Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011"

Transkriptio

1 Toisen viikon luennot Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu paljolti lukion oppikirjoihin ja Trench in verkkokirjaan, ks. Esko Turunen

2 Reaaliluvuista Rationaalilukujen joukko Q = { m n m, n Z, n 0} ja sen osajoukot Z = {, 2,, 0, 1, 2, } ja N = {1, 2, } ovat ongelmattomia, kunhan muistamme, että kaksi rationaalilukua a b ja c d ovat samat, a b = c d, täsmälleen silloin kun ad = bc. Siten esim. 3 4 = 6 8.

3 Reaaliluvuista Rationaalilukujen joukko Q = { m n m, n Z, n 0} ja sen osajoukot Z = {, 2,, 0, 1, 2, } ja N = {1, 2, } ovat ongelmattomia, kunhan muistamme, että kaksi rationaalilukua a b ja c d ovat samat, a b = c d, täsmälleen silloin kun ad = bc. Siten esim. 3 4 = 6 8. Tällä perusteella on helppo todistaa, että 1 jokainen rationaaliluku voidaan esittää muodossa m n, missä korkeintaan toinen luvuista m, n on parillinen.

4 Reaaliluvuista Rationaalilukujen joukko Q = { m n m, n Z, n 0} ja sen osajoukot Z = {, 2,, 0, 1, 2, } ja N = {1, 2, } ovat ongelmattomia, kunhan muistamme, että kaksi rationaalilukua a b ja c d ovat samat, a b = c d, täsmälleen silloin kun ad = bc. Siten esim. 3 4 = 6 8. Tällä perusteella on helppo todistaa, että 1 jokainen rationaaliluku voidaan esittää muodossa m n, missä korkeintaan toinen luvuista m, n on parillinen. Todistimme myös jo, että, että 2 jos kokonaisluvun n neliö n 2 on parillinen, myös n on parillinen.

5 Reaaliluvuista Rationaalilukujen joukko Q = { m n m, n Z, n 0} ja sen osajoukot Z = {, 2,, 0, 1, 2, } ja N = {1, 2, } ovat ongelmattomia, kunhan muistamme, että kaksi rationaalilukua a b ja c d ovat samat, a b = c d, täsmälleen silloin kun ad = bc. Siten esim. 3 4 = 6 8. Tällä perusteella on helppo todistaa, että 1 jokainen rationaaliluku voidaan esittää muodossa m n, missä korkeintaan toinen luvuista m, n on parillinen. Todistimme myös jo, että, että 2 jos kokonaisluvun n neliö n 2 on parillinen, myös n on parillinen. Sen sijaan ei ole mitenkään ilmeistä, että irrationaalilukuja olisi edes olemassa, eli että voisi olla lukuja, joita ei voi esittää muodossa m n, missä m, n Z, n 0. Siksi todistamme nyt, että ei ole olemassa sellaista rationaalilukua, jonka neliö olisi = 2.

6 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n ( m n )2 = m2 = 2. n 2 siten, että

7 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. n 2

8 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on n 2 parillinen.

9 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku.

10 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2

11 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2 = 4k 2.

12 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2 = 4k 2. Tämä merkitsee, että 2n 2 = 4k 2

13 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2 = 4k 2. Tämä merkitsee, että 2n 2 = 4k 2 eli n 2 = 2k 2, joten n 2 on parillinen.

14 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2 = 4k 2. Tämä merkitsee, että 2n 2 = 4k 2 eli n 2 = 2k 2, joten n 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan n on parillinen,

15 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2 = 4k 2. Tämä merkitsee, että 2n 2 = 4k 2 eli n 2 = 2k 2, joten n 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan n on parillinen, mutta ominaisuuden 1 perusteella sekä m että n eivät molemmat voi olla parillisia. Tästä ristiriidasta voidaan päätellä, että vastaoletus on väärä ja väitös siten tosi.

16 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2 = 4k 2. Tämä merkitsee, että 2n 2 = 4k 2 eli n 2 = 2k 2, joten n 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan n on parillinen, mutta ominaisuuden 1 perusteella sekä m että n eivät molemmat voi olla parillisia. Tästä ristiriidasta voidaan päätellä, että vastaoletus on väärä ja väitös siten tosi. Siten neliön, jonka kannan pituus on 1 pituusyksikkö, halkaisijan x pituus (= 2) ei ole rationaalinen. Määrittelemme, että 2 on luku, jonka neliö on = 2 (ja juuret yleisemminkin).

17 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2 = 4k 2. Tämä merkitsee, että 2n 2 = 4k 2 eli n 2 = 2k 2, joten n 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan n on parillinen, mutta ominaisuuden 1 perusteella sekä m että n eivät molemmat voi olla parillisia. Tästä ristiriidasta voidaan päätellä, että vastaoletus on väärä ja väitös siten tosi. Siten neliön, jonka kannan pituus on 1 pituusyksikkö, halkaisijan x pituus (= 2) ei ole rationaalinen. Määrittelemme, että 2 on luku, jonka neliö on = 2 (ja juuret yleisemminkin). Ihmiskunnalta vei vuosisatoja esittää reaaliluvun aksiomaattinen määritelmä tyydyttävällä tavalla: esitämme nämä aksiomat nyt muutamassa kymmenessä minuutissa.

18 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R.

19 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R. Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki: x + y = y + x.

20 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R. Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki: x + y = y + x. Aksiooma 2. Yht.laskun liitäntälaki: x + (y + z) = (x + y) + z.

21 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R. Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki: x + y = y + x. Aksiooma 2. Yht.laskun liitäntälaki: x + (y + z) = (x + y) + z. Aksiooma 3. Yhteenlaskun neutraalialkion 0 olemassaolo ja ehto x + 0 = 0 + x = x.

22 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R. Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki: x + y = y + x. Aksiooma 2. Yht.laskun liitäntälaki: x + (y + z) = (x + y) + z. Aksiooma 3. Yhteenlaskun neutraalialkion 0 olemassaolo ja ehto x + 0 = 0 + x = x. Aksiooma 4. Luvun x vastaluvun y olemassaolo ja ehto x + y = y + x = 0.

