Referaatti Jaakko Ollila 46016V
|
|
- Petri Korhonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 PÄÄTÖSPUUT PITKÄN AIKAVÄLIN INVESTOINTILASKELMISSA Referaatti Jaakko Ollila 46016V Syksy 1999
2 Päätöspuut pitkän aikavälin investointilaskelmissa, referaatti 2 Päätöspuiden ongelmakohtia pitkän aikavälin investointien arvioinnissa Päätöspuut ovat oivallinen keino mallintaa ongelmia, joissa päätöksentekijä joutuu tekemään ketjuttuneita päätöksiä. Kunkin valinnan seuraukset ja tulevaisuuden vaihtoehdot ovat visuaalisesti identifioitavissa, kun eri päätösvaihtoehdot muodostavat oman haaransa kussakin päätössolmussa. Investointilaskelmia laadittaeesa päätöspuut eivät aina kuitenkaan ohjaa päätöksentekijää optimaaliseen valintaan, koska eri rahavirtojen aika-arvoa ja riskiprofiilia ei pysytyä mallintamaan teoreettiisesti oikein päätöspuuhun. Virheet korostuvat pitkän aikavälin päätösketjuissa rahavirtojen aikahorisontin ja epävarmuusrakenteiden monimutkaistuessa. Investointiin sisältyvän kokonaisriskin käsittely vaikeutuu päätöspuissa, koska perinteiset laskentamenetelmät, esim. nettonykyarvon laskeminen, olettavat riskin pysyvän vakiona joko koko päätöspuussa tai paloittain sen oksien välillä. Todellisuudessa investoinnin nykyarvoa ei voida kuvata diskonttaamalla yksinkertaisesti estimoituja rahavirtoja nykyhetkeen, sillä tulevaisuuden päätöspisteissä uusi tieto on muuttanut vaihtoehtojen kannattavuutta ja kenties myös koko jakaumaa. Toisin sanoen, koska riski useimmissa, ellei kaikissa, investointipäätöksissä on aikavarianttia, sen vakioistaminen tuo pitkän aikavälin investointivaihtoehtojen arvottamiseen harhaa. Esimerkkinä mainittakoon mahdollisuus investoinnin aloituspäätöksen lykkäämiseen: Ulkoiset olosuhteet muuttavat investoinnin riskiprofiilia jatkuvasti, joten joka hetkellä päätöksentekijällä on kannustin lykätä päätöstään suotuisampien olosuhteiden toivossa. Jokaiseen päätöksen kustannuksiin olisi lisättävä aloituskustannus, jonka suuruus on sama kuin päätöksen lykkäysoption arvo. Mahdollinen parannusehdotus Investoinnin nykyarvoa onnistutaan kuvaamaan dynaamisemmin, jos investoinnin arvoa muuttaville epäavarmuuksille annetaan jokin teoreettinen rakenne. Tämä voi olla esimerkiksi jatkuva-aikainen stokastinen prosessi, kuten geometrinen Brownin liike, tai jokin diskreettiaikainen approksimaatio arvon muutoksille, esim. binomipuu. Perusparannus mallinnukseen syntyy, kun prosessin tunnusluvut odotusarvo ja varianssi tunnetaan, jolloin investoinnin arvon muutokset ajan funktiona voidaan
3 Päätöspuut pitkän aikavälin investointilaskelmissa, referaatti 3 ennustaa. Jatkuva-aikaisen mallintamisen etuna päätöspuuhun verrattuna näkyy myös siinä, että eri päätösvaihtoehtojen realisaatioita ei tarvitse diskretoida eri satunnaissolmuissa. Kassavirtoihin sisältyvä riski on mallinnettu siis investointien arvoa muuttaviin epävarmuusrakenteisiin itseensä, eikä eksogeenista riskipreemiota tarvitse enää lisätä laskennan diskonttokorkoon. Kaikki kassavirrat voidaan diskontata takaisin nykyhetkeen rahan riskitöntä aika-arvoa käyttäen. Tämä riskitön korko voidaan lukea esimerkiksi valtion joukkovelkakirjojen markkinahinnoista. Ehdotettu lähestymistapa mahdollistaa myös investointipäätöksiin usein liittyvien reaalioptioiden kvantifioimisen. Yleensä pitkän aikavälin investoinneista voidaan päättää jaksoittain, eli osa pääomasta sijoitetaan nykyhetkellä ja osa vasta myöhemmin. Tällöin optio projektin hylkäämiseen päätösketjun eri vaiheissa on arvokas, koska tietyllä todennäköisyydellä epävarmuudet muuttuvat päätöksentekijän kannalta epäsuotuisasti, eikä investointiprosessin jatkaminen enää ole kannattavaa. Tämän reaalioption arvo voidaan laskea binomikaavan avulla tarkasti, mutta tavalliseen päätöspuuhun option luomaa lisäarvoa ei voida sisällyttää teoreettisesti oikein. Idea on juuri siinä, että esimerkiksi hylkäsyoptio voidaan mallintaa päätöspuuhun erillisenä päätössolmuna, mutta option synnyttämää riskin muutosta ei pystytä kvantifioimaan oikein. Muita mahdollisia investointipäätöksiin vaikuttavia reaalioptioita ovat esimerkiksi kasvuoptiot ja ajoitusoptiot. Ajoitusoption merkitystä kuvattiin referaatin alun esimerkissä, ja kasvuoptiot tarkoittavat uusia mahdollisuuksia, jotka syntyvät ensimmäisten investointien seurauksena. Koska näillä kasvumahdollisuuksilla on itsessään arvoa (esim. patenttioikeuet johonkin teknologiaan), ne täytyy sisällyttää jo ensimmäisen vaiheen investointilaskelmiin. Sovelluskohteita Esitellyn mallinnusmenetelmän tyypillisiä sovelluskohteita ovat olleet kaivos- ja energiateollisuuden suuret investointipäätökset (esim. öljynporauksen tai kaivostoiminnan aloittaminen). Näillä teollisuudenaloilla epävarmuudet ovat suuria ja investointien keskeytyspäätökset ovat kalliita, jolloin optimaalisen päätöshetken ja etenemispolun löytäminen on laskennallisen vaivan arvoista. Tämän lisäksi projektien arvo muuttuu suoraan suhteessa investoinnin kohteena olevan hyödykkeen
4 Päätöspuut pitkän aikavälin investointilaskelmissa, referaatti 4 maailmanmarkkinahinnan muutoksiin 1, joten sopiva epävarmuusrakenne löydetään helposti sovittamalla jokin tunnettu prosessi vastaamaan hyödykkeen arvo historiallisia muutoksia. Toisin sanoen, mallintamiseen tarvittavat parametriarvot voidaan määrittää suhteellisen vaivattomasti ja tarkasti. Tutkimus- ja tuotekehitysinvestointien arvottaminen on myös eräs sovelluskohde. Etenkin lääkkeiden kehitysvaihtoehtojen arvioinnissa menetelmällä voidaan päästä konkreettisiin tuloksiin, koska pitkä aikahorisontti ja lukuisatpäätökentekopisteet lisäävät relevanttien reaalioptioiden määrää ja arvoa. Vaikeutena tällä teollisuudenalalla on kuitenkin parametriarvojen määritys. Alkuvaiheissaan olevan tutkimus- ja tuotekehitysprojektin arvottaminen on erittäin hankalaa puhumattakaan projektin arvon varianssin/ volatiliteetin estimoimisesta. Yleisluontoisena sovellutuksena voidaan mainita hystereesis-ilmiön esiintyminen dynaamisissa investointipäätöksissä. Suuren epävarmuuden vallitessa päätöksentekijällä on kynnys aloittaa investoinnit, jos heti aloituspäätöksen jälkeen on mahdollisuus, että epävarmuudet realisoituvatkin hänen kannalta epäsuotuisasti. Kynnyksen synnyttää juuri edellä mainittu aloituskustannus. Toisaalta vauhtiin päästyään investointiprojektin lopettamispäätöstä vaikeuttaa epävarmuus aikaansaatujen tulosten mahdollisesta arvonnoususta tulevaisuudesta. Vaikka projekti hetkellisesti näyttäisikin tappiolliselta, kannatta toimintaa silti jatkaa, jos epävarmuuden rakenne on sellainen, että projekti voi vielä tulevaisuudessa nousta jälleen kannattavalle tasolle. Hystereesistä esiintyy myös ei-taloudellisissa investointipäätöksissä. Mainio esimerkki on avioliittopäätös (,jonka pitäisi ainakin perinteisessä mielessä olla mahdollisimman pitkäaikainen investointi). Avioliittoon päädyttyään henkilölle kasautuu korkeat kustannukset projektin hylkäämisestä, joten hän voi sietää pitkiäkin tappiollisia aikakausia siinä toivossa, että tulevaisuus kääntyisi valoisammaksi. Optioteorian valossa nyky-suomen kohonnutta avioeroprosenttia voidaan selittää erokustannusten laskulla. Aikaisemmin sosiaalinen paine hylki eronneita ja toimeentulo oli turvattomampaa, mutta nykyään yhteiskunta hyväksyy avioerot helpommin ja henkilön toimeentulo ei ole enää lainkaan riippuvainen siviilisäädystä. Muutosten seurauksena lykkäysoption 1 Esim. Fortumilla kuukausittaiset myyntituotot voivat muuttua 140 MFIM suuntaan tai toiseen riippuen öljyn maailmanmarkkinahintojen heilahteluista. (Riskienhallintapäällikkö Sami Oja, FORSpäivä, , Helsinki)
5 Päätöspuut pitkän aikavälin investointilaskelmissa, referaatti 5 arvo avioerolle on pienentynyt, ja aviopuolisot sietävät keskimääräistä vähemmän tappiollisia ajanjaksoja. Yhteenveto Teoreettisesti optioajattelulla on mahdollista laajentaa päätöspuuanalyysin pätevyyttä ja validiutta arvioitaessa pitkän aikavälin investointipäätöksiä. Pitkällä aikavälillä investoinitien riskit muuttuvat huomattavasti, jolloin ainoastaan optioteoreettiset arvotusmenetelmät antavat investointivaihtoehdoille ja niihin sisältyville reaalioptioille oikean arvon. Mitä enemmän joustavuutta ja mahdollisia päätöksentekopisteitä investointiprosessin varrella on, sitä suurempi hyöty optioteoreettisista laskentamenetelmistä on. Huolimatta vaikeaselkoisista laskutoimituksista ja edellytetystä korkeamman matematiikan taidoista, optioajattelua on sovellettu useiden teollisuudenalojen investointipäätösten arvioinnissa, erityisesti kaivos- ja energiateollisuudessa. Lähdemateriaali Dixit A.K. (1992) Investment and Hysteresis, Journal of Economic Perspectives, Vol.6, No. 1, Winter, pp Dixit A. K., Pindyck R. S. (1994) Investment Uncer Uncertainty, Princeton University Press Dixit A. K., Pindyck R. S. (1995) The Options Approach to Capital Investment, Harvard Business Review, May-June, pp
6 Päätöspuut pitkän aikavälin investointilaskelmissa, referaatti 6 Trigeorgis L. (1996) Real Options : Managerial Flexibility and Strategy in Resource Allocation, MIT Press Luenberger D. G. (1998) Investment Science, Oxford University Press
Päätöspuut pitkän aikavälin investointilaskelmissa
Päätöspuut pitkän aikavälin investointilaskelmissa Optimointiopin seminaari, Jaakko Ollila. Parannusehdotus 4. Esimerkki : hystereesis investointipäätöksissä 1 -$ 0 Tavallinen päätöspuu Aika Laskut antavat
LisätiedotSelvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%)
Sisäisen korkokannan menetelmä Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%) Sisäinen korkokanta määritellään
LisätiedotReaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla
Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esitelmän sisältö Investointien peruuttamattomuuden vaikutus investointipäätökseen Investointimahdollisuuksien
LisätiedotInvestointistrategioista kilpailluilla markkinoilla
Investointistrategioista kilpailluilla markkinoilla Tuomas Pyykkönen 29.11.2000 (esitys kirjasta: Investment under Uncertainty; Dixit, Pindyck (1994); ss. 247-260) Optimointiopin seminaari - Syksy 2000
LisätiedotTU-C1030 Luento JK
Perusmuodossaan investointilaskelmasta tehtävä NPV:n selvittäminen on kuvattu seuraavalla kaavalla: = + (1 + ) Kaikki investointipäätökset eivät kuitenkaan ole näin suoraviivaisia kertapäätöksiä, jossa
LisätiedotTodellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa
Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.
LisätiedotInvestointiajattelu ja päätöksenteko
Investointiajattelu ja päätöksenteko Ismo Vuorinen yliopettaja (laskentatoimi ja rahoitus) Investointien suunnittelu / erikoistumisopinnot 2010 Hämeenlinna / syksy 2010 Investointi käsitteenä investointi
LisätiedotINVESTOINTIEN EDULLISUUSVERTAILU. Tero Tyni Erityisasiantuntija (kuntatalous)
INVESTOINTIEN EDULLISUUSVERTAILU Tero Tyni Erityisasiantuntija (kuntatalous) 25.5.2007 Mitä tietoja laskentaan tarvitaan Investoinnista aiheutuneet investointikustannukset Investoinnin pitoaika Investoinnin
LisätiedotProjektin arvon määritys
Projektin arvon määritys Luku 6, s. 175-186 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Tehtävä Johdetaan menetelmä projektiin oikeuttavan option määrittämiseksi kohde-etuuden hinnan P perusteella projektin
LisätiedotInvest for Excel 3.5 uudet ominaisuudet
Invest for Excel 3.5 uudet ominaisuudet Excel 2007 -valikkorivi...2 Venäjän kieli...3 Lisää rivejä tunnuslukutaulukkoon...3 Suhteellisen nykyarvon määritelmä muuttunut...3 Kannattavuuslaskelma, joka perustuu
LisätiedotSisäinen korkokanta ja investoinnin kannattavuuden mittareita, L10
Sisäinen ja investoinnin, L10 1 Määritelmä: i sis on se laskentakorko, jolla nettonykyarvo on nolla. Jos projekti on normaali siinä mielessä, että alun negatiivisia nettoeriä seuraa lopun positiiviset
LisätiedotInvestointilaskentamenetelmiä
Investointilaskentamenetelmiä Laskentakorkokannan käyttöön perustuvat menetelmät (netto)nykyarvomenetelmä suhteellisen nykyarvon menetelmä eli nykyarvoindeksi annuiteettimenetelmä likimääräinen annuiteettimenetelmä
Lisätiedotmonitavoitteisissa päätöspuissa (Valmiin työn esittely) Mio Parmi Ohjaaja: Prof. Kai Virtanen Valvoja: Prof.
Epätäydellisen preferenssiinformaation hyödyntäminen monitavoitteisissa päätöspuissa (Valmiin työn esittely) Mio Parmi 15.1.2018 Ohjaaja: Prof. Kai Virtanen Valvoja: Prof. Kai Virtanen Tausta Päätöspuu
LisätiedotMat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut
Projektien valintapäätöksiä voidaan pyrkiä tekemään esimerkiksi hyöty-kustannus-suhteen (so. tuottojen nykyarvo per kustannusten nykyarvo) tai nettonykyarvon (so. tuottojen nykyarvo - kustannusten nykyarvo)
LisätiedotMonte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely)
Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) 17.09.2015 Ohjaaja: TkT Eeva Vilkkumaa Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.
LisätiedotArvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)
Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.
LisätiedotKorvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla
Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla Sari Ropponen 13.5.2009 1 Agenda Korvausvastuu vahinkovakuutuksessa Korvausvastuun arviointi Ennustevirhe Ennustejakauma Bootstrap-/simulointimenetelmä
LisätiedotInvestointilaskelman epävarmuustekijät
Investointilaskelman epävarmuustekijät TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento 11.2.2016 Suoraviivainen lähestymistapa o Laadi arvio investoinnin vaikutuksista vapaaseen rahavirtaan o
LisätiedotProbabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto
Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita
LisätiedotReaalioptiot investointipäätösten tukena
Reaalioptiot investointipäätösten tukena Kandidaatintutkielma Artturi Hannula Aalto-yliopiston Kauppakorkeakoulu Laskentatoimi Kesä 2018 1 Tekijä Artturi Hannula Työn nimi Reaalioptiot investointipäätösten
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. päätöspuiden avulla tarkastellaan vasta seuraavissa harjoituksissa.
ORMS00 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 008 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Nämä harjoitukset liittyvät päätöspuiden rakentamiseen: varsinaista päätöksentekoa päätöspuiden avulla tarkastellaan
LisätiedotInvestoinnin takaisinmaksuaika
Investoinnin takaisinmaksuaika Takaisinmaksuaika on aika, jona investointi maksaa hintansa takaisin eli nettotuottoja kertyy perushankintamenon verran Investointi voidaan tehdä, jos takaisinmaksuaika
LisätiedotMAT INVESTOINTITEORIA. (5 op) Kevät Ville Brummer / Pekka Mild / Ahti Salo
MAT - 2.114 INVESTOINTITEORIA (5 op) Kevät 2008 Ville Brummer / Pekka Mild / Ahti Salo 1 Opintojakson sisältö Taustaa Kattaa matemaattisen investointiteorian perusteet: Teemoja sivuttu osin muilla Mat-2
LisätiedotInvestointipäätöksenteko
Investointipäätöksenteko Ekstralaskuesimerkkejä Laskentatoimen Perusteet, Syksy 2015 Katja Kolehmainen KTT, Apulaisprofessori Neppi Oy valmistaa neppejä ja nappeja. Käsityöpiireissä se on tunnettu laadukkaista
LisätiedotJA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t )
Annuiteettimenetelmä Investoinnin hankintahinnan ja jäännösarvon erotus jaetaan pitoaikaa vastaaville vuosille yhtä suuriksi pääomakustannuksiksi eli annuiteeteiksi, jotka sisältävät poistot ja käytettävän
LisätiedotNykyarvo ja investoinnit, L9
Nykyarvo ja investoinnit, L9 netto netto netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n 0 1 2 3 4 5
LisätiedotSolvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka
Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka Mikä on riskitön korko ja pääoman tuottovaatimus Suomen Aktuaariyhdistys 13.10.2008 Pasi Laaksonen Yleistä Mikäli vastuuvelka on ei-suojattavissa (non-hedgeable)
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta:
RMS22 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 28 Harjoitus 8 Ratkaisuehdotuksia Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta: Pankki harkitsee myöntääkö 5. euron lainan asiakkaalle 12%
LisätiedotNykyarvo ja investoinnit, L14
Nykyarvo ja investoinnit, L14 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n netto 0 1 2 3 4 5 6...
LisätiedotKuntasektorin toiminnanohjausjärjestelmäinvestointien arvonmääritys
Tampereen yliopisto Taloustieteiden laitos TAMPEREEN Y L I O P I S T O Kuntasektorin toiminnanohjausjärjestelmäinvestointien arvonmääritys Kansantaloustiede Pro gradu -tutkielma Syyskuu 2006 Ohjaaja: Markus
LisätiedotNykyarvo ja investoinnit, L7
Nykyarvo ja investoinnit, L7 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k n k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... 0 1 2 3 4 5 6... n j netto
LisätiedotWiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia
Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia { z(t k+1 ) = z(t k ) + ɛ(t k ) t t k+1 = t k + t, k = 0,..., N, missä ɛ(t i ), ɛ(t j ), i j ovat toisistaan riippumattomia siten, että
LisätiedotEsteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi
Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Juha Martikainen 4.10.2000 Oppikirjan sivut 83-87 ja 93-98 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esteet (määritelmät) Muistellaan menneitä: Ajelehtiva
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
LisätiedotIto-prosessit. Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma. S ysteemianalyysin. Laboratorio
Ito-prosessit Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Ito-prosessit Brownin liikkeen yleistys (Ito prosessi) x(t) : dx
Lisätiedot10 Liiketaloudellisia algoritmeja
218 Liiketaloudellisia algoritmeja 10 Liiketaloudellisia algoritmeja Tämä luku sisältää liiketaloudellisia laskelmia. Aiheita voi hyödyntää vaikkapa liiketalouden opetuksessa. 10.1 Investointien kannattavuuden
LisätiedotREAALIOPTIOAJATTELU SUOMALAISTEN PÖRSSIYRITYSTEN INVESTOINTILASKENNASSA
TAMPEREEN YLIOPISTO Taloustieteiden laitos REAALIOPTIOAJATTELU SUOMALAISTEN PÖRSSIYRITYSTEN INVESTOINTILASKENNASSA Yrityksen taloustiede, laskentatoimi Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2006 Ohjaaja: Eeva-Mari
LisätiedotINVESTOINTILASKELMAT JA PÄÄTÖKSET Toivo Koski 2011
INVESTOINTILASKELMAT JA PÄÄTÖKSET Toivo Koski 2011 http://www.tulosakatemia.fi Copyright Toivo Koski Sivu 1 SISÄLLYSLUETTELO ALKUSANAT 1. INVESTOINTIPÄÄTÖKSET JA LASKELMAT.. 5 2. INVESTOINTILASKELMIIN
LisätiedotKoron käyttö ja merkitys metsän
Koron käyttö ja merkitys metsän käyvän arvon laskennassa Taksaattoriklubin kevätseminaari 9.4.2019 Henrik Nieminen Talous- ja rahoitusjohtaja Liikevaihto 113 milj. Tase 1,6 mrd 2 METSÄN KÄYVÄN ARVON MÄÄRITTÄMINEN
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotInvestointimahdollisuudet ja investointien ajoittaminen
Investointimahdollisuudet ja investointien ajoittaminen Optimaalisen investointistrategian ominaispiirteitä eli parametrien vaikutus ratkaisuun Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Optimointiopin seminaari
LisätiedotMat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät
Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea
LisätiedotOPTIMAALINEN INVESTOINTIPÄÄTÖS
OPTIMAALINEN INESTOINTIPÄÄTÖS Keskiarvoon palautuvalle prosessille ja Poissonin hyppyprosessille Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 1 I. KESKIAROON PALAUTUA PROSESSI Investoinnin kohde-etuuden arvo
LisätiedotProjektin arvon aleneminen
Projektin arvon aleneminen sivut 99-07 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Arvon aleneminen Jatketaan projektin arvon tutkimista. Nyt huomioidaan arvon aleneminen. Syitä esimerkiksi: kaluston vanheneminen
LisätiedotINTERVALLIPÄÄTÖSPUUT JANNE GUSTAFSSON 45433E. Mat Optimointiopin seminaari Referaatti
12.11.1999 INTERVALLIPÄÄTÖSPUUT JANNE GUSTAFSSON 45433E Mat-2.142 Optimointiopin seminaari Referaatti Syksy 1999 1. JOHDANTO Thomas M. Stratin artikkeli Decision Analysis Using Belief Functions käsittelee
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen
Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran
LisätiedotBL20A0500 Sähkönjakelutekniikka
BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka Talouslaskelmat Jarmo Partanen Taloudellisuuslaskelmat Jakeluverkon kustannuksista osa on luonteeltaan kiinteitä ja kertaluonteisia ja osa puolestaan jaksollisia ja mahdollisesti
LisätiedotInvestointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen
Investointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen Ajoituksen ratkaisu dynaamisella optimoinnilla Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Esitelmän sisältö Investoinnin ajoitusongelman esittely Ongelman
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
kevät 219 / orms.1 Talousmatematiikan perusteet 1. Laske integraalit a 6x 2 + 4x + dx, b 5. harjoitus, viikko 6 x + 1x 1dx, c xx 2 1 2 dx a termi kerrallaan kaavalla ax n dx a n+1 xn+1 +C. 6x 2 + 4x +
Lisätiedot12. Korkojohdannaiset
2. Korkojohdannaiset. Lähtökohtia Korkojohdannaiset ovat arvopapereita, joiden tuotto riippuu korkojen kehityksestä. korot liittyvät lähes kaikkiin liiketoimiin korkojohdannaiset ovat tärkeitä. korkojohdannaisilla
LisätiedotSATO OYJ Osavuosikatsaus 1-3/2013
1 SATO OYJ Osavuosikatsaus 1-3/2013 Erkka Valkila Toimintaympäristö 2 pienien vuokra-asuntojen kysyntä ylittää tarjonnan, varsinkin pääkaupunkiseudulla uusien vuokra-asuntojen rakentaminen ollut pitkään
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotKertaus. TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento Aalto-yliopisto Tuotantotalouden laitos
Kertaus TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento 17.3.2016 Rakenne ja ajoitus Luennot kalvot MyCoursessa Luentomoniste Harjoitustehtävät (10 p) Testit (10 p) MyCourses Laskutuvat III periodi
LisätiedotProjektiportfolion valinta
Projektiportfolion valinta Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari kevät 2011 Portfolion valinta Käytettävissä on rajallinen määrä resursseja, joten ne on allokoitava mahdollisimman hyvin eri projekteille
LisätiedotMat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.
Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun
LisätiedotNyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F
Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan
Lisätiedotlaskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä eläkevakuutuksia, kapitalisaatiosopimuksia sekä sairauskuluvakuutuksia.
SHV - TUTKINTO Vakavaraisuus 30.9.2010 klo 9-15 1(5) 1. Henkivakuutusosakeyhtiö Tuoni myöntää yksilöllisiä henkivakuutuksia (sijoitussidonnaisia, laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa
LisätiedotMat-2.11 4 Investointiteoria. Tentti 6.9.2005. Mitd
.* Mat-2.11 4 Investointiteoria Tentti 6.9.2005 Ki{oita jokaiseen koepapcriin selveisti: o Mat-2.114 Investointiteoria o opintoki{'an numero sekii sukunimi ja viralliset etunimet tekstaten o koulutusohjelma
Lisätiedot10.8 Investoinnin sisäinen korkokanta
154 108 Investoinnin sisäinen korkokanta Investoinnin sisäinen korkokanta on se laskentakorko, jolla investoinnin nettonykyarvo on nolla Investointi on tuottava (kannattava), jos sen sisäinen korkokanta
LisätiedotRiski ja velkaantuminen
Riski ja velkaantuminen TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento 28.1.2016 I vaiheen luentokokonaisuus INVESTOINNIN KANNATTAVUUS YRITYKSEN KANNATTAVUUS 1. Vapaa rahavirta (FCF) 2. Rahavirtojen
LisätiedotTerveysKampus-hankkeen taloudelliset vaikutukset
TerveysKampus-hankkeen taloudelliset vaikutukset 1.9.2015 Talousjohtaja Tommi Talasterä tommi.talastera@ylasavonsote.fi 040 712 6970 Sisältö Yhteenveto ja johtopäätökset Taloudellisten vaikutusten selvityksen
LisätiedotTehtävä 1: Maakunta-arkisto
Tehtävä 1: Maakunta-arkisto Maakunta-arkisto aikoo ostaa uuden laitteen avustamaan ja nopeuttamaan henkilöstönsä työskentelyä. Laitteen hinta on 36 000 ja sen arvioitu taloudellinen pitoaika on 5 vuotta.
LisätiedotBL20A1200 Tuuli- ja aurinkoenergiateknologia ja liiketoiminta
BL20A1200 Tuuli- ja aurinkoenergiateknologia ja liiketoiminta Tuulipuiston investointi ja rahoitus Tuulipuistoinvestoinnin tavoitteet ja perusteet Pitoajalta lasketun kassavirran pitää antaa sijoittajalle
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa
Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran / m kertaa vuodessa / jatkuvasti Diskonttaus
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotKuntalain yhtiöittämisvelvollisuutta koskevat poikkeukset (Kuntalaki 2 b )
Kuntalain yhtiöittämisvelvollisuutta koskevat poikkeukset (Kuntalaki 2 b ) Kunnan toiminta kilpailutilanteessa markkinoilla ja kilpailuneutraliteetin valvontaseminaari Helsinki 15.11.2013,Kuntatalo Tero
LisätiedotStokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely)
Stokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely) Esitelmöijä Olli Rentola päivämäärä 21.1.2013 Ohjaaja: TkL Anssi Käki Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa
LisätiedotVAASAN YLIOPISTO TALOUSMATEMATIIKKA Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Prof. Ilkka Virtanen II UUSINTATENTTI 10.5.1996
1 VAASAN YLIOPISTO TALOUSMATEMATIIKKA Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Prof. Ilkka Virtanen II UUSINTATENTTI 10.5.1996 Tehtävä 1. Tuotantoprosessin käynnistyessä koneille asennetaan tietyt säätöarvot.
LisätiedotKatsauksia ja keskustelua
Katsauksia ja keskustelua EMU - Ex improvisio* MIKA LINDEN yliassistentti Helsingin yliopisto, kansantaloustieteen laitos 1 Tausta Ruotsi on ilmoittanut, että se ei tule olemaan niiden maiden joukossa
LisätiedotGaussinen vaikutuskaavio Tommi Gustafsson 45434f Tfy IV
Mat-.4 Optimointiopin seminaari, syksy 999 Referaatti 7.0.999 Gaussinen vaikutuskaavio Tommi Gustafsson 45434f Tfy IV JOHDATO Ross D. Shachter a C. Robert Kenley (989) esittelevät artikkelissaan Gaussian
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia 1. (a) Päätöspuu on matala, jos mitään sattumasolmua ei välittömästi seuraa sattumasolmu eikä mitään päätössolmua
LisätiedotHarjoitust. Harjoitusten sisältö
Harjoitust yö Harjoitusten sisältö Investoinnin kannattavuus Vapaat rahavirrat ja tuottovaade Tilinpäätösanalyysi SWOT-analyysi Yrityksen tulevaisuus Investoinnin kannattavuus Tilinpäätösanalyysi
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen
LisätiedotDistance to Default. Agenda. listaamattomien yritysten analysoinnissa 5.5.2009. Riku Nevalainen HSE 8.5.2009
Distance to Default Riku Nevalainen HSE 8.5.2009 Agenda 1. Distance to default malli osakemarkkinoilla 2. Osakemarkkinoiden informaation hyödyntäminen listaamattomien yritysten analysoinnissa 3. Moody
LisätiedotKorko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016
Korko ja inflaatio Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Sisältö Nimellis ja reaalikorot, Fisher yhtälö Lyhyt ja pitkä korko Rahapolitiikka ja korot Korko ja inflaatio Nimellinen korko i: 1 tänä vuonna
LisätiedotTalousjohtajabarometri II/2010
Talousjohtajabarometri II/2010 28.9.2010 Copyright, Gutta Oy Sisällysluettelo 1. Barometrin tausta 2. Barometrin yhteenveto 3. Barometrikatsaus aihealueittain Barometrin taustatiedot Talousjohtajabarometri
LisätiedotKurssin ohjelma www.datapartner.fi. Investointien kassavirtamallinnus - parempia investointipäätöksiä!
Kurssin ohjelma www.datapartner.fi Investointien kassavirtamallinnus - Investointien kassavirtamallinnus Kurssin ohjelma Milloin ja missä Aika: 9.00 15.00 Paikka: DataPartner Oy Raatihuoneenkatu 8A, Porvoo
LisätiedotMetsänomistajan talouskoulu Metsätilan arvonmääritys. Piia Perälä, Mhy Päijät-Häme
Metsänomistajan talouskoulu Metsätilan arvonmääritys Piia Perälä, Mhy Päijät-Häme 044 033 7529 Metsän arvot Metsän arvot (FAO:n luokitus) Suorat käyttöarvot Puutavara Marjat, sienet, ravinto- ja koristekasvit
Lisätiedot7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut
7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,
LisätiedotRiskillä investoimaan vai riskit investointilaskelmaan?
Riskillä investoimaan vai riskit investointilaskelmaan? Valio navettaseminaari 9.2.2017 Olli Niskanen Tutkija Luke, Talous ja yhteiskunta Esityksen sisältö Johdanto Miksi riskitarkastelua tarvitaan: hintavaihtelut
LisätiedotVaasan Ekonomien hallituksen ehdotus yhdistyksen syyskokoukselle selvitystyön aloittamiseksi oman mökin tai lomaasunnon 26.11.2010
» Vaasan Ekonomien hallituksen ehdotus yhdistyksen syyskokoukselle selvitystyön aloittamiseksi oman mökin tai lomaasunnon hankkimiseksi 26.11.2010 Lähtökohdat selvitystyölle 1/3 2 Hallitus esittää yhdistyksen
LisätiedotPäätöksentekomenetelmät
L u e n t o Hanna Virta / Liikkeenjohdon systeemit Päätöksentekomenetelmät Luennon sisältö Johdanto päätöksentekoon Päätöksenteko eri tilanteissa Päätöspuut Päätösongelmia löytyy joka paikasta Päästökauppa:
Lisätiedot8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia
8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia 1. Hyötyfunktio Nykyarvo ei mittaa riskiasennetta, joka vaikuttaa valintakäyttäytymiseen (minkä investointivaihtoehdon valitset?). Esim. Kumpi seuraavista vaihtoehdoista
LisätiedotOsavuosikatsaus
Osavuosikatsaus 1.1.-30.9.2011 1.11.2011 Tapani Kiiski, toimitusjohtaja Markkinat Liiketoimintaympäristö: Alkuvuoden aikana koettu vanerin kysynnän elpyminen tasaantunut viime kuukausina ja muutamilla
LisätiedotTerveysKampus-hankkeen taloudelliset vaikutukset
TerveysKampus-hankkeen taloudelliset vaikutukset 25.9.2015 Talousjohtaja Tommi Talasterä tommi.talastera@ylasavonsote.fi 040 712 6970 www.ylasavonsote.fi Kaikki käsitellyt investointivaihtoehdot ovat laskelmien
Lisätiedot, tuottoprosentti r = X 1 X 0
Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen
LisätiedotMittausepävarmuuden laskeminen
Mittausepävarmuuden laskeminen Mittausepävarmuuden laskemisesta on useita standardeja ja suosituksia Yleisimmin hyväksytty on International Organization for Standardization (ISO): Guide to the epression
LisätiedotREAALIOPTIO VAIHTAA HYÖDYT JA KÄYTÄNNÖN SOVELLUTUKSET REAL OPTION TO SWITCH BENEFITS AND PRACTICAL APPLICATIONS
LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Kauppatieteellinen tiedekunta Rahoitus Lauri Kallio REAALIOPTIO VAIHTAA HYÖDYT JA KÄYTÄNNÖN SOVELLUTUKSET REAL OPTION TO SWITCH BENEFITS AND PRACTICAL APPLICATIONS Pro
LisätiedotPäätöksentekomenetelmät
L u e n t o Päätöksentekomenetelmät Luennon sisältö Hanna Virta / Liikkeenjohdon systeemit Johdanto päätöksentekoon Päätöksenteko eri tilanteissa Päätöspuut Johdanto päätöksentekoon Päätösongelmia löytyy
LisätiedotProspektiteoria. Systeemianalyysin. Antti Toppila. Esitelmä 4 3. helmikuuta laboratorio Aalto-yliopiston TKK
Prospektiteoria Antti Toppila sivu 1/19 Optimointiopin seminaari keväällä 2010 Prospektiteoria Antti Toppila Esitelmä 4 3. helmikuuta 2009 Prospektiteoria Antti Toppila sivu 2/19 Optimointiopin seminaari
LisätiedotRatkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy
Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika
LisätiedotPekka Hirvikoski OMISTUSRAKENTEEN YHTEYS INVESTOINTIEN KASSAVIRTAHERKKYYTEEN SUOMALAISELLA AINEISTOLLA
Pekka Hirvikoski OMISTUSRAKENTEEN YHTEYS INVESTOINTIEN KASSAVIRTAHERKKYYTEEN SUOMALAISELLA AINEISTOLLA Lapin yliopisto, yhteiskuntatieteiden tiedekunta Työn nimi: Omistusrakenteen yhteys investointien
LisätiedotBlack ja Scholes ilman Gaussia
Black ja Scholes ilman Gaussia Tommi Sottinen Vaasan yliopisto SMY:n vuosikokousesitelmä 19.3.2012 1 / 21 Johdanto Tarkastelemme johdannaisten, eli kansankielellä optioiden, hinnoittelua. Kuuluisin hinnoittelumalli
LisätiedotINVESTOINTILASKENTAMENETELMIEN KÄYTTÖ PK-YRITYKSISSÄ POHJOIS-POHJANMAALLA
INVESTOINTILASKENTAMENETELMIEN KÄYTTÖ PK-YRITYKSISSÄ POHJOIS-POHJANMAALLA Saija Ylikotila Opinnäytetyö Kaupan ja kulttuurin koulutusala Liiketalouden koulutusohjelma Tradenomi AMK 2015 Opinnäytetyön tiivistelmä
LisätiedotKEMIRA-KONSERNI. Luvut ovat tilintarkastamattomia. TULOSLASKELMA Milj.e 4-6/ / / /
KEMIRA-KONSERNI Luvut ovat tilintarkastamattomia. TULOSLASKELMA Milj.e 4-6/2003 4-6/2002 1-6/2003 1-6/2002 2002 Liikevaihto 671,9 707,5 1 371,4 1 363,8 2 612,3 Osuus osakkuusyritysten tuloksista -0,3-0,4
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
LisätiedotMetropolia Ammattikorkeakoulu. INVESTOINTILASKENTA JA PÄÄTÖKSENTEKO Opetusmoniste
Metropolia Ammattikorkeakoulu INVESTOINTILASKENTA JA PÄÄTÖKSENTEKO Opetusmoniste Virpi Tevä-Helminen 28.8.2013 2 SISÄLTÖ: 1. JOHDANTO... 4 1.1 Investointilaskenta ja päätöksenteko kurssin esittely... 4
Lisätiedot