30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset"

Transkriptio

1 30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset

2 Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään lineaarisen funktion suurinta tai pienintä arvoa tiettyjen lineaaristen rajoitteiden vallitessa Tyypillisesti maksimoidaan voittofunktiota tai minimoidaan kustannusfunktiota tiettyjen rajoitusten tai vaatimusten puitteissa Käytetään esimerkiksi tuotannon tai työnjaon suunnittelussa Tosielämän tilanteesta laaditaan ensin matemaattinen malli, joka sitten ratkaistaan - Malli ei yleensä vastaa todellisuutta täydellisesti, vaan ainoastaan riittävän hyvin tarpeeseen nähden - Voidaan myös olla kiinnostuneita optimiratkaisun lisäksi (jopa sijasta) optimin sensitiivisyydestä eli kuinka herkkä se on rajoitteille 2

3 Käytännön esimerkki: HR ongelma Tarvitsen tiimiini lisää väkeä Esimieheni antoi minulle luvan käyttää uusiin henkilöihin /v Analyytikko maksaa /v Ekspertti maksaa /v Keitä minun kannattaisi palkata? Saadaan yhtälö rahankäytölle 50000*x *y Lisäksi tiedetään triviaalisti, että x 0, ja y 0. Huom: Yo. yhtälö voidaan edelleen jakaa tuhannella kummaltakin puolelta, jolloin saadaan yhtäpitävä ehto 50x+100y 500, joka on hieman ergonomisempi (nollien määrä pysyy helpommin oikeana, lyhyempi kirjoittaa). Yhteys alkuperäiseen sanalliseen ongelmaan tosin vähän heikompi x y 3

4 Ongelma graafisesti Eksperttien lukumäärä (y) Käypä joukko Analyytikkojen lukumäärä (x) 4

5 Käypä joukko aka. käypä alue (En: Feasible region, feasible set) On rajoitusehtojen puitteissa mahdollisten ratkaisujen joukko eli muuttujien arvojen pistejoukko, joka toteuttaa rajoitusehdot Lineaarisen optimointiongelman tapauksessa käypää joukkoa rajoittaa lineaariset rajoitteet eli käypä alue on suorien rajaamassa alueessa Muutamia esimerkkejä mahdollisista käyvien alueiden muodosta 5

6 HR ongelma jatkuu Haluan valita sellaisen määrän analyytikkoja ja eksperttejä, joka kasvattaa yksikköni voittoa mahdollisimman paljon Analyytikon (x) työpanos kasvattaa voittoa tyypillisesti noin /v ja ekspertin (y) puolestaan /v Kuinka monta analyytikkoa ja eksperttiä pitäisi palkata? Saadaan voittofunktio = 20000x+35000y, jota pyritään maksimoimaan Kun yhdistetään voittofunktio (tuhansilla jaettuna) aiempien rajoitteiden kanssa voidaan ongelma kirjoittaa muotoon max optimointitehtävä optimoinnin rajoite-ehdot 0, 0 6

7 Eksperttien lukumäärä (y) Muutamia mahdollisia tavoitefunktion arvoja = 175 (k ) = 185 (k ) = 110 (k ) Analyytikkojen lukumäärä (x) max = 200 (k ) 7

8 LP ongelman matemaattinen asetelma Optimoitava funktio on lineaarinen ja sillä on lineaarisia rajoitteita Muuttujien lkm 2 LP maksimointiongelman yleinen muoto, johon kaikki LP maksimointiongelmat voidaan kirjoittaa Max c T x (optimoitava funktio, jossa c sisältää muuttujakohtaiset Ax b (lineaariset rajoitteet, A kerroinmatriisi) x 0 (mahdolliset muuttujaspesifit (triviaali)vaatimukset), jossa vektori c sisältää muuttujakohtaiset kertoimet Kahden muuttujan (x 1,x 2 ) tapauksessa LP-ongelman yleinen muoto on Max c 1 x 1 +c 2 x 2, A[x 1 x 2 ] T [b 1 b 2 ] T x 1 0, x 2 0, Edellisessä HR-ongelmassa A=[50, 100], b=[500], ja c T =[20, 35] 8

9 Lin. optimointiongelmat aukikirjoitettuna (m rajoitusehtoa, n muuttujaa): Maksimointitehtävä max = + + Max c T x Minimointitehtävä min = + + Min c T x Ax b Ax b 0, 0,, 0 0, 0,, 0 Huom: yllä merkintä max = + + tarkoittaa, että maksimoidaan lausekkeen + + arvoa z (ja vastaavasti minimoinnille) 9

