Sähköheikon yhtenäisteorian Lagrangen tiheys

Transkriptio

1 Sähköheikon yhtenäisteorian Laranen tiheys Ville Kivioja 30. syyskuuta kandidaatintutkielma JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO FYSIIKAN LAITOS Ohjaaja: Kari J. Eskola 1 kirjoitusvirheitä korjattu. maaliskuuta 014.

2

3 Tiivistelmä Työssä rakennetaan sähköheikon yhtenäisteorian Laranen tiheys lähtökohtana invarianssi lokaaleissa SU L U1 Y -symmetriamuunnoksissa. Laranen tiheys rakennetaan paloittain osista, joiden invarianssi todistetaan. Kokeellisesti havaitut fermionit otetaan teoriaan lähtökohtaisesti massattomina, koska massatermit rikkoisivat invarianssin. Vaatimus invarianssista pakottaa ottamaan käyttöön 4 mittakenttää, joiden lineaarikombinaatioista muodostetaan havaitut vektoribosonit ±, Z ja fotoni. Lisäämällä teoriaan Hisin dupletti rikotaan SU L symmetria spontaanisti, jolloin mittakentät ± ja Z saavat massan, fotonin jäädessä massattomaksi. Tämä on sopusoinnuissa kokeellisten havaintojen kanssa. Hisin dupletti aiheuttaa massan fermioneille Yukawa-kytkennän kautta. Lopputuloksena Laranen tiheys esitetään unitaarimitassa, joka vastaa minimieneriatilaa luonnossa, ja siitä voidaan päätellä teorian fysikaalinen hiukkassisältö sekä eri hiukkasten vapausasteet ja niiden väliset sähköheikot vuorovaikutukset. Abstract In this thesis the Laranian density of the electroweak unification theory is built based on the requirement of an invariance under the local SU L U1 Y symmetry transformations. e build the Laranian piecewise as a sum, and prove each term separately invariant under the chosen symmetry roup. The symmetry requirement forces us to leave fermions without masses and to introduce 4 aue fields from which we combine the observed aue bosons ±, Z and photon. The aue bosons ± and Z and fermions et their experimentally verified masses when the symmetry is broken spontaneously throuh the His mechanism and the Yukawa couplin is used between the His doublet and fermions. As the final result, we have the Laranian presented in the unitary aue, from which the particle content of the theory, derees of freedom and electroweak interactions between the particles in nature can be read off. Zusammenfassun In dieser Arbeit erstellen wir, mit Invarianzen in lokalen SU U1 Symmetrietransformationen als Ausanspunkt, die Larane-Dichte der elektroschwachen Theorie. Die Larane-Dichte wird teilchenweise erstellt, und die Invarianzen diesen Teilchen werden etrennt beweist. Die Invarianzen führen uns zu vier Eichtbosonen, die wir mit dem beobachtbaren Eichtbosonen ±, Z und Fotonen, indirekt verbinden können. Die erforderliche Eichsymmetrie verbietet die Fermionen ein Masseterm zu haben. Dieses Problem wird durch Einsetzunen vom His-Feld in die Larane-Dichte elöst. Durch das His-Mechanismus wird nämlich die spontane Symmetriebrechun sich bestätit und führt zur Masse für Eichbosonen ± und Z. So ist die Situation auch für Fermionen, wenn wir die Yukawa- Kopplun annehmen. Das Ziel dieser Arbeit ist die Larane-Dichte in dem neuen Grundzustand, nach der spontanen Symmetriebrechun, in ihrer Gänze zu schreiben. Davon kann man z.b. die echselwirkunen zwischen verschiedenen Partikeln herausfinden. i

4 Sisältö 1 Johdanto Esitietoja, merkintöjä ja käytänteitä Laranen tiheydestä Esimerkki mittasymmetriasta: kvanttielektrodynamiikka Teorian rakentamisen lähtökohdat Mittasymmetrian idea GS-teorian perustaa: Fermionit 1.1 Kovariantti derivaatta yleisesti Fermioni-Laranen invarianssi Fermioni-Laranen lasku auki Leptoniosa Kvarkkiosa Eksplisiittiset massatermit Spontaani symmetriarikko: Hisin mekanismi Hisin dupletti Mittabosonien massat Fermionien massat: Yukawa-kytkennän invarianssi Yukawa-kytkentätermi unitaarimitassa Leptonit ja alakvarkit Neutriinot ja yläkvarkit Mittakenttien vuorovaikutukset Kenttätensorien mittainvarianssi Kenttätensorien auki laskeminen Lopputulos Vertailua muihin lähteisiin Yhteenvetoa: Miksi tulos on hieno? A Matemaattinen aputulos 47 B His-osan kineettisen termin auki laskeminen 48 C Procan Laranen tiheys 50 D Mittakenttien A i µ muuntuminen 51 Jos olisin ollut paikalla kun Jumala loi maailman, olisin saattanut suositella jotain yksinkertaisempaa. Alfonso X Viisas, Kastilian kuninas, ii

5 1 Johdanto Sähköheikko yhtenäisteoria, toiselta nimeltään Glashow Salam einber-teoria lyhyesti GS-teoria, on teoria, joka kuvaa yhdessä sähkömaneettisia vuorovaikutuksia ja nk. heikkoa ydinvuorovaikutusta. Kuten aikoinaan J.C. Maxwell yhdisti sähkön ja manetismin yhdeksi sähkömanetismin teoriaksi, yhdistää GS-teoria samaan vielä heikon ydinvuorovaikutuksen. Sähkömanetismi ja heikko ydinvuorovaikutus osoittautuvat sitä kautta olevan vain eri puolia nk. sähköheikosta vuorovaikutuksesta. Teoria on saanut nimensä fyysikoiden Sheldon Glashow, Abdus Salam ja Steven einber mukaan, jotka saivat siitä fysiikan Nobelin palkinnon vuonna 1979, kun teorian ennustama Z-mittabosoni löydettiin kokeellisesti. GS-teoria on perustavanlaatuinen hiukkasfysiikan yhtenäisteoria, joka muodostaa pääosan nk. hiukkasfysiikan standardimallia. Standardimalli kuvaa sähköheikon vuorovaikutuksen lisäksi vahvaa ydinvuorovaikutusta, joskin täysin erillisenä sähköheikosta vuorovaikutuksesta, minkä vuoksi sitä ei voida pitää samalla tavalla yhtenäisteoriana. Yhtenäisteoriaa, joka kuvaisi myös vahvaa ydinvoimaa, ei tällä hetkellä ole. Aihetta tutkitaan tällä hetkellä laajalti, ja fyysikot kutsuvat sellaista mahdollista teoriaa suureksi yhtenäisteoriaksi enlanniksi Grand Unified Theory. Tässä työssä käsittelemme standardimallista vain sähköheikon yhtenäisteorian osaa jättäen pois vahvan ydinvoiman, nk. kvanttiväridynamiikan lyhyesti QCD, enlanniksi Quantum chromodynamics käsittelyn. Sen tarkastelu GS-teorian lisäksi ei toki olisi pitkä eikä hankala työ, mutta se on kuitenkin erillisyytensä vuoksi tässä helppo rajata pois. Suurin osa standardimallin hankalista osista mittakenttätensorien nelivuorovaikutuksineen, Hisin mekanismeineen ja Yukawa-kytkentöineen kuuluu GS-teorian puolelle, ja siksi tätä työtä voi pitää lähes kattavana esityksenä myös koko standardimallin Laranen tiheyden muodostamisesta. Puuttuva QCD-osa on esitelty esimerkiksi monisteessa [1, s Aivan viime aikoina on standardimalli saanut runsaasti julkisuutta, kun sen ennustaman Hisin bosonin olemassaoloa pidetään juuri tätä kirjoitettaessa melko vakuuttavasti vahvistettuna [8, 9. Tässä työssä käsitellään tarkasti Hisin kentän olemassaolon ennustava Hisin mekanismi. Kyseinen mekanismi on standardimallin elinehto, sillä sen vuoksi hiukkaset saavat massansa, jota ne eivät suoraan voisi saada rikkomatta mittasymmetriaa. Hisin mekanismi aiheuttaa teoriaan nk. spontaanin symmetriarikon, minkä jälkeen massatermit ovat mahdollisia. Tämä työ etenee kohti standardimallin, tai tarkemmin GS-teorian, Laranen tiheyttä, lähtökohtana yleiset mittasymmetriaperiaatteet. Ideoita tähän etenemiseen saatu paljon luentomonisteesta [1. Lopputulos on tarkistettu erityisesti vasten lähdettä [4, jota on käytetty yhtenä lähteenä myös monisteessa [1. Työ sisältää paljon laskuja, alebraa kentillä. Näissä on välivaiheita dokumentoitu melko tarkasti, tavoitteena, että lukija pystyy juurikaan tekemättä omia muistiinpanoja vakuuttautumaan välivaiheiden oikeellisuudesta. Tulos siis esitellään välivaihei- 1

