Fysiikan olympiavalmennus, avoin sarja Palautus mennessä

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Fysiikan olympiavalmennus, avoin sarja Palautus mennessä"

Transkriptio

1 Fysiikan olympiavalmennus, avoin sarja Kirje 1 Palautus mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuksen ensimmäinen vaihe koostuu valmennuskirjeistä, joita saat yhteensä kolme, ja niihin aktiivisesti vastaamalla voit päästä mukaan Suomi Viro-fysiikkamaaotteluun, jossa valitaan Suomen joukkue vuoden 2012 fysiikkaolympialaisiin. Lisätietoa löytyy fysiikkavalmennuksen sivuilta osoitteesta valmennus. Tässä ensimmäinen valmennuskirje. Osa tehtävistä on perinteisiä laskuja, toisissa tutustutaan osittain sellaiseen fysiikkaan, mitä lukiokursseilla ei välttämättä käsitellä, mutta mitä fysiikkaolympialaisissa on hyvä hallita. Muutamat tehtävänannot ovat pitkähköjä, mutta laskut eivät välttämättä ole niin vaikeita. Tehtävät on pyritty laatimaan siten, että vaikka jotakin kohtaa ei saisi ratkaistua, voi tehtävän loppuosan silti tehdä. Tehtäviin liittyvissä kysymyksissä voi olla yhteydessä allekirjoittaneeseen. Ensimmäinen kirje keskittyy pääasiassa klassiseen mekaniikkaan. Palauta ratkaisusi mennessä osoitteeseen Heikki Mäntysaari Fysiikan laitos PL 35 (YFL) Jyväskylän yliopisto tai sähköpostitse osoitteeseen 1 Liitä ratkaisuihisi mukaan oma nimesi, sähköpostiosoitteesi, kotiosoitteesi ja puhelinnumerosi. Tarkastetut ratkaisut jaetaan takaisin valintakilpailussa tai palautetaan postitse. Seuraa sähköpostiasi säännöllisesti valmennuksen ajan. Tehtävä 1. Vastaa lyhyesti perustellen (a) Heität ankkurin veneestä järveen. Nouseeko vai laskeeko järven pinta? (b) Kun pitkää viivotinta tai karttakeppiä pitää vasemman ja oikean käden etusormien varassa vaakasuorassa ja vetää sormet hitaasti yhteen, sormet kohtaavat viivottimen tai kepin painopisteen kohdalla. Näin tapahtuu riippumatta siitä, missä kohtaa sormet alussa ovat. Selitä ilmiö mahdollisimman tarkasti. (c) Miksi pyörivä hyrrä ei kaadu, vaikka se on pyöriessään kallellaan? (d) Miksi veden pinnalla oleva öljyläikkä näkyy monivärisenä? Tehtävä 2. Tarkastellaan sateenkaaren muodostumista, kun auringon valo siroaa ilmassa olevista vesipisaroista. Yritetään ymmärtää ensin, miten valo siroaa yhdestä vesipisarasta, ja tarkastellaan tämän jälkeen todellista tilannetta, jossa ilmassa on suuri määrä pisaroita. Kuvassa 1 on esitetty auringosta tulevan valonsäteen siroaminen yksittäisestä vesipisarasta. Aurinko on hyvin kaukana, joten pisaraan osuvat valonsäteet ovat käytännössä yhdensuuntaisia. Tarkastellaan valonsädettä, joka ei tule suoraan kohti pisaran keskipistettä, vaan sen tulokulma vesipisaran pinnan normaaliin nähden on α. Osa tästä valosta taittuu pisaran sisään taitekulmalla β. Tämä valo heijastuu pisaran takaseinästä, ja taittuu tämän jälkeen ulos vesipisarasta. Olkoon δ ulosmenevän säteen ja vesipisaran keskipisteetä aurinkoon menevän suoran välinen kuva kuten kuvassa 1. (a) Näytä, että δ = 4β 2α. (b) Punaiselle valolle veden taitekerroin on n p = 1,331 ja siniselle n s = 1,343. Määritä δ:n suurin mahdollinen arvo δ max punaiselle ja siniselle valolle. (Punaiselle 42,37, siniselle 40,65.) (c) Piirrä kuva, josta käy ilmi, mihin suuntaan lähtee minkäkin väristä valoa, kun auringon valo osuu ilmassa olevaan vesipisaraan. Ilmaise kuvassa olevat kulmat suhteessa pisaran keskipisteestä aurinkoon menevään suoraan. (d) Tarkastellaan sitten tilannetta, jossa ilmassa on useita vesipisaroita. Merkitään ihmisen katseen suunnan (katse poispäin auringosta) ja silmien kohdalta aurinkoon menevän suoran välistä kulmaa θ:lla. Mitä havaitsija näkee, kun θ on pieni? Miten kirkkaus eroaa tilanteesta, jossa θ on suuri? Missä järjestyksessä sateenkaaren eri värit näkyvät? (e) Kuvassa 2 näkyy kaksi sateenkaarta samanaikaisesti. Miten selität ilmiön? (laskuja ei vaadita). 1 Mielellään PDF-muodossa, Windowsilla PDF:iä voi tehdä esimerkiksi PDFCreatorilla: Skannatut käsinkirjoitetut ratkaisut käyvät, mutta käsinkirjoitetut paperilla palautetut ratkaisut ovat mukavimpia käsitellä. 1/5