10 Terminologiaa Maksimointitehtävä max = , 0,, 0 Päätösmuuttujat Näiden arvoja etsitään Tavoitefunktio Lineaarinen Tätä maksimoidaan tai minimoidaan Rajoitusehdot Lineaarisia epäyhtälöitä Pisteet, jotka toteuttavat kaikki rajoitusehdot, muodostavat käyvän joukon Vain käyvän joukon pisteitä tarvitsee tutkia optimiratkaisua etsittäessä 10

11 Ratkaisun terminologiaa Optimiarvolla tarkoitetaan yleensä tavoitefunktion optimaalista (minimaalista tai maksimaalista arvoa) Optimikohta tai optimipiste tarkoittaa useimmiten päätösmuuttujien arvoa, jolla tavoitefunktion maksimaalinen tai minimaalinen arvo saavutetaan mutta joskus näihin termeihin liitetään myös optimiarvo, jolloin optimipiste = (optimaalinen tavoitefunktion arvo, näitä vastaavat päätösmuuttujan arvo) Ratkaisussa tulee aina antaa sekä optimaalinen tavoitefunktion arvo sekä päätösmuuttujien arvot mikäli ei erikseen kysytä vain toista 11

12 Lineaarisen funktion kertaus monen muuttujan tapauksessa Lineaarinen funktio on funktio, joka voidaan esittää summana, joka koostuu vakioista tai vakiolla kerrotuista muuttujista Esimerkkejä lineaarisista ja ei-lineaarisista funktioista - ( ) = + ei ole lineaarinen: sisältää toisen asteen termin -, = ei ole lineaarinen: sisältää toisen asteen termin 3 - (, ) = on lineaarinen -,, =3 + on lineaarinen (f= 9x+y-z) -,, = + + ei ole lineaarinen: termit = ja = ovat lineaarisia (*), mutta termi on epälineaarinen Jos funktio sisältää yhdenkin epälineaarisen muuttujatermin ei se ole enää lineaarinen (*) ja e ovat yllä erikoislukuja eivät muuttujia 12

13 Funktiomerkinnöistä Huomaa, että merkintä,, kertoo, että funktion z muuttujat ovat x, f ja j. Jos lausekkeessa on muita kirjaimia, niin ne ovat parametrejä eivät varsinaisia muuttujia Funktiolle ja muuttujille voidaan käyttää periaatteessa mitä tahansa kirjainsymboleita Usein käytettyjä symboleita funktiolle ovat f, g, h, Perinteisiä muuttujien symboleita ovat x, y, z tai indeksoituina x 1, x 2, x 3, Tietyillä sovellusalueilla voidaan käyttää standardikirjaimia tietyille funktioille esim r=revenue, c=cost, p=profit, Myös tietyissä sovelluksissa on käytössä joitakin standardisymboleita muuttujille t=aika, p=hinta, Lisätietoa esim: 13

14 Lineaarisen optimointiongelman muodostaminen: leipomoesimerkki Leipomo valmistaa sokerikakkuja ja voikakkuja Se saa raaka-aineet läheiseltä maatilalta, joka kykenee toimittamaan sille 24 kiloa sokeria, 28 kiloa voita ja 110 kiloa jauhoja viikossa Sokerikakkuun kuluu kilo sokeria, kilo voita ja kaksi kiloa jauhoja Voikakkuun kuluu puoli kiloa sokeria, kilo voita ja viisi kiloa jauhoja Leipomolle jää yhdestä sokerikakusta voittoa kaksi euroa ja yhdestä voikakusta kolme euroa Kuinka monta sokeri- ja voikakkua leipomon kannattaa valmistaa, kun se tahtoo tehdä mahdollisimman paljon voittoa? 14

15 Leipomoesimerkki: 1. määritetään päätösmuuttujat Tavoitteena etsiä paras sokeri- ja voikakkujen määrää, eli ne ovat päätösmuuttujia Olkoon sokerikakkujen määrä ja voikakkujen määrä Huom: muuttujien symbolit voi valita yleensä ihan itse, ja periaatteessa tässä voi käyttää ihan mitä tahansa symbolia Jos muuttujia olisi enemmän (n kpl), voitaisiin niitä merkitä myös esimerkiksi,,,, Käytettyjen jauhojen ja muiden tarveaineiden määrät seuraavat päätösmuuttujien arvoista 15