6 neen, ja nämä välivaiheet eivät monestikaan ole kovin itsestäänselviä, vaan sisältävät sekä fysikaalisia ideoita että klassisen kenttäteorian matemaattista formalismia. 1.1 Esitietoja, merkintöjä ja käytänteitä Käydään seuraavassa läpi eräitä käytettäviä matemaattisia käsitteitä ja niihin liittyviä esitietoja antaen käsitteiden määritelmät ja kertoen käytänteistä. Käytössä on koko ajan luonnolliset yksiköt, jolloin dimensiottomia luonnonvakioita ovat Planckin vakio = 1 ja valon nopeus c = 1. Kolmenlaista eri looisen merkityksen omaavaa merkintää on käytetty lausekkeiden yhtäsuuruuden ilmaisemiseen. Merkki = luetaan, kuten tavallista, on yhtä suuri kuin. Merkki. = luetaan merkitään/määritellään. Merkki luetaan edellä esitetyn määritelmän mukaan tai tarkoittaa samaa kuin, erotuksena edelliseen se, että määritelmää ei tehty merkin kohdalla. Yksikkö-operaattoria merkitään I, ja jos kyseessä on n n yksikkömatriisi, niin merkitään I n. Lorentz-indekseille µ, ν,... {0, 1,, 3} käytetään Einsteinin summaussopimusta, ja toistuvan latinalaisen indeksin i, j,... {1,, 3} yli on myös aina summaus. Nelivektoria C luonnehtivat sen kontra- tai kovariantit komponentit, joiden yhteys on C µ = µν C ν, missä µν on metrinen tensori. Tärkeä, tässä työssä monesti ja yleensä erikseen mainitsematta käytettävä havainto on, että nelivektorien A ja C kontraktiolle pätee A µ C µ = A µ νµ C ν = A ν C ν = A µ C µ. 1 Nelivektorin toiselle potenssille käytetään lyhennysmerkintää C µ. = Cµ C µ 1 = C µ C µ. Edelleen luonnollisesti merkintä toimii siten, että Z µ A µ Z µ A µ Z ν A ν ja toisaalta Z µ A ν Z µ A ν Z µ A ν = Z µ A ν. Ryhmäteoriasta Olkoon G joukko. Laskutoimitus joukossa G on kuvaus f : G G G. Ryhmä on assosiatiivisella laskutoimituksella f varustettu joukko G, f, jossa on neutraalialkio ja kaikille alkioille käänteisalkiot. Olkoon joukot u1. = {c C c c = 1} ja su. = {M GL, C M M = I, det M = 1},

7 missä GL, C on kaikkien kääntyvien -matriisien joukko, joiden alkiot ovat kompleksilukuja. Varustamalla joukko u1 tavallisella kompleksilukujen kertolaskulla, saadaan ryhmä U1. Vastaavasti varustamalla joukko su matriisitulolla, saadaan ryhmä SU. Nämä ovat kaksi ryhmää, joita tässä työssä tarkastellaan. Olkoon matriisit X i, missä i {1,,..., n} ja G ryhmä. Jos kaikille G on olemassa järjestetty reaalilukujoukko k 1, k,..., k n siten, että = e ik ix i niin X i :t ovat ryhmän G eneraattorit. Oletetaan tunnetuksi tulos, että ryhmille SU ja U1 on olemassa eneraattorit: Ryhmän U1 eneroi triviaalisti luku 1 C. Ryhmän SU eneroivat Paulin spin-matriisit σ i, jotka ovat σ 1 = [ σ = [ 0 i i 0 σ 3 = [ On suoraviivaista tarkistaa [5, s , että Paulin spin-matriisit toteuttavat seuraavat kommutaatio- ja antikommutaatiosäännöt [σ i, σ j = iɛ ijk σ k ja {σ i, σ j } = δ ij I, 4 missä symboli ɛ ijk on täysin antisymmetrinen Levi-Civita-symboli, jonka kaikkien komponenttien arvot kiinnittyvät asettamalla ɛ 13 = 1. Näitä tuloksia hyödynnetään useasti tämän työn aikana. Kenttäteoriasta φ = φx µ C n. Kenttä on kuvaus Minkowskin avaruusajasta kompleksiluvuille, i Skalaarikenttä on kenttä, jonka ainoan komponentin arvo ei riipu käytetystä Minkowskin avaruusajan koordinaatistosta. ii Mittakenttä tai vektorikenttä on kenttä, jolla on neljä komponenttia, esim A µ missä µ {0, 1,, 3}, ja joka muuntuu koordinaattimuunnoksessa x µ x µ siten, että muunnetut komponentit ovat A µ = xν x µ A ν. iii Spinori on sen vektoriavaruuden alkio, jossa Diracin γ-matriisit operoivat. Diracin γ-matriisit γ µ µ {0, 1,, 3} karakterisoi antikommutaatiosääntö, nk. Cliffordin alebra [, s. 40 {γ µ, γ ν } = µν I. 5 Spinorikenttä on kuvaus Minkowskin avaruusajasta spinoreille. Spinorin ψ konjuaattispinorille käytetään merkintää ψ. = ψ γ 0. 3

8 Vektorikenttien yhteydessä käytetään nk. Feynmanin slash-merkintää /A. = γ µ A µ. 6 Jokaiseen kenttään liitetään sähkömaneettinen varaus Q SM alkeisvarauksen monikertoina. Esimerkiksi elektronin varauksen ollessa q, missä q on alkeisvaraus, on elektronin spinorille Q SM = 1. Kaksi kenttää φ 1 ja φ voidaan järjestää symbolisesti pystyvektoriksi φ 1, φ. Liitetään tällaisen vektorin ensimmäiseen komponenttiin kvanttiluku T = 1/ ja jälkimmäiseen T = 1/. Jos vektorin molemmilla komponenteilla on sama kvanttiluku Y. = Q SM T, 7 niin sanotaan, että kyseessä on dupletti ja Y on dupletin heikko hypervaraus. Heikko hypervaraus liitetään myös kenttiin ilman duplettia, eli sinletteihin, sopimuksella Y = Q SM. 8 Fysikaalisen kenttäteorian määrää täsmälleen teorian Laranen tiheys, joka on funktio kentistä ja niiden neliderivaatoista: L = Lφ, µ φ. Teorian ennustama klassinen dynamiikka 3 seuraa siitä, että oletamme kaikille teorian riippumattomille kentille φ i Eulerin Laranen yhtälön, L µ L = 0, 9 µ φ i φ i olevan voimassa. Näin siis kaikki teorian informaatio sisältyy sen Laranen tiheyteen. Teorian Laranen tiheydestä Eulerin Laranen yhtälöillä johdettuja yhtälöitä sanotaan teorian liikeyhtälöiksi. Mittamuunnos U on kenttiä koskeva operaatio φ U φ. Sanotaan, että Laranen tiheys L on invariantti muunnoksessa U, jos Lφ, µ φ = L φ, µ φ. Tällöin teorialla on mittasymmetria eli mittainvarianssi muunnoksen U suhteen. Tämä on nk. heikon isospinin z-komponentti. Kirjallisuudessa usein merkintä on T 3. 3 Kvanttikenttäteoriassa, jollainen GS-teoria toki lopulta on, otetaan huomioon muutkin kenttien konfiuraatiot dynamiikkaa laskettaessa. 4

9 1. Laranen tiheydestä Otamme tässä työssä lähtökohdaksi seuraavaa vapaille vuorovaikuttamattomille kentille: i Reaalisen skalaarikentän φ, jonka massa on m, Laranen tiheys on L 0 = 1 µφ µ φ 1 m φ. 10 ii Kompleksisen skalaarikentän ϕ, jonka massa on m, Laranen tiheys on L 1 = µ ϕ µ ϕ m ϕ ϕ. 11 iii Reaalisen vektorikentän A µ, jonka massa on m, Laranen tiheys on missä F µν. = µ A ν ν A µ. L = 1 4 F µνf µν 1 m A µ A µ, 1 iv Kompleksisen vektorikentän H µ, jonka massa on m, Laranen tiheys on missä R µν. = µ H ν ν H µ. L 3 = 1 R µνr µν m H µ H µ, 13 v Spinorikentän ψ, jonka massa on m, Laranen tiheys on L 4 = iψγ µ µ ψ mψψ. 14 Ylläolevien lähtökohtien motivoimiseksi todetaan sen verran, että kyseiset Laranen tiheydet antavat kullekin kentälle toimivaksi todetut liikeyhtälöt: 9 L 0 = µ µ m φ = 0 L 1 9 = µ µ m ϕ = 0 L 9 = µ F µν m A ν = 0 L 3 9 = µ R µν m H ν = 0 L 4 9 = iγ µ µ ψ mψ = Toisin sanoen, Laranen tiheydet L 0 ja L 1 johtavat nk. Klein Gordon-yhtälöön, joka kuvaa spin-0 hiukkasta. Laranen tiheyksien L ja L 3 antamia yhtälöjä voidaan pitää klassisen elektrodynamiikan Maxwellin yhtälöjen yleistyksenä massalliselle fotonikentälle 4. Lisäksi L ja L 3 johtavat selvästikin Klein Gordon-yhtälöön kullekin 4 Näin siksi, että asetettaessa m nollaksi ja F µν Maxwellin kenttätensoriksi, saadaan tyhjiön Maxwellin yhtälöt E = 0 ja B = E t. 5

10 kenttäkomponentille Lorenzin mittaehdon µ A µ = 0 ollessa voimassa. Laranen tiheyden L 4 antama liikeyhtälö tunnetaan Diracin yhtälönä, joka on tämänkin työn eräs tärkeä kulmakivi. Perustellaan malliksi väitteistä 15 keskimmäinen, L :ta koskeva väite liitteessä C. Muiden käsittely on hyvin samankaltainen, mutta asiaan ei paneuduta tässä työssä enempää. Edellä luetelluissa Laranen tiheyksissä on kaikissa kaksi termiä, joita kutsumme nimillä kineettinen termi ja massatermi tässä järjestyksessä. Tärkeää tässä työssä on kiinnittää huomiota suhteellisiin kertoimiin massatermin ja kineettisen termin välillä. Liikeyhtälö 9 ei toki muutu, jos koko Laranen tiheyttä kertoo vakiolla, mutta suhteellinen ero kertoimissa merkitsee. Lausuttaessa esimerkiksi heikon neutraalivirran välittäjähiukkasen massa standardimallin vapaiden parametrien avulla luvussa 3., käytämme tätä havaintoa. 1.3 Esimerkki mittasymmetriasta: kvanttielektrodynamiikka Kvanttielektrodynamiikka lyhyesti QED, enlanniksi Quantum electrodynamics on esimerkki teoriasta, jonka Laranen tiheys rakennetaan lähtökohtana mittasymmetria. QED:n käsittely ei ole varsinaisesti ole tarpeen standardimallin Laranen tiheyden rakentamiseksi. Ainoa mitä todella tarvitsemme, on tieto, että QED:n Laranen tiheys on [3, s. 136 missä F µν. = µ A ν ν A µ. L QED = 1 4 F µνf µν iψγ µ µ ψ mψψ qψγ µ A µ ψ, 16 Otamme tunnettuna tuloksena, että Laranen tiheys 16 kuvaa sähkömaneettisia vuorovaikutuksia. Kyseessä on spin- 1 -fermionin esimerkiksi elektronin, jota kuvaa spinori ψ ja jonka sähkövaraus on q, vuorovaikutus fotonikentän kanssa, jota kuvaa mittakenttä A µ. Koska tavoitteenamme on rakentaa yhtenäisteoria, tulee lopullisen Laranen tiheyden standardimallille antaa samat vuorovaikutukset, toisin sanoen GS-teorian Laranen tiheydessä tulee olla myös termi qψγ µ A µ ψ. Täten yhdistämme kvanttielektrodynamiikan muiden hiukkasfysiikan heikkojen vuorovaikutuksien ilmiöiden kanssa yhteen teoriaan. Edellä mainitut tiedot riittävät standardimallin käsittelyyn. Käsittelemme QED:tä kuitenkin seuraavassa tarkemmin toisesta syystä: QED:n Laranen tiheyden muodostaminen mittasymmetrioiden avulla antaa esimakua siitä, mitä tässä työssä tehdään standardimallin kanssa. Standardimallin Laranen tiheyden muodostaminen vaatii paljon pitkiä laskuja, joiden lomassa kantava perusidea saattaa hukkua yksityiskohtiin. QED:ssä on sama kantava idea, mutta matematiikan ollessa erittäin yksinkertaista jää sen käsittelystä lukijalle ehkä ajatus, mitä standardimallin kanssa yritetään tehdä. Toki spontaanin symmetriarikon käsite ei QED:ssä esiinny lainkaan, 6

11 joten se on ymmärrettävä standardimallin yhteydessä joka tapauksessa. Käsittelyn idea on tässäkin peräisin luentomonisteesta [1. Lähtökohdaksi otamme, että kuvaamme vapaata massallista fermionia spinorilla ψ, jolloin tiedämme sen Laranen tiheyden olevan 14, eli L 4. = mψψ iψγ µ µ ψ. 17 Toinen tärkeä lähtökohta, tai idea, on vaatia QED:n Laranen tiheydeltä lokaali U1-invarianssi, toisin sanoen vaaditaan, että L QED on invariantti muunnoksessa U = e iαxµ U1, missä αx µ R. Massatermi mψψ Laranessa 17 on triviaalisti invariantti. Kineettinen termi kuitenkaan ei ole, vaan se muuntuu siten, että iψγ µ µ ψ U iuψγ µ µ Uψ = iuψ γ 0 γ µ µ Uψ U µ ψ = iψe iαxν γ µ µ iαx ν e iαxν ψ e iαxν µ ψ = iψγ µ µ iαx ν ψ iψγ µ µ ψ. Tässä jälkimmäinen termi olisi oikea, mutta ensimmäinen termi rikkoo invarianssin. Idea on, että lisäämällä Laranen tiheyteen 17 sopiva termi, saataisiin se invariantiksi U1-muunnoksessa. Yritetään tehdä tämä vaihtamalla kineettiseen termiin. derivaatan µ paikalle nk. kovariantti derivaatta D µ = µ A µ, missä A µ on vektorikenttä. Tämä vektorikenttä voidaan asettaa muuntumaan muunnoksessa U halutulla tavalla, jolloin kovariantti derivaatta muuntuu valinnan mukaisesti D µ D µ. Kentälle A µ halutaan valita sellainen muunnoslaki, että toteutuisi D µ ψ UD µ ψ, koska tällöin uusi kineettinen termi pysyy invarianttina: iψγ µ D µ ψ U iψ γ µ D µψ = iuψγ µ UD µ ψ = iψγ µ D µ ψ. Vektorikentän A µ muunnoslaki ratkeaa siis vaatimuksesta, että kaikilla ψ pätee D µψ = UD µ ψ µ A µuψ = U µ A µ ψ µ Uψ U µ ψ A µuψ = U µ ψ UA µ ψ A µuψ = UA µ ψ µ Uψ A µu = UA µ µ U A µ = UA µ U 1 µ UU Olemme siis todenneet, että Laranen tiheys L 4. = mψψ iψγ µ D µ ψ, missä D µ µ A µ, 7

12 on invariantti lokaalissa U1-muunnoksessa U = e iαxµ, kunhan vektorikenttä A µ muunnoslaki on 18, toisin sanoen A µ A µ i µ αx ν. Päätyäksemme tästä QED:n Laranen tiheyteen 16, tulisi seuraavaksi perustella klassisen elektrodynamiikan avulla, että vektorikenttä. õ = i q A µ kuvaa fotonikenttää, jonka kineettinen termi F µν F µν on myös invariantti lokaaleissa U1-muunnoksissa. Näiden vaiheiden läpikäyminen ei kuitenkaan enää palvele tämän luvun tarkoitusta. Johtopäätöksenä idea muuntaa vapaan fermionikentän Larane mittainvariantiksi antoi syyn ottaa käyttöön uusi vektorikenttä, joka osoittautui kuvaavan fotonikenttää. Tämän vektorikentän muunnoslaki määräytyi mittainvarianssista. Samalla tavalla standardimallissa idea on muuntaa vapaan fermionikentän Larane invariantiksi tietyssä SU L U1 Y -muunnoksessa, ja tämä antaa syyn ottaa käyttöön 4 mittakenttää, joiden lineaarikombinaatioista muodostetaan havaitut mittakentät fotonille sekä ± - ja Z-bosoneille. Eräänä huomionarvoisena erona on se, että kun QED:ssä massatermi oli triviaalisti invariantti, standardimallissa se rikkoo invarianssin. Siksi lähtökohtana ovat massattomat fermionikentät, jotka sitten Hisin mekanismin kautta saavat massan. 1.4 Teorian rakentamisen lähtökohdat GS-teorian rakentamista ohjaa pyrkimys yhtenäisteoriaan, joka ennustaa oikein valmiiksi kokeellisesti tunnetut tosiasiat. Voimme ottaa siis annettuna, että on olemassa ainakin seuraavat hiukkaset: i 3 varauksellista leptonia e, µ, τ, joiden kaikkien sähkövaraus on sama, alkeisvaraus q. ii 3 varauksetonta neutriinoa ν e, ν µ, ν τ. Neutriinoilla ei koetulosten mukaan ole oikea-kiraalista komponenttia, toisin kuin muilla fermioneilla. iii 6 kvarkkia u, d, c, s, t, b, joilla on myös sähkövaraus. iv Kaikilla edellisillä, siis kaikilla fermioneilla, on antihiukkasensa. v Varaukseton fotoni, jota kuvaa mittakenttä A µ = ϕ, A, missä ϕ ja A vastaavat klassisen elektrodynamiikan skalaari- ja vektoripotentiaalia 5. vi Varauksellinen mittakenttä µ ja vastakkaisvarauksellinen antihiukkanen µ. Nämä ovat heikon varatun virran välittäjähiukkaset. vii Varaukseton mittakenttä Z µ, heikon neutraalivirran välittäjähiukkanen. Näistä fotonien ja varattujen massallisten fermionien vuorovaikutuksia kuvaava QED pitää saada GS-teorian erikoistapauksena. 5 Siinä mielessä vastaavat, että klassista polkua pitkin ne ovat. Muita kvanttikenttäteoriassa huomiotavia polkuja pitkin eivät kylläkään ole. 8

