MONIKAPPALEMEKANIIKAN MALLINTAMINEN PARAMETRISOIMALLA SIDOSMONISTO

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MONIKAPPALEMEKANIIKAN MALLINTAMINEN PARAMETRISOIMALLA SIDOSMONISTO"

Transkriptio

1 IIVISELMÄ MONIKAPPALEMEKANIIKAN MALLINAMINEN PARAMERISOIMALLA SIDOSMONISO J. MÄKINEN & H. MARJAMÄKI eknllen ekankan a optonnn lato apereen teknllnen ylopto PL AMPERE ää etykeä kuvataan lyhyet erätä onkappaleekankan allnnutapaa oa holonoten oehtoen uootaa oonto paraetroaan. Paraetroalla oonto pääytään lkeyhtälöhn oa oehtoa e ole lankaan näkyvllä vaan oket on upotettu oonton paraetrontkuvaukeen. Monkappaleekankan ueat holonoet oket kuten erlaet nvelet a lutt voaan varn yknkertaella tavalla paraetroa. ällä allnnutavalla aavutetaan erkttävä etua: uuttua lkeyhtälöä on näärä ekä vältytään raoteyhtälöforulaatoen nueerlta häröherkkyykltä ollon akantegronna voaan käyttää pepää aka-akelta. 1 SIDOSMONISO Monkappaleekankaa kappaleen välet erlaet ltoket a nvelet ekä reunaehot ynnyttävät oehtoa. Erlaet nvelet kuten kertyänvel a praattnen nvel ovat eerkkeä pteätä kneaattta okta otka voaan ettää geoetret puhtaat rtyävapauateen avulla. äänkaltaa oka otka voaan ettää rtyävapauateen avulla kututaan holonok okk. Määrtelä 1: Holononen ovektor (n- kappaletta oka) voaan äärtellä vektorarvoena kuvaukena h: R E n E n ( < n ) ä t on akaparaetr a x( t) h( t x) = 0 n E on yletetty pakkavektor. Mkäl oka e vo ettää ee ntegrotuna äärtelän 1 ukaella tavalla oka kututaan epäholonok. Eerkk koketuepäyhtälötä e voa ettää äärtelän ukaella oyhtälöllä vakka te ovektor rppuukn van rtyäuuttuta. Määrtelä : Holonoten oehtoen (äär. 1) ynnyttää oonto äärtellään b g n o t. n M : = t x R E h t x = 0 E Soonto M on -ulottenen leä onto el -onto oa aka on paraetrna. Soonto M knntetyllä aanhetkellä t = t 0 erktään M t0 :llä.

2 tangenttavaruu x0 M oonto M t0 (lan reunaa) x 0 vrtuaalnen rtyä δ x geoetret oket oonton reuna Kuva 1 Geoetrnen tulknta kneaattta okta Holonoten oehtoen uootaalla ontolla (äär. ) e ole reunaa llä reunallten ontoen yntynen eellyttää epäyhtälöraotteta. Seuraavak tutktaan pteää holonoa oka otka uootavat reunattoan onton yleeen pakka-avaruuteen. Holonolla oklla kyetään allntaaan uur oukko kappaletten välä kneaatta oehtoa kuten erlaa nvelä. Vrtuaalnen rtyä lttyy läheet oontoon llä vrtuaalnen rtyä e aa rkkoa oehtoa. on anoen vrtuaalen rtyän tulee olla kneaattet käypä rtyä kuva 1. = x( t ) knntetyllä aanhet- Määrtelä 3: Soonton tangenttavaruu tontapteeä x kellä t = t 0 äärtellään vrtuaalen rtyän δ x avulla 0 0 { b g } n M : = δ x E x M D h t x δ x = 0 D h on urekto x0 0 t0 x 0 0 x ä D x h on holonoten oten ervaatta pakkavektorn x uhteen. Määrtelä 3 raaa po onton epääännöllet pteet llä ervaattaatr oletetaan urektvek t. atrn rank on täy. Nän ollen oonton M eno e uutu. Geoetret äärtelä tarkottaa tä että käypä vrtuaalnen rtyä atee oonton enhetken tontapteen tangenttavaruuea kuva 1. SIDOSMONISON PARAMERISOINI avallat onkappaleäretelän geoetret nvelet kuten pallo- kertyä- ylnter- karaan- a ruuvnvelet ekä erlaet ohteet voaan ettää holonoten oehtoen avulla otka rppuvat van rtyävapauateta. Kakk nää oket ynnyttävät oonton oka voaan paraetroa. ää paraetront on tavallet ahollta van pakallet utta ueaalla karttalehellä voaan kuvata oonto kokonauueaan kuva. Newtonn lkeyhtälö kappaleäretelälle oa rtyäuuttua on n kappaletta voaan krottaa uooa f ( ɺ ) M ɺɺ = 0 (1)

3 upotuavaruu E n onto M E n ϕ1bu 1g ϕbu g ϕ 1 ϕ U 1 ϕ 1 ϕ1 U karttaleht karttaleht paraetravaruu E Kuva Soonton M paraetront kahen karttalehen avulla kun n = 3 a = ä f( ɺ ) on rtytä a nopeukta rppuva yletetty voavektor M on aatenor a ɺɺ on khtyvyyvektor. Vaataan läk että äretään tulee toteuttaa holonoet oket h:e n n E otka tuottavat -onton E n :ä n o t. () M : = t R n E h( t ) = 0 E Oletetaan yö että oonto M on äännöllnen kakkalla ollon oten ervaatta D h on urektvnen oonton okaea pteeä. Nyt vrtuaalen työn peraate ongelalle (1) oontolla () on b g 0. (3) δw = f ( ɺ) M ɺɺ δ = Yletetty voavektor f voaan akaa annettuhn von f appl 0 M a ovon f con 0 M oen vrtuaalnen työ hävää. Vrtuaalnen rtyä δ kuuluu oonton tangenttavaruuteen 0 M kä voaan antaa uooa Oletetaan että rtyävektor E n o t. (4) n M = δ E D h( t ) δ = voaan akaa äntärtyävektork E a orartyävektork E n ten että ervaattaatrlla D h( t ) kä on nelöatr on oleaa käänteatr. Iplttfunktolaueen noalla on oleaa kuvau n φ( t ): R E E tontapteen ypärtöä ten että h ɵ ( t ): = h( t φ ( t )) = 0. (5) Nän ollen orartyävektor E n voaan ettää äntärtyävektorn E avulla t. = φ( t ). Läk oonton M paraetront voaan krottaa nyt uoraan ku-

