YLIVUOTOLIIKENNE Ylivuotoliikenne menetysjärjestelmässä

Transkriptio

1 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 1 YLIVUOTOLIIKENNE Ylivuotoliikenne menetysjärjestelmässä Trkstelln piirikytkentäistä verkko, jok toimii menetysjärjestelmän tvoin (kutsut eivät jää odottmn). Järjestelmään trjotn poissonist liikennettä intensiteetillä λ. Yhteyksien pitojt ovt eksponentilisesti jkutuneit prmetrill µ. Trjottu liikenneintensiteetti on = λ/µ. Järjestelmä muodostuu khdest osst: - primääriryhmä: m 1 plvelint - sekundääriryhmä: m 2 plvelint sekundääriryhmä m2 plvelint primääriryhmä m1 plvelint α ylivuotoliikenteen intensiteetti = λ / µ trjotun liikenteen intensiteetti Järjestelmään tulev liikenne trjotn ensi sijss primääriryhmään. Vin jos kikki primääriryhmän plvelimet ovt vrttuj, spuv kutsu ohjtn sekundääriryhmään, tällä tvll primääriryhmästä sekundääriryhmään ohjttu liikennettä kutsutn ylivuotoliikenteeksi; merkitään sen intensiteettiä α:ll. Jos sekundääriryhmässäkin kikki plvelimet ovt vrttuj, spuv kutsu estyy.

2 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 2 Ylivuotoliikenteen liikenneprosessi Primääriryhmä j sekundääriryhmä yhdessä muodostvt m 1 + m 2 plvelimen menetysjärjestelmän (Erlngin järjestelmä; M/M/m/m-jono, missä m = m 1 + m 2 ). Primääriryhmä yksinään muodost m 1 plvelimen menetysjärjestelmän (m = m 1 ). Järjestelmän kpsiteetin m 1 + m 2 jko khteen osn ei vikut koko järjestelmän käyttäytymiseen (esto on sm kuin m 1 + m 2 plvelimen menetysjärjestelmässä). Järjestelmän johdot voidn jtell numeroiduiksi. Spuv kutsu otetn kuljetettvksi limmn numeron omvn vpseen johtoon. N 1 N (t) 2 m 2 N (t) 1 m 1 N = N 1 + N 2 N 2 = N N 1 ktkistu (m 1 ) Poisson-jkum ktkistu (m 1 + m 2 ) Poisson-jk. sekundääriryhmän miehitys Huom. Vikk N j N 1 ovt erikseen insensitiivejä (riippumttomi pitojn jkumst), niin N 2 :n jkum ei ole insensitiivi. Ylivuotoliikennettä syntyy inostn silloin, kun primääriryhmä on estotilss. Primääriryhmän estojksot muodostvt ikikkunoit, joiden ikn spuv Poisson liikenne ohjutuu sekundääriryhmään. Ylivuotoliikenteen spumisprosessi on ns. ktkottu Poisson-prosessi (IPP, Interrupted Poisson Process).

3 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 3 Ylivuotoliikenteen esto Ylivuotoliikenne α (primääriryhmässä estynyt liikenne) m 2 α = E(m 1, ) missä E(m, ) on Erlngin estofunktio. α l α c α m 1 +m 2 Lopult estynyt liikenne α l = l (sekundääriryhmässä estynyt liikenne) m 1 l = E(m 1 + m 2, ) l c Ylivuotoliikenteen (kutsu)esto B 2 = E(m 1 + m 2, ) E(m 1, ) B 2 = E(m 1 + m 2, ) E(m 1, ) Voidn osoitt, että B 2 > E(m 2, α) Ylivuotoliikenteen kokem esto on suurempi kuin, mitä olisi vstvn liikenneintensiteetin omvn Poisson-liikenteen esto m 2 :n johdon sekundääriryhmässä. Tämä johtuu siitä, että IPP-liikenne on purskeisemp kuin tvllinen Poisson-liikenne.

4 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 4 Ylivuotoliikenteen esto (jtko) Esimerkki Oletetn, että trjotun liikenteen intensiteetti on = 5 erl. Primääri- j sekundääriryhmien koot: m 1 = 5 j m 2 = 1 ylivuotoliikenne α = 5 E(5, 5) = = 1.42 lopult estynyt liikenne l = 5 E(6, 5) = = 0.96 ylivuotoliikenteen esto B 2 = l α esto Poisson-liikenteellä E(1, 1.42) = 0.59 = E(6, 5) E(5, 5) = 0.67

