30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset"

Transkriptio

1 30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset

2 Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään lineaarisen funktion suurinta tai pienintä arvoa tiettyjen lineaaristen rajoitteiden vallitessa Tyypillisesti maksimoidaan voittofunktiota tai minimoidaan kustannusfunktiota tiettyjen rajoitusten tai vaatimusten puitteissa Käytetään esimerkiksi tuotannon tai työnjaon suunnittelussa Tosielämän tilanteesta laaditaan ensin matemaattinen malli, joka sitten ratkaistaan - Malli ei yleensä vastaa todellisuutta täydellisesti, vaan ainoastaan riittävän hyvin tarpeeseen nähden - Voidaan myös olla kiinnostuneita optimiratkaisun lisäksi (jopa sijasta) optimin sensitiivisyydestä eli kuinka herkkä se on rajoitteille 2

3 Käytännön esimerkki: HR ongelma Tarvitsen tiimiini lisää väkeä Esimieheni antoi minulle luvan käyttää uusiin henkilöihin /v Analyytikko maksaa /v Ekspertti maksaa /v Keitä minun kannattaisi palkata? Saadaan yhtälö rahankäytölle 50000*x *y Lisäksi tiedetään triviaalisti, että x 0, ja y 0. Huom: Yo. yhtälö voidaan edelleen jakaa tuhannella kummaltakin puolelta, jolloin saadaan yhtäpitävä ehto 50x+100y 500, joka on hieman ergonomisempi (nollien määrä pysyy helpommin oikeana, lyhyempi kirjoittaa). Yhteys alkuperäiseen sanalliseen ongelmaan tosin vähän heikompi x y 3

4 Ongelma graafisesti Eksperttien lukumäärä (y) Käypä joukko Analyytikkojen lukumäärä (x) 4

5 Käypä joukko aka. käypä alue (En: Feasible region, feasible set) On rajoitusehtojen puitteissa mahdollisten ratkaisujen joukko eli muuttujien arvojen pistejoukko, joka toteuttaa rajoitusehdot Lineaarisen optimointiongelman tapauksessa käypää joukkoa rajoittaa lineaariset rajoitteet eli käypä alue on suorien rajaamassa alueessa Muutamia esimerkkejä mahdollisista käyvien alueiden muodosta 5

6 HR ongelma jatkuu Haluan valita sellaisen määrän analyytikkoja ja eksperttejä, joka kasvattaa yksikköni voittoa mahdollisimman paljon Analyytikon (x) työpanos kasvattaa voittoa tyypillisesti noin /v ja ekspertin (y) puolestaan /v Kuinka monta analyytikkoa ja eksperttiä pitäisi palkata? Saadaan voittofunktio = 20000x+35000y, jota pyritään maksimoimaan Kun yhdistetään voittofunktio (tuhansilla jaettuna) aiempien rajoitteiden kanssa voidaan ongelma kirjoittaa muotoon max optimointitehtävä optimoinnin rajoite-ehdot 0, 0 6

7 Eksperttien lukumäärä (y) Muutamia mahdollisia tavoitefunktion arvoja = 175 (k ) = 185 (k ) = 110 (k ) Analyytikkojen lukumäärä (x) max = 200 (k ) 7

8 LP ongelman matemaattinen asetelma Optimoitava funktio on lineaarinen ja sillä on lineaarisia rajoitteita Muuttujien lkm 2 LP maksimointiongelman yleinen muoto, johon kaikki LP maksimointiongelmat voidaan kirjoittaa Max c T x (optimoitava funktio, jossa c sisältää muuttujakohtaiset Ax b (lineaariset rajoitteet, A kerroinmatriisi) x 0 (mahdolliset muuttujaspesifit (triviaali)vaatimukset), jossa vektori c sisältää muuttujakohtaiset kertoimet Kahden muuttujan (x 1,x 2 ) tapauksessa LP-ongelman yleinen muoto on Max c 1 x 1 +c 2 x 2, A[x 1 x 2 ] T [b 1 b 2 ] T x 1 0, x 2 0, Edellisessä HR-ongelmassa A=[50, 100], b=[500], ja c T =[20, 35] 8

