MONIKAPPALEMEKANIIKAN MALLINTAMINEN PARAMETRISOIMALLA SIDOSMONISTO

Transkriptio

1 IIVISELMÄ MONIKAPPALEMEKANIIKAN MALLINAMINEN PARAMERISOIMALLA SIDOSMONISO J. MÄKINEN & H. MARJAMÄKI eknllen ekankan a optonnn lato apereen teknllnen ylopto PL AMPERE ää etykeä kuvataan lyhyet erätä onkappaleekankan allnnutapaa oa holonoten oehtoen uootaa oonto paraetroaan. Paraetroalla oonto pääytään lkeyhtälöhn oa oehtoa e ole lankaan näkyvllä vaan oket on upotettu oonton paraetrontkuvaukeen. Monkappaleekankan ueat holonoet oket kuten erlaet nvelet a lutt voaan varn yknkertaella tavalla paraetroa. ällä allnnutavalla aavutetaan erkttävä etua: uuttua lkeyhtälöä on näärä ekä vältytään raoteyhtälöforulaatoen nueerlta häröherkkyykltä ollon akantegronna voaan käyttää pepää aka-akelta. 1 SIDOSMONISO Monkappaleekankaa kappaleen välet erlaet ltoket a nvelet ekä reunaehot ynnyttävät oehtoa. Erlaet nvelet kuten kertyänvel a praattnen nvel ovat eerkkeä pteätä kneaattta okta otka voaan ettää geoetret puhtaat rtyävapauateen avulla. äänkaltaa oka otka voaan ettää rtyävapauateen avulla kututaan holonok okk. Määrtelä 1: Holononen ovektor (n- kappaletta oka) voaan äärtellä vektorarvoena kuvaukena h: R E n E n ( < n ) ä t on akaparaetr a x( t) h( t x) = 0 n E on yletetty pakkavektor. Mkäl oka e vo ettää ee ntegrotuna äärtelän 1 ukaella tavalla oka kututaan epäholonok. Eerkk koketuepäyhtälötä e voa ettää äärtelän ukaella oyhtälöllä vakka te ovektor rppuukn van rtyäuuttuta. Määrtelä : Holonoten oehtoen (äär. 1) ynnyttää oonto äärtellään b g n o t. n M : = t x R E h t x = 0 E Soonto M on -ulottenen leä onto el -onto oa aka on paraetrna. Soonto M knntetyllä aanhetkellä t = t 0 erktään M t0 :llä.

2 tangenttavaruu x0 M oonto M t0 (lan reunaa) x 0 vrtuaalnen rtyä δ x geoetret oket oonton reuna Kuva 1 Geoetrnen tulknta kneaattta okta Holonoten oehtoen uootaalla ontolla (äär. ) e ole reunaa llä reunallten ontoen yntynen eellyttää epäyhtälöraotteta. Seuraavak tutktaan pteää holonoa oka otka uootavat reunattoan onton yleeen pakka-avaruuteen. Holonolla oklla kyetään allntaaan uur oukko kappaletten välä kneaatta oehtoa kuten erlaa nvelä. Vrtuaalnen rtyä lttyy läheet oontoon llä vrtuaalnen rtyä e aa rkkoa oehtoa. on anoen vrtuaalen rtyän tulee olla kneaattet käypä rtyä kuva 1. = x( t ) knntetyllä aanhet- Määrtelä 3: Soonton tangenttavaruu tontapteeä x kellä t = t 0 äärtellään vrtuaalen rtyän δ x avulla 0 0 { b g } n M : = δ x E x M D h t x δ x = 0 D h on urekto x0 0 t0 x 0 0 x ä D x h on holonoten oten ervaatta pakkavektorn x uhteen. Määrtelä 3 raaa po onton epääännöllet pteet llä ervaattaatr oletetaan urektvek t. atrn rank on täy. Nän ollen oonton M eno e uutu. Geoetret äärtelä tarkottaa tä että käypä vrtuaalnen rtyä atee oonton enhetken tontapteen tangenttavaruuea kuva 1. SIDOSMONISON PARAMERISOINI avallat onkappaleäretelän geoetret nvelet kuten pallo- kertyä- ylnter- karaan- a ruuvnvelet ekä erlaet ohteet voaan ettää holonoten oehtoen avulla otka rppuvat van rtyävapauateta. Kakk nää oket ynnyttävät oonton oka voaan paraetroa. ää paraetront on tavallet ahollta van pakallet utta ueaalla karttalehellä voaan kuvata oonto kokonauueaan kuva. Newtonn lkeyhtälö kappaleäretelälle oa rtyäuuttua on n kappaletta voaan krottaa uooa f ( ɺ ) M ɺɺ = 0 (1)