5 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 5 Ylivuotoliikenteen piikikkyys Joskus on hyödyllistä krkterisoid spuv liikenneprosessi kertomll, millisen miehitysjkumn se sisi ikn äärettömän suuress johtoryhmässä. Ylivuotoliikenteen krkterisoimiseksi tällä tvll oletetn nyt, että sekundääriryhmä on ääretön, m 2 =. Tällöin kikki ylivuotnut liikenne kuljetetn sekundääriryhmässä j pätee E[N 2 ] = E(m 1, ) = α Myös N 2 :n vrinssi tässä tpuksess voidn lske. Johto on verrten monimutkinen. Tulos tunnetn Riordnin kvn: V[N 2 ] = α ( 1 α + ) m α Miehityksen vrinssin j odotusrvon suhdett kutsutn piikikkyystekijäksi. (Poisson-spumisprosessin tpuksess miehitysjkum on Poisson()-jkum, jonk piikikkyys on 1.) z = V[N 2] E[N 2 ] = 1 α + m α missä α = E(m 1, )

6 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 6 Ylivuotoliikenteen piikikkyys (jtko) Piikikkyystekijä on m 1 :n j :n funktio, z = z(m 1, ). Kun pidetään kiinteänä j m 1 vihtelee - luksi pienillä m 1 :n rvoill z 1 (koko Poisson-liikenne vuot yli) - sitten z svutt mksimin (kun m 1 ) - lopult hyvin suurill m 1 :n rvoill z 1 (ylivuodot hrvinisi yksittäisiä tphtumi) 7 6 =100 5 pekedness z =5 =10 =20 = number of servers m

7 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 7 Esimerkki ylivuotoliikenteestä Viereisessä kuvss nähdään trjotun liikenteen käyttäytyminen viiden vuorokuden jlt Alloleviss kuviss nähdään sm liikenne 60 plvelimen primääriryhmässä sekä ylivuotoliikenne. Primääriryhmän liikenne on tsisemp (leikkutunut) kuin trjottu liikenne, kun ts ylivuotoliikenne on piikikkäämpää kuin trjottu liikenne. Lähde: A. Myskj, Telektronikk 2/3 (1995).

8 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 8 Hywrdin pproksimtio Hywrdin pproksimtio on likimääräinen menetelmä eston lskemiseksi ei-poissoniselle liikenteelle (esim. ylivuotoliikenne). Lähtökohtn on hvinto, että poissonisen liikenteen miehitykselle N äärettömässä plvelinsysteemissä pätee: E[N] = V[N] = N Poisson() Sen sijn ei-poissonisell liikenteellä on yleensä V[N] =E[N]. Pyrkimyksenä Hywrdin pproksimtioss on kuvt ei-poissonist liikennettä ekvivlentill poissonisell liikenteellä j sovelt tämän jälkeen Erlngin kv eston lskentn. Ide on siinä, että lukumäärämiehityksen N sijst trkstelln vrtun kistn R käyttäytymistä. Olkoon c = yhden yhteyden vtim kist (johtojen määrä) R = N c = miehitystilss N vrttu kist

9 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 9 Hywrdin pproksimtio (jtko) Poissoniselle liikenteelle pätee E[R] = E[c N] = c V[R] = V[c N] = c 2 V[R] E[R] = c Olkoon nnettun ei-poissoninen lähde, joll miehityksen keskirvo j vrinssi tunnetn E[N] = V[N] = v E[R] = c V[R] = c 2 v Korvtn tämä nyt poissonisell liikenteellä = liikenteen intensiteetti c = yhden yhteyden vtim kist siten, että otetun kistn keskirvo j vrinssi ovt smt sekä todellisell liikenteellä että mlliliikenteellä: R c t R' c' t E[R] = E[R ], V[R] = V[R ] Vrsininen ide on siis siinä, että ekvivlentill Poisson-liikenteellä myös yhden yhteyden kist on otettu vpksi prmetriksi. Yksi kuvitteellinen ekvivlentin liikenteen yhteys stt siten vti esim. 1.6 johto.

10 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 10 Hywrdin pproksimtio (jtko) Momenttien yhtäsuuruusvtimuksest seurvt ehdot mllin prmetreille j c c = c c 2 = v c 2 c = 2 v = c v ekvivlentti intensiteetti ekvivlentti kist Vstvsti modifioidn systeemin koko. Jos systeemissä on lunperin m johto eli kist on m c kpsiteettiyksikköä, niin siihen mhtuu m c/c ekvivlentti yhteyttä. Siten ekvivlentiss systeemissä on m johto: m = m c c = m v Nyt pproksimoidn esto ekvivlentin poissonisen liikenteen estoll B E(m, ) = E(m v, 2 v ) = E(m z, z ) Hywrdin pproksimtio missä z = v/ Kuorm plvelint kohti pysyy smn: (/z)/(m/z) = /m. Kun z > 1, systeemi pienenee esto ksv.

11 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 11 Hywrdin pproksimtio (jtko) Ei-poissoninen liikenne voi oll peräisin usest riippumttomst lähteestä. Jos jokiselle erikseen tunnetn miehityksen keskirvo i j vrinssi v i, niin kokonisliikenteen vstvt prmetrit ovt = i v = i i v i Hywrdin pproksimtio kertoo tällöin likimäärin kokonisliikennevirrn eston järjestelmässä, joss on m johto, B E(m v, 2 v ) = E(m z, z ) missä z = v/ Sen sijn jää määräämättä, miten tämä esto jkutuu eri komponenttien kesken.

12 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 12 ERT-menetelmä (Equivlent Rndom Theory) ERT-menetelmä tunnetn myös nimellä Wilkinsonin menetelmä. Tämä on toinen likimääräismenetelmä eston lskemiseksi ei-poissonisell liikenteellä. Trjottu liikennettä kuvvt = liikenteen intensiteetti = keskimääräinen miehitys äärettömässä systeemissä v = miehityksen vrinssi äärettömässä systeemissä Usen riippumttomn komponenttivirrn tpuksess on = i i, v = i v i ERT-menetelmässä iden on kuvitell liikenteen (, v) syntyneen ylivuotoliikenteenä fiktiivisestä knvst = trjottu liikenne m = plvelimien (johtojen) lkm fiktiivisessä järjestelmässä * 1 2 m*, v j m määrätään siten, että fiktiivisen knvn ylivuotoliikenteen intensiteetti on j vrinssi v.

13 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 13 ERT-menetelmä (jtko) Momenttien sovittmisehdot ovt (ylivuotoliikenteen vrinssi sdn Riordnin kvst) = E(m, ) v = ( ), m 1 + m Jos knvss, johon ei-poissoninen liikenne trjotn, on m johto, voidn lopult ylivuotneen liikenteen intensiteetti l lske, v 1 2 m l l = E(m + m, ) Arvio liikenne-estolle on vstvsti B = l * 1 2 m*

14 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 14 ERT-menetelmä (jtko) Yhtälöprin rtkisu joudutn etsimään numeerisesti. Lisäongelmn on, että yleensä rtkisu ei löydy millään kokonilukurvoll m. Joudutn joko käyttämään lisäpproksimtioit ti ljentmn Erlngin estofunktion määritelmä kikille reliluvuille. Tämä onkin mhdollist tehdä: E(m, ) = m e Γ(m + 1, ) missä nimittäjässä esiintyy epätäydellinen gmmfunktio Γ(m + 1, ) = t m e t dt Osittisintegroinnin vull voidn näyttää, että m:n olless kokonisluku pätee Γ(m + 1, ) = jolloin kv plutuu tuttuun muotoon E(m, ) = t m e t dt = m!e ( 1 + 1! + + m ) m! m m! 1 + 1! + + m m!

15 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 15 ERT-menetelmä (jtko) Rtkisuss voidn käyttää myös likirvokvoj. Erään tällisen on esittänyt Rpp (1964) = v + 3z(z 1) missä z = v/ m = ( + z) + z 1 1 (tämä on ekskti reltio; pproksimtio on :n rvoss) Approksimtio ei ole trkk, jos on pieni j z on suuri.

16 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 16 ERT-menetelmä (jtko) ERT-menetelmän prmetrit Yhtälöprist rtkistut ERT-mentelmän mukisen mllisysteemin prmetrit m (lempi käyrä) j (ylempi käyrä) on esitetty viereisessä kuvss, kun mllinnettvll liikenteellä on = 10 j piikikkyys z = v/ vihtelee välillä z = Rtkisuss on käytetty trkk Erlngin funktion ljennust relilukuisille johtojen lukumäärille. m* nd * ERT prmeters with =10 nd z= Hywrdin j ERT-menetelmien vertilu Viereisessä kuvss on lskettu esto liikenteelle, joll = 10 j z = j jok trjotn m = 15 johdon systeemiin. Lskent on tehty sekä Hywrdin menetelmällä j ERT-menetelmällä. Tässä tpuksess tulokset ovt lähellä toisin. Ei void sno, kumpi on oike. Liikenteen kokem esto riippuu todellisuudess muustkin kuin vin prmetreist j v = z (j m). Pelkästään näiden prmetrien vull oiket tulost ei tiedetä. esto pekedness z Hywrd (lempi), ERT (ylempi); =10, m=15 j z= piikikkyys z

17 J. Virtmo Teleliikenneteori / Ylivuotoliikenne 17 ERT-menetelmä (yhteenveto) todellinen järjestelmä mllijärjestelmä m m, v 1 1, v 2 2, v K K, v m 1 m 2 m K m* A 1 A 2 A K * Yhdistetty ylivuotoliikenne käsitellään ikään kuin se olisi peräisin yhdestä knvst. Etsitään j m siten, että mllijärjestelmän ylivuotoliikenteellä on oike j v, missä = i, v = v i. i i Ylivuotoknvn esto on E(m + m, ) ; kokonisesto E(m + m, ) i A i