30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset
|
|
- Leena Lahti
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset
2 Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään lineaarisen funktion suurinta tai pienintä arvoa tiettyjen lineaaristen rajoitteiden vallitessa Tyypillisesti maksimoidaan voittofunktiota tai minimoidaan kustannusfunktiota tiettyjen rajoitusten tai vaatimusten puitteissa Käytetään esimerkiksi tuotannon tai työnjaon suunnittelussa Tosielämän tilanteesta laaditaan ensin matemaattinen malli, joka sitten ratkaistaan - Malli ei yleensä vastaa todellisuutta täydellisesti, vaan ainoastaan riittävän hyvin tarpeeseen nähden - Voidaan myös olla kiinnostuneita optimiratkaisun lisäksi (jopa sijasta) optimin sensitiivisyydestä eli kuinka herkkä se on rajoitteille 2
3 Käytännön esimerkki: HR ongelma Tarvitsen tiimiini lisää väkeä Esimieheni antoi minulle luvan käyttää uusiin henkilöihin /v Analyytikko maksaa /v Ekspertti maksaa /v Keitä minun kannattaisi palkata? Saadaan yhtälö rahankäytölle 50000*x *y Lisäksi tiedetään triviaalisti, että x 0, ja y 0. Huom: Yo. yhtälö voidaan edelleen jakaa tuhannella kummaltakin puolelta, jolloin saadaan yhtäpitävä ehto 50x+100y 500, joka on hieman ergonomisempi (nollien määrä pysyy helpommin oikeana, lyhyempi kirjoittaa). Yhteys alkuperäiseen sanalliseen ongelmaan tosin vähän heikompi x y 3
4 Ongelma graafisesti Eksperttien lukumäärä (y) Käypä joukko Analyytikkojen lukumäärä (x) 4
5 Käypä joukko aka. käypä alue (En: Feasible region, feasible set) On rajoitusehtojen puitteissa mahdollisten ratkaisujen joukko eli muuttujien arvojen pistejoukko, joka toteuttaa rajoitusehdot Lineaarisen optimointiongelman tapauksessa käypää joukkoa rajoittaa lineaariset rajoitteet eli käypä alue on suorien rajaamassa alueessa Muutamia esimerkkejä mahdollisista käyvien alueiden muodosta 5
6 HR ongelma jatkuu Haluan valita sellaisen määrän analyytikkoja ja eksperttejä, joka kasvattaa yksikköni voittoa mahdollisimman paljon Analyytikon (x) työpanos kasvattaa voittoa tyypillisesti noin /v ja ekspertin (y) puolestaan /v Kuinka monta analyytikkoa ja eksperttiä pitäisi palkata? Saadaan voittofunktio = 20000x+35000y, jota pyritään maksimoimaan Kun yhdistetään voittofunktio (tuhansilla jaettuna) aiempien rajoitteiden kanssa voidaan ongelma kirjoittaa muotoon max optimointitehtävä optimoinnin rajoite-ehdot 0, 0 6
7 Eksperttien lukumäärä (y) Muutamia mahdollisia tavoitefunktion arvoja = 175 (k ) = 185 (k ) = 110 (k ) Analyytikkojen lukumäärä (x) max = 200 (k ) 7
8 LP ongelman matemaattinen asetelma Optimoitava funktio on lineaarinen ja sillä on lineaarisia rajoitteita Muuttujien lkm 2 LP maksimointiongelman yleinen muoto, johon kaikki LP maksimointiongelmat voidaan kirjoittaa Max c T x (optimoitava funktio, jossa c sisältää muuttujakohtaiset Ax b (lineaariset rajoitteet, A kerroinmatriisi) x 0 (mahdolliset muuttujaspesifit (triviaali)vaatimukset), jossa vektori c sisältää muuttujakohtaiset kertoimet Kahden muuttujan (x 1,x 2 ) tapauksessa LP-ongelman yleinen muoto on Max c 1 x 1 +c 2 x 2, A[x 1 x 2 ] T [b 1 b 2 ] T x 1 0, x 2 0, Edellisessä HR-ongelmassa A=[50, 100], b=[500], ja c T =[20, 35] 8
