BV-funktiot metrisissä mitta-avaruuksissa

Transkriptio

1 Pekka Lehtelä BV-funktiot metrisissä mitta-avaruuksissa Perustieteiden korkeakoulu Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomi-insinöörin tutkintoa varten. Espoossa Työn valvoja ja ohjaaja: Prof. Juha Kinnunen! alto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu

2

3 aalto-yliopisto perustieteiden korkeakoulu diplomityön tiivistelmä Tekijä: Pekka Lehtelä Työn nimi: BV-funktiot metrisissä mitta-avaruuksissa Päivämäärä: Kieli: Suomi Sivumäärä:4+52 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Professuuri: Matematiikka Valvoja ja ohjaaja: Prof. Juha Kinnunen Koodi: Mat-1 BV-funktiot (engl. bounded variation) muodostavat geometrisen mittateorian ja variaatiolaskennan kannalta tärkeän Sobolev-funktioavaruuden laajennuksen. Euklidisessa avaruudessa BV-funktiot ovat lokaalisti integroituvia funktioita, joiden ensimmäiset heikot osittaisderivaatat ovat Radon-mittoja. Metrisissä avaruuksissa BV-funktiot määritellään käyttäen relaksoitua määritelmää Lipschitz-funktioavaruuden sulkeumana sopivan suppenemisen suhteen. Vastaavasti voidaan edelleen määritellä funktion variaatiomitta. Tärkeän osan BV-funktioiden teoriaa muodostavat äärellisperimetriset joukot, eli joukot joiden karakteristiset funktiot ovat BV-funktioita ja siten joukon karakteristisen funktion variaatiomitta määritää joukolle perimetrimitan. Äärellisperimetristen joukkojen tutkimuksessa keskeisimpiä työkaluja ovat isoperimetrinen epäyhtälö, joka antaa yhteyden joukon mitan ja sen perimetrin välille, sekä koareakaava, joka antaa variaatiomitalle esityskaavan funktion tasojoukkojen perimetrien avulla. Joukon perimetri kuvaa tietyssä mielessä joukon reunan mittaa. Euklidisessa avaruudessa perimetrimitta saadaan joukon mittateoreettisen reunan n 1 -ulotteisena Hausdorffin mittana. Työn päätuloksena esitetään vastaava esityskaava metrisessä tapauksessa, jonka mukaan äärellisperimetrisen joukon perimetri saadaan rajoitetun Borel-funktion integraalina joukon mittateoreettisen reunan yli Hausdorff-tyyppisen mitan suhteen. vainsanat: BV-funktio, variaatiomitta, perimetri, isoperimetrinen epäyhtälö, koareakaava, struktuurilause

4

5 aalto university school of science abstract of the master s thesis uthor: Pekka Lehtelä Title: Functions of Bounded Variation on Metric Measure Spaces Date: Language: Finnish Number of pages:4+52 Department of Mathematics and Systems nalysis Professorship: Mathematics Supervisor and instructor: Prof. Juha Kinnunen Code: Mat-1 Functions of bounded variation, abbreviated as BV functions, define an important extension of the Sobolev functions, which is used in the calculus of variations and geometric measure theory. In the Euclidean case, BV functions are locally integrable functions, whose weak first partial derivatives are Radon measures. In the metric case BV functions are defined using relaxation as the closure of Lipschitz functions with respect to suitable convergence. In a similar manner the variation measure of a function is defined. n important part of the BV theory is the sets of finite perimeter, i.e. the sets whose characteristic functions are in BV. Thus the variation measure of the characteristic function defines the perimeter measure of the set. Main tools for the study of sets of finite perimeter are the isoperimetric inequality, which relates the measure of a set and its perimeter, and the coarea formula, which relates the variation measure of a function and the perimeters of its level sets. The perimeter of a set gives, in a sense, a measure for the boundary of the set. In the Euclidean case the perimeter of a set is given by n 1 dimensional Hausdorff measure of the measure theoretic boundary of the set. s a main result of the thesis, a corresponding structure theorem is given in the metric setting. The theorem states that the perimeter of a set of finite perimeter is given by an integral of a bounded Borel function over the measure theoretic boundary of the set with respect to a Hausdorff type measure of codimension 1. Keywords: Functions of bounded variation, variation measure, perimeter, isoperimetric inequality, coarea formula, structure theorem

6

7 vii Sisältö Tiivistelmä Tiivistelmä (englanniksi) Sisällysluettelo ii iv vi 1 Johdanto 1 2 Ennakkotietoja ja merkintöjä 3 3 BV-funktiot metrisessä avaruudessa Variaatiomitta Perimetri Du on mitta Isoperimetrinen epäyhtälö 26 5 Koareakaava 29 6 Hausdorff-esitys perimetrille 34

8

9 1 1 Johdanto Tässä diplomityössä tarkastellaan BV-funktioiden (engl. bounded variation) yleistystä metrisiin mitta-avaruuksiin. Geometrisessa mittateoriassa ja variaatiolaskennassa BV-funktiot muodostavat usein Sobolev-avaruutta W 1,1 luontevamman funktioavaruuden, sillä avaruus W 1,1 ei ole refleksiivinen, ja siten ei toteuta toivottuja kompaktisuustuloksia. BV-funktiot esiintyvät variaatiolaskennan ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden sovelluksissa geometriseen mittateoriaan, kuten minimipinta ongelmissa ja lineaarisesti kasvavien funktionaalien tarkastelussa. Tämä työ rajoittuu tarkastelemaan puhtaasti BV-funktioiden teoriaa. BV-funktioavaruusavaruudenR n ylikoostuul 1 -funktioista,joidenensimmäisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat ovat Radon-mittoja. Selvästi kaikki Sobolevfunktiot toteuttavat tämän, jolloin BV-funktiot muodostavat Sobolev-avaruuden laajennuksen. Voidaan osoittaa, että variaatiomitta on alaspäin puolijatkuva L 1 loc - suppenemisen suhteen. BV-funktioiden teoriaa R n :ssä on tarkasteltu lähteessä [7]. Metrisessä avaruudessa määrittely heikkojen osittaisderivaattojen avulla ei onnistu, joten luontevin tapa määrittelyyn on niin kutsutun relaksoidun määritelmän kautta, jossa BV-funktioavaruus määritellään Lipschitz-funktioavaruuden sulkeumana sopivan suppenemisen suhteen. Kappaleessa 2 esitellään lyhyesti tarvittavia metristen avaruuksien analyysin tuloksia, sekä yleisiä oletuksia avaruuden rakenteesta. Sobolev-avaruuksien yleistämiseksi metrisiin avaruuksiin määritellään gradientin vastineeksi ylägradientit ja heikot ylägradientit. Heikkojen ylägradienttien avulla määritellään Newton-avaruus N 1,p, joka koostuu L p -funktioista, joiden heikot ylägradientit ovat L p -funktioita. Newtonavaruudet määrittävät täten erään Sobolev-avaruuksien yleistyksen metrisiin avaruuksiin. Newton-avaruuksia käsitellään tarkemmin lähteessä [4]. varuudessa (X, d, µ) mitan µ oletetaan olevan tuplaava, jolloin samankeskeisten pallojen mitat ovat vertailtavissa keskenään. Lisäksi avaruuden oletetaan toteuttavan Poincarén epäyhtälön, joka antaa yhteyden funktion keskihajonnan ja funktion ylägradienttien L 1 -normin välille. Mitan tuplaavuus ja Poincarén epäyhtälö ovat standardioletuksia yleisesti metristen avaruuksien analyysissä. BV-funktioiden määritelmä ja perusominaisuuksia metrisissä avaruuksissa tarkastellaan kappaleessa 3. Funktion f variaatiomitan määrittelyssä tarkastellaan funktioonf L 1 loc -mielessä suppenevaa jonoa lokaalisti Lipschitz-funktioita f j. varuudessa R n funktion variaatiomitta joukosta on alaspäin puolijatkuvuuden perusteella pienempi tai yhtäsuuri kuin limes infimum funktioon L 1 loc-mielessä suppenevien BV-funktioiden variaatiomitoista. Vastaavasti metrisessä tapauksessa on mielekästä käyttää relaksoitua määritelmää, määritellen variaatiomitan infimumina funktiojonojen f j heikkojen ylägradienttien L 1 -normien limes infimumista. Lauseessa 3.1 osoitetaan, että avaruudessa R n määritelmä johtaa samaan tulokseen perinteisen määritelmän kanssa. Tämän jälkeen esitellään variaatiomitan perusominaisuuksia metrisissä avaruuksissa. Variaatiomitan erikoistapauksena määritellään joukolle perimetri, joka saadaan joukon karakteristisen funktion variaatiomittana. Joukon perimetri kuvaa tietyssä mielessä joukon reunan mittaa. varuudessa R n joukon E perimetri saadaan

