Matemaatiikan tukikurssi

Transkriptio

1 Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon A alkioon tasan yksi maalijoukon B alkio. Merkitsemme sitä, että f on funktio lähtöjoukosta A maalijoukkoon B seuraavasti: f : A B eli f on funktio lähtöjoukosta A maalijoukkoon B Esimerkki 1.1 (Funktio) Lähtöjoukko voi olla A = {1, 2, 3} ja maalijoukko B reaalilukujen joukko R. Eräs funktio f : A B voidaan määritellä kaavalla f (x) = 2x. Tässä x on siis lähtöjoukon A alkio eli x on 1,2 tai 3. Toinen funktio voisi olla g(x) = 1, joka liittää jokaiseen A:n alkioon numeron 1. Eli esimerkiksi g(3) = 1 ja f (2) = 4. Huomaa edellisessä esimerkissä, että funktio liittää aina jokaiseen lähtöjoukon alkioon jonkin maalijoukon alkion. Voimme sanoa, että f on funktio f : A B, jos kaikille alkioille lähtöjoukossa A on olemassa tasan yksi alkio y maalijoukossa B siten että f (x) = y. Esimerkki 1.2 (Funktio) Sääntö f : R R, f (x) = 1 on funktio, sillä se toteuttaa edellä mainitun määritelmän: se liittää kaikkiin lähtöjoukon alkioihin yhden maalijoukon alkion (numeron 1). Lähtöjoukko on tässä koko reaalilukujen joukko, kuten maalijoukkokin. Huomaa, että maalijoukko voi sisältää arvoja y joita funktio ei saa millään x:n arvolla. Esimerkki 1.3 ( Epäfunktio ) f : R R, f (x) = 1/x ei ole funktio, sillä se ei liitä jokaiseen lähtöjoukon R alkioon maalijoukon alkiota: kyseinen lauseke ei ole arvolla x = 0 määritelty, joten kaikille lähtöjoukon alkioille (nimenomaan nollalle) se ei liitä maalijoukon alkiota. Esimerkki 1.4 (Funktio) Sen sijaan jos edellisen esimerkin lähtöjoukosta 1

2 poistetaan nolla, saamme funktion: f : R \ {0} R, f (x) = 1/x. Funktion määrittelyjoukko Funktion määrittelyjoukko on sama asia kuin funktion lähtöjoukko. Laajin mahdollinen määrittelyjoukko taas sisältää kaikki ne arvot, joilla funktion lauseke on määritelty. Se on siis laajin mahdollinen lähtöjoukko, joka funktiolle voidaan muodostaa. Esimerkiksi funktio f (x) = 1/x ei ole määritelty nollassa, koska nollalla ei saa jakaa. Se on kuitenkin määritelty kaikilla muilla x-arvoilla, joten sen laajin määrittelyjoukko sisältää kaikki reaaliluvut, paitsi nollan: tätä määrittelyjoukkoa voi merkitä A = {x : x R, x = 0}. Puolestaan x ei ole määritelty kun x < 0, mutta on määritelty muulloin. Tällöin tämän funktion laajin mahdollinen määrittelyjoukko on A = {x : x R, x 0}. Esimerkki 1.5 (Lähtöjoukko) Lähtöjoukon saa määrittää vapaasti, kunhan funktio on lähtöjoukon alkioilla määritelty. Esimerkiksi f : Z + R, f (x) = 1/x on eri funktio kuin g : R \ {0} R, g(x) = 1/x, koska niiden lähtöjoukot ei ole samoja. Tämä osoittaa, kuinka pelkkä funktion lauseke f (x) ei määritä funktiota, vaan myös lähtö- ja maalijoukot on mainittava. Funktion laajin mahdollinen määrittelyjoukko on siis sellainen joukko A, joka sisältää kaikki mahdolliset x-arvot, joilla tämä funktio on määritelty. Esimerkki 1.6 (Laajin mahdollinen määrittelyjoukko) Funktio g(x) = 1/x on määritelty kaikilla reaaliluvuilla, paitsi nollalla. Täten sen laajin mahdollinen määrittelyjoukko on R \ {0}. Esimerkki 1.7 (Laajin mahdollinen määrittelyjoukko) Funktio g(x) = 1/(x + 1) on määritelty aina, kun sen nimittäjä ei ole nolla. Täten se on määritelty, kun x + 1 = 0 x = 1. Täten laajinta mahdollista määrittelyjoukkoa voidaan merkitä A = {x : x R, x = 1} Funktion injektiivisyys Funktio on injektio, jos se antaa eri lähtöjoukon alkioille (x-arvoille) eri maalijoukon alkiot (y-arvot). Eli f on injektio, jos x 1 = x 2 = f (x 1 ) = f (x 2 ) eli jos x 1 on erisuuri kuin x 2, niin f (x 1 ) on erisuuri kuin f (x 2 ). 2

3 Esimerkki 1.8 (Injektio) Funktio f : R R, f (x) = x + 1 on on injektio: jos x 1 = x 2, niin x = x eli f (x 1 ) = f (x 2 ). Esimerkki 1.9 (Injektio) Olkoon lähtöjoukko A = {1, 2, 3} ja maalijoukko B = {10, 11, 12}. Funktio f : A B, joka saa arvot f (1) = 12, f (2) = 10 ja f (3) = 11 on injektio, sillä eri x arvoille kuvautuvat eri y arvot. Alla on kuvattu injektion idea tämän funktion kohdalla: Injektiivisyyden havaitsee tässä siitä, että jokaiseen maalijoukon alkioon menee vain yksi nuoli. Esimerkki 1.10 (Ei-injektiivinen funktio) Funktio f : R R, f (x) = x 2 ei ole injektio, sillä se kuvaa eri lähtöjoukon alkioille saman maalijoukon alkion. Esimerkiksi f (1) = 1 ja f ( 1) = 1. Injektion määritelmä ei siis toteudu: x 1 = 1 ja x 2 = 1 ovat eri alkioita, mutta funktio antaa näistä molemmille arvon f (x 1 ) = f (x 2 ) = 1. Tietyn funktion injektiivisyyden voi todistaa valitsemalla kaksi eri lähtöjoukon arvoa, x 1 ja x 2, ja osoittamalle että funktio saa näissä pisteissä eri arvot, eli että f (x 1 ) = f (x 2 ). Toinen tapa todistaa injektiivisyys on valita kaksi pistettä, x 1 ja x 2 siten että f (x 1 ) = f (x 2 ) ja todistaa, että tästä seuraa x 1 = x 2. Injektiivisyys graafisesti Helppo tapa tarkistaa onko jokin funktio injektio on piirtää sen kuvaaja ja katsoa leikkaako mikään vaakasuora viiva funktion kuvaajaa useammin kuin kerran. Jos leikkaa, funktio ei ole injektio. Alla olevassa kuvassa on kuvattu injektio f (x) = x 3 : 3

4 Jos tähän kuvaan yrittää piirtää vaakasuoran viivan, niin tämä vaakasuora viiva leikkaa funktion kuvaajan korkeintaan kerran, eikä esimerkiksi kahta kertaa. Tällöin kyseessä on injektio. Alla on puolestaan kuvattu ei-injektiivinen funktio f (x) = x 2 : Tähän kuvaan voi piirtää vaakasuoran viivan, joka leikkaa funktion f (x) = x 2 kahteen kertaan. Täten kyseessä ei ole injektiivinen funktio. 2 Relaatiot Relaation määritelmä Tarkastellaan kahta alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon. Merkitään a A ja b B. Voidaan ajatella a:n ja b:n välillä olevan relaation, jota merkitään arb ja joka luetaan a relaatio b. Mitä tämä tarkoittaa? Osoittautuu, että relaatio R voi olla melkein mikä tahansa, kuten seuraavat esimerkit osoittavat. Esimerkki 2.1 (Relaatio) Oletetaan, että A ja B ovat reaalilukujoukkoja. Merkitään xry, jos x > y. Eli kyseessä on relaatio, suurempi kuin relaatio. Huomaa, että xry ei tarkoita samaa kuin yrx: edellinen tarkoittaa tässä esimerkissä x > y, jälkimmäinen y > x. Relaation xry x > y voi myös piirtää x y koordinaatistoon: 4

5 y x Tässä harmaaksi värjätty alue koostuu niistä lukupareista (x, y) joilla pätee xry eli x > y. Huomaa, että katkoviiva x = y ei kuulu tähän alueeseen. Relaatio R on siis tässä tapauksessa joukko R = {(x, y) : x, y R, x > y} Esimerkki 2.2 (Relaatio) Voidaan ajatella, että a ja b eivät ole numeroita, vaan esimerkiksi ihmisiä (eli a I ja b I, jossa I on ihmisten joukko). Tällöin voidaan määritellä relaatio arb tarkoittamaan, että a on sukua b:lle. Nyt IlkkaRTomi tarkoittaa, että Ilkka on sukua Tomille. Relaatiota a:sta b:hen voidaan ilmaista arb, mutta myös lukuparina (a, b), joka siis tarkoittaa samaa kuin arb. Kyseessä on ainoastaan eri merkintätapa. Relaation virallinen määritelmä löytyy alta: Relaatio R lukujoukkojen A ja B välillä on yksinkertaisesti joukko lukupareja, jonka ensimmäinen alkio kuuluu joukkoon A ja toinen joukkoon B. Toisin sanottuna: R A B Relaatio on siis mikä tahansa A B:n osajoukko. Yllä olevassa sukulaisuusesimerkissä A oli sama kuin B eli kaikkien ihmisten joukko I (siis A = B = I). Esimerkki 2.3 (Relaatio) Jos A = {1, 2, 3} ja B = {4, 5, 6}, niin yksi relaatio näiden välillä on R = {(1, 4), (2, 6)}, koska R A B. R on joukon A B osajoukko, koska sen kummankin jäsenen ensimmäinen koordinaatti kuuluu joukkoon A ja toinen koordinaatti joukkoon B. Relaation täydellisyys ja transitiivisuus Relaatio joukossa A B on täydellinen, jos se on määritelty kaikkien A:n ja B:n alkioiden välillä. Eli: kaikilla a A ja b B, joko arb tai bra. Lukuparimerkinnöin tämä menee seuraavasti: joko (a, b) tai (b, a). Esimerkki 2.4 (Ei-täydellinen relaatio) Esimerkin 1 relaatio > ei ole täydellinen, sillä kaikilla luvuilla a, b ei päde a > b tai b > a. (Tämä ei päde, 5

6 jos a = b.) Esimerkki 2.5 (Ei-täydellinen relaatio) Esimerkin 2 relaatio joukossa I I ei ole täydellinen, sillä jos se olisi, tarkoittaisi tämä että kaikki ihmiset ovat toisilleen sukua. Esimerkki 2.6 (Täydellinen relaatio) Relaatio joukossa R R on täydellinen sillä kaikilla luvuilla x, y pätee, joko x y tai y x (yritä perustella tämä itsellesi). Toinen tärkeä relaatioiden mahdollinen ominaisuus on transitiivisuus. Alla määritelmä: Relaatio joukossa A B on transitiivinen jos siitä, että arb ja brc, seuraa että arc. Eli: tiedetään arb ja että brc. Jos tästä voi päätellä, että a:sta c:hen on relaatio eli arc, niin on R transitiivinen relaatio. Alla on kuvattu transitiivisen relaation idea: arb brc a b c arc Esimerkki 2.7 (Transitiivinen relaatio) Tutkitaan relaatiota >. Valitaan kolme mielivaltaista lukua: a, b ja c. Oletetaan, että tiedämme että arb ja brc eli että a > b ja b > c. Laittamalla nämä yhteen saadaan a > b > c, mistä luonnollisesti seuraa, että a > c. Eli arc. Joten > on transitiivinen. Edellisessä esimerkissä lähdettiin olettamalla relaatio a:sta b:hen eli arb ja relaatio b:stä c:hen eli brc. Tästä pääteltiin relaatio a:sta c:hen eli arc. Vastaavalla tavalla relaatio voidaan osoittaa transitiiviseksi. Toisaalta relaation voi osoittaa ei-transitiiviseksi löytämällä kolme alkiota, a, b ja c, jolla yllä oleva implikaatio arb ja brc arc ei päde. Esimerkki 2.8 (Ei-transitiivinen relaatio) Jos jälleen tarkastellaan kaikkien ihmisten joukkoa I, voidaan määritellä arb, jos a on b ystävä. Nyt jos a ja b on ystäviä ja b ja c on ystäviä arb ja brc, ei voida päätellä, että arc, eli että a on c:n ystävä. Joten R ei ole transitiivinen. Relaatiot lukuparien välillä Yllä joukot A ja B koostuivat yksiulotteisista alkioista, kuten luvuista 1,2 tai 3. Nämä joukot voivat kuitenkin koostua myös lukupareista. Merkitään 6

7 joukon A jäsentä (x, y) ja joukon B jäsentä (u, v). Nyt voimme merkitä relaatiota R A B merkinnällä (x, y)r(u, v). Esimerkki 2.9 (Relaatio lukuparien välillä) Oletetaan, että A koostuu kaikista reaalilukupareista eli A = R R. Olkoon myös B = R R. Yksi relaatio näiden joukkojen välillä voidaan määrittää (x, y)r(u, v) x + y > u + v. Nyt esimerkiksi (1, 1)R(1, 0), koska > Voit yrittää todistaa, että tämä relaatio on transitiivinen, muttei täydellinen. Esimerkki 2.10 (Leksikografinen relaatio) Olkoon edelleen A = B = R R. Määritellään eräs relaatio näiden joukkojen välillä kaavalla (x, y)r(u, v) x > u tai x = u ja y v Tämä on hieman monimutkaisempi relaatio, nimeltään sanakirjarelaatio tai leksikografinen relaatio. Kyseessä on täydellinen ja transitiivinen relaatio. Tämän relaation voi ymmärtää siten, että siinä ensimmäinen koordinaatti (x tai u) dominoi ja toinen koordinaatti (y tai v) vaikuttaa ainoastaan silloin kun lukuparien ensimmäiset koordinaatit ovat yhtäsuuret. 7