9 Lin. optimointiongelmat aukikirjoitettuna (m rajoitusehtoa, n muuttujaa): Maksimointitehtävä max = + + Max c T x Minimointitehtävä min = + + Min c T x Ax b Ax b 0, 0,, 0 0, 0,, 0 Huom: yllä merkintä max = + + tarkoittaa, että maksimoidaan lausekkeen + + arvoa z (ja vastaavasti minimoinnille) 9

10 Terminologiaa Maksimointitehtävä max = , 0,, 0 Päätösmuuttujat Näiden arvoja etsitään Tavoitefunktio Lineaarinen Tätä maksimoidaan tai minimoidaan Rajoitusehdot Lineaarisia epäyhtälöitä Pisteet, jotka toteuttavat kaikki rajoitusehdot, muodostavat käyvän joukon Vain käyvän joukon pisteitä tarvitsee tutkia optimiratkaisua etsittäessä 10

11 Ratkaisun terminologiaa Optimiarvolla tarkoitetaan yleensä tavoitefunktion optimaalista (minimaalista tai maksimaalista arvoa) Optimikohta tai optimipiste tarkoittaa useimmiten päätösmuuttujien arvoa, jolla tavoitefunktion maksimaalinen tai minimaalinen arvo saavutetaan mutta joskus näihin termeihin liitetään myös optimiarvo, jolloin optimipiste = (optimaalinen tavoitefunktion arvo, näitä vastaavat päätösmuuttujan arvo) Ratkaisussa tulee aina antaa sekä optimaalinen tavoitefunktion arvo sekä päätösmuuttujien arvot mikäli ei erikseen kysytä vain toista 11

12 Lineaarisen funktion kertaus monen muuttujan tapauksessa Lineaarinen funktio on funktio, joka voidaan esittää summana, joka koostuu vakioista tai vakiolla kerrotuista muuttujista Esimerkkejä lineaarisista ja ei-lineaarisista funktioista - ( ) = + ei ole lineaarinen: sisältää toisen asteen termin -, = ei ole lineaarinen: sisältää toisen asteen termin 3 - (, ) = on lineaarinen -,, =3 + on lineaarinen (f= 9x+y-z) -,, = + + ei ole lineaarinen: termit = ja = ovat lineaarisia (*), mutta termi on epälineaarinen Jos funktio sisältää yhdenkin epälineaarisen muuttujatermin ei se ole enää lineaarinen (*) ja e ovat yllä erikoislukuja eivät muuttujia 12

13 Funktiomerkinnöistä Huomaa, että merkintä,, kertoo, että funktion z muuttujat ovat x, f ja j. Jos lausekkeessa on muita kirjaimia, niin ne ovat parametrejä eivät varsinaisia muuttujia Funktiolle ja muuttujille voidaan käyttää periaatteessa mitä tahansa kirjainsymboleita Usein käytettyjä symboleita funktiolle ovat f, g, h, Perinteisiä muuttujien symboleita ovat x, y, z tai indeksoituina x 1, x 2, x 3, Tietyillä sovellusalueilla voidaan käyttää standardikirjaimia tietyille funktioille esim r=revenue, c=cost, p=profit, Myös tietyissä sovelluksissa on käytössä joitakin standardisymboleita muuttujille t=aika, p=hinta, Lisätietoa esim: https://en.wikipedia.org/wiki/variable_%28mathematics%29 13

14 Lineaarisen optimointiongelman muodostaminen: leipomoesimerkki Leipomo valmistaa sokerikakkuja ja voikakkuja Se saa raaka-aineet läheiseltä maatilalta, joka kykenee toimittamaan sille 24 kiloa sokeria, 28 kiloa voita ja 110 kiloa jauhoja viikossa Sokerikakkuun kuluu kilo sokeria, kilo voita ja kaksi kiloa jauhoja Voikakkuun kuluu puoli kiloa sokeria, kilo voita ja viisi kiloa jauhoja Leipomolle jää yhdestä sokerikakusta voittoa kaksi euroa ja yhdestä voikakusta kolme euroa Kuinka monta sokeri- ja voikakkua leipomon kannattaa valmistaa, kun se tahtoo tehdä mahdollisimman paljon voittoa? 14