23 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R. Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki: x + y = y + x. Aksiooma 2. Yht.laskun liitäntälaki: x + (y + z) = (x + y) + z. Aksiooma 3. Yhteenlaskun neutraalialkion 0 olemassaolo ja ehto x + 0 = 0 + x = x. Aksiooma 4. Luvun x vastaluvun y olemassaolo ja ehto x + y = y + x = 0. Aksiooma 5: Kertolaskun vaihdantalaki: x y = y x.

24 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R. Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki: x + y = y + x. Aksiooma 2. Yht.laskun liitäntälaki: x + (y + z) = (x + y) + z. Aksiooma 3. Yhteenlaskun neutraalialkion 0 olemassaolo ja ehto x + 0 = 0 + x = x. Aksiooma 4. Luvun x vastaluvun y olemassaolo ja ehto x + y = y + x = 0. Aksiooma 5: Kertolaskun vaihdantalaki: x y = y x. Aksiooma 6: Kertolaskun liitäntälaki: x(yz) = (xy)z.

25 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R. Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki: x + y = y + x. Aksiooma 2. Yht.laskun liitäntälaki: x + (y + z) = (x + y) + z. Aksiooma 3. Yhteenlaskun neutraalialkion 0 olemassaolo ja ehto x + 0 = 0 + x = x. Aksiooma 4. Luvun x vastaluvun y olemassaolo ja ehto x + y = y + x = 0. Aksiooma 5: Kertolaskun vaihdantalaki: x y = y x. Aksiooma 6: Kertolaskun liitäntälaki: x(yz) = (xy)z.

26 Aksiooma 7. Osittelulaki: x(y + z) = xy + xz.

27 Aksiooma 7. Osittelulaki: x(y + z) = xy + xz. Aksiooma 8. Kertolaskun neutraalialkion 1 olemassaolo ja ehto x 1 = 1 x = x.

28 Aksiooma 7. Osittelulaki: x(y + z) = xy + xz. Aksiooma 8. Kertolaskun neutraalialkion 1 olemassaolo ja ehto x 1 = 1 x = x. Aksiooma 9. Luvun x 0 käänteisluvun y olemassaoloja ja ehto xy = yx = 1.

29 Aksiooma 7. Osittelulaki: x(y + z) = xy + xz. Aksiooma 8. Kertolaskun neutraalialkion 1 olemassaolo ja ehto x 1 = 1 x = x. Aksiooma 9. Luvun x 0 käänteisluvun y olemassaoloja ja ehto xy = yx = 1. Näiden laskulakien avulla voidaan todistaa lukujen 0 ja 1 yksikäsitteisyys samoin kuin vasta-alkion (merkitään x) ja käänteisalkion ( 1 x tai x 1 ) yksikäsitteisyydet.

30 Aksiooma 7. Osittelulaki: x(y + z) = xy + xz. Aksiooma 8. Kertolaskun neutraalialkion 1 olemassaolo ja ehto x 1 = 1 x = x. Aksiooma 9. Luvun x 0 käänteisluvun y olemassaoloja ja ehto xy = yx = 1. Näiden laskulakien avulla voidaan todistaa lukujen 0 ja 1 yksikäsitteisyys samoin kuin vasta-alkion (merkitään x) ja käänteisalkion ( 1 x tai x 1 ) yksikäsitteisyydet. Määritellään myös vähennyslasku eli erotus: x y = x + ( y).

31 Aksiooma 7. Osittelulaki: x(y + z) = xy + xz. Aksiooma 8. Kertolaskun neutraalialkion 1 olemassaolo ja ehto x 1 = 1 x = x. Aksiooma 9. Luvun x 0 käänteisluvun y olemassaoloja ja ehto xy = yx = 1. Näiden laskulakien avulla voidaan todistaa lukujen 0 ja 1 yksikäsitteisyys samoin kuin vasta-alkion (merkitään x) ja käänteisalkion ( 1 x tai x 1 ) yksikäsitteisyydet. Määritellään myös vähennyslasku eli erotus: x y = x + ( y). ja jakolasku eli osamäärä: x y = x y 1.

32 Aksiooma 7. Osittelulaki: x(y + z) = xy + xz. Aksiooma 8. Kertolaskun neutraalialkion 1 olemassaolo ja ehto x 1 = 1 x = x. Aksiooma 9. Luvun x 0 käänteisluvun y olemassaoloja ja ehto xy = yx = 1. Näiden laskulakien avulla voidaan todistaa lukujen 0 ja 1 yksikäsitteisyys samoin kuin vasta-alkion (merkitään x) ja käänteisalkion ( 1 x tai x 1 ) yksikäsitteisyydet. Määritellään myös vähennyslasku eli erotus: x y = x + ( y). ja jakolasku eli osamäärä: x y = x y 1. Reaalilukujen ohella myös rationaaliluvut toteuttavat nämä aksioomat. Sensijaan kokonaisluvut eivät, sillä niiltä puuttuu käänteisalkio ja luonnollisilla luvuilla ei ole edes vasta-alkiota.

33 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P.

34 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P. Aksioma P2. Jokaiselle reaaliluvulle a täsmälleen yksi seuraavista pätee: a P, a P tai a = 0.

35 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P. Aksioma P2. Jokaiselle reaaliluvulle a täsmälleen yksi seuraavista pätee: a P, a P tai a = 0. Positiivisuusaksiomien avulla voidaan määritellä relaatio.

36 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P. Aksioma P2. Jokaiselle reaaliluvulle a täsmälleen yksi seuraavista pätee: a P, a P tai a = 0. Positiivisuusaksiomien avulla voidaan määritellä relaatio. Viimeinen reaalilukujoukon aksioomista on täydellisyysaksioma: sanotaan, että reaaliluku (tai alkio) a on reaalilukujen joukon B R yläraja jos b a aina, kun b B.

