Johdatus materiaalimalleihin

Transkriptio

1 Johatus materiaalimalleihin Johatus materiaalimalleihin. harjoitus - virumis- ja vauriomallit Tehtävä. Nortonin-Baileyn virumismalli on muotoa ε c σ p σ t c σ + K σ, jossa σ on kuormittamattoman materiaalin myötöjännitys, t c (ajan imensio) ja p (imensioton) materiaaliparametreja ja lujittumissääntö on saturoituvaa muotoa Tehollinen virumisvenymä määritellään K K ( exp( h ε c /K )). ε c t 3 εc ij εc ij, εc ε c t. Tehollinen jännitys on tavanomainen von Mises jännitys σ 3J. Huomaa, että monotonisessa yksiakselisessa jännitystilassa tehollinen virumisvenymä yhtyy jännityksen suuntaiseen venymään tai sen itseisavoon mikäli jännitys on puristusta. Määritä ja piirrä kokonaisvenymän ε lauseke virumisexponentin p arvolla p yksiakselisen vakiojännitystilan alaisuuessa σ σ, muut komponentit nollia. Kimmoisa materiaalimalli on lineaarinen ja isotrooppinen ja jonka kimmokerroin on E. Käytä jännityksen arvoja σ σ ja σ. Oleta seuraavat suhteet materiaaliparametrien välillä: K σ, h E/5 ja E/σ 5. Mieti miten lujittumissääntöä olisi muutettava, jotta malli pystyisi kuvaamaan myös virumisen tertiäärivaihetta ja siten virumismurtoa? Ratkaisu. Yksiulotteisessa jännitystilassa virumisvenymän evoluutioyhtälö on siten ε c σ p σ t c σ + K σ, ja ottaen huomioon, että K σ u σ, saaaan vetokokeen tapauksessa ε c ( ) σ p t c σ u + K exp( hε c. /K ) Saaaan siis (σ u K exp( hε c /K )) p ε c σp t c t, joka voiaan integroia helposti mikäli p, jolloin σ u σ εc + K hσ [exp( hεc /K ) ] t t c. Kuvaajat voiaan helposti piirtää. Ota huomioon välitön elastinen muoonmuutos ε σ E + εc. Venymän arvo voiaan normeerata vaikka arvoon ε σ /E.

2 σ/.4. Johatus materiaalimalleihin ε/ε t/t c Kuva : Venymä ajan funktiona virumiskokeessa, jossa σ σ ja σ. Primääriviruman osuus on pieni. Huomioi venymän suuruusluokka. Kimmoinen venymä on merkityksetön virumisvenymiin verrattuna. Tehtävä. Vertaile kahta eri isotrooppista vauriomallia toisiinsa yksiakselisessa tapauksessa: σ ( D)Eε e, () σ exp( D)Eε e, () ja olettaen molemmille malleille sama vaurion evoluutioyhtälö Ḋ ε e r, (3) t jossa t ja r ovat materiaaliparametreja. Venymän viitearvo on σ r /E. Huomaa, että mallissa () vauriomuuttuja ei ole ylhäältä rajoitettu. Ratkaise mallien vaste vakionopeuella suoritettavassa vetokokeessa, jossa venymä kasvaa lineaarisesti ε ε t, jossa ε on kokeessa vakiona pietty muoonmuutosnopeus. Piirrä tulokset (, σ/σ r )-koorinaatistossa. Oletetaan ettei epäelastisia muoonmuutoksia esiinny, eli ε ε e. Määritä lisäksi venymän ja vauriomuuttujan arvot maksimijännityksen kohalla. Piirrä vaurioparametrin kehitys muoonmuutoksen funktiona. Tutki parametrin r vaihtelun vaikutusta esimerkiksi arvoilla r, 4, 6. Ratkaisu. Tarkastellaan ensin lineaarista vauriomallia σ ( D)Eε, (4) Ḋ ε e r. (5) t Huomaa, että vaurio on jatkuvasti kasvava, eli vaurioituminen ei ole palautuva prosessi. Vakiomuoonmuutosnopeuella tapahtuvassa vetokokokeessa ε(t) ε t. Integroiaan siten vaurion evoluutioyhtälö D t ε t r D t, t