4 vauken φ( t ) avulla ϕ: R E M ( t ) ϕ( t ): = φ( t ) b g. (6) Paraetrontkuvau ϕ toteuttaa oket h( t ϕ( t )) = 0 kaavan (5) peruteella. onaan oket voaan antaa aata rppuattoaa uooa h( ): = φ ( ) = 0 kä antaa luonnollen oonton M paraetronnn llä D h( t ) = I. arkatellaan euraavak aata rppuatonta oonton M paraetrontkuvauta n ϕ:e M E = ϕ( ). (7) Srtyävektorn M varaato äntärtyävektorn E avulla lauuttuna on δ δ = B B: = D ϕ( ) (8) ä B kneaattnen operaattor B: E = E E n M tangenttavaruuken välllä. Srtyävektorn akaervaatat ovat vataavat ɺ = B ɺ M ɺɺ = B ɺɺ + Bɺ ɺ M ä kneaatten operaattorn akaervaatta ɺB yleenä epälneaaret äntärtyävektorta a lneaaret nopeuvektorta ɺ. ää nähään yhteyetä (9) Bɺ = D B ɺ ɺ B ɺ = D ϕ ( ):(ɺ ɺ ) (10) ä älkänen yhtälö ettää nelölltä rppuvuutta nopeuvektorta ɺ. Nyt vrtuaalen työn peraate (3) oontolla M voaan krottaa paraetravaruuea E yhteyken (7-9) avulla δ B f( ɺ ) MBɺɺ MB ɺɺ = δ c h 0 E (11) ä oket () toteutuvat autoaattet paraetronnn (7) anota. on anoen holonoet oket on nyt upotettu vrtuaalen työn peraatteeeen (11) ollon aatu lkeyhtälö rppuu van äntärtyävektorta a en akaervaatota. Vrtuaalen työn (11) lnearont aanhetkellä t = t 0 tontapteen ypärtöä ( 0 ɺ 0 ) E E uuntaan ( ɺ ) antaa tuloken b g 0 E (1) δ f M ɺɺ ɺ K = δ 0 ä yletetty äntävoavektor f 0 äykkyy- vaennu- a aatenort ovat vataavat

5 oonto M E n x0 M upotuavaruu E n f x 0 ϕ( ) x f paraetravaruu E Kuva 3 Yletetyn voavektorn kuvau upotuavaruueta paraetravaruuteen f : = B f( ɺ ) MB ɺɺ E K : = D B ( f( ɺ ) + MBɺɺ + MB ɺɺ ) E : = D B ( f( ɺ ) + MB ɺɺ ) E M 0 c ɺ : = B MB E. h (13) Yllä oleven yhtälöen avulla voaan ohtaa paraetravaruuen voavektorn ekä tangentttenort a aatenorn kun paraetrontkuvau: ϕ:e M on oleaa. avallet orartyävektor oataan lauua äntärtyävektorn avulla ollon orakuvau = φ( ) tunnetaan. ällön paraetrontkuvau ϕ euraa uoraan yhtälötä (6). Yletetty voavektor f Newtonn lkeyhtälöä (1) ältää ekä kuortuketa ohtuvan ulkoen voavektorn äen voavektor että nopeueta rppuvan khtyvyyvoavektorn ext nt accb f( ɺ ) = f ( ) f ( ɺ ) f ( ɺ ) E n (14) ext nt accb ä f f an f ovat ulkonen a änen voavektor ekä nopeueta rppuva khtyvyyvoavektor. Upotuavaruuen rtyävektor tunnetaan paraetrontkuvauken = ϕ( ) avulla. Upotuavaruuea E n n voaan äärtellä euraavat tangentttenort nt nt K : = D f ( ɺ ) : = D f ( ɺ ) ext K : = D f ( ) loa acc acc K : = D f ( ɺɺɺ) : = D f ( ɺɺɺ). cent gyro ɺ ɺ (15) Sottaalla yhteyet (14-15) yhtälöön (13) aaaan

6 ext nt accb f : = B f ( ) f ( ɺ ) f ( ɺ ) MB ɺɺ E ext nt acc K : B ( K loa K K cent ) B ( gyro ) B ɺ MB ɺɺ = Kσ( f + f + f ) E (16) : = B ( + ) B + MBɺ E M 0 gyro : = B MB E 0 acc acca accb ä khtyvyyvektor f = f + f E n a geoetrnen äykkyytenor K σ äärtellään K ( f ): = D ( B f ) (17) σ ä vektora f petään ervonna vakona; erknnällä f. Geoetrnen äykkyytenor K σ on yetrnen tenor llä kaavan (8b) ukaan K σ ( f ) = D ( ϕ f ).. geoetrnen äykkyytenor on kalaarfunkton tonen ervaatta äntärtyävektorn uhteen. Yhtälöen (16) avulla voaan ohtaa paraetravaruuen E yletetyn voavektorn a tangentttenort ekä aatenorn kun vataavat uureet upotuavaruuea E n a kneaattnen operaattor B ekä en akaervaatat tunnetaan. Anoataan geoetrnen äykkyytenor K σ kaava (17) on hean vakean lakettava. 3 ERIYISIÄ PALKKIELEMENEJÄ ää kappaleea etellään par erkoeleenttä otka ältävät holonoen oehon. Soonto paraetroaan a yletetty voavektor ekä tenort etetään oonton paraetravaruuea. Saatua ertyeleentteä voaan käyttää eleenttenetelää tavanoaten eleentten tapaan ekä tällön lkeyhtälöä ole tällön lankaan oehtoa näkyvä vaan ne ovat upotettuna paraetrontkuvaukeen = ϕ( ) 3.1 Kopleentaarnen palkkeleentt Kuten tunnettua e ole oleaa kertyoperaattorn paraetronta oka ol aalla ekä globaal että e-ngulaarnen. Eerkk kaklla kertyoperaattorn Eulern kulaetyuoolla on oleaa tontapte oa paraetront on ngulaarnen. Seuraavak etellään kopleentaarnen palkkeleentt oa kertyoperaattor kuvataan kahella karttalehellä. ällä enettelyllä vältytään ngulaaruuongelta. Mkä tahana kertyoperaattor R voaan ettää kertyävektorn Ψ avulla oka äärtellään. 3 Ψ : = ψ n n E ψ R + (18) ä n on kertyakeln ykkövektor n = 1 a ψ on potvnen kertykula. Kertyävektorn Ψ a kertyoperaattorn R välllä on yhtey n ψ ~ 1 co ~ R: = I + + ψ Ψ Ψ = exp Ψ ~ ψ = Ψ ψ ψ ä vnoyetrnen tenor ~ Ψ äärtellään kaavalla e (19) ~ Ψ h = Ψ h h E 3. (0)

