Sisältö. Piirikytkentäisen verkon malli (2) Piirikytkentäisen verkon mallinnus estoverkkona Pakettikytkentäisen verkon mallinnus jonoverkkona

Transkriptio

1 0. Verkkotson mllej Sisältö Piirikytkentäisen verkon mllinnus estoverkkon Pkettikytkentäisen verkon mllinnus jonoverkkon 0. Verkkotson mllej luento0.ppt S-8. Liikenneteorin perusteet Kevät Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej Piirikytkentäisen verkon mlli () Piirikytkentäisen verkon mlli () Trkstelln piirikytkentäistä verkko (esim. puhelinverkko) Liikenne: sikkit ovt spuvt yhteyspyynnöt. Liikenne muodostuu järjestelmään päässeistä kutsuist (puheluist), jotk vrvt yhden knvn per linkki. Järjestelmä: päätelitteet (puhelimet) niitä verkkoon yhdistävät linkit (tiljjohdot) verkon solmut (keskukset) niiden väliset linkit (keskusten väliset yhdysjohdot) Plvelun ltu: Plvelun ltu kuv tn, joll hluttu yhteyttä ei pystytä muodostmn (verkon rjllisist resursseist johtuen). Tätä snotn päästä-päähän estoksi (end-to-end locking). Mlliss oletetn, että kikki verkon solmut j koko liityntäverkko ovt estottomi Näin ollen, kutsu estyy täsmälleen silloin, kun kutsun spuess vähintään yksi kutsun reittiin kuuluv runkoverkon linkki on täysi (so. kikki knvt vrttuin)

2 0. Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej Linkit j,,j Reitit r,,r Mlliss oletetn, että kikki linkit ovt kksisuuntisi (miksi?) Merk. J:llä runkoverkon linkkien lkm:ää, j indeksoidn niitä j:llä: j,, J kuvss: J Merk. n j :llä linkin j kpsiteetti (rinnkkisten knvien lkm) n (n,,n J ) Yksittäiset linkit mllinnetn puhtin menetysjärjestelminä Määritellään reitti joukoksi peräkkäisiä linkkejä, jotk yhdistävät kksi runkoverkon solmu toisiins. Merk. R:llä eri reittien lkm:ää, j indeksoidn niitä r:llä: r,, R Kuvss: R 0 7 solmujen j välillä on kolme eri reittiä: {,}, {,}, {,,} Merk. d jr, jos linkki j kuuluu reitille r (muuten d jr 0) D (d jr j,, J; r,,r) 0. Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej Yhteysluokt Til-vruus Hvinto: Kikki sm reittiä noudttvt yhteydet kokevt smn päästäpäähän eston Reitti siis määrää yhteyspyynnön luokn (clss) kuvss oikell käyttäjien j välinen yhteys kuuluu reittiä {,} vstvn luokkn Merkitään x r :llä reittiä r noudttvien yhteyksien lkm:ää x (x,,x R ) Vektori x kutsutn verkon tilksi (stte) Reitillä olevien linkkien kpsiteetti sett seurvn ylärjn yhtikisten yhteyksien lkm:lle: Sm vektorimuodoss: R d jr xr n j r D x n kikill j Mhdollisten tilojen joukko eli til-vruus S (stte spce) on siten S { x 0 D x n} Huom. Til-vruus on R-ulotteinen j äärellinen (miksi?) 7 8

3 0. Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej Esimerkki Luokkkohtiset estottomt tilt S r linkkiä kpsiteetein: linkki -c: knv linkki -c: knv linkki c-d: knv reittiä: reitti -c-d reitti -c-d muut reittiä (mitkä?) sivuutetn tässä esimerkissä Til-vruus: S {(0,0),(0,),(0,),(0,), (,0),(,),(,),(,), (,0),(,),(,), (,0),(,)} c x 0 0 x x 0 x 0 d S Trkstelln luokkn r kuuluv (so. reitille r trjottu) yhteyspyyntöä Se ei esty, jos kikill ko. reitin vrrell olevill linkeillä j on inkin yksi vp knv: R d jr' xr' n j kikill j r r' Sm vektorimuodoss (e r on yksikkövektori suuntn r): D ( x er ) n Luokn r estottomien tilojen joukko S r (non-locking sttes) on siten S r { x 0 D ( x er ) n} Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej Luokkkohtiset estotilt S r Estoverkko Luokn r estotilojen joukko S r (locking sttes) on selvästikin: S r S \ Sr Jos siis systeemi on josskin näistä estotiloist uuden, luokkn r kuuluvn yhteyspyynnön spuess, ko. yhteyspyyntö estyy eikä yhteyttä synny. Esimerkki (jtko): Luokn (siis reittiä -c-d käyttävien) kutsujen estotilt S on merkitty kuvn. S { (,),(,),(,),(,0)} x 0 c 0 x d Oletetn, että kullekin reitille r tulee uusi yhteyspyyntöjä (muist reiteistä riippumttomn) Poisson-prosessin mukisesti intensiteetillä λ r kikkien yhteyksien pitojt ovt riippumttomi j smoin jkutuneit keskirvonn h Merkitään r :llä luokn r liikenneintensiteettiä: r λ r h

4 0. Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej Tspinojkum () Tspinojkum () Tällöin voidn osoitt, että tiln x S todennäköisyys π(x) on tspinotilnteess R π (x) r G f r ( x r ) missä G on ns. normeerusvkio (normlizing constnt) G R f r ( x r ) x S r j funktiot f r (x r ) määritellään kvll x r f ( ) r r xr xr! Tiltodennäköisyyttä π(x) snotn tulomuotoiseksi (product-form) Kyseessä ei kuitenkn ole eri luokkiin kuuluvien yhteyksien lkm:ien riippumttomuus, vn niitä sitoo normeerusvkio G (jok puolestn riippuu yhtik kikkien luokkien tiloist). Perimmäinen syy eri luokkien riippuvuuksille on äärellisten resurssien jkminen. Jos resurssit olisivt äärettömät (ts. kikill linkeillä olisi riittävästi kpsiteetti), eri luokt olisivt toisistn riippumttomi. 0. Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej PST Päästä-päähän eston lskent: trkk kv Trkstelln, hetken jn, mitä thns yksinkertist liikenneteoreettist mlli, johon sikkt spuvt Poisson-prosessin mukisesti Niin snotun PST-ominisuuden (Poisson rrivls See Time verges) mukn, spuvt sikkt (jotk siis noudttvt Poisson-prosessi) näkevät systeemin tspinotilnteess Tämä on tärkeä hvinto sovellettviss moness tilnteess Sitä voidn esimerkiksi käyttää päästä-päähän eston lskemiseen edellä esitetyssä piirikytkentäisen verkon mlliss, joss oletettiin uusien kutsujen spuvn Poisson-prosessin mukisesti Todennäköisyys, että systeemi on (tspinotilnteess) luokkn r liittyvässä estotilss on selvästikin π (x) x Sr Tällist tn:ttä snotn luokn r päästä-päähän ikestoksi (time locking). PST-ominisuuden nojll ts voidn päätellä, että luokkn r kuuluvien yhteyksien kokem päästä-päähän kutsuesto (cll locking) sdn täsmälleen smll kvll: r π (x) x S r Huom. Tässä tilnteess siis päästä-päähän ik- j kutsuestot ovt smoj, j voidn lyhyesti puhu päästä-päähän estost.

5 0. Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej Esimerkki Likimääräisiä menetelmiä Jtketn klvoill 9 j esitetyn esimerkin trkstelu Luokn päästä-päähän estoksi tulee π (,) π (,) π (,0) π (,)!!!!!!!!!!!!!!!!!! 7 Käytännössä edellä esitetyn trkn kvn soveltminen on äärimmäisen vike, jop mhdotont, sillä verkon ksvess til-vruus S suorstn räjähtää selitys: jokinen uusi reittivihtoehto tuo til-vruuteen uuden ulottuvuuden til-vruus ksv eksponentilist vuhti Sen vuoksi onkin kehitetty erilisi likimääräisiä menetelmiä päästäpäähän eston lskemiseksi, esim. yksinkertinen tulorjmenetelmä (product ound) monimutkisempi vähennetyn kuormn menetelmä (reduced lod pproximtion) eli kiintopistemenetelmä (Erlngfixed point pproximtion) Kummsskin menetelmässä pyritään ensin rvioimn linkkikohtiset estot (jotk ovt smoj kikille smss linkissä kulkeville yhteysluokille) j sen jälkeen päästä-päähän estot oletten, että yhteyden estyminen tphtuu eri linkeissä toisistn riippumtt Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej Tulorjmenetelmä () Tulorjmenetelmä () Trkstelln ensin esto ( yksittäisessä linkissä j Merkitään R(:llä niiden reittien r joukko, jotk kulkevt linkin j kutt Jos verkon kikkien muiden linkkien kpsiteetti olisi ääretön, ko. linkki voitisiin mllint puhtn estojärjestelmänä, johon spuu sikkit Poisson-prosessin mukisesti intensiteetillä λ(, missä λ ( λ r r R( Tässä tpuksess esto voitisiin lske Erlngin kvst: ( Erl( n j, r ) r R( rvioidn sitten luokn r kokem päästä-päähän esto r Merkitään J(r):llä niiden linkkien joukko, joitten kutt reitti r kulkee Huom. luokkn r kuuluv spuv kutsu estyy täsmälleen silloin, kun se estyy yhdessäkin linkissä j J(r) Jos eri linkit iheuttisivt esto toisistn riippumtt (mikä myöskään ei inkn trkkn otten voi pitää pikkns), luokkn r kuuluv spuv kutsu estyisi todennäköisyydellä r j J ( r ) ( ( ) Huom. Jos (:t ovt pieniä, voimme käyttää summkv: Kyseessä on tosin pproksimtio, sillä todellisuudess linkille j trjottu liikenne tulee muiden linkkien iheuttmien estojen vuoksi olemn tätä pienempi (eikä edes Poisson-tyyppistä). 9 r j J ( r ) ( 0

6 0. Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej Sisältö Pkettikytkentäisen verkon mlli () Piirikytkentäisen verkon mllinnus estoverkkon Pkettikytkentäisen verkon mllinnus jonoverkkon Trkstelln pkettikytkentäistä verkko (esim. Internet-verkon jotin os) pkettitsoll Liikenne: Liikenne muodostuu verkoss liikkuvist pketeist, joill on in lähtöpiste (kuvss: ) j määränpää (kuvss: ). Pketit kilpilevt verkon resursseist jonotusperitteell. Järjestelmä: päätelitteet (verkoss olevt työsemt j plvelimet) niitä verkkoon yhdistävät linkit verkon solmut (reitittimet) niiden väliset linkit 0. Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej Pkettikytkentäisen verkon mlli () Päästä-päähän viiveen komponentit Plvelun ltu: Plvelun ltu kuv pketin kokem keskimääräinen viive. Tätä snotn päästä-päähän viiveeksi (end-to-end dely). Rjoitetn kuitenkin trkstelu runkoverkon iheuttmn viiveeseen kuvss: pketin kokem viive mtkll reitittimen sisääntulost reitittimen ulosmenoon implisiittisesti siis oletetn, että liityntäverkon iheuttm viive (ti oikemmin: viiveenvihtelu) on vähäinen Runkoverkon iheuttm viive jkntuu signlin etenemisviiveeksi (propgtion dely) linkeillä lähetysviiveeksi (trnsmission dely) linkeillä prosessointiviiveiksi (processing dely) solmuiss erilisiksi jonotusviiveiksi (queueingdely) sekä ennen lähetystä että ennen prosessointi Huom. etenemis- j lähetysviiveet ovt deterministisiä prosessointiviiveet ovt (tyypillisesti) stunnisi jonotusviiveet ovt (in) stunnisi Seurvksi esitettävä liikenneteoreettinen mlli huomioi lähetysviiveet sekä lähetykseen liittyvät jonotusviiveet mutt jättää huomioitt etenemisviiveet, prosessointiviiveet sekä prosessointiin liittyvät jonotusviiveet (jälkimmäisten viiveiden huomioonotto vtisi mllin ljennuksen; mieti miten)

7 0. Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej Linkit j,,j Reitit r,,r Mlliss oletetn (toisin kuin piirikytkentäisen verkon tpuksess), että kikki linkit ovt yksisuuntisi (miksi?) Merk. J:llä runkoverkon linkkien lkm:ää, j indeksoidn niitä j:llä: j,, J kuvss: J Merk. C j :llä linkin j kpsiteetti (ps) Määritellään reitti järjestetyksi joukoksi peräkkäisiä linkkejä, jotk yhdistävät kksi runkoverkon solmu (lähteen j määränpään) Merk. R:llä eri reittien lkm:ää, j indeksoidn niitä r:llä: r,, R Kuvss: R ( 0 7 ) solmust on kolme eri reittiä solmuun : (,), (,), (0,8,) näillä reiteillä: solmu on lähde j solmu on määränpää Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej Yksittäisen linkin mlli Pkettien spumisintensiteetit linkeille Yksittäinen linkki mllinnetn yhden plvelijn (n ) puhtn jonotusjärjestelmänä, joss on siis ääretön määrä odotuspikkoj (m ) Merkitään λ j pkettien spumisintensiteetti linkkiä j vstvn jonoon (pketti/s) L keskimääräinen pketin pituus (itteinä) /µ j L/C j keskimääräinen pketin lähetysik linkillä j (s) Stiilisuusvtimus: λ j <µ j Oletetn tunnetuiksi: λ(r) reittiä r noudttvien pkettien spumisintensiteetti (pketti/s) R( linkin j kutt kulkevien reittien joukko nämä reitit selviävät runkoverkon solmujen reititystuluist, jotk kertovt (yleensä pelkästään määränpääosoitteen perusteell), mille linkille mikin pketti seurvksi reititetään Tällöin smme linkkikohtiset spumisintensiteetit kvll λ( r) λ j r R( λ j C j /L 7 8

8 0. Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej Liikenneluokt Til-vruus Reittiä r kulkevn pketin runkoverkoss kokem viive koostuu (yksinkertistetuss mllissmme) reitin vrrell olevien jonojen iheuttmist jonotus- j lähetysviiveistä (niiden summn) Huom. Keskimääräinen päästä-päähän viive on sm kikille sm reittiä noudttville pketeille Reitti siis määrää pketin luokn Merkitään x j :llä jonoss j olevien pkettien lkm:ää (sisältäen mhdollisen lähetyksessä olevn pketin) x (x,,x J ) Vektori x kutsutn systeemin tilksi (stte) Yksityskohtisemp tilkuvust (sisältäen pikk- j luokktiedon kustkin jonoss olevst pketist) ei jäljempänä tehtävien oletusten vuoksi trvit! Kosk x j voi sd mitä thns ei-negtiivisi kokonislukurvoj, til-vruudeksi S tulee S { x 0} Huom. Tässä tpuksess til-vruus on siis ääretön Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej Esimerkki Jonoverkko linkkiä: linkki - linkki -c reittiä: reitti - reitti -c reitti --c Til-vruus: S {(0,0), (,0),(0,), (,0),(,),(0,), (,0),(,),(,),(0,),...} c x 0 x 0 x 0 0 x S Oletetn, että kullekin reitille r generoituu (toisistn riippumtt) uusi pkettej Poissonprosessin mukisesti intensiteetillä λ(r) kikkien pkettien pituudet ovt riippumttomi j eksponentilisesti jkutuneit keskirvonn L Tällöin uusi, linkin j kutt lähettäviä pkettej spuu Poisson-prosessin mukisesti intensiteetillä λ j, missä λ( r) λ j r R( ko. pkettien lähetysjt ovt riippumttomi j eksponentilisesti jkutuneit keskirvonn /µ j L/C j

9 0. Verkkotson mllej 0. Verkkotson mllej Tspinojkum () Tspinojkum () Oletetn lisäksi, että systeemi on stiili: λ j <µ j kikill j pketin siirtyessä jonost toiseen sen pituus rvotn riippumttomsti uudestn em. jkumst ns. Kleinrockin riippumttomuusoletus (independence ssumption) Tällöin voidn osoitt, että tiln x S todennäköisyys π(x) on tspinotilnteess J x π ( x) ( ρ j j ) ρ j j missä ρ j viitt linkin j liikennekuormn: λ j ρ j µ j λ j L < C j Tiltodennäköisyyttä π(x) snotn (jälleen) tulomuotoiseksi Pkettien lkm:t eri jonoiss ovt (jop) toisistn riippumttomi (miksi?) Yksittäiset jonot j käyttäytyvät kuten M/M/ jonosysteemit: pkettien lkm jonoss j noudtt geometrist jkum keskirvoll ρ j X j ρ j 0. Verkkotson mllej Keskimääräinen päästä-päähän viive Trkstelln sitten reittiä r noudttvien pkettien kokem keskimääräistä päästä-päähän viivettä Merk. J(r):llä reittiin r kuuluvien linkkien joukko Littlen kvn nojll keskimääräinen pketin kokem kokonisviive jonoss j (sisältäen sekä jonotus- että lähetysviiveen) tulee olemn X j ρ j T j λ j λ j ρ j µ j ρ j µ j λ j Reittiä r noudttvien pkettien kokemksi keskimääräiseksi päästäpäähän viiveeksi tulee siten T ( r) T j j J ( r ) µ ( j ρ j ) j J ( r ) µ j λ j j J ( r )