3 Continuum mechanics 3 Johatus materiaalimalleihin 3 r, 4, 6, k, ε t / k,,, r 4, ε t /ε Figure : Stress-strain relation in a uniaxial constant strain-rate tensile test. Left-han sie Kuva : Jännitys-venymä effect of riippuvuus the r-parameter kun r-parametrilla variation. Increase on arvot: of ther r-parameter punainen makes ehyt the viiva, moel more brittle, r 4, vihreä katkoviiva, r r re 6soli, sininen r pisteviiva. 4, green ashe, r 6 blue otte curve. Right-han sie effect of the k-parameter variation. Increasing k-parameter makes the moel more brittle, k re soli, k, green ashe, k blue otte curve. josta saaaan + In the following D figures behaviour of the. (r + ) ε moel is investigate by varying the parameters. t Huomaa, että ε The ultimate tensile stress, i.e. the fracture stress can be foun to occur at strain t imensioton suure. Jännitys-venymä riippuvuus on siten (erive the result) [ ( [ ] ) ] (r + ) ε t /(r+) σ + ε, () (r + k +. ) (6) σ r (r + ) ε t an the fracture stress is thus Malli ennustaa maksimivenymän, jossa ( materiaali ) vetokokeessa σ ( murtuu ) frac r + k+ (r + ) ε t r+ σ r ε frac r + (r k + ) ε t /(r+) (r + k + ) ε. r r+k+ r + (k+)(r+) ε t r+. (3) Maksimijännitys, eli murtolujuus on venymän arvolla r + k + In figure (lhs) [ the parameter ] ε (r + ) ε t /(r+) r is varie while keeping the other parameters k an t constant. Incresing ε the r-parameter increases, the ultimate tensile strength, (7) however, it r (r + ) also increases the brittleness. ja sitä vastaava maksimijännitys In figureon (rhs) the parameter k is varie while keeping the other parameters r an t ( constant. ) Incresing the k-parameter increases the ultimate tensile strength, however, it σ also increases r+ frac r + k+ (r + the ) brittleness. ε t It can be seen that r+ r + r+ ε if t r+ k < the moel shows terminal. (8) σ r r + phase uctility, (r + ) thus σ, whenr ǫ +. If the loaing rate is increase an the other parameters are constant, the behaviour is Vaurioparametrin arvo murtojännityksen kohalla on similar but the ultimate stress is increasing with increasing loaing rate, see figure. Depenency of the fracture D stress σ frac from the parameters is shown in figures 3, 4. (r + ). (9) Kuvassa parametria r muutettu. Kasvattamalla r-parametria kasvattaa myös murtojännitystä, se myös tekee materiaalista hauraampaa. 3 Jos kuormitusnopeutta kasvatetaan, vaikutus on samankaltainen, katso kuvaa 3. 3

4 Continuum mechanics 4 Johatus materiaalimalleihin 4 k, r 4, ε t / /,, Figure : Stress-strain relation in a uniaxial constant strain-rate tensile test, εt varie, i.e. Kuva either3: t Jännitys-venymä varie or the loaig käyttäytyminen rate ε. Increasing yksiakaselisessa loaing ratevakionopeuella increases the maximum suoritetussa stress, vetokokeessa ε t / / jokore venymänopeutta soli, ε t / tai, green materiaaliparametria ashe, ε t /ǫ r t blue muutetaan. otte curve. Vetonopeuen kasvattaminen nostaa murtolujuutta: ε t / / punainen ehyt viiva, ε t /, vihreä katkoviiva, ε t /ɛ r sininen pisteviiva. Materiaalimallin () tapauksessa vaurion evoluutio on kuten eellä esitetty, joten saaaan [ k,,, ε t / ] σ + ε exp. () σ r.95 (r + ) ε t Käytetään lyhennysmerkintöjä.9 σfrac/σr.85 a.8 r + ε t, x ε, y σ σ r, jolloin murtolujuuen ratkaisemiseksi.75 lasketaan funktion y exp( ax r+ )x erivaatan nollakohta.7.65 y exp( ax r+ ) (r + )ax r+ exp( ax r+ ) exp( ax r+ ) ( (r + )ax r+), josta maksimijännityksen esiintymiskohaksi saaaan r ε ε t /(r+). Figure 3: Fracture stress as a function of the r-parameter an with ifferent k-parameter values: k re soli, k green ashe, k blue otte curve. In all cases Vaurion arvo maksimijännityksen kohalla on - vertaa eelliseen kohtaan (9) ε t /. D r +. Huomaa, että murtovenymä on ääretön tällä 4 mallilla. Mallin jännitys-venymäkäyttäytyminen on esitetty kuvassa 4. 4

5 Johatus materiaalimalleihin 5 r, 4, 6, k, ε t / Kuva 4: Mallin () antama jännitys-venymä riippuvuus kun r, 4, 6 ja ε t /ɛ r. Viivatyyppien merkitys kuten kuvassa 5