9 Lin. optimointiongelmat aukikirjoitettuna (m rajoitusehtoa, n muuttujaa): Maksimointitehtävä max = + + Max c T x Minimointitehtävä min = + + Min c T x Ax b Ax b 0, 0,, 0 0, 0,, 0 Huom: yllä merkintä max = + + tarkoittaa, että maksimoidaan lausekkeen + + arvoa z (ja vastaavasti minimoinnille) 9
10 Terminologiaa Maksimointitehtävä max = , 0,, 0 Päätösmuuttujat Näiden arvoja etsitään Tavoitefunktio Lineaarinen Tätä maksimoidaan tai minimoidaan Rajoitusehdot Lineaarisia epäyhtälöitä Pisteet, jotka toteuttavat kaikki rajoitusehdot, muodostavat käyvän joukon Vain käyvän joukon pisteitä tarvitsee tutkia optimiratkaisua etsittäessä 10
11 Ratkaisun terminologiaa Optimiarvolla tarkoitetaan yleensä tavoitefunktion optimaalista (minimaalista tai maksimaalista arvoa) Optimikohta tai optimipiste tarkoittaa useimmiten päätösmuuttujien arvoa, jolla tavoitefunktion maksimaalinen tai minimaalinen arvo saavutetaan mutta joskus näihin termeihin liitetään myös optimiarvo, jolloin optimipiste = (optimaalinen tavoitefunktion arvo, näitä vastaavat päätösmuuttujan arvo) Ratkaisussa tulee aina antaa sekä optimaalinen tavoitefunktion arvo sekä päätösmuuttujien arvot mikäli ei erikseen kysytä vain toista 11
12 Lineaarisen funktion kertaus monen muuttujan tapauksessa Lineaarinen funktio on funktio, joka voidaan esittää summana, joka koostuu vakioista tai vakiolla kerrotuista muuttujista Esimerkkejä lineaarisista ja ei-lineaarisista funktioista - ( ) = + ei ole lineaarinen: sisältää toisen asteen termin -, = ei ole lineaarinen: sisältää toisen asteen termin 3 - (, ) = on lineaarinen -,, =3 + on lineaarinen (f= 9x+y-z) -,, = + + ei ole lineaarinen: termit = ja = ovat lineaarisia (*), mutta termi on epälineaarinen Jos funktio sisältää yhdenkin epälineaarisen muuttujatermin ei se ole enää lineaarinen (*) ja e ovat yllä erikoislukuja eivät muuttujia 12
13 Funktiomerkinnöistä Huomaa, että merkintä,, kertoo, että funktion z muuttujat ovat x, f ja j. Jos lausekkeessa on muita kirjaimia, niin ne ovat parametrejä eivät varsinaisia muuttujia Funktiolle ja muuttujille voidaan käyttää periaatteessa mitä tahansa kirjainsymboleita Usein käytettyjä symboleita funktiolle ovat f, g, h, Perinteisiä muuttujien symboleita ovat x, y, z tai indeksoituina x 1, x 2, x 3, Tietyillä sovellusalueilla voidaan käyttää standardikirjaimia tietyille funktioille esim r=revenue, c=cost, p=profit, Myös tietyissä sovelluksissa on käytössä joitakin standardisymboleita muuttujille t=aika, p=hinta, Lisätietoa esim: 13
14 Lineaarisen optimointiongelman muodostaminen: leipomoesimerkki Leipomo valmistaa sokerikakkuja ja voikakkuja Se saa raaka-aineet läheiseltä maatilalta, joka kykenee toimittamaan sille 24 kiloa sokeria, 28 kiloa voita ja 110 kiloa jauhoja viikossa Sokerikakkuun kuluu kilo sokeria, kilo voita ja kaksi kiloa jauhoja Voikakkuun kuluu puoli kiloa sokeria, kilo voita ja viisi kiloa jauhoja Leipomolle jää yhdestä sokerikakusta voittoa kaksi euroa ja yhdestä voikakusta kolme euroa Kuinka monta sokeri- ja voikakkua leipomon kannattaa valmistaa, kun se tahtoo tehdä mahdollisimman paljon voittoa? 14