3 upotuavaruu E n onto M E n ϕ1bu 1g ϕbu g ϕ 1 ϕ U 1 ϕ 1 ϕ1 U karttaleht karttaleht paraetravaruu E Kuva Soonton M paraetront kahen karttalehen avulla kun n = 3 a = ä f( ɺ ) on rtytä a nopeukta rppuva yletetty voavektor M on aatenor a ɺɺ on khtyvyyvektor. Vaataan läk että äretään tulee toteuttaa holonoet oket h:e n n E otka tuottavat -onton E n :ä n o t. () M : = t R n E h( t ) = 0 E Oletetaan yö että oonto M on äännöllnen kakkalla ollon oten ervaatta D h on urektvnen oonton okaea pteeä. Nyt vrtuaalen työn peraate ongelalle (1) oontolla () on b g 0. (3) δw = f ( ɺ) M ɺɺ δ = Yletetty voavektor f voaan akaa annettuhn von f appl 0 M a ovon f con 0 M oen vrtuaalnen työ hävää. Vrtuaalnen rtyä δ kuuluu oonton tangenttavaruuteen 0 M kä voaan antaa uooa Oletetaan että rtyävektor E n o t. (4) n M = δ E D h( t ) δ = voaan akaa äntärtyävektork E a orartyävektork E n ten että ervaattaatrlla D h( t ) kä on nelöatr on oleaa käänteatr. Iplttfunktolaueen noalla on oleaa kuvau n φ( t ): R E E tontapteen ypärtöä ten että h ɵ ( t ): = h( t φ ( t )) = 0. (5) Nän ollen orartyävektor E n voaan ettää äntärtyävektorn E avulla t. = φ( t ). Läk oonton M paraetront voaan krottaa nyt uoraan ku-

4 vauken φ( t ) avulla ϕ: R E M ( t ) ϕ( t ): = φ( t ) b g. (6) Paraetrontkuvau ϕ toteuttaa oket h( t ϕ( t )) = 0 kaavan (5) peruteella. onaan oket voaan antaa aata rppuattoaa uooa h( ): = φ ( ) = 0 kä antaa luonnollen oonton M paraetronnn llä D h( t ) = I. arkatellaan euraavak aata rppuatonta oonton M paraetrontkuvauta n ϕ:e M E = ϕ( ). (7) Srtyävektorn M varaato äntärtyävektorn E avulla lauuttuna on δ δ = B B: = D ϕ( ) (8) ä B kneaattnen operaattor B: E = E E n M tangenttavaruuken välllä. Srtyävektorn akaervaatat ovat vataavat ɺ = B ɺ M ɺɺ = B ɺɺ + Bɺ ɺ M ä kneaatten operaattorn akaervaatta ɺB yleenä epälneaaret äntärtyävektorta a lneaaret nopeuvektorta ɺ. ää nähään yhteyetä (9) Bɺ = D B ɺ ɺ B ɺ = D ϕ ( ):(ɺ ɺ ) (10) ä älkänen yhtälö ettää nelölltä rppuvuutta nopeuvektorta ɺ. Nyt vrtuaalen työn peraate (3) oontolla M voaan krottaa paraetravaruuea E yhteyken (7-9) avulla δ B f( ɺ ) MBɺɺ MB ɺɺ = δ c h 0 E (11) ä oket () toteutuvat autoaattet paraetronnn (7) anota. on anoen holonoet oket on nyt upotettu vrtuaalen työn peraatteeeen (11) ollon aatu lkeyhtälö rppuu van äntärtyävektorta a en akaervaatota. Vrtuaalen työn (11) lnearont aanhetkellä t = t 0 tontapteen ypärtöä ( 0 ɺ 0 ) E E uuntaan ( ɺ ) antaa tuloken b g 0 E (1) δ f M ɺɺ ɺ K = δ 0 ä yletetty äntävoavektor f 0 äykkyy- vaennu- a aatenort ovat vataavat

5 oonto M E n x0 M upotuavaruu E n f x 0 ϕ( ) x f paraetravaruu E Kuva 3 Yletetyn voavektorn kuvau upotuavaruueta paraetravaruuteen f : = B f( ɺ ) MB ɺɺ E K : = D B ( f( ɺ ) + MBɺɺ + MB ɺɺ ) E : = D B ( f( ɺ ) + MB ɺɺ ) E M 0 c ɺ : = B MB E. h (13) Yllä oleven yhtälöen avulla voaan ohtaa paraetravaruuen voavektorn ekä tangentttenort a aatenorn kun paraetrontkuvau: ϕ:e M on oleaa. avallet orartyävektor oataan lauua äntärtyävektorn avulla ollon orakuvau = φ( ) tunnetaan. ällön paraetrontkuvau ϕ euraa uoraan yhtälötä (6). Yletetty voavektor f Newtonn lkeyhtälöä (1) ältää ekä kuortuketa ohtuvan ulkoen voavektorn äen voavektor että nopeueta rppuvan khtyvyyvoavektorn ext nt accb f( ɺ ) = f ( ) f ( ɺ ) f ( ɺ ) E n (14) ext nt accb ä f f an f ovat ulkonen a änen voavektor ekä nopeueta rppuva khtyvyyvoavektor. Upotuavaruuen rtyävektor tunnetaan paraetrontkuvauken = ϕ( ) avulla. Upotuavaruuea E n n voaan äärtellä euraavat tangentttenort nt nt K : = D f ( ɺ ) : = D f ( ɺ ) ext K : = D f ( ) loa acc acc K : = D f ( ɺɺɺ) : = D f ( ɺɺɺ). cent gyro ɺ ɺ (15) Sottaalla yhteyet (14-15) yhtälöön (13) aaaan

6 ext nt accb f : = B f ( ) f ( ɺ ) f ( ɺ ) MB ɺɺ E ext nt acc K : B ( K loa K K cent ) B ( gyro ) B ɺ MB ɺɺ = Kσ( f + f + f ) E (16) : = B ( + ) B + MBɺ E M 0 gyro : = B MB E 0 acc acca accb ä khtyvyyvektor f = f + f E n a geoetrnen äykkyytenor K σ äärtellään K ( f ): = D ( B f ) (17) σ ä vektora f petään ervonna vakona; erknnällä f. Geoetrnen äykkyytenor K σ on yetrnen tenor llä kaavan (8b) ukaan K σ ( f ) = D ( ϕ f ).. geoetrnen äykkyytenor on kalaarfunkton tonen ervaatta äntärtyävektorn uhteen. Yhtälöen (16) avulla voaan ohtaa paraetravaruuen E yletetyn voavektorn a tangentttenort ekä aatenorn kun vataavat uureet upotuavaruuea E n a kneaattnen operaattor B ekä en akaervaatat tunnetaan. Anoataan geoetrnen äykkyytenor K σ kaava (17) on hean vakean lakettava. 3 ERIYISIÄ PALKKIELEMENEJÄ ää kappaleea etellään par erkoeleenttä otka ältävät holonoen oehon. Soonto paraetroaan a yletetty voavektor ekä tenort etetään oonton paraetravaruuea. Saatua ertyeleentteä voaan käyttää eleenttenetelää tavanoaten eleentten tapaan ekä tällön lkeyhtälöä ole tällön lankaan oehtoa näkyvä vaan ne ovat upotettuna paraetrontkuvaukeen = ϕ( ) 3.1 Kopleentaarnen palkkeleentt Kuten tunnettua e ole oleaa kertyoperaattorn paraetronta oka ol aalla ekä globaal että e-ngulaarnen. Eerkk kaklla kertyoperaattorn Eulern kulaetyuoolla on oleaa tontapte oa paraetront on ngulaarnen. Seuraavak etellään kopleentaarnen palkkeleentt oa kertyoperaattor kuvataan kahella karttalehellä. ällä enettelyllä vältytään ngulaaruuongelta. Mkä tahana kertyoperaattor R voaan ettää kertyävektorn Ψ avulla oka äärtellään. 3 Ψ : = ψ n n E ψ R + (18) ä n on kertyakeln ykkövektor n = 1 a ψ on potvnen kertykula. Kertyävektorn Ψ a kertyoperaattorn R välllä on yhtey n ψ ~ 1 co ~ R: = I + + ψ Ψ Ψ = exp Ψ ~ ψ = Ψ ψ ψ ä vnoyetrnen tenor ~ Ψ äärtellään kaavalla e (19) ~ Ψ h = Ψ h h E 3. (0)

7 kertyonto SO(3) paraetrontkuvau exp( Ψ ~ ) π Ψ π paraetronnn vahto π paraetrontkuvau exp( Ψ ~ ) π karttaleht Ψ kopleenttkarttaleht Kuva 4 Kertyonton kak paraetronta kertyävektorn a en kopleenttvektorn avulla on anoen ~ Ψ on akelvektora Ψ vataava vnoyetrnen tenor. Kuvaa 4 on etetty kertyonton a en paraetronnn geoetrnen tulknta. Kertyävektor Ψ on kertyoperaattorn paraetront oa tään paraetrontkuvau ϕ on nyt atrekponenttkuvau exp( Ψ ~ ). Kertyävektoretyuoto on ngulaarnen kertykulan arvolla ψ = π. ällön nollakertyvektor ekä kertyvektor onka ptuu on π kuvautuvat aak pteek entteetk I. Kertyoperaattoreen uootavat kertyonton SO( 3 ) oka voaan äärtellä kaavalla o t. (1) 3 3 SO( 3): = R: E E lneaarnen R R = I et R = + 1 Kertyoperaattor R on ortogonaalnen operaattor oka älyttää kuvaukea alkuperäen kätyyen. Kaava äärttää epäuorat ervotuvan onton oa ortogonaaluuehto aettaa kuu totaan rppuatonta oehtoa kertyoperaattorlle ollon kertyoperaattoreen oukko SO( 3 ) uootaa 3-ulotteen pnnan ta okean 3-onton 9-ulotteeen avaruuteen. Kertyonto voaan paraetroa van pakallet utta o kahella karttalehellä tää paraetront voaan uorttaa täyn pettävät. Kertyvektorn etyuoon ngulaaruuongelat kertyäkulan arvolla ψ = π voaan välttää äärtteleällä yö tonen karttaleht oka paraetro täyentävät kertyontoa. Kopleenttkertyävektor Ψ äärtellään kaavalla Ψ : = Ψ π Ψ ( = φ( )) ψ = Ψ () ψ Kertyävektor kuvataan kopleenttkertyävektork kun kertykula ylttää okokulan t. ψ > π. ällön kopleenttkertyäkula ψ = π ψ oka on penep kun okokula t. ψ < π. Kuvaa 4 on etetty paraetronnn vahot alkuperäetä kertyävektorparaetronnta kopleentaareen kertyävektorparaetrontn. Nällä kahella karttalehellä kä tahana kertylke voaan kuvata kattavat.

8 kopleentaarnen palkkeleentt Ψ 1 Ψ tavallnen palkkeleentt Ψ 3 ulokepalkk kuortettuna Ψ 1 Ψ tavallnen palkkeleentt Kuva 5 lanne ollon kopleentaarta palkkeleenttä tarvtaan Dynakan lakennaa uurlla kertyllä ouutaan uen tlanten oa kakoluen palkkeleentn tonen olun kertyävektor etetään kopleenttkarttalehellä a tonen kertyävektor präärellä karttalehellä. ällön nterpolont oluen välllä e ole voaa. Kuvaa 5 on etetty tlanne ollon täänkaltata ertyeleenttä kavataan. Kuvaa olun 1 kertyävektor etetään kopleenttvektorna Ψ 1 llä kertyäkula on ylttänyt arvon π a olua kertyävektor etetään präärellä karttalehellä Ψ llä olun kertyäkula on penep kun okokula. Interpolontongela voaan ratkata äntä-orateknkkaa käyttäen. Nyt kopleenttkertyävektor Ψ vataa orartyävektora E 3 a kuvan 5 va- eanpuoleen palkn olurtyävektor on ( 1 Ψ1 Ψ ) ä on olun tranlaatortyä vataa äntärtyävektora E 1. = φ( ) on uoraan kaavan () ukanen kuvau onka varaato a akaer- Orakuvau vaatat ovat ä orartyän kneaattnen operaattor B Bɺ ɺ ( ɺ = B Ψ Ψ ) a B ɺɺ ɺɺ ( ɺ ɺɺ = B Ψ Ψ Ψ ) ovat δψ = B δψ Ψɺ = B Ψɺ (3) Ψɺɺ = B Ψɺɺ + Bɺ Ψɺ = B ( ) a en aan uhteen laketut ervaatat Ψ B = ( 1 π ) I + π 3 3 e e E ψ ψ Bɺ = π ( e ɺ ) I + ( ɺ e + e ɺ ) ( e ɺ ) 3 3 Ψ Ψ Ψ 3 Ψ e e E ψ Bɺɺ = π ( e Ψɺɺ ) + (ɺ e Ψɺ ) I+ Ψɺɺ e+ e Ψɺɺ + Ψɺ eɺ + eɺ ɺ Ψ + ψ 6π ( e Ψɺɺ ) + (ɺ e Ψɺ ) e e+ ( e Ψɺ )(ɺ e e+ e e ɺ) ( e Ψɺ ) Bɺ. ψ ψ (4) ä kertyakel e = Ψ / ψ. Upotuavaruuen rtyävektor E 15 :ä äntärtyävektor a orartyävektor ovat

9 F F := H G I K J = HG Kaavaa (4) on annettu orakuvauken Ψ Ψ Ψ 1 1 I KJ 15 E. (5) = φ( ) kneaattnen operaattor. Paraetrontkuvauken = ϕ( ) kneaattnen operaattor B a en akaervaatat ovat vataavat F I B = HG I O O B B O B K J =F HG I O B K J F = HG I 1 1 O B K J E ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ (6) c h c h b 3 9 g Kaavoen ukaet (16) voavektor f 0 a tenort K a M paraetravaruuea E 1 voaan lakea uoraan kun velä kaavan (17) geoetrnen äykkyytenor K σ laketaan: K σ O O O = F H G I K J 3 9 K σ E 1 1 Kσ = π 3 3 ( f e) I + f e + e f 3( f e) e e E ψ (7) ä oravoavektorn f E 3 vapauateet vataavat orartyävektora Ψ. Voavektor f 0 tangentttenort K a aatenor M paraetravaruuea E 1 aaaan kaavoen (16) avulla kun upotuavaruuen E 15 voavektor f tangentttenort K loa K K cent gyro a aatenor M on lakettu. Nää upotuavaruuen uureet tunnetaan llä eleentn olurtyävektor ( 1 Ψ1 Ψ ) on oa upotuavaruuen rtyävektora kaavan (5) peruteella. 3. Kertyänveleleentt ää kappaleea etetään erkopalkkeleentt oka ptää ällään kerty- el arananvelen. Kertynvelelle pätee kneaattnen yhtey kertyoperaattoreen välllä R = R R (8) ä R = R( Ψ ) on oraolun kertyoperaattor a R = R( Ψ ) on äntäolun kertyoperaattor a R = R( ϕe ) on kertynvelen kertyoperaattor ä ϕ on nvelen kertykula (potvnen ta negatvnen a nkä kokonen tahana) a e on kertynvelen kertyakel alkutlaa. Varoalla yhtey (8) aaaan kneaattnen relaato äntä a orakertyen vällle δθ = R δθ + e δϕ (9) ä δθ an δθ ovat aneella kertyäläyvektoreta äntä a oraolua. Kertyoperaattorn varaatolle aneellea etyuooa pätee yhtey δr = Rδ Θ ~ ä vrtuaalnen aneellnen kertyäläyvektorlle δθ a vrtuaalelle kokonakertyävektorlle δψ on

10 voaa relaato δ Θ = δ Ψ nψ 1 ψ ψ ψ = co ~ n : I Ψ + Ψ Ψ (30) 3 ψ ψ ψ ψ : = Ψ R = exp( Ψ) l ( Ψ) = I ä tangentaalnen uunno on ngulaarnen kertyäkulan arvolla π. Sottaalla yhtey δθ = δ Ψ ä = ( Ψ ) kaavaan (9) aaaan ora- a äntäkertyen vällle kneaattnen yhtey ä orakuvauken F = B H G I KJ Ψ 0 δψ δψ δϕ B R e c 1 1 = = φ( ) kneaattnen operaattor B E 3 4 a h = ( Ψ ). Orartyävektor äntärtyävektor a upotuavaruuen E 16 rtyävektor ovat tää tapaukea Ψf = = G J F = H G I Ψ E K J 3 E 13 E 16. Ψ ä f eutaa eleentn vapaata olua. Nyt paraetrontkuvauken kneaattnen operaattor B a en akaervaatat B ɺ a B ɺɺ ovat erkntöen (3) ukaet F G HG f ϕ I J KJ (31) (3) F I B = HG I O O B B O B K J =F HG I O B K J F = HG I O B K J E ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ (33) c h c h b 3 9 g ä orakuvauken kneaatten operaattorn akaervaatat ovat ɺ ɺ -1-1ɺ -1 ɺ ɺ -1 B = R + R + R e (34) Bɺɺ ɺɺ -1-1 R Rɺɺ -1 R ɺɺ ɺ -1 Rɺ ɺ -1 R ɺ -1 Rɺ ɺ ɺɺ -1 = e. Lopuk kaavan (17) ukanen geoetrnen äykkyytenor K σ on K σ = F HG O O O O 0 y. O O O 0 O O 0 K k ΨΨ Ψϕ k ϕϕ I KJ E (35)

11 ä oatenort voaan ettää uooa K = R f Ψ + R f Ψ R E ΨΨ 1 k = R f Ψ e R ~ e f E Ψϕ k ϕϕ b g b g b g = e f Ψ e E 6 (36) ä oravoavektor f E 3 vataa orakertyävektorn Ψ vapauateta. enort a 6 ekä tangentaalen uunnoken akaervaatat a kääntetenor 1 ekä en akaervaatat on etetty lähteeä [1]. Voavektor f 0 tangentttenort K a aatenor M paraetravaruuea E 13 aaaan kaavoen (16) avulla kun upotuavaruuen E 16 voavektor f tangentttenort K loa K K cent gyro a aatenor M on lakettu. Nää upotuavaruuen uureet ovat tunnettua llä palkkeleentn olurtyävektor ( f Ψf Ψ ) on oa upotuavaruuen rtyävektora. 4 NUMEERINEN ESIMERKKI e EA = GA = GA = 10 3 GJ = EI = EI = 10 3 J = J = J = Aρ = 1 L = θ( t ) t L kertyänvel L e 1 θ( t ) A e 3 w( t) = θ ( t) Kuva 6 Kak palkk otka on kytketty tona kertyänvelellä Nueerena eerkkongelana käytetään kuvaa 6 etetty kahen kappaleen ongelaa oa kappaleet on kytketty tona kertyä- el arananvelen avulla. Kertyänvelen kertyakel on alkutlaaan e 3 -uunnaa. Alkutlaaan orgoa atevalle alkupäälle annetaan kuvan 6 ukanen aata rppuva pakkokertyä θ( t ) e 3 -uuntaa ekä aanakanen pakkortyä w( t) = θ ( t) yö e 3 -uuntaa. ranenttvate laketaan Newarkn akantegroenetelällä oa eneteläparaetrek valtaan β = 1/ 4 a γ = 1/ kä vataa vakokhtyvyykaavaa. Aka-akeleena käytetään vakoakelta h = Ongelata tehään kak lakentaalla oa toea kukn kappale aetaan taavälen nelään palkkeleenttn a toea alla 0 palkkeleenttn. ällön toea lakentaalla on kakkaan 8 palkkeleenttä a toea 40 eleenttä. Kertyänvel allnnetaan kappaleea 3. etetyn kertyänveleleentn avulla läk käytetään tarvttaea kappaleea 3.1 kuvattua kopleentaarta palkkeleenttä. Eerkkongelan kärkpteen A akavateet on etetty kuvaa 7.

12 0 8 p horzontal placeent eleent 8 eleent p vertcal placeent eleent 8 eleent e t [] e t [] p out of plane placeent eleent 8 eleent p placeent nor eleent 8 eleent e t [] e t [] Kuva 7 Eerkkongelan rtyävateet yläkuva kärkpteen A rtyä e 1 -uuntaan (va.) a rtyä e -uuntaan ekä alakuva kärkpteen rtyä e 3 -uuntaan (va.) ekä kokonartyä 5 JOHOPÄÄÖKSE ää etykeä kuvattn lyhyet erätä onkappaleekankan allnnutapaa oa holonoten oehtoen uootaa oonto paraetroaan. Paraetroalla oonto pääytään lkeyhtälöhn oa oehtoa e ole lankaan näkyvllä vaan oket on upotettu oonton paraetrontkuvaukeen. ätä oonton paraetrontenetelää kututaan eleenttenetelää äntä-orateknkak. Lähteeä [] on etetty taotapaukea telekoopppuoton allntanen äntä-orateknkkaa käyttäen. Monkappaleekankan ueat holonoet oket kuten erlaet nvelet a lutt voaan varn yknkertaella tavalla paraetroa. ällä allnnutavalla aavutetaan erkttävä etua: uuttua lkeyhtälöä on näärä ekä vältytään raoteyhtälöforulaatoen nueerlta häröherkkyykltä ollon akantegronna voaan käyttää pepää aka-akelta. Läk oonton paraetront aholltaa kontentten tangentttenoreen lakeen. LÄHDEVIIEE [1] Mäknen J. (004) A Forulaton for Flexble Multboy Mechanc Lagrangan Geoetrcally Exact Bea Eleent ung ontrant Manfol Paraetrzaton Y eknllnen ekankka a optont tutkuraportt 004:3 89. URL: [] Maraäk H. & Mäknen J. (003) Moellng elecopc Boo he Plane ae: Part I oputer & Structure 81(16) pp