15 Leipomoesimerkki: 1. määritetään päätösmuuttujat Tavoitteena etsiä paras sokeri- ja voikakkujen määrää, eli ne ovat päätösmuuttujia Olkoon sokerikakkujen määrä ja voikakkujen määrä Huom: muuttujien symbolit voi valita yleensä ihan itse, ja periaatteessa tässä voi käyttää ihan mitä tahansa symbolia Jos muuttujia olisi enemmän (n kpl), voitaisiin niitä merkitä myös esimerkiksi,,,, Käytettyjen jauhojen ja muiden tarveaineiden määrät seuraavat päätösmuuttujien arvoista 15

16 Leipomoesimerkki: 2. Määritetään tavoitefunktio Tehtävänannossa kerrotaan, että leipomo tahtoo tehdä mahdollisimman paljon voittoa Tavoitteena on siis maksimoida voittofunktiota Tiedetään, että leipomolle jää yhdestä sokerikakusta (x) voittoa kaksi euroa ja yhdestä voikakusta (y) kolme euroa Muodostetaan voittofunktio:, = Voittofunktio on tässä kahden muuttujan funktio, sillä voitto riippuu sekä sokeri- että voikakkujen määrästä x ja y Sokerikakkujen määrän kasvattaminen yhdellä kasvattaa voittofunktiota kahdella ja voikakkujen kolmella 16

17 Leipomoesimerkki: 3. määritetään rajoitusehdot Raaka-aineiden saatavuus rajoittaa tuotettavia kakkumääriä Käytettävissä on enintään 24 kiloa sokeria, jota kuluu kilo sokerikakkuun (x) ja puoli kiloa voikakkuun (y): Käytettävissä on enintään 28 kiloa voita, jota kuluu kilo sokerikakkuun (x) ja kilo voikakkuun (y): + 28 Käytettävissä on enintään 110 kiloa jauhoja, joita kuluu kaksi kiloa sokerikakkuun (x) ja viisi kiloa voikakkuun (y): Triviaalisti selvää, että kakkuja ei voida tuottaa negatiivisia määriä: 0,y 0 17

18 Leipomoesimerkki: lopullinen LP-ongelma max = Tämän voi edelleen halutessaan pukea yleiseen LP-ongelman muotoon (s.8-9), jossa muuttujavektori on [x, y], c T =[2, 3], b T =[24, 28, 110] ja 1 0,5 matriisi A =

19 LP-ongelman ratkaisu 3 Ratkaisutapaa Päätösmuuttujien määrä, jolle tapa soveltuu Graafinen ratkaisu Laskeminen käsin Tietokoneohjelma (esim. Excel) Kaksi Kaksi (rajoitetusti enemmän) Kaksi tai enemmän Excel-ratkaisujen tekniikka käsitellään Excel-osiossa! 19

20 Graafinen ratkaisutapa Voidaan käyttää, kun päätösmuuttujia on kaksi Kyseinen piste (tai kyseiset pisteet) on optimointiongelman optimiratkaisu 1. Piirretään rajoitusehtojen määräämä käypä alue (usein monikulmio) koordinaatistoon, jonka akseleina ovat päätösmuuttujat 2. Piirretään samaan koordinaatistoon tavoitefunktion eri arvoja edustavia yhdensuuntaisia suoria 3. Valitaan se suora, joka edustaa tavoitefunktion mahdollisimman suurta (tai pientä) arvoa sisältäen samalla vielä ainakin yhden käyvän alueen pisteen käytännössä optimiarvo löytyy melkein aina käyvän alueen jostain nurkasta 20

21 Leipomoesimerkki: Graafinen ratkaisutapa 1/3 - rajoitteet = = 24 Voikakkujen määrä (y) Käypä alue = = 28 = Sokerikakkujen määrä (x) 21

22 Leipomoesimerkki: Graafinen ratkaisutapa 2/3 Yhdensuuntaisia suoria varten ratkaistaan kulmakerroin Esimerkiksi yhtälöstä z=2 + 3 saadaan 3y= 2 + y= + - > Kulmakerroin siis -2/3 (laskeva suora, joka laskee 2 yksikköä pystysuunnassa kolmen yksikön matkalla vaakasuunnassa) Ratkaisussa tarkastellaan suoria, joiden kulmakerroin on -2/3 ja valitaan optimiksi piste, jossa lauseke saa suurimman arvon Lisämateriaali: 22

23 Leipomoesimerkki: Graafinen ratkaisutapa 3/3 Ao kuvaan piirretty esimerkiksi kolme eri suoraa eri tavoitefunktion arvoilla z = = = 30 (10,18) (10,18) on käyvän alueen piste, jossa tavoitefunktio saa suurimman arvonsa =74. Vastaus: Kannattaa leipoa 10 sokerikakkua ja 18 voikakkua. 23

24 Rajoitusehdon sitovuus Voikakkujen määrä (y) = = 24 (10,18) Käypä alue Sokerikakkujen määrä (x) = = 28 =0 Rajoitusehto ei ole sitova, sillä optimipisteessä (10,18) ei käytetä kaikkea mahdollista sokeria: < 24 Rajoitusehto on sitova, sillä optimi-pisteessä (10,18) käytetään kaikki jauhot, eli siinä pätee yhtäsuuruus = 110 Entä ehto: + 28? 24

25 Aiempi HR-ongelma graafisesti Eksperttien lukumäärä (y) Kk=-20/ max Analyytikkojen lukumäärä (x) Vastaus: Kannattaa palkata 10 analyytikkoa eikä yhtään eksperttiä. Voittoa tulee tällöin 200,000 euroa (10,0) = = =

26 Ratkaiseminen laskemalla Voidaan käyttää, kun päätösmuuttujia on kaksi ja käypä alue on monikulmio Piirretään rajoitusehtojen määräämä käypä alue (monikulmio) koordinaatistoon, jonka akseleilla ovat päätösmuuttujat Ratkaistaan monikulmion kärkipisteiden koordinaatit ratkaisemalla kussakin pisteessä leikkaavien suorien yhtälöparit eli ratkaistaan esimerkiksi seuraava ryhmä muuttujien x ja y suhteen - y=ax+b (ensimmäisen suoran yhtälö) - y=cx+d (toisen suoran yhtälö) Lasketaan tavoitefunktion arvo kussakin kärkipisteessä Optimiratkaisu on se kärkipiste, jossa tavoitefunktio saa suurimman (pienimmän) arvonsa Jos tavoitefunktio saa suurimman (pienimmän) arvonsa kahdessa kärkipisteessä, optimiratkaisuja ovat kaikki niitä yhdistävän janan pisteet 26

27 Leipomoesimerkki: Ratkaiseminen laskemalla 1/2 Voikakkujen määrä (y) =0 (0,22) = 24 (10,18) (20,8) (24,0) = = 28 =0 Kärkipisteet: = 110 =0 = 0, = = = 28 = 10, = 18 + = = 24 = 20, = = 24 =0 = 24, =0 Sokerikakkujen määrä (x) 27

28 Leipomoesimerkki: Ratkaiseminen laskemalla Voikakkujen määrä (y) (0,22) (10,18) (20,8) Sokerikakkujen määrä (x) (24,0) Tavoitefunktion z=2x+3y arvo edellä lasketuissa kärkipisteissä (0,22): = = 66 10, 18 : = = 74 20,8 : = = 44 24,0 : = = 48 Vastaus: Kannattaa leipoa 10 sokerikakkua ja 18 voikakkua. Voitto on tällöin 74 euroa. 28

29 Aiempi HR-ongelma laskemalla 1/2 Eksperttien lukumäärä (y) (0,5) max Kärkipisteet: = 500 =0 =0, = Analyytikkojen lukumäärä (x) = 500 =0 = 10, = 0 (10,0) 29

30 Aiempi HR-ongelma laskemalla 2/2 Eksperttien lukumäärä (y) (0,5) max Analyytikkojen lukumäärä (x) Tavoitefunktion arvo kärkipisteissä (0,5): = = ,0 : = = 200 (10,0) Vastaus: Kannattaa palkata 10 analyytikkoa eikä yhtään eksperttiä. Voittoa tulee tällöin 200,000 euroa 30

31 Tehtävä 1: Muodosta ja ratkaise puutehtaan optimointiongelma Puutuotteisiin erikoistunut tehdas tuottaa kahta tuotetta: pesäpallomailoja ja puukenkiä Voitto yhdestä pesäpallomailasta on 10 euroa. Voitto yhdestä kenkäparista on niinikään 10 euroa Valmistuksessa käytetään hionta- ja taivutuskonetta ja yhden pesäpallomailan valmistaminen vaatii 6 minuuttia taivutusta ja 18 minuuttia hiontaa kun taasen kenkäparin valmistaminen vaatii 12 minuuttia taivutusta ja 24 minuuttia hiontaa Taivutuskonetta on mahdollista käyttää 44 tuntia kuukaudessa. Hiontakone on käytettävissä 122 tuntia kuukaudessa. Kuinka monta pesäpallomailaa ja kuinka monta kenkäparia yrityksen kannattaa tuottaa, kun se haluaa maksimoida voiton? 31

32 Ratkaisu: puutehtaan optimointiongelma Resurssikulutus t/h Mailat: 6/18 min Kengät:12/24 a=mailat b=kengät Graafinen: ratkaistaan kulmakerroin, piirretään ja valitaan Max z=10a+10b 0.1a+0.2b 44 (taivutus) 0.3a+0.4b 122 (hionta) a 0, b 0 (triviaalit rajoitteet) Laskemalla: Määritetään kärkipisteet ja käydään kaikki läpi Maksimituotto= 4066,66 32

33 Tehtävä 2: Muodosta ja ratkaise lihantuottajan optimointiongelma Tuottajalla on kaksi tuotantolinjaa L1 ja L2, jotka voivat olla toiminnassa 7 päivää viikossa. Tuotannosta saadaan kolmea erilaatuista tuotetta (high, medium ja low) ja tuottaja on luvannut tuottaa viikossa vähintään 120, 80 ja 240 yksikköä em. laatuja em. järjestyksessä. Tuotanto linjastolla L1 maksaa päivässä ja se tuottaa 60/20/40 yksikköä tuotteita em. laaduista. Vastaavasti linjaston L2 kustannukset ovat päivässä ja tuotanto on 20/20/120. Miten tuotanto tulee toteuttaa, jotta kustannukset olisivat minimissä? 33

34 Ratkaisu: tuottajan optimointiongelma 1/3 Merkitään, että x 1 =linjaston L1 käyttöpäivät ja x 2 =linjaston käyttöpäivät Tavoitteena minimoidaan kustannuksia: x 1 *40000+x 2 *32000 Reunaehdot: 60x x (tuotetaan vähintään 120 yksikköä high-laatua) 20x x 2 80 (tuotetaan vähintään 80 yksikköä medium-laatua) 40x x (tuotetaan vähintään 120 yksikköä low-laatua) x 1 0, x 2 0 (tuotantopäivät triviaalisti ei-negatiivisia) Lisäksi voimassa triviaalisti tehtävänannon mukaan x 1 7 x

35 Ratkaisu: tuottajan optimointiongelma 2/3 Lasketaan käyvän alueen kärkipisteet (graafinen ratkaisu) 60x x x x x x x 1 0 x 2 0 x 1 7 x 2 7 Saadaan pisteet alkaen oik. ylänurkasta (7,7), (7,0), (6,0),(3,1),(1,3),(0,6),(7,0) x 2 Käypä joukko x 1 35

36 Ratkaisu: tuottajan optimointiongelma 3/3 Lasketaan kohdefunktion z= x 1 * x 2 * arvot käyvän alueen kärkipisteissä Kärkipiste (x 1,x 2 ) z=x 1 * x 2 * (7,7) z=7* *32 000= (7,0) z=7* *32 000= (6,0) z=6* *32 000= (3,1) z=3* *32 000= (1,3) z=1* *32 000= =min (0,6) z=0* *32 000= (0,7) z=0* *32 000= Vastaus: pidetään L1 auki yhden päivän ja L2 kolme päivää jota vastaava minimikustannus on

37 Kokonaislukuoptimointi LP-tapauksessa Muutoin vastaava tilanne kuin tavallisessa LP-ongelmassa, mutta ylimääräinen vaatimus, että muuttujien arvot oltava kokonaislukuja Optimiratkaisu ei välttämättä ole jatkuvan ratkaisun (*) vieressä oleva kokonaislukuratkaisu vaan se voi olla ihan toisaalla Kokonaislukuoptimointi tyypillinen tilanne jossa yksiköitä ei voida pilkkoa osiin. Mitä esimerkkejä keksit? Myöhemmillä kursseilla ehkä enemmän kokonaislukuoptimointia Excelin Solverissa helppo tehdä vaatimus kokonaislukuoptimoinnista (*) Jatkuva ratkaisu tarkoittaa LP-ongelmaa, joka on muuten vastaava kuin kokonaislukurajoitettu ongelma, mutta ilman kokonaislukurajoitetta 37

38 Kysymyksiä itselle Miten kuvailisit LP-ongelman käyvän alueen muotoa? Miten sen muoto voi poiketa ei-lp ongelmasta? Miten rajoitusehtojen lukumäärä vaikuttaa LP-ongelman parhaaseen ratkaisutapaan (graafinen, laskemalla, Excelillä) Milloin LP-ongelmalla on äärettömän monta ratkaisua kahden muuttujan tapauksessa? Mieti esimerkiksi HR-ongelmassa ekspertin tuottoa 40k /v. Mitä ovat triviaalirajoitteet eli ne muuttujien rajoitteet, jotka yleensä unohtuvat ongelman matemaattisesta määrittelystä? Miten kokonaislukuoptimointi eroaa jatkuvasta optimoinnista? Miten määrittelisit kokonaislukuoptimoinnin käyvän joukon? Voidaanko ei-kokonaislukuongelmasta saada ratkaisuksi kokonaislukuarvoinen ratkaisu? Mitä tarkoitetaan rajoitteen sitovuudella? Voiko kaikki rajoitteet olla sitovia? Voiko kaikki rajoitteet olla ei-sitovia? 38

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

Lineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen

Lineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen Lineaarisen ohjelman määritelmä Joonas Vanninen Sisältö Yleinen optimointitehtävä Kombinatorinen tehtävä Optimointiongelman tapaus Naapurusto Paikallinen ja globaali optimi Konveksi optimointitehtävä Lineaarinen

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 Risto Silvennoinen Tampereen teknillinen yliopisto, kevät 2004 1. Peruskäsitteet Optimointiteoria on sovelletun matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan funktioiden

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

6.1 Lineaarinen optimointi

6.1 Lineaarinen optimointi 6.1 Lineaarinen optimointi Suora a + b + c = 0 jakaa -tason kahteen puolitasoon. Tason jokainen piste, joka on suoralla, toteuttaa suoran htälön ja kääntäen. Jos siis tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Työvuorosuunnittelun optimointi (valmiin työn esittely)

Työvuorosuunnittelun optimointi (valmiin työn esittely) Työvuorosuunnittelun optimointi (valmiin työn esittely) Pekka Alli 1.12.2015 Ohjaaja: Tuuli Haahtela Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta

Lisätiedot

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5)

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen

Lisätiedot

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS 1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 2, viikko 3

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 2, viikko 3 Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 2, viikko 3 Tehtävä 1.Tarkastellaan opiskelijaa, jolla opiskelun ohella jää 8 tuntia päivässä käytettäväksi työntekoon ja vapaa-aikaan. Olkoot hänen

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasan yliopisto, kvät 206 Talousmatmatiikan prustt, ORMS030 3. harjoitus, viio 5. 5.2.206 Malliratkaisut. Yrityksn rään tuotlinjan kysyntäfunktio on p 20 0.030 ja vastaava kustannusfunktio on C 0.02 2

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016. VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016. VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja 811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016 VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja Sisältö 1. Hajota ja hallitse-menetelmä 2. Dynaaminen taulukointi 3. Ahneet algoritmit 4. Peruuttavat algoritmit 811312A

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10 Harjoitukset 3 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. a) Autonrenkaita valmistavalla yhtiöllä on 100 000 :n kiinteät kustannukset vuodessa. Kun yritys tuottaa 10 000 rengasta,

Lisätiedot

INFO / Matemaattinen Analyysi, k2016, L0

INFO / Matemaattinen Analyysi, k2016, L0 INFO / Matemaattinen Analyysi, k2016, L0 orms1010, Aikataulu 1 kevät 2016 ORMS1010 Matemaattinen analyysi, luennot Ke 14-16 Viikot 09-10 salissa F119 Ke 14-16 Viikot 11 salissa F140 Ke 14-16 Viikot 13-18

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

KA 1 2009, tentti 14.10. 2009 (mikrotaloustieteen osuus), luennoitsija Mai Allo

KA 1 2009, tentti 14.10. 2009 (mikrotaloustieteen osuus), luennoitsija Mai Allo 1 KA 1 2009, tentti 14.10. 2009 (mikrotaloustieteen osuus), luennoitsija Mai Allo ÄLÄ IRROTA PAPEREITA TOISISTAAN! Ohjeet: Tenttikysymyksiä on kuusi (+ jokeri ohjeineen viimeisellä sivulla). Valitse tenttikysymyksistä

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011

T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee

Lisätiedot

OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020

OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 VAASAN YLIOPISTO Talousmatematiikka Prof. Ilkka Virtanen OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 Tentti 2.2.2008 1. Yrityksen tavoitteena on minimoida tuotannosta ja varastoinnista aiheutuvat kustannukset 4 viikon

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat

Lisätiedot

Luku 4 Yhtälönratkaisun harjoittelua

Luku 4 Yhtälönratkaisun harjoittelua Luku 4 Yhtälönratkaisun harjoittelua 4.1. Yhtälönratkaisu tehtäviä Tehtävä 4.1.1 Ratkaise yhtälöistä tuntematon muuttuja käyttäen oppimiasi muunnoksia. Valitse sarja. Sarja 1) 6 5 37 = 0 Kun eräs luku

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää.

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. .. Markkinakysyntä ja joustot a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. Markkinoiden kysyntäkäyrä saadaan laskemalla

Lisätiedot

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin

Lisätiedot

Reiluus. Maxmin-reiluus. Tärkeä näkökohta best effort -tyyppisissä palveluissa. Reiluuden maxmin-määritelmä

Reiluus. Maxmin-reiluus. Tärkeä näkökohta best effort -tyyppisissä palveluissa. Reiluuden maxmin-määritelmä J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / Reiluus 1 Reiluus Maxmin-reiluus Tärkeä näkökohta best effort -tyyppisissä palveluissa kenellekään ei anneta kvantitatiivisia QoS-takuita kaikkien pitää saada palvelua

Lisätiedot

* Hyödyn maksimointi on ihmisten toimintaa ja valintoja ohjaava periaate.

* Hyödyn maksimointi on ihmisten toimintaa ja valintoja ohjaava periaate. KANSANTALOUSTIETEEN PERUSTEET Yrityksen teoria (Economics luvut 13-14) 14) KTT Petri Kuosmanen Optimointiperiaate a) Yksilöt pyrkivät maksimoimaan hyötynsä. * Hyödyn maksimointi on ihmisten toimintaa ja

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA MIKROTEORIA, HARJOITUS BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA tilasto (600 00) 00 a. Kulmakerroin: = = =, koska 00 sivua lisää ta aiheuttaa (00 400) 00 luopumisen 00 sivusta tilastoa. Toisin

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Integraalilaskenta 9 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Tamprn ksäyliopisto, 2015-2016 Talousmatmatiikan prustt, ORMS1030 1. väliko, (ti 15.12.2015) Ratkais 3 thtävää. Kokssa saa olla mukana laskin (myös graafinn laskin on sallittu) ja taulukkokirja (MAOL tai

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkien avulla yhtälöryhmän ratkaisemista käyttäen Gaussin eliminointimenetelmää.

Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkien avulla yhtälöryhmän ratkaisemista käyttäen Gaussin eliminointimenetelmää. Yhtälörhmä Lineaarisen htälörhmän alkeisoperaatiot ovat ) kahden htälön järjestksen vaihto ) htälön kertominen puolittain nollasta eroavalla luvulla ja ) luvulla puolittain kerrotun htälön lisääminen johonkin

Lisätiedot

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).

Lisätiedot