16 Leipomoesimerkki: 2. Määritetään tavoitefunktio Tehtävänannossa kerrotaan, että leipomo tahtoo tehdä mahdollisimman paljon voittoa Tavoitteena on siis maksimoida voittofunktiota Tiedetään, että leipomolle jää yhdestä sokerikakusta (x) voittoa kaksi euroa ja yhdestä voikakusta (y) kolme euroa Muodostetaan voittofunktio:, = Voittofunktio on tässä kahden muuttujan funktio, sillä voitto riippuu sekä sokeri- että voikakkujen määrästä x ja y Sokerikakkujen määrän kasvattaminen yhdellä kasvattaa voittofunktiota kahdella ja voikakkujen kolmella 16

17 Leipomoesimerkki: 3. määritetään rajoitusehdot Raaka-aineiden saatavuus rajoittaa tuotettavia kakkumääriä Käytettävissä on enintään 24 kiloa sokeria, jota kuluu kilo sokerikakkuun (x) ja puoli kiloa voikakkuun (y): Käytettävissä on enintään 28 kiloa voita, jota kuluu kilo sokerikakkuun (x) ja kilo voikakkuun (y): + 28 Käytettävissä on enintään 110 kiloa jauhoja, joita kuluu kaksi kiloa sokerikakkuun (x) ja viisi kiloa voikakkuun (y): Triviaalisti selvää, että kakkuja ei voida tuottaa negatiivisia määriä: 0,y 0 17

18 Leipomoesimerkki: lopullinen LP-ongelma max = Tämän voi edelleen halutessaan pukea yleiseen LP-ongelman muotoon (s.8-9), jossa muuttujavektori on [x, y], c T =[2, 3], b T =[24, 28, 110] ja 1 0,5 matriisi A =

19 LP-ongelman ratkaisu 3 Ratkaisutapaa Päätösmuuttujien määrä, jolle tapa soveltuu Graafinen ratkaisu Laskeminen käsin Tietokoneohjelma (esim. Excel) Kaksi Kaksi (rajoitetusti enemmän) Kaksi tai enemmän Excel-ratkaisujen tekniikka käsitellään Excel-osiossa! 19

20 Graafinen ratkaisutapa Voidaan käyttää, kun päätösmuuttujia on kaksi Kyseinen piste (tai kyseiset pisteet) on optimointiongelman optimiratkaisu 1. Piirretään rajoitusehtojen määräämä käypä alue (usein monikulmio) koordinaatistoon, jonka akseleina ovat päätösmuuttujat 2. Piirretään samaan koordinaatistoon tavoitefunktion eri arvoja edustavia yhdensuuntaisia suoria 3. Valitaan se suora, joka edustaa tavoitefunktion mahdollisimman suurta (tai pientä) arvoa sisältäen samalla vielä ainakin yhden käyvän alueen pisteen käytännössä optimiarvo löytyy melkein aina käyvän alueen jostain nurkasta 20

21 Leipomoesimerkki: Graafinen ratkaisutapa 1/3 - rajoitteet = = 24 Voikakkujen määrä (y) Käypä alue = = 28 = Sokerikakkujen määrä (x) 21

22 Leipomoesimerkki: Graafinen ratkaisutapa 2/3 Yhdensuuntaisia suoria varten ratkaistaan kulmakerroin Esimerkiksi yhtälöstä z=2 + 3 saadaan 3y= 2 + y= + - > Kulmakerroin siis -2/3 (laskeva suora, joka laskee 2 yksikköä pystysuunnassa kolmen yksikön matkalla vaakasuunnassa) Ratkaisussa tarkastellaan suoria, joiden kulmakerroin on -2/3 ja valitaan optimiksi piste, jossa lauseke saa suurimman arvon Lisämateriaali: 22

23 Leipomoesimerkki: Graafinen ratkaisutapa 3/3 Ao kuvaan piirretty esimerkiksi kolme eri suoraa eri tavoitefunktion arvoilla z = = = 30 (10,18) (10,18) on käyvän alueen piste, jossa tavoitefunktio saa suurimman arvonsa =74. Vastaus: Kannattaa leipoa 10 sokerikakkua ja 18 voikakkua. 23