15 Leipomoesimerkki: 1. määritetään päätösmuuttujat Tavoitteena etsiä paras sokeri- ja voikakkujen määrää, eli ne ovat päätösmuuttujia Olkoon sokerikakkujen määrä ja voikakkujen määrä Huom: muuttujien symbolit voi valita yleensä ihan itse, ja periaatteessa tässä voi käyttää ihan mitä tahansa symbolia Jos muuttujia olisi enemmän (n kpl), voitaisiin niitä merkitä myös esimerkiksi,,,, Käytettyjen jauhojen ja muiden tarveaineiden määrät seuraavat päätösmuuttujien arvoista 15
16 Leipomoesimerkki: 2. Määritetään tavoitefunktio Tehtävänannossa kerrotaan, että leipomo tahtoo tehdä mahdollisimman paljon voittoa Tavoitteena on siis maksimoida voittofunktiota Tiedetään, että leipomolle jää yhdestä sokerikakusta (x) voittoa kaksi euroa ja yhdestä voikakusta (y) kolme euroa Muodostetaan voittofunktio:, = Voittofunktio on tässä kahden muuttujan funktio, sillä voitto riippuu sekä sokeri- että voikakkujen määrästä x ja y Sokerikakkujen määrän kasvattaminen yhdellä kasvattaa voittofunktiota kahdella ja voikakkujen kolmella 16
17 Leipomoesimerkki: 3. määritetään rajoitusehdot Raaka-aineiden saatavuus rajoittaa tuotettavia kakkumääriä Käytettävissä on enintään 24 kiloa sokeria, jota kuluu kilo sokerikakkuun (x) ja puoli kiloa voikakkuun (y): Käytettävissä on enintään 28 kiloa voita, jota kuluu kilo sokerikakkuun (x) ja kilo voikakkuun (y): + 28 Käytettävissä on enintään 110 kiloa jauhoja, joita kuluu kaksi kiloa sokerikakkuun (x) ja viisi kiloa voikakkuun (y): Triviaalisti selvää, että kakkuja ei voida tuottaa negatiivisia määriä: 0,y 0 17
18 Leipomoesimerkki: lopullinen LP-ongelma max = Tämän voi edelleen halutessaan pukea yleiseen LP-ongelman muotoon (s.8-9), jossa muuttujavektori on [x, y], c T =[2, 3], b T =[24, 28, 110] ja 1 0,5 matriisi A =
19 LP-ongelman ratkaisu 3 Ratkaisutapaa Päätösmuuttujien määrä, jolle tapa soveltuu Graafinen ratkaisu Laskeminen käsin Tietokoneohjelma (esim. Excel) Kaksi Kaksi (rajoitetusti enemmän) Kaksi tai enemmän Excel-ratkaisujen tekniikka käsitellään Excel-osiossa! 19
20 Graafinen ratkaisutapa Voidaan käyttää, kun päätösmuuttujia on kaksi Kyseinen piste (tai kyseiset pisteet) on optimointiongelman optimiratkaisu 1. Piirretään rajoitusehtojen määräämä käypä alue (usein monikulmio) koordinaatistoon, jonka akseleina ovat päätösmuuttujat 2. Piirretään samaan koordinaatistoon tavoitefunktion eri arvoja edustavia yhdensuuntaisia suoria 3. Valitaan se suora, joka edustaa tavoitefunktion mahdollisimman suurta (tai pientä) arvoa sisältäen samalla vielä ainakin yhden käyvän alueen pisteen käytännössä optimiarvo löytyy melkein aina käyvän alueen jostain nurkasta 20
21 Leipomoesimerkki: Graafinen ratkaisutapa 1/3 - rajoitteet = = 24 Voikakkujen määrä (y) Käypä alue = = 28 = Sokerikakkujen määrä (x) 21
22 Leipomoesimerkki: Graafinen ratkaisutapa 2/3 Yhdensuuntaisia suoria varten ratkaistaan kulmakerroin Esimerkiksi yhtälöstä z=2 + 3 saadaan 3y= 2 + y= + - > Kulmakerroin siis -2/3 (laskeva suora, joka laskee 2 yksikköä pystysuunnassa kolmen yksikön matkalla vaakasuunnassa) Ratkaisussa tarkastellaan suoria, joiden kulmakerroin on -2/3 ja valitaan optimiksi piste, jossa lauseke saa suurimman arvon Lisämateriaali: 22
23 Leipomoesimerkki: Graafinen ratkaisutapa 3/3 Ao kuvaan piirretty esimerkiksi kolme eri suoraa eri tavoitefunktion arvoilla z = = = 30 (10,18) (10,18) on käyvän alueen piste, jossa tavoitefunktio saa suurimman arvonsa =74. Vastaus: Kannattaa leipoa 10 sokerikakkua ja 18 voikakkua. 23
24 Rajoitusehdon sitovuus Voikakkujen määrä (y) = = 24 (10,18) Käypä alue Sokerikakkujen määrä (x) = = 28 =0 Rajoitusehto ei ole sitova, sillä optimipisteessä (10,18) ei käytetä kaikkea mahdollista sokeria: < 24 Rajoitusehto on sitova, sillä optimi-pisteessä (10,18) käytetään kaikki jauhot, eli siinä pätee yhtäsuuruus = 110 Entä ehto: + 28? 24
25 Aiempi HR-ongelma graafisesti Eksperttien lukumäärä (y) Kk=-20/ max Analyytikkojen lukumäärä (x) Vastaus: Kannattaa palkata 10 analyytikkoa eikä yhtään eksperttiä. Voittoa tulee tällöin 200,000 euroa (10,0) = = =
26 Ratkaiseminen laskemalla Voidaan käyttää, kun päätösmuuttujia on kaksi ja käypä alue on monikulmio Piirretään rajoitusehtojen määräämä käypä alue (monikulmio) koordinaatistoon, jonka akseleilla ovat päätösmuuttujat Ratkaistaan monikulmion kärkipisteiden koordinaatit ratkaisemalla kussakin pisteessä leikkaavien suorien yhtälöparit eli ratkaistaan esimerkiksi seuraava ryhmä muuttujien x ja y suhteen - y=ax+b (ensimmäisen suoran yhtälö) - y=cx+d (toisen suoran yhtälö) Lasketaan tavoitefunktion arvo kussakin kärkipisteessä Optimiratkaisu on se kärkipiste, jossa tavoitefunktio saa suurimman (pienimmän) arvonsa Jos tavoitefunktio saa suurimman (pienimmän) arvonsa kahdessa kärkipisteessä, optimiratkaisuja ovat kaikki niitä yhdistävän janan pisteet 26
27 Leipomoesimerkki: Ratkaiseminen laskemalla 1/2 Voikakkujen määrä (y) =0 (0,22) = 24 (10,18) (20,8) (24,0) = = 28 =0 Kärkipisteet: = 110 =0 = 0, = = = 28 = 10, = 18 + = = 24 = 20, = = 24 =0 = 24, =0 Sokerikakkujen määrä (x) 27
28 Leipomoesimerkki: Ratkaiseminen laskemalla Voikakkujen määrä (y) (0,22) (10,18) (20,8) Sokerikakkujen määrä (x) (24,0) Tavoitefunktion z=2x+3y arvo edellä lasketuissa kärkipisteissä (0,22): = = 66 10, 18 : = = 74 20,8 : = = 44 24,0 : = = 48 Vastaus: Kannattaa leipoa 10 sokerikakkua ja 18 voikakkua. Voitto on tällöin 74 euroa. 28
29 Aiempi HR-ongelma laskemalla 1/2 Eksperttien lukumäärä (y) (0,5) max Kärkipisteet: = 500 =0 =0, = Analyytikkojen lukumäärä (x) = 500 =0 = 10, = 0 (10,0) 29
30 Aiempi HR-ongelma laskemalla 2/2 Eksperttien lukumäärä (y) (0,5) max Analyytikkojen lukumäärä (x) Tavoitefunktion arvo kärkipisteissä (0,5): = = ,0 : = = 200 (10,0) Vastaus: Kannattaa palkata 10 analyytikkoa eikä yhtään eksperttiä. Voittoa tulee tällöin 200,000 euroa 30
