JATKUVAN AWGN-KANAVAN KAPASITEETTI SHANNON-HARTLEY -LAKI

Transkriptio

1 1 JATKUVAN AWGN-KANAVAN KAPASITEETTI SHANNON-HARTLEY -LAKI Miten tiedonsiirrossa tarvittavat perusresurssit (teho & kaista) riippuvat toisistaan?

2 SHANNONIN 2. TEOREEMA = KANAVAKOODAUS 2 Shannonin 2. teoreema olettaa kanavan muistittomuuden symbolien välisen riippumattomuuden, jolloin kukin symboli kärsii kohinasta muista symboleista riippumatta. Lisäksi tiedonsiirtoon on käytettävissä tarvittaessa mielivaltaisen pitkä aika (virheenkorjaava kanavakoodi voi kestää hyvin kauan). Teoreema on vain olemassaoloteoreema, eikä konstruktiivinen, ts. se ei kerro miten nuo koodit löydetään. Shannonin 2. teoreema (kanavakoodausteoreema): Olkoon diskreetin muistittoman kanavan kapasiteetti C ja olkoon siihen liitetyllä lähteellä positiivinen informaationopeus R siten, että R < C. Tällöin on olemassa koodi, jota käyttäen lähteen symbolit voidaan siirtää mielivaltaisen pienellä virhetodennäköisyydellä (ts. P E 0) kohinaisen kanavan yli. Seuravaksi määrittellään jatkuvan kanavan kapasiteetti hieman eri tavalla kuin kaavassa C = max[i(x;y)] diskreetille kanavalle. Shannon-Hartley-laki on informaatioteorian tunnetuin kaava.

3 SHANNON-HARTLEY -LAKI S C c = B log N Logaritmin kantaluku = 2! Jatkuvan kanavan kaistanleveys on B Hz ja AWGN-kanavan SNR on S/N. Kaavan C = max[i(x;y)] kapasiteetin yksikkö oli [bittiä/symboli], mutta C c :n [bittiä/sekunnissa]. Voidaan päätellä kaistanleveyden ja lähetystehon (ts. SNR:n) välisen kaupankäynnin mahdollisuus. Kohinattomassa (N = 0) kanavassa SNR = C c = nollasta poikkeavalle äärelliselle kaistanleveydelle! Kohinan läsnäollessa (SNR < ) kapasiteettia ei voida kasvattaa mielivaltaisen suureksi vain kaistanleveyttä lisäämällä! Jos Shannonin raja ylitetään jollakin (E B /N 0,R B,B) -kombinaatiolla, ei ole enää mahdollista saavuttaa mielivaltaisen pientä virhesuhdetta (P E 0) AWGN-kanavassa millään modulaation ja virheenkorjaavan koodauksen yhdistelmällä. Pian osoitetaan, että E B /N 0 täytyy olla aina suurempi kuin 1,6 db (ns. Shannonin vesiputousraja ), jotta P E 0. 3

4 SHANNON-HARTLEY -LAKI 4 P E 0 P E 0

5 ESIMERKKI 5 B log10 log10(2) 6 6 min = = ( ) Hz

6 6 AWGN-KANAVAN KAPASITEETTI ERI PARAMETRISUUNNISTA TARKASTELTUNA Tehon ja kaistanleveyden välinen kaupankäynti

7 C = MAX[I(X;Y)] SNR:N (Z = E B /N 0 :N) FUNKTIONA 7 BSC -kanavan siirtotn. perusteella (BPSK:n P E -arvon) on laskettu kaavan C = max[i(x;y)] kapasiteetti yksiköissä [bit/symb]. Opetus: Kun P E 0, niin C 1

8 KAPASITEETTI VS. SNR KAISTANLEVEYS VAKIO 8 Opetus: Kohinattomassa tilanteessa SNR (E b /N 0 ), jolloin C äärellisellä kaistanleveydellä. Opetus: Jos kohinaa ei olisi, niin kaikki tietoliikenne mahtuisi 1 Hz kaistalle!

9 KAPASITEETTI VS. KAISTANLEVEYS SNR VAKIO 9 Opetus: Vaikka kaista, niin kapasiteettiarvon kasvu saturoituu kohinan vaikuttaessa (SNR << ). Se kasvaisi rajatta, jos SNR =.

10 PARAMETRIEN SNR (E B /N 0 ), W JA C RIIPPUVUUS 10 Opetus: 3D-esitys havainnollistaa parametrien SNR, W ja C välisen riippuvuuden ja järkevän toiminta-alueen.

11 SHANNONIN 1,6 DB:N RAJAN JOHTO 11 Ajatellaan toimittavan kapasiteetirajalla, eli R b = C c. Lasketaan paljonko E B /N 0 :n on silloin oltava, jotta P E 0: 1 S EB Cc EB = STB = S, N = N0B, = C N N B Cc B = log E N c B 0 Cc B E, N B 0 = B C c 2 Cc Cc ln 2 x C B B c e 1+ x, x << 1, B >> C 2 = e 1+ ln 2 B kun B EB ln 2 = 1,6dB, B >> Cc N0 Kun R B = C c, niin E b /N 0 lähestyy arvoa 1,6 db, jos kaistanleveys B kasvaa rajatta. S-H-laki jakaa (E B /N 0,R B /B) -tason kahteen alueeseen. Alueessa R B C c voi P E 0, mutta alueessa R B > C c P E 0 aina. Kiinnostavassa toiminta-alueessa R B < C c tarvitaan vähintään signaaliteho S R B N 0 W ln2, jotta E B /N 0 1,6 db. Tuota aluetta kutsutaan tehorajoitetuksi alueeksi. Cc B 0 1

12 SHANNON-HARTLEY -LAKI (E B /N 0,R B /B) -TASOSSA 12 Normaali toiminta-alue. Tällä alueella voi P E 0. B täällä pieni kaistarajoitettu tapaus. Kaistanleveyttä rajallisesti käytettävissä. Tarvitaan suuri lähetysteho (E B /N 0 ). Tällä alueella P E 0 aina. B täällä suuri tehorajoitettu tapaus. Kaistanleveyttä paljon käytettävissä. Pärjätään pienellä lähetysteholla (E B /N 0 ).

13 TEHORAJOITETUT VS. KAISTARAJOITETUT 13 Teho (SNR) ja kaistanleveys ovat tiedonsiirron kaksi perusresurssia, jotka ohjaavat järjestelmätyypin valintaa. Shannon-Hartley -lain perusteella voidaan päätellä kaupankäynti tehon ja kaistan välillä. Järjestelmät voidaan siis jaotella tehorajoitettuihin ja kaistarajoitettuihin. Tehorajoitettu tilanne on mm. avaruussovellus (satelliitit, alukset, luotaimet). Niissä käytetään aaltomuotoja, jotka ovat signaaliavaruudessa mahdollisimman kaukana toisistaan (esim. ortogonaalinen MFSK tai BPSK), jotta kohinan suuren varianssin vaikuttaessa (suhteessa signaalivektorin pituuteen) voidaan tehdä luotettavia päätöksiä. Tällöin kaistanleveys ei ole ongelma. Tilaajajohtomodeemi on selvästi kaistarajoitettu sovellus. Silloin käytetään aaltomuotoja, jotka ovat 2D-signaaliavaruudessa lähellä toisiaan (esim. QAM, MPSK). Kohinan varianssi kompensoidaan lähetystehoa lisäämällä vektorien välinen euklidinen etäisyys kasvaa, kun amplitudi kasvaa MPSK:n I/Q-diag. säde kasvaa.

14 TEHORAJOITETTU JÄRJESTELMÄ MFSK 14 Vesiputouskäyrät lähestyvät MFSK:n ortogonaalisella modulaatiolla -1,6 db rajaa, kun M, MFSK vastaa efektiivisesi tehokasta virheen korjaavaa koodausta. Myös virheen korjaavan koodauksen ja QAM/MPSK:n yhteisvaikutuksella voidaan lähestyä Shannonin 1,6 db - rajaa. On siis erilaisia keinoja lähestyä rajaa, joko modulaatiolla, tai kanavakoodauksella tai niiden sopivalla yhdistelmällä. Jokainen temppu siirtää laskettavissa olevan db-määrän käyrää vasemmalle koti -1,6 db:n seinämää.

15 KAUPANKÄYNTI P B :N, E B /N 0 :N JA R/W:N VÄLILLÄ (S) 15

16 16 KAISTAN KÄYTÖN TEHOKKUUS M-TILAISILLA MODULAATIOILLA MFSK MPSK & QAM

17 ORTOGONAALINEN VS. MONIVAIHEINEN SIGNALOINTI Normalisoitu suhde R/W jonka yksikkö on [bit/s/hz] kuvaa suhteellista kaistanleveyttä, eli kaistankäytön tehokkuutta. Se riippuu karkeasti ottaen parametriarvosta k = log 2 M ja siitä onko kyseessä MPSK- vai MFSK-modulaatio, ja edelleen siitä onko kyseessä koherentti vai epäkoherentti MFSK (kantoaaltojen taajuusero vaikuttaa R/W-arvoon). Oppikirjoissa esiintyy hieman erilaisia määrittelykaavoja kaistankäytön tehokkuudelle, joten eri lähteistä peräisin olevissa numeroarvoissa ja kuvaajissa saattaa esiintyä pieniä eroja. BPSK 1 bit/s/hz, QPSK 2 bit/s/hz, 8PSK 3 bit/s/hz, 16PSK ja 16QAM 4 bit/s/hz. MFSK:lla se on puolestaan murto-osia, kuten 1/2, 1/3,1/4, jne.. Kun R ja P B pidetään vakioina, MFSK:n kaistanleveys kasvaa (tarvitaan enemmän ortogonaalisia kanto-aaltoja, joilla on sopiva taajuusväli). MFSK vastaa efektiivisesti tehokasta virheen korjaavaa koodausta, mutta paljon huonommalla kaistan käytön tehokkuudella. 17

18 ORTOGONAALINEN VS. MONIVAIHEINEN SIGNALOINTI 18 Kuvaajat on piirretty arvolle P B = 10 5 Yhdellä pistetaajuudella voi toimia kaksi ortogonaalista (sini + kosini) signaalia häiritsemättä toisiaan Kaistanleveystarve ei kasva vaikka signaalien määrä kaksinkertaistuu BPSK ja QPSK saavuttavat saman virhetodennäköisyyden samalla SNR-arvolla, kun verrataan samalla bittinopeudella toimivia järjestelmiä kaistan käytön tehokkuus kaksinkertaistuu ilman lisätehon tarvetta.