2 Aurinko Kuva 1: Valon hiejastuminen vesipisarasta Kuva 2: Kaksi sateenkaarta. Tehtävä 3. Newtonin toinen laki F = m a pätee vain, kun kappaleen massa on vakio. Jos kappaleen massa muuttuu, on NII korvattava sen yleisemmällä versiolla tai liikemäärän avulla kirjoitettuna d(m v) dt = F, (1) d p dt = F. (2) Huomaa erikoistapauksena, että jos voima F on vakio ja vaikuttaa aikavälin t, niin p = t F, mikä on lukiomekaniikasta tuttu impulssin ja liikemäärän yhteys. Tässä siis merkitään liikemäärän derivaattaa ajan suhteen muodossa d p/dt = p (t). Tarkastellaan tästä lähtien liikettä yhdessä ulottuvuudessa, jolloin voidaan unohtaa vektorimerkit, p = p. Huomaa yhteys derivaatan geometriseen tulkintaan, sillä nyt dp on liikemäärän pieni muutos, kun aikaa kuluu pieni aikaväli dt. Tämä suhdehan on käyrän p = p(t) kulmakerroin (p,t)-tasossa. 2 Tarkastellaan nyt avaruusrakettia, joka kiertää maapalloa korkeudella h ympyräradalla. Raketti halutaan ampua pois maapallon vetovoiman vaikutuspiiristä, jolloin sen nopeus tulee kasvattaa pakonopeutta suuremmaksi 3. Raketin massa on aluksi M 0, ja se kiihdyttää pakonopeuteen käyttämällä rakettimoottoria, josta purkautuu pakokaasua vakionopeudella nopeudella u. Laske alla olevan ohjeen mukaan, kuinka paljon polttoainetta tarvitaan, jotta maan painovoimakentästä päästään pois. (a) Mikä on raketin nopeus v 0 = v(t = 0) aluksi sen ollessa ympyräradalla korkeudella h? (b) Kuinka suuri nopeus raketilla tulee olla, jotta se voi poistua maapallon painovoimakentästä? (c) Tarkastellaan raketin kiihtymistä ajanhetkien t ja t + dt välillä (nyt siis dt on pieni aikaväli). Voimme tarkastella rakettia ja pakokaasua kokonaisuutena, johon ei kohdistu ulkoisia voimia, joten kokonaisliikemäärä P on vakio. Kun tarkasteltava aikaväli on pieni, voimme ajatella, että raketista poistuu yksi pakokaasualkio ja laskemme, miten se vaikuttaa raketin liikkeeseen. Tarkastelujakson aluksi raketin nopeus on v(t) ja massa m(t). Tarkastelujakson aikana raketin nopeus kasvaa dv:n verran ja massa vähenee dm:llä (eli raketista poistuu pakokaasua massan dm verran). 2 Matematiikan kurssilta saattaa olla tuttu derivaatan määritelmä erotusosamäärän raja-arvona: f (x) = f(x+h) f(x) lim h 0, joka siis on muotoa f:n muutos / x:n muutos. 3 h Raketti voi toki poistua maan vetovoimakentästä myös kävelyvauhtia, mutta käytännössä paras tapa (kun huomioidaan käytettävissä oleva rajallinen polttoainemäärä) on kiihdyttää raketti ripeästi sopivalle radalle ja sammuttaa moottorit. 2/5