10 sen mittateoreettisen reunan, eli joukon, jossa joukolla E ja sen komplementilla on positiivinen tiheys, n 1 -ulotteisena Hausdorffin mittana. Vastaavasti metrisessä avaruudessa perimetrille saadaan esityskaava integraalina joukon mittateoreettisen reunan yli. Työn päätulosta, eli tätä esityskaavaa tarkastellaan kappaleessa 6. Kappaleen 3 lopuksi näytetään, että variaatiomitta määrittelee Borel-säännöllisen ulkomitan avaruuteen X. Nämä BV-funktioiden perustulokset pohjautuvat pääosin lähteeseen [9]. Kappaleessa 4 todistetaan isoperimetrinen epäyhtälö BV-funktioille metrisissä mitta-avaruuksissa, jotka toteuttavat Poincarén epäyhtälön. Isoperimetrisen epäyhtälön mukaan joukon perimetrin pallossa B(x, λr) avulla saadaan yläraja joukon ja sen komplementin mittojen minimille pallossa B(x, r). Tämä vastaa relatiivista isoperimetristä epäyhtälöä Euklidisessa tapauksessa. Isoperimetrinen epäyhtälö on keskeinen työkalu äärellisperimetristen joukkojen tutkimuksessa, ja se pelaakin suurta roolia työn päätuloksen todistuksessa kappaleessa 6. Lisäksi on mahdollista osoittaa, että isoperimetrisen epäyhtälön toteuttavat avaruudet toteuttavat myös Poincarén epäyhtälön, jolloin tulokset ovat yhtäpitävät. Toista BV-funktioiden teorian tärkeää työkalua, koareakaavaa, tarkastellaan kappaleessa 5. Koareakaavan antaa funktion variaatiomitalle esityskaavan integraalina funktion tasojoukkojen perimetrimitoista. Lisäksi koareakaavan seurauksena nähdään, että BV-funktioiden melkein kaikki tasojoukkot ovat äärellisperimetrisiä. Koareakaavaa on tarkasteltu lähteessä [10]. Tämän työn päätuloksena esitetään äärellisperimetrisen joukon perimetrille esityskaava kappaleessa 6. Kaavan avulla joukon E perimetri Borel-joukossa B voidaan esittää Borel-funktion integraalina joukon mittateoreettisen reunan ja joukon B leikkauksen yli Hausdorff-tyyppisen mitan suhteen. Oleellisena tuloksena saadaan ylä- ja alarajat integroitavalle funktiolle. Vastaavan esityskaavan olemassaolo eiäärellisperimetrisille joukoille on yhä avoin ongelma. Lähteessä [1] todistetaan esityskaava hlfors-säännöllisille avaruuksille integraalina alhaalta rajoitetun Borelfunktion integraalina, ja lähteessä [2] yleistetään kaava ei-hlfors-säännöllisille avaruuksille, jotka toteuttavat tietyt rakenne-ehdot. Lähteessä [3] osoitetaan, että esityskaavassa integroitavalle funktiolle saadaan myös yläraja. 2

11 3 2 Ennakkotietoja ja merkintöjä BV-funktioiden teorian yleistämiseksi metrisiin avaruuksiin esitetään ensin tarvittavia tuloksia metristen avaruuksien analyysistä. Sobolev- ja BV-funktioiden yleistämiseksi metrisiin avaruuksiin tarvitaan vastine funktioiden heikkojen derivaattojen käsitteelle. Vaikka gradientin käsite ei metrisessä tapauksessa ole mielekäs, voidaan funktiolle määritellä heikko ylägradientti eräänläisena gradientin normin yleistyksenä. Koska Sobolev-funktioiden määritelmässä esiintyy vain gradientin normi gradientin sijaan, on luontevaa määritellä Newton-avaruudet Sobolev-avaruuksien yleistyksenä korvaamalla määritelmässä gradientin normit heikoilla ylägradienteilla. Työssä avaruus (X,d,µ) on täydellinen metrinen avaruus, jossa µ on Borelsäännöllinen ulkomitta. Lisäksi oletetaan mitan µ olevan tuplaava eli on olemassa vakio C D > 0 siten, että µ(b(x,2r)) C D µ(b(x,r)) kaikilla x X ja r > 0. Mitan tuplaavuudesta seuraa epäyhtälö µ(b(y,r)) ( R ) s µ(b(x,r)) C r kaikilla r R ja y B(x,r), sekä joillakin vakioilla s > 1 ja C 0. Vakiota s kutsutaan avaruuden tuplausdimensioksi. Seuraavaksi määritellään polkuparvelle moduli. Polkuparven moduli määrittää ulkomitan polkujen joukolle. Määritelmä 2.1. Olkoon Υ kaikkien avaruuden X suoristuvien ei-vakiopolkujen joukko ja Γ Υ. Määritellään F(Γ) kaikkien Borel-funktioiden ρ : X [0, ] joille pätee ρds 1 kaikilla γ Γ, γ joukkona. Polkuparvelle Γ Υ määritellään p-moduli, Mod p (Γ) = inf ρ p dµ, jossa p [1, ). ρ F(Γ) X Seuraavaksi määritellään heikko ylägradientti. Heikko ylägradientti yleistää tietyssä mielessä gradientin metrisiin avaruuksiin. Eräs Sobolev-avaruuksien yleistys metrisiin avaruuksiin on ns. Newton-avaruudet, joissa gradientin vastineena toimii ylägradientti. varuuden täydellisyyssyistä määritellään se käyttäen heikon ylägradientin käsitettä. Määritelmä 2.2. Olkoon p [1, ]. Ei-negatiivinen Borel-funktio g on funktion f p-heikko ylägradientti avaruudessa X, jos f(γ(a)) f(γ(b)) gds p-melkein kaikilla poluilla γ Υ, eli lukuunottamatta polkujoukkoa Γ Υ, jolle päteemod p (Γ) = 0.Vastaavastiylägradientinmääritelmässä ehdonontoteuduttava kaikilla poluilla. γ

12 4 Heikkojen ylägradienttien avulla voidaan määritellä Newton-avaruus. Määritelmä 2.3. Newton-avaruus N 1,p (X,d,µ) koostuu funktioista f L p (X), joilla on p-heikko ylägradientti g L p (X). Määritellään funktiolle f N 1,p (X) normi ( f N 1,p = X f p dµ+inf g X )1 g p p dµ, jossa infimum otetaan kaikkien p-heikkojen ylägradienttien joukosta. Huomautus 2.1. Funktiolla f N 1,p (X) on olemassa minimaalinen p-heikko ylägradientti g f L p (X). Funktio g f on minimaalinen p-heikko ylägradientti, jos g f on p-heikko ylägradientti ja pätee g f g melkein kaikkialla, kaikilla p-heikoilla ylägradienteilla g L p (X). Tulos on osoitettu Björnien kirjan [4] lauseessa 2.5. Huomautus 2.2. Funktio f N 1,p (X) on on absoluuttisesti jatkuva melkein kaikilla poluilla γ avaruudessa X. Newton-avaruuden funktioiden absoluuttista jatkuvuutta käsitellään esimerkiksi Björnien kirjassa [4]. Metrisessä tapauksessa ei sileitä funktioita voida mielekkäästi määritellä, vaan paras säännöllisyystulos, jota voidaan toivoa on Lipschitz-jatkuvuus. Havaitaan, että mikäli L on funktion f Lipschitz-vakio, g L on funktion f eräs heikko ylägradientti. Määritellään nyt Lipschitz-funktioiden muodostama funktioavaruus. Määritelmä 2.4. Funktioavaruus Lip() koostuu Lipschitz-jatkuvista funktioista f : Y, jossa X ja Y on Banach-avaruus. Vastaavasti f Lip loc (), jos f Lip(B) kaikilla avoimilla joukoilla B. Huomautus 2.3. Merkitään B, jos joukon B sulkeuma on kompakti ja B. Esitetään seuraavaksi tulon derivointikaavan yleistys funktioiden heikoille ylägradienteille. Lemma 2.1. Olkoon u : X R ja v : X R absoluuttisesti jatkuvia p-melkein kaikilla poluilla γ Υ ja olkoon g u ja g v funktioiden p-heikot ylägradientit. Tällöin funktio u g v + v g u on funktion uv p-heikko ylägradientti. Lemman 2.1 todistus löytyy Heikkilän lisensiaattityöstä [9, s.12, Theorem 2]. Seuraava lemma antaa kaavan paloittain määriteltyjen funktioiden heikoille ylägradienteille. Lemma 2.2. Olkoon E X mitallinen joukko, f : X R absoluuttisesti jatkuva funktio p-melkein kaikilla poluilla γ Υ ja u ja v mitallisia funktioita, joilla on p-heikot ylägradientit g u,g v L p (X). Jos pätee f E = u ja f X\E = v, niin funktio g = g u χ E +g v χ X\E on funktion f p-heikko ylägradientti. Lisäksi, jos g u ja g v ovat minimaalisia p-heikkoja ylägradientteja, niin g on funktion f minimaalinen p-heikko ylägradientti.

13 Lemman 2.2 todistus löytyy Björnien kirjasta [4, Lemma 2.18]. Seuraava lemma on tärkeä työkalu todistettaessa variaatiomitan olevan Borel-säännöllinen ulkomitta. Lemma 2.3. Olkoon u,v N 1,p () ja φ Lip() siten, että 0 φ 1. Määritellään funktio w = u(1 φ) + vφ. Tällöin funktioiden w,u,v ja φ minimaalisille p-heikoille ylägradienteille g w,g u,g v ja g φ pätee g w g u (1 φ)+g v φ+ u v g φ melkein kaikilla x. Lemman 2.3 todistus löytyy Heikkilän lisensiaattityöstä [9, s. 18, Lemma 8]. Eräs merkittävä työkalu metristen avaruuksien analyysissä on Poincarén epäyhtälö (2.1), jonka mukaan funktion heikkojen ylägradienttien avulla saadaan yläraja funktion keskihajonnalle palloissa. Täten Poincarén epäyhtälö antaa yhteyden heikkojen ylägradienttien ja funktion lokaalin käytätytymisen välille. Määritelmä 2.5. (Poincaré-avaruus) varuus(x, d, µ) on Poincaré avaruus, mikäli µ on tuplaava mitta, ja on olemassa vakiot C > 0 ja λ 1 siten, että jokaisen Borelfunktion f : X R {, } ja funktion jokaisen heikon ylägradientin g välillä pätee yhteys kaikilla x X ja r > 0. f f B(x,r) dµ Cr B(x,r) 5 gdµ (2.1) B(x,λr) Huomautus 2.4. Poincaré-avaruuksille voidaan osoittaa pätevän myös Poincarén epäyhtälöä vahvempi tulos, Sobolev-Poincarén epäyhtälö. Sobolev-Poincaréń epäyhtälön mukaan on olemassa vakiot C > 0 ja λ 1 siten, että funktioiden ja niiden heikkojen ylägradienttien välille saadaan yhteys ( u u B(x,r) s )s 1 s s 1 dµ B(x,r) Cr B(x,λr) gdµ (2.2) kaikilla x X ja r > 0. Tässä s on avaruuden tuplausdimensio. Sobolev-Poincarén epäyhtälön seuraaminen Poincarén epäyhtälöstä on osoitettu Hajlaszin ja Koskelan artikkelissa [8].

14 6 3 BV-funktiot metrisessä avaruudessa 3.1 Variaatiomitta Kappaleessa esitellään määritelmä variaatiomitalle metrisessä avaruudessa, minkä perusteella määritellään BV-funktioavaruus. varuudessa R n BV-funktiot määritellään L 1 -funktioina, joiden ensimmäiset heikot derivaatat ovat Radonin mittoja. Metrisessä tapauksessa käytetään relaksoitua määritelmää, jossa BV-funktioavaruus määritellään Lipschitz-funktioavaruuden sulkeumana sopivan suppenemisen suhteen. Lauseessa 3.1 näytetään, että avaruudessa R n määritelmä johtaa samaan tulokseen perinteisen määritelmän kanssa. Lopuksi esitetään BV-funktioiden keskeisiä ominaisuuksia lauseissa 3.2 ja 3.3. Määritelmä 3.1. (Totaalivariaatio) Olkoon X avoin joukko, ja u L 1 loc (). Funktion u totaalivariaatio joukossa määritellään kaavalla { } Du () = inf lim inf g uj dµ, (u j ) jossa (u j ) on jono siten, että u j Lip loc () kaikilla j N, g uj on funktion u j 1- heikko ylägradientti, ja u j u L 1 loc () mielessä. Mielivaltaiselle joukolle X määritellään totaalivariaatio kaavalla Du () = inf{ Du (V) V ja V on avoin}. Määritellään seuraavaksi BV-funktioavaruus. Määritelmä 3.2. (BV-funktiot) Funktion u L 1 () on totaalivariaatio joukossa on rajoitettu, jos Du () <. Tällöin merkitään u BV(). Vastaavasti funkion u L 1 loc () totaalivariaatio joukossa on lokaalisti rajoitettu, jos Du (B) < kaikilla avoimilla joukoilla B. Merkitään u BV loc (). Huomautus 3.1. R n :ssä totaalivariaatio määritellään kaavalla { } Du () = sup f div(ϕ)dx, ϕ jossa ϕ C 0 () ja ϕ 1. Tällöin määritellään avaruus BV () funktioiden u L 1 (), joille pätee Du () <, joukkona. Lauseessa 3.1 osoitetaan, että R n :ssä BV() = BV ().

15 Seuraavassa lemmassa osoitetaan, että BV-funktiolle u on olemassa niin kutsuttu minimoiva jono lokaalisti Lipschitz-funktioita, jotka suppenevat kohti funktiota u L 1 -mielessä ja joiden heikkojen ylägradienttien L 1 -normien raja-arvona saadaan funktion u variaatiomitta. Minimoivan jonon olemassaolo on variaatiomitan ominaisuuksien todistamisessa keskeinen työkalu. 7 Lemma 3.1. Olkoon u BV(). Tällöin on olemassa jono {u j } j=1 u j Lip loc () kaikilla j N, sekä siten, että u j u L 1 loc() mielessä ja Du () = lim g uj dµ. Todistus. Olkoon u BV(). Tällöin on olemassa jono {v j h } h=i siten, että vj h u L 1 loc () mielessä, kun h ja g v jdµ < Du ()+ 1 h j. Jonoista{v j h } h=i voidaankonstruoidajono{u j} j=1siten,ettäu j u L 1 loc () mielessä ja lisäksi kaikilla j N pätee g uj dµ < Du ()+ 1 j. Täten Du () lim inf liminf = Du (), g uj dµ ( Du ()+ 1 ) j jolloin mikä todistaa väitteen. Du () = lim g uj dµ, Todistetaan nyt, että määritelmä 3.1 johtaa avaruudessa R n samaan tulokseen perinteisen määritelmän kanssa. Lause 3.1. Olkoon R n avoin joukko. Tällöin BV() = BV (). Todistus. Vaihe 1. BV() BV () Olkoon u BV(). Lemman 3.1 mukaan on olemassa jono {u j } j=1 u j Lip loc () kaikilla j N ja siten, että u j u L 1 loc() mielessä, sekä g uj dx = Du () <. lim

16 Lip loc () BV (),jotenvariaatiomitanalaspäinpuolijatkuvuuden[7,s.172,theorem 1] perusteella Du () liminf Du j (). (3.1) Funktioille u j ja ϕ C0 () pätee u j div(ϕ)dx = Du j ϕdx, (3.2) ja kun ϕ 1, Cauchy-Schwarz-Bunyakovskyn epäyhtälön perusteella Du j ϕdx Du j dx = g uj dx. (3.3) Epäyhtälöiden (3.1), (3.2) ja (3.3) mukaan Du () liminf g uj dx = Du () <, joten u BV(). Vaihe 2. BV () BV(). Olkoon u BV (). Tällöin [7, s. 172, Theorem 2] on olemassa jono {u j } j=1 siten, että u j BV () C () kaikilla j N, sekä Tällöin lim inf u j u L 1 () mielessä ja Du j () Du (). g uj dµ lim Du j () = Du () <. (3.4) Kun otetaan infimum kaikkien jonojen (u j ), jossa u j u L 1 loc () mielessä ja u j Lip loc () kaikilla j N, epäyhtälön (3.4) perusteella saadaan u BV(). Seuraavassa lauseessa esitetään variaatiomitan perusominaisuuksia. Lause 3.2. ( Du :n perusominaisuuksia) Olkoon u,v L 1 loc (X), avoimet,b X ja α R. Tällöin pätee (1) D(αu) () = α Du (), (2) D(u + v) () Du () + Dv (), (3) Du ( B) = Du ()+ Du (B), kun B = ja (4) Du (B) Du (), kun B. Todistus. (1) Jos α = 0, D(0 u) () = 0 Du (), jolloin (1) pätee. Oletetaan α 0. Nyt lemman 3.1 perusteella voidaan valita jono {u j } j=1 siten, että u j Lip loc () kaikilla j N, u j u L 1 loc () mielessä ja Du () = lim g uj dµ. (3.5) 8

17 Tällöin joten yhtälön (3.5) perusteella D(αu) () lim g αuj dµ lim α g uj dµ, D(αu) () α Du (). Toisaaltalemman3.1perusteellavoidaanvalitajono{u j } j=1siten,ettäu j Lip loc () kaikilla j N, u j αu L 1 loc () mielessä ja Tällöin D(αu) () = lim g uj dµ. (3.6) lim g uj dµ = α lim g uj dµ α lim g uj dµ, α jossa g uj on funktion u j α heikko ylägradientti. Nyt Du () määritelmän, ja yhtälön (3.6) perusteella pätee mikä todistaa väitteen (1). D(αu) () α Du (), (2) Jos Du () = tai Dv () =, väite pätee. Oletetaan Du (), Dv () <. Lemman 3.1 mukaan voidaan valita jonot {u j } j=1 ja {v j } j=1 siten, että u j Lip loc () kaikilla j N, v j Lip loc () kaikilla j N, u j u L 1 loc () mielessä ja v j u L 1 loc () mielessä, sekä 9 Du () = lim g uj dµ ja Nyt Dv () = lim g vj dµ. D(u+v) () liminf liminf ( g uj +v j dµ g uj dµ+ ) g vj dµ. Toisaalta ehdon (3.7) mukaan pätee lim inf g uj dµ = lim g uj dµ = Du () ja lim inf g vj dµ = lim g vj dµ = Dv (), (3.7) (3.8) (3.9)

