Demonstraatiot Luento

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Demonstraatiot Luento"

Karoliina Lattu
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos S-8.45 Liikenneteorian perusteet, Kevät 8 Demonstraatiot Luento 8..8 D/ Tarkastellaan seuraavaa yksinkertaista piirikytkentäistä (runko)verkkoa. Verkossa on kolme solmua a, b ja c, jotka on kytketty peräkkäin ketjuksi kahdella linkillä: a b c. Kummankin linkin kapasiteetti on kanavaa. Verkkoa käyttää kolme eri yhteysluokkaa: Luokka käyttää linkkiä a b Luokka käyttää linkkiä b c Luokka käyttää sekä linkkiä a bettälinkkiä b c (a) Mikä on systeemin tila-avaruus? (b) Entä kunkin luokan estotilat? D/ Jatketaan edellisessä tehtävässä kuvatun piirikytkentäisen verkon tarkastelua. Oletetaan, että eri luokkiin tulee uusia yhteyspyyntöjä Poisson-prosessin mukaisesti seuraavin intensiteetein: λ =,λ =/ jaλ =/ yhteyspyyntöä minuutissa. Eri yhteyksien kestoajat ovat toisistaan riippumattomia ja samoin jakautuneita keskiarvolla h = min. Laske kunkin luokan kokemat päästä-päähän estot (a) tarkalla kaavalla, (b) luennolla esitetyllä likimääräisellä tulorajamenetelmällä. D/ Tarkastellaan seuraavaa pakettikytkentäistä (runko)verkkoa. Verkossa on kolme solmua: a, b ja c, jotka on kytketty toisiinsa kolmioksi. Kutakin solmuparia yhdistää kaksi eri suuntiin kulkevaa (siis yksisuuntaista) Gbps:n linkkiä. Verkossa on käytössä viisi erilaista reittiä: Reitti : a b Reitti : a c b Reitti : a c Reitti 4: c b Reitti 5: b a Eri reiteille ilmaantuu uusia paketteja riippumattomien Poisson-prosessien mukaisesti intensiteetein λ() = 4, λ() = 6, λ() = λ(4) = λ(5) = pakettia/ms. Pakettien pituudet ovat (toisistaan riippumattomasti) eksponentiaalisesti jakautuneita keskipituutenaan 5 tavua. Laske (a) linkkikohtaiset kuormat ja (b) pakettien kokemat keskimääräiset päästä-päähän viiveet eri reiteillä.

2 D/ Systeemi koostuu kahdesta linkistä, joiden kapasiteetit ovat n = n =. Systeemin tilaa kuvaa vektori x =(x,x,x ), missä x r kertoo luokkaan r kuuluvien (eli reittiä r käyttävien) yhteyksien lukumäärän. Verkon topologia ja eri reitit on esitetty kuvassa. Kuva : [D/] Verkon topologia ja eri reitit. (a) Systeemin kaksi linkkiä asettavat seuraavat rajoitukset (L/8) eri yhteyksien lukumäärille x r : x + x n =, x + x n = Näin ollen systeemin tila-avaruudeksi S saadaan: Tila-avaruus on esitetty kuvassa. S = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, )} lk lk lk Kuva : [D/] Tila-avaruus. (b) Luokka käyttää vain linkkiä, joten siihen liittyvät estottomat tilat S toteuttavat ehdot (L/): x + x n =, x + x n =

3 Näin ollen S = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, )} Luokan estotilat S B = S\S ovat siis S B = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, )} Estotilojen joukko on esitetty kuvassa. lk lk lk Kuva : [D/] Luokan estotilat ympyröitynä. Luokka käyttää vain linkkiä, joten siihen liittyvät estottomat tilat S toteuttavat ehdot (L/): Näin ollen x + x n =, x + x n = S = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, )} Luokan estotilat S B = S\S ovat siis S B = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, )}. Estotilojen joukko on esitetty kuvassa 4. Luokka käyttää kumpaakin linkkiä, joten siihen liittyvät estottomat tilat S toteuttavat ehdot (L/): Näin ollen Luokan estotilat S B x + x n =, x + x n = S = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, )} = S\S ovat siis S B = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, )} Estotilojen joukko on esitetty kuvassa 5.

4 lk lk lk Kuva 4: [D/] Luokan estotilat ympyröitynä. lk lk lk Kuva 5: [D/] Luokan estotilat ympyröitynä. D/ (a) Eri luokkien kokemien päästä-päähän estojen tarkkaa laskentaa varten tarvitaan eri luokkien liikenneintensiteetit (L/): a = λ h = =erl, a = λ h = =erl, a = λ h = =erl Koska luokan liikenneintensiteetti on, ko. luokka pysyy aina tyhjänä ja tilaavaruus kutistuu joukoksi S = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, )} Tasapainojakaumaksi tulee siten (L/): missä π(x)=π(,x,x )=π(,, ) ax x! ( π(,, ) = x S a x x! 4 a x x! ) a x ( = x! x S x = π(,, ) x! x!, x! ) x x!

5 Siis π(,, ) = π(,, ) = π(,, )! π(,, ) = π(,, )! π(,, ) = π(,, )! = 7 =.8! = π(,, ) = 7 =.8! = π(,, ) = 7 =.59! = π(,, ) = 4 7 =.5 π(,, ) = π(,, )!! = π(,, ) = 4 7 =.5 π(,, ) = π(,, )!! = π(,, ) = 4 7 =.5 Koska luokka pysyy tyhjänä, ainoa luokan estotila on (,, ), joten luokan (hypotettinen) päästä-päähän esto (L/6) on B = π(,, ) = 4 7 =.5 Vastaavasti luokkien ja estotilojen joukko kutistuu niin että päästä-päähän estoksi (L/6) tulee kummallekin B = B = π(,, ) + π(,, ) + π(,, ) = = 9 7 =.5 Itse asiassa luokkien ja esto saadaan (aivan yhtä hyvin) Erlangin kaavasta parametreillä n = n =jaa = a + a = + = erl, kun havaitaan, että tapauksessa x = luokkien ja estotilat toteuttavat x + x = n =. Jos siis lasketaan vain päällä olevien yhteyksien kokonaislukumäärää, kyseessä on selvästikin kahden palvelijan puhdas estojärjestelmä. Siis B = B = Erl(n,a + a ) = Erl(, ) = = 9 7 =.5 (b) Tulorajamenetelmässä lasketaan ensin esto kullakin linkillä erikseen (olettaen, että ko. linkki olisi ainoa rajoittava tekijä). Linkkiä käyttävät luokat ja, joten linkin estoksi B() saadaan Erlangin kaavalla (L/9) B() = Erl(n,a + a ) = Erl(, ) = ++ = 5 =.4 Linkkiä taas käyttävät luokat ja, joten linkin estoksi B() saadaan samoin Erlangin kaavalla (L/9) B() = Erl(n,a + a ) = Erl(, ) = = 9 7 =.5

6 Tulorajamenetelmä antaa siis seuraavat approksimaatiot eri luokkien päästä-päähän estotodennäköisyyksille B r (L/): B ( B()) = B() = 5 =.4, B ( B()) = B() = 9 7 =.5, B ( B())( B()) = B() + B() B()B() = 6 85 =.7 Mieti, miksi päästä-päähän estojen B :n ja B :n tarkat arvot eroavat vastaavista tuloraja-approksimaatioista, mutta B :n tuloraja-approksimaatio on sama kuin tarkka arvo. D/ Systeemi koostuu kuudesta linkistä j, joiden kaikkien kapasiteetti on C j = Gbps. Verkon topologia ja eri reitit on esitetty kuvassa 6. Kuva 6: [D/] Verkon topologia ja eri reitit. (a) Pakettien saapumisintensiteetit (pakettia/ms) eri linkeille ovat (L/) λ ab = λ() = 4, λ ba = λ(5) =, λ bc =, λ cb = λ() + λ(4) = 8, λca =, λac = λ() + λ() = 8 Koska pakettien keskipituus on L = 5 8 = 4 b ja linkkien kapasiteetti C j = 6 b/ms, kunkin linkin j palvelukyky (pakettia/ms) on µ j = C L = 6 4 = 6

7 Eri linkkien kuormat ρ j = λ j /µ j ovat siis ρ ab =.4, ρ ba =., ρ bc =, ρ cb =.8, ρca =, ρac =.8 (b) Pakettien keskiviiveet eri linkeillä saadaan M/M/ mallista (L/5) T j = µ j λ j Näin saadaan seuraavat linkkikohtaiset keskiviiveet (ms): T ab = 4 = 6 =.7, T ba = = 8 =., T bc = = =., T cb = 8 = =.5, Tca = = =., Tac = 8 = =.5 Reittiä r noudattavien pakettien kokema keskmääräinen päästä-päähän viive saadaan lopulta reitin kuuluvien linkkiviiveiden summana: T () = T ab = 6 =.7, T () = Tac + T cb = + = =., T () = Tac = =.5, T (4) = T cb = =.5, T (5) = T ba = 8 =. 7

Samankaltaiset tiedostot

Demonstraatiot Luento 7 D7/1 D7/2 D7/3

Demonstraatiot Luento 7 D7/1 D7/2 D7/3 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos S-8.45 Liikenneteorian perusteet, Kevät 2008 Demonstraatiot Luento 7 7.2.2008 D7/ Tarkastellaan piirikytkentäisen järjestelmän n-kanavaista