eri asiaa kuin yksitavoitteisessa
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotTIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Optimaalisuus: objektiavaruus f 2 min Z = f(s) Parhaat arvot alhaalla ja vasemmalla
LisätiedotTEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio. Mat Systeemien Identifiointi. 4. harjoitus
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 4. harjoitus 1. a) Laske valkoisen kohinan spektraalitiheys. b) Tarkastellaan ARMA-prosessia C(q 1 )y = D(q 1 )e,
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Lisätiedot9 Singulaariset ratkaisut
9 Singulaariset ratkaisut Singulaarisuus tarkoittaa, että Hamiltonin funktion minimiehto ei ksikäsitteisesti määrää ohjausta Singulaarisuus liitt usein ohjauksen suhteen lineaarisiin ssteemeihin ja kohdefunktioihin
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotMalliprediktiivinen säädin konttinosturille. Laboratoriotyön ohje. Olli Sjöberg Eero Vesaoja
Malliprediktiivinen säädin konttinosturille Laboratoriotyön ohje Olli Sjöberg Eero Vesaoja Contents 1 Johdanto 2 2 MPC säädin 4 21 MPC:n yleinen toimintaperiaate 4 22 LQ-säätimen perusteet 5 23 MPC optimoituna
Lisätiedot3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics
3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology 14.10.2010 Sisältö Johdattelua Klassinen action
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotKun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedot1 UUSIUTUMATTOMAT LUONNONVARAT
1 UUSIUTUMATTOMAT LUONNONVARAT 1.1 Johdantoa optimiohjausteoriaan Kaikissa kurssilla esitetyissä malleissa oletetaan, että luonnonvaran tila (tilamuuttuja = state variable) muuttuu ajassa ennalta tiedetyllä
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
Lisätiedot4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedot802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
Lisätiedot