18 10 joten yhtälöiden (3.8) ja (3.9) perusteella mikä todistaa väitteen (2). (3) (i) Näytetään D(u + v) () Du () + Dv (), Du ( B) Du () + Du (B). Jos Du ( B) =, väite pätee. Oletetaan Du ( B) <. Nyt lemman 3.1 mukaan voidaan valita jono {u j } j=1 siten, että u j Lip loc ( B) kaikilla j N, u j u L 1 loc ( B) mielessä ja Koska ja B ovat pistevieraat, pätee lim Du ( B) = lim g uj dµ. (3.10) B B g uj dµ = lim g uj dµ+ lim g uj dµ. (3.11) B Oletuksenmukaanu j u L 1 loc ( B) mielessä,jotenpäteemyösu j u L 1 loc () mielessä ja u j u L 1 loc (B) mielessä. Nyt lim g uj dµ Du () ja g uj dµ Du (B). lim Yhtälöiden (3.10), (3.11) ja (3.12) mukaan B Du ( B) Du () + Du (B), mikä todistaa väitteen (i). (ii) Näytetään Du () + Du (B) Du ( B). (3.12) Jos Du () = tai Du (B) =, väite pätee. Oletetaan Du () < ja Du (B) <. Tällöin lemman 3.1 perusteella voidaan valita jonot {u j } j=1 ja {v j } j=1 siten, että u j u L 1 loc () mielessä ja v j u L 1 loc (B) mielessä, sekä Du () = lim g uj dµ ja Du (B) = lim g vj dµ. B (3.13)

19 11 Määritellään jono {w j } j=1 siten, että w j = { u j v j joukossa joukossa B kaikilla j N. Tällöin w j Lip loc ( B) kaikilla j N ja w j u L 1 loc ( B) mielessä. Nyt Du ( B) määritelmän mukaisesti Du ( B) liminf g wj dµ. (3.14) Koska ja B ovat pistevieraat, pätee lim inf g wj dµ = liminf B ( B g uj dµ+ B ) g vj dµ = lim g uj dµ+ lim g vj dµ. B (3.15) Yhtälöiden (3.13) mukaan yhtälön (3.15) integraalit konvergoivat, ja siten yhtälön (3.14) perusteella Du ( B) Du () + Du (B), mikä todistaa väitteen (ii). Väitteet (i) ja (ii) yhdessä todistavat nyt väitteen (3). (4) Jos Du () =, väite pätee. Oletetaan Du () <. Lemman 3.1 mukaan on olemassa jono {u j } j=1, u j Lip loc () kaikilla j N, siten, että u j u L 1 loc () mielessä. Koska B, pätee myös u j Lip loc (B) kaikilla j N ja u j u L 1 loc (B) mielessä. Funktioiden u j ylägradientit g uj ovat ei-negatiivisia, jolloin lim inf B g uj dµ liminf g uj dµ, joten kun otetaan infimum kaikkien jonojen {u j } j=1 yli, on väite (4) todistettu. L 1 loc Seuraavassa lauseessa näytetään, että variaatiomitta on alaspäin puolijatkuva -suppenemisen suhteen. Lause 3.3. ( Du :n alaspäin puolijatkuvuus) Olkoon u L 1 loc (X), avoin X ja {u j } j=1 siten, että u j BV loc () kaikilla j N ja u j u L 1 loc () mielessä. Tällöin kaikille avoimille B pätee Du (B) lim inf Du j (B). Erityisesti, jos sup j N Du j (B) < kaikilla B, niin u BV loc ().

20 12 Todistus. Lemman3.1perusteella jokaistaj Nkohden voidaanvalitajono{u j h } h=i siten, että Du j (B) = lim h B g u jdµ. h Jonoista {u j h } voidaan konstruoida osajono {v j} j=1 siten, että g vj dµ < Du j (B)+ 1 ja v j u L 1 loc (B) mielessä. j Tällöin B mikä todistaa väitteen. 3.2 Perimetri Du (B) lim inf liminf g vj dµ B ( Du j (B)+ 1 ) j = liminf Du j (B), Kappaleessa määritellään Borel-joukoille perimetrimitta joukon karakteristisen funktion variaatiomittana. Tällöin joukko on äärellisperimetrinen joukossa, jos ja vain jos sen karakteristinen funktio on BV-funktio kyseisessä joukossa. Joukon perimetrin voidaan ajatella kuvaavan tietyssä mielessä joukon reunan mittaa ja avaruudessa R n perimetrimitta yhtyykin joukon mittateoreettisen reunan n 1 -ulotteiseen Hausdorffin mittaan. Lisäksi lausessa 3.4 esitetään perimetrimitalle päteviä keskeisiä tuloksia. Määritelmä 3.3. (Perimetri) Olkoon X avoin joukko ja E X Borel-joukko. Tällöin joukon E perimetri joukossa on P(E,) = Dχ E (). Joukko E on äärellisperimetrinen joukossa, jos pätee P(E,) <. Esitetään seuraavaksi perimetrimitan keskeisiä ominaisuuksia. Lause 3.4. (Perimetrimitan perusominaisuuksia) Olkoon E, F X Borel-joukkoja, ja X avoin. Tällöin pätee (1) Jos µ((e F) ) = 0, niin P(E,) = P(F,). Tässä E F = (E \F) (F \E) on joukkojen symmetrinen erotus. (2) P(E F,)+P(E F,) P(E,)+P(F,). (3) P(E,) = P(X \E,).

21 (4) Olkoon 1, 2 X avoimia joukkoja siten, että 1 2 ja dist(e, 2 \ 1 ) > 0. Tällöin P(E, 1 ) = P(E, 2 ). (5) Olkoon E i,i = 1,2,... Borel-joukkoja. Tällöin P( i=1 E i,) P(E i,). (3.16) (6) max{p(e F,),P(E F,),P(E \F,)} P(E,)+P(F,). Todistus. (1) Oletuksen mukaan µ((e F) ) = 0 eli χ F χ E dµ = 0. (3.17) Lemman 3.1 perusteella valitaan jono {u j } j=1 siten, että u j Lip loc () kaikilla j N, u χ E L 1 loc () mielessä, ja (3.18) Dχ E () = P(E,) = lim g uj dµ. (3.19) Seuraavaksi näytetään, että u j χ F L 1 loc () mielessä. Olkoon K. Tällöin u j χ F dµ = (u j χ E )+(χ E χ F ) dµ K K u j χ E dµ+ χ E χ F dµ. Nyt yhtälöiden (3.17) ja (3.18) perusteella u j χ E dµ 0 ja K χ E χ F dµ = 0, jolloin u j χ F L 1 loc () mielessä. Tällöin P(F,) liminf K K i=1 K g uj dµ = P(E,). Symmetrian perusteella pätee P(E,) P(F,), jolloin P(E,) = P(F,). (2) Jos P(E,) = tai P(F,) =, väite tosi. Oletetaan, että P(E,) < ja P(F,) <. Lemman 3.1 perusteella valitaan jonot {u j } j=1 ja {v j} j=1 siten, että u j Lip loc () kaikilla j N ja v j Lip loc () kaikilla j N ja u j χ E L 1 loc () mielessä, v j χ F L 1 loc () mielessä, sekä P(E,) = lim g uj dµ ja 13 P(F,) = lim g vj dµ (3.20)

22 14 Tällöin max{u j,v j } χ E F L 1 loc() mielessä ja min{u j,v j } χ E F L 1 loc() mielessä. (3.21) Lemman 2.2 perusteella funktioille max{u j,v j } ja min{u j,v j } saadaan p-heikot ylägradientit g max{uj,v j } = g uj χ {uj v j } +g vj χ {uj <v j } g min{uj,v j } = g uj χ {uj <v j } +g vj χ {uj v j }. ja (3.22) Nyt P(E F,)+P(E F,) liminf ( g max{uj,v j }dµ+ ) g min{uj,v j }dµ. Tällöin yhtälöiden (3.22) perusteella ( P(E F,)+P(E F,) liminf (g uj χ {uj v j } +g vj χ {uj <v j })dµ ) + (g uj χ {uj <v j } +g vj χ {uj v j })dµ = liminf g uj dµ+liminf g vj dµ, mistä seuraa P(E F,)+P(E F,) P(E,)+P(F,). (3) Lemman 3.1 perusteella voidaan valita jono {u j } j=1 siten, että u j Lip loc () kaikilla j N, u j χ E L 1 loc () mielessä ja P(E,) = lim g uj dµ. (3.23) Määritelläänjono{v j } j=1 siten,ettäv j = 1 u j kaikillaj N.Tällöinv j Lip loc () kaikilla j N ja v h 1 χ E = χ X\E L 1 loc () mielessä. Siten P(X \E,) liminf g vh dµ. (3.24) Toisaalta g uj = g vj, joten epäyhtälöstä (3.24) saadaan P(X \E,) liminf g uh dµ = P(E,).

23 Symmetrian perusteella P(E,) P(X \E,), joten P(E,) = P(X \E,). (4) 1 2, joten P(E, 1 ) P(E, 2 ) variaatiomitan monotonisuuden perusteella. Näytetään, että P(E, 2 ) P(E, 1 ). Määritellään joukko δ = {x 1 dist(x, 2 \ 1 ) > δ}. Oletuksen mukaan dist(e, 2 \ 1 ) > 0, joten on olemassa δ > 0 siten, että E δ. Määritellään funktio 1 joukossa δ, dist(x, η = 2 \ 1 ), kun 0 < dist(x, δ 2 \ 1 ) < δ, 0 joukossa 2 \ 1. Nyt η Lip( 2 ) ja 0 η 1 joukossa 2. Lemman 3.1 mukaan voidaan valita jono {u j } j=1 siten, että u j Lip loc ( 1 ) kaikilla j N ja u j χ E L 1 loc ( 1) mielessä, sekä P(E, 1 ) = lim g uj dµ. (3.25) 1 Tällöin myös ηu j Lip loc ( 2 ) kaikilla j N ja ηu j χ E L 1 loc ( 2) mielessä. Nyt P(E, 2 ) liminf 15 2 g ηuj dµ. (3.26) Lemman 2.1 mukaisesti funktion ηu j eräs p-heikko ylägradientti on g ηuj = ηg uj + u j g η, joten epäyhtälöstä (3.26) saadaan P(E, 2 ) liminf (ηg uj +u j g η )dµ. (3.27) 2 Funktion η valinnan perusteella supp(η) 1, joten lim inf (ηg uj +u j g η )dµ lim ηg 2 uj dµ+ lim u 1 j g η dµ. (3.28) 1 Toisaalta χ E χ 1\δ lim u j g η dµ = 1 1 δ dµ = 0, joten arvioimalla η = 1 joukossa 1, epäyhtälöistä (3.27) ja (3.28) saadaan P(E, 2 ) lim g uj dµ = P(E, 1 ). 1 (5) Kohdan (2) perusteella P(E 1 E 2,) P(E 1,)+P(E 2,), joten jatkamalla iterointia saadaan n P( n i=1 E i,) P(E i,). (3.29) Olkoon K. Nyt K χ n i=1 E i dµ i=1 K 1dµ <,

24 16 joten Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseen perusteella χ n i=1 E i χ i=1 E i L 1 loc () mielessä. Variaatiomitan alaspäin puolijatkuvuuden (Lause 3.3) perusteella Nyt epäyhtälöiden (3.29) ja (3.30) perusteella P( i=1 E i,) liminf n P( n i=1 E i,). (3.30) mikä todistaa väitteen. P( i=1e i,) liminf n n P(E i,) i=1 P(E i,), i=1 (6) Kohdan (2) perusteella P(E F,) P(E,)+P(F,) ja P(E F,) P(E,)+P(F,), (3.31) jolloinriittäätodistaap(e\f,) P(E,)+P(F,).ToisaaltaE\F = E (X\F), joten kohdan (2) perusteella P(E \F,) P(E,)+P(X \F,). (3.32) Kohdan (3) perusteella P(X\F,) = P(F,), joten epäyhtälö (3.32) saadaan muotoon P(E \F,) P(E,)+P(F,), (3.33) jolloin epäyhtälöt (3.31) ja (3.33) todistavat väitteen. 3.3 Du on mitta Kappaleessa todistetaan, että variaatiomitta Du on Borel-säännöllinen ulkomitta avaruudessa X. Lauseessa 3.5 esitettävän tuloksen todistamiseksi esitetään tarvittavia lemmoja. luksi todistetaan tekniset lemmat 3.2, 3.3, joiden mukaan avoimissa joukoissa M ja N määritellyt Lipschitz-funktiot u ja v voidaan yhdistää joukkojen unionissa määritellyksi Lipschitz-funktioksi w siten, että w = u joukon N komplementissa, w = v joukon M komplementissa, ja funktion w ylägradienttien L 1 -normille saadaan yläraja funktioiden u ja v, sekä näiden ylägradienttien avulla. Tämän jälkeen lemmoissa 3.4 ja 3.5 osoitetaan, että variaatiomitta on sisäsäännöllinen, ja että variaatiomitta on äärellisesti subadditiivinen avoimilla joukoilla. Lopuksi variaatiomittaa koskevat tulokset kootaan yhteen lauseessa 3.5 näyttäen, että variaatiomitta on Borel-säännöllinen ulkomitta.

25 Lemma 3.2. Olkoon M ja N avoimia joukkoja siten, että N on rajoitettu ja N M =. Tällöin on olemassa avoimet joukot H M N, C 1 M ja C 2 N, sekä vakio c = c(m,n) siten, että kaikilla u Lip(M) ja v Lip(N) on olemassa w Lip(M N) siten, että (1) ja M N w = g w dµ { u joukossa M \N, M v joukossa N \M, g u dµ+ N g v dµ+c u v dµ. H (2) Lisäksi kaikilla funktioilla σ L 1 loc (M N) ja joukoilla K M N pätee w σ dµ u σ dµ+ v σ dµ. K K C 1 K C 2 Todistus. Merkitään η = dist( M, N). Määritellään funktio φ siten, että 1 joukossa N \M {x M N dist(x, N) > 2η}, 3 φ(x) = 0 joukossa M \N {x M N dist(x, N) < 1 3 η}, 3 dist(x, N) η 1 joukossa {x M N η < dist(x, N) < 2η}. η 3 3 Tällöin pätee φ Lip(M N) ja 0 φ 1 joukossa M N. Määritellään joukot C 1 = {x M N φ(x) < 1}, C 2 = {x M N φ(x) > 0} ja H = C 1 C 2 M N, sekä funktio w = u(1 φ)+vφ, jolloin w = u joukossa M \N ja w = v joukossa N \M. Lemman 2.3 mukaan g w dµ (g u (1 φ)+g v φ+g φ u v )dµ. (3.34) M N M N Funktion φ määritelmän mukaisesti supp(g φ ) H, jossa g φ = 3. Lisäksi φ = 1 η joukon N komplementissa ja φ = 0 joukon M komplementissa, joten yhtälöstä (3.34) saadaan g w dµ g u dµ+ g v dµ+ 3 u v dµ, η M N mikä todistaa väitteen (1). M Olkoon K M N ja σ L 1 loc (M N). Joukko K voidaan esittää muodossa K = (K (M \N)) (K (N \M)) (K (M N)), N H 17

26 18 jolloin w σ dµ = K + u σ dµ+ v σ dµ K (M\N) K (N\M) (1 φ)(u σ)+φ(v σ) dµ. K (M N) (3.35) Toisaalta K (M N) = (K M N {φ = 0}) (K M N {φ = 1}) (K M N {0 < φ < 1}), joten yhtälö (3.35) saadaan muotoon w σ dµ = u σ dµ K K ((M\N) (M N {φ=0})) + v σ dµ K ((N\M) (M N {φ=1})) + (1 φ)(u σ) dµ. K (M N) {0<φ<1} + φ(v σ) dµ. K (M N) {0<φ<1} (3.36) rvioimalla yhtälön(3.36) toiseksi viimeisessä termissä φ = 0 ja viimeisessä termissä φ = 1 saadaan arvio w σ dµ u σ dµ+ v σ dµ, K K C 1 K C 2 mikä todistaa väitteen (2). Seuraavassa lemmassa esitetään lemman 3.2 muunnelma, jonka perusteella voidaan määritellä edellisen lemman tapaisesti Lipschitz-funktio w, mutta tällä kertaa funktio w on määritelty joukossa M N, jossa M M ja N N. Tämä lemma on keskeinen työkalu variaatiomitan subadditiivisuuden osoittamisessa. Lemma 3.3. Olkoon M, N, M ja N avoimia joukkoja siten, että M M ja N N. Tällöin on olemassa avoin joukko H M N ja vakio c = c(m,m,n ) siten, että kaikilla u Lip(M) ja v Lip(N) on olemassa funktio w Lip(M N ), jolle pätee g w dµ g u dµ+ g v dµ+c u v dµ. M N M N H

27 Todistus. Merkitäänη = dist(m,n \M).KoskaM M,päteeη dist(m, M) > 0. Nyt voidaan määritellä funktio 1 joukossa M {x M N dist(x, M ) < 1η} 3 φ(x) = 0 joukossa N \M {x M N dist(x, M ) > 2η} 3 2η 3dist(x, M ) joukossa {x M N 1 η < dist(x, N) < 2η} η 3 3 Tällöinφ Lip(M N )ja0 φ 1.MääritelläänjoukkoH = {x M N 0 < φ(x) < 1} ja funktio w = φu+(1 φ)v. Tällöin w Lip(M N ). Nyt lemman 2.3 perusteella g w dµ (g u φ+g v (1 φ)+g φ u v )dµ. (3.37) M N M N Koska φ = 0 joukon M komplementissa ja φ = 1 joukon N \M komplementissa, sekä supp(g φ ) H, jossa g φ = 3, saadaan epäyhtälön (3.37) oikealle puolelle arvio η (g u φ+g v (1 φ)+g φ u v )dµ g u dµ+ g v dµ+ 3 u v dµ. (3.38) M N M N \M η H Funktioiden u ja v heikot ylägradientit ovat ei-negatiivisia, ja M M, sekä N \ M N, joten epäyhtälöä (3.38) voidaan arvioida ylöspäin vaihtamalla integrointialueita, jolloin epäyhtälöistä (3.37) ja (3.38) saadaan g w dµ g u dµ+ g v dµ+ 3 u v dµ, M N M N η mikä todistaa väitteen. Näytetään seuraavaksi, että variaatiomitta on sisäsäännöllinen. Tätä tarvitaan muun muassa lauseen 3.5 todistuksessa. Seuraavan lemman todistus metrisessä tapauksessa on hyvin tekninen ja perustuu sopivan joukkoperheen C i, (i = 1, 2,...) konstruoimiseen ja lemman 3.2 soveltamiseen induktiivisesti kyseisen joukkoperheen avulla määriteltyihin funktioihin. Lemma 3.4. Olkoon avoin joukko. Tällöin Du () = sup{ Du (B) B avoin, B.} Todistus. Jos sup B Du (B) =, väite pätee. Oletetaan sup B Du (B) <. Määritellään joukot { j = x dist(x, ) > 1 }, j C 1 = 2 ja C k = 2k \ 2k 3, kun k = 2,3,... H 19

28 20 Nyt = j=1 j ja joukoille C k pätee C 2k C 2p =, kun k p, ja C 2k+1 C 2p+1 =, kun k p. (3.39) Kiinnitetään n N. Tällöin 2n k=1 Du (C k ) = n n Du (C 2k )+ Du (C 2k 1 ). (3.40) k=1 k=1 Yhtälöiden (3.39) ja lauseen 3.2 (3) perusteella yhtälö (3.40) voidaan esittää muodossa 2n Du (C k ) = Du ( n k=1 C 2k)+ Du ( n k=1 C 2k 1). (3.41) k=1 Toisaalta n k=1 C 2k ja n k=1 C 2k 1, joten lauseen 3.2(4) perusteella yhtälöä (3.41) voidaan arvioida ylöspäin. Tällöin 2n k=1 Kun n saadaan yhtälöstä (3.42) Du (C k ) 2 Du () kaikilla n N. (3.42) Du (C k ) 2 Du () <. k=1 Koska sarja konvergoi, kaikilla ε > 0 on olemassa k siten, että Valitaan B = 2 k 2. Du (C k ) ε 6. (3.43) k= k Propositio 3.1. Nyt on olemassa B B ja jono {u j } j=1, u j Lip loc ( \ B ) kaikilla j N siten, että u j u L 1 loc (\B ) mielessä ja lim sup g uj dµ ε \B 3. (3.44) Todistus. Olkoon B = 2 k 3 2 k 2 = B. Määritellään joukot D j = C k+j 1. Tällöin \ B = j=1 D j. Valitaan jono {ψ m,j } m=1 siten, että ψ m,j Lip loc (D j ) kaikilla j N, ψ m,j u L 1 loc (D j) mielessä, kun m ja g ψm,j dµ Du (D j )+ 1 D i m2j. (3.45)

29 Seuraavaksimääritelläänjono{u m,j } m=1,jossau m,j Lip loc ( j h=1 D h)kaikillaj N, jonoista ψ m,j induktiolla: 1. Olkoon u m,1 = ψ m,1. Tällöin jonon ψ m,1 valinnan perusteella u m,1 Lip loc (D 1 ) kaikilla m N. 2.Oletetaan, että u m,j Lip loc ( j h=1 D h) kaikillam Nja näytetään,että löydetään jono u m,j+1 Lip loc ( j+1 h=1 D h) kaikilla m N. Sovelletaan lemmaa 3.2 joukkoihin M = D j+1 ja N = j h=1 D h, sekä funktioihin u = ψ m,j+1 Lip loc (M) ja v = u m,j Lip loc (N) kaikilla m N. Tällöin löydetään funktio u m,j+1 Lip loc ( j+1 h=1 D h) ja joukko H j j h=1 D h D j+1 siten, että g um,i+1 dµ g ψm,j+1 dµ+ g um,j dµ+c ψ m,j+1 u m,j dµ. j+1 h=1 D h D j+1 j h=1 D h jh j (3.46) Joukossa H j pätee u m,j = ψ m,j ja ψ m,j u L 1 loc (H j) mielessä, joten voidaan olettaa c j ψ m,j+1 u m,j dµ ε H j 12 2j. (3.47) rvioimalla epäyhtälöllä (3.46) iteratiivisesti epäyhtälön (3.46) oikean puolen keskimmäistä termiä saadaan epäyhtälö muotoon j+1 h=1 D h j+1 j+1 g um,j+1 dµ g um,h dµ+ c ψ m,h+1 u m,h dµ. (3.48) D h hh h h=1 rvioiden (3.45) ja (3.47) perusteella saadaan arvioitua epäyhtälöä (3.48) ylöspäin, jolloin saadaan epäyhtälö j+1 h=1 D h j+1 g um,j+1 dµ h=1 h=1 ( Du (D h )+ 1 ) j+1 + m 2 h h=1 Nyt arvion (3.43) perusteella epäyhtälöstä (3.49) saadaan g um,j+1 dµ ε m. j+1 h=1 D h 21 ε 12 2h. (3.49) Määritellään jono {u m } m=1 siten, että u m = u m,j joukossa j 1 h=1 D h, jolloin g um dµ = lim g \B um,h dµ ε j m. h=1 Siten lim sup g uj dµ ε \B 3. Osoitetaan seuraavaksi induktiolla, että u m,j u L 1 loc (\B ) mielessä, kun m.

30 1. u m,1 = ψ m,1 ja funktioiden ψ m,j valinnan mukaan ψ m,j u L 1 loc (D 1) mielessä. 2. Oletetaan, että u m,j u L 1 loc ( j h=1 D h) mielessä. Olkoon K j+1 h=1 D h kompakti. Tällöin soveltamalla lemmaa 3.2(2) joukkoihin N = j h=1 D h ja M = D j+1 ja funktioon σ = u löydetään joukot K 1 M ja K 2 N siten, että u m,j+1 u dµ ψ m,j+1 u dµ+ u m,j u dµ. (3.50) K K 1 K 2 Funktioiden ψ m,j valinnan ja induktio-oletuksen perusteella perusteella ψ m,j+1 u dµ 0, ja u m,j u dµ 0, K 1 K 2 kun m, jolloin epäyhtälön (3.50) perusteella u m,j+1 u L 1 (K) mielessä. Näytetään vielä, että u m u L 1 loc (\B ) mielessä. Olkoon K \B. Nyt on olemassa j N siten, että K j h=1 D h, jolloin u m u dµ = u m,j u dµ 0. K K 22 Jatketaan lemman 3.4 todistusta. Olkoon jono {v j } j=1 siten, että v j Lip loc (B) kaikilla j N, v j u L 1 loc (B) mielessä ja Du (B) = lim g vj dµ. (3.51) B Ota ε > 0. Nyt proposition 3.1 ja lemman 3.2 perusteella on olemassa funktiojono {w j } j=1, w j Lip loc ((\B ) B) kaikilla j N ja joukko H B (\B ) siten, että w j u L 1 loc () mielessä ja g wj dµ g uj dµ+ v j dµ+c u j v j dµ. (3.52) \B B H Proposition 3.1 perusteella voidaan arvioida \B g uj dµ ε 2 (3.53) ja koska u j u L 1 loc (H) mielessä ja v j u L 1 loc (H) mielessä voidaan arvioida c u j v j dµ ε 2. (3.54) Nyt arvioiden (3.52), (3.53) ja (3.54) perusteella mikä todistaa väitteen. H Du () Du (B) + ε,

31 Todistetaan seuraavaksi variaatiomitan äärellinen subadditiivisuus avoimille joukoille. Tämä seuraa helposti lemmoista 3.3 ja 3.4. Lemma 3.5. Kaikille avoimille joukoille ja B pätee Du ( B) Du () + Du (B). Todistus. Lemman 3.4 perusteella riittää näyttää kun ja B B. Du ( B ) Du ()+ Du (B) Oletetaan, että Du () < ja Du (B) <. Tällöin lemman 3.1 mukaan voidaan valita jonot {u j } j=1, u j Lip() ja {v j } j=1, v j Lip(B) kaikilla j N siten, että u j u L 1 loc () mielessä ja v j u L 1 loc (B) mielessä, sekä Du () = lim g uj dµ ja 23 Du (B) = lim g vj dµ. (3.55) Lemman 3.3 perusteella on olemassa funktiojono {w j } j=1 siten, että w j Lip( B ) kaikilla j N ja joukko H B siten, että g wj dµ g uj dµ+ g vj dµ+c u j v j dµ. (3.56) B B H Koska u j u L 1 loc (H) mielessä ja v j u L 1 loc (H) mielessä, c u j v j dµ 0. H Tällöin, kun j, saadaan epäyhtälö(3.56) yhtälöiden(3.55) perusteella muotoon mikä todistaa väitteen. Du ( B ) Du ()+ Du (B), Todistetaan nyt variaatiomitan olevan Borel-säännöllinen ulkomitta. Lause 3.5. Du on Borel-säännöllinen ulkomitta. Todistus. Vaihe 1 Näytetään, että Du on ulkomitta. (i) Selvästi Du ( ) = 0. (ii)olkoon B. Olkoon ε > 0. Tällöin on olemassa avoimet joukot V ja V B B siten, että Du (V ) = Du ()+ε ja Du (V B ) = Du (B)+ε.

32 Koska B V, voidaan olettaa V B V, jolloin lauseen 3.2(4) mukaan Du (V B ) Du (V ). Kun ε 0, saadaan Du (B) Du (). (iii) Olkoon k X avoimia (k = 1,2,...), = k=1 k ja ε > 0. Lemman 3.4 perusteella voidaan valita B siten, että Du () Du (B) + ε. (3.57) Koska B on kompakti, ja B, jollakin n < pätee B B n k=1 k. Variaatiomitan monotonisuuden (kohta (ii)) perusteella Lemman 3.5 perusteella saadaan arvio Du (B) Du ( n k=1 k). (3.58) 24 Du ( n k=1 k ) n Du ( k ). (3.59) k=1 Kun n epäyhtälöiden (3.58), (3.59), sekä (3.57) mukaan Du () Du ( k )+ε. k=1 Nyt ε 0 todistaa subadditiivisuuden avoimille joukoille. Olkoon k X (k = 1,2,...) mielivaltaisia joukkoja, ja = k=1 k. Olkoon V k (k = 1,2,...) avoimia joukkoja siten, että k V k kaikilla k = 1,2,... Tällöin myös k=1 V k, joten inf { Du (V) V} inf{ Du (V k ) k V k }. V V k Täten mielivaltaisille k pätee k=1 Du ( k=1 k ) Du ( k ), k=1 mikä todistaa väitteen. Vaihe 2 Näytetään, että Du on Borel-ulkomitta. Olkoon,B X joukkoja, joille pätee dist(,b) > 0. Kiinnitetään ε > 0. Tällöin voidaan valita avoin joukko U B siten, että Du ( B) Du (U) ε. (3.60)

33 25 Määritellään joukot V = V B = { x X dist(x, ) < dist(,b) } U ja 3 { x X dist(x, B) < dist(,b) } U. 3 Tällöin V ja V B ovat avoimia, sekä V ja B V B. Lisäksi V V B =. Koska V V B U, pätee Du ( B) Du (V V B ) ε. (3.61) Lauseen 3.2(3) perusteella epäyhtälöstä (3.61) saadaan Du ( B) Du (V )+ Du (V B ) ε. (3.62) Koska V jab V B päteeepäyhtälön(3.62)javariaatiomitanmonotonisuuden perusteella Du ( B) Du ()+ Du (B) ε. (3.63) Kun ε, pätee variaatiomitan subadditiivisuuden ja epäyhtälön (3.63) perusteella Du ( B) = Du () + Du (B), joten Carathéodoryn kriteerin mukaan Du on Borel-ulkomitta. Vaihe 3 Näytetään, että Du on Borel-säännöllinen ulkomitta. Olkoon X. Jos Du () =, pätee Du () = Du (X) = ja X on Borel-joukko, joten väite tosi. Oletetaan, että Du () <. Valitaan avoimet joukot V i (i = 1,2,...) siten, että V i kaikilla i, sekä Du (V i ) = Du () + 1. Määritellään joukko V = i i=1v i. Tällöin V on Borel-joukko, ja pätee Du (V) = lim i Du (V i ) = Du ().

34 26 4 Isoperimetrinen epäyhtälö Isoperimetrinen epäyhtälö on keskeinen työkalu äärellisperimetristen joukkojen tutkimuksessa, sillä se antaa yhteyden mitan µ ja joukon perimetrimitan välille. Isoperimetrisen epäyhtälön mukaan äärellisperimetrisen joukon E, ja sen komplementin, mitoille pallossa B(x, r) X saadaan yläraja, joka riippuu joukon perimetristä suuremmassa pallossa B(x, λr), pallon mitasta, säteestä r ja avaruuden tuplausdimensiosta. Tämä vastaa Euklidisissa avaruuksissa relatiivista isoperimetrista epäyhtälöä, joskin Euklidisessa tapauksessa saadaan yläraja, joka riippuu ainoastaan joukon perimetristä pallossa B(x, r), johtuen Lebesguen mitan hlfors-säännöllisyydestä. Isoperimetrinen epäyhtälö on esitetty lauseessa 4.1. Lauseen todistamiseksi esitetään myös Sobolev-Poincarén epäyhtälöstä seuraava lemma 4.1. Voidaan myös osoittaa, että isoperimetrinen epäyhtälö on yhtäpitävä Poincarén epäyhtälön kanssa. Tämän todistus kuitenkin sivuutetaan. Lemma 4.1. Olkoon X Poincaré-avaruus tuplausdimensiolla s > 1 ja avoin joukko X. Tällöin kaikille u BV loc () pätee u u B(x,r) L s s 1(B(x,r)) kaikilla palloilla B(x, r). Cr Du (B(x, λr)) µ(b(x,r)) 1 s Todistus. Koskau BV loc (),pätee Du (B(x,λr)) <.Nytlemman3.1mukaan voidaan valita jono {u j } j=1 siten, että u j Lip loc (B(x,λr)) kaikilla j N ja u j u L 1 loc (B(x,λr)) mielessä, sekä Sobolev-Poincarén epäyhtälön (2.2) mukaan ( Du (B(x, λr)) = lim g uj dµ. (4.1) B(x,λr) ) 1 1 u j u jb(x,r) s s s 1 dµ Cr g uj dµ. (4.2) B(x,r) B(x,λr) Toisaalta Cr B(x,λr) g uj dµ = Cr µ(b(x, λr) Cr µ(b(x, r) B(x,λr) B(x,λr) g uj dµ g uj dµ. (4.3) Tällöin epäyhtälöiden (4.2) ja (4.3) perusteella u j u jb(x,r) L s s 1(B(x,r)) Cr µ(b(x,r)) 1 s B(x,λr) g uj dµ. (4.4)

35 Kun j, yhtälön (4.1) perusteella epäyhtälö (4.4) saadaan muotoon mikä todistaa väitteen. u u B(x,r) L s s 1(B(x,r)) Todistetaan nyt isoperimetrinen epäyhtälö. Cr Du (B(x, λr)), µ(b(x,r)) 1 s Lause 4.1. (Isoperimetrinen epäyhtälö) Olkoon X Poincaré-avaruus tuplausdimensiolla s > 1. Tällöin on olemassa vakio C I siten, että kaikille palloille B(x,r) X ja äärellisperimetrisille joukoille E X pätee min{µ(b(x,r) E),µ(B(x,r)\E)} 1 1 s Todistus. Vaihe 1. Näytetään, että C I r µ(b(x,r)) 1 s P(E,B(x,λr)) min{µ((b(x,r) E),µ(B(x,r)\E))}1 s u ub(x,r) s 1 L kun tarkastellaan funktiota u = χ E. Funktiolle u pätee 1 µ(e B(x,r)) u B(x,r) = χ E dµ =, µ(b(x,r)) µ(b(x,r)) joten u u B(x,r) L s 1 s (B(x,r)) = ( B(x,r) B(x,r) χ E µ(e B(x,r)) µ(b(x,r)) s s 1 s (B(x,r)), 27 ) 1 1 s dµ. (4.5) Toisaalta yhtälön (4.5) integraali voidaan jakaa pistevieraisiin joukoihin B(x, r) E ja B(x,r)\E, jolloin yhtälö saadaan muotoon ( µ(e B(x,r)) s s 1 u u B(x,r) s 1 L = 1 dµ s (B(x,r)) B(x,r) E µ(b(x,r)) µ(e B(x,r)) s ) s s + dµ. µ(b(x,r)) Oletetaan ensin, että B(x,r)\E (4.6) µ(b(x,r) E) µ(b(x,r)\e). (4.7) Tällöin yhtälöä (4.6) voidaan arvioida alaspäin yhtälön oikean puolen ensimmäisellä termillä, jolloin saadaan epäyhtälö µ(b(x,r)) µ(e B(x,r)) s s 1 u u B(x,r) s 1 L dµ s (B(x,r)) µ(b(x,r)) B(x,r) E = µ(b(x,r)\e) µ(b(x,r) E) 1 1 s. µ(b(x,r)) (4.8)

36 28 Oletuksen (4.7) perusteella joten epäyhtälöstä (4.8) saadaan µ(b(x,r)\e) µ(b(x,r)) 1 2, Seuraavaksi oletetaan, että u u B(x,r) L s 1 s (B(x,r)) 1 2 µ(b(x,r) E)1 1 s. (4.9) µ(b(x,r)\e) µ(b(x,r) E). (4.10) Tällöin yhtälöä (4.6) voidaan arvioida alaspäin yhtälön oikean puolen toisella termillä, jolloin epäyhtälöksi saadaan µ(e B(x,r)) s s 1 u u B(x,r) s 1 L dµ s (B(x,r)) µ(b(x,r)) B(x,r)\E = µ(b(x,r) E) µ(b(x,r)\e) 1 1 s. µ(b(x,r)) Vastaavasti kuin edellä, voidaan oletuksen (4.10) perusteella arvioida (4.11) u u B(x,r) L s 1 s (B(x,r)) 1 2 µ(b(x,r)\e)1 1 s. (4.12) Tällöin epäyhtälöt (4.9) ja (4.12) todistavat vaiheen 1. Vaihe 2. Näytetään, että min{µ(b(x,r) E),µ(B(x,r)\E)} 1 1 s Vaiheen 1 perusteella C I r µ(b(x,r)) 1 s P(E,B(x,λr)). min{µ(b(x,r) E),µ(B(x,r)\E)} 1 1 s 2 u ub(x,r) L s 1 s (B(x,r)), (4.13) joten soveltamalla lemmaa 4.1 epäyhtälöön (4.13) saadaan min{µ(b(x,r) E),µ(B(x,r)\E)} 1 1 s C I r Du (B(x, λr)). (4.14) µ(b(x,r)) 1 s Yhtälössä (4.14) u = χ E, joten pätee min{µ(b(x,r) E),µ(B(x,r)\E)} 1 1 s C I r P(E,B(x,λr)). (4.15) µ(b(x,r)) 1 s

37 29 5 Koareakaava Toinen hyödyllinen työkalu BV-funktioiden tarkastelussa on koareakaava, joka esitetään lauseessa 5.1. Koareakaava antaa funktion totaalivariaatiolle esityskaavan integraalina funktion tasojoukkojen perimetrimitoista. Lause 5.1. (Koareakaava) Olkoon Ω X avoin ja u L 1 loc (Ω). Määritellään joukko E t = {x X u(x) > t}, kun t R. Tällöin kaikille avoimille joukoille Ω pätee P(E t,)dt = Du (). Todistus. Vaihe 1. Näytetään, että kaikille u Lip loc (Ω) pätee Määritellään funktio P(E t,)dt Du (). m(t) = g u dµ. (5.1) \E t \ E t \ E t+α kaikilla α > 0, joten funktio m on ei-vähenevä. Funktio m on myös rajoitettu, sillä g u dµ g u dµ = Du () <. \E t Täten m on differentioituva melkein kaikilla t R. Olkoon t piste, jossa m on differentioituva, ja määritellään jono funktioita {v j } j=1 siten, että 1 joukossa E t+ 1, j v j (x) = j(u(x) t) joukossa E t \E t+ 1, j 0 joukossa \E t. Tällöin v j Lip loc () kaikilla j N. Näytetään, että v j χ Et L 1 () mielessä. Koska v j poikkeaa funktiosta χ Et ainoastaan joukossa E t \E t+ 1, pätee j v j (x) χ Et (x) dµ = j(u(x) t) 1 dµ. (5.2) E t\e t+ 1 j Toisaalta 0 j(u(x) t) 1 tarkasteltavassa joukossa, joten voidaan arvioida j(u(x) t) 1 dµ µ((e t \E t+ 1) ) 0, kun j. (5.3) j E t\e t+ 1 j

38 Tällöin yhtälön (5.2) ja epäyhtälön (5.3) perusteella v j χ Et L 1 () mielessä ja siten lauseen 3.3 perusteella Funktioiden v j ylägradienteille g uj pätee g vj = 30 P(E t,) liminf Dv j (). (5.4) { jgu joukossa E t \E t+ 1, j 0 muulloin, joten g vj dµ = j g u dµ (E t\e t+ 1 j ) ( ) = j g u dµ g u dµ. \E t+ 1 \E t j (5.5) Nyt yhtälöiden (5.1) ja (5.5) perusteella ( ( g vj dµ = j m t+ 1 ) ) m(t) m (t) kun j. (5.6) j Nyt epäyhtälön (5.4) ja yhtälön (5.6) perusteella Integroimalla epäyhtälöä (5.7) puolittain saadaan P(E t,)dt P(E t,) m (t). (5.7) Vaihe 2. Näytetään, että kaikille u L 1 loc (Ω) pätee m (t)dt = Du (). P(E t,)dt Du (). Jos u / BV(), Du () =, jolloin väite pätee. Oletetaan, että u BV(). Tällöin lemman 3.1 perusteella voidaan valita jono {u j } j=1, jossa u j Lip loc () kaikilla j N siten, että u j u L 1 loc () mielessä ja Du () = lim g uj dµ. Määritellään joukot E j t = {x u j > t}.

39 Nyt Tällöin pätee χ E j(x) χ Et (x) dt = t u j (x) u(x) dµ = max{u,uj } min{u,u j } ( dt = u j (x) u(x). 31 ) χ E j(x) χ Et (x) dt dµ. (5.8) t Soveltamalla Fubinin lausetta yhtälöön (5.8) saadaan ( ) χ E j(x) χ Et (x) dµ dt = u j (x) u(x) dµ 0, (5.9) t sillä u j u L 1 loc () mielessä. Yhtälön (5.9) perusteella χ E j t lauseen 3.3 mukaan χ Et L 1 () mielessä melkein kaikilla t R. Nyt P(E t,) liminf P(Ej t,), jolloin integroimalla puolittain saadaan epäyhtälö P(E t,)dt lim inf P(Ej t,)dt. (5.10) Nyt soveltamalla Fatoun lemmaa ja vaiheen 1 tulosta yhtälöön (5.10) saadaan haluttu tulos Vaihe 3. Näytetään, että P(E t,)dt Du (). Du () P(E t,)dt. kun u L 1 loc (). Jos väite pätee. Oletetaan, että P(E t,)dt =, P(E t,)dt <, Oletetaan ensin, että n u(x) n kaikilla x, kiinnitetyllä n N. Kiinnitetään lisäksi h N. Nyt voidaan valita luvut ( j 1 t j,h h n, j ) h n, kun j = 1,2,...,2nh

40 siten, että j 1 h P(E h n t j,h,) P(E t,)dt. (5.11) j 1 h n Määritellään funktiojono Tällöin u h (x) = n+ 1 2nh χ Etj,h (x). h j=1 32 Du h () = 1 2nh P(E tj,h,). (5.12) h Lukujen t j,h valinnan (yhtälö (5.11)) perusteella yhtälö (5.12) saadaan muotoon Kun n pätee 2nh Du h () j=1 j h n Du h () j=1 j 1 h n P(E t,)dt = n n P(E t,d)t. P(E t,)dt <, (5.13) joten u h BV() kaikilla h N. Näytetään seuraavaksi, että u h u L 1 loc () mielessä. Tätä varten määritellään joukot F i,h = E ti,h \E ti+1,h. Tällöin joukot E tj,h voidaan esittää muodossa E tj,h = 2nh i=j F i,h, jolloin funktiot u h voidaan esittää muodossa Tällöin pätee u h (x) = n+ 1 2nh 2nh χ Fi,h (x) = n+ 1 2nh iχ Fi,h. h h j=1 i=j u u h dµ = i=1 u+n 1 2nh iχ Fi,h dµ. (5.14) h Koska joukot F i,h ovat pistevieraita, yhtälö (5.14) saadaan muotoon Joukossa F i,h pätee 2nh u u h dµ = i=1 F i,h i=1 u < i+1 h n, joten u+n i h < 1 h. u+n i h dµ. (5.15)

41 33 Sijoittamalla arvio (5.16) yhtälöön (5.15) saadaan u u h dµ < 1 µ() 0, kun h, h eli u h u L 1 () mielessä. Nyt lauseen 3.3 ja yhtälön (5.13) mukaan mikä todistaa väitteen. Du () lim inf h Du h () P(E t,)dt, Korollaari 5.1. Jos u BV(X), melkein kaikilla t R pätee P(E t,) <. Lisäksi tällöin kaava pätee kaikille Borel-joukoille B X.