13 Näiden lisäksi ainoa toinen tässä työssä käytettävä lähtökohta on idea mittainvarianssista. Teorian Laranen tiheyden tulee olla invariantti muunnoksissa U SU L U1 Y. Näitä muunnoksia käsitellään tarkasti luvussa 1.5, joten selitys ohitetaan toistaiseksi. Kyse on kuitenkin vastaavasta mittasymmetriasta kuin QED:n yhteydessä vaadittu lokaali U1 EM -symmetria. Pyrkimyksenä on rakentaa mittainvariantti Laranen tiheys paloittain muodossa: missä L = L F L Φ L KT L Yukawa, 19 i L F sisältää massattomien fermionien kineettiset termit, sekä antaa kovarianttien derivaattojen kautta vuorovaikutukset fermionien ja mittakenttien välillä. Käsittely luvussa.3. ii L Φ sisältää Hisin dupletin kineettisen ja itseisvuorovaikutuksen termit, sekä antaa kovariantin derivaatan kautta mittakentille massat ja vuorovaikutuksien voimakkuudet Hisin kentän kanssa. Käsittely luvuissa 3.1 ja 3.. iii L KT sisältää kovariantin derivaatan luomien mittakenttien kenttätensorien kontraktiot, eli termit, jotka ovat analoisia QED:n F µν F µν :n kanssa. Mittakentäthän on lisätty Laraneen L F :ssä lähtökohtaisesti vuorovaikuttamaan fermionien kanssa, ja ne saivat massan L Φ :n myötä, joten niille on vielä lisättävä kyseiset kontraktiotermit ks. luku 1.. Käsittely luvussa 4. iv L Yukawa sisältää fermionien ja Hisin dupletin vuorovaikutukset, joka osoittautuu Hisin mekanismin kautta mittainvariantiksi tavaksi saada aikaan kvarkeille ja varauksellisille leptoneille massatermit. Neutriinot jäävät massoja vaille. Käsittely luvussa 3.4. Tällä tavoin tarkastelemme jatkossa summan 19 termejä erikseen, lähtökohtina lausekkeet 35, 64, 74 ja Mittasymmetrian idea Tämän luvun tarkoituksena on selvittää, mitä tarkoitetaan sillä, että GS-teorian lähtökohta on idea SU L U1 Y -mittasymmetriasta. Ryhmän SU L merkityksen selvittämiseksi pitää ymmärtää, mitä ovat spinorien vasen- ja oikeakiraaliset komponentit. Näiden ymmärtämiseksi aloitetaan projektio-operaattorien käsittelyllä: Projektio-operaattori on spinoreihin operoiva operaattori P L. = 1 I γ5 ja P R. = 1 I γ5, 9

14 missä viides γ-matriisi γ 5 on γ 5. = iγ 0 γ 1 γ γ 3, 0 joka on hermiittinen, antikommutoi kaikkien Diracin γ-matriisien kanssa ja toteuttaa yhtälön γ 5 = I, kuten todetaan kirjassa [, s. 50. Todistetaan seuraavaksi muutamia helpohkoja aputuloksia projektio-operaattorille, joita käytetään tässä työssä useassa kohtaa, välillä erikseen mainitsemattakin: P L = P L ja P R = P R 1 P L P R = P R P L = 0 P L P R = I 3 P L γ µ = γ µ P R µ {0, 1,, 3}. 4 Todistus. 1: Molemmille kätisyyksille K = R ja K = L on P K = 1 4 I ± γ5 = 1 4 I ± γ 5 γ 5 = 1 4 I ± γ 5 I = 1 I ± γ5 = P K. : Suoraviivaisesti P R P L = 1 4 I γ5 I γ 5 = 1 4 I γ5 = 1 4 I γ5 I γ 5 = P L P R = 1 4 I γ5 = 1 I I = : Selvä. 4: Käyttäen määritelmää 0 on 1 I ± γ5 γ µ = 1 Iγµ ± γ 5 γ µ = 1 γµ I γ µ γ 5 = 1 γµ I γ 5. Projektio-operaattorien avulla voidaan muodostaa kaikille fermioneille dupletit 6 [ [ [ νel νµl ντl e L [ ul d L µ L [ cl s L τ L [ tl b L. 5 Tässä esimerkiksi ν el on elektronin neutriinon spinorin vasenkiraalinen komponentti, merkitään P L ν e. = νel 10

15 Kenttä Q SM T Y l L -1 1/ -1 ν l,l 0 1/ -1 l R u i,l /3 1/ 1/3 d i,l 1/3 1/ 1/3 u i,r /3 0 4/3 d i,r 1/3 0 /3 φ 1 1/ 1 φ 0 0 1/ 1 Taulukko 1: Eri kenttien sähkömaneettiset varaukset, heikon isospinin z- komponentit ja hypervaraukset. ja muut vastaavasti. Käytetään vastaisuudessa merkintää l leptonin ja ν l sen neutriinon spinorista, siis l {e, µ, τ}. Taulukosta 1 voidaan lukea fermionien sekä luvussa 3.1 käyttöön otettavan Hisin dupletin kenttien φ ±, φ 0 hypervaraukset kaavan 7 mukaan. Siitä nähdään, että ehdotetut dupletit 5 ovat todella dupletteja, eli niiden hypervaraus on yksikäsitteinen. Leptonien oikeakiraalisia komponentteja emme aseta duplettiin, vaan spinorit kuten e R esiintyvät sellaisenaan standardimallin formalismissa. Tämä idea juontaa juurensa siihen, että neutriinoilla ei ole havaittu olevan oikeakiraalisia komponentteja [1. Näillä tiedoilla voidaan jo määritellä SU L U1 Y -muunnos: Määritelmä Olkoon paikan reaaliarvoiset C -funktiot β, α i, missä i {1,, 3}. Määritellään muunnokset U L. = exp i σi α i x SU L ja U Y. = exp i Y K f βx U1 Y, 6 missä U L on dupletteihin operoiva matriisi, joka kuuluu ryhmään SU, koska se on rakennettu SU:n eneraattoreilla. Näiden matriisien joukosta käytetään myös merkintää SU L muistutukseksi siitä, että ne operoivat nimenomaan spinorien vasenkiraalisiin komponentteihin. Operaattori U Y taas operoi kaikkiin spinorikomponentteihin ja skalaarikenttiin siten, että Yf K saa kyseiseen kenttään f liitetyn varauksen arvon Y kun K = L tai K = R sen mukaan kummasta on kyse. Määritelmän seurauksena U Y U1. Muistutukseksi siitä, että operointi liittyy operoitavan spinorin hypervaraukseen, käytetään näiden operaattorien joukolle merkintää U1 Y. Molemmat muunnokset U L ja U Y indusoivat lisäksi muunnokset vektorikentille. Nämä muunnokset määritellään sopivasti siten, että saadaan muodostettua kovariantti derivaatta analoisesti QED:n kanssa, missä muunnos oli nk. heikko-isospin- 1 -dupletit. 11

16 GS-teorian perustaa: Fermionit.1 Kovariantti derivaatta yleisesti Samasta syystä kuin QED:n yhteydessä luvussa 1.3 totesimme, vapaita fermioneja kuvaava kineettinen termi ψγ µ µ ψ ei sinänsä ole invariantti muunnoksessa U SU L U1 Y. Kuten luvussa 1.3, pitää nytkin rakentaa kovariantti derivaatta D µ uusien vektorikenttien avulla, joiden muunnoslait valitaan sopiviksi. Tämän rakennamme ja todistamme kovariantiksi luvussa.. Sitä ennen todistetaan eräs kovarianttia derivaattaa koskeva tulos mahdollisimman yleisesti ja vedotaan tähän sitten myöhemmin useaan kertaan: Olkoon U lokaali mittamuunnos, joka operoi kenttään skalaari-, vektori-, tai spinorikenttään φ. Määritellään operaattori D µ. = I µ iaic µ X, missä C µ :t ovat paikan funktioita mahdollisesti matriiseja ja X on operaattori, joka ei muunnu muunnoksessa U ja kommutoi muunnoksen kanssa. Tällöin, jos funktiot C µ muuntuvat muunnoksessa U siten, että niin pätee C µ U C µ = UC µ U 1 i a µuu 1, D µ φ U D µφ = UD µ φ. Todistus. Suora lasku perustelee väitteen D µ φ = I µ iai C µ X Uφ I µ iai C µ X Uφ I µ iai UC µ U 1 ia µuu 1 X Uφ = I µ Uφ iai UC µ φ i a µuφ XUφ = I µ Uφ iai UC µ φ I µ Uφ XUφ = I U µ φ iai UC µ φ UXφ = U I µ iai C µ X φ UD µ φ. Tämän tuloksen avulla kineettisten termien invarianssi voidaan nyt todeta yksinkertaisella menetelmällä. Käytetään tulosta seuraavaksi todistamaan fermioni-laranen L F mittainvarianssi ja myöhemmin Hisin mekanismin käsittelyssä L Φ :n kovariantteja derivaattoja sisältävän osan mittainvarianssi. 1

17 . Fermioni-Laranen invarianssi Tässä luvussa todistetaan GS-teorian Laranen tiheyden fermioninen osa invariantiksi. Tämä tehdään spesifiomalla kovariantiksi derivaataksi sellainen, jolla on edellisessä luvussa mainitut muunnosominaisuudet. Koko fermioninen osa GSteorian Laranen tiheyttä voidaan muodostaa summana yli kaikkien leptoni- ja kvarkkiperheiden. Näiden kaikkien mittainvarianssin todistus on sama, joten teemme sen nyt leptoneille: Laranen tiheys L F,l. = i l=e,µ,τ [ [ νl,l l L γ µ Dµ l,l νl,l l L l R γ µ D l,r µ l R, 7 missä kovariantit derivaatat ovat D l,l µ. = I µ i σi Ai µ i Y l L B µi ja Dµ l,r. = µ i Y l R B µ, 8 mittakenttien muun- on invariantti muunnoksessa U = U L, U Y SU U1 Y tuessa samalla siten, että 7 σ i A i µ U L σ i A i µ = U L σ i A i µu 1 L i µu L U 1 L 9 U ja B Y µ B µ = B µ i Yf K µ U Y U 1 Y. 30 Huomaa, että kentän B µ muunnoslaki riippuu vakion Yf K osalta siitä, kummassa kovariantissa derivaatassa se on. Merkki K on fermionin kätisyys L/R. Yllä olevat mittakentät ja niiden muunnoslait on määritelty teorian mittasymmetrian takaamiseksi, luvun.1 mukaisesti. Todistus. Tehdään siis muunnos U = U L, U Y SU L U1 Y. Tämä voidaan tehdä kahdessa osassa, sillä muunnokset kommutoivat. Syy on yksinkertaisesti se, että matriisitulo ja kompleksiluvulla kertominen kommutoivat keskenään. Tehdään ensin SU L muunnos U L. Jälkimmäinen termi Laranessa 7 on silloin triviaalisti invariantti, koska U L muunnos ei sitä koske. Käsitellään ensimmäistä termiä käyttäen merkintää Riittää osoittaa, että ψ l,l. = [ νl,l l L. D l,l µ ψ l,l U L D l,l µ ψ l,l = U L D l,l µ ψ l,l, 31 7 Huomio: Mittakentille A i µ kyseessä on hyvin määritelty muunnoslaki, vaikka tässä onkin spesifioitu muunnoslaki kombinaatiolle σ i A i µ. Perustellaan tätä liitteessä D. 13

18 koska tällöin olisi 8 ψ l,l γ µ Dµ l,l ψ l,l = ψ l,l U γ µ U L Dµ l,l ψ l,l = ψ l,l γ µ U U L Dµ l,l ψ l,l = ψ l,l γ µ Dµ l,l ψ l,l eli saataisiin invarianssi. Edellisessä seurasi siitä, että ψ l,l ψ l,l γ0 ψ l,l γ0 Uψ l,l γ 0 = ψ l,l U γ 0 ψ l,l U. Väitteen 31 antaakin tulos, jonka todistimme edellä luvussa.1, koska D l,l µ täyttää kyseisen aputuloksen oletukset kun valitaan C µ = σ i A i µ, a = ja X = i Y f L B µi. 3 Tehdään sitten U1 Y muunnos U Y, jolloin molemmat termit muuntuvat hypervarausta vaille samoin. Täsmälleen samasta syystä kuin edellä, riittää osoittaa analoisesti 31:n kanssa, että D l,k µ ψ l,k = U Y D l,k µ ψ l,k, missä laajennettiin edellä käyttöön otettua merkintää siten, että ψ l,r takaa jälleen luvun.1 tulos, kun valitaan nyt B µ = C µ ja a = Yf K ja oikeakiraalisessa tapauksessa vielä edellisten lisäksi. = lr. Tämän 33 kovariantin derivaatan määritelmän 8 mukaisesti. X = i σi Ai µ 34 Huomaa, että kuten QED:n tapauksessa luvussa 1.3, on Laranen tiheys L F tietyllä tapaa yksinkertaisin mahdollinen. Lähtökohtana on ollut vapaan fermionin kineettinen termi iψγ µ µ ψ, koskien molempia kiraalisuuskomponentteja. Tähän on korvattu derivaatta sopivalla kovariantilla derivaatalla, jotta termi saataisiin invariantiksi vaadituissa muunnoksissa 9. Seuraavaksi laskemme kovariantin derivaatan auki saadaksemme tietoa teoriaan tämän menettelyn seurauksena lisänä tulleista mittakentistä A i µ ja B µ. 8 Diracin amma-matriisit kommutoivat muunnoksen U kanssa tietenkin, koska nämä operoivat eri vektoriavaruudessa. 9 Syy sille, että juuri tällainen kovariantti derivaatta keksittiin, on sama kuin QED:n tapauksessa käsitelty: Tavalliseen derivaattaan lisätään termi, joka kumoaa ylimääräiset termit. 14

19 .3 Fermioni-Laranen lasku auki Edellisessä luvussa mainittiin fermioni-laraen olevan summa yli kaikkien leptonija kvarkkiperheiden. Koska oikeakiraalista neutriinoa ei ole ja kvarkkien varaukset noudattavat erilaista systematiikkaa kuin leptonien, täytyy varsinainen Laraen tiheyden auki laskeminen tehdä kahdessa osassa. Jaamme summan siis näin: missä L F,l = i l L 1 F,q = i u,d [ [ νl,l l L γ µ Dµ l,l νl,l [ ul d L γ µ D L µ L F = L F,l L F,q, 35 [ ul d L l L l R γ µ D l,r µ l R ja 36 u R γ µ D Rµ u R d R γ µ D Rµ d R, 37 missä l-summa käy yli kaikkien leptonien ja u, d-summat yli kaikkien ylä- ja alakvarkkien..3.1 Leptoniosa GS-teorian Laranen tiheyden leptoninen osa on siis 36. Sen kovariantit derivaatat 8 sisältävät mittakenttiä. Termien auki kirjoittaminen johtaa vuorovaikutustermeihin leptonien ja mittakenttien välillä. Kirjoitetaan ensin auki summan dupletteja sisältävät termit. Pidetään leptonin perhe l yleisenä. i [ [ ν l,l l L γ µ Dµ l,l νl,l l L = i [ ν l,l l L γ µ I µ i σi Ai µ i Y l L [ B νl,l µi. Seuraavaa yksinkertaista tulosta tarvitaan myöhemminkin: Kovariantin derivaatan D µ I µ i σi Ai µ i Y B µi 38 eksplisiittinen matriisiesitys on Paulin spin-matriisien määritelmien 3 nojalla [ µ i Y D µ = B µ i A3 µ i A1 µ ia µ i A1 µ ia µ µ i Y B µ i. 39 A3 µ Leptonidupleteille Yl L = 1 sillä T l = 1, T ν l = 1 ja Y = Q SM T. Näin ollen matriisi on [ D µ = µ i B µ i A3 µ i A1 µ ia µ i A1 µ ia µ µ i B µ i. 40 A3 µ l L 15

20 Nyt voidaan laskea derivaatta auki yksinkertaisena matriisitulona i [ [ ν l,l l L γ µ Dµ l,l νl,l l L = i [ [ [ ν l,l l L γ µ µ i B µ i A3 µ i A1 µ ia µ νl,l i A1 µ ia µ µ i B µ i A3 l µ L = iγ µ ν l,l µ i B µ i A3 µν l,l i A1 µ ia µl L l L i A1 µ ia µν l,l µ i B µ i A3 µl L = ν l,l i/ / B / A 3 ν l,l ν l,l /A 1 i /A l L l L /A 1 i /A ν l,l l L i/ / B / A 3 l L, 41 missä käytettiin merkintää 6. Määritellään nyt heikon varatun virran välittäjähiukkasten ± vektorikentät siten, että ± µ. = 1 A 1 µ ia µ. 4 Jäljellä olevista kahdesta vektorikentästä A 3 µ, B µ määritellään 10 fotoni A µ ja heikon neutraalivirran välittäjähiukkanen Z µ siten, että [ [ [ A 3 µ.= cos θ sin θ Zµ. 43 sin θ cos θ A µ B µ Tässä θ R on uusi parametri, nk. einberin kulma. Yhtenäistämisehto Lasketaan lausekkeen 41 viimeinen termi auki, sillä siitä tehdään tärkeä huomio. l L i/ B / A / 3 l L = il L / l L l L /Bl L l L /A 3 l L = il L / l L l L sin θ /Z cos θ /A l L l L cos θ /Z sin θ /A l L = il L / l L l L cos θ /Z sin θ /Z l L l L sin θ /A cos θ /A l L Näillä määritelmillä on myös motivaatio, josta mainittakoon lyhyesti: Lausekkeen 41 ± - kentät määritellään tällä tavalla siksi, että saadaan kokeellisesti tunnetut vuorovaikutustermit ν l,l / l L ja l L / ν l,l. Lopuista kahdesta pitäisi saada aikaiseksi fotoni, joten laitetaan yritteeksi, että fotoni on niiden lineaarikombinaatio. Seuraavaksi käsiteltävä yhtenäistämisehto tulee kiinnittämään lineaarikombinaation mielivaltaisen parametrin θ. Jäljelle jää Z-kenttä, joka on teorian uusi ennuste ja joka myöhemmin havaittiin kokeellisesti. 16

21 Tämän lisäksi tarvitsee laskea leptonien oikeakiraalisia osia koskeva termi Laranesta 7 auki: il R γ µ Dµ l,r l R = il R γ µ µ i Y l R B µ l R 8 = il R / i /B l R = il R / i sin θ /Z cos θ /A l R = il R / l R l R sin θ /Zl R l R cos θ /Al R. 45 Pyrimme yhdistämään lausekkeiden 44 ja 45 viimeiset termit. On voimassa seuraava tulos l /Al = l L l R /Al L l R = l L /Al L l R /Al R. 46 Tässä seuraa siitä, että ristitermit häviävät tulosten ja 4 takia: l L /Al R = P L l γ 0 γ µ A µ l R = l P L γ 0 γ µ A µ P R l = l γ 0 γ µ A µ P L P R l = 0. Muistetaan, että QED:n Laranen tiheydessä on termi qe /Ae, missä q on alkeisvaraus. Koska haluamme rakentaa yhtenäisteorian, joka sisältää QED:n, niin asetamme vaatimuksen, että sama termi on löydyttävä GS-teorian Laranen tiheydestä. Tuloksen 46 takia on tämän termin saamiseksi vaadittava, että cos θ = sin θ = q, 47 kuten lausekkeita 44 ja 45 katsomalla on selvää. Tulosta 47 kutsutaan yhtenäistämisehdoksi. Yhtenäistämisehdolla on mielenkiintoinen seuraus, joka nähdään laskemalla auki lausekkeen 41 ensimmäinen termi: ν l,l i/ B / A / 3 ν l,l =iν l,l / ν l,l ν l,l Bν / l,l ν l,l A / 3 ν l,l =iν l,l / ν l,l ν l,l sin θ /Z cos θ /A ν l,l ν l,l cos θ /Z sin θ /A ν l,l =iν l,l / ν l,l ν l,l sin θ /Z cos θ /Z ν l,l ν l,l cos θ /A sin θ /A ν l,l. 48 }{{} =0 Yhtenäistämisehto siis kadottaa neutriinon ja fotonin välistä vuorovaikutusta kuvaavan termin. Tätä voi pitää luonnollisena, koska neutriinon sähkövaraus on nolla. 17

22 Väliyhteenveto: Vasenkiraalisten komponenttien laskettiin antavan lausekkeen 41. Tästä ensimmäinen ja viimeinen termi laskettiin määritelmän 43 avulla auki muotoihin 44 ja 48. Näistä saatiin oikeakiraalisten termien 45 avulla yhdistettyä vaadittu QED:n termi qe /Ae. Vielä lausekkeen 41 muihin termeihin voidaan käyttää määritelmää 4. Kirjoitetaan kaikki jäljelle jääneet auki: L F = iν l,l / ν l,l ν l,l sin θ /Z cos θ /Z ν l,l ν l,l / l L l=e,µ,τ l L / ν l,l il L / l L l L cos θ /Z sin θ /Z l L ql /Al il R / l R l R sin θ /Zl R. 49 Termit l L /Zl L ja l R /Zl R voidaan kirjoittaa kokonaisten spinorien avulla seuraavasti: l L /Zl L 4 = lp R /Zl L 4 = l /ZP L l L 1 = l /ZP L l 50 ja vastaavasti toinen. Huomataan lisäksi, että yhtenäistämisehto 47 antaa ja vastaavasti sin θ cos θ = sin θ sin θ cos θ cos θ = sin θ cos θ = 51 cos θ cos θ sin θ cos θ = cos θ sin θ cos θ = cos θ sin θ 1. 5 Tulosten 50, 51 ja 5 avulla voidaan sieventää välituloksen 49 vasen ja oikeakiraalisten leptonien vuorovaikutustermistä kokonainen vuorovaikutustermi l /Zl. Nimittäin on l L cos θ /Z sin θ /Z l L l R sin θ /Zl R = 1 l L /Z sin θ cos θ ll l R sin θ /Zl R = l L /Z sin θ cos sin θ θ ll l R /Zl R cos θ cos θ = sin θ cos θ l /ZI γ 5 l sin θ l /ZI γ 5 l 4 cos θ cos θ = sin θ 1 l /ZI γ 5 l sin θ l /ZI γ 5 l 4 cos θ cos θ sin θ 1 =l sin θ /Zl 4 cos θ cos θ 18

23 l sin θ 1 sin θ γ 5 /Zl 4 cos θ cos θ 4 sin θ 1 =l /Zl l γ 5 /Zl 4 cos θ 4 cos θ = l 4 sin θ 1I γ 5 /Zl cos θ Lopputulos Käyttäen tulosta 46, joka on voimassa myös derivaattatermeille, sekä 51 ja 53, saadaan välitulos 49 lopulliseen muotoon L F = iν l / ν l ν l /Zν l ν l,l / l L l L / ν l,l cos θ l=e,µ,τ il/ l ql /Al l 1 4 sin θ γ 5 /Zl cos θ Korostettakoon, että tässä iν l / ν l = iν l,l / ν l,l, koska neutriinoilla ei ole oikeakiraalista komponenttia, siis ν l,l P L ν l = ν l. 55 Täten ensimmäinen, leptonien ja mittabosonien välisiä vuorovaikutuksia koskeva, sekä leptonien kineettiset termit antava, GS-teorian Laranen tiheyden osa on lopullisessa muodossaan..3. Kvarkkiosa Käsitellään seuraavaksi kvarkkeja koskeva osa 37 hyödyntäen mahdollisimman paljon edellisiä välivaiheita. Koska kvarkkiduplettien hypervaraus on taulukon 1 mukaan 1 3, eikä 1 kuten leptoneilla oli, on 40:n sijaan nyt D µ = [ µ i 6 B µ i A3 µ i A1 µ ia µ i A1 µ ia µ µ i 6 B µ i A3 µ Tämä vastaa vain korvausta /3. Edellinen antaa siten 41:n sijaan. i [ u L d L γ µ D L µ [ ul d L = u L i/ 6 / B / A 3 u L u L /A 1 i /A d L d L /A 1 i /A u L d L i/ 6 / B / A 3 d L

24 Samalla korvausidealla, lausekkeiden 44 ja 48, sekä määritelmän 4 avulla kirjoitetaan tämä välittömästi muotoon 56 = iu L / u L id L / d L u L / d L d L / u L d L cos θ /Z 6 sin θ /Z d L d L sin θ /A 6 cos θ /A d L u L 6 sin θ /Z cos θ /Z u L u L 6 cos θ /A sin θ /A u L. 57 Oikeakiraaliset termit voimme poimia lausekkeen 45 avulla. Oikeakiraalisia termejä ei kuitenkaan koske sama korvaussääntö. Taulukon 1 mukaan korvaus tapauksessa l R d R on /3 ja tapauksessa l R u R se on /3. Tällöin 45 antaa iu R γ µ Dµ R u R = iu R / u R u R 3 sin θ /Zu R u R 3 cos θ /Au R ja id R γ µ Dµ R d R = id R / l R d R 3 sin θ /Zd R d R 3 cos θ /Ad R. Kineettiset termit yhdistyvät välittömästi tuloksen 46 avulla, ja ± -kenttiä koskevat termit ovat jo lopullisissa muodoissaan lausekkeessa 57. Muiden termien sieventämiseksi voidaan tehdä yhtenäistämisehtoa 47 käyttäen vastaavia laskuja kuin tehtiin tuloksen 53 johtamiseksi koska kyse on pelkästä alebrasta, tehdään nämä laskut nyt Mathematicalla: ja d L cos θ /Z 6 sin θ /Z d L d R u L 6 sin θ /Z cos θ /Z u L u R sekä kvarkkien ja fotonin vuorovaikutustermit 3 sin θ /Zd R = γ 5 I 43 4 cos θ I sin θ d /Zd 58 3 sin θ /Zu R = 4 cos θ I γ 5 83 I sin θ u /Zu, 59 ja d L sin θ /A 6 cos θ /A d L d R 3 cos θ /Ad R = 3 sin θ d /Ad 60 u L 6 cos θ /A sin θ /A u L u R 3 cos θ /Au R = 3 sin θ u /Au. 61 Tulokset 60 ja 61 olivat odotettavissa. Nimittäin yhtenäistämisehdon mukaan on alkeisvaraus q = sin θ, joten kyseiset termit ovat samanlaisia kuin QED:ssä 0

25 fotonin ja elektronin vuorovaikutustermi qe /Ae, kvarkkien sähkövaraukset 1 3 q ja q huomioon ottaen. 3 Kirjoitetaan vielä yhteenvedoksi 37 auki edellä lasketun mukaisesti L F,q = iu/ u id/ d u L / d L d L / u L q 3 d /Ad q 3 u /Au u,d γ 5 I 4 4 cos θ 3 I sin θ d /Zd I γ cos θ 3 I sin θ u /Zu. Yhteenveto kaikista fermioneista Päättääksemme GS-teorian Laranen tiheyden fermioniosan käsittelyn, tulee yhteen lauseekkeeseen koota leptoni- ja kvarkkiperheiden osuudet, joita edellä on käsitelty. Sattuu käymään niin, että tämä voidaan tehdä muodossa L F = if / f fv f I T γ 5 /Zf qq SM f /Af cos θ f 3 u i,l / d i,l d i,l / u i,l ν l,l / l L l L / ν l,l, 6 i=1 missä f-summa käy yli kaikkien fermionien spinorien. Huomaa, että neutriinoille Q SM = 0, joten termejä ν l /Aν l ei ole. Edellä merkittiin kullekin fermionille, kirjan [3 merkintöjen mukaisesti l v f. = T QSM sin θ. 63 Käyttämällä taulukkoa 1 on suoraviivaista tarkistaa, että kvarkeille seuraa lausekkeesta 6 todella termit 58 ja 59 ja varatuille leptoneille ja neutriinoille vastaavat termit lausekkeessa 54, muistaen Eksplisiittiset massatermit Emme ole lisänneet fermioneille massatermejä Laranen tiheyteen. Luvussa 1.3 mainittiin jo syy tähän: fermionien massatermit rikkovat automaattisesti SU L U1 Y mittasymmetrian. Perustellaan tämä väite seuraavaksi, siis todetaan, että massatermi mψψ ei ole mittainvariantti: mψψ = mψ γ 0 ψ = mp L ψ P R ψ γ 0 P L ψ P R ψ = mψ P L ψ P R γ 0 P L ψ P R ψ = m ψ P L γ 0 P L ψ ψ P L γ 0 P R ψ ψ P R γ 0 P L ψ ψ P R γ 0 P R ψ 4 = m ψ γ 0 P R P L ψ P L ψ γ 0 P R ψ P R ψ γ 0 P L ψ ψ γ 0 P L P R ψ = mψ L ψ R ψ R ψ L. 1

26 Hypervarauksen määritelmän mukaan ei minkään fermionin vasen- ja oikeakiraalisen komponentin hypervaraus voi olla sama ks. myös taulukko 1. Tällöinhän massatermi muuntuu muunnoksessa U U1 Y siten, että seuraavassa U l, U r U1 Y ovat eri kiraalisuuskomponentteja vastaavat operaattorit missä mψψ m U l ψ l U R ψ R U r ψ R U l ψ L = m ψ L U l U rψ R ψ R U r U l ψ l, U l U r 6 = exp i Y l f βx exp i Y f r βx 1 kun Y l f Y r f, koska βx on mielivaltainen funktio. Siten termi ei ole invariantti. Tulos vaikuttaa tylyltä iskulta koko teorialle, sillä toki kokeiden mukaan fermionit, ainakin poislukien hyvin kevyet neutriinot, ovat selvästi massallisia. On kuitenkin keksitty nerokas tapa kiertää tämä onelma: Fermionit saavat standardimallissa massansa spontaanin symmetriarikon, tarkemmin nk. Hisin mekanismin kautta. Tätä käsittelemme seuraavaksi.

27 3 Spontaani symmetriarikko: Hisin mekanismi 3.1 Hisin dupletti Otetaan käyttöön Hisin dupletti Φ =. [ φ φ 0, missä φ ja φ 0 ovat kompleksisia skalaarikenttiä ja yläindeksi viittaa kyseiseen kenttään liitettyyn sähkömaneettiseen varaukseen. Kuten jo luvun 1.5 yhteydessä taulukon 1 yhteydessä mainittiin, muodostaa Hisin dupletti todella dupletin hypervarauksella Y Φ = 1. Spontaanin symmetriarikon saavuttamiseksi lisätään Hisin dupletti Laranen tiheyteen. Seuraavassa mudossa tuo lisääminen todella onnistuu: Laranen tiheys L Φ. = Dµ Φ D µ Φ µ Φ Φ λφ Φ, 64 missä λ, µ > 0, on invariantti muunnoksessa U SU L U1 Y, kun kovariantti derivaatta on D µ = I µ i σi Ai µ i Y Φ B µi. Väitteen todistamiseksi riittää osoittaa samasta syystä kuin luvussa., että L Φ on invariantti erikseen muunnoksissa U L SU L ja U Y U1 Y. Kaksi viimeistä termiä 64:ssa ovat invariantteja triviaalisti, koska molemmat muunnokset ovat unitaarisia. Kuten luvussa., saadaan valinnoilla 3 SU L -muunnoksessa ja valinnoilla 33 ja 34 U1 Y -muunnoksessa luvun.1 aputuloksen oletukset täytettyä, joten D µφ = UD µ Φ, mikä riittää osoittamaan termin mitta-invariantiksi. Laranessa 64 on termit µ φ 0 φ 0 ja µ φ φ. Nämä eivät ole kenttien massatermit, koska termien etumerkki on väärä verrattuna skalaarikenttien Laranen tiheyteen 11. Kentät ovat nyt siis massattomia. Määritellään potentiaali V Φ Φ. = µ Φ Φ λφ Φ. 65 Tarkastellaan seuraavaksi, millaisilla kenttien φ ja φ 0 arvoilla potentiaali V Φ Φ minimoituu 11. Potentiaali riippuu vain kombinaatiosta Φ Φ = φ φ φ 0 φ 0, joka on paikasta riippuva reaaliluku. Potentiaalin minimoiva kenttä minimoi sen siis joka pisteessä, ja tämä ehto määrää kentän arvon kullekin pisteelle. Olkoon 11 Motivaatio minimoimiselle on systeemin perustilan tarkasteleminen. 3

28 Minkowskin avaruuden piste x tästä eteenpäin mikä tahansa, ja tarkastellaan kenttää vain siinä pisteessä. Haluttaisiin A, B C siten, että Ketjusäännön nojalla kuitenkin V φ φ 0 = 0 ja V φ 0 =A φ = 0. =B V φ 0 φ 0 =A = V Φ Φ Φ Φ φ 0 φ 0 =A ja samoin φ :lle, joten potentiaali V Φ Φ minimoituu ainakin, jos ensimmäinen näistä termeistä on nolla. Merkitään potentiaalin minimoivaa luvun Φ Φ arvoa Q:lla, jolloin saadaan 0 = dv dφ µ Φ = λφ Q Φ Φ Φ=Q Q = µ λ. Potentiaalin minimoi siis kenttä, jolle joka pisteessä x pätee φ φ φ 0 φ 0 = Φ Φ = µ λ. 66 Kriittinen huomio on, että potentiaali ei minimoidu nolladupletilla, jolle olisi φ = φ 0 = 0 kaikilla x. Toisaalta huomataan, että jos se minimoituu jollakin dupletilla Φ 0, se minimoituu myös kaikilla Φ 1, joille Φ 1 = UΦ 0 jollekin U SU L, koska Φ 1 Φ 1 UΦ 0 UΦ 0 = Φ 0 U UΦ 0 = Φ 0 Φ 0 = Q. Jonkun tällaisista SU L -muunnoksella toisistaan saatavista dupleteista on oltava kentän perustila, siis potentiaalin minimoiva kenttä, mutta mikään niistä ei ole erityisasemassa muihin nähden. Tämä ilmiö on spontaani symmetriarikko. Jos luonto haluaa kenttäkonfiuraation sellaiseksi, että potentiaali minimoituu, on senkin valittava joku näistä keskenään samanarvoisista minimeistä. Minimitila vastaa tyhjiötä, ja koska tyhjiö halutaan varauksettomaksi, ei kentällä φ voi olla nollasta poikkeavaa odotusarvoa [4, s. 18. Siksi Hisin dupletin tyhjiöodotusarvoksi tulee Φ = 1 [ 0 v, 67 missä normivaatimuksen mukaan 66 pitää olla v v = Q. Voidaan edelleen arumentoida, että v R, koska myöhemmin osoittautuu, että parametri v tulee Laranen tiheyteen sellaisenaan eräiden termien kertoimiksi, ja näiden tulee olla reaalisia. Parametrin v merkkiä ei voida sitoa, vaan jäljelle jää relaatio v = ±µ/ λ. 4

29 Liitteessä A todistetaan seuraava tärkeä matemaattinen aputulos Hisin mekanismin kannalta: Kiinteälle v R on kaikille a, b, c, d R olemassa luku η R ja muunnos Ũ SU siten, että [ a ib = 1 [ 0 Ũ. 68 c id v η Esityksen 68 avulla voimme kirjoittaa kaikille kenttien φ ja φ 0 arvoille [ φ φ 0 = 1 [ 0 Ũ, v η missä Ũ SU L ja skalaarikenttä η voidaan valita reaaliseksi. Kenttää η kutsutaan Hisin skalaarikentäksi. Nyt potentiaali 65 minimoituu Hisin kentän arvolla η = 0. Koska olemme konstruoineet koko GS-teorian Laranen invariantiksi SU L - muunnoksissa, voimme kaikille kenttien φ ja φ 0 arvoille valita nk. unitaarimitan, toisin sanoen tehdä mittamuunnoksen U = Ũ 1 SU L, jolloin [ φ Φ φ 0 Ũ 1 [ φ φ 0 = 1 [ Ũ 1 Ũ }{{} =I 0 v η = 1 [ 0 v η.= Φ. Tämä valinta on järkevä siinä mielessä, että Laranen tiheyden ollessa SU L - invariantti, on edellä todetun nojalla η-kentän vapausaste ainoa, jolla on fysikaalista merkitystä, siis jota voi mitata. Muut vapausasteet Φ dupletissa eivät näy mittaustuloksissa, koska ne voidaan mittamuunnoksella pyyhkiä pois Laranen tiheyden numeerisen arvon muuttumatta. Haluamme vastaisuudessa tarkastella kenttiä potentiaaliminimin ympäristössä siten, että vain fysikaalisen Hisin skalaarikentän vapausaste on näkyvillä. Siksi mittamuunnamme Hisin duplettia sisältävät Laranen tiheyden osat unitaarimittaan. Tämä tehdään sekä 64:n kovariantteja derivaattoja sisätävälle osalle luku 3. että potentiaaliosalle. Tehdään nyt jälkimmäinen V Φ Φ = µ Φ Φ λ Φ Φ = µ v ηx λ v ηx4 4 = 1 µ v v ηx η x 1 4 λ v 4 v v ηx v η x v ηxv 4v η x v ηxη x v η x v ηxη x η 4 x = µ v λ 4 v4 µ v λv3 ηx }{{}. =C µ 3λ v η x λv η 3 x λ 4 η4 x. 5

30 Tässä C on epärelevantti vakio, sillä vakio ei muuta teorian liikeyhtälöitä. Unohdetaan se vastaisuudessa. Sijoittamalla sopiviin kohtiin v = µ /λ saadaan sievennettyä potentiaalin lauseke muotoon V Φ Φ =v µ λ µ ηx µ λ 3λ µ η x λv η 3 x λ λ 4 η4 x =µ η x λv η 3 x λ 4 η4 x. 69 Tässä µ ηx on Hisin kentän massatermi, mutta jotta voidaan määrätä Hisin kentän massa, täytyy tarkastella tämän termin suhteellista kerroin eroa kineettiseen termiin. Tätä varten täytyy laskea vielä kovariantti derivaatta Laranessa 64 auki, joka tehdään seuraavassa luvussa. 3. Mittabosonien massat Luvussa.4 todettiin, että fermionien massatermit eivät ole mittainvariantteja, joten niitä ei teoriaan lisätä suoraan. Sama koskee mittabosoneja Z, ± ja A [4, s. 17. Edellisen väitteen todistus sivuutetaan, mutta on kuitenkin helppo uskoa, että mittakenttien A i µ ja B µ muunnoslait 9 ja 30 aiheuttavat jotkin melko monimutkaiset muunnoslait fysikaalisille mittakentille Z, ± ja A, joiden myötä invarianssi mitä ilmeisimmin rikkoutuisi. Voimme kuitenkin antaa teorian itse tuottaa tai olla tuottamatta mittabosoneille massatermit. Emmehän mittabosoneja käsin teoriaan edes lisänneet, vaan ne syntyivät mittasymmetriavaatimuksista. Osoittautuukin, että Z, ± saavat massatermit, fotonin pysyessä massattomana. Nämä massatermit eivät myöskään ole ristiriidassa vaaditun mittainvarianssin kanssa, koska alkuperäisen symmetrian rikkoi jo spontaani symmetriatikko. Luvun 3.1 aluksi todistettiin, että erityisesti kovarianttia derivaattaa koskeva osa Laranen tiheydessä 64 on invariantti, siis sen numeerinen arvo ei muutu, vaikka duplettia Φ mittamuunnetaan. Täten voidaan D µ Φ D µ Φ laskea auki unitaarimitassa, eli laskea D µ Φ D µ Φ. Luvussa.3 todettiin, että kovariantin derivaatan 38 eksplisiittinen matriisiesitys on 39. Kun nyt Y Φ = 1, niin kovariantti derivaatta on [ D µ = µ i B µ i A3 µ i A1 µ ia µ i A1 µ ia µ µ i B µ i, A3 µ jolloin unitaarimitassa [ 1 D µ Φ = µ i B µ i A3 µ i A1 µ ia µ i A1 µ ia µ µ i B µ i A3 µ [ = 1 i A1 µ ia µv η µ i B µ i A3 µ v η [ 0 v η 70 6

31 ja [ D µ Φ = 1 i A1 µ ia µv η µ i B µ i A3 µ v η T. 71 Sijoittamalla nämä, käyttämällä määritelmiä 4 ja 43 sekä yhtenäistämisehtoa 47, saadaan kohtuullisen alebrallisen käsittelyn liite B jälkeen tulos D µ Φ D µ 1 Φ = µη µ η 1 8 v η µ µ Z µ Z µ = 1 µη µ η v 4 µ µ v Z µ Z µ v 8 µ µ η v Z µ Z µ η 4 4 µ µ η Z µ Z µ η. 7 8 Tässä v 8 Z µ Z µ ja v 4 µ µ ovat Z- ja -kenttien massatermit. Kun luvussa 4. selvitämme kenttien kineettisten termien olevan vastaavasti 1 4 Xµν X µν ja 1 Kµν K µν, niin vertaamalla Laranen tiheyksiin 1 ja 13 todetaan kenttien massojen olevan v 4 = M Z ja v 4 = M. 73 Samalla huomataan, että fotonikenttä ei saanut massatermiä. Tämä on merkittävä tulos, sillä kokeellisesti on totta, ettei fotonilla ole massaa. Emme kuitenkaan laittaneet tätä vaatimusta teoriaan käsin, vaan se on sen oma, pohjimmiltaan yhtenäistämisehdosta seurannut, oikeaan osunut ennuste. Havaitaan myös, ettei fotonikentän ja Hisin kentän välisiä vuorovaikutustermejä ole, koska kaikki nämä termit kumoutuivat laskun yhteydessä, niin ikään yhtenäistämisehdon seurauksena. Täytetään vielä luvun 3.1 lupaus Hisin kentän massan selvittämisestä. Verrataan siis η-kentän kineettistä termiä lausekkeessa 7 massatermiin lausekkeessa 69, sekä näitä reaalisen skalaarikentän Laranen tiheyteen 10. Päättelemme, että Hisin kentän massa on M η = µ. 3.3 Fermionien massat: Yukawa-kytkennän invarianssi Tämän luvun ainoana tarkoituksena on näyttää, että GS-teorian Laranen tiheyden Yukawa-kytkentäosa L Yukawa. = LY L Y, 74 7