Luento 5: Kantataajuusvastaanotin AWGNkanavassa I: Suodatus ja näytteistys a. Kuvaa diskreetin ajan signaaliavaruussymbolit jatkuvaan aikaan

Transkriptio

1 ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 5: Kantataajuusvastaanotin AWGNkanavassa I: Suodatus ja näytteistys a Olav Tirkkonen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos a [ ] A! Kantataajuussignaali Kantataajuuden signaalimalli Tx ulosmeno x(t): jatkuvan ajan analoginen kantataajuussignaali Kuvaa diskreetin ajan signaaliavaruussymbolit jatkuvaan aikaan Rx sisäänmeno y(t): jatkuvan ajan analoginen kantataajuussignaali Välissä efektiivinen kanava: modulaatio, RF-komponentit ja fysikaalinen siirtotie. 2 (25)

2 A! Kantataajuuden AWGN-kanava I Yksinkertaisin kanavamalli jatkuva-aikaiselle kantataajuussignaalille. 3 (25) A! Kantataajuuden AWGN-kanava II Siirtotien malli: Vastaanottimen komponentit lisäävät heikkotehoiseen signaaliin valkoisen kohinaprosessin Signaalimalli: y(t) =x(t)+n(t) vastaanotettu signaali = lähetetty signaali + kohinaprosessi vastaanotin tietää mahdolliset lähetetyt aaltomuodot, kohina muuttuu infinitesimaalisesta hetkestä toiseen Huomaa: kantatuujuussignaali on kompleksiarvoinen: y(t),x(t),n(t) C 4 (25)

3 A! Kohinaprosessi Reaaliarvoinen valkoinen kohinaprosessi (AWGN) b Additive: häiritsee signaalia superpositiona White: tehospektritiheys (PSD) on vakio, P (f) =N 0 /2 Gaussian: prosessista otetut näytteet noudattavat jakaumaa 1 p(n) = e n2 /N 0 πn 0 odotusarvo on nolla: E {n} =0 varianssi: E { n 2 } = N 0 /2 Huomaa: käsitettä näyte ei ole vielä määritelty b [Lathi; Section 10.5] 5 (25) A! Kohinaprosessi II Kirjaimellisesti tulkittuna kohinaprosessi ei ole integroituva ei ole fysikaalinen kohinan lähdettä sitovat fysiikan lait, äärettömiä taajuuksia ei ole olemassa on muodollinen väline, jolla vastaanotinta voidaan analysoida AWGN prosessin n(t) autokorrelaatiofunktio määritelmän mukaan PSD:n Fourier-muunnos: E {n(t) n(t )} = R(t t )= δ(t t ) on Diracin delta-funktio N 0 2 e2πjf(t t ) = N 0 2 δ(t t ) jos t t, integraali oskilloi, integraali kunkin jakson yli häviää jos t = t, integroidaan vakiota reaaliakselin yli, tulos on 6 (25)

4 A! Jatkuva-aika diskreetti aika Digitaalinen tiedonsiirto: lähetin (Tx) pakkasi tietoa diskreettiaikaiseen signaaliavaruusesitykseen Siirtotielle lähetettiin jatkuva-aikaisia aaltoja Kantataajuusvastaanottimessa on siirryttävä takaisin diskreettiin aikaan signaalin tulkintaa varten. Vastaanottimessa (Rx) on suodatettava ja näytteistettävä 7 (25) A! Tietoisku: Analoginen suodatus Analoginen suodatus = integrointia impulssivasteen yli Tarkemmin: konvolutiivista integrointia. 8 (25)

5 A! Vastaanotin, yksi lähetetty symboli Lähetetty signaali x(t) =xφ(t). Vastaanottaja haluaa tietää x:n Vastaanotto: Hankkiudu eroon t-riippuvuudesta integrointi tietyllä ajoituksella suodatus + näytteistys Riittää tarkastella integrointia vastaanotinaaltomuotoa ψ(t) vastaan Vastaanotettu signaali suodatuksen jälkeen: y ψ y(t)ψ(t)dt T = x φ(t)ψ(t)dt } T {{} haluttu signaali + n(t)ψ(t)dt } T {{} =n ψ, kohinanayte Suorituskykyä luonnehtii signaalikohinasuhde, Signal-to-Noise-power Ratio (SNR) Skaalaus ψ aψ: haluttu signaali ja n ψ skaalautuvat a:lla ψ:n normalisaatio ei vaikuta suorituskykyyn 9 (25) A! Kompleksiarvoinen kohinaprosessi Jos kantataajuus on kompleksiarvoinen Kohinaprosessin reaaliosa häiritsee kantoaallon I-haaraa Kohinaprosessin imaginaariosa häiritsee Q-haaraa Kohinanäytteet ovat kompleksiarvoisia n ψ = n I +jn Q, n I,n X IR Kohina on Gaussista Jos kantataajuussignaal & kohinaprosessi IR Näyteet n I IR otetaan reaaliarvoisesta Gaussin jakaumasta Jos kantataajuussignaal & kohinaprosessi C Näyteet n ψ C otetaan kompleksiarvoisesta (2D) Gaussin jakaumasta Tästä lähtien kantataajuussignaali oletetaan C. 10 (25)

6 A! Kohinanäytteet Kohinanäytteet n ψ keskiarvo ja kovarianssi E {n ψ } = E {n(t)} ψ(t) dt = 0 T E { } n ψ n ψ = ψ(t) ψ (t )E{n(t)n (t )} dt dt }{{} =N 0 δ(t t ) = N 0 ψ (t) ψ(t)dt = N 0 ψ 2 = N 0 Kohinanäytteen varianssi (=kohinanäytteen energia) ei riipu vastaanottosuotimen muodosta ψ, vain sen normista ψ:n normi ei vaikuta vastaanottoon voidaan valita ψ =1 Vastaanottimessa on siis joku suodatin (taajuustasossa), joka aikatasossa vastaa aikatason aaltomuotoa ψ vastaan integrointia Saadaan vastaanotinnäyte, summa lähetetyn signaalin näytteestä ja kohinanäytteestä 11 (25) A! Kompleksiarvoiset Gaussiset kohinanäytteet Reaali- ja imaginaariosat normaalijakautuneet, varianssi σ 2 = N 0 /2: p(n X )= 1 e n2 X /N 0, X = I,Q πn0 Reaali- ja imaginaariosat riippumattomat, yhteisjakauma: p(n ψ )=p(n I )p(n Q )= 1 e (n2 I +n2 Q )/N 0 = 1 e n ψ 2 /N 0. πn 0 πn 0 Kompleksiarvoisen kohinanäytteen varianssi on reaali- ja imaginaariosien varianssien summa: E { n ψ 2} =E { } { } n 2 I +E n 2 N 0 Q = 2 + N 0 2 = N 0. Jos kantataajuussignaali reaaliarvoinen, siihen kohdistuisi reaaliarvoinen kohina n I, varianssi N 0 /2 varianssi on N 0 /2 per ulottuvuus. N 0 on kohinan tehospektritiheys, yksikkö [W/Hz] kohinanäytteen energia, yksikkö [J/(s Hz) = J] 12 (25)

7 A! Missä päin vastaanotinta ollaan? Suodatettu ja näytteistetty vastaanotettu signaali on y ψ = x ψ + n ψ, missä x ψ = x φ(t)ψ(t)dt on halutun signaalin komponentti, ja n ψ on kohinanäyte. Vastaanotinnäyte y ψ on analoginen ja diskreettiaikainen. 13 (25) A! Signaalikohinasuhde Halutun signaaliosan energia (varianssi) E { x ψ 2} =E { x 2} φ(t)ψ(t)dt merkitään E { x 2} = E x, signaaliavaruussymbolin energia. Kohinanäytteen energia (varianssi) oli E { n ψ 2} = N 0 ψ 2 pidetään ψ mukana, eikä oleteta, että ψ normalisoitu. Kantataajuussignaalin AWGN-kanavaa kuvaa signaalikohinasuhde (Signal-to-Noise Ratio, SNR) γ = E { x ψ 2} E { n ψ 2 } = E x N 0 2 φ(t)ψ(t)dt 2 ψ 2 Diskreetissä ajassa tämä on kahden energian suhde. 14 (25)

8 A! SNR:n maksimointi Halutaan maksimoida SNR vastaanotin (Rx)-suodatuksen jälkeen Muistetaan Cauchy-Schwartz -epäyhtälö: 2 φ(t)ψ(t)dt φ(t) 2 dt ψ(t ) 2 dt = φ 2 ψ 2 joka pätee, sillä aaltomuotojen avaruus on vektoriavaruus. φ(t)ψ(t)dt on φ:n ja ψ :n sisätulo Epäyhtälö ( ) pätee yhtäsuuruutena (=) jos ja vain jos 2 φ(t)ψ(t)dt = φ 2 ψ 2 ψ(t) =aφ (t) jollakin vakiolla a. 15 (25) A! SNR:n maksimointi II Käytetään Cauchy-Scwartzia SNR:ään: γ = E x φ(t)ψ(t)dt 2 N 0 ψ 2 = E x φ(t)ψ(t)dt 2 N 0 ψ 2 E x φ 2 ψ 2 = E x φ 2 = E s N 0 ψ 2 N 0 N 0 SNR maksimaalinen jos ψ(t) =aφ (t). lähetetyn symbolin energia on E s = E x φ 2. SNR-optimaalinen vastaanotin korreloi lähetetyllä aaltomuodolla Oletetaan, että vastaanottaja tuntee φ:n. Tätä kutsutaan sovitetuksi suotimeksi (matched filter, MF) Intuitio: Sovitettu suodatin kombinoi optimaalisesti signaalin lähetykseen käytetyn tehon. Kohina on satunnaista, mutta tehon odotusarvo vakio Vastaanotettuun signaaliin hetkellä t luotetaan suhteessa amplitudiin φ(t). Mitä suurempi halutun signaalin amplitudi, sitä enemmän luotat Rx-signaaliin. 16 (25)

9 A! Kantataajuusvastaanotin useamman lähetteen superpositiolle Tehdään sama kuin yllä, mutta usealla lähetetyllä signaalilla. 17 (25) A! Vastaanotin, monta symbolia Lähetetty signaali äärelinen superpositio (ei välttämättä ortogonaalisista) signaaleista: x(t) = N m=1 x mφ m (t) Korreloi suodattimilla: ψ k (t) y k = y(t)ψ k (t)dt N x m m=1 φ m (t)ψ k (t)dt } {{ } h mk + = h kk x k + m k x m h mk + n k n(t)ψ k (t)dt } {{ } n k Symbolit saattavat interferoida keskenään. Inter-Symbol Interferenssi (ISI) 18 (25)

10 A! Signaalin ja interferenssin teho Jos estimoimme x k :n suoraan y k :sta, interferenssi häiritsee estimointia. halutun signaalikomponentin energia S =E { h kk x k 2} =E { x k 2} h kk 2 = E x h kk 2 Muiden vastaanotetun signaalin komponenttien energia { 2} N = E x m h mk + n k = N 0 + h mk 2 E { x m 2} m k m k = N 0 + E x h mk 2 N 0 + I m k jos symbolit x m riippumattomia, ja keskiarvo nolla. Tässä I = E x h mk 2 m k on symboleiden m k aiheuttama interferenssi, joka häiritsee x k :n vastaanottamista. 19 (25) A! SIR ja SINR Halutun signaalikomponentin energia: S kun vastaanotetaan tiettyä symbolia x k Termisen kohinaprosessin näytteen energia : N 0 Syntyy vastaanottimen raudassa Interferenssinäytteen energia: I Johtuu siitä, että siirtotietä käytetään muuhunkin kuin x k :n lähettämiseen. Kanavaa kuvaavat Signal-to-Interference-plus-Noise Ratio (SINR) SINR = Signal-to-Interference Ratio (SIR) SIR = S I Huomaa: I h mk 2, missä h mk = φ m ψ k dt ψ k :t voidaan valita maksimoimaan SINR. Nyqvistin kriteeri ISI:ttömyydelle: h mk = δ mk y k ei riipu x m,m k:sta, SINR:istä tulee SNR S I+N 0 20 (25)

11 A! Korrelaattoripankki Nyt oleta: lähetetty signaali ortogonaalisessa kannassa. x(t) = N m=1 x mφ m (t) informaatio on kuvattu koordinaateille x m Korreloidaan ortogonaalisilla kantafunktioilla: y k = T y(t)φ k(t)dt N x m m=1 φ m (t)φ k(t)dt } T {{} =δ mk + T n(t)φ k(t)dt x k + n k Saadaan signaaliavaruuden koordinaatit (kompleksiarvoiset symbolit), kohinan turmelemina Ei Inter-Symboli Interferenssiä (ISI): y k ei riipu x m,m k:sta (!) 21 (25) A! ISI:ttömyys symbolijonolle Symbolijono: φ m (t) =f t (t mt ), ψ k (t) =f r (t kt) Huomaa: oletamme täydellisen synkronisuuden vastaanottimessa Oletetaan että pulssit ovat parillisia (yleensä ovat): f r (t) =f r ( t) ISI:ttömyys: ( ) f t (t mt )f r (t kt)dt = f r (k m)t t ft (t)dt (f r f t ) ( (k m)t ) ) = δ mk Ei ISI:ä: Tx & Rx aaltomuotojen pitää hävitä kaikilla symbolijakson kokonaislukusiirroksilla. Nollasiirroksella pitäisi olla nollasta poikkeava arvo. Tämä pätee, esim. jos Tx & Rx-pulssit ovat kanttipulsseja 22 (25)

12 A! Useampi kohinanäyte Kuten aiemmin, E {n k } =0. Kohinan kovarianssi on E {n m n k} = ψ m (t) ψk(t )E{n(t)n (t )} dt dt }{{} =N 0 δ(t t ) = N 0 ψ m (t) ψk(t)dt Jos ψ m (t) ψk (t)dt =0kaikilla m k korreloitumattmat (valkoiset) kohinanäytteet n k häiritsevät symboleita x k : E {n m n k } = N 0 δ mk Tämä tapahtuu, jos vastaanotinsuotimet (impulssivasteet) ψ k ovat ortogonaalisia funktioita. Kukin kohinanäyte jakautunut kuten p(n m )= 1 πn 0 e n m 2 /N 0 23 (25) A! Sovitettujen suodatinten pankki Nyt ei korreloida, vaan suodatetaan aidosti Käytetään suodatinta, jonka impulssivaste on h k (t) =φ k (T/2 t) Aikaulottuvuudessa suodatin toimii konvoluution kautta. Suotimen ulostulo ajanhetkellä t: z k (t) = t T/2 r(t )h k (t t )dt = t Suotimen ulostulo ajanhetkellä T/2 on z k (T/2) = T/2 T/2 Sama kuin korrelaatiovastaanottimella. T/2 r(t )φ k(t/2 t + t )dt r(t )φ k(t )dt = y k 24 (25)

13 A! Korrelaattori vs. sovitettu suodatin Vastaanotin diskretoi ajan (näytteistää), ja tulkitsee symbolit x m. Korrelaatiovastaanottimessa aika ensin diskretoidaan valitsemalla integroinnin aloitusaika, minkä jälkeen integroidaan määrätty aika. Suodinvastaanottimessa signaali ensin suodatetaan, ja aika diskretoidaan ottamalla suotimen ulostulosta näyte sopivalla hetkellä. Jos korreloidaan φ k (t):tä vastaan, tai käytetään suodatinta, jonka impulssivaste on φ k (T/2 t), saadaan sama tulos. Jos vastaanotin korreloi tai suodattaa lähetetyllä signaalimuodolla, vastaanotinta kutsutaan sovitetuksi suotimeksi (matched filter, MF) voidaan suorittaa riippumattomasti per ortogonaalinen aaltomuoto 25 (25)