37 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P. Aksioma P2. Jokaiselle reaaliluvulle a täsmälleen yksi seuraavista pätee: a P, a P tai a = 0. Positiivisuusaksiomien avulla voidaan määritellä relaatio. Viimeinen reaalilukujoukon aksioomista on täydellisyysaksioma: sanotaan, että reaaliluku (tai alkio) a on reaalilukujen joukon B R yläraja jos b a aina, kun b B. Täydellisyysaksiooman mukaan jokaisessa ylärajajoukossa on pienin yläraja, merkitään sup B R,

38 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P. Aksioma P2. Jokaiselle reaaliluvulle a täsmälleen yksi seuraavista pätee: a P, a P tai a = 0. Positiivisuusaksiomien avulla voidaan määritellä relaatio. Viimeinen reaalilukujoukon aksioomista on täydellisyysaksioma: sanotaan, että reaaliluku (tai alkio) a on reaalilukujen joukon B R yläraja jos b a aina, kun b B. Täydellisyysaksiooman mukaan jokaisessa ylärajajoukossa on pienin yläraja, merkitään sup B R, ts. b sup B aina, kun b B ja jos b a aina, kun b B, niin sup B a.

39 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P. Aksioma P2. Jokaiselle reaaliluvulle a täsmälleen yksi seuraavista pätee: a P, a P tai a = 0. Positiivisuusaksiomien avulla voidaan määritellä relaatio. Viimeinen reaalilukujoukon aksioomista on täydellisyysaksioma: sanotaan, että reaaliluku (tai alkio) a on reaalilukujen joukon B R yläraja jos b a aina, kun b B. Täydellisyysaksiooman mukaan jokaisessa ylärajajoukossa on pienin yläraja, merkitään sup B R, ts. b sup B aina, kun b B ja jos b a aina, kun b B, niin sup B a. Rationaalilukujen joukko ei täytä täydellisyysaksioomaa.

40 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P. Aksioma P2. Jokaiselle reaaliluvulle a täsmälleen yksi seuraavista pätee: a P, a P tai a = 0. Positiivisuusaksiomien avulla voidaan määritellä relaatio. Viimeinen reaalilukujoukon aksioomista on täydellisyysaksioma: sanotaan, että reaaliluku (tai alkio) a on reaalilukujen joukon B R yläraja jos b a aina, kun b B. Täydellisyysaksiooman mukaan jokaisessa ylärajajoukossa on pienin yläraja, merkitään sup B R, ts. b sup B aina, kun b B ja jos b a aina, kun b B, niin sup B a. Rationaalilukujen joukko ei täytä täydellisyysaksioomaa. Täydellisyysaksiooman avulla voidaan mm todistaa, että 2 = sup{x R 0 x, x 2 < 2}.

41 Näiden aksioomien avulla voidaan todistaa kaikki lukiosta tunnetut reaalilukujen ominaisuudet.

42 Näiden aksioomien avulla voidaan todistaa kaikki lukiosta tunnetut reaalilukujen ominaisuudet. Voidaan esimerkiksi määritellä reaaliluvun itseisarvo x ehdolla x = x jos 0 x ja x = x jos x < 0.

43 Näiden aksioomien avulla voidaan todistaa kaikki lukiosta tunnetut reaalilukujen ominaisuudet. Voidaan esimerkiksi määritellä reaaliluvun itseisarvo x ehdolla x = x jos 0 x ja x = x jos x < 0. Positiivisuusaksioomista seuraa silloin, että jos 0 d, niin c d jos, ja vain jos d c d, erityisesti x x x kaikille x R.

44 Näiden aksioomien avulla voidaan todistaa kaikki lukiosta tunnetut reaalilukujen ominaisuudet. Voidaan esimerkiksi määritellä reaaliluvun itseisarvo x ehdolla x = x jos 0 x ja x = x jos x < 0. Positiivisuusaksioomista seuraa silloin, että jos 0 d, niin c d jos, ja vain jos d c d, erityisesti x x x kaikille x R. Siten a a a ja b b b kaikille a, b R, josta puolittain yhteen laskemalla saadaan a b a + b a + b.

45 Näiden aksioomien avulla voidaan todistaa kaikki lukiosta tunnetut reaalilukujen ominaisuudet. Voidaan esimerkiksi määritellä reaaliluvun itseisarvo x ehdolla x = x jos 0 x ja x = x jos x < 0. Positiivisuusaksioomista seuraa silloin, että jos 0 d, niin c d jos, ja vain jos d c d, erityisesti x x x kaikille x R. Siten a a a ja b b b kaikille a, b R, josta puolittain yhteen laskemalla saadaan a b a + b a + b. Tämä viimeinen on yhtäpitävää kolmioepäyhtälön a + b a + b kanssa.

46 Näiden aksioomien avulla voidaan todistaa kaikki lukiosta tunnetut reaalilukujen ominaisuudet. Voidaan esimerkiksi määritellä reaaliluvun itseisarvo x ehdolla x = x jos 0 x ja x = x jos x < 0. Positiivisuusaksioomista seuraa silloin, että jos 0 d, niin c d jos, ja vain jos d c d, erityisesti x x x kaikille x R. Siten a a a ja b b b kaikille a, b R, josta puolittain yhteen laskemalla saadaan a b a + b a + b. Tämä viimeinen on yhtäpitävää kolmioepäyhtälön a + b a + b kanssa. Kun oletetaan tunnetuksi reaalilukujen avoimet, suljetut ja puoliavoimet välit, voidaan todistaa, että seuraavat ovat yhtäpitäviä:

47 Näiden aksioomien avulla voidaan todistaa kaikki lukiosta tunnetut reaalilukujen ominaisuudet. Voidaan esimerkiksi määritellä reaaliluvun itseisarvo x ehdolla x = x jos 0 x ja x = x jos x < 0. Positiivisuusaksioomista seuraa silloin, että jos 0 d, niin c d jos, ja vain jos d c d, erityisesti x x x kaikille x R. Siten a a a ja b b b kaikille a, b R, josta puolittain yhteen laskemalla saadaan a b a + b a + b. Tämä viimeinen on yhtäpitävää kolmioepäyhtälön a + b a + b kanssa. Kun oletetaan tunnetuksi reaalilukujen avoimet, suljetut ja puoliavoimet välit, voidaan todistaa, että seuraavat ovat yhtäpitäviä: i x a < r ii a r < x < a + r iii x (a r, a + r).

48 Relaatioista ja kuvauksista (eli funktioista) Kahden joukon A ja B tulojoukon A B = {(a, b) a A, b B} jokainen osajoukko R on relaatio joukosta A joukolle B. Voidaan merkitä arb tai R(a, b) kun (a, b) R.

49 Relaatioista ja kuvauksista (eli funktioista) Kahden joukon A ja B tulojoukon A B = {(a, b) a A, b B} jokainen osajoukko R on relaatio joukosta A joukolle B. Voidaan merkitä arb tai R(a, b) kun (a, b) R. Jos esimerkiksi A on (suomalaisten) miesten ja B (suomalaisten) naisten joukko, niin eräs relaatio R A B on (suomalaisten) avioparien (a, b) joukko.

50 Relaatioista ja kuvauksista (eli funktioista) Kahden joukon A ja B tulojoukon A B = {(a, b) a A, b B} jokainen osajoukko R on relaatio joukosta A joukolle B. Voidaan merkitä arb tai R(a, b) kun (a, b) R. Jos esimerkiksi A on (suomalaisten) miesten ja B (suomalaisten) naisten joukko, niin eräs relaatio R A B on (suomalaisten) avioparien (a, b) joukko. Tämä on esimerkki myös kuvauksesta: se liittää jokaiseen joukon A alkioon enintään yhden joukon B alkion.

51 Relaatioista ja kuvauksista (eli funktioista) Kahden joukon A ja B tulojoukon A B = {(a, b) a A, b B} jokainen osajoukko R on relaatio joukosta A joukolle B. Voidaan merkitä arb tai R(a, b) kun (a, b) R. Jos esimerkiksi A on (suomalaisten) miesten ja B (suomalaisten) naisten joukko, niin eräs relaatio R A B on (suomalaisten) avioparien (a, b) joukko. Tämä on esimerkki myös kuvauksesta: se liittää jokaiseen joukon A alkioon enintään yhden joukon B alkion. Jos sana suomalaisten korvataan sanalla arabi, ei synny kuvausta, relaatio kylläkin.

52 Relaatioista ja kuvauksista (eli funktioista) Kahden joukon A ja B tulojoukon A B = {(a, b) a A, b B} jokainen osajoukko R on relaatio joukosta A joukolle B. Voidaan merkitä arb tai R(a, b) kun (a, b) R. Jos esimerkiksi A on (suomalaisten) miesten ja B (suomalaisten) naisten joukko, niin eräs relaatio R A B on (suomalaisten) avioparien (a, b) joukko. Tämä on esimerkki myös kuvauksesta: se liittää jokaiseen joukon A alkioon enintään yhden joukon B alkion. Jos sana suomalaisten korvataan sanalla arabi, ei synny kuvausta, relaatio kylläkin. Jos taas A on naisten ja B lasten joukko, niin eräs relaatio R A B on äiti - lapsi -parien (a, b) joukko, joka ei ole kuvaus, mutta relaatio R B A, lapsi - äiti -parien (a, b) joukko on kuvaus.

53 Relaatioista ja kuvauksista (eli funktioista) Kahden joukon A ja B tulojoukon A B = {(a, b) a A, b B} jokainen osajoukko R on relaatio joukosta A joukolle B. Voidaan merkitä arb tai R(a, b) kun (a, b) R. Jos esimerkiksi A on (suomalaisten) miesten ja B (suomalaisten) naisten joukko, niin eräs relaatio R A B on (suomalaisten) avioparien (a, b) joukko. Tämä on esimerkki myös kuvauksesta: se liittää jokaiseen joukon A alkioon enintään yhden joukon B alkion. Jos sana suomalaisten korvataan sanalla arabi, ei synny kuvausta, relaatio kylläkin. Jos taas A on naisten ja B lasten joukko, niin eräs relaatio R A B on äiti - lapsi -parien (a, b) joukko, joka ei ole kuvaus, mutta relaatio R B A, lapsi - äiti -parien (a, b) joukko on kuvaus. Seuraava on lähinnä lukion funktioopin pintapuolista kertausta: käsittelemme sitä tarkemmin viikoilla 4 6, kun meillä on mm jatkuvuuden käsite käytössä

54 Oletetaan aluksi, että A, B R

55 Oletetaan aluksi, että A, B R Määritelmiä. Funktiolla eli kuvauksella f : A B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon x täsmälleen yhden joukon B alkion y, merkitään y = f (x).

56 Oletetaan aluksi, että A, B R Määritelmiä. Funktiolla eli kuvauksella f : A B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon x täsmälleen yhden joukon B alkion y, merkitään y = f (x). Funktion f lähtöjoukko eli määrittelyjoukko D(f ) on tällöin A ja maalijoukko on B.

57 Oletetaan aluksi, että A, B R Määritelmiä. Funktiolla eli kuvauksella f : A B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon x täsmälleen yhden joukon B alkion y, merkitään y = f (x). Funktion f lähtöjoukko eli määrittelyjoukko D(f ) on tällöin A ja maalijoukko on B. Jos y = f (x), niin y on funktion arvo muuttujan arvolla x. Myös sanotaan, että y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva.

58 Oletetaan aluksi, että A, B R Määritelmiä. Funktiolla eli kuvauksella f : A B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon x täsmälleen yhden joukon B alkion y, merkitään y = f (x). Funktion f lähtöjoukko eli määrittelyjoukko D(f ) on tällöin A ja maalijoukko on B. Jos y = f (x), niin y on funktion arvo muuttujan arvolla x. Myös sanotaan, että y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva. Muuttujan sellainen arvo, jolla funktio saa arvon nolla, on funktion nollakohta.

59 Oletetaan aluksi, että A, B R Määritelmiä. Funktiolla eli kuvauksella f : A B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon x täsmälleen yhden joukon B alkion y, merkitään y = f (x). Funktion f lähtöjoukko eli määrittelyjoukko D(f ) on tällöin A ja maalijoukko on B. Jos y = f (x), niin y on funktion arvo muuttujan arvolla x. Myös sanotaan, että y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva. Muuttujan sellainen arvo, jolla funktio saa arvon nolla, on funktion nollakohta. Funktion f kaikkien arvojen joukkoa sanotaan arvojoukoksi, merkitään R(f ). Arvojoukko on aina maalijoukon osajoukko.

60 Oletetaan aluksi, että A, B R Määritelmiä. Funktiolla eli kuvauksella f : A B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon x täsmälleen yhden joukon B alkion y, merkitään y = f (x). Funktion f lähtöjoukko eli määrittelyjoukko D(f ) on tällöin A ja maalijoukko on B. Jos y = f (x), niin y on funktion arvo muuttujan arvolla x. Myös sanotaan, että y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva. Muuttujan sellainen arvo, jolla funktio saa arvon nolla, on funktion nollakohta. Funktion f kaikkien arvojen joukkoa sanotaan arvojoukoksi, merkitään R(f ). Arvojoukko on aina maalijoukon osajoukko. Joskus, kun tarkasteltavaa kuvausta ei haluta nimetä, merkitään näkyviin pelkästään kuvauksen määrittävä sääntö muodossa x lauseke. Esimerkiksi x 2x + 3 on tällainen merkintä.

61 Oletetaan aluksi, että A, B R Määritelmiä. Funktiolla eli kuvauksella f : A B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon x täsmälleen yhden joukon B alkion y, merkitään y = f (x). Funktion f lähtöjoukko eli määrittelyjoukko D(f ) on tällöin A ja maalijoukko on B. Jos y = f (x), niin y on funktion arvo muuttujan arvolla x. Myös sanotaan, että y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva. Muuttujan sellainen arvo, jolla funktio saa arvon nolla, on funktion nollakohta. Funktion f kaikkien arvojen joukkoa sanotaan arvojoukoksi, merkitään R(f ). Arvojoukko on aina maalijoukon osajoukko. Joskus, kun tarkasteltavaa kuvausta ei haluta nimetä, merkitään näkyviin pelkästään kuvauksen määrittävä sääntö muodossa x lauseke. Esimerkiksi x 2x + 3 on tällainen merkintä. Yksinkertaisimmat funktiot ovat f (x) = k (vakiofunktio), f (x) = x, f (x) = x 2, f (x) = x 3, jne.

62 > f0:=5:f1:=x:f2:=x^2:f3:=x^3: > plot({f0,f1,f2,f3},x=-3..3,color = blue, thickness=3,title=`perusfunktioiden kuvaajia`); >

63 Määritelmä (Injektio) Funktio f : A B on injektio eli injektiivinen funktio, jos ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa aina, että x 1 = x 2.

64 Määritelmä (Injektio) Funktio f : A B on injektio eli injektiivinen funktio, jos ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa aina, että x 1 = x 2. Injektio ei siis saa muuttujan x eri arvoilla samaa arvoa. Jokaisella kuvalla on vain yksi alkukuva. Injektion kuvaaja leikkaa x-akselin suuntaisen suoran enintään yhden kerran.

65 Määritelmä (Injektio) Funktio f : A B on injektio eli injektiivinen funktio, jos ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa aina, että x 1 = x 2. Injektio ei siis saa muuttujan x eri arvoilla samaa arvoa. Jokaisella kuvalla on vain yksi alkukuva. Injektion kuvaaja leikkaa x-akselin suuntaisen suoran enintään yhden kerran. Esim. f (x) = x 3 on injektio, mutta f (x) = x 2 ei ole: vaikkapa f (2) = f ( 2) = 4.

66 Määritelmä (Injektio) Funktio f : A B on injektio eli injektiivinen funktio, jos ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa aina, että x 1 = x 2. Injektio ei siis saa muuttujan x eri arvoilla samaa arvoa. Jokaisella kuvalla on vain yksi alkukuva. Injektion kuvaaja leikkaa x-akselin suuntaisen suoran enintään yhden kerran. Esim. f (x) = x 3 on injektio, mutta f (x) = x 2 ei ole: vaikkapa f (2) = f ( 2) = 4. Funktio f on kasvava jollakin määrittelyalueensa välillä I jos ehdosta x < y seuraa, että f (x) f (y). Jos ehdosta x < y seuraa, että f (x) < f (y), on f aidosti kasvava.

67 Määritelmä (Injektio) Funktio f : A B on injektio eli injektiivinen funktio, jos ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa aina, että x 1 = x 2. Injektio ei siis saa muuttujan x eri arvoilla samaa arvoa. Jokaisella kuvalla on vain yksi alkukuva. Injektion kuvaaja leikkaa x-akselin suuntaisen suoran enintään yhden kerran. Esim. f (x) = x 3 on injektio, mutta f (x) = x 2 ei ole: vaikkapa f (2) = f ( 2) = 4. Funktio f on kasvava jollakin määrittelyalueensa välillä I jos ehdosta x < y seuraa, että f (x) f (y). Jos ehdosta x < y seuraa, että f (x) < f (y), on f aidosti kasvava. Siten esimerkiksi vakiofunktio on kasvava, muttei aidosti kasvava. f (x) = x 3 on aidosti kasvava koko määrittelyalueessaan R.

68 Vastaavalla tavalla määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä funktio f.

69 Vastaavalla tavalla määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä funktio f. Funktio, joka on välillä I kasvava tai vähenevä (mutta ei molempia) on monotoninen.

70 Vastaavalla tavalla määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä funktio f. Funktio, joka on välillä I kasvava tai vähenevä (mutta ei molempia) on monotoninen. Määritelmä (Surjektio) Funktio f : A B on surjektio eli surjektiivinen funktio, jos sen arvojoukko on sama kuin maalijoukko eli R(f ) = B.

71 Vastaavalla tavalla määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä funktio f. Funktio, joka on välillä I kasvava tai vähenevä (mutta ei molempia) on monotoninen. Määritelmä (Surjektio) Funktio f : A B on surjektio eli surjektiivinen funktio, jos sen arvojoukko on sama kuin maalijoukko eli R(f ) = B. Vakiofunktio f (x) = k ei ole surjektio, ei myöskään f (x) = x 2 (jos B on koko R), mutta f (x) = x 3 on surjektio.

72 Vastaavalla tavalla määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä funktio f. Funktio, joka on välillä I kasvava tai vähenevä (mutta ei molempia) on monotoninen. Määritelmä (Surjektio) Funktio f : A B on surjektio eli surjektiivinen funktio, jos sen arvojoukko on sama kuin maalijoukko eli R(f ) = B. Vakiofunktio f (x) = k ei ole surjektio, ei myöskään f (x) = x 2 (jos B on koko R), mutta f (x) = x 3 on surjektio. Määritelmä (Bijektio) Funktio f : A B on bijektio eli bijektiivinen funktio, jos se on sekä injektio että surjektio.

73 Määritelmä (Käänteisfunktio) Olkoon f bijektiivinen funktio. Silloin funktio f 1, joka on määritelty f :n arvojoukossa B ja jokaisella B alkiolla f (x) toteuttaa yhtälön f 1 (f (x)) = x on f :n käänteisfunktio.

74 Määritelmä (Käänteisfunktio) Olkoon f bijektiivinen funktio. Silloin funktio f 1, joka on määritelty f :n arvojoukossa B ja jokaisella B alkiolla f (x) toteuttaa yhtälön f 1 (f (x)) = x on f :n käänteisfunktio. Jokaisella aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio.

75 Määritelmä (Käänteisfunktio) Olkoon f bijektiivinen funktio. Silloin funktio f 1, joka on määritelty f :n arvojoukossa B ja jokaisella B alkiolla f (x) toteuttaa yhtälön f 1 (f (x)) = x on f :n käänteisfunktio. Jokaisella aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio. Esimerkki Identiteettikuvauksen eli funktion f : R R, f (x) = x käänteisfunktio on funktio f itse, sillä f on aidosti monotoninen ja R(f ) = R = D(f 1 ) sekä x = f (f 1 (x)) = f 1 (x) ja kuvaajaksi tulee suora y = x.

76 Määritelmä (Käänteisfunktio) Olkoon f bijektiivinen funktio. Silloin funktio f 1, joka on määritelty f :n arvojoukossa B ja jokaisella B alkiolla f (x) toteuttaa yhtälön f 1 (f (x)) = x on f :n käänteisfunktio. Jokaisella aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio. Esimerkki Identiteettikuvauksen eli funktion f : R R, f (x) = x käänteisfunktio on funktio f itse, sillä f on aidosti monotoninen ja R(f ) = R = D(f 1 ) sekä x = f (f 1 (x)) = f 1 (x) ja kuvaajaksi tulee suora y = x. Esimerkki Jos määritellään f (x) = x 2 rajoittumana f : R + R +, on f bijektio, jonka käänteisfunktio f 1 : R + R + on f 1 (x) = x.

77 Määritelmä (Yhdistetty funktio) Olkoot f : A B ja g : B C funktioita. Tällöin jokaista A:n alkiota x vastaa yksikäsitteisesti määrätty B:n alkio f (x). Tämän kuvana puolestaan on yksikäsitteisesti määrätty C:n alkio g(f (x)). Täten on olemassa funktioista f ja g yhdistetty funktio A C, joka siis kuvaa A:n alkion x C:n alkioksi g(f (x)). Tästä funktiosta käytetään merkintää g f, missä f on sisäfunktio ja g ulkofunktio. Yhdistetty funktio g f on olemassa, jos f :n arvojoukolla ja g:n määrittelyjoukolla on yhteisiä alkioita, eli niiden leikkaus ei ole tyhjä. Tällöin D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}.

78 Määritelmä (Yhdistetty funktio) Olkoot f : A B ja g : B C funktioita. Tällöin jokaista A:n alkiota x vastaa yksikäsitteisesti määrätty B:n alkio f (x). Tämän kuvana puolestaan on yksikäsitteisesti määrätty C:n alkio g(f (x)). Täten on olemassa funktioista f ja g yhdistetty funktio A C, joka siis kuvaa A:n alkion x C:n alkioksi g(f (x)). Tästä funktiosta käytetään merkintää g f, missä f on sisäfunktio ja g ulkofunktio. Yhdistetty funktio g f on olemassa, jos f :n arvojoukolla ja g:n määrittelyjoukolla on yhteisiä alkioita, eli niiden leikkaus ei ole tyhjä. Tällöin D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. Esimerkki. Jos f : (, 1] R, f (x) = 1 x ja g : R R, g(x) = 1 x 2, niin g f (x) = 1 ( 1 x) 2 = 1 (1 x) = x.

79 Määritelmä (Yhdistetty funktio) Olkoot f : A B ja g : B C funktioita. Tällöin jokaista A:n alkiota x vastaa yksikäsitteisesti määrätty B:n alkio f (x). Tämän kuvana puolestaan on yksikäsitteisesti määrätty C:n alkio g(f (x)). Täten on olemassa funktioista f ja g yhdistetty funktio A C, joka siis kuvaa A:n alkion x C:n alkioksi g(f (x)). Tästä funktiosta käytetään merkintää g f, missä f on sisäfunktio ja g ulkofunktio. Yhdistetty funktio g f on olemassa, jos f :n arvojoukolla ja g:n määrittelyjoukolla on yhteisiä alkioita, eli niiden leikkaus ei ole tyhjä. Tällöin D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. Esimerkki. Jos f : (, 1] R, f (x) = 1 x ja g : R R, g(x) = 1 x 2, niin g f (x) = 1 ( 1 x) 2 = 1 (1 x) = x. Funktion f arvojoukko R(f ) = [0, ) ja g:n R(g) = (, 1].

80 Määritelmä (Yhdistetty funktio) Olkoot f : A B ja g : B C funktioita. Tällöin jokaista A:n alkiota x vastaa yksikäsitteisesti määrätty B:n alkio f (x). Tämän kuvana puolestaan on yksikäsitteisesti määrätty C:n alkio g(f (x)). Täten on olemassa funktioista f ja g yhdistetty funktio A C, joka siis kuvaa A:n alkion x C:n alkioksi g(f (x)). Tästä funktiosta käytetään merkintää g f, missä f on sisäfunktio ja g ulkofunktio. Yhdistetty funktio g f on olemassa, jos f :n arvojoukolla ja g:n määrittelyjoukolla on yhteisiä alkioita, eli niiden leikkaus ei ole tyhjä. Tällöin D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. Esimerkki. Jos f : (, 1] R, f (x) = 1 x ja g : R R, g(x) = 1 x 2, niin g f (x) = 1 ( 1 x) 2 = 1 (1 x) = x. Funktion f arvojoukko R(f ) = [0, ) ja g:n R(g) = (, 1]. Mikä on yhdistetyn funktion g f määrittelyjoukko?

81 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R}

82 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )}

83 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1].

84 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1]. Jos f ja g ovat funktioita, niin niiden välille on määritelty laskutoimitukset f + g, f g, f g ja f g, g 0, ilmeisellä tavalla, määrittelyjoukkona D(f ) D(g).

85 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1]. Jos f ja g ovat funktioita, niin niiden välille on määritelty laskutoimitukset f + g, f g, f g ja f g, g 0, ilmeisellä tavalla, määrittelyjoukkona D(f ) D(g). Esimerkki. Olkoon f (x) = 2x + 1 ja g(x) = x 2. Silloin näiden funktioiden

86 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1]. Jos f ja g ovat funktioita, niin niiden välille on määritelty laskutoimitukset f + g, f g, f g ja f g, g 0, ilmeisellä tavalla, määrittelyjoukkona D(f ) D(g). Esimerkki. Olkoon f (x) = 2x + 1 ja g(x) = x 2. Silloin näiden funktioiden (a) yhteenlasku (f + g)(x) = 2x x 2 = x 2 + 2x + 1,

87 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1]. Jos f ja g ovat funktioita, niin niiden välille on määritelty laskutoimitukset f + g, f g, f g ja f g, g 0, ilmeisellä tavalla, määrittelyjoukkona D(f ) D(g). Esimerkki. Olkoon f (x) = 2x + 1 ja g(x) = x 2. Silloin näiden funktioiden (a) yhteenlasku (f + g)(x) = 2x x 2 = x 2 + 2x + 1, (b) vähennyslasku (f g)(x) = 2x + 1 x 2 = x 2 + 2x + 1,

88 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1]. Jos f ja g ovat funktioita, niin niiden välille on määritelty laskutoimitukset f + g, f g, f g ja f g, g 0, ilmeisellä tavalla, määrittelyjoukkona D(f ) D(g). Esimerkki. Olkoon f (x) = 2x + 1 ja g(x) = x 2. Silloin näiden funktioiden (a) yhteenlasku (f + g)(x) = 2x x 2 = x 2 + 2x + 1, (b) vähennyslasku (f g)(x) = 2x + 1 x 2 = x 2 + 2x + 1, (c) kertolasku (fg)(x) = (2x + 1)x 2 = 2x 3 + x 2,

89 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1]. Jos f ja g ovat funktioita, niin niiden välille on määritelty laskutoimitukset f + g, f g, f g ja f g, g 0, ilmeisellä tavalla, määrittelyjoukkona D(f ) D(g). Esimerkki. Olkoon f (x) = 2x + 1 ja g(x) = x 2. Silloin näiden funktioiden (a) yhteenlasku (f + g)(x) = 2x x 2 = x 2 + 2x + 1, (b) vähennyslasku (f g)(x) = 2x + 1 x 2 = x 2 + 2x + 1, (c) kertolasku (fg)(x) = (2x + 1)x 2 = 2x 3 + x 2, (d) jakolasku f 2x+1 g (x) =, kun x 0. x 2

90 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1]. Jos f ja g ovat funktioita, niin niiden välille on määritelty laskutoimitukset f + g, f g, f g ja f g, g 0, ilmeisellä tavalla, määrittelyjoukkona D(f ) D(g). Esimerkki. Olkoon f (x) = 2x + 1 ja g(x) = x 2. Silloin näiden funktioiden (a) yhteenlasku (f + g)(x) = 2x x 2 = x 2 + 2x + 1, (b) vähennyslasku (f g)(x) = 2x + 1 x 2 = x 2 + 2x + 1, (c) kertolasku (fg)(x) = (2x + 1)x 2 = 2x 3 + x 2, (d) jakolasku f 2x+1 g (x) =, kun x 0. x 2 Kaikki polynomit p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n saadaan vakiofunktioilla, kertomalla ja yhteenlaskemalla, murtofunktiot jakolaskulla.

91 Eksponentti- ja trigonometrisista funktioista Jos meillä olisi jo käytössä reaalimuuttujan funktion jatkuvuuden ja siihen perustuvan derivaatan käsitteet, voisimme määritellä lukiosta tutut 1 eksponettifunktion f (x) = e x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) = f (x) kaikilla x R, f (0) = 1.

92 Eksponentti- ja trigonometrisista funktioista Jos meillä olisi jo käytössä reaalimuuttujan funktion jatkuvuuden ja siihen perustuvan derivaatan käsitteet, voisimme määritellä lukiosta tutut 1 eksponettifunktion f (x) = e x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) = f (x) kaikilla x R, f (0) = 1. 2 cosinifunktion f (x) = cos x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) + f (x) = 0 kaikilla x R, f (0) = 1, f (0) = 0.

93 Eksponentti- ja trigonometrisista funktioista Jos meillä olisi jo käytössä reaalimuuttujan funktion jatkuvuuden ja siihen perustuvan derivaatan käsitteet, voisimme määritellä lukiosta tutut 1 eksponettifunktion f (x) = e x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) = f (x) kaikilla x R, f (0) = 1. 2 cosinifunktion f (x) = cos x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) + f (x) = 0 kaikilla x R, f (0) = 1, f (0) = 0. 3 sinifunktion f (x) = sin x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) + f (x) = 0 kaikilla x R, f (0) = 0, f (0) = 1.

94 Eksponentti- ja trigonometrisista funktioista Jos meillä olisi jo käytössä reaalimuuttujan funktion jatkuvuuden ja siihen perustuvan derivaatan käsitteet, voisimme määritellä lukiosta tutut 1 eksponettifunktion f (x) = e x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) = f (x) kaikilla x R, f (0) = 1. 2 cosinifunktion f (x) = cos x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) + f (x) = 0 kaikilla x R, f (0) = 1, f (0) = 0. 3 sinifunktion f (x) = sin x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) + f (x) = 0 kaikilla x R, f (0) = 0, f (0) = 1. Ks. Fitzpatrick, Advanced Calculus, luku 5. Nyt tyydymme lähinnä kertaamaan näiden funktioiden lukiosta tuttuja ominaisuuksia.

95 Yksikköympyrä Määritelmä. Yksikköympyrä on suorakulmaiseen, tasamittaiseen koordinaatistoon piirretty, origokeskinen ja yksi säteinen ympyrä. Tällöin se leikkaa x- ja y-akselit kohdissa 1 sekä -1. Yksiköympyrää käytetään varsin usein etenkin trigonometristen funktioiden tarkastelussa. Koordinaattiakselit jakavat yksikköympyrän neljään osaan. Eri neljänneksiä merkitään roomalaisin numeroin kuvan mukaisesti.

96 Määritelmä. Suunnattu kulma on sellainen kulma, joka muodostuu jonkin puolisuoran kiertyessä tasossa alkupisteensä ympäri. Kiertymisen määrää ei mitenkään rajoiteta. Puolisuoran alkuasemaa sanotaan kulman alkukyljeksi ja loppuasemaa kulman loppukyljeksi. Positiivisena kiertosuuntana pidetään vastapäivään tapahtuvaa kiertoa ja negatiivisena kiertoa myötäpäivään. Kiertosuunnan mukaisesti pidetään suunnattua kulmaa positiivisena tai negatiivisena. Kuva. Suunnattu kulma

97 Useassa yhteydessä merkitystä on vain suunnatun kulman α suuruudella. Tällöin voimme ajatella kulman piirretyksi koordinaatistoon siten, että sen kärkenä on origo ja alkukylkenä positiivinen x-akseli. Pistettä P, jossa α:n loppukylki leikkaa yksikköympyrän, sanotaan kulman α kehäpisteeksi. Kuva. Kehäpiste P yksikköympyrällä Jokaista suunnattua kulmaa α vastaa täysin määrätty suunnattu kaari. Kaaren suuruutta voidaan käyttää myös vastaavan suunnatun kulman suuruuden ilmoittamiseen. Täten määriteltyä kulman suuruuden yksikköä nimitetään radiaaniksi.

98 Määritelmä. Yksi radiaani (1 rad) on sen kulman suuruus, jota vastaavan suunnatun kaaren suuruus on 1. Radiaania sanotaan myös absoluuttiseksi kulmayksiköksi. Jos kulman suuruuden yksikkönä käytetään radiaania ja asiayhteydestä käy ilmi, että kyse on kulman suuruudesta, niin yksikköä ei yleensä merkitä näkyviin. Täyttä kulmaa, eli yhtä kierrosta, vastaava kaari on yksikköympyrän kehä. Sen pituus on 2π. Näin ollen 360 = 2π.

99 Vaikka jokaisella kulmalla on yksikäsitteisesti määrätty kehäpiste, niin kehäpiste puolestaan ei määrää suunnattua kulmaa yksikäsitteisesti, sillä lisäksi tarvitaan tieto kiertosuunnasta ja siitä, montako täyttä kierrosta kiertoon sisältyy. Jos kulmalla α on kehäpisteenä P, niin kaikilla joukon {α + n 2π n Z }kulmilla ja vain niillä on kehäpisteenä P.

100 Vaikka jokaisella kulmalla on yksikäsitteisesti määrätty kehäpiste, niin kehäpiste puolestaan ei määrää suunnattua kulmaa yksikäsitteisesti, sillä lisäksi tarvitaan tieto kiertosuunnasta ja siitä, montako täyttä kierrosta kiertoon sisältyy. Jos kulmalla α on kehäpisteenä P, niin kaikilla joukon {α + n 2π n Z }kulmilla ja vain niillä on kehäpisteenä P. Esimerkki 1. Edellä olleessa kuvassa kulma α oli noin 2,1 rad. Sama kehäpiste P voidaan ilmaista myös kiertämällä myötäpäivään, jolloin saadaan kulma -4,2 tai tekemällä ensin kaksi täyttä kierrosta vastapäivään, jolloin kulman suuruus on 2 2π + 2,1 14,7.

101 Vaikka jokaisella kulmalla on yksikäsitteisesti määrätty kehäpiste, niin kehäpiste puolestaan ei määrää suunnattua kulmaa yksikäsitteisesti, sillä lisäksi tarvitaan tieto kiertosuunnasta ja siitä, montako täyttä kierrosta kiertoon sisältyy. Jos kulmalla α on kehäpisteenä P, niin kaikilla joukon {α + n 2π n Z }kulmilla ja vain niillä on kehäpisteenä P. Esimerkki 1. Edellä olleessa kuvassa kulma α oli noin 2,1 rad. Sama kehäpiste P voidaan ilmaista myös kiertämällä myötäpäivään, jolloin saadaan kulma -4,2 tai tekemällä ensin kaksi täyttä kierrosta vastapäivään, jolloin kulman suuruus on 2 2π + 2,1 14,7. Esimerkki 2. Kulman 2,1 rad suuruus asteina saadaan ratkaisemalla verranto:

102 Sini-funktio Koska jokaista suunnattua kulmaa α vastaa täsmälleen yksi yksikköympyrän kehäpiste, niin on olemassa kuvaus suunnattujen kulmien joukolta kehäpisteiden joukolle. Siis on olemassa myös kuvaukset suunnattujen kulmien joukolta kehäpisteiden x- ja y-koordinaattien joukoille. Määritelmä. Kulman α sini on kulmaa vastaavan kehäpisteen y- koordinaatti.

103 Sini-funktio Koska jokaista suunnattua kulmaa α vastaa täsmälleen yksi yksikköympyrän kehäpiste, niin on olemassa kuvaus suunnattujen kulmien joukolta kehäpisteiden joukolle. Siis on olemassa myös kuvaukset suunnattujen kulmien joukolta kehäpisteiden x- ja y-koordinaattien joukoille. Määritelmä. Kulman α sini on kulmaa vastaavan kehäpisteen y- koordinaatti. Tän pitäis olla α!

104 Cosini-funktio Määritelmä. Kulman α cosini on kulmaa vastaavan kehäpisteen x- koordinaatti. Sinin ja kosinin arvojoukko on [-1, 1], ne ovat jaksollisia ja molempien perusjakso on 2π ( 1 ) sin(α) = sin(α + n 2π), ( 2 ) cos(α) = cos(α + n 2π), missä n Z. Sini on pariton funktio ja kosini parillinen funktio eli ( 3 ) sin(-α) = -sin(α), ( 4 ) cos(-α) = cos(α).

105 Cosini-funktio Määritelmä. Kulman