7 kertyonto SO(3) paraetrontkuvau exp( Ψ ~ ) π Ψ π paraetronnn vahto π paraetrontkuvau exp( Ψ ~ ) π karttaleht Ψ kopleenttkarttaleht Kuva 4 Kertyonton kak paraetronta kertyävektorn a en kopleenttvektorn avulla on anoen ~ Ψ on akelvektora Ψ vataava vnoyetrnen tenor. Kuvaa 4 on etetty kertyonton a en paraetronnn geoetrnen tulknta. Kertyävektor Ψ on kertyoperaattorn paraetront oa tään paraetrontkuvau ϕ on nyt atrekponenttkuvau exp( Ψ ~ ). Kertyävektoretyuoto on ngulaarnen kertykulan arvolla ψ = π. ällön nollakertyvektor ekä kertyvektor onka ptuu on π kuvautuvat aak pteek entteetk I. Kertyoperaattoreen uootavat kertyonton SO( 3 ) oka voaan äärtellä kaavalla o t. (1) 3 3 SO( 3): = R: E E lneaarnen R R = I et R = + 1 Kertyoperaattor R on ortogonaalnen operaattor oka älyttää kuvaukea alkuperäen kätyyen. Kaava äärttää epäuorat ervotuvan onton oa ortogonaaluuehto aettaa kuu totaan rppuatonta oehtoa kertyoperaattorlle ollon kertyoperaattoreen oukko SO( 3 ) uootaa 3-ulotteen pnnan ta okean 3-onton 9-ulotteeen avaruuteen. Kertyonto voaan paraetroa van pakallet utta o kahella karttalehellä tää paraetront voaan uorttaa täyn pettävät. Kertyvektorn etyuoon ngulaaruuongelat kertyäkulan arvolla ψ = π voaan välttää äärtteleällä yö tonen karttaleht oka paraetro täyentävät kertyontoa. Kopleenttkertyävektor Ψ äärtellään kaavalla Ψ : = Ψ π Ψ ( = φ( )) ψ = Ψ () ψ Kertyävektor kuvataan kopleenttkertyävektork kun kertykula ylttää okokulan t. ψ > π. ällön kopleenttkertyäkula ψ = π ψ oka on penep kun okokula t. ψ < π. Kuvaa 4 on etetty paraetronnn vahot alkuperäetä kertyävektorparaetronnta kopleentaareen kertyävektorparaetrontn. Nällä kahella karttalehellä kä tahana kertylke voaan kuvata kattavat.

8 kopleentaarnen palkkeleentt Ψ 1 Ψ tavallnen palkkeleentt Ψ 3 ulokepalkk kuortettuna Ψ 1 Ψ tavallnen palkkeleentt Kuva 5 lanne ollon kopleentaarta palkkeleenttä tarvtaan Dynakan lakennaa uurlla kertyllä ouutaan uen tlanten oa kakoluen palkkeleentn tonen olun kertyävektor etetään kopleenttkarttalehellä a tonen kertyävektor präärellä karttalehellä. ällön nterpolont oluen välllä e ole voaa. Kuvaa 5 on etetty tlanne ollon täänkaltata ertyeleenttä kavataan. Kuvaa olun 1 kertyävektor etetään kopleenttvektorna Ψ 1 llä kertyäkula on ylttänyt arvon π a olua kertyävektor etetään präärellä karttalehellä Ψ llä olun kertyäkula on penep kun okokula. Interpolontongela voaan ratkata äntä-orateknkkaa käyttäen. Nyt kopleenttkertyävektor Ψ vataa orartyävektora E 3 a kuvan 5 va- eanpuoleen palkn olurtyävektor on ( 1 Ψ1 Ψ ) ä on olun tranlaatortyä vataa äntärtyävektora E 1. = φ( ) on uoraan kaavan () ukanen kuvau onka varaato a akaer- Orakuvau vaatat ovat ä orartyän kneaattnen operaattor B Bɺ ɺ ( ɺ = B Ψ Ψ ) a B ɺɺ ɺɺ ( ɺ ɺɺ = B Ψ Ψ Ψ ) ovat δψ = B δψ Ψɺ = B Ψɺ (3) Ψɺɺ = B Ψɺɺ + Bɺ Ψɺ = B ( ) a en aan uhteen laketut ervaatat Ψ B = ( 1 π ) I + π 3 3 e e E ψ ψ Bɺ = π ( e ɺ ) I + ( ɺ e + e ɺ ) ( e ɺ ) 3 3 Ψ Ψ Ψ 3 Ψ e e E ψ Bɺɺ = π ( e Ψɺɺ ) + (ɺ e Ψɺ ) I+ Ψɺɺ e+ e Ψɺɺ + Ψɺ eɺ + eɺ ɺ Ψ + ψ 6π ( e Ψɺɺ ) + (ɺ e Ψɺ ) e e+ ( e Ψɺ )(ɺ e e+ e e ɺ) ( e Ψɺ ) Bɺ. ψ ψ (4) ä kertyakel e = Ψ / ψ. Upotuavaruuen rtyävektor E 15 :ä äntärtyävektor a orartyävektor ovat

9 F F := H G I K J = HG Kaavaa (4) on annettu orakuvauken Ψ Ψ Ψ 1 1 I KJ 15 E. (5) = φ( ) kneaattnen operaattor. Paraetrontkuvauken = ϕ( ) kneaattnen operaattor B a en akaervaatat ovat vataavat F I B = HG I O O B B O B K J =F HG I O B K J F = HG I 1 1 O B K J E ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ (6) c h c h b 3 9 g Kaavoen ukaet (16) voavektor f 0 a tenort K a M paraetravaruuea E 1 voaan lakea uoraan kun velä kaavan (17) geoetrnen äykkyytenor K σ laketaan: K σ O O O = F H G I K J 3 9 K σ E 1 1 Kσ = π 3 3 ( f e) I + f e + e f 3( f e) e e E ψ (7) ä oravoavektorn f E 3 vapauateet vataavat orartyävektora Ψ. Voavektor f 0 tangentttenort K a aatenor M paraetravaruuea E 1 aaaan kaavoen (16) avulla kun upotuavaruuen E 15 voavektor f tangentttenort K loa K K cent gyro a aatenor M on lakettu. Nää upotuavaruuen uureet tunnetaan llä eleentn olurtyävektor ( 1 Ψ1 Ψ ) on oa upotuavaruuen rtyävektora kaavan (5) peruteella. 3. Kertyänveleleentt ää kappaleea etetään erkopalkkeleentt oka ptää ällään kerty- el arananvelen. Kertynvelelle pätee kneaattnen yhtey kertyoperaattoreen välllä R = R R (8) ä R = R( Ψ ) on oraolun kertyoperaattor a R = R( Ψ ) on äntäolun kertyoperaattor a R = R( ϕe ) on kertynvelen kertyoperaattor ä ϕ on nvelen kertykula (potvnen ta negatvnen a nkä kokonen tahana) a e on kertynvelen kertyakel alkutlaa. Varoalla yhtey (8) aaaan kneaattnen relaato äntä a orakertyen vällle δθ = R δθ + e δϕ (9) ä δθ an δθ ovat aneella kertyäläyvektoreta äntä a oraolua. Kertyoperaattorn varaatolle aneellea etyuooa pätee yhtey δr = Rδ Θ ~ ä vrtuaalnen aneellnen kertyäläyvektorlle δθ a vrtuaalelle kokonakertyävektorlle δψ on