31 Tehtävä 1: Muodosta ja ratkaise puutehtaan optimointiongelma Puutuotteisiin erikoistunut tehdas tuottaa kahta tuotetta: pesäpallomailoja ja puukenkiä Voitto yhdestä pesäpallomailasta on 10 euroa. Voitto yhdestä kenkäparista on niinikään 10 euroa Valmistuksessa käytetään hionta- ja taivutuskonetta ja yhden pesäpallomailan valmistaminen vaatii 6 minuuttia taivutusta ja 18 minuuttia hiontaa kun taasen kenkäparin valmistaminen vaatii 12 minuuttia taivutusta ja 24 minuuttia hiontaa Taivutuskonetta on mahdollista käyttää 44 tuntia kuukaudessa. Hiontakone on käytettävissä 122 tuntia kuukaudessa. Kuinka monta pesäpallomailaa ja kuinka monta kenkäparia yrityksen kannattaa tuottaa, kun se haluaa maksimoida voiton? 31
32 Ratkaisu: puutehtaan optimointiongelma Resurssikulutus t/h Mailat: 6/18 min Kengät:12/24 a=mailat b=kengät Graafinen: ratkaistaan kulmakerroin, piirretään ja valitaan Max z=10a+10b 0.1a+0.2b 44 (taivutus) 0.3a+0.4b 122 (hionta) a 0, b 0 (triviaalit rajoitteet) Laskemalla: Määritetään kärkipisteet ja käydään kaikki läpi Maksimituotto= 4066,66 32
33 Tehtävä 2: Muodosta ja ratkaise lihantuottajan optimointiongelma Tuottajalla on kaksi tuotantolinjaa L1 ja L2, jotka voivat olla toiminnassa 7 päivää viikossa. Tuotannosta saadaan kolmea erilaatuista tuotetta (high, medium ja low) ja tuottaja on luvannut tuottaa viikossa vähintään 120, 80 ja 240 yksikköä em. laatuja em. järjestyksessä. Tuotanto linjastolla L1 maksaa päivässä ja se tuottaa 60/20/40 yksikköä tuotteita em. laaduista. Vastaavasti linjaston L2 kustannukset ovat päivässä ja tuotanto on 20/20/120. Miten tuotanto tulee toteuttaa, jotta kustannukset olisivat minimissä? 33
34 Ratkaisu: tuottajan optimointiongelma 1/3 Merkitään, että x 1 =linjaston L1 käyttöpäivät ja x 2 =linjaston käyttöpäivät Tavoitteena minimoidaan kustannuksia: x 1 *40000+x 2 *32000 Reunaehdot: 60x x (tuotetaan vähintään 120 yksikköä high-laatua) 20x x 2 80 (tuotetaan vähintään 80 yksikköä medium-laatua) 40x x (tuotetaan vähintään 120 yksikköä low-laatua) x 1 0, x 2 0 (tuotantopäivät triviaalisti ei-negatiivisia) Lisäksi voimassa triviaalisti tehtävänannon mukaan x 1 7 x
35 Ratkaisu: tuottajan optimointiongelma 2/3 Lasketaan käyvän alueen kärkipisteet (graafinen ratkaisu) 60x x x x x x x 1 0 x 2 0 x 1 7 x 2 7 Saadaan pisteet alkaen oik. ylänurkasta (7,7), (7,0), (6,0),(3,1),(1,3),(0,6),(7,0) x 2 Käypä joukko x 1 35
36 Ratkaisu: tuottajan optimointiongelma 3/3 Lasketaan kohdefunktion z= x 1 * x 2 * arvot käyvän alueen kärkipisteissä Kärkipiste (x 1,x 2 ) z=x 1 * x 2 * (7,7) z=7* *32 000= (7,0) z=7* *32 000= (6,0) z=6* *32 000= (3,1) z=3* *32 000= (1,3) z=1* *32 000= =min (0,6) z=0* *32 000= (0,7) z=0* *32 000= Vastaus: pidetään L1 auki yhden päivän ja L2 kolme päivää jota vastaava minimikustannus on
