MEI Murtumismekaniikka

Transkriptio

1 MEI-32 Murtumismekaniikka - 3 kotitehtäväsarja, päivitys 2326 MEI-32 Murtumismekaniikka 3 kotitehtäväsarja Tehtävä Alla olevan kuvan mukaista DCB-koekappaletta kuormitetaan kuormalla P = 5 kn Kappaleen materiaalille J Ic = kn/m ja myötöraja 4 MPa Määritä (a) Irvinin ja (b) Dugdalen mallien mukaan kriittinen särönpituus a cr Materiaalin kimmokerroin on 2 GPa ja Poissonin vakio on, 3 Koekappaleen leveys on 5 mm F F h = 8 mm a Ratkaisu Lasketaan ensin kriittinen särönpituus käyttäen lineaarista murtumismekaniikkaa Säröä ajava voima on kompliassifunktion avulla lausuttuna G = P 2 dc 2B da Jos merkitään särön avautumaa symbolilla, niin säröllisen palkinosan pään siirtymä on 2 = L3 3EI P, jossa palkin säröllisen osan puolikkaan jäyhyysmentti I on I = B(h/2) 3 /2 Komplianssi on siten C = 64 ( a ) 3 EB h Kriittinen särönpituus on siten G cr = J Ic : a cr = Bh P G Ic Eh 4 6 = 326 mm Irwinin mallin mukaan särön kärjen plastisoituminen voidaan ajatella muunnetuksi kimmoisan murtumismekaniikan ongelmaksi käyttämällä tehollista särönpituutta a eff a eff = a + ( ) 2 KI 2π σ y Kimmoisa ratkaisu antoi kriittiseksi särön pituudeksi 326 mm, joten Irwinin mallin mukaisesti a eff = 326 mm Kriittinen särönpituus Irwinin mallin mukaan on siten a cr = a eff 2π ( KI σ y ) 2 = a eff J Ic E 2π σy 2 = 324 mm Dugdalen mallin mukaan ( J = 8σ2 y πe a ln cos πσ ), 2σ y jossa nyt σ = K Ic JE = πa πa, ja J = G = 96 P 2 a 2 EB 2 h 3

2 MEI-32 Murtumismekaniikka - 3 kotitehtäväsarja, päivitys 2326 Kriittinen särönpituus ratkaistaan siten yhtälöstä ( J Ic + 8σ2 y πe a ln cos 2 6πP a σ y Bh h ) = Numeerista ratkaisua silmälläpitäen on hyvä muuntaa yhtälö dimensiottomaksi ( πj Ic E 8σya 2 + ln cos 2 6πP ) a σ y Bh = h Käyttäen Newtonin iteraatiota saadaan ratkaisuksi a = 38 mm 2

3 MEI-32 Murtumismekaniikka - 3 kotitehtäväsarja, päivitys 2326 Tehtävä 2 Tarkastellaan vaurioituvaa kimmoista materiaalimallia, jonka konstitutiivinen yhtälö on yksidimensioisessa tapauksessa muotoa Eheysmuuttujan ω evoluutioyhtälöksi valitaan σ = ωeε () ω = t d ( ) Y r, (2) jossa materiaaliparametrit t d ja r määritetään kokeista Eheysmuuttujalla on arvo täysin vaurioituneessa tilassa ja arvo vaurioitumattomassa alkutilassa Usein käytetään vaurioitumista kuvaamaan ns vauriomuuttujaa D = ω, mutta eheysmuuttujan avulla lausuttuna lausekkeet ovat selkeämpiä Suure Y on dissipatiivista muuttujaa ω vastaava termodynaaminen voima, jolle on lauseke Y = 2 Eε2 = Y r σ2 2ω 2 E (3) Parametri t d > on vaurioprosessiin liittyvä karakteristinen aika ja dimensiottoman eksponentin on toteutettava ehto r >, jotta termodynamiikan toinen pääsääntö toteutuisi Skaalausparametri Y r voidaan valita vapaasti, mutta on huomattava, että tämä valinta vaikuttaa aikaparametrin suuruuteen Valitaan skaalausparametrille lauseke Y r = σ2 r 2E, (4) jossa σ r on jokin viitejännitys Ratkaise jännitys-venymäyhteys kun kuormituksena on veto vakionopeudella ε = η, toisin sanoen ε(t) = ηt Pirrä kuvaaja (ε/ε r, σ/σ r ) koordinaatistoon parametrin r arvoilla r = 2, 4 ja 6 ja oleta, että aikaparametrilla t d on arvo t d = 3 /η Piirrä myös vaurimuuttujan kuvaaja, joko ajan tai muodonmuutoksen funktiona Mitä voit sanoa parametrin r vaikutuksesta materiaalin käyttäytymiseen Mikä on vauriomuuttujan D = ω arvo maksimijännityksen kohdalla? Ratkaisu Määritellään viitejännitystä σ r vastaava venymä ε r = σ r /E, jolloin Y/Y r = (ε/ε r ) 2, täten ( ) ε 2r ( ) ηt 2r ω = t d = t ε d r ε r Integroidaan dierentiaaliyhtälö, jolloin saadaan josta seuraa ω dω = t d t ( ) ηt 2r dt, ( ) η 2r ( ) ω = t 2r+ ε r ηt 2r+ ( ) ε r ε 2r+ = = t d (2r + ) ε r ηt d (2r + ) ε r ηt d (2r + ) ε r Huomaa, että ηt = ε ja että ηt d on dimensioton suure Lopullinen jännitys-venymä yhteys saadaan muotoon [ ( ) ] σ ε r ε 2r+ ε = σ r ηt d (2r + ) ε r ε r ε r 3

4 MEI-32 Murtumismekaniikka - 3 kotitehtäväsarja, päivitys 2326 Jos esimerkiksi σ r = 4 MPa ja E = 2 GPa, ja tehtävänannosta ηt d = 3 on ε r /ηt d = 2 Merkitään y = σ/σ r ja x = ε/ε r Etsitään jännityksen maksimikohta, nyt ( ) ε r y = f(x), jossa f(x) = ηt d (2r + ) x2r+ x Ääriarvon olemassaolon välttämätön edellytys on, että derivaatta häviää, eli f (x) =, josta ε r(2r + 2) 8 ηt d (2r + ) x2r+ = Venymän arvo jännityksen maksimikohdassa on siten 6 ( ) ε ηtd (2r + ) /(2r+) = 4 ε r ε r (2r + 2) D Sijoitetaan tämä eheysmuuttujaan, jolloin saadaan ω = 2r + 2 = 2r 2 2(r + ), ja vauriomuuttujan arvo on D = ω = 2(r + ) Jännitys-venymä kuvaaja on alla Kun potenssia r kasvatetaan, maksimijännitys kasvaa, mutta käyttäytyminen muuttuu hauraammaksi ε/εr 8 6 σ/σr ε/ε r 8 6 D ε/ε r 8 4

5 MEI-32 Murtumismekaniikka - 3 kotitehtäväsarja, päivitys 2326 Tehtävä 3 on muotoa Viruvan ja vaurioituvan mallin jännityksen ja muodonmuutoksen välinen yhteys σ = ωe(t )(ε ε th ε c ), (5) jossa ω on eheysmuuttuja, E(T ) lämpötilasta T riippuva kimmokerroin ja ε th = α T on lämpövenymä Virumismuodonmuutokselle ε c valitaan Nortonin tyyppinen potenssimalli ε c = B(T ) ( ) σ p(t ), (6) t c ωσ r jossa t c on virumisprosessin karakteristinen aika, verrannollinen relaksaatioaikaan, B(T ) Arrheniustyyppinen terminen aktivaatiofunktio B(T ) = exp( Q/RT ), jossa Q on aktivaatioenergia, R yleinen kaasuvakio Viitejännitys σ r on vapaasti valittavissa, valitaan se tässä myötöjännityksen arvoksi viitelämpötilassa σ r = σ y (T r ) Vaurionkehitykselle valitaan Kachanov-Rabotnov tyyppinen potenssimalli ω = B(T ) t d ( ) Y r(t ), (7) jossa t d on vaurionkehitykselle ominainen karakteristinen aika Termodynaaminen voima Y on vaurioitumisnopeuden ω duaalisuure ja Y r sen viitearvo Huomaa, että vaurionkehitykselle on yksinkertaisuuden vuoksi otaksuttu sama terminen aktivaatiofunktio Termodynaaminen voima saadaan Helmholtzin ominaisvapaaenergian derivaattana vauriomuuttujan suhteen, ja D tapauksessa sille saadaan lauseke Valitaan viitearvoksi Y r muoto Y = Y r = Y r σ 2 2ω 2 E(T ) (8) σ2 r 2E(T ) (9) Tällöin saadaan vaurionkehityksen evoluutioyhtälöksi ω = B(T ) ( ) σ 2r(T ) () t d ωσ r Laske virumismurtoaika t rup vakiolämpötilassa vakiojännityksen alaisena Kaikki materiaaliparametrit voidaan yksinkertaisuuden vuoksi olettaa lämpötilasta riippumattomiksi ja lämpövenymä voidaan jättää huomioon ottamatta Ratkaisu Vaurionkehitysmalli on siten eheysmuuttujan ω avulla lausuttuna seuraava ω = B ( ) Y r = B ( ) σ 2r, t d Y r t d ωσ r jossa B = exp( Q/RT ) Integroidaan tämä eheyden evoluutioyhtälö josta saadaan ω ω 2r dω = B ( ) σ 2r t dt, t d σ d ( ( ) ) σ 2r /(2r+) t ω = (2r + )B Eheysmuuttujan arvo on kun materiaali on täysin vaurioitunut Täten virumismurtoaika on ( ) t d σ 2r t rup = (2r + )B σ r σ r t d 5

6 MEI-32 Murtumismekaniikka - 3 kotitehtäväsarja, päivitys 2326 Virumismurtoanalyysessä paljon käytetty Monkman-Grant parametri määritel- Tehtävä 4 lään C MG = ε c mint rup, () jossa ε c min on pienin virumisnopeus (ajanhetkellä t = tehtävän mallilla) Kokeissa on havaittu, että Monkman-Grant parametri on hyvin suurella jännitys- ja lämpötila-alueella likimain riippumaton jännityksestä Minkä ehdon tämä tuottaa kyseisen mallin materiaaliparametrien välillä? Ratkaisu Minimivirumisnopeus on ε c min = ε c () = B t c ( σ σ r ) p Yhdistämällä tämä edellisen tehtävän virumismurtoaikaan saadaan Monkman-Grant parametriksi ( ) C MG = ε c t d σ p 2r mint rup = (2r + )t c σ r Parametri on jännityksestä riippumaton mikäli p = 2r Monkman-Grant parametri on (ala)-likiarvo murtovenymälle 6

7 MEI-32 Murtumismekaniikka - 3 kotitehtäväsarja, päivitys 2326 Tehtävä 5 Teräksinen sauva on kahden jäykän seinän välissä jännityksettömässä tilassa lämpötilassa T Lämpötila vaihtelee sinimuotoisesti lämpotilan T ja T + T välillä, eli T (t) = T + 2 T [ cos(2πt/t per)], (2) jossa t per = 864 s = 24 h Sauvan materiaalin otaksutaan noudattavan kahden edellisen tehtävän mallia Otaksutaan yksinkertaisuuden vuoksi kaikki materiaaliparametrit lämpötilasta riippumattomiksi Määritä kuinka monta lämpösykliä murtaa sauvan kun T = 3 K ja T = 2 K Materiaaliparametreilla on arvot E = 9 GPa, σ r = σ y = 4 MPa, p = 6, r = 3 ja t c = t d = 6 6 s = 69, 4 h Teräksen terminen aktivaatioenergia on luokkaa kj/mol ja lämpöpitenemiskerroin α on 2 6 /K Mikä on tulos jos rakennetta pidetään korkeammassa lämpötilassa kauemmin? Käytä esimerkiksi lämpötilafunktiona lauseketta T (t) = T + T [ cos 8 (πt/t per )] (3) Mitkä ovat johtopäätelmäsi? Ohje Tee ohjelma, joka integroi materiaalimallia vaikkapa eksplisiittisellä Eulerin menetelmällä Jos ratkaistavana on yhtälö σ = f(σ, t), niin eksplisiittinen Eulerin menetelmä suureen σ ratkaisemiseksi uudella ajanhetkellä t n+ = t n + t, kun systeemin tila tunnetaan ajanhetkellä t n, on muotoa σ n+ σ n = f(σ n, t n ), (4) t jossa on merkitty σ n = σ(t n ) jne Muista, että eksplisiittinen Eulerin menetelmä on vain ehdollisesti stabiili Pidä sen vuoksi aika-askel t pienempänä kuin menetelmän kriittinen aika-askel Ratkaisu Kirjoitetaan konstitutiiviset yhtälöt allekkain: σ = ωe(ε ε th ε c ), ω = B ( ) σ 2r t d ωσ r Huomaa itseisarvo (tämä minun olisi pitänyt huomata mainita tehtävänannossa) Derivoidaan ylempi ajan suhteen (materiaaliparametrit oletetaan lämpötilasta riippumattomiksi), ja otetaan virumismalli huomioon σ = ωe [ ε αt B ( σ t c ωσ r ω = B ( ) σ 2r t d ωσ r Tämä voidaan saattaa muotoon ja edelleen σ = ωe [ ε αt B ( σ t c ωσ r ω = B ( ) σ 2r, t d ωσ r [ σ = ωe ε αt B ( σ t c ωσ r ω = B ( ) σ 2r t d ωσ r ) p ] + ωe(ε ε th ε c ), ) p ] + ω ω σ, ) p ] Bσ ( ) r σ 2r+, t d ωσ r 7

8 MEI-32 Murtumismekaniikka - 3 kotitehtäväsarja, päivitys 2326 Jaetaan ylempi yhtälö σ r :llä, saadaan [ σ = ωε r ε αt σ B ( σ r t c ωσ r ) 2r, ω = B t d ( σ ωσ r jossa ε r = σ r /E Merkitään nyt y = σ /σ r saadaan ) p ] B ( ) σ 2r+, t d ωσ r ẏ = ωε r ( ε α T B t c ω p y p ) B t d ω (2r+) y 2r+, ω = B t d ω 2r y 2r Tehtävässä sauva on jäykkien seinien välissä, joten ε = Yhtälösysteemi on muotoa ẏ = f (y), joten integrointi esimerkiksi eksplisiittisellä Eulerin menetelmällä tuottaa y n+ = y n + tf (y n ) Implementoitaessa menetelmää, termi αt voidaan laskea αt = α T = α(t n+ T n ), sillä nyt T n+ on tunnettu suure Täten B y n+ = y n t ω n ε r ωn p yn p ω n ε r α(t n+ T n ) t B ω (2r+) t c t d ω n+ = ω n t B ωn 2r yn 2r t d n yn 2r+, Alkuarvot ovat tietysti y =, ω = Valitettavasti nuo aikaparametrit t c ja t d eivät olleet ihan kohdillaan Täten murtuminen tapahtui noin miljoonan ja miljardin syklin kieppeillä Alla olevassa taulukossa on kahdella eri aika-askeleella laskettuna murtumiseen tarvittavat syklimäärät Havaitaan, että 2 tunnin aika-askel on niin pitkä, ettei se pysty erottamaan kuormituksia t/h sinimuotoinen laatikkomainen Alla olevassa kuvassa on vauriomuuttujan D = ω kehitys 6 h aika-askeleella laskettuna Havaitaan, että laatikkomainen lämpösykli (3) on vaarallisempi, koska materiaali on kauemmin korkeassa lämpotilassa ja vaurionkehitys on siten Arrheniuksen termin vuoksi nopeampaa 8

9 MEI-32 Murtumismekaniikka - 3 kotitehtäväsarja, päivitys sini laatikko e+8 e+9 5e+9 2e+9 syklit 5 6e-2 Aika-askel vaikuttaa analyysin tarkkuuteen Alla on kuvattuna vauriomuuttujan kehitys tunnin (punainen viiva), 5e-2 kuuden (vihreä) 5e+8 ja e+9 kahdentoista 5e+9 (sininen) 2e+9 tunnin aika-askelleella laskettuna kymmenen ensimmäisen syklin ajalta syklit 4e-2 6e-2 3e-2 5e-2 2e-2 4e-2 e-2 3e-2 2e-2 e-2 sini laatikko syklit syklit 8 Mikäli käytettäisiin hieman realistisempia arvoja, esim t c 3 s ja t d 3 s, saataisiin väsymismurto 2, 9 5 syklin jälkeen laatikomaisella kuormituksella ja 9, 5 5 syklin jälkeen sinimuotoisella kuormituksella kun käytettiin tunnin aika-askelta Tällöin mallin antama ero on huomattava 9

10 MEI-32 Murtumismekaniikka - 3 kotitehtäväsarja, päivitys 2326 Tehtävä 6 Findley moniaksiaalinen väsimiskriteeri voidaan ilmaista seuraavasti Väsymismurto tapahtuu tasossa, jossa suure τ a,n + kσ n saavuttaa maksimin, eli max(τ a,n + kσ n ) = f, (5) jossa k ja f ovat materiaaliparametreja, jotka voidaan määrittää kahdesta kokeesta Määritä parametrit k ja f mikäli tiedetään materiaalin vaihtokuormituksen väsymisraja normaalijännitykselle σ = σ a,r= ja leikkaukselle τ = τ a,r= Määritä lisäksi kriittisen tason kulma kummallekin kuormitustapaukselle Ratkaisu Prujusta saadaan vaihtuvassa normaalijännityskuormituksessa yhtälö σ a (sin θ cos θ + k cos 2 θ) = f Tästä saadaan tan θ = k Vaihtuvassa leikkauskuormituksessa, olettaen leikkauksen tapahtuvan xy-tasossa, jännitysmatriisi on muotoa τ σ = τ Voidaan tarkastella vain ylintä 2 2-lohkoa Tason normaalivektori on n = (cos θ, sin θ) T, ja tason suuntainen yksikkövektori on s = ( sin θ, cos θ) T Lasketaan tason ja sen normaalin suuntaiset jännityskomponentit τ n = n T σs = (cos 2 θ sin 2 θ)τ, σ n = n T σn = (2 sin θ cos θ)τ Koska leikkausjännityskuormitus on vaihtuva, tällöin τ n,a = τ n, merkitän tätä leikkausjännitysamplitudia jatkossa lyhyesti symbolilla τ a Sijoitetaan edellä esitetyt lausekkeet Findleyn väsymisehtoon τ a (cos 2 θ sin 2 θ + 2k sin θ cos θ) = f Merkitään g(θ) = cos 2 θ sin 2 θ+2k sin θ cos θ ja etsitään g:n ääriarvo Derivaattan nollakohta josta saadaan g = 4 cos θ sin θ + 2k(cos 2 θ sin 2 θ) =, tan 2θ τ = k Koska f on oltava sama kummassakin kuormitustapauksessa, saadaan yhtälö σ cos 2 θ (tan θ + k) = τ (cos 2θ τ + k sin 2θ τ ), eli Nyt τ σ = cos2 θ (tan θ + k) cos 2θ τ (k tan 2θ τ + ) (6) cos 2θ τ = + tan 2 2θ τ = + k 2 Lausutaan nyt (6) Findleyn parametrin k-funktiona τ σ = (k + + k 2 ) 2 + (k + + k 2 ) 2 k + + k 2 + k 2 ( + k2 ) + k = = k + + k k 2

11 MEI-32 Murtumismekaniikka - 3 kotitehtäväsarja, päivitys 2326 Kriittisen tason kulmat voidaan ratkaista yhtälöistä: vaihtuva normaalijännitys tan 2θ = /k, vaihtuva leikkausjännitys tan 2θ τ = k

12 MEI-32 Murtumismekaniikka - 3 kotitehtäväsarja, päivitys 2326 Tehtävä 7 Tarkastellaan alla olevan kuvan mukaisen polttoainesuutimen väsymistä kontaktialueella, joka on merkitty oheiseen kuvaan paksunnetulla viivalla Rakenne on pyörähdyssymmetrinen, joten tarkastellaan tapausta sylinterikoordinaatistossa ja oletetaan kehän suuntaiselle, aksiaaliselle ja säteen suuntaiselle normalijänitykselle (σ θ, σ z, σ r ) suhteinen kuormitus kun mäntä koskettaa suutimen runkoa Oletetaan seuraavat amplitudit ja keskijännitykset σ θ = 88 MPa, σ z = 4 MPa, σ r = 7 MPa, σ θ,m = 44 MPa, σ z,m = 2 MPa, σ r,m = 35 MPa Huomaa, että jokainen jännityskomponentti on tykyttävä Tutki Findleyn mallia hyväksikäyttäen tapahtuuko suutimen rungossa väsymismurtuma kun materiaalin väsymislujuusarvot ovat σ = σ a,r= = 7 MPa ja σ = σ a,r= = 56 MPa Findleyn mallissa väsymismurto tapahtuu jos τ a,n + kσ n f z r Ratkaisu Sylinterikoordinaatistossa (θ, r, z) mielivaltaisen tason normaali voidaan esitää kahden kulman φ ja ψ avulla seuraavasti cos φ cos ψ σ θ n = cos φ sin ψ ja jännitysmatriisi on σ = σ r sin φ σ z Koska kuorma on suhteinen, jännityskomponentit ovat σ θ = σ θ,m ( cos ωt), σ r = σ r,m ( cos ωt), σ z = σ z,m ( cos ωt) Merkitän syklisen aikahistorian funktiota lyhyesti h(t) = cos ωt Lasketaan ensin pinnan, jonka yksikkönormaali on F n, traktiovektori h = 8 mm σ F θ,m cos φ cos ψ t = σ T n = σ r,m cos φ sin ψ h(t) σ a z,m sin φ Pinnan normaalijännityskomponentti on σ n = t n = (σ θ,m cos 2 φ cos 2 ψ + σ r,m cos 2 φ sin 2 ψ + σ z,m sin 2 φ)h(t) 2

13 MEI-32 Murtumismekaniikka - 3 kotitehtäväsarja, päivitys 2326 Lasketaan pinnan suuntainen jännityskomponentti, eli traktiovektorin projektiovektori pinnalle σ θ,m cos φ cos ψ cos φ cos ψ t τ = t σ n n = σ r,m cos φ sin ψ σ n cos φ sin ψ h(t) = t τ h(t) σ z,m sin φ sin φ Huomaa, että hakasulkulausekkeessa oleva vektori, t τ, on vakio kiinnitetyillä kulmien φ, ψ arvoilla, joten sen pituus on leikkausjännitysamplitudi, eli τ a,n = t τ = t t σ n, 2 jossa ja t t = σ 2 θ,m cos2 φ cos 2 ψ + σ 2 r,m cos 2 φ sin 2 ψ + σ 2 z,m sin 2 φ, σ n = σ θ,m cos 2 φ cos 2 ψ + σ r,m cos 2 φ sin 2 ψ + σ z,m sin 2 φ Maksimileikkausjännitysamplitudin τ a,n ja normaalijännityksen maksimiarvo σ n saavutetaan tietenkin samalla ajanhetkellä Lauseke τ a,n + k σ n on siten kahden muuttujan φ ja ψ funktio, jonka suhteen maksimi on etsittävä Merkitään F (φ, ψ) = τ a,n (φ, ψ) + k σ n (φ, ψ), jolloin ääriarvon välttämätön ehto on Lasketaan derivaattoja F φ = τ a,n φ + k σ n φ =, F ψ = τ a,n ψ + k σ n ψ = σ n φ = 4 sin φ( σ θ,m cos φ cos 2 ψ σ r,m cos φ sin 2 ψ + σ z,m cos φ), τ a,n φ t 2 t = φ 2 σ σ n n φ t t σ n 2 = σ 2 θ,m sin φ cos φ cos2 ψ σ 2 r,m sin φ cos φ sin 2 ψ + σ 2 z,m sin φ cos φ σ n σ n φ t t σ 2 n Tästä havaitaan, että φ = toteuttaa yhtälön F/ φ = Täten ongelman ratkaisu voidaan saattaa loppuun tarkastelemalla tehtävää vain (θ, r)-tasossa Tällöin ( ) σθ,m cos ψ t = ja σ σ r,m sin ψ n = 2(σ θ,m cos 2 ψ + σ r,m sin 2 θ), ja leikkausjännitysamplitudille saadaan lauseke τ a,n = (σ θ,m σ r,m ) cos ψ sin ψ Findeyn väsymiskriteeri jännityksistä riippuva osa on siten F (, ψ) = (σ θ,m σ r,m ) cos ψ sin ψ + 2k(σ θ,m cos 2 ψ + σ r,m sin 2 ψ) = g(ψ) 3

14 MEI-32 Murtumismekaniikka - 3 kotitehtäväsarja, päivitys 2326 Maksimin olemassaolon välttämätön ehto on josta saadaan g (ψ) = (σ θ,m σ r,m )(cos 2ψ 2k sin 2ψ) =, tan 2ψ = 2k Tehtävän lukuarvoilla ξ = σ /σ =, 8, josta seuraa k =, 237, sekä f = 2 σ (k + + k 2 ) = 442, 7 MPa Kriittisen tason kulmalle saadaan arvo ψ = 323 Leikkausjännitysamplitudi tässä tasossa on τ a,n = (σ θ,m σ r,m ) sin ψ cos ψ = 2 (σ θ,m σ r,m ) sin 2ψ = σ θ,m σ r,m 2 = 356, 9 MPa + 4k2 ja normaalijännitys vastaavasti σ n = 2(σ θ,m cos 2 ψ + σ r,m sin 2 ψ) = 428, 6 MPa Siten F = τ a,m + kσ n = 458, 5 MPa > f = 442, 7 MPa, joten Findleyn mallin mukaan rakenne ei kestä kuormituksen väsymättä äärettömälle eliniälle Ratkaisun saa helposti vaikka piirtämällä F (, ψ):n kuvaajan 4