10 voaa relaato δ Θ = δ Ψ nψ 1 ψ ψ ψ = co ~ n : I Ψ + Ψ Ψ (30) 3 ψ ψ ψ ψ : = Ψ R = exp( Ψ) l ( Ψ) = I ä tangentaalnen uunno on ngulaarnen kertyäkulan arvolla π. Sottaalla yhtey δθ = δ Ψ ä = ( Ψ ) kaavaan (9) aaaan ora- a äntäkertyen vällle kneaattnen yhtey ä orakuvauken F = B H G I KJ Ψ 0 δψ δψ δϕ B R e c 1 1 = = φ( ) kneaattnen operaattor B E 3 4 a h = ( Ψ ). Orartyävektor äntärtyävektor a upotuavaruuen E 16 rtyävektor ovat tää tapaukea Ψf = = G J F = H G I Ψ E K J 3 E 13 E 16. Ψ ä f eutaa eleentn vapaata olua. Nyt paraetrontkuvauken kneaattnen operaattor B a en akaervaatat B ɺ a B ɺɺ ovat erkntöen (3) ukaet F G HG f ϕ I J KJ (31) (3) F I B = HG I O O B B O B K J =F HG I O B K J F = HG I O B K J E ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ (33) c h c h b 3 9 g ä orakuvauken kneaatten operaattorn akaervaatat ovat ɺ ɺ -1-1ɺ -1 ɺ ɺ -1 B = R + R + R e (34) Bɺɺ ɺɺ -1-1 R Rɺɺ -1 R ɺɺ ɺ -1 Rɺ ɺ -1 R ɺ -1 Rɺ ɺ ɺɺ -1 = e. Lopuk kaavan (17) ukanen geoetrnen äykkyytenor K σ on K σ = F HG O O O O 0 y. O O O 0 O O 0 K k ΨΨ Ψϕ k ϕϕ I KJ E (35)

11 ä oatenort voaan ettää uooa K = R f Ψ + R f Ψ R E ΨΨ 1 k = R f Ψ e R ~ e f E Ψϕ k ϕϕ b g b g b g = e f Ψ e E 6 (36) ä oravoavektor f E 3 vataa orakertyävektorn Ψ vapauateta. enort a 6 ekä tangentaalen uunnoken akaervaatat a kääntetenor 1 ekä en akaervaatat on etetty lähteeä [1]. Voavektor f 0 tangentttenort K a aatenor M paraetravaruuea E 13 aaaan kaavoen (16) avulla kun upotuavaruuen E 16 voavektor f tangentttenort K loa K K cent gyro a aatenor M on lakettu. Nää upotuavaruuen uureet ovat tunnettua llä palkkeleentn olurtyävektor ( f Ψf Ψ ) on oa upotuavaruuen rtyävektora. 4 NUMEERINEN ESIMERKKI e EA = GA = GA = 10 3 GJ = EI = EI = 10 3 J = J = J = Aρ = 1 L = θ( t ) t L kertyänvel L e 1 θ( t ) A e 3 w( t) = θ ( t) Kuva 6 Kak palkk otka on kytketty tona kertyänvelellä Nueerena eerkkongelana käytetään kuvaa 6 etetty kahen kappaleen ongelaa oa kappaleet on kytketty tona kertyä- el arananvelen avulla. Kertyänvelen kertyakel on alkutlaaan e 3 -uunnaa. Alkutlaaan orgoa atevalle alkupäälle annetaan kuvan 6 ukanen aata rppuva pakkokertyä θ( t ) e 3 -uuntaa ekä aanakanen pakkortyä w( t) = θ ( t) yö e 3 -uuntaa. ranenttvate laketaan Newarkn akantegroenetelällä oa eneteläparaetrek valtaan β = 1/ 4 a γ = 1/ kä vataa vakokhtyvyykaavaa. Aka-akeleena käytetään vakoakelta h = Ongelata tehään kak lakentaalla oa toea kukn kappale aetaan taavälen nelään palkkeleenttn a toea alla 0 palkkeleenttn. ällön toea lakentaalla on kakkaan 8 palkkeleenttä a toea 40 eleenttä. Kertyänvel allnnetaan kappaleea 3. etetyn kertyänveleleentn avulla läk käytetään tarvttaea kappaleea 3.1 kuvattua kopleentaarta palkkeleenttä. Eerkkongelan kärkpteen A akavateet on etetty kuvaa 7.

12 0 8 p horzontal placeent eleent 8 eleent p vertcal placeent eleent 8 eleent e t [] e t [] p out of plane placeent eleent 8 eleent p placeent nor eleent 8 eleent e t [] e t [] Kuva 7 Eerkkongelan rtyävateet yläkuva kärkpteen A rtyä e 1 -uuntaan (va.) a rtyä e -uuntaan ekä alakuva kärkpteen rtyä e 3 -uuntaan (va.) ekä kokonartyä 5 JOHOPÄÄÖKSE ää etykeä kuvattn lyhyet erätä onkappaleekankan allnnutapaa oa holonoten oehtoen uootaa oonto paraetroaan. Paraetroalla oonto pääytään lkeyhtälöhn oa oehtoa e ole lankaan näkyvllä vaan oket on upotettu oonton paraetrontkuvaukeen. ätä oonton paraetrontenetelää kututaan eleenttenetelää äntä-orateknkak. Lähteeä [] on etetty taotapaukea telekoopppuoton allntanen äntä-orateknkkaa käyttäen. Monkappaleekankan ueat holonoet oket kuten erlaet nvelet a lutt voaan varn yknkertaella tavalla paraetroa. ällä allnnutavalla aavutetaan erkttävä etua: uuttua lkeyhtälöä on näärä ekä vältytään raoteyhtälöforulaatoen nueerlta häröherkkyykltä ollon akantegronna voaan käyttää pepää aka-akelta. Läk oonton paraetront aholltaa kontentten tangentttenoreen lakeen. LÄHDEVIIEE [1] Mäknen J. (004) A Forulaton for Flexble Multboy Mechanc Lagrangan Geoetrcally Exact Bea Eleent ung ontrant Manfol Paraetrzaton Y eknllnen ekankka a optont tutkuraportt 004:3 89. URL: [] Maraäk H. & Mäknen J. (003) Moellng elecopc Boo he Plane ae: Part I oputer & Structure 81(16) pp

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy

Lisätiedot

Hallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28

Hallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28 Jyväskylän Aattkorkeakoulu, IT-nsttuutt IIF00 Sovellettu fyskka, Syksy 005, 4.5 ETS Opettaja Pas epo alln lö Laatja - Pas Vähäartt Vuoskurss - IST4SE Tekopävä 005-9-4 Palautuspävä 005-9-8 8.9.005 /7 LABOATOIOTYÖ

Lisätiedot

Telecommunication engineering I A Exercise 3

Telecommunication engineering I A Exercise 3 Teleouao egeerg I 5359A xere 3 Proble elaodulaaor lohkokaavo o eey oppkrja kuvaa 3.63. Pulodulaaor ääuloa o aoagaal ja reeregaal erou d. Tää gaal kerroaa pulgeeraaor gaallla rajouke, el erouke erk elväe,

Lisätiedot

Yrityksen teoria ja sopimukset

Yrityksen teoria ja sopimukset Yrtyksen teora a sopmukset Mat-2.4142 Optmontopn semnaar Ilkka Leppänen 22.4.2008 Teemoa Yrtyksen teora: tee va osta? -kysymys Yrtys kannustnsysteemnä: ylenen mall Työsuhde vs. urakkasopmus -analyysä Perustuu

Lisätiedot

4.3 Liikemäärän säilyminen

4.3 Liikemäärän säilyminen Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.

Lisätiedot

Vuoden Beauceron -säännöt (voimassa alkaen) Yleisiä periaatteita

Vuoden Beauceron -säännöt (voimassa alkaen) Yleisiä periaatteita Vuoden Beauceron -äännöt (vomaa 1.1.2017 alkaen) Yleä peraatteta Klpalukau on kalentervuo. Mukaan hyväkytään van KoraNetta löytyvät tuloket pl. erkeen pteytetyt arvoklpalut. Yhden uortuken pteet muodotuvat

Lisätiedot

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri

Lisätiedot

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu

Lisätiedot

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10

Lisätiedot

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut) J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät

Lisätiedot

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +

Lisätiedot

Harjoituksen pituus: 90min 3.10 klo 10 12

Harjoituksen pituus: 90min 3.10 klo 10 12 Pallollse puolustae: Sokea ja ta käspallo/ Lppupallo Tavote: aalteo estäe sjottue puolustavalle puolelle, potku ta heto estäe, syöttäse estäe rstäe taklaus, pae tla vottase estäe sjottue puolustavalle

Lisätiedot

C B A. Kolmessa ensimmäisessä laskussa sovelletaan Newtonin 2. ja 3. lakia.

C B A. Kolmessa ensimmäisessä laskussa sovelletaan Newtonin 2. ja 3. lakia. Jako 4: Dynamiikan peruteet jatkuu, työ ja energia Näiden tehtävien viimeinen palautu- tai näyttöpäivä on tiitaina 23.5.2017. Ektra-tehtävät vataavat kolmea tehtävää, kun kurin lopua laketaan lakuharjoitupiteitä.

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Y56 Laskuharjoitukset 3 palautus ma klo 16 mennessä

Y56 Laskuharjoitukset 3 palautus ma klo 16 mennessä 1 Y6 Lakuharjoituket 3 alautu ma 3.. klo 16 menneä Harjoitu 1. Lue enin Vihmo, Jouni (006) Alkoholijuomien hintajoutot uomea vuoina 199 00, Yhteikuntaolitiikka 71, 006/1 ivut 9 ja vataa itten kyymykiin.

Lisätiedot

K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A

K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A 2 0 1 7 Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A Forssan kaupunki Talousarvio ja -suunnitelma 2017-2019 / T O I M I A L A P A L V E L U 50 YHDYSKUNTAPALVELUT 5 0 0 T E

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e

Lisätiedot

MP069 alueen sähköteknisten reunaehtojen laskeminen.

MP069 alueen sähköteknisten reunaehtojen laskeminen. M069 alueen ähkötekniten reunaehtojen lakeinen. Kekiteho tälle alueelle aatiin kun otettiin Tornion irkkiötä ataaa oakotitalo alue ja niiden talojen kulututen peruteella äärättiin kullekin tontille kulutupite

Lisätiedot

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino Phyica 9. paino (7) : 8. Voian vari r on voian vaikutuuoran etäiyy pyöriiakelita. Pyöriiakeli on todellinen tai kuviteltu akeli, jonka ypäri kappale pyörii. Voian oentti M kuvaa voian vääntövaikututa tietyn

Lisätiedot

S FYSIIKKA IV (ES), Koulutuskeskus Dipoli, Kevät 2003, LH2. f i C C. λ 2, m 1 cos60,0 1, m 1,2 pm. λi λi

S FYSIIKKA IV (ES), Koulutuskeskus Dipoli, Kevät 2003, LH2. f i C C. λ 2, m 1 cos60,0 1, m 1,2 pm. λi λi S-11436 FYSIIKKA IV (S), Kulutukeku Dipli, Kevät 003, LH LH-1 Ftni, jnka energia n 10,0 kev, törmää leva levaan vapaaeen elektrniin ja irttuu uuntaan, jka mudtaa 60,0 kulman ftnin alkuperäien liikeuunnan

Lisätiedot

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä

Lisätiedot

KUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET

KUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET KUNTIN LÄKVKUUTU 328 VRHILÄKMNORUTI MKU 29 LÄHTIN NOUDTTTVT LKURUTT Valtuusuta ahstaa arhaseläemeoperustese masu eaode yhtesmäärä uodelle euromääräsest Tämä ahstettu masu o samalla lopullste masue yhtesmäärä

Lisätiedot

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks

Lisätiedot

Rak-54.116 Rakenteiden mekaniikka C, RM C (4 ov) Tentti 30.8.2007

Rak-54.116 Rakenteiden mekaniikka C, RM C (4 ov) Tentti 30.8.2007 Rak-54.116 Rakeneden mekankka, RM (4 ov) Ten.8.7 Krjoa jokaeen koepapern elvä - koko nme, puhuelunm allevvauna - oao, vuokur, enn pävämäärä ekä enävä opnojako koodeneen - opkeljanumero, mukaan luken arkukrjan

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4..07. Piiriä yöttää kaki lähdettä, joilla on eri taajuudet. Kuinka uuri on lämmöki muuttuva teho P? Piiri on jatkuvuutilaa. J 2 00 Ω 5µH 0 pf 0/0 V J 2 00/0 ma f MHz f 2 2MHz.

Lisätiedot

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike Phyica 9. paino () 7. Gaitaatiooia ja heittoliike : 7. Gaitaatiooia ja heittoliike 7. a) Gaitaatiooia aikuttaa kaikkien kappaleiden älillä. Gaitaatiooian uuuu iippuu kappaleiden aoita ja niiden älietä

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 24: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 2

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 24: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 2 / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usea vapausastee vaeeato oasvärähtely osa MONINKERAISE OMINAISAAJUUDE Sesso MS oreeratu oasuodo { lasetaeetelässä oletett, että o ysertae oasulataauus. arastellaa velä tapausta,

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä. MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Vahtosähkön teho hetkellnen teho p(t) pätöteho P losteho Q näennästeho S kompleksnen teho S HETKELLINEN TEHO Kn veresen kvan mpedanssn Z jännte ja vrta (tehollsarvon osottmet)

Lisätiedot

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi 3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa

Lisätiedot

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä Phyica 9 aino (8) 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää : 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää 0 a) Sähköknttä aikuttaa arattuun hiukkan oialla F = QE Poitiiiti aratull hiukkall oian uunta on ähkökntän

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti.9.. e(t) L j(t) Lake vatukea lämmöki muuttuva teho P. = Ω L = mh = 2mF ω = 0 3 rad/ e = ê in(ωt) j = ĵ in(2ωt) ĵ = 0 A ê = 2 2 V. 2. u(t) k Kuvan mukainen taajännitelähteen

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 10.11.2009, ratkaisut PERUSSARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 10.11.2009, ratkaisut PERUSSARJA LUKION FYSIIKKAKILPAILU 0..009, ratkaiut PERUSSARJA Vataa huolellieti ja iititi! Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooite, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on 00 inuuttia.

Lisätiedot

Metallikuulan vieriminen kaltevalla tasolla

Metallikuulan vieriminen kaltevalla tasolla 1 Metallikuulan vieriinen kaltevalla taolla Mikko Vetola Koulun nii Fyiikka luonnontieteenä FY1-Projektityö 4.6.2002 Arvoana: K+ (10) 2 1. Työn tarkoitu Tehtävänä oli tutkia illaiia liikeiliöitä eiintyy

Lisätiedot

1. Transistori vahvistimena

1. Transistori vahvistimena Y438 Y438. Tant vahvtena TKTLU KÄYTTYT YMOLT J NN MKTY OL TNTO OLTG N UNT YMOL te-vayn Ttal cpnent TM UPPLY QUNT NTNT M NTNT Q N L c OLLTO OLTG OLLTO UNT OLTG UNT MTT OLTG MTT UNT Q v c c v Q c Q v v Q

Lisätiedot

Luku 16 Markkinatasapaino

Luku 16 Markkinatasapaino 68 Luku 16 Markkinataaaino 16.1 Markkinataaainon määrity Tarkatelemme kilailulliia markkinoita kaikki talouenitäjät hinnanottajia kaikki määrittävät arhaat ratkaiuna uhteea makimihintoihin talouenitäjien

Lisätiedot

RATKAISUT: Kertaustehtäviä

RATKAISUT: Kertaustehtäviä Phyica 1 uuditettu paino OPETTAJAN OPAS 1(9) Kertautehtäiä RATKAISUT: Kertautehtäiä LUKU 3. Luua on a) 4 eriteää nueroa b) 3 eriteää nueroa c) 7 eriteää nueroa. 4. Selitetään erieen yhtälön olepien puolien

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely Valuma-aluetaon kuormituken hallintataulukon vaatimumäärittely Verio 4.11.2011 1. Tavoitteet Veienhoidon äädöten toteutu edellyttää veitöihin kohdituvan kuormituken vähentämitä n, että veden laatu paranee

Lisätiedot

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö

Lisätiedot

Äänen nopeus pitkässä tangossa

Äänen nopeus pitkässä tangossa IXPF24 Fyiikka, ryhälaboratoriotyö IST4S1 / E1 / A Okanen Janne, Vaitti Mikael, Vähäartti Pai Jyväkylän Aattikorkeakoulu, IT-intituutti IXPF24 Fyiikka, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pai Repo Äänen nopeu

Lisätiedot

Helka-neiti kylvyssä

Helka-neiti kylvyssä Helkanet kylvyssä Frtz Grunbaum suom. M. A. ummnen Solo Tenor???? m Fred Raymond sov. G. Ventur 2001 Tä män täs tä p Bass Uu m g Wow uu uu uu uu uu uu uu, uu p wow wow wow wow wow wow wow, wow uu wow Mart

Lisätiedot

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

Raja-arvot. Osittaisderivaatat. 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat

Lisätiedot

Galerkin in menetelmä

Galerkin in menetelmä hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan

Lisätiedot

Jakso 4: Dynamiikan perusteet jatkuu, työ ja energia Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on maanantaina

Jakso 4: Dynamiikan perusteet jatkuu, työ ja energia Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on maanantaina Jako 4: Dynamiikan peruteet jatkuu, työ ja energia Näiden tehtävien viimeinen palautu- tai näyttöpäivä on maanantaina 8.8.2016. Kolmea enimmäieä lakua ovelletaan Newtonin 2. ja 3. lakia. T 4.1 (pakollinen):

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä

Monte Carlo -menetelmä Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla

Lisätiedot

10. VAKIOLÄMPÖTILASSA JA VAKIOPAINEESSA TAPAHTUVAN PROSESSIN MINIMI- JA MAKSIMI-TYÖMÄÄRÄ

10. VAKIOLÄMPÖTILASSA JA VAKIOPAINEESSA TAPAHTUVAN PROSESSIN MINIMI- JA MAKSIMI-TYÖMÄÄRÄ 32 0. VAKIOLÄMPÖTILASSA JA VAKIOPAINEESSA TAPAHTUVAN PROSESSIN MINIMI- JA MAKSIMI-TYÖMÄÄRÄ 0. M- j kstyö Trkstell vkoläpötlss j vkopeess tphtuv prosess P:A f B. Terodyk esäe pääsäätö o D U = Q(P) - W(P),

Lisätiedot

r i m i v i = L i = vakio, (2)

r i m i v i = L i = vakio, (2) 4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 perussarjan vastaukset PERUSSARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 perussarjan vastaukset PERUSSARJA PERUSSARJA Vataa hulellieti ja iititi iiteen tehtäään! Kirjita tetaten epaperiin a niei, tiitteei, ähöptiite, pettajai nii eä ului nii. Kilpailuaiaa n 00 inuuttia. Seä tehtää- että epaperit palautetaan

Lisätiedot

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään 4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa

Lisätiedot

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli hum.9. oiman potentiaalienergia Potentiaalienergiata puhutaan, kun kappaleeeen vaikuttaa jokin konervatiivinen voima. oima on konervatiivinen, jo en tekemä tö vaikutupieen iirteä tiettä paikata toieen

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011 S-55.220 Piirianalyyi 2 Tentti 27.0. j(t) u(t) -piiriin vaikuttaa lähdevirta j(t) = A ĵ in(ωt)]. Lake piirin jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho. Piiri on jatkuvuutilaa. ĵ = 0,5A = 2µF ω

Lisätiedot

FYSI1162 Sähkö / Piirianalyysi syksy kevät /7 Laskuharjoitus 6: Vaihtovirta-analyysin perusteet

FYSI1162 Sähkö / Piirianalyysi syksy kevät /7 Laskuharjoitus 6: Vaihtovirta-analyysin perusteet FYSI116 Sähkö / Pranalyy yky 14 - kevät 15 1 /7 akharjot 6: ahtovrta-analyyn perteet Tehtävä 1. Olkoon nmotonen jännte (t) = 8 co(1t 6º). Tehtävä 1 / 1 8 6 4 - -4-6 -8-1,,4,6,8 1 1, 1,4 1,6 1,8,,4,6,8

Lisätiedot

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut 1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä

Lisätiedot

1, x < 0 tai x > 2a.

1, x < 0 tai x > 2a. PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto

Lisätiedot

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i

Lisätiedot

lim Jännitystila Jännitysvektorin määrittely (1)

lim Jännitystila Jännitysvektorin määrittely (1) Jännitstila Tarkastellaan kuvan ukaista ielivaltaista koliulotteista kaaletta, jota kuoritetaan ja tuetaan siten, että se on tasaainossa. Kaaleen kuoritus uodostuu sen intaan kohdistuvista voiajakautuista,

Lisätiedot

Kirjainkiemurat - mallisivu (c)

Kirjainkiemurat - mallisivu (c) Aa Ii Uu Ss Aa Ii Uu Ss SII-LIN VII-LI-KUP-PI I-sot, pie-net kir-jai-met, sii-li neu-voo aak-ko-set. Roh-ke-as-ti mu-kaan vaan, kaik-ki kyl-lä op-pi-vat! Ss Har-joit-te-le kir-jai-mi-a li-sää vih-koo-si.

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2004

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2004 MAOL-Piteityohjeet Fyiikka kevät 004 Tyypilliten virheiden aiheuttaia piteenetykiä (6 piteen kaalaa): - pieni lakuvirhe -1/3 p - lakuvirhe, epäielekä tulo, vähintään - - vataukea yki erkitevä nuero liikaa

Lisätiedot

Voiman momentti. Momentin yksikkö on [M] = [F] [r] = 1 Nm (newtonmetri) Voiman F vaikutussuora

Voiman momentti. Momentin yksikkö on [M] = [F] [r] = 1 Nm (newtonmetri) Voiman F vaikutussuora Voa oett Moett o oa ja oa ae tulo Täsällse ääteltä oa F oett (aksel A suhtee) o M A = F, ssä o oa akutussuoa (kohtsuoa) etäss akselsta A Voa ae sjasta odaa kättää ös oa akutuspstee ja akselpstee lhtä etästtä,

Lisätiedot

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus METSÄNTUTKIMUSLAITOS Metäteknologian Uniinkatu WÄRTSILA 40 A tutkimuoato Helinki TELESKOOPPIKUORMAIN AUTOKUORMAUKSESSA Kenttäkoe Tutkimuelotu Juhani Helinki Lukkari 97 7 Ainto Tutkimuken kenttäkoe Ruokolahdella.

Lisätiedot

1. Oheinen kuvio esittää kolmen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona.

1. Oheinen kuvio esittää kolmen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona. Fotoni 4 Kertau - 1 Kertautehtäviä Luku 1 1. Oheinen kuvio eittää kolen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona. a) Kuka on kulkenut piiän atkan aikavälinä 0...7? b) Milloin B aavuttaa C:n? c) Kenellä

Lisätiedot

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit 7.48 TY Juha Pyrhönen 7. Tahtikone Tahtikoneet muootavat kokonaien ähkökoneperheen. Päätyyppejä ovat vieramagnetoiut tahtikoneet, ynkroniet reluktanikoneet ja ketomagneettitahtikoneet. Vieramagnetoiut

Lisätiedot

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006 S-55.0/4 Piirianalyyi. Välioe 0.3.006 ae tehtävät 3 eri paperille in tehtävät 4 5. Mita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanmero, rin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Mita

Lisätiedot

9. Muuttuva hiukkasluku

9. Muuttuva hiukkasluku Statstnen fyskka, osa B (FYSA242) Tuomas Lapp tuomas.v.v.lapp@jyu.f Huone: FL240. E kntetä vastaanottoakoja. kl 2016 9. Muuttuva hukkasluku 1 Kertaus: lämpökylpy Mustetaan kurssn A-osasta Mkrokanonnen

Lisätiedot

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6

Lisätiedot

ILARI ÄIJÄLÄ JAETUNTEHON HYBRIDIJÄRJESTELMÄN MALLINTAMINEN

ILARI ÄIJÄLÄ JAETUNTEHON HYBRIDIJÄRJESTELMÄN MALLINTAMINEN IARI ÄIJÄÄ JAETUNTEHON HYBRIDIJÄRJESTEMÄN MAINTAMINEN Dplotyö Takataja: pofeo Hekk Tuua Takataja ja ahe hyväkytty Teto- ja ähköteknkan tedekuntaneuvoton kokoukea 5. aakuuta 008 II III Alkuanat Tää dplotyö

Lisätiedot

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö 10 Suran vektrimutinen htälö J aluki tarkatellaan -tan kuuluvaa, rign kautta kulkevaa uraa, niin ura n täin määrätt, mikäli tunnetaan en uunta. Tavallieti tämä annetaan uuntakulman tangentin = kulmakertimen

Lisätiedot

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron

Lisätiedot

S , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon

S , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss,

Lisätiedot

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten

Lisätiedot

Toiminta- ja taloussuunnitelma 2010-2012 sekä talousarvio vuodelle 2010 KHALL 532

Toiminta- ja taloussuunnitelma 2010-2012 sekä talousarvio vuodelle 2010 KHALL 532 V 167 02122009 K 532 07122009 V 193 16122009 T- 2010-2012 2010 KHALL 532 V 02122009 168, 169, 170 171 : YLEISHALLINTO /, (H 2122009 /ö 168 ) V *,, * - S * ö, öö 2010 *, ö, * M ö * L- L T Höö M K L ; -

Lisätiedot

Yykaakoo 1A opettajan oppaan liitteet

Yykaakoo 1A opettajan oppaan liitteet Yykaakoo A opettajan oppaan liitteet Kopiointipohjat. Laskemisen tukimateriaali 2 a. Kymppiruudukot 2 b. Pistenapit 3 c. Lukunapit 4 d. Geometriset tasokuviot 5 e. Rahat 6 2. Ruutupohjia 7 a. Ruutupohja

Lisätiedot

Viikkotehtävät IV, ratkaisut

Viikkotehtävät IV, ratkaisut Viikkotehtävät IV, ratkaiut. 7,40 V (pariton napajännite) I 7 ma (lampun A ähkövirta rinnankytkennää) I 5 ma (lampun B ähkövirta rinnankytkennää) a) eitani on, joten lamppujen reitanit voidaan lakea tehtävää

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA LKION FYSIIKKAKILPAIL 8..5 avoien arjan vat AVOIN SARJA Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooitteei, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on inuuttia. Sekä tehtävä- että

Lisätiedot

YHDYSKUNTALAUTAKUNTA TALOUSARVIOEHDOTUS 2018 TALOUSSUUNNITELMA

YHDYSKUNTALAUTAKUNTA TALOUSARVIOEHDOTUS 2018 TALOUSSUUNNITELMA YHDYSKUNTALAUTAKUNTA TALOUSARVIOEHDOTUS 2018 TALOUSSUUNNITELMA 2018-2020 TOIMIALA 50 YHDYSKUNTAPALVELUT P A L V E L U 5 0 0 T E K N I S E N J A Y M P Ä R I S T Ö T O I M E N H A L L I N T O J A M A A S

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.00 SÄHKÖTKNKKA A KTONKKA. välkoe 9.3.2007. Saat vatata van neljään tehtävään!. ake pteden A ja B välnen potentaalero el jännte AB. =4Ω, 2 =2Ω, =0 V, 2 =4V, =2A, =3A A + 2 2 B + 2. Kytkn ljetaan hetkellä.

Lisätiedot

1. Kaikki kaatuu, sortuu August Forsman (Koskimies)

1. Kaikki kaatuu, sortuu August Forsman (Koskimies) olo q» date reliioso olo 7 K (2003) KE2a7 1. Kaikki kaatuu, sortuu uust Forsma (Koskimies) olo 14 olo 21 3 3 3 3 3 3 3 3 Ÿ ~~~~~~~~~~~ π K (2003) KE2a7 uhlakataatti (kuoro) - 2 - Kuula: - 3 - uhlakataatti

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot

Lisätiedot

Lähdemateriaalina käytetty Pertti Louneston kirjaa Clifford Algebras and spinors [1]

Lähdemateriaalina käytetty Pertti Louneston kirjaa Clifford Algebras and spinors [1] Lähdmatraala kättt Prtt Lousto kraa Clfford Algbras ad spors [] Krtausta Clfford algbra määrtllää algbraks kvadraattsll vktoravaruudll (sm. skalaartulolla. Clfford algbra oka alko vodaa sttää algbra katavktord

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2010

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2010 MAOL-Piteityohjeet Fyiikka kevät 010 Tyypilliten virheiden aiheuttaia piteenetykiä (6 piteen kaalaa): - pieni lakuvirhe -1/3 p - lakuvirhe, epäielekä tulo, vähintään - - vataukea yki erkitevä nuero liikaa

Lisätiedot

S Piirianalyysi 2 Tentti

S Piirianalyysi 2 Tentti S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4.9.06. j(t) u(t) ake jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho, kun j(t) ĵ in(ω t)+ĵ 2 in(ω 2 t) ja piiri on jatkuvuutilaa. Ω 5µH 00 nf ĵ 300 ma ĵ 2 0 ma ω 0 6 rad/

Lisätiedot

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste

Lisätiedot

BH60A0900 Ympäristömittaukset

BH60A0900 Ympäristömittaukset BH60A0900 Yäitöittauket Lakuhajoitu Kuiva ja kotea kaau, tilavuuvita ehtävä Savukaau läötila o 00 ja aie 99 kpa. ekittäviät kaaukooetit ovat 0 %, H 0 %, 0 % ja lout tyeä. ikä o a) kotea ja kuiva kaau tilavuukie

Lisätiedot

R 2. E tot. Lasketaan energialähde kerrallaan 10 Ω:n vastuksen läpi oleva virta.

R 2. E tot. Lasketaan energialähde kerrallaan 10 Ω:n vastuksen läpi oleva virta. D-000 Pranalyys Harjotus 3 / vkko 5 4.4 Laske kuvan vrta käyttäen energalähteden muunnoksa. Tarkotuksena on saada energalähteden muutokslla ja yhdstämsllä akaan yksnkertanen pr, josta vo Ohmn lan avulla

Lisätiedot

matsku 2 YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKU Tanja Manner-Raappana Nina Ågren OPETUSHALLITUS

matsku 2 YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKU Tanja Manner-Raappana Nina Ågren OPETUSHALLITUS matsku 2 HTEEN- JA VÄHENNSLASKU Tanja Manner-Raappana Nina Ågren OPETUSHALLITUS MATSKU 2 Tämän kirjan omistaa: Sisällysluettelo 0 h-tä suu-ri h-tä suu-ri htä suuri 4 1 h-teen-las-ku 0 5 Mi-tä puut-tuu?

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Paulin spinorit ja spinorioperaattorit

Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Spinoreita on useita erilaisia. Esimerkiksi Paulin, Dirackin ja Weyelin spinorit. Yhteisenä piirteenä eri spinoreilla on se, että kukin liittyy tavallisesti johonkin

Lisätiedot

Jäykän kappaleen liike

Jäykän kappaleen liike aananta 9.9.014 1/17 Jäykän kappaleen lke Tähän ast tarkasteltu massapstemekankkaa : m, r, v Okeast fyskaalset systeemt ovat äärellsen kokosa, esm. jäykät kappaleet r r j = c j =vako, j elastset kappaleet

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä

Lisätiedot

MUODONMUUTOKSET. Lähtöotaksumat:

MUODONMUUTOKSET. Lähtöotaksumat: MUODONMUUTOKSET Lähöoaksuma:. Maeraal on sorooppsa ja homogeensa. Hooken lak on vomassa (fyskaalnen lneaarsuus) 3. Bernoulln hypoees on vomassa (eknnen avuuseora) 4. Muodonmuuokse ova nn penä rakeneen

Lisätiedot

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S<

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S< 1(0 1 4 1 1 4 UiH 0 0 0 1 S< A S I A N A J O T O I M I S T O O S S I G U S T A F S S O N P L 2 9, Ra u h a n k a t u 2 0, 1 5 1 1 1 L a h t i P u h e l i n 0 3 / 7 8 1 8 9 6 0, G S M 0 5 0 0 / 8 4 0 5

Lisätiedot

Kiinteistöveroprosenttien ja kunnan tuloveroprosentin vahvistaminen vuodeksi 2016

Kiinteistöveroprosenttien ja kunnan tuloveroprosentin vahvistaminen vuodeksi 2016 Kunnanhallitus 308 09.11.2015 Valtuusto 71 16.11.2015 Kiinteistöveroprosenttien ja kunnan tuloveroprosentin vahvistaminen vuodeksi 2016 804/02.03.01/2015 KHALL 308 9.11.2015 Kuntalain 66 :n mukaan valtuusto

Lisätiedot

1 LAMMIMUURIN RAKENNE JA OMINAISUUDET 2 2 KÄYTTÖKOHTEET 2 3 MUURITYYPIT 2 4 LASKENTAOTAKSUMAT 3 4.1 Materiaalien ominaisuudet 3 4.2 Maanpaine 3 4.

1 LAMMIMUURIN RAKENNE JA OMINAISUUDET 2 2 KÄYTTÖKOHTEET 2 3 MUURITYYPIT 2 4 LASKENTAOTAKSUMAT 3 4.1 Materiaalien ominaisuudet 3 4.2 Maanpaine 3 4. 1 LAIUURIN RAKENNE JA OINAISUUDET KÄYTTÖKOHTEET 3 UURITYYPIT 4 LASKENTAOTAKSUAT 3 4.1 ateriaalien ominaiuudet 3 4. aanpaine 3 4.3 uurin ketävyy npaineelle 4 4.4 Kaatumi- ja liukumivarmuu 5 4.4.1. Kaatumivarmuu

Lisätiedot

S Fysiikka III (Est) Tentti

S Fysiikka III (Est) Tentti S-114137 Fyiikka III (Et) Tentti 9008 1 Vetyatomin elektronin kulmaliikemäärää kuvaa kvanttiluku l =3 Lake miä kaikia kulmia kulmaliikemäärävektori voi olla uhteea kulmaliikemäärän z-komponenttiin ( )

Lisätiedot