37 Kokonaislukuoptimointi LP-tapauksessa Muutoin vastaava tilanne kuin tavallisessa LP-ongelmassa, mutta ylimääräinen vaatimus, että muuttujien arvot oltava kokonaislukuja Optimiratkaisu ei välttämättä ole jatkuvan ratkaisun (*) vieressä oleva kokonaislukuratkaisu vaan se voi olla ihan toisaalla Kokonaislukuoptimointi tyypillinen tilanne jossa yksiköitä ei voida pilkkoa osiin. Mitä esimerkkejä keksit? Myöhemmillä kursseilla ehkä enemmän kokonaislukuoptimointia Excelin Solverissa helppo tehdä vaatimus kokonaislukuoptimoinnista (*) Jatkuva ratkaisu tarkoittaa LP-ongelmaa, joka on muuten vastaava kuin kokonaislukurajoitettu ongelma, mutta ilman kokonaislukurajoitetta 37
38 Kysymyksiä itselle Miten kuvailisit LP-ongelman käyvän alueen muotoa? Miten sen muoto voi poiketa ei-lp ongelmasta? Miten rajoitusehtojen lukumäärä vaikuttaa LP-ongelman parhaaseen ratkaisutapaan (graafinen, laskemalla, Excelillä) Milloin LP-ongelmalla on äärettömän monta ratkaisua kahden muuttujan tapauksessa? Mieti esimerkiksi HR-ongelmassa ekspertin tuottoa 40k /v. Mitä ovat triviaalirajoitteet eli ne muuttujien rajoitteet, jotka yleensä unohtuvat ongelman matemaattisesta määrittelystä? Miten kokonaislukuoptimointi eroaa jatkuvasta optimoinnista? Miten määrittelisit kokonaislukuoptimoinnin käyvän joukon? Voidaanko ei-kokonaislukuongelmasta saada ratkaisuksi kokonaislukuarvoinen ratkaisu? Mitä tarkoitetaan rajoitteen sitovuudella? Voiko kaikki rajoitteet olla sitovia? Voiko kaikki rajoitteet olla ei-sitovia? 38
Harjoitus 8: Excel - Optimointi
Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen
LisätiedotAki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI
Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen
Lisätiedot1. Lineaarinen optimointi
0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on
LisätiedotLineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen
Lineaarisen ohjelman määritelmä Joonas Vanninen Sisältö Yleinen optimointitehtävä Kombinatorinen tehtävä Optimointiongelman tapaus Naapurusto Paikallinen ja globaali optimi Konveksi optimointitehtävä Lineaarinen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotPiiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.
LisätiedotKäy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
Lisätiedot1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta
Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden
LisätiedotHarjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox
Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
kevät 19 / orms.30 Talousmatematiikan perusteet 8. harjoitus, viikko 11 (11.03..03.19) L Ma 12 A2 R0 Ti 14 16 F43 R01 Ma 12 14 F43 L To 08 A2 R02 Ma 16 18 F43 R06 To 12 14 F140 R03 Ti 08 F42 R07 Pe 08
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotLineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!
Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x
Lisätiedot2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa
Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa
Lisätiedot2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö
2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
LisätiedotDemo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 2 Ehtamo Demo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla Ratkaise lineaarinen optimointitehtävä graafisesti ja Excelin Solverin avulla.
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotDemo 1: Branch & Bound
MS-C05 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 7 Ehtamo Demo : Branch & Bound Ratkaise lineaarinen kokonaislukuoptimointitehtävä käyttämällä Branch & Boundalgoritmia. max x + x s.e. x + 4x 9 5x + x 9 x Z
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotLuento 6: Monitavoitteinen optimointi
Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f
LisätiedotAluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö
Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä
Lisätiedot73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2
73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 Risto Silvennoinen Tampereen teknillinen yliopisto, kevät 2004 1. Peruskäsitteet Optimointiteoria on sovelletun matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan funktioiden
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
LisätiedotTIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi
TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Jussi Hakanen Tietotekniikan laitos jussi.hakanen@jyu.fi AgC 426.3 Yleiset tiedot Tietotekniikan kandidaattiopintojen valinnainen kurssi http://users.jyu.fi/~jhaka/ldo/
LisätiedotDemo 1: Excelin Solver -liitännäinen
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 1 Ehtamo Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen Ratkaise tehtävä käyttäen Excelin Solveria. max 3x 1 + x 2 s.e. 2x 1 + 5x 2 8 4x 1 + 2x 2 5 x 1, x 2 0 Ratkaisu
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotKaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
Lisätiedotja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n.
Harjoitukset 2, vastauksia. Ilmoittakaa virheistä ja epäselvyyksistä! 1. b (kysyntäkäyrä siirtyy vasemmalle) 2. c (kysyntäkäyrä siirtyy oikealle) 3. ei mikään edellisistä; oikea vastaus olisi p 2
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotHarjoitus 9: Optimointi I (Matlab)
Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
LisätiedotTaso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
Lisätiedot1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100
HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat
LisätiedotMalliratkaisut Demot 6,
Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.3140 Lineaarinen ohjelmointi 4.10.2007 Luento 4 Ekstreemipisteiden optimaalisuus ja Simplex (kirja 2.4-2.6, 3.1-3.2) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 2007 / 1 Luentorunko Degeneroituvuus Ekstreemipisteiden
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedot6.1 Lineaarinen optimointi
6.1 Lineaarinen optimointi Suora a + b + c = 0 jakaa -tason kahteen puolitasoon. Tason jokainen piste, joka on suoralla, toteuttaa suoran htälön ja kääntäen. Jos siis tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
Lisätiedot5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet
.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 2015 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7. harjoitus, viikko 17 R1 ma 16 18 D115 (20.4.) R2 ke 12 14 B209 (22.4.) 1. Määritä funktiolle f (x) 1 + 0,1x Taylorin sarja kehityskeskuksena
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotLP-mallit, L8. Herkkyysanalyysi. Varjohinta. Tietokoneohjelmia. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto.
LP-mallit, L8 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotOSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO
OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka
LisätiedotLuento 4: Lineaarisen tehtävän duaali
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotLuento 6: Monitavoiteoptimointi
Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
LisätiedotLP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo
LP-mallit, L19 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku
LisätiedotMalliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
LisätiedotMS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
LisätiedotAluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö
Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty
LisätiedotLUKUVUODEN E-KURSSI
1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB6 Matemaattisia malleja II Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi MAB6-kurssin työtila on nähtävillä myös
LisätiedotLAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
LisätiedotLuento 7: Kokonaislukuoptimointi
Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus
LisätiedotHarjoitus 3 (3.4.2014)
Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Lisätiedot4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =
BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B
LisätiedotSivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi
Sivu 1 / 8 A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste Olli Kauppi Monisteen ensimmäinen luku käsittelee derivointia hieman yleisemmästä näkökulmasta. Monisteen lopussa on kurssilla
LisätiedotHarjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotLuento 3: Simplex-menetelmä
Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
Lisätiedot1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla
LisätiedotTEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio. Kimmo Berg. Mat Optimointioppi. 9. harjoitus - ratkaisut
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 9. harjoitus - ratkaisut 1. a) Viivahakutehtävä pisteessä x suuntaan d on missä min f(x + λd), λ f(x + λd) = (x
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä
Lisätiedot5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
Lisätiedot