3 Alkutilassa meillä ei ole pakokaasualkiota, joten systeemin kokonaisliikemäärä on P (t) = m(t)v(t). Kirjoita koko järjestelmän liikemäärä lopuksi, P (t+dt), eli liikemäärä sen jälkeen, kun dm-massainenpakokaasualkio on poistunut raketista raketin suhteen nopeudella u. (d) Kun tarkasteltava aikaväli dt on lyhyt, ovat muutokset dv ja dm pieniä, joten muotoa dv dm olevat termit voidaan jättää huomiotta. Näytä, että nyt liikemäärän muutos on dp = P (t + dt) P (t) = mdv + udm. (3) (e) Yhtälön (2) mukaisesti nyt dp/dt = 0, koska rakettiin ei kohdistu ulkoisia voimia (gravitaatio on paljon heikompi kuin tehokkaan rakettimoottorin aiheuttama voima kiihdytyksen aikana, joten se voidaan jättää huomiotta). Siten yhtälön (3) nojalla (miksi?) m dv(t) dt = u dm dt. (4) Tämä yhtälö on niin sanottu differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisuna saadaan raketin nopeusfunktio v(t) kun alkuehto, eli nopeus hetkellä t = 0, tunnetaan. Totea, että yhtälön ratkaisufunktio on v(t) = v 0 + u ln M 0 m(t). (5) Jos differentiaaliyhtälöiden käsittely on tuttua, voit myös ratkaista suoraan alkuperäisen differentiaaliyhtälön. (f) Arvioi karkeasti (mahdollisesti esimerkiksi Wikipediaa hyödyntäen) sopivat lähtöarvot esimerkiksi kuuraketille ja laske suuruusluokka-arvio sille, paljonko polttoainetta tarvitaan raketin kiihdyttämiseen. Tehtävä 4. Kappaleen, jonka massa on (vakio) m, liikettä yhdessä ulottuvuudessa kuvaa tuttu Newtonin toinen laki F = ma, (6) missä F on kappaleeseen kohdistuva voima ja a sen kiihtyvyys. Voima on siis suoraan verrannollinen liikutettavan kappaleen kiihtyvyyteen. Arkikokemus taas monissa tilanteissa näyttää, että voima on jollain tavalla verrannollinen nopeuteen: esimerkiksi vedessä liikkuva kappale näyttää putoavan alaspäin vakionopudella tasaisen kiihtymisen sijaan. Yritämme nyt ymmärtää, miksi näin käy. (a) Nesteessä hitaasti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttaa vastusvoima F v = Cv, (7) missä C on kappaleen muodosta ja koosta sekä nesteen ominaisuuksita riippuva positiivinen vakio. Jos kappaleeseen vaikuttaa lisäksi ulkoinen voima F u, saadaan yhtälön (6) ja (7) yhdistämällä yhtälö ma = Cv + F u. Oletetaan, että F u ei riipu ajasta, mutta kiihtyvyys ja nopeus varmasti voivat muuttua ajan funktiona. Siten kirjoitamme edellisen yhtälön muotoon ma(t) = Cv(t) + F u. Kiihtyvyys on määritelmän mukaan nopeuden derivaatta: a(t) = v (t). Tätä määritelmää käyttäen saamme yhtälön mv (t) = Cv(t) + F u. (8) Tämä on niin sanottu differentiaaliyhtälö, ja tehtävämme on nyt löytää sellainen funktio v(t), että se toteuttaa ehdon (8). Lisäksi vaadimme, että alkuhetkellä t = 0 kappaleen nopeus on tasan v 0. Tämän jälkeen saamamme ratkaisufunktio v(t) kertoo kappaleen nopeuden milloin tahansa myöhemmin. Tarkastelemme hieman samankaltaista differentiaaliyhtälöä myös tehtävässä Tehtävä 3. Jos differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on sinulle tuttua esimerkiksi matematiikan syventäviltä kursseilta, ratkaise yhtälö (8). Toisaalta voimme yrittää ratkaista yhtälöä myös tekemällä valmistuneen arvauksen, että ratkaisu on muotoa v(t) = A 1 + A 2 e A3t, (9) missä A 1, A 2 ja A 3 ovat vakioita. Totea, että tämä funktio toteuttaa yhtälön (8) kun vakiot valitaan tietyllä tavalla. Huomaa, että yhtälön täytyy päteä kaikilla ajan t arvoilla. Ota lisäksi huomioon alkuehto v(t = 0) = v 0 ja päättele vakioiden A 1, A 2 ja A 3 arvot. 3/5

4 (b) Edellisen kohdan tuloksena saamme ratkaistua nopeuden v(t). Tuloksen pitäisi näyttää tältä: v(t) = F ( u C + v 0 F ) u e Ct/m. (10) C Perustele, miksi kappaleen rajanopeus v r on v r = lim t v(t) = F u /C? Verrataan tätä tulosta yhtälöön (8), jonka kirjoitamme nyt muotoon ma = Cv + F u. Millä nopeuden v arvoilla kiihtyvyys a on nolla? Miten ja miksi tämä liittyy edellä laskettuun raja-arvoon? Tehdään lisäksi tärkeä oletus: nesteen aiheuttama vastusvoima on hyvin suuri, jolloin siis C on suuri. Edellä todettiin, että lim t = v r. Perustele (mahdollisesti sopivin lisäoletuksin), miksi olettamassamme tilanteessa v(t) v r on hyvinkin tarkka arvio jo melko pienillä ajoilla (tässä ei odoteta tarkkoja laskuja, vaan osoitus siitä, että ymmärrät, mistä on kyse, riittää). Tuloksena saamme yhtälön v F u C. (11) (c) Edellä oletimme ulkoisen voiman F u olevan vakio. Nyt annamme sen muuttua ajan funktiona, F u = F u (t), mutta vain hitaasti. Koska nopeus lähestyy arvoa v r hyvinkin nopeasti, voimme olettaa, että v(t) = v r koko ajan, vaikka v r muuttuukin. Saamme siis yhtälön v(t) F u (t)/c, jonka voimme (unohtaen likiarvoisuuden) kirjoittaa muotoon F u (t) = Cv(t). (12) Jos olisimme olettaneet, että vastusvoimaa kuvaava kerroin C on mitättömän pieni (tai jopa C = 0), olisimmekin saaneet tutun yhtälön F u (t) = ma(t), (13) missä F u tarkoittaa kappaleeseen vaikuttavia ulkoisia voimia poislukien väliaineen vastus ja kitka. Vertaile näitä kahta liikeyhtälöä seuraavissa tapauksissa. Millä tavoin kappale putoaa painovoiman vaikutuksessa, kun F u on vakio? Mitä tapahtuu kappaleelle, joka heitetään ylöspäin? Jos kaksi samamassaista kappaletta pudotetaan ythä aikaa samalta korkeudelta, putoaako toinen nopeammin? Jos kyllä, niin missä tilanteessa molemmat putoavat yhtä nopeasti? Näyttää siltä, että jos kappale toteuttaa liikeyhtälön (12), sen liike-energian ja potentiaalienergian summa (kokonaisenergia) ei olekaan vakio. Keksi esimerkkitilanne, jossa näin käy. Miksi energia ei näytä säilyvän? (d) Liikevastus voi olla edellä kuvatun kaltainen muutenkin kuin nesteissä. Myös ilmanvastus ja ktika voivat toimia kuvatulla tavalla. Jos vastusovima riippuukin nopeudesta jotenkin toisin, esimerkiksi yhtälön F v = K v v mukaisesti, muuttuu liikeyhtälö (12) hieman, mutta oleellinen tulos on sama: voima aiheuttaa nopeuden, ei kiihtyvyyttä 4. Keksi kaksi esimerkkiä arkisista tilanteista, joissa liikeyhtälö (12) (tai jokin sen kaltainen yhtälö) kuvaa tilannetta paremmin, ja toiset kaksi, joissa liikeyhtälö (13) on sopivampi. Keksi vielä kaksi sellaista tilannetta, joissa kumpikin on huono. Jos tuntuu tarpeelliselta, voit jaotella kappaleeseen vaikuttavat voimat ulkoiseen ja vastusvoimaan F u ja F v haluamallasi tavalla. Voit tutkia myös useampiulotteista liikettä, jolloin yllä esitetyt liikeyhtälöt tulevat muotoon F u (t) = C v(t) ja F u (t) = m a(t), kuten voi odottaa. Tehtävä 5. Tarkastellaan tilannetta, jossa kaksi massiivista kappaletta (massat m ja M) pyörivät avaruudessa yhteisen massakeskipisteensä O ympäri. Tilanne on esitetty kuvassa 3. (a) Määritä kulmanopeus, jolla kappaleita m ja M yhdistävä jana pyörii. (b) Näiden kahden kappaleen kanssa samalle tasolle halutaan asettaa satelliitti (massa µ m,m) siten, että se pysyy paikallaan M:n ja m:n suhteen. Mikä on µ:n etäisyys m:stä ja M:stä? Tehtävä 6. CERNin LHC-hiukkaskiihdyttimellä törmäytetään vastakkaisiin suuntiin eteneviä protoneja. Tarkastellaan kahden tällaisen protonin törmäystä. Yhden protonin kokonaisenergia on E p = 3,5 TeV. Tällaisissa törmäyksissä on pienessä tilassa niin paljon energiaa, että siitä voi muodostua lukuisia uusia hiukkasia. Hiukkasfysiikassa mitataan mm. tuotettujen hiukkasten kulmajakaumia, joista saadaan tietoa esimerkiksi protonin rakenteesta. 4 Tässä tilanteessa saamme vastaavin oletuksin F u(t) = K v(t) v(t). 4/5

5 M R O r m Kuva 3: Kappaleet, joiden massat ovat m, M, pyörivät massakeskipisteensä ympäri. Samalla tasolla on kolmas pienimassainen kappale µ. Lähellä valonnopeutta kulkevien hiukkasten kuvailussa tarvitaan erityistä suhteellisuusteoriaa. Lukiossa sitä ei nykyään juuri käsitellä, mutta fysiikkaolympialaisten aihealueisiin se kuuluu. Tarvittaessa tutustu aiheeseen tutkimalla kirjeen mukana toimitettua materiaalia. (a) Mikä on protonien nopeus laboratoriokoordinaatistossa? (b) Jos toinen protoni olisi levossa, niin kuinka suuri pitäisi toisen protonin energian olla, jotta systeemin kokonaisenergia massakeskipistekoordinaatistossa olisi sama? Miksi suurienergisia törmäyksiä haluttaessa käytetään vastakkaisiin suuntiin kulkevia suihkuja, vaikka niiden hallitseminen on teknisesti paljon vaikeampaa? Ohje: siirry alkuperäisestä koordinaatistosta koordinaatistoon, jossa toinen protoni on levossa. (c) Jos massakeskipistekoordinaatistossa syntyy hiukkanen, jonka liikemäärä on 10 GeV/c ja sirontakulma θ = 45. Mikä on tämän hiukkasen suuntakulma koordinaatistossa, jossa toinen protoni on levossa. Tehtävä 7. Havaintojemme mukaan maailmankaikkeus on suuressa mittakaavassa homogeeninen. Perustele, miksi universumi ei voi olla äärettömän vanha ja staattinen. Suhteellisuusteoriaa ei tarvita. Ohje: tarkastele tähtiä, jotka ovat etäisyydellä R... R+ R maasta. Paljonko näitä tähtiä on? Entä etäisyydellä 2R... 2R+ R. Kuinka kirkkaita nämä tähdet ovat maasta katsottuna? Tehtävä 8. Kokeellinen tehtävä: määritä voima, joka tarvitaan rullalangan katkaisemiseen. Käytettävissä on pitkähkö pala rullalankaa, millimetripaperia/mittanauha, teippiä ja esine, jonka massa on n. 0,1 1,0 kg. Anna tuloksellesi virhearvio käyttäen maksimi-minimimentelmää, joka on esitelty olympiavalmennuksen virheanalyysimateriaalissa, joka löytyy osoitteesta 5/5

Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä

Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus 31.1.2013 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on

Lisätiedot

Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä

Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus 31.1.2012 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on

Lisätiedot

Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä

Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus 31.1.2014 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on

Lisätiedot

Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä

Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus 31.1.2015 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on

Lisätiedot

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste

Lisätiedot

Luento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä

Luento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N

= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N t. 1 Auringon ja kuun kohdistamat painovoimat voidaan saada hyvin tarkasti laksettua Newtonin painovoimalailla, koska ne ovat pallon muotoisia. Junalle sillä saadaan selville suuruusluokka, joka riittää

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat

Lisätiedot

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Luento 2: Liikkeen kuvausta Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä

Lisätiedot

Luento 8: Liikemäärä ja impulssi

Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä Ajankohtaista Konseptitesti 1 ÄLÄ KOKEILE TÄTÄ KOTONA! Kysymys

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

Massakeskipiste Kosketusvoimat

Massakeskipiste Kosketusvoimat Massakeskipiste Kosketusvoimat Luennon tavoitteet Kosketusvoimia Kitka Tukivoima Jännitys Jousivoima Massakeskipisteen käsite ja sillä laskeminen (Resonanssi tiedottaa tarjoavansa kahvia luentotauolla)

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten

Lisätiedot

Luento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä

Luento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 1 / 36 Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait

Lisätiedot

6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions)

6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions) 6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions) 6.1 Newtonin III laki Voimme laskea kappaleen liiketilan Newtonin II lain avulla, jos tunnemme kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. Jos kappaleita

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen

Lisätiedot

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36) Luennon

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat

Lisätiedot

Theory Finnish (Finland) Suuri hadronitörmäytin (Large Hadron Collider, LHC) (10 pistettä)

Theory Finnish (Finland) Suuri hadronitörmäytin (Large Hadron Collider, LHC) (10 pistettä) Q3-1 Suuri hadronitörmäytin (Large Hadron Collider, LHC) (10 pistettä) Lue erillisessä kuoressa olevat yleisohjeet ennen tämän tehtävän aloittamista. Tässä tehtävässä tarkastellaan maailman suurimman hiukkasfysiikan

Lisätiedot

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) 5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa

Lisätiedot

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA VUOROVAIKUTUS JA VOIMA Isaac Newton 1642-1727 Voiman tunnus: F Voiman yksikkö: 1 N (newton) = 1 kgm/s 2 Vuorovaikutus=> Voima Miten Maa ja Kuu vaikuttavat toisiinsa? Pesäpallon ja Maan välinen gravitaatiovuorovaikutus

Lisätiedot

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1 763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi

Lisätiedot

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian

Lisätiedot

Leptonit. - elektroni - myoni - tauhiukkanen - kolme erilaista neutriinoa. - neutriinojen varaus on 0 ja muiden leptonien varaus on -1

Leptonit. - elektroni - myoni - tauhiukkanen - kolme erilaista neutriinoa. - neutriinojen varaus on 0 ja muiden leptonien varaus on -1 Mistä aine koostuu? - kaikki aine koostuu atomeista - atomit koostuvat elektroneista, protoneista ja neutroneista - neutronit ja protonit koostuvat pienistä hiukkasista, kvarkeista Alkeishiukkaset - hiukkasten

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike

Luento 5: Käyräviivainen liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa,

Lisätiedot

Fysiikka ei kerro lopullisia totuuksia. Jokin uusi havainto voi vaatia muuttamaan teorioita.

Fysiikka ei kerro lopullisia totuuksia. Jokin uusi havainto voi vaatia muuttamaan teorioita. 766323A Mekaniikka Mansfield and O Sullivan: Understanding physics kpl 1 ja 2. Näitä löytyy myös Young and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 2 ja 3, s. 40-118. Johdanto Fysiikka on perustiede.

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Luento 5: Voima ja Liikemäärä

Luento 5: Voima ja Liikemäärä Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait (Newton

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Luento 7: Voima ja Liikemäärä

Luento 7: Voima ja Liikemäärä Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvaajassa on kuvattu kappaleen nopeutta

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike

Luento 5: Käyräviivainen liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 http://presemo.aalto.fi/mekaniikka2017 Kysymys Sotalaivasta

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

Liikemäärä ja voima 1

Liikemäärä ja voima 1 Liikemäärä ja voima 1 Tällä luennolla tavoitteena Kinematiikan ongelma ja sen ratkaisu: Miten radan ja nopeuden saa selville, jos kappaleen kiihtyvyys tunnetaan? Analyyttinen ratkaisu Liikemäärän, voiman

Lisätiedot

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla. FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin

Lisätiedot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen

Lisätiedot

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

FT, dosentti Kauppakatu 7 e Jyväskylä p Arvoisa lukiolainen!

FT, dosentti Kauppakatu 7 e Jyväskylä p Arvoisa lukiolainen! Anssi Lindell Jyväskylässä FT, dosentti Kauppakatu 7 e 50 7.1.2016 40100 Jyväskylä p. + 358 40 80 533 48 anssi.lindell@jyu.fi Arvoisa lukiolainen! Olet menestynyt varsin hyvin Matemaattisten aineitten

Lisätiedot

KULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38)

:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38) 'VLTJ,)Ł /Ł 2015-09-21 13:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38) Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 2015-09-21 13:37:37

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

L a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5

L a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5 Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian perusteet 2017

Suhteellisuusteorian perusteet 2017 Suhteellisuusteorian perusteet 017 Harjoitus 5 esitetään laskuharjoituksissa viikolla 17 1. Tarkastellaan avaruusaikaa, jossa on vain yksi avaruusulottuvuus x. Nollasta poikkeavat metriikan komponentit

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic

Lisätiedot

BM30A0240, Fysiikka L osa 4

BM30A0240, Fysiikka L osa 4 BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen Vuorovaikutus on yksi keskeisimmistä fysiikan peruskäsitteistä

Lisätiedot

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.

Lisätiedot

Keski-Suomen fysiikkakilpailu

Keski-Suomen fysiikkakilpailu Keski-Suomen fysiikkakilpailu 28.1.2016 Kilpailussa on kolme kirjallista tehtävää ja yksi kokeellinen tehtävä. Kokeellisen tehtävän ohjeistus on laatikossa mittausvälineiden kanssa. Jokainen tehtävä tulee

Lisätiedot

12. Differentiaaliyhtälöt

12. Differentiaaliyhtälöt 1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, 1.-2. luento Kari Sormunen Mitä yhteistä? Kirja pöydällä Opiskelijapari Teräskuulan liike magneetin lähellä

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012

766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012 766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012 Gravitaatio, liikemäärämomentti, ellipsiradat T 1: Oleta, että Marsin kuu Phobos kiertää Marsia ympyrärataa pitkin. Ympyrän säde on 9380 km ja kiertoaika

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE) Syksy 2017 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 4 Kevät 2016

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 4 Kevät 2016 763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 4 Kevät 2016 1. Valoa nopeampi liike (a) Sekunnissa kuvan 1(a) aaltorintama etenee 10 m. Samassa ajassa rannan ja aallon leikkauspiste etenee matkan s.

Lisätiedot

Liike pyörivällä maapallolla

Liike pyörivällä maapallolla Liike pyörivällä maapallolla Voidaan olettaa: Maan pyöriminen tasaista Maan rataliikkeen näennäisvoimat tasapainossa Auringon vetovoiman kanssa Riittää tarkastella Maan tasaisesta pyörimisestä akselinsa

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

1.4 Suhteellinen liike

1.4 Suhteellinen liike Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan

Lisätiedot

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot