Syventävien opintojen seminaari

Transkriptio

1 Syventävien opintojen seminaari

2 Sisällys

3 Johdanto Kvanttikenttäteorioiden statistinen fysiikka on relevanttia monella fysiikan alalla Kiinteän olomuodon fysiikka (elektronisysteemit) Kosmologia (varhainen maailmankaikkeus) Korkean energian fysiikka (raskasionitömäykset) Erityisesti QCD:n faasidiagrammi herättää kiinnostusta

4 QCD:n arveltu faasidiagrammi

5 Kvanttikenttäteoria statistisen fysiikan mallina Kvanttikenttäteorian partitiofunktio voidaan esittää euklidisessa polkuintegraalimuodossa, jossa ajan suunnassa asetetaan periodiset reunaehdot Z = Konguraatiot φ(x, t), φ(x, 0) = φ(x, β) e S(φ(x,t)) Kun kenttäteoria diskretisoidaan hilalla, tämä lauseke on jopa aivan hyvin määritelty Jos aktio S on reaalinen, vastaa N-uloitteinen kvanttikenttäteoria siis (N+1)-uloitteista klassista statistisen mekaniikan mallia Tätä voidaan simuloida Monte-Carlo -menetelmillä

6 Merkkiongelman vaikeus Jos aktio S on kompleksinen, simulaatio ei enää onnistu Fermionisten kenttäteorioiden tutkiminen äärellisessä tiheydessä (äärelisellä kemiallisella potentiaalilla) on vaikeaa takia Voidaan osoittaa, että yleinen ratkaisu on NP-vaikea ongelma Tulos on varsin luonnollinen: miksi kvanttimekaniikan simulointi olisi helpompaa kuin mitä Hilbert-avaruuden koko antaa olettaa? Tämä ei kuitenkaan estä erikoistapausten ratkaisua (kuten pian nähdään!) Fermionisten teorioiden tapauksessa kovin toimivia ratkaisuja ei ole keksitty

7

8 Elektronit korvataan selektroneilla (kompleksisella skalaarikentällä) Lisäksi otetaan mukaan sähkömagneettinen kenttä Mallilla on U(1) mittasymmetria kuten tavallisella QED:llä Sähkövaraus säilyy L = (D µ φ) (D µ φ) + m 2 φ 2 + λ φ 4 + F µν F µν Malli voidaan diskretisoida, ja sitä voidaan simuloida Markovin-Ketju-Monte-Carlo -menetelmällä

9 Kemiallisen potentiaalin lisääminen Kemiallinen potentiaali painottaa materiaa antimaterian kustannuksella tai päinvastoin Konguraatio, jossa avaruuden täyttää varattu materia, vaatii äärettömästi energiaa Tarvitaan vähintään kaksi makua selektroneja jotta mitään kiinnostavaa tapahtuu Lagrangen tiheys tulee muotoon L = f [(D ν µ)φ f ] [(D ν + µ)φ f ] + m 2 φ 2 + λ φ 4 + F µν F µν L on kompleksinen, mikä johtaa merkkiongelmaan!

10 Duaalimuuttujat Merkkiongelma voidaan ratkaista siirtymällä duaalimuuttujiin Hilan jokaiseen linkkiin liittyy kokonaislukuarvoja saava säilyvä "vuo", joka korvaa selektronikenttien vaihekulman Vastaa suoraan nelivirrantiheyttä! Jokaiseen plakettiin puolestaan liittyy kokonaislukuarvoinen "kiertoluku", joka korvaa mittakentän Selektronikenttien radiaalinen vapausaste kompleksitasossa säilytetään ennallaan Kiertolukujen ja vuomuuttujien välillä on sidosehto: "kierto kumoaa vuon" Nyt jokaiseen konguraatioon liittyy positiivinen paino, joka voidaan tulkita todennäköisyytenä

11

12 Täytyy keksiä jokin tapa päivittää konguraatioita rikkomatta sidosehtoja Eräs tapa on päivittää kerrallaan yhtä kiertolukua ja sitä ympäröiviä vuomuuttujia Tämä ei kuitenkaan yksinään ole ergodinen päivitys, sillä se ei luo varausta Ergodisuus saadaan aikaan muilla päivityksillä (esim. matoalgoritmi)

13 Algoritmi näyttäisi toimivan! Tosin ergodisuusongelmat vaivaavat

14

15 Algoritmi näyttäisi toimivan! Tosin ergodisuusongelmat vaivaavat Lisäksi laskenta on pahuksen hidasta Sattuisiko jollakin olemaan nopeaa koodia ensimmäisen lajin modioitujen Besselin funktioiden suhteiden laskemiseksi?

16 Millainen on odotettu faasidiagrammi?

17 Millainen on odotettu faasidiagrammi? Ensimmäisten tulosten perusteella näyttäisi, että mallissa tosiaan tapahtuu toisen kertaluvun siirtymä, kun kemiallista potentiaalia kasvatetaan Tutkimus on kuitenkin vielä melkoisen alkutekijöissään Ja gradun pitäisi olla kohta valmis...

18

19 Kvanttikenttäteorioiden statistista fysiikkaa voidaan tutkia Monte-Carlo -simulaatioiden avulla Merkkiongelman ratkaisu yleisessä tapauksessa on NP-vaikea ongelma Lelumallit voivat lisätä fysikaalista intuitiota ja toimia suunnannäyttäjänä muille ratkaisuille :n simulointi onnistuu duaaliestyksen avulla, ja mallista löytyy mielenkiintoista fysiikkaa