24 Rajoitusehdon sitovuus Voikakkujen määrä (y) = = 24 (10,18) Käypä alue Sokerikakkujen määrä (x) = = 28 =0 Rajoitusehto ei ole sitova, sillä optimipisteessä (10,18) ei käytetä kaikkea mahdollista sokeria: < 24 Rajoitusehto on sitova, sillä optimi-pisteessä (10,18) käytetään kaikki jauhot, eli siinä pätee yhtäsuuruus = 110 Entä ehto: + 28? 24

25 Aiempi HR-ongelma graafisesti Eksperttien lukumäärä (y) Kk=-20/ max Analyytikkojen lukumäärä (x) Vastaus: Kannattaa palkata 10 analyytikkoa eikä yhtään eksperttiä. Voittoa tulee tällöin 200,000 euroa (10,0) = = =

26 Ratkaiseminen laskemalla Voidaan käyttää, kun päätösmuuttujia on kaksi ja käypä alue on monikulmio Piirretään rajoitusehtojen määräämä käypä alue (monikulmio) koordinaatistoon, jonka akseleilla ovat päätösmuuttujat Ratkaistaan monikulmion kärkipisteiden koordinaatit ratkaisemalla kussakin pisteessä leikkaavien suorien yhtälöparit eli ratkaistaan esimerkiksi seuraava ryhmä muuttujien x ja y suhteen - y=ax+b (ensimmäisen suoran yhtälö) - y=cx+d (toisen suoran yhtälö) Lasketaan tavoitefunktion arvo kussakin kärkipisteessä Optimiratkaisu on se kärkipiste, jossa tavoitefunktio saa suurimman (pienimmän) arvonsa Jos tavoitefunktio saa suurimman (pienimmän) arvonsa kahdessa kärkipisteessä, optimiratkaisuja ovat kaikki niitä yhdistävän janan pisteet 26

27 Leipomoesimerkki: Ratkaiseminen laskemalla 1/2 Voikakkujen määrä (y) =0 (0,22) = 24 (10,18) (20,8) (24,0) = = 28 =0 Kärkipisteet: = 110 =0 = 0, = = = 28 = 10, = 18 + = = 24 = 20, = = 24 =0 = 24, =0 Sokerikakkujen määrä (x) 27

28 Leipomoesimerkki: Ratkaiseminen laskemalla Voikakkujen määrä (y) (0,22) (10,18) (20,8) Sokerikakkujen määrä (x) (24,0) Tavoitefunktion z=2x+3y arvo edellä lasketuissa kärkipisteissä (0,22): = = 66 10, 18 : = = 74 20,8 : = = 44 24,0 : = = 48 Vastaus: Kannattaa leipoa 10 sokerikakkua ja 18 voikakkua. Voitto on tällöin 74 euroa. 28

29 Aiempi HR-ongelma laskemalla 1/2 Eksperttien lukumäärä (y) (0,5) max Kärkipisteet: = 500 =0 =0, = Analyytikkojen lukumäärä (x) = 500 =0 = 10, = 0 (10,0) 29

30 Aiempi HR-ongelma laskemalla 2/2 Eksperttien lukumäärä (y) (0,5) max Analyytikkojen lukumäärä (x) Tavoitefunktion arvo kärkipisteissä (0,5): = = ,0 : = = 200 (10,0) Vastaus: Kannattaa palkata 10 analyytikkoa eikä yhtään eksperttiä. Voittoa tulee tällöin 200,000 euroa 30

31 Tehtävä 1: Muodosta ja ratkaise puutehtaan optimointiongelma Puutuotteisiin erikoistunut tehdas tuottaa kahta tuotetta: pesäpallomailoja ja puukenkiä Voitto yhdestä pesäpallomailasta on 10 euroa. Voitto yhdestä kenkäparista on niinikään 10 euroa Valmistuksessa käytetään hionta- ja taivutuskonetta ja yhden pesäpallomailan valmistaminen vaatii 6 minuuttia taivutusta ja 18 minuuttia hiontaa kun taasen kenkäparin valmistaminen vaatii 12 minuuttia taivutusta ja 24 minuuttia hiontaa Taivutuskonetta on mahdollista käyttää 44 tuntia kuukaudessa. Hiontakone on käytettävissä 122 tuntia kuukaudessa. Kuinka monta pesäpallomailaa ja kuinka monta kenkäparia yrityksen kannattaa tuottaa, kun se haluaa maksimoida voiton? 31

