Rajoitetusti heilahtelevien funktioiden Lebesguen lause

Transkriptio

1 Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Panu Lahti Rajoitetusti heilahtelevien funktioiden Lebesguen lause Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomi-insinöörin tutkintoa varten teknillisen fysiikan ja matematiikan tutkinto-ohjelmassa. Espoo Valvoja: Juha Kinnunen Ohjaaja: Juha Kinnunen

2 Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Tiivistelmä Tekijä: Tutkinto-ohjelma: Pääaine: Sivuaine: Työn nimi: Title in English: Opetusyksikön koodi: Työn valvoja: Työn ohjaaja: Panu Lahti Teknillisen fysiikan ja matematiikan tutkinto-ohjelma Matematiikka Teknillinen fysiikka Rajoitetusti heilahtelevien funktioiden Lebesguen lause Lebesgue theorem for functions of bounded variation Mat-1 Juha Kinnunen Juha Kinnunen Rajoitetusti heilahtelevat funktiot eli BV-funktiot (engl. bounded variation) ovat lokaalisti integroituvia funktioita, joiden ensimmäisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat ovat Radon-mittoja. Ne muodostavat siis yleisemmän funktioluokan kuin Sobolevin funktiot, joiden ensimmäisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat ovat lokaalisti integroituvia funktioita. Keskeisimpiä BV-funktioille päteviä tuloksia ovat kompaktisuustulos, coarea-kaava sekä Sobolevin ja Poincarén epäyhtälöiden versiot. Mielenkiintoisen BV-funktioiden erikoistapauksen muodostavat niin sanottujen äärellisperimetristen joukkojen karakteristiset funktiot. Tällaisille joukoille voidaan määritellä redusoitu reuna, joka on topologisen reunan osajoukko. Osoittautuu, että lähellä redusoitua reunaa joukko muistuttaa mittateoreettisessa mielessä puoliavaruutta. Edelleen voidaan määritellä joukon mittateoreettinen reuna, joka on myös topologisen reunan osajoukko ja muistuttaa mittateoreettisessa mielessä hyvin paljon redusoitua reunaa. Muun muassa tätä tietoa hyödyntäen voidaan todistaa vahva tulos redusoidun reunan rakenteesta: se koostuu sileiden hyperpintojen kompakteista osajoukoista. Lisäksi äärellisperimetrisen joukon derivaattana toimiva Radon-mitta on itse asiassa vain Hausdorffin mitta rajoitettuna redusoidulle reunalle. Coarea-kaavan mukaan BV-funktion tasojoukot ovat äärellisperimetrisiä joukkoja, mikä mahdollistaa mainittujen tulosten soveltamisen yleisiin BV-funktioihin. Osoittautuu, että BV-funktiot ovat (sopiva edustaja valiten) mittateoreettisesti jatkuvia lukuunottamatta hyppyjä yli sileiden hyperpintojen. Täsmällisesti tämä tulee ilmaistuksi BV-funktioiden Lebesguen lauseessa. Tulos on olennaisesti vahvempi kuin pelkästään integroituville funktioille saatava Lebesguen lause, joskin heikompi kuin Sobolevin funktioille saatava. Avainsanat: rajoitettu heilahtelu, variaatiomitta, perimetrimitta, redusoitu reuna, mittateoreettinen reuna, struktuurilause, Lebesguen lause Päivämäärä: Kieli: suomi Sivumäärä: 61

3 Aalto University School of Science Department of Mathematics and Systems Analysis Abstract Author: Degree Programme: Major Subject: Minor Subject: Title: Title in Finnish: Chair: Supervisor: Instructor: Panu Lahti Degree Programme in Engineering Physics and Mathematics Mathematics Engineering Physics Lebesgue theorem for functions of bounded variation Rajoitetusti heilahtelevien funktioiden Lebesguen lause Mat-1 Juha Kinnunen Juha Kinnunen Functions of bounded variation, abbreviated BV functions, are locally integrable functions whose weak first partial derivatives are Radon measures. Thus they form a more general class of functions than Sobolev functions, whose weak first partial derivatives are locally integrable functions. Some of the most central results derived for BV functions include a compactness result, the coarea formula, and versions of the Sobolev and Poincaré inequalities. The characteristic functions of so-called sets of finite perimeter form an interesting special case of BV functions. For these sets we can define the reduced boundary, which is a subset of the topological boundary. It turns out that in the neighborhood of the reduced boundary the set resembles a half space in a measure theoretic sense. Further, we can define the measure theoretic boundary of a set. This is also a subset of the topological boundary and closely resembles the reduced boundary in a measure theoretic sense. Utilizing this and other minor results we can prove a strong result about the structure of the reduced boundary: it is made up of compact subsets of smooth hypersurfaces. In addition, the Radon measure that acts as the derivative of the set of finite perimeter is simply the Hausdorff measure restricted to the reduced boundary. According to the coarea formula, the level sets of BV functions are sets of finite perimeter. This enables us to apply the aforementioned results to general BV functions. It turns out that BV functions are (with the choice of a suitable representative) measure theoretically continuous apart from jumps over smooth hypersurfaces. This is expressed in an exact manner in the Lebesgue theorem for BV functions. The result is substantially stronger than the Lebesgue theorem for functions that are merely integrable, but weaker than the corresponding result for Sobolev functions. Keywords: bounded variation, variation measure, perimeter measure, reduced boundary, measure theoretic boundary, structure theorem, Lebesgue theorem Date: Language: Finnish Number of pages: 61

4 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Redusoitu reuna Määritelmä ja perusominaisuuksia Epäyhtälöitä Joukko redusoidun reunansa lähellä Redusoidun reunan struktuurilause Mittateoreettinen reuna Redusoidun reunan rakenne BV-funktioiden pisteittäiset ominaisuudet Mittateoreettinen raja-arvo ja jatkuvuus Lebesguen lause BV-funktioille Pohdintaa

5 Luku 1 Johdanto Tämän diplomityön aiheena ovat R n :n reaaliarvoiset rajoitetusti heilahtelevat funktiot. Näiden niin kutsuttujen BV-funktioiden (engl. bounded variation) muodostama Banach-avaruus on Sobolevin avaruuden laajennus siinä missä Sobolevin funktioiden ensimmäisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat ovat p-integroituvia funktioita, BV-funktioiden ensimmäisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat ovat yleisesti pelkkiä Radon-mittoja. Tämä on olennaisesti heikoin tapa, jolla funktio voi olla derivoituva mittateoreettisessa mielessä. [1, s. 166 ][2, s. 220 ][3, s. 3 ] Vaikka tässä työssä käsitellään vain yleistä n-ulotteista tapausta, BV-funktioita tutkittiin aluksi yhdessä ulottuvuudessa, joka muodostaa edelleen mielenkiintoisen erikoistapauksen [1, s. 216 ][4, s. 530 ][5, s. 204 ]. BV-funktioiden teoriaa voidaan hyödyntää muun muassa minimihyperpintoja tutkittaessa [3][6]. Muita sovellusalueita ovat monen muuttujan Fourier-sarjat, epälineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt ja matemaattinen fysiikka (ks. esimerkiksi [7]). Tässä työssä keskitytään kuitenkin puhtaasti BV-funktioiden teoriaan. Työn päätavoitteena on todistaa BV-funktioille pätevä Lebesguen lauseen versio. Lebesguen lause on varsin helppo todistaa lokaalisti integroituville funktioille [1, s. 43][4, s. 456], joille se on muotoa f(y) f(x) dy = 0 L n -m.k. x R n B(x,r) (johdannon lopussa esitellään käytetyt merkinnät). Sobolevin funktioille puolestaan pätee Lebesguen lauseesta vahvempi versio, jossa yllä olevan tapaisen integraalikeskiarvon raja-arvo on nolla lukuunottamatta joukkoa, jonka p- kapasiteetti on nolla [1, s. 146, 160]. Syyksi voidaan nähdä se, että heikkojen osittaisderivaattojen olemassaolo antaa Sobolevin funktioille enemmän rakennetta kuin mitä yleisillä lokaalisti integroituvilla funktioilla on. BV-funktioille sen sijaan saadaan Lebesguen lauseesta hieman Sobolevin funktioiden tapausta 1

6 heikompi versio, koska BV-funktioiden avaruus on Sobolevin funktioiden avaruutta yleisempi. Tämä työ perustuu lähinnä BV-funktioita käsitteleviin lähteisiin [1], [2] ja [3]. Lähteistä [4] ja [8] puolestaan löytyy joitakin tarvittavia reaalianalyysin ja mittateorian tuloksia. Erityisesti lähteessä [4] on hyödyllisiä tuloksia liittyen reaaliakselin funktioihin, muun muassa absoluuttisesti jatkuviin funktioihin ja myös BV-funktioihin. Näitä tarvitaan myös todistettaessa tiettyjä R n :n BVfunktioille päteviä lauseita. Reaalianalyysin ja mittateorian peruskäsitteistö oletetaan työssä tunnetuksi. Myöskään BV-funktioiden teorian perustuloksia ei esitetä, vaan viitataan pelkästään mainittuihin lähteisiin. Käytetyt määritelmät ja merkinnät, jotka on listattu johdannon lopussa, noudattavat enimmäkseen lähdettä [1]. Näihin viitaten luetellaan tässä lyhyesti kaikkein keskeisimmät tarvittavat tulokset. Kuten jo aiemmin mainittiin, Sobolevin funktio on aina BV-funktio. BV-funktioiden variaatiomitta on alaspäin puolijatkuva L 1 loc :ssa suppenemisen suhteen. Kuten Sobolevin funktioita, myös BV-funktioita on mahdollista approksimoida sileillä funktioilla, joskin hieman heikommassa mielessä. BV-funktioiden avaruudelle saadaan myös todistettua kompaktisuustulos, ja lisäksi voidaan määritellä BV-funktion jälki funktion määrittelyalueen reunalla. [1, s ][2, s ][3, s. 3-17, 30 41] BV-funktioiden coarea-kaavan mukaan BV-funktion variaatiomitta voidaan esittää funktion tasojoukkojen perimetrimittojen integraalina. BV-funktioille voidaan myös johtaa Sobolevin ja Poincarén epäyhtälöt. Nämä ovat itsessään käyttökelpoisia, ja lisäksi niiden avulla voidaan edelleen todistaa äärellisperimetrisille joukoille niin sanotut isoperimetriset epäyhtälöt. [1, s ][2, s ][3, s ] Yllä mainittujen perustulosten pohjalta lähdetään luvussa 2 rakentamaan lokaalisti äärellisperimetristen joukkojen teoriaa. Tällaisille joukoille määritellään redusoitu reuna, joka on topologisen reunan osajoukko. Redusoidun reunan pisteille todistetaan ensin joukko käyttökelpoisia epäyhtälöitä, minkä jälkeen näytetään vahva tulos, jonka mukaan joukko muistuttaa redusoidun reunan pisteen lähellä mittateoreettisessa mielessä puoliavaruutta. Luvussa 3 jatketaan lokaalisti äärellisperimetrisistä joukoista. Ensin näytetään, että redusoitu reuna on mittateoreettisesti melkein sama kuin niin sanottu mittateoreettinen reuna. Sitten siirrytään joidenkin teknisten välitulosten tukemana tutkimaan redusoidun reunan rakennetta. Osoittautuu, että redusoitu reuna koostuu pientä joukkoa lukuunottamatta sileiden hyperpintojen kompakteista osajoukoista. Edelleen perimetrimitta osoittautuu identtiseksi redusoidulle reunalle rajoitetun Hausdorffin mitan kanssa. Luvussa 4 siirrytään tutkimaan yleisiä BV-funktioita, rajoittumatta lokaalisti äärellisperimetristen joukkojen karakteristisiin funktioihin. Ensin tarkastellaan approksimatiivisen raja-arvon ja jatkuvuuden käsitteitä. Osoittautuu, että joukko, jossa BV-funktiolla ei ole approksimatiivista raja-arvoa, sisältyy funktion (äärellisperimetristen) tasojoukkojen mittateoreettisiin (tai redusoituihin) 2

7 reunoihin. Nyt voidaan edellisen luvun tuloksen perusteella näyttää, että kyseinen joukko rakentuu itse asiassa sileistä hyperpinnoista. Tämän jälkeen päästään vihdoin BV-funktioille pätevään Lebesguen lauseeseen, jossa on olennaisesti kaksi osaa: ensimmäisen mukaan lähes kaikki pisteet, joissa approksimatiivinen raja-arvo on olemassa, ovat Lebesguen pisteitä ja siten myös approksimatiivisen jatkuvuuden pisteitä. Sileillä hyperpinnoilla, joissa approksimatiivista raja-arvoa ei ole, puolestaan tapahtuu hyppäys arvosta toiseen. Näissä pisteissä funktio on siis vain toispuoleisesti approksimatiivisesti jatkuva. Määritelmät ja merkinnät Jos x R n ja r R +, avointa palloa merkitään B(x, r) ja suljettua palloa B(x, r). n-ulotteisia Lebesguen ja Hausdorffin mittoja merkitään symboleilla L n ja H n. n-ulotteisen yksikköpallon ja vastaavan pallonkuoren mittoja merkitään Ω n ja ω n 1 (pallonkuori on tietenkin n 1-ulotteinen joukko). Jos µ on ulkomitta ja A R n joukko, ilmaus µ-m.k. x A tarkoittaa melkein kaikilla x A, eli lukuunottamatta joukkoa, jonka µ-mitta A:ssa on nolla. Käytetään myös ilmausta µ-m.k. A:ssa eli melkein kaikkialla A:ssa. Reaaliakselin osajoukkoja käsiteltäessä (tyypillisesti kyse on esimerkiksi pallojen säteistä) lyhenne m.k. r A tarkoittaa L 1 -m.k. r A. Standardisilottajafunktiota [1, s. 122][3, s. 11] merkitään η ε, ε > 0. Integraalikeskiarvoa merkitään symbolilla ffl. Tässä tekstissä käytetään lähtökohtaisesti tulkintaa, jonka mukaan (lokaalisti) integroituva funktio (erityisesti BV-funktio) f L 1 loc (U, µ), missä U Rn on avoin joukko ja µ on ulkomitta (tyypillisesti L n ), on määritelty vain µ- nollamittaista joukkoa lukuun ottamatta. Funktiot tulkitaan siis ekvivalenssiluokiksi, ja ne voivat saada myös arvoja ±. Tietyissä erikoistapauksissa tullaan määrittelemään tällaisten funktioiden pisteittäin määriteltyjä edustajia. Luetellaan sitten BV-funktioista käytetyt määritelmät ja notaatio, seuraten lähdettä [1, s ]. Olkoon U R n avoin joukko tässä työssä yleensä U = R n. Funktio f L 1 (U) on rajoitetusti heilahteleva U:ssa, toisin sanoen f BV (U), jos { } sup f ϕdx ϕ C0(U; 1 R n ), ϕ 1 <. U Funktio f L 1 loc (U) on lokaalisti rajoitetusti heilahteleva U:ssa, toisin sanoen f BV loc (U), jos jokaisella V U pätee { } sup f ϕdx ϕ C0(V 1 ; R n ), ϕ 1 <. V L n -mitallisella joukolla E R n on äärellinen perimetri U:ssa, jos sen karakteristiselle funktiolle pätee χ E BV (U). L n -mitallisella joukolla E R n on 3

8 lokaalisti äärellinen perimetri U:ssa, jos χ E BV loc (U). Voidaan näyttää, että jos f BV loc (U), on olemassa Radon-mitta Df U:ssa ja Df -mitallinen funktio σ : U R n s.e. σ(x) = 1 Df -m.k. x U ja f ϕdx = ϕ σd Df U kaikilla ϕ C0(U; 1 R n ). Tätä kutsutaan BV-funktioiden struktuurilauseeksi. Radon-mittaa Df kutsutaan f:n variaatiomitaksi. Silloin, kun f = χ E, missä E:llä on lokaalisti äärellinen perimetri U:ssa, vaihdetaan merkintöjä seuraavasti: Df E, σ ν E. Radon-mittaa E kutsutaan E:n perimetrimitaksi. Jos f BV loc (U), pätee { } Df (V ) = sup f ϕdx ϕ C0(V 1 ; R n ), ϕ 1. V kaikilla avoimilla V U. Lopulta BV-normi määritellään funktiolle f BV (U) seuraavasti: f BV (U) := f L 1 (U) + Df (U). U 4

9 Luku 2 Redusoitu reuna Tarkastellaan tässä ja seuraavassa luvussa joukkoja, joilla on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä. Tärkeäksi osoittautuu tällaisten joukkojen niin kutsuttu redusoitu reuna, joka on topologisen reunan osajoukko. Luvussa nähdään, että redusoidun reunan pisteille voidaan osoittaa muutamia varsin vahvoja tuloksia, joita tarvitaan myöhemmin. Erityisesti nähdään, että redusoidun reunansa lähellä joukko muistuttaa mittateoreettisessa mielessä puoliavaruutta. 2.1 Määritelmä ja perusominaisuuksia Olkoon siis tässä luvussa E R n joukko, jolla on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä. Määritelmä Piste x R n kuuluu joukon E redusoituun reunaan E, jos (i) E ( B(x, r)) > 0 kaikilla r > 0, (ii) ffl B(x,r) ν E d E = ν E (x) Rn (eli kyseessä olevan rajaarvon tulee olla olemassa), ja (iii) νe (x) = 1. Ehdon (i) mukaan piste x todella sijaitsee joukon E reunalla siinä mielessä, että joukon E perimetri on nollaa suurempi mielivaltaisen pienissä x-keskisissä palloissa. Voidaankin heti osoittaa, että redusoitu reuna on topologisen reunan osajoukko riippumatta pisteittäin määritellyn edustajan χ E valinnasta. Otetaan siis mielivaltainen edustaja χ E ja oletetaan, että x / E. Tällöin on olemassa joko B(x, r) R n \E tai B(x, r) E, missä r > 0. Edellisessä tapauksessa (pallo 5

10 valitaan tässä avoimeksi, koska perimetrimitan määritelmä on yksinkertaisin avoimille joukoille) { } E (B(x, r)) = sup χ E (y) ϕ(y) dy ϕ C0(B(x, 1 r); R n ), ϕ 1, B(x, r) missä χ E (y) ϕ(y) dy = 0 ϕ(y) dy = 0. B(x, r) B(x, r) Siis E ( B(x, r)) E (B(x, r)) = 0 kaikilla r < r. Täten redusoidun reunan määritelmän ehto (i) ei toteudu, ja x / E. Vastaavasti, jos B(x, r) E, saadaan χ E (y) ϕ(y) dy = B(x, r) ϕ(y) dy = 0 R n kaikilla ϕ C 1 0(B(x, r); R n ), eli jälleen x / E. Näin ollen E E. Toisaalta, valitsemalla funktiolle χ E sopiva edustaja voidaan näyttää, että redusoidun reunan sulkeuma on topologinen reuna, eli E = E [3, s. 54]. Redusoidun reunan ehdot (i) (iii) pätevät itse asiassa E -m.k. x R n, mikä nähdään ehdon (i) osalta seuraavasti. Määritellään joukko, jossa ehto (i) ei päde: Jos δ > 0, joukkoperhe A := {x R n E ( B(x, r)) = 0 jollain r > 0}. B := { B(x, r) R n x A, 0 < r < δ, E ( B(x, 5r)) = 0} muodostaa selvästi A:n peitteen. Vitalin peitelauseen [1, s. 27][4, s. 448] perusteella B:stä voidaan poimia pistevieraista palloista koostuva numeroituva kokoelma { B(x i, r i )} i=1, jolle pätee A i=1 B(x i, 5r i ). Siis E (A) E ( B(x i, 5r i )) = 0. i=1 Tarkastellaan sitten ehtoja (ii) ja (iii). Huomataan, että nämä voivat olla voimassa vain, jos ehto (i) on voimassa. Koska ν E = 1 E -m.k. R n :ssä, ν E on lokaalisti integroituva funktio mitan E suhteen, ja niinpä Lebesguen lauseen [1, s. 43] mukaan B(x,r) ν E d E = ν E (x) E -m.k. x R n (riippumatta valitusta ν E :n edustajasta). Siis myös ehdot (ii) ja (iii) pätevät E -m.k. x R n. Täten sen joukon E -mitta, jossa jokin ehdoista (i)-(iii) ei päde, on nolla, eli toisin sanoen E (R n \ E) = 0. Intuitiivisesti E mittaa vain joukon E redusoitua reunaa. Lisäksi nähdään, 6

11 että funktio ν E on funktion ν E edustaja, joka on määritelty jokaisessa redusoidun reunan pisteessä. Vektoria ν E (x), x E, sanotaan joskus E:n yleistetyksi ulkonormaaliksi [2, s. 233]. Todistetaan seuraavaksi kätevä tulos, joka kertoo joukon E ja sen komplementin R n \E välisestä yhteydestä. Lemma Jos joukolla E R n on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä, sama pätee joukolle R n \E. Edelleen perimetrimitat E ja (R n \E) ovat samat, ν E = ν Rn \E E -m.k. x R n, ja redusoidut reunat koostuvat täsmälleen samoista pisteistä. Todistus. Kaikilla ϕ C 1 0(R n ; R n ) pätee E ϕ dy + ϕ dy = ϕ dy = 0, R n \E R n joten χ E ϕ dy = R n χ R n \E ϕ dy. R n (2.1) Siis jos χ E BV loc (R n ) (oletus), myös χ Rn \E BV loc (R n ), ja BV-funktioiden struktuurilauseen perusteella yhtälö (2.1) saadaan myös muotoon ϕ ν E d E = R n ϕ ν R n \E d (R n \E) R n (2.2) kaikilla ϕ C0(R 1 n ; R n ). Katsotaan nyt mittoja. Mille tahansa avoimelle joukolle U R n pätee perimetrimitan määritelmän ja yhtälön (2.1) perusteella { } E (U) = sup χ E ϕ dy ϕ C0(U; 1 R n ), ϕ 1 U { } = sup χ Rn \E ϕ dy ϕ C0(U; 1 R n ), ϕ 1 U = (R n \E) (U). Otetaan sitten mielivaltainen A R n. Koska E ja (R n \E) ovat Radonmittoja, pätee [1, s. 8] E (A) = inf{ E (U) A U, U avoin}, ja samoin (R n \E) :lle. Siis jokaisella avoimella U A pätee E (A) E (U) = (R n \E) (U), 7

12 ja ottamalla nyt infimum yli avointen joukkojen U A saadaan E (A) (R n \E) (A). Vastakkainen epäyhtälö voidaan näyttää täsmälleen samaan tapaan, joten yhteensä E (A) = (R n \E) (A), eli mitat ovat samat. Todistetaan sitten, että ν E = ν R n \E E -m.k. R n :ssä. Tässä voitaisiin vedota kaavaan (2.2) ja tulokseen, jonka mukaan merkkinen mitta on nolla, jos jokaisen C 1 0-funktion integraali merkkisen mitan suhteen on nolla [8, s. 228]. Esitetään tässä kuitenkin toinen, perimetrimitan määritelmään perustuva todistus. Tehdään vastaoletus: E ({x R n ν E (x) ν R n \E(x)}) > 0. Tästä seuraa E ({ x B(0, r) ν E (x) ( ν R n \E(x)) > 1/k }) = α > 0 (2.3) jollain r > 0 ja k N. Nyt kuitenkin perimetrimitan määritelmän nojalla voidaan valita jono (ϕ i ), ϕ i C0(B(0, 1 r); R n ) ja ϕ i 1 kaikilla i N, s.e. ϕ i ν E d E E (B(0, r)) = ν E ν E d E, B(0,r) B(0,r) kun i, ja yhtälön (2.2) nojalla myös (muistetaan, että mitat ovat samat) ϕ i ( ν Rn \E) d E E (B(0, r)) = ν Rn \E ν Rn \E d E, B(0,r) B(0,r) kun i. Koska toisaalta kahden yksikkövektorin sisätulo lähestyy yhtä vain, kun vektorit lähestyvät toisiaan euklidisen normin mielessä, saadaan { E ({x B(0, r) ϕi (x) ν E (x) > 1/(3k)}) 0, E ({x B(0, r) ϕ i (x) ( ν R n \E(x)) > 1/(3k)}) 0, kun i. Tämä on kuitenkin selvästi ristiriidassa yhtälön (2.3) kanssa. Siis ν E = ν R n \E E -m.k. x R n. Nyt saadaan redusoidun reunan määritelmän perusteella, että E:n ja R n \E:n redusoidut reunat koostuvat täsmälleen samoista pisteistä. 2.2 Epäyhtälöitä Todistetaan aluksi yksinkertainen lemma, jota tarvitaan jatkossa. Lemma Jos µ on Radon-mitta R n :ssä ja x R n, niin µ( B(x, L)) = 0 kaikilla paitsi korkeintaan numeroituvan monella L > 0. 8

13 Todistus. Oletetaan, että µ( B(x, L)) > 0 ylinumeroituvan monella L > 0. Tällöin jollain välillä [i, i + 1), i N {0}, on myös oltava ylinumeroituvan monta tällaista L > 0. Määritellään sitten jokaista j Z kohti joukko A j = {L [i, i + 1) µ( B(x, L)) [2 j, 2 j+1 )} Edelleen jokin joukko A j on ylinumeroituva. Poimitaan tällaisesta A j :stä numeroituvasti ääretön osajoukko Ãj A j. Koska µ on Radon-mitta, ovat pallonkuoret aina µ-mitallisia joukkoja, ja voidaan laskea µ(b(x, i + 1)\B(x, i)) µ B(x, L) L Ãj = µ( B(x, L)) 2 j =, L Ãj L Ãj mikä on ristiriita, koska rajoitettujen joukkojen Radon-mitat ovat aina äärellisiä. Todistetaan nyt lemma, jota tullaan tarvitsemaan, kun todistetaan epäyhtälöitä redusoidun reunan pisteille. Tulos on käytännössä osittaisintegrointikaava BV-funktioille tilanteessa, jossa sileän funktion ϕ kantaja ei sisälly integrointialueeseen. Lemma Olkoon joukolla E R n lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä, ja olkoon ϕ C 1 (R n ; R n ). Silloin kaikilla x R n ja m.k. r > 0 pätee χ E ϕ dy = ϕ ν E d E + χ E ϕ ν dh n 1, B(x,r) B(x,r) B(x,r) missä ν on pallon reunan B(x, r) yksikköulkonormaali. Todistus. Kaikilla r > 0 pallo B(x, r) on avoin ja rajoitettu joukko, jonka reuna on Lipschitz. Lisäksi χ E BV (B(x, r)). Siis kaikilla ϕ C 1 (R n ; R n ) pätee [1, s. 177][3, s. 37] χ E ϕ dy = ϕ ν E d E + T χ E (ϕ ν) dh n 1, (2.4) B(x,r) B(x,r) B(x,r) missä T χ E L 1 ( B(x, r), H n 1 ) on funktion χ E jälki reunalla B(x, r), ja ν on pallon reunan B(x, r) yksikköulkonormaali. Jäljelle pätee [1, s. 181][3, s. 37] T χ E (z) = ρ 0 B(z,ρ) B(x,r) χ E dy 9

14 H n 1 -m.k. z B(x, r), kaikilla r > 0. Toisaalta Lebesguen lause lokaalisti integroituville funktioille antaa χ E (z) = ρ 0 B(z,ρ) B(x,r) χ E dy L n -m.k. z R n s.e. z B(x, r) eli H n 1 -m.k. z B(x, r), m.k. r > 0. Siis pätee T χ E (z) = χ E (z) H n 1 -m.k. z B(x, r), m.k. r > 0. Täten yhtälö (2.4) saadaan m.k. r > 0 muotoon χ E ϕ dy = ϕ ν E d E + χ E ϕ ν dh n 1, B(x,r) B(x,r) B(x,r) mikä on sama kuin väite, paitsi että pallot ovat avoimia. Lemman perusteella väite kuitenkin seuraa. Todistetaan sitten joukko redusoidun reunan pisteisiin liittyviä epäyhtälöitä (muistetaan, että E R n on joukko, jolla on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä). Lemma On olemassa vain dimensiosta n riippuvat, aidosti nollaa suuremmat vakiot C 1 (n),..., C 3 (n) s.e. kaikilla x E pätee (i) (ii) (iii) (iv) inf inf inf sup L n (E B(x, r)) C 1 (n), r n L n ((R n \E) B(x, r)) C 1 (n), r n E ( B(x, r)) C 2 (n), r n 1 E ( B(x, r)) r n 1 C 3 (n). Todistus. Otetaan mikä tahansa x E. Väitteen (i) todistamiseksi määritellään ensin funktio m(r) := L n (E B(x, r)) = r 0 H n 1 (E B(x, s)) ds. Jälkimmäinen yhtäsuuruus seuraa coarea-kaavasta. Tässä tietenkin m(r) < kaikilla r > 0, ja H n 1 (E B(x, s)) on s:n funktiona lokaalisti integroituva. Tämän perusteella m(r) on absoluuttisesti jatkuva funktio (ks. esimerkiksi [4, s. 544 ]), ja Lebesguen lauseen mukaan m m(r + h) m(r) 1 (r) = = h 0 h h 0 h r+h = H n 1 (E B(x, r)) m.k. r > 0. r H n 1 (E B(x, s)) ds 10

15 Alla olevan kaavan (2.6) perusteella joukolla E B(x, r) on äärellinen perimetri R n :ssä. Tähän joukkoon voidaan täten soveltaa isoperimetristä epäyhtälöä [1, s ]: m(r) 1 1/n = L n (E B(x, r)) 1 1/n A 1 (n) (E B(x, r)) (R n ). (2.5) (Tässä tekstissä merkitään isoperimetrisissä epäyhtälöissä esiintyviä vakioita A 1 (n) ja A 2 (n), ks. [1, s. 191].) Nyt voidaan jatkaa lemman avulla. Otetaan tämän lemman väitteessä supremum yli funktioiden ϕ C0(R 1 n ; R n ), ϕ 1. Väitteen vasempaan puoleen voidaan soveltaa yksinkertaisesti perimetrimitan määritelmää, kun taas oikealla puolella muistetaan, että ν E = 1 E -m.k., ν = 1 ja ϕ 1. Näin saadaan yhteensä (E B(x, r)) (R n ) d E + dh n 1 B(x,r) E B(x,r) = E ( B(x, r)) + H n 1 (E B(x, r)) (2.6) m.k. r > 0. Tämän epäyhtälön jälkimmäistä riviä voidaan edelleen muokata lemman avulla. Valitaan tällä kertaa funktio ϕ C0(R 1 n ; R n ), joka saa pallossa B(x, r) vakioarvon νe (x) (muistetaan ν E (x) redusoidun reunan määritelmästä). Tällainen funktio saadaan tietenkin helposti esimerkiksi silottamalla funktio νe (x)χ B(x,2r). Nyt ϕ = 0 pallossa B(x, r), joten lemma antaa νe(x) ν E d E = νe(x) ν dh n 1 B(x,r) E B(x,r) H n 1 (E B(x, r)) (2.7) m.k. r > 0. Nyt vasta käytetään tietoa x E, joka antaa ν E(x) ν E d E = νe(x) νe(x) = 1. B(x,r) Täten ν E(x) ν E d E 1 B(x,r) 2, kun r R sopivalla R > 0. Luku R voi riippua pisteestä, mutta tässähän piste x E on kiinnitetty. Siis νe(x) ν E d E 1 B(x,r) 2 E ( B(x, r)) kaikilla r (0, R). Yhdistämällä tämä epäyhtälöön (2.7) saadaan 1 2 E ( B(x, r)) H n 1 (E B(x, r)) m.k. r (0, R). (2.8) Tämä ja epäyhtälö (2.6) antavat yhteensä (E B(x, r) (R n ) 3H n 1 (E B(x, r)) m.k. r (0, R). 11

16 Epäyhtälön (2.5) avulla saadaan siis m(r) 1 1/n 3A 1 (n)h n 1 (E B(x, r)) = C(n)m (r) m.k. r (0, R), missä merkittiin 3A 1 (n) = C(n) > 0. Siispä 1 C(n) m(r)(1/n) 1 m (r) = q(m(r))m (r) m.k. r (0, R), missä q(s) := s (1/n) 1, s 0. Selvästi q L 1 (0, t) kaikilla t > 0. Koska m on kasvava absoluuttisesti jatkuva funktio, pätee [4, s. 560] Tässä oikea puoli on r 0 q(m(s))m (s) ds = m(r) 0 m(r) m(0) q(s)ds. s (1/n) 1 ds = nm(r) 1/n, ja vasen puoli on edellisen epäyhtälön perusteella vähintään yhtä suuri kuin r/c(n), kunhan r < R. Lopputuloksena saadaan m(r) 1/n r/c(n) kaikilla r (0, R) (integroinnin jälkeen ei enää tarvita määrettä melkein kaikilla ). Kun muistetaan m(r):n määritelmä, saadaan yhteensä L n (E B(x, r)) r n = m(r) r n 1 (C(n)) n kaikilla r (0, R). Väite (i) siis pätee esimerkiksi vakiolla C 1 (n) = 1/(C(n)) n > 0. Väite (ii) puolestaan saadaan väitteestä (i) lemman avulla. Koska E:llä on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä, myös R n \E:llä on, ja koska x E, myös x (R n \E). Siis kohdan (i) todistus toimii yhtä hyvin joukolle R n \E, ja tämä antaa väitteen (ii). Väitteen (iii) todistamiseksi todetaan, että relatiivisen isoperimetrisen epäyhtälön [1, s ] mukaan min{l n (E B(x, r)), L n ((R n \E) B(x, r))} 1 1/n 2A 2 (n) E ( B(x, r)). Tässä A 2 (n) > 0 (näin voidaan tietenkin joka tapauksessa valita). Tästä ja kohdista (i) ja (ii) seuraa nyt inf E ( B(x, r)) r n 1 1 2A 2 (n) inf min { L n (E B(x, r)) r n 1 2A 2 (n) C 1(n) 1 1/n =: C 2 (n) > 0. 12, Ln ((R n \E) B(x, } 1 1/n r)) r n

17 Kohta (iii) on näin todistettu. Lopuksi palautetaan mieleen, että epäyhtälön (2.8) nojalla E ( B(x, r)) 2H n 1 (E B(x, r)) 2H n 1 ( B(x, r)) = 2ω n 1 r n 1 m.k. r (0, R). Huomataan, että kun epäyhtälö esitetään tässä muodossa, rajoituksesta melkein kaikilla päästään eroon seuraavalla tavalla: Otetaan mielivaltainen r (0, R). Tällöin on olemassa jono h i 0 s.e. E ( B(x, r + h i )) 2ω n 1 (r + h i ) n 1 kaikilla i N. Nyt pätee E ( B(x, r)) = i E ( B(x, r + h i )) 2ω n 1 r n 1. Tämä siis pätee jokaisella r (0, R), mistä saadaan suoraan sup Tämä onkin väite (iv). E ( B(x, r)) r n 1 2ω n 1 =: C 3 (n). 2.3 Joukko redusoidun reunansa lähellä Olkoon E edelleen joukko, jolla on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä. Kaikkia redusoidun reunan pisteitä x E kohti määritellään hypertaso H(x) := {y R n ν E(x) (y x) = 0} ja puoliavaruudet H (x) := {y R n νe(x) (y x) 0}, H + (x) := {y R n νe(x) (y x) 0}. Edelleen jokaista x E ja r > 0 kohti määritellään E r (x) := {y R n x + r(y x) E}. Huomataan, että E 1 (x) = E, ja kun r 0, joukko E r (x) räjähtää pisteen x suhteen. Koska siis E r (x) on käytännössä vain r:llä skaalattu versio E:stä, näiden joukkojen perimetrimitoille saadaan yksinkertaiset riippuvuudet. Määritellään ensin funktio p r (y) := x + y x. r 13

18 Suoraan E r (x):n määritelmästä voidaan todeta, että p r (y) E r (x) täsmälleen silloin, kun y E. Jos ϕ C0(R 1 n ; R n ), käyttämällä muuttujanvaihtoa z = p r (y) voidaan nyt laskea χ Er(x)(z) ϕ(z) dz = 1 R r n χ Er(x)(x + (y x)/r) ϕ(x + (y x)/r) dy n R n = 1 r n 1 χ E (y) (ϕ p r (y)) dy. (2.9) R n Olkoon sitten L > 0, ja ϕ C0(B(x, 1 L); R n ). Kuvaus ϕ ϕ p r on selvästi bijektio C0(B(x, 1 L); R n ):n ja C0(B(x, 1 rl); R n ):n välillä. Yllä olevasta yhtälöstä saadaan täten perimetrimitan määritelmän nojalla χ Er(x)(z) ϕ(z) dz 1 E (B(x, rl)) R rn 1 n kaikilla ϕ C 1 0(B(x, L); R n ), ϕ 1. Tästä nähdään, että myös joukolla E r (x) on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä. Jos nyt otetaan supremum epäyhtälön vasemmalta puolelta, saadaan E r (x) (B(x, L)) 1 E (B(x, rl)). rn 1 Tekemällä sama päättely toiseen suuntaan saadaan yhtäsuuruus: E r (x) (B(x, L)) = 1 E (B(x, rl)). rn 1 Tässä siis pallot ovat avoimia. Kuitenkin, antamalla ε 0 yhtälössä E r (x) (B(x, L + ε)) = 1 E (B(x, r(l + ε))) rn 1 saadaan tulos suljetuille palloille: E r (x) ( B(x, L)) = 1 r n 1 E ( B(x, rl)). (2.10) Toisaalta BV-funktioiden struktuurilauseen avulla saadaan yhtälöstä (2.9) muoto ϕ ν Er(x) d E r (x) = 1 R r n 1 (ϕ p r ) ν E d E. n R n Valitaan nyt jono funktioita ϕ i C0(B(x, 1 L + 1/i)) s.e. ϕ i 1 ja ϕ i = 1 pallossa B(x, L) jokaisella i N. Asettamalla tämä jono nyt vuoron perään funktion ϕ C0(R 1 n ; R n ) yhdeksi komponentiksi ja pitämällä muut komponentit nollina, saadaan lopulta ν Er(x) d E r (x) = 1 B(x,L) r n 1 ν E d E. (2.11) B(x,rL) 14

19 Yhtälöt (2.10) ja (2.11) kertovat täten E:n ja E r :n perimetrimittojen välisen suhteen suljettujen pallojen tapauksessa. Nyt päästään osoittamaan, että pisteen x E lähellä E on suunnilleen puoliavaruus, jonka yksikköulkonormaali on juuri ν E (x). Lause Olkoon x E. Silloin χ Er(x) χ H (x) L 1 loc (Rn ):ssä ja E r (x) ( B(x, L)) H (x) ( B(x, L)) = Ω n 1 L n 1 kaikilla L > 0, kun r 0. Todistus. Siirtämällä ja kiertämällä koordinaatistoa tarpeen mukaan voidaan olettaa, että x = 0, ν E (0) = e n = (0,..., 0, 1), ja siten H(0) = {y R n y n = 0}, H (0) = {y R n y n 0}, H + (0) = {y R n y n 0}. Edelleen E r (0) = {y R n ry E}. Valitaan nyt mikä tahansa jono r j 0. Olisi siis osoitettava, että χ Erj (0) χ H (0) L 1 loc (Rn ):ssä. Osoitetaan ensin, että χ Erj (0) on rajoitettu jono avaruudessa BV (B(0, i)) millä tahansa i N. Selvästi χ Erj (0) L 1 (B(0,i)) L n (B(0, i)) < kaikilla j N. Yhtälön (2.10) nojalla saadaan E r (0) (B(0, i)) 1 r n 1 E ( B(0, ri)). Lemman kohdan (iv) perusteella yllä olevan epäyhtälön oikea puoli on arvoilla r (0, ε), missä ε > 0, pienempi kuin 2i n 1 C 3 (n). Myös arvoilla r [ε, max(r j )] oikea puoli on pienempi kuin jokin vakio C <, sillä E on Radon-mitta. Yhteensä saadaan, että E rj (0) (B(0, i)) C < kaikilla j N, missä vakio C voi riippua joukosta E, pisteestä (joka tässä oletetaan origoksi), i:stä, n:stä ja jonon (r j ) maksimiarvosta mutta ei kuitenkaan j:stä. Täten χ Erj (0) BV (B(0,i)) = χ Erj (0) L 1 (B(0,i)) + E rj (0) (B(0, i)) C < kaikilla j N. Nyt kompaktisuustuloksen [1, s. 176] perusteella on olemassa osajono (r 1k ) k=1 (r j) ja funktio f i BV (B(0, i)) s.e. χ Er1k (0) f i L 1 (B(0, i)):ssä. Valitsemalla tarpeen mukaan osajonon osajono, jota edelleen 15

20 merkitään (r 1k ), voidaan olettaa, että χ Er1k (0) f i myös L n -m.k. B(0, i):ssä. Nyt edelleen (χ Er1k (0)) k=1 on rajoitettu jono BV (B(0, i + 1)):ssä (perustellaan samaan tapaan kuin yllä), joten kompaktisuuden perusteella tämän osajono (χ Er2k (0)) suppenee L 1 (B(0, i+1)):ssä ja L n -m.k. B(0, i+1):ssä kohti funktiota f i+1 BV (B(0, i + 1)). Koska toisaalta myös χ Er2k (0) f i L 1 (B(0, i)):ssä, on oltava f i+1 = f i L n -m.k. B(0, i):ssä. Jatkamalla näin voidaan määritellä funktio f BV loc (R n ) s.e. f = f i L n - m.k. B(0, i):ssä jokaisella i N. Lopulta saadaan, että diagonaalinen jono (χ Erkk (0)) k=1 suppenee L1 (B(0, i)):ssä ja L n -m.k. B(0, i):ssä kohti funktiota f B(0,i) BV (B(0, i)) kaikilla i N. Merkitään s k := r kk. Koska L n -m.k. y R n pätee χ Esk (0)(y) {0, 1} kaikilla k N, nämä jonot voivat lähestyä vain arvoja 0 ja 1. Täten f = χ F avaruudessa L 1 loc (Rn ), ja siten avaruudessa BV loc (R n ), jollain F R n. Kaiken kaikkiaan siis χ Esk (0) χ F L 1 loc (Rn ):ssä, missä χ F BV loc (R n ), eli toisin sanoen F :llä on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä. Vielä pitäisi todistaa, että joukko F on juuri toivottu puoliavaruus. Käyttämällä ensin BV-funktioiden struktuurilausetta, sitten tietoa χ Esk (0) χ F L 1 loc (Rn ):ssä, ja lopuksi uudelleen BV-funktioiden struktuurilausetta, saadaan millä tahansa ϕ C0(R 1 n ; R n ) ϕ ν Esk (0) d E sk (0) = R n χ Esk (0) ϕ dy R n χ F ϕ dy = R n ϕ ν F d F, R n kun k. Tämä tarkoittaa [1, s. 54], että E sk (0) ν Esk (0) F ν F (Radon-mittojen heikko suppeneminen), missä siis (kirjoitetaan E sk (0) tästä lähtien lyhyemmin E sk ) E sk ν Esk (B) = ν Esk d E sk kaikilla Borel-joukoilla B R n. Todettu heikko suppeneminen antaa kaikilla L > 0, joilla F ( B(0, L)) = 0, että [1, s. 54] ν Esk d E sk ν F d F, (2.12) B(0,L) B(0,L) kun k. Lemman mukaan F ( B(0, L)) = 0 kaikilla paitsi korkeintaan numeroituvan monella L > 0. Kaiken kaikkiaan on siis saatu toinenkin tapa, jolla joukko E sk lähestyy joukkoa F. Käyttämällä nyt ensin yhtälöitä (2.10) ja (2.11) ja sitten tietoa, että 0 E, B 16

21 saadaan = k k 1 s n 1 k 1 s n 1 k B(0,L) ν Esk d E sk = k B(0,s k L) ν E d E E ( B(0, s k L)) B(0,L) ν E sk d E sk E sk ( B(0, L)) = ν E d E = νe(0) = e n k B(0,sk L) kaikilla L > 0. Intuitiivisesti tämä kertoo, että ν Esk on lähellä e n :ää, kun k kasvaa suureksi. Ottamalla nyt sisätulo e n :n kanssa saadaan e n k ν Esk d E sk = 1. (2.13) B(0,L) Toisaalta kaavan (2.12) nojalla ν Esk d E sk ν F d F B(0,L) B(0,L) m.k. L > 0, kun k. Kun tämä yhdistetään yhtälöön (2.13), voidaan todeta, että on myös oltava E s k ( B(0, L)) = e n ν F d F (2.14) k B(0,L) m.k. L > 0. Toisaalta alaspäin puolijatkuvuuden [1, s. 172] nojalla F (B(0, L)) inf E s k (B(0, L)) k inf E s k ( B(0, L)) k = E s k ( B(0, L)) (2.15) k m.k. L > 0. Yhdistämällä tämä yhtälöön (2.14) ja muistamalla, että m.k. L > 0 pätee F ( B(0, L)) = 0, saadaan F ( B(0, L)) = F (B(0, L)) e n ν F d F B(0,L) m.k. L > 0. On siis välttämättä oltava ν F = e n F -m.k. y B(0, L) m.k. L > 0. Täten ν F = e n F -m.k. y R n. Kaava (2.14) antaa nyt myös E s k ( B(0, L)) F ( B(0, L)) (2.16) k m.k. L > 0 (tarkalleen niillä, joille pätee F ( B(0, L)) = 0). Nyt päästään vihdoin osoittamaan, että joukko F on halutunlainen puolitaso. Tämän todistamisessa käytetään apuna χ F :n silotettua muotoa (χ F ) ε = η ε χ F, ε > 0, missä 17

22 η ε on standardisilottajafunktio [1, s. 122]. Käyttämällä konvoluution määritelmää, Fubinin lausetta, tietoa, että sileän funktion osittaisderivaatan silotus on funktion silotuksen osittaisderivaatta, ja vielä BV-funktioiden struktuurilausetta, saadaan kaikille ϕ C0(R 1 n ; R n ) (χ F ) ε ϕ dy = χ F (z)η ε (y z)dz ϕ(y) dy R n R n R n = η ε (y z) ϕ(y)dy χ F (z) dz R n R n = ( ϕ) ε (z)χ F (z) dz = ϕ ε (z)χ F (z) dz R n R n = ϕ ε ν F d F = ϕ ε e n d F R n R n = (ϕ e n ) ε d F. R n Toisaalta osittaisintegroimalla saadaan myös kaikille ϕ C0(R 1 n ; R n ) (χ F ) ε ϕ dy = (χ F ) ε ϕ dy. R n R n Oletetaan nyt, että (χ F ) ε y n (y) > 0 jollain y R n. Tällöin osittaisderivaattojen jatkuvuuden perusteella (χ F ) ε y n > δ > 0 avoimessa joukossa U R n ja edelleen kompaktissa joukossa K U s.e. L n (K) > 0 (K voi olla esimerkiksi U:n sisältämä suljettu pallo). Jos nyt valitaan sileä ϕ C0(U), 1 jolle pätee ϕ 0 ja ϕ 1 K:ssa, saadaan Rn (χ F ) ε ϕ dy < 0. y n Jos edelleen valitaan ϕ = (0,... 0, ϕ) C0(R 1 n ; R n ), niin (χ F ) ε ϕ dy < 0. R n Samaan aikaan kuitenkin R n (ϕ e n ) ε d F 0, sillä ϕ:n n:s komponentti on ei-negatiivinen. On siis päädytty ristiriitaan, ja voidaan päätellä, että (χ F ) ε (y) 0 kaikilla y R n. Oletetaan sitten, että (χ F ) ε y i y n (y) > 0 jollain i {1,..., n 1} ja y R n. Nyt saadaan samaan tyyliin kuin äsken, että Rn (χ F ) ε ϕ dy < 0 y i 18

23 jollain ϕ C0(R 1 n ), ϕ 0. Valitsemalla edelleen funktio ϕ C0(R 1 n ; R n ), jonka i:s komponentti on ϕ ja muut nollia, saadaan (χ F ) ε ϕ dy < 0, R n mutta toisaalta R n (ϕ e n ) ε d F = 0, mikä on ristiriita. Samaan tyyliin tapaus (χ F ) ε y i (y) < 0 jollain i {1,..., n 1} ja y R n tuottaa ristiriidan. On siis oltava (χ F ) ε y i (y) = 0 kaikilla i {1,..., n 1}, y R n ja ε > 0. Jos nyt ε j 0, niin (χ F ) εj χ F L 1 loc (Rn ):ssä ja (jos tarvittaessa siirrytään osajonoon) pisteittäin joukossa R n \A, L n (A) = 0 [1, s. 123]. Jos y, z R n \A ja y n = z n, niin (χ F ) ε (y) = (χ F ) ε (z) kaikilla ε > 0, ja täten raja-arvotkin ovat samat, eli χ F (y) = χ F (z). Vastaavasti, jos y n < z n, niin (χ F ) ε (y) (χ F ) ε (z) kaikilla ε > 0, ja täten χ F (y) χ F (z). Joukko F on siis muotoa (L n -nollamittaista joukkoa lukuunottamatta) F = {y R n y n β} jollain β [, ]. Näin on siis saatu, että F on puoliavaruus, mutta vielä olisi todistettava, että β = 0, sillä nimenomaan origon oletettiin kuuluvan redusoituun reunaan. Oletetaan siis ensin, että β < 0. Nyt suljettu pallo B(0, L), 0 < L < β, kuuluu kokonaan F :n ulkopuolelle. Käyttämällä taas muuttujanvaihtoa z = p r (y) (muistetaan määritelmä sivulta 13) voidaan laskea 0 = Ln ( B(0, L) F ) L n 1 = k L n L n ( = B(0, L) E sk ) k L n χ Esk (z) dz = B(0,L) k L n ( = B(0, s k L) E) k (s k L) n. 1 (s k L) n χ E (y) dy B(0,s k L) Tämä on kuitenkin ristiriita lemman kohdan (i) kanssa. Vastaavasti tapaus β > 0 tuottaa ristiriidan lemman kohdan (ii) kanssa. Siis β = 0 ja F = {y R n y n 0} = H (0). Näin on saatu todistettua, että χ Esk χ H (0) L 1 loc (Rn ):ssä, kun k, mutta sama tulos haluttaisiin vielä alkuperäiselle jonolle (r j ) (s k ). Tehdään siis vastaoletus, että jollain kompaktilla K R n sup χ Erj χ H (0) dy > ε, j K 19

24 missä ε > 0. Tällöin on olemassa osajono (t j ) (r j ) s.e. χ Etj χ H (0) dy > ε K kaikilla j N. Nyt kuitenkin huomataan, ettei ole olemassa osajonoa (u j ) (t j ), jolle pätisi χ Euj χ H (0) L 1 loc (Rn ):ssä, vaikka juuri on todistettu, että jokaisesta jonosta t j 0 voidaan poimia tällainen osajono. On siis oltava χ Erj χ H (0) L 1 loc (Rn ):ssä myös alkuperäisellä jonolla (r j ). Katsotaan vielä kaavaa (2.16), joka saadaan nyt muotoon E s k ( B(0, L)) = H (0) ( B(0, L)) (2.17) k kaikilla L > 0, joille pätee H (0) ( B(0, L)) = 0. Koska H (0) on sileäreunainen joukko, sen perimetri avoimessa joukossa on yksinkertaisesti joukon reunan H n 1 -mitta [3, s. 4 5]. Käyttämällä tätä ja Radon-mittojen yleisiä ominaisuuksia saadaan H (0) ( B(0, L)) = H (0) (B(0, L + ε)) ε 0 = H n 1 ( H (0) B(0, L + ε)) = Ω n 1 (L + ε) n 1 ε 0 ε 0 = Ω n 1 L n 1 = H n 1 ( H (0) B(0, L)) = H (0) (B(0, L)). Itse asiassa siis H (0) ( B(0, L)) = 0 kaikilla L > 0. Lopulta, jos jollain L > 0 olisi sup E rj ( B(0, L)) H (0) ( B(0, L)) > ε > 0, j löytyisi taas osajono (t j ) (r j ) s.e. E tj ( B(0, L)) H (0) ( B(0, L)) > ε kaikilla j N. Tällöin osajonosta (t j ) ei löytyisi osajonoa, jolla yhtälö (2.17) pätisi, mikä on ristiriita. Siis E r j ( B(0, L)) = H (0) ( B(0, L)) = Ω n 1 L n 1 j alkuperäisellä (mielivaltaisella) jonolla r j 0, ja kaikilla L > 0. Näin lauseen molemmat väitteet on saatu todistettua. Huomautus. Todistuksessa pääteltiin joukon F olevan puoliavaruus käyttämällä tietoa, että χ F :n heikko gradientti on e n :n suuntainen. Myös vähäisemmillä tiedoilla äärellisperimetrisen joukon heikon gradientin suunnasta voidaan päätellä esimerkiksi, että joukon reuna on Lipschitz [3, s ]. 20

25 Todistetusta lauseesta saadaan helposti seuraava korollaari. Korollaari Oletetaan, että x E. Tällöin (i) (ii) (iii) L n (E H (x) B(x, r)) = 1 2, L n (E H + (x) B(x, r)) = 0, L n ((R n \E) H (x) B(x, r)) = 0, L n ((R n \E) H + (x) B(x, r)) = 1 2, E ( B(x, r)) Ω n 1 r n 1 = 1. Todistus. Muistetaan taas, että jos p r (y) = x + (y x)/r, niin y E täsmälleen silloin, kun p r (y) E r (x). Käyttämällä muuttujanvaihtoa z = p r (y) sekä edellisestä lauseesta saatavaa tietoa χ Er(x) χ H (x) L 1 loc (Rn ):ssä voidaan laskea L n (E H (x) B(x, r)) 1 r n = r n = = R n χ E H (x) B(x,r)(y) dy R n χ Er(x) H (x) B(x,1)(z) dz = H (x) B(x,1) H (x) B(x,1) χ H (x)(z) dz = 1 2 Ω n. χ Er(x)(z) dz Tämä todistaa kohdan (i) ensimmäisen osan, ja toinen saadaan samanlaisella laskulla. Kohta (ii) seuraa kohdasta (i). Voidaan laskea L n ((R n \E) H (x) B(x, r)) L n (H (x) = B(x, r)) L n (E H (x) B(x, r)) = = 0. Tämä todistaa väitteen (ii) ensimmäisen osan, ja toinen saadaan näytettyä samaan tapaan. Kohta (iii) saadaan todistettua muistamalla ensin, että yhtälön (2.10) mukaan E ( B(x, r)) r n 1 = E r (x) ( B(x, 1)). Toisaalta lauseen mukaan kun r 0. Näin onkin saatu väite. E r (x) ( B(x, 1)) Ω n 1 1 n 1 = Ω n 1, 21

26 Huomautus. Vektoria νe (x), joka toteuttaa kohdat (i) ja (ii), kutsutaan joskus E:n mittateoreettiseksi normaaliksi (muistetaan, että νe (x) on puoliavaruuksien H (x) ja H + (x) normaali) [2, s. 240]. Kohta (iii) puolestaan on vahvempi versio lemman kohdista (iii) ja (iv). 22

27 Luku 3 Redusoidun reunan struktuurilause Edellisessä luvussa selviteltiin lokaalisti äärellisperimetrisen joukon ja sen perimetrimitan käyttäytymistä redusoidun reunan pisteiden lähellä. Tässä luvussa näytetään aluksi, että redusoitu reuna on hyvin lähellä toista joukkoa, niin kutsuttua mittateoreettista reunaa. Sitten todistetaan vahva tulos redusoidun reunan rakenteesta. 3.1 Mittateoreettinen reuna Aloitetaan suoraan määritelmästä. Määritelmä Olkoon x R n. Sanotaan, että x kuuluu joukon E R n mittateoreettiseen reunaan E, jos sup L n (E B(x, r)) r n > 0 ja sup L n ((R n \E) B(x, r)) r n > 0. Huomataan, että määritelmä on varsin intuitiivinen: karkeasti ottaen mittateoreettiseen reunaan kuuluvan pisteen (mielivaltaisen pieneen) ympäristöön tulee kuulua jonkin verran sekä joukkoa E että sen komplementtia. Selvästi jos piste on joukon E tai sen komplementin sisäpiste, toinen yllä olevista raja-arvoista on nolla, eikä piste voi kuulua mittateoreettiseen reunaan. Joukon mittateoreettinen reuna siis on (kuten redusoitu reunakin) topologisen reunan osajoukko. Edelleen voidaan todeta, että mittateoreettisen reunan määritelmä toimii 23

28 yleiselle joukolle E R n. Seuraavaksi kuitenkin oletetaan taas, että E:llä on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä, ja selvitetään redusoidun reunan ja mittateoreettisen reunan välinen yhteys. Lause Joukon E redusoitu reuna on mittateoreettisen reunan osajoukko, ja niiden erotuksen n 1-ulotteinen Hausdorffin mitta on nolla, toisin sanoen (i) E E, (ii) H n 1 ( E\ E) = 0. Todistus. Väite (i) saadaan suoraan lemman kohdista (i) ja (ii). Katsotaan sitten väitettä (ii). Jokaista x E kohti on mittateoreettisen reunan määritelmän perusteella olemassa luku β (0, 1/2), β = β(x) s.e. sup L n (E B(x, r)) > β ja sup L n ((R n \E) B(x, r)) > β. Tämän perusteella on olemassa jonot r i 0 ja r i 0 s.e. L n (E B(x, r i )) i > β (3.1) ja L n ((R n \E) B(x, r i )) Ω n r n i > β (3.2) kaikilla i N. Siirtymällä tarpeen mukaan osajonoon voidaan myös olettaa, että r i r i kaikilla i N. Nyt epäyhtälö (3.2) voidaan edelleen kirjoittaa muodossa L n (E B(x, r i )) Ω n r n i < 1 β (3.3) kaikilla i N, sillä E on L n -mitallinen joukko. Koska β (0, 1/2) ja kuvaus r Ln (E B(x, r)) on jatkuva, jokaista i N kohti on pakko olla r i [r i, r i ] s.e. β Ln (E B(x, r i )) Ω n r n i 1 β. 24

29 Jos nimittäin näin ei olisi, jollain i N olisi oltava L n (E B(x, r i )) i > 1 β > 1 2 ja L n (E B(x, r i )) Ω n r n i < β < 1 2. Nyt jatkuvuuden nojalla olisi kuitenkin oltava L n (E B(x, r i )) = 1 Ω n r i n 2 jollain r i [r i, r i ]. On siis olemassa jono r i 0 s.e. L n (E B(x, r i )) β Ω n r i n ja L n ((R n \E) B(x, r i )) β Ω n r i n kaikilla i N. Edelleen suhteellisen isoperimetrisen epäyhtälön nojalla saadaan 2A 2 (n) E ( B(x, r i )) min{l n (E B(x, r i )), L n ((R n \E) B(x, r i ))} (n 1)/n (βω n ) n 1 (n 1)/n r i kaikilla i N. Toisin sanoen E ( B(x, r i )) r n 1 i β(x, n) > 0 kaikilla i N. Jos nyt määritellään { F := x R n \ E ( E sup B(x, } r)) r n 1 > 0, niin ( E\ E) F. Todetaan myös, että E (F ) E (R n \ E) = 0 (jälkimmäinen yhtäsuuruus todistettiin luvun 2 alussa). Nyt saadaan edelleen F = j=1 F j, jos määritellään F j := { x R n \ E ( E sup B(x, r)) r n 1 > 1 j 25 }.

30 Otetaan j N ja ε > 0. Koska E on Radon-mitta, on olemassa [1, s. 8] avoin joukko U F j s.e. E (U) E (F j ) + ε = ε. Joukon F j määritelmän nojalla jokaista x F j kohti on olemassa mielivaltaisen pieni säde r > 0 s.e. E ( B(x, r)) r n 1 > 1 j. Erityisesti pallo B(x, r) saadaan kuulumaan avoimeen joukkoon U. Otetaan sitten δ > 0 ja määritellään { A := B(x, r) x R n \ E ( E, 0 < r < δ, B(x, B(x, r)) r) U, r n 1 > 1 }. j Selvästi A muodostaa F j :n peitteen. Vitalin peitelauseen mukaan voidaan valikoida A:sta numeroituva kokoelma pistevieraita palloja { B(x k, r k )} k=1 s.e. F j k=1 B(x k, 5r k ). Nyt diam B(x k, 5r k ) 10δ kaikilla k N, joten voidaan laskea H n 1 10δ (F j) Ω n 1 (5r k ) n 1 k=1 Ω n 1 5 n 1 j E ( B(x k, r k )) k=1 Ω n 1 5 n 1 j E (U) < Ω n 1 5 n 1 jε. Antamalla ε 0 saadaan H n 1 10δ (F j) = 0, ja antamalla sitten δ 0 saadaan H n 1 (F j ) = 0. Koska tässä j N oli mielivaltainen, saadaan H n 1 (F ) = H n 1 H n 1 (F j ) = 0. j=1 F j j=1 Lopulta saadaan H n 1 ( E\ E) H n 1 (F ) = 0, mikä onkin väite (ii). 26

31 3.2 Redusoidun reunan rakenne Ennen kuin päästään todistamaan redusoidun reunan struktuurilause, tarvitaan ensin muutama lemma. Seuraava lemma olennaisesti kertoo, että jos redusoidun reunan osajoukon perimetrimitta on nolla, myös sen n 1-ulotteinen Hausdorffin mitta on nolla kyse on siis absoluuttisesta jatkuvuudesta. Lemma Jos A E, niin H n 1 (A) C(n) E (A), missä C(n) > 0 siis riippuu vain dimensiosta n. Todistus. Jos E (A) =, väite on selvä, joten oletetaan, että E (A) <. Otetaan ε > 0. Koska E on Radon-mitta, on olemassa avoin joukko U A s.e. E (U) E (A) + ε. Lemman kohdan (iii) mukaan kaikilla x E pätee inf Jos nyt valitaan mielivaltainen δ > 0, niin E ( B(x, r)) r n 1 C 2 (n) > 0. B = { B(x, r) x A, 0 < r < δ, B(x, r) U, C2 (n)r n 1 < 2 E ( B(x, r)) } muodostaa A:n peitteen. Vitalin peitelauseen mukaan B:stä voidaan valikoida pistevieraista palloista koostuva numeroituva osaperhe { B(x i, r i )} i=1 s.e. A i=1 B(x i, 5r i ). Nyt voidaan laskea H n 1 10δ (A) i=1 Ω n 1 (5r i ) n 1 Ω n 1 5 n 1 2 C 2 (n) C(n) E (U) C(n)( E (A) + ε), E ( B(x i, r i )) i=1 missä C(n) > 0. Jos nyt annetaan ε 0, saadaan H n 1 10δ (A) C(n) E (A), ja lopulta δ 0 antaa H n 1 (A) C(n) E (A). 27

32 Määritellään nyt kaikkia pisteitä x R n ja yksikkövektoreita ν kohti hypertaso ja puoliavaruudet H ν (x) := {y R n ν (y x) = 0} H ν (x) := {y R n ν (y x) 0}, H + ν (x) := {y R n ν (y x) 0}. Vertaamalla aiempiin merkintöihin todetaan, että jos x E, niin esimerkiksi H (x) (ilman alaindeksiä) on sama kuin H νe (x)(x), eli oletusarvoisesti yksikkövektori otetaan redusoidun reunan määritelmästä. Todistetaan nyt yksinkertainen, mutta hieman tekninen lemma. Lemma Jos joukolla E R n on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä ja funktio ν E on jatkuva joukossa A E, niin kiinnitetyllä r > 0 funktio m r : x Ln (E H (x) B(x, r)) r n on A:ssa jatkuva (vrt. korollaarissa esiintyviin lausekkeisiin). Sama pätee, jos puoliavaruus H (x) korvataan puoliavaruudella H + (x), tai joukko E komplementillaan. Edelleen yleisellä E R n funktio on jatkuva kiinnitetyllä r > 0. x Ln (E B(x, r)) r n, Todistus. Jos yleisesti B R n ja C R n ovat joukkoja s.e. L n (B) <, L n (C) <, pätee tietenkin { L n (B) L n (C) + L n (B\C), L n (C) L n (B) + L n (C \B). Näistä saadaan L n (B) L n (C) L n (B\C) + L n (C \B). (3.4) Nyt voidaan osoittaa m r :n jatkuvuus ottamalla piste x A ja jono (x i ) A, x i x, ja tarkastelemalla lauseketta m r (x i ) m r (x) = L n (E H (x i ) B(x i, r)) r n Ln (E H (x) B(x, r)) r n = 1 r n Ln (E H (x i ) B(x i, r)) L n (E H (x) B(x, r)). 28

33 Itseisarvomerkkien sisällä oleva lauseke saadaan epäyhtälön (3.4) perusteella pienemmäksi kuin L n [(E H (x i ) B(x i, r))\(e H (x) B(x, r))] +L n [(E H (x) B(x, r))\(e H (x i ) B(x i, r))]. (3.5) Yllä olevat kaksi termiä ovat hyvin samanlaiset, joten keskitytään ensimmäiseen. Se saadaan pienemmäksi kuin L n (E [(H (x i ) B(x i, r))\(h (x) B(x, r))]) L n [(H (x i ) B(x i, r))\(h (x) B(x, r))] L n [(H (x i ) B(x i, r))\h (x)] + L n [(H (x i ) B(x i, r))\ B(x, r)] L n [(H (x i ) B(x i, r))\h (x)] + L n ( B(x i, r)\ B(x, r)) (3.6) Koska x i x ja νe (xi ) νe (x) (muistetaan jatkuvuus), viimeisen rivin jälkimmäistä termiä voidaan arvioida ylöspäin lausekkeella L n ( B(x, r + x i x )\ B(x, r)) L n ( B(x, r + x i x )\ B(x, r)) i=1 = L n ( ) = 0. Edelleen (3.6):n viimeisen rivin ensimmäistä termiä voidaan jostain indeksistä lähtien arvioida ylöspäin lausekkeella L n ( B(x, r + 1) (H (x i )\H (x))) L n ( B(x, r + 1) (H (x i )\H ν E (x)(xi ))) +L n ( B(x, r + 1) (H ν E (x)(xi )\H (x))) = 0, kun i. Kaavan (3.5) ensimmäinen termi menee siis nollaan, ja toinen termi menee nollaan samaan tapaan. Yhteensä saadaan m r (x i ) m r (x) 0, kun i. Tämä todistaa, että m r on jatkuva funktio joukossa A E. Muut väitteen osat saadaan todistettua samaan tapaan. Yllä olevan lemman avulla voidaan todistaa vielä yksi tarpeellinen lemma, jota tarvitaan redusoidun reunan struktuurilauseen todistuksessa. Lemma Joukon E R n mittateoreettinen reuna E on Borel-joukko. 29

34 Todistus. Edellisen lemman nojalla funktio x Ln (E B(x, r)) r n on jatkuva R n :ssä kiinnitetyllä r > 0. Siis se on myös Borel-mitallinen. Täten myös funktio q(x) := sup L n (E B(x, r)) r n = inf sup R>0 0<r<R R Q r Q L n (E B(x, r)) r n on Borel-mitallinen R n :ssä. Tässä infimum ja supremum voidaan ottaa vain rationaalilukujen yli, sillä funktio on selvästi jatkuva R + :ssa. Siis joukko r Ln (E B(x, r)) r n A 1 = {x R n q(x) > 0} on Borel-joukko. Aivan vastaavasti funktio q(x) := sup L n ((R n \E) B(x, r)) r n on Borel-mitallinen R n :ssä, ja joukko = inf sup R>0 0<r<R R Q r Q A 2 = {x R n q(x) > 0} on Borel-joukko. Täten mittateoreettinen reuna on myös Borel-joukko. E = A 1 A 2 L n ((R n \E) B(x, r)) r n Jos µ on ulkomitta, merkitään µ:n rajoittumaa joukkoon A R n µ A, missä siis µ A(B) = µ(a B) kaikilla B R n. Nyt voidaan vihdoin todistaa redusoidun reunan struktuurilause. Lause Jos joukolla E on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä, pätee seuraavaa: 30

35 (i) Redusoitu reuna voidaan esittää muodossa E = K k N, k=1 missä K k :t ovat C 1 -hyperpintojen S k, k N, kompakteja osajoukkoja, ja E (N) = H n 1 (N) = 0. (ii) (iii) Funktio ν E on jokaisella pinnalla S k, k N, kohtisuorassa pintaa vastaan. Joukon E perimetrimitta on yksinkertaisesti n 1-ulotteisen Hausdorffin mitan rajoittuma redusoidulle reunalle, toisin sanoen E = H n 1 E. Todistus. Korollaarin kohdissa (i) ja (ii) on yhteensä neljä lauseketta, jotka lähestyvät redusoidulla reunalla arvoja 0 ja 1/2, kun r 0. Nyt halutaan näyttää, että suppeneminen on tasaista tietyissä redusoidun reunan osajoukoissa. Funktio νe on E -mitallinen, ja se voidaan jatkaa koko Rn :ssä määritellyksi määrittelemällä se vaikkapa nollaksi R n \ E:ssä (muistetaan, että E (R n \ E) = 0). Koska E on Radon-mitta, joukko E B(0, 1) on E -mitallinen ja E ( E B(0, 1)) <. Nyt Lusinin lauseen [1, s. 15] mukaan on olemassa kompakti A 1 E B(0, 1) s.e. funktio ν E on jatkuva A 1:ssä ja E (( E B(0, 1))\A 1 ) < 1. Samalla periaatteella saadaan kompakti A 2 ( E B(0, 2))\A 1 s.e. ν E on jatkuva A 2 :ssa, ja E ((( E B(0, 2))\A 1 )\A 2 ) < 1/2. Näin jatkaen saadaan indeksillä i N kompakti joukko A i ( E B(0, i 1 i)) \ j=1 A j s.e. νe on jatkuva A i:ssä ja E ( E B(0, i i))\ i = E B(0, i)\ A j A j j=1 j=1 < 1 i. 31

36 Määrittelyn perusteella A i :t ovat pistevieraita, νe on jatkuva jokaisessa A i:ssa, ja E R n \ A j = E B(0, i)\ A j i j=1 j=1 i E B(0, i)\ i 1 i i = 0. Näin on siis saatu E hajotettua erillisiksi kompakteiksi joukoiksi A i, joissa jokaisessa νe on jatkuva. Määritellään nyt korollaaria seuraten funktiot m 1 r(x) := Ln (E H (x) B(x, r)), m 2 r(x) := Ln (E H + (x) B(x, r)), m 3 r(x) := Ln ((R n \E) H (x) B(x, r)), m 4 r(x) := Ln ((R n \E) H + (x) B(x, r)). Lemman perusteella nämä kaikki ovat kiinteällä r > 0 jatkuvia jokaisessa joukossa A i, i N. Jos funktiot kuvittelee jatketuksi koko R n :ssä jatkuviksi funktioiksi, kuten voidaan tehdä [1, s. 13], ne ovat tietenkin R n :ssä Borelmitallisia ja siten E -mitallisia. Määritellään nyt jono r l = 1/l, l N. Korollaarin perusteella funktiot m 1 r l ja m 4 r l lähestyvät pisteittäin arvoa puoli, ja funktiot m 2 r l ja m 3 r l lähestyvät pisteittäin arvoa nolla jokaisessa joukossa A i, kun l. Lisäksi todetaan, että E (A i ) < jokaisella i N. Siis Egoroffin lauseen [1, s. 16] perusteella mielivaltaisella i N on olemassa E -mitalliset joukot A 1 i1,..., A4 i1 A i s.e. E (A i \A 1 i1),..., E (A i \A 4 i1) < 1/4, ja kunkin funktion m 1 r l,..., m 4 r l suppeneminen on tasaista vastaavalla yläindeksillä merkityssä joukossa A 1 i1,..., A4 i1. Määrittelemällä A i1 := A 1 i1... A 4 i1 saadaan tietenkin, että funktiot m 1 r l,..., m 4 r l suppenevat kaikki tasaisesti kohti raja-arvojaan joukossa A i1, ja lisäksi E (A i \A i1 ) < 1. Tässä (r l ) on tosin vain yksi nollaa lähestyvä jono. Kuitenkin, jos r [r l+1, r l ], niin kaikilla x A i m 2 r(x) Ln (E H + (x) B(x, ( ) n r l )) l + 1 Ω n rl+1 n = m 2 r l l (x). j=1 A j 32

37 Siis m 2 r 0 A i1 :ssä tasaisesti (tarvitsematta rajoittua tiettyyn jonoon). Samalla päättelyllä m 3 r 0 A i1 :ssä tasaisesti. Toisaalta pätee m 1 r(x), m 4 r(x) 1/2 kaikilla x E ja r R. Jos jälleen r [r l+1, r l ], voidaan laskea m 1 r(x) Ln (E H (x) B(x, r l+1 )) l = ( l l + 1 ) n m 1 r l+1 (x). Tästä nähdään, että myös m 1 r 1/2 ja vastaavasti m 4 r 1/2 tasaisesti A i1 :ssä (riippumatta r-jonosta). Edelleen voidaan nyt valita E -mitallinen joukko A i2 A i \ A i1 s.e. E ((A i \ A i1 ) \ A i2 ) < 1/2, ja funktioiden m 1 r,..., m 4 r suppeneminen on tasaista A i2 :ssä. Näin jatkaen saadaan yleisesti indeksillä j N E -mitallinen joukko ( j 1 ) A ij A i \ A ik s.e. m 1 r,..., m 4 r suppenevat tasaisesti kohti raja-arvojaan A ij :ssä ja ( ) j E A i \ A ik < 1 j. j=1 A ij k=1 k=1 Nyt A ij :t ovat selvästi pistevieraita, ja lisäksi k E A i \ E A i \ millä tahansa k N, joten on oltava E A i \ j=1 A ij j=1 = 0 A ij 1 k kaikilla i N. On siis kaiken kaikkiaan saatu hajotettua redusoitu reuna E pistevieraiksi E -mitallisiksi joukoiksi A ij, i, j N, s.e. jokaisessa joukossa A ij funktio νe on jatkuva ja funktiot m1 r,..., m 4 r suppenevat tasaisesti kohti raja-arvojaan. Koska lopulta Radon-mitan tapauksessa mitallisia joukkoja voidaan approksimoida sisältäpäin kompakteilla joukoilla, voidaan jokaista lukuparia i, j N kohti poimia kompaktit ja pistevieraat joukot A ijl A ij, l N, s.e. ( ) E A ij \ A ijl = 0. l=1 Jos nyt tehdään merkinnänvaihto (A ijl ) i,j,l=1 (K k) k=1, saadaan numeroituva kokoelma pistevieraita, kompakteja joukkoja s.e. E = K k N, k=1 33

38 missä E (N) = 0. Lisäksi jokaisessa K k, k N, funktio νe on jatkuva ja funktioiden m 1 r,..., m 4 r suppeneminen kohti raja-arvojaan on tasaista. Määritellään sitten kaikilla k N ja x, y K k q(x, y) := ν E (x) (y x). y x Valitaan mikä tahansa k N ja osoitetaan, että q(x, y) 0 tasaisesti joukossa K k, kun y x 0. Tehdään ensin vastaoletus, että on olemassa ε > 0 ja jonot (x i ) K k, (y i ) K k s.e. x i y i 0 ja q(x i, y i ) ε kaikilla i N (katsotaan myöhemmin tapaus q(x i, y i ) ε). Intuitiivisesti vastaoletus sanoo, että vektori y i x i on vähintään tietyssä määrin samansuuntainen vektorin ν E (xi ) kanssa kaikilla i N. Tutkitaan nyt pisteiden x i ja y i ympärille piirrettyjä pieniä palloja, joita on havainnollistettu kuvassa 3.1. Ensinnäkin pätee B(y i, ε y i x i ) B(x i, (1 + ε) y i x i ), sillä jos z B(y i, ε y i x i ), niin z y i ε y i x i, ja tällöin z x i z y i + y i x i ε y i x i + y i x i (1 + ε) y i x i. Lisäksi pätee B(y i, ε y i x i ) H + (x i ), sillä jos taas z B(y i, ε y i x i ), niin z = y i + w, missä w ε y i x i. Tehdyn vastaoletuksen perusteella ν E(x i ) (z x i ) = ν E(x i ) (y i x i ) + ν E(x i ) w sillä ν E (xi ) = 1. Yhteensä siis ε y i x i ν E(x i ) w 0, B(y i, ε y i x i ) B(x i, (1 + ε) y i x i ) H + (x i ) kaikilla i N. Toisin sanoen saadaan jono y i -keskisiä palloja, joista kukin sisältyy hieman suurempaan x i -keskiseen palloon ja myös puoliavaruuteen H + (x i ). Ottamalla leikkaus molemmilta puolilta joukon E kanssa saadaan edelleen B(y i, ε y i x i ) E B(x i, (1 + ε) y i x i ) H + (x i ) E. (3.7) Muistamalla nyt, että funktio m 1 r suppenee tasaisesti kohti arvoa 1/2 joukossa K k, saadaan, että L n ( B(y i, ε y i x i ) E) L n ( B(y i, ε y i x i ) E H (y i )) 1 3 Ω n(ε y i x i ) n, (3.8) 34

39 Kuva 3.1: Funktiolle q(x, y) tehdyn vastaoletuksen havainnollistus. kun y i x i < δ sopivalla δ > 0 (luvun 1/3 sijaan voitaisiin valita muukin luku väliltä (0, 1/2)). Toisin sanoen kyllin suurilla indekseillä i N palloissa B(y i, ε y i x i ) on aina vähintään tietyn verran joukkoa E. Yhdistämällä nyt kaavat (3.7) ja (3.8) saadaan L n ( B(x i, (1 + ε) y i x i ) H + (x i ) E) L n ( B(y i, ε y i x i ) E) 1 3 Ω n(ε y i x i ) n kaikilla kyllin suurilla i N. Tämä on kuitenkin ristiriita sen kanssa, että funktio m 2 r suppenee tasaisesti nollaan joukossa K k (muistetaan, että ε > 0 on tässä kiinnitetty luku). Katsotaan sitten tapaus, että on olemassa ε > 0 ja jonot (x i ) K k, (y i ) K k s.e. x i y i 0 ja q(x i, y i ) ε kaikilla i N. Nyt saadaan yllä olevaa päättelyä mukaillen ensin, että B(y i, ε y i x i ) (R n \E) B(x i, (1 + ε) y i x i ) H (x i ) (R n \E) kaikilla i N, ja lisäksi L n ( B(y i, ε y i x i ) (R n \E)) L n ( B(y i, ε y i x i ) (R n \E) H + (y i )) 1 3 Ω n(ε y i x i ) n, 35