811120P Diskreetit rakenteet

Transkriptio

1 811120P Diskreetit rakenteet Logiikka

2 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim. Kontrollirakenteiden ehtoina ohjelmoinnissa Tietokantakyselyissä Digitaalipiirien suunnittelussa Tietoturvassa, esim. pääsynvalvonnan mallit Asiantuntijajärjestelmissä: esim. tietämyspohjaiset ohjelmistot Formaalissa spesifioinnissa ja verifioinnissa P Diskreetit rakenteet, Logiikka 2

3 3.2 Propositiot Propositio on väittämä, jolla on totuusarvo tosi (1 tai T) tai epätosi (0 tai F) Esimerkkejä propositioista: 'Maa kiertää aurinkoa.' 'Isaac Newton syntyi vuonna 1642.' 'Tukholma on Australian pääkaupunki.' '5 on suurempi kuin 7.' 'Jokainen kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku voidaan ilmaista kahden alkuluvun summana' P Diskreetit rakenteet, Logiikka 3

4 3.2 Propositiot (2) Tehtävä: Mitkä seuraavista ilmaisuista ovat propositioita? I. Jää kelluu vedessä. II. III. IV. Hyvää päivää! Kiina on Euroopassa Tee kotitehtäväsi! V = 4 VI = P Diskreetit rakenteet, Logiikka 4

5 3.2 Propositiot (2) Propositiologiikassa ei olla kiinnostuneita yksittäisten propositioiden totuudesta reaalimaailmassa vaan siitä, onko jokin propositio rakenteensa takia tosi tai epätosi Esim. propositio 'Jos Anna ja Pekko eivät molemmat ole onnellisia, niin joko Anna ei ole onnellinen tai Pekko ei ole onnellinen.' Rakenteensa takia aina tosi riippumatta Annan tai Pekon onnellisuudesta Mikä tahansa ilmaisu, jolla sama looginen rakenne aina tosi P Diskreetit rakenteet, Logiikka 5

6 3.2.1 Propositioiden rakenne Propositiolaskenta tutkii siis propositioiden rakennetta Edellisen kalvon propositio ( Jos Anna ja Pekko eivät... ) on yhdistetty propositio; se muodostuu atomisista propositioista Anna on onnellinen ja Pekko on onnellinen loogisia operaatioita eli konnektiiveja soveltamalla Konnektiivit vastaavat algebran laskutoimituksia (Atomisia) propositioita kuvataan propositiomuuttujilla Propositiomuuttujia merkitään pienillä kirjaimilla (tyypillisesti p,q ja r), joskus alaindeksillä varustettuna P Diskreetit rakenteet, Logiikka 6

7 3.2.2 Loogiset operaatiot x P(x) x P(x) konnektiivi symboli ja (konjunktio) tai (disjunktio) ei (negaatio) jos niin (implikaatio) jos ja vain jos (ekvivalenssi) P Diskreetit rakenteet, Logiikka 7

8 3.2.2 Loogiset operaatiot Negaatio-operaatio on yksipaikkainen, muut konnektiivit kaksipaikkaisia Loogisten operaatioiden toiminta määritellään totuustaulujen avulla antamalla konnektiivissa esiintyville propositiomuuttujille kaikki mahdolliset arvot Negaation totuustaulussa 2 riviä Muiden konnektiivien totuustaulussa 4 riviä P Diskreetit rakenteet, Logiikka 8

9 3.2.2 Loogiset operaatiot. Konjunktio (ja) x P(x) x P(x) p q p q T T T T F F F T F F F F P Diskreetit rakenteet, Logiikka 9

10 3.2.2 Loogiset operaatiot. Disjunktio (tai) x P(x) x P(x) p q p q T T T T F T F T T F F F P Diskreetit rakenteet, Logiikka 10

11 3.2.2 Loogiset operaatiot. Negaatio (ei) x P(x) x P(x) p p T F F T P Diskreetit rakenteet, Logiikka 11

12 3.2.2 Loogiset operaatiot. Implikaatio (jos-niin) p q p q T T T T F F F T T F F T P Diskreetit rakenteet, Logiikka 12

13 3.2.2 Loogiset operaatiot. Ekvivalenssi (jos-ja-vain-jos) x P(x) x P(x) p q p q T T T T F F F T F F F T P Diskreetit rakenteet, Logiikka 13

14 3.2.2 Loogiset operaatiot. Tehtäviä Tarkastele seuraavien ilmaisujen totuusarvoa I. Jää kelluu vedessä ja =4. II. Jää kelluu vedessä ja =5. III. Kiina on Euroopassa ja =4. IV. Kiina on Euroopassa ja =5. Tarkastele seuraavien ilmaisujen totuusarvoa I. Jää kelluu vedessä tai =4. II. Jää kelluu vedessä tai =5. III. Kiina on Euroopassa tai =4. IV. Kiina on Euroopassa tai = P Diskreetit rakenteet, Logiikka 14

15 3.2.2 Loogiset operaatiot. Tehtäviä (2) Tarkastele seuraavien ilmaisujen totuusarvoa I. Jos jää kelluu vedessä niin =4. II. Jos jää kelluu vedessä niin =5. III. Jos Kiina on Euroopassa niin =4. IV. Jos Kiina on Euroopassa niin =5. Tarkastele seuraavien ilmaisujen totuusarvoa I. Jää kelluu vedessä jos ja vain jos =4. II. Jää kelluu vedessä jos ja vain jos =5. III. Kiina on Euroopassa jos ja vain jos =4. IV. Kiina on Euroopassa jos ja vain jos =5. x P(x) x P(x) P Diskreetit rakenteet, Logiikka 15

16 3.2.2 Loogiset operaatiot. Konnektiivien vaikutusalueet Kasvavassa järjestyksessä, sekä,, Esimerkki. Ilmaisu p q r s p r tarkoittaa ilmaisua {[( p) q ] r } [(s p) ( r)] eli suoritusjärjestys: 1. p, r ; 2. ( p) q, s p ; 3. [( p) q ] r, (s p) ( r) ; 4. {[( p) q ] r } [(s p) ( r )] P Diskreetit rakenteet, Logiikka 16

17 3.2.3 Yhdistetyn proposition muodostaminen Esim.1 'Joko tietokoneohjelmani toimii ja siinä ei ole virheitä tai tietokoneohjelmani sisältää virheitä' Merkitään: p : 'tietokoneohjelmani toimii' q : 'tietokoneohjelmani sisältää virheitä' Propositio symbolisessa muodossa loogisena ilmaisuna (p q) q Esim.2 'Jos Anna ja Pekko eivät molemmat ole onnellisia, niin joko Anna ei ole onnellinen tai Pekko ei ole onnellinen' Merkitään: p : 'Anna on onnellinen' q : 'Pekko on onnellinen' Propositio symbolisessa muodossa { (p q) } { p q} P Diskreetit rakenteet, Logiikka 17

18 3.2.3 Yhdistetyn proposition muodostaminen (2) Tehtävä. Olkoot p,q ja r seuraavat propositiot: p = Sataa ; q= Aurinko paistaa ; r = On pilvistä. Kirjoita seuraavat yhdistetyt propositiot symbolisessa muodossa: a) Sataa ja aurinko paistaa. b) Jos sataa, niin on pilvistä. c) Jos sataa, niin aurinko ei paista ja on pilvistä. d) Aurinko paistaa, jos ja vain jos ei sada P Diskreetit rakenteet, Logiikka 18

19 Ilmaisun (p q) q totuustaulu x P(x) x P(x) p q q p q (p q) q T T F F T T F T T T F T F F T F F T F F P Diskreetit rakenteet, Logiikka 19

20 Ilmaisun (p q) p q totuustaulu x P(x) x P(x) p q p q (p q) p q p q (p q) p q T T T F F F F T T F F T F T T T F T F T T F T T F F F T T T T T P Diskreetit rakenteet, Logiikka 20

21 3.2.4 Tautologia ja ristiriita Lauselogiikan ilmaisu, joka on tosi kaikilla propositiomuuttujien arvoilla on tautologia Merkitään mielivaltaista tautologiaa symbolilla T 0 Esim. p p on tautologia Lauselogiikan ilmaisu, joka on epätosi kaikilla propositiomuuttujien arvoilla on ristiriita Merkitään mielivaltaista ristiriitaa symbolilla F 0 Esim. p p on ristiriita P Diskreetit rakenteet, Logiikka 21

22 3.2.5 Looginen ekvivalenssi Kaksi samoista muuttujista koostuvaa lauselogiikan ilmaisua u ja v ovat loogisesti ekvivalentit jos ne saavat samat totuusarvot kaikilla propositiomuuttujien totuusarvojen valinnoilla Tällöin merkitään u v Siis u ja v ovat loogisesti ekvivalentit täsmälleen silloin, kun u v on tautologia Täsmälleen silloin, kun ilmaisuilla u ja v on sama totuustaulu P Diskreetit rakenteet, Logiikka 22

23 3.2.6 Looginen seuraus Olkoot u ja v kaksi samoista muuttujista koostuvaa lauselogiikan ilmaisua. Tällöin v seuraa loogisesti ilmaisusta u jos kaikilla propositiomuuttujien totuusarvojen valinnoilla siitä, että u on tosi seuraa että v on tosi Tällöin merkitään u v Siis v seuraa loogisesti ilmaisusta u täsmälleen silloin, kun u v on tautologia Täsmälleen silloin, kun siitä, että u:n totuustaulussa on jollakin rivillä arvo T, aina seuraa, että samalla rivillä on myös v:n totuustaulussa arvo T P Diskreetit rakenteet, Logiikka 23

24 Tehtävä: Totuudenpuhujat ja valehtelijat x P(x) x P(x) Kaukaisella saarella asuu kahdentyyppisiä alkuasukkaita sellaisia, jotka aina puhuvat totta; ja sellaisia, jotka aina valehtelevat. On mahdollista, että saarelle on haudattu aarre; jokainen saaren asukas tietää onko näin vai ei. Tulet saarelle ja vastaasi kävelee alkuasukas. Sinun täytyy yhdellä kysymyksellä (johon vastaus on 'kyllä' tai 'ei') selvittää onko saarelle haudattu aarre. Miten asetat kysymyksen? P Diskreetit rakenteet, Logiikka 24

25 3.2.7 Logiikan lait Usein halutaan looginen ilmaisu muuttaa toiseen, ekvivalenttiin muotoon Erityisesti implikaation poistaminen on monesti tarpeen Apuna logiikan lait (seuraava kalvo) Voidaan todistaa totuustaulujen avulla Tehtävä: Osoita logiikan lakien avulla, että [(p q) q ] p on tautologia P Diskreetit rakenteet, Logiikka 25

26 3.2.7 Logiikan lait (2) x P(x) x P(x) P Diskreetit rakenteet, Logiikka 26

27 3.2.8 Looginen päättely Päättely koostuu oletuksista ja johtopäätöksestä Esim. A: 'Tiedosto on binaaritiedosto tai tekstitiedosto. Jos se on binaaritiedosto, ohjelmani ei hyväksy sitä. Ohjelmani hyväksyy tiedoston. Siispä se on tekstitiedosto. Oletukset: 1. Tiedosto on binaaritiedosto tai tekstitiedosto. 2. Jos tiedosto on binaaritiedosto, ohjelmani ei hyväksy sitä. 3. Ohjelmani hyväksyy tiedoston Johtopäätös: Tiedosto on tekstitiedosto Tässä siis tyyppiä P 1 P 2 P 3 Q oleva lauseke, jossa P 1, P 2 ja P 3 ovat oletuksia ja Q johtopäätös P Diskreetit rakenteet, Logiikka 27

28 3.2.8 Looginen päättely (2) Yleistetään: Päättely on rakenne (1) p 1, p 2,..., p n, Ⱶ q missä loogiset ilmaisut p 1, p 2,..., p n ovat oletuksia ja looginen ilmaisu q on johtopäätös. Päättely (1) (loogisesti) oikea (johdonmukainen, validi), jos looginen ilmaisu p 1 p 2 p n q on tautologia, jolloin q on looginen seuraus ilmaisusta p 1 p 2 p n P Diskreetit rakenteet, Logiikka 28

29 3.2.8 Looginen päättely (3) Päättelyn oikeaksi todistaminen = sen osoittaminen tautologiaksi Määritellään esimerkissä A propositiot p : 'tiedosto on binaaritiedosto' q : 'tiedosto on tekstitiedosto' r : 'ohjelmani hyväksyy tiedoston' Tällöin em. päättelyssä loogiset ekvivalenssit P 1 p q, P 2 p r, P 3 r ja Q q Nyt [(p q) (p r) r] q on tautologia (osoita!) joten päättely on oikea P Diskreetit rakenteet, Logiikka 29

30 3.2.8 Looginen päättely. Tehtäviä Tehtävä 1. Arvioi seuraavan päättelyn oikeellisuutta: Jos tietokoneohjelmani toimii, niin siinä ei ole virheitä. Tietokoneohjelmassani ei ole virheitä. Siispä tietokoneohjelmani toimii. Tehtävä 2. Intuitiivisen logiikan perusteella seuraava järkeily on tosi: 'Jos p:stä seuraa q ja q:sta seuraa r, niin p:stä seuraa r Osoita päättely loogisesti oikeaksi P Diskreetit rakenteet, Logiikka 30

31 3.3 Predikaattilogiikka Tarkastellaan väitteitä Kaikki ihmiset ovat nisäkkäitä. Usain Bolt on ihminen. Siispä Usain Bolt on nisäkäs. Ei ole totta, että kaikki linnut osaavat lentää. Siispä on olemassa ainakin yksi lintu, joka ei osaa lentää. Em. ei voi osoittaa oikeaksi propositiologiikan keinoin: tarvitaan ilmaisuja, jotka voivat sisältää muuttujia -> predikaattilogiikka P Diskreetit rakenteet, Logiikka 31

32 3.3.1 Predikaatit Ilmaisu on predikaatti, jos se sisältää yhden tai useampia muuttujia se ei ole propositio, mutta siitä tulee propositio, kun siinä esiintyvien muuttujien arvot sopivasti sidotaan Jos predikaatissa esiintyy n eri muuttujaa, se on n- paikkainen predikaatti. Jokainen muuttuja saa arvoja omassa määrittelyjoukossaan Esim. x < 12 on yksipaikkainen predikaatti, jonka muuttuja x saa arvoja reaalilukujen joukossa Jos edellä x korvataan arvolla 9.5 saadaan tosi propositio ja jos x korvataan arvolla 13.2 saadaan epätosi propositio P Diskreetit rakenteet, Logiikka 32

33 3.3.1 Predikaatit (2) x P(x) x P(x) Predikaatin muuttujia voidaan sitoa myös kvanttoreilla: Universaalikvanttorilla (luetaan 'kaikilla') Eksistenssikvanttorilla (luetaan 'on olemassa') Esim. tarkastellaan predikaattia 'x < 7 x > 5' x [x < 7 x > 5] tulkitaan: 'kaikilla x:n reaalilukuarvoilla on x < 7 tai x >5 x [x < 7 x > 5] tulkitaan: 'on olemassa sellainen reaaliluku x, että x < 7 tai x >5' Predikaatteja merkitään isoilla kirjaimilla, predikaattia P, joka sisältää n muuttujaa x 1, x 2,..., x n merkitään P(x 1, x 2,..., x n ) P Diskreetit rakenteet, Logiikka 33

34 3.3.1 Predikaatit (3) Kvanttorien sijoittaminen predikaattiin tapahtuu kirjoitusjärjestyksessä: x yp(x,y) tarkoittaa x( yp(x,y)), ts. Jokaista x:n arvoa x 0 kohti on olemassa sellainen arvo y 0, että P(x 0,y 0 ) on tosi. Esim. x( y y 3 =x)): Jokaista (reaalilukua) x 0 kohti on olemassa sellainen (reaaliluku) y 0, että y 03 = x P Diskreetit rakenteet, Logiikka 34

35 3.3.2 Universaali- ja eksistenssikvanttoreiden välinen yhteys Tarkastellaan propositiota (1) 'Kaikki joutsenet ovat mustia' Olkoon P(x) predikaatti: 'joutsen x on musta -> (1) tulee muotoon: x P(x) Sovelletaan negaatiota ja saadaan: (2) 'Kaikki joutsenet eivät ole mustia' formaalisti: [ x P(x)] (2) voidaan yhtäpitävästi esittää muodossa (3) 'On olemassa ainakin yksi joutsen, joka ei ole musta' formaalisti: x [ P(x)] P Diskreetit rakenteet, Logiikka 35

36 3.3.2 Universaali- ja eksistenssikvanttoreiden välinen yhteys (2) Edellisen kalvon ominaisuus pätee yleisesti -> sääntö: [ x P(x)] x [ P(x)] 'muotoa x P(x) olevan proposition negaatio saadaan vaihtamalla universaalikvanttori eksistenssikvanttoriksi ja ottamalla predikaatin negaatio' Vastaavasti saadaan [ x P(x)] x [ P(x)] 'muotoa x P(x) olevan proposition negaatio saadaan vaihtamalla eksistenssikvanttori universaalikvanttoriksi ja ottamalla predikaatin negaatio' P Diskreetit rakenteet, Logiikka 36

37 3.3.3 Kvanttorien järjestys Helposti huomataan, että kvanttorien ja kirjoitusjärjestys on olennainen Esim P(x,y) on predikaatti y=x+1 x yp(x,y): Jokaista lukua x kohti on olemassa sellainen luku y, että y=x+1 y xp(x,y): On olemassa sellainen luku y, että kaikilla luvuilla x, y=x+1 Ensimmäinen selvästi tosi ja jälkimmäinen epätosi P Diskreetit rakenteet, Logiikka 37

38 3.3 Tehtäviä Tehtävä 1. Tarkastellaan teatterin lipunvarausjärjestelmää. Olkoon B(h,p) predikaatti 'henkilö h on varannut paikan p'. Kirjoita seuraavat propositiot symbolisessa muodossa: a) 'paikka p 0 on varattu' b) 'henkilö h 0 on varannut (ainakin yhden) paikan c) 'kaikki paikat on varattu Tehtävä 2. Olkoon A = {1, 3, 5, 6, 7, 8} ja P(x) predikaatti x on parillinen. Määritä seuraavien lausekkeiden totuusarvo a) y A:P(y) b) x A:P(x+1) c) x A: x+3 < P Diskreetit rakenteet, Logiikka 38

39 3.3 Tehtäviä (2) Tehtävä 3. Kirjoita seuraavat propositiot symbolisessa muodossa. a) On olemassa reaaliluku x, jolle x 4-2x+1<0 b) Jokaista reaalilukua y kohti on olemassa reaaliluku x, jolle y= x 3. Muodosta tämän jälkeen propositioiden negaatiot ja esitä ne suomen kielellä Tehtävä 4.Kirjoita lausekkeet a) { x y [p(x,y) q(x,y)]} b) { x y [p(x,y) q(x,y)]} muodossa, jossa negaatio ei esiinny lausekkeen edessä P Diskreetit rakenteet, Logiikka 39

40 3.4 Matemaattisesta todistamisesta x P(x) x P(x) Todistamisella keskeinen rooli matematiikassa Matematiikan teoria perustuu aksiomeihin eli postulaatteihin, joita pidetään absoluuttisesti totta olevina väittäminä Esim. teorioista: Eukleideen geometria, lukuteoria Teoreema on totta oleva väittämä, joka voidaan johtaa aksiomeista loogisesti päättelemällä Väittämistä voidaan johtaa uusia väittämiä loogisesti päättelemällä Teoreeman todistus: perustelu, joka osoittaa, että teoreema on tosi = äärellinen jono väittämiä, joista jokainen on joko aksiomi, aikaisempi teoreema tai looginen seuraus todistuksen aikaisemmista askelista P Diskreetit rakenteet, Logiikka 40

41 3.4 Matemaattisesta todistamisesta (2) x P(x) x P(x) Todistukset esitetään matematiikassa yleensä puhekielen lauseiden ja matemaattisten merkintöjen sekoituksena Tulee tarvittaessa voida palauttaa loogisesti täysin tarkaksi esitykseksi Pätevän todistuksen konstruointi vaatii harjaannusta ja erilaisten tekniikoiden hallintaa Yleispätevää tekniikkaa ei ole olemassa, vaan uusissa tilanteissa joudutaan kokeilemaan useita vaihtoehtoja ja kehittämään uusia menetelmiä P Diskreetit rakenteet, Logiikka 41

42 3.4.1 Todistustekniikoita Muotoa P Q olevan teoreeman todistaminen Jos voidaan osoittaa, että P on epätosi, on P Q tosi Jos voidaan osoittaa, että Q on aina tosi, on P Q myös tosi (triviaali todistus) Suora todistus: osoitetaan, että jos P on tosi, niin siitä väistämättä seuraa, että Q on tosi Epäsuora todistus: osoitetaan, että (P Q):n kontrapositio Q P on tosi; oletetaan, että Q on tosi ja että tästä väistämättä seuraa, että P on tosi Perustuu ekvivalenssiin (P Q) ( Q P) Todistus ristiriidan avulla: oletetaan, että P ja Q ovat molemmat tosia ja johdetaan ristiriita P Diskreetit rakenteet, Logiikka 42

43 3.4.1 Todistustekniikoita (2) Kun halutaan todistaa, että jokin kaikkia alkioita koskeva yleinen väite ei ole tosi, tämä voidaan usein tehdä vastaesimerkin avulla etsimällä yksi sellainen alkio, jolle väite ei päde Muodollisesti: halutaan osoittaa, että x P(x) koska x P(x) x P(x), riittää löytää sellainen x 0, että P(x 0 ) P Diskreetit rakenteet, Logiikka 43

44 3.4.1 Todistustekniikoita. Tehtäviä Osoita vääräksi väite: Aina, kun n on luonnollinen luku, on n n. Todista väite: Kahden rationaaliluvun summa on rationaaliluku Todista epäsuoraa todistusta käyttäen väite: Olkoon x kokonaisluku. Jos x 2 on parillinen, niin x on parillinen. Todista vastaoletuksen avulla, että luvun 2 neliöjuuri on irrationaaliluku P Diskreetit rakenteet, Logiikka 44