32 Ratkaisu: puutehtaan optimointiongelma Resurssikulutus t/h Mailat: 6/18 min Kengät:12/24 a=mailat b=kengät Graafinen: ratkaistaan kulmakerroin, piirretään ja valitaan Max z=10a+10b 0.1a+0.2b 44 (taivutus) 0.3a+0.4b 122 (hionta) a 0, b 0 (triviaalit rajoitteet) Laskemalla: Määritetään kärkipisteet ja käydään kaikki läpi Maksimituotto= 4066,66 32

33 Tehtävä 2: Muodosta ja ratkaise lihantuottajan optimointiongelma Tuottajalla on kaksi tuotantolinjaa L1 ja L2, jotka voivat olla toiminnassa 7 päivää viikossa. Tuotannosta saadaan kolmea erilaatuista tuotetta (high, medium ja low) ja tuottaja on luvannut tuottaa viikossa vähintään 120, 80 ja 240 yksikköä em. laatuja em. järjestyksessä. Tuotanto linjastolla L1 maksaa päivässä ja se tuottaa 60/20/40 yksikköä tuotteita em. laaduista. Vastaavasti linjaston L2 kustannukset ovat päivässä ja tuotanto on 20/20/120. Miten tuotanto tulee toteuttaa, jotta kustannukset olisivat minimissä? 33

34 Ratkaisu: tuottajan optimointiongelma 1/3 Merkitään, että x 1 =linjaston L1 käyttöpäivät ja x 2 =linjaston käyttöpäivät Tavoitteena minimoidaan kustannuksia: x 1 *40000+x 2 *32000 Reunaehdot: 60x x (tuotetaan vähintään 120 yksikköä high-laatua) 20x x 2 80 (tuotetaan vähintään 80 yksikköä medium-laatua) 40x x (tuotetaan vähintään 120 yksikköä low-laatua) x 1 0, x 2 0 (tuotantopäivät triviaalisti ei-negatiivisia) Lisäksi voimassa triviaalisti tehtävänannon mukaan x 1 7 x

35 Ratkaisu: tuottajan optimointiongelma 2/3 Lasketaan käyvän alueen kärkipisteet (graafinen ratkaisu) 60x x x x x x x 1 0 x 2 0 x 1 7 x 2 7 Saadaan pisteet alkaen oik. ylänurkasta (7,7), (7,0), (6,0),(3,1),(1,3),(0,6),(7,0) x 2 Käypä joukko x 1 35

36 Ratkaisu: tuottajan optimointiongelma 3/3 Lasketaan kohdefunktion z= x 1 * x 2 * arvot käyvän alueen kärkipisteissä Kärkipiste (x 1,x 2 ) z=x 1 * x 2 * (7,7) z=7* *32 000= (7,0) z=7* *32 000= (6,0) z=6* *32 000= (3,1) z=3* *32 000= (1,3) z=1* *32 000= =min (0,6) z=0* *32 000= (0,7) z=0* *32 000= Vastaus: pidetään L1 auki yhden päivän ja L2 kolme päivää jota vastaava minimikustannus on

37 Kokonaislukuoptimointi LP-tapauksessa Muutoin vastaava tilanne kuin tavallisessa LP-ongelmassa, mutta ylimääräinen vaatimus, että muuttujien arvot oltava kokonaislukuja Optimiratkaisu ei välttämättä ole jatkuvan ratkaisun (*) vieressä oleva kokonaislukuratkaisu vaan se voi olla ihan toisaalla Kokonaislukuoptimointi tyypillinen tilanne jossa yksiköitä ei voida pilkkoa osiin. Mitä esimerkkejä keksit? Myöhemmillä kursseilla ehkä enemmän kokonaislukuoptimointia Excelin Solverissa helppo tehdä vaatimus kokonaislukuoptimoinnista (*) Jatkuva ratkaisu tarkoittaa LP-ongelmaa, joka on muuten vastaava kuin kokonaislukurajoitettu ongelma, mutta ilman kokonaislukurajoitetta 37

38 Kysymyksiä itselle Miten kuvailisit LP-ongelman käyvän alueen muotoa? Miten sen muoto voi poiketa ei-lp ongelmasta? Miten rajoitusehtojen lukumäärä vaikuttaa LP-ongelman parhaaseen ratkaisutapaan (graafinen, laskemalla, Excelillä) Milloin LP-ongelmalla on äärettömän monta ratkaisua kahden muuttujan tapauksessa? Mieti esimerkiksi HR-ongelmassa ekspertin tuottoa 40k /v. Mitä ovat triviaalirajoitteet eli ne muuttujien rajoitteet, jotka yleensä unohtuvat ongelman matemaattisesta määrittelystä? Miten kokonaislukuoptimointi eroaa jatkuvasta optimoinnista? Miten määrittelisit kokonaislukuoptimoinnin käyvän joukon? Voidaanko ei-kokonaislukuongelmasta saada ratkaisuksi kokonaislukuarvoinen ratkaisu? Mitä tarkoitetaan rajoitteen sitovuudella? Voiko kaikki rajoitteet olla sitovia? Voiko kaikki rajoitteet olla ei-sitovia? 38

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

Lineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen

Lineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen Lineaarisen ohjelman määritelmä Joonas Vanninen Sisältö Yleinen optimointitehtävä Kombinatorinen tehtävä Optimointiongelman tapaus Naapurusto Paikallinen ja globaali optimi Konveksi optimointitehtävä Lineaarinen

Lisätiedot

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä

Lisätiedot

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta

1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät

Lisätiedot

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min! Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö 2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)

b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b) TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Harjoitus 7: vastausvihjeet

Harjoitus 7: vastausvihjeet Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.

Lisätiedot

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 Risto Silvennoinen Tampereen teknillinen yliopisto, kevät 2004 1. Peruskäsitteet Optimointiteoria on sovelletun matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan funktioiden

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x

Lisätiedot

Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen

Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 1 Ehtamo Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen Ratkaise tehtävä käyttäen Excelin Solveria. max 3x 1 + x 2 s.e. 2x 1 + 5x 2 8 4x 1 + 2x 2 5 x 1, x 2 0 Ratkaisu

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi

TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Jussi Hakanen Tietotekniikan laitos jussi.hakanen@jyu.fi AgC 426.3 Yleiset tiedot Tietotekniikan kandidaattiopintojen valinnainen kurssi http://users.jyu.fi/~jhaka/ldo/

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

ja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n.

ja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n. Harjoitukset 2, vastauksia. Ilmoittakaa virheistä ja epäselvyyksistä! 1. b (kysyntäkäyrä siirtyy vasemmalle) 2. c (kysyntäkäyrä siirtyy oikealle) 3. ei mikään edellisistä; oikea vastaus olisi p 2

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab)

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

1 Rajoitettu optimointi I

1 Rajoitettu optimointi I Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

6.1 Lineaarinen optimointi

6.1 Lineaarinen optimointi 6.1 Lineaarinen optimointi Suora a + b + c = 0 jakaa -tason kahteen puolitasoon. Tason jokainen piste, joka on suoralla, toteuttaa suoran htälön ja kääntäen. Jos siis tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit

Lisätiedot

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100 HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.3140 Lineaarinen ohjelmointi 4.10.2007 Luento 4 Ekstreemipisteiden optimaalisuus ja Simplex (kirja 2.4-2.6, 3.1-3.2) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 2007 / 1 Luentorunko Degeneroituvuus Ekstreemipisteiden

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x

Lisätiedot

LP-mallit, L8. Herkkyysanalyysi. Varjohinta. Tietokoneohjelmia. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto.

LP-mallit, L8. Herkkyysanalyysi. Varjohinta. Tietokoneohjelmia. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. LP-mallit, L8 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät

Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoiteoptimointi

Luento 6: Monitavoiteoptimointi Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

LP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo

LP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo LP-mallit, L19 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset

Lisätiedot

Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio

Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot 6,

Malliratkaisut Demot 6, Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös

Lisätiedot

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

LUKUVUODEN E-KURSSI

LUKUVUODEN E-KURSSI 1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB6 Matemaattisia malleja II Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi MAB6-kurssin työtila on nähtävillä myös

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C = BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B

Lisätiedot

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Luento 3: Simplex-menetelmä

Luento 3: Simplex-menetelmä Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä

Lisätiedot

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun

Lisätiedot

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi Sivu 1 / 8 A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste Olli Kauppi Monisteen ensimmäinen luku käsittelee derivointia hieman yleisemmästä näkökulmasta. Monisteen lopussa on kurssilla

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien

Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Jerri Nummenpalo 17.09.2012 Ohjaaja: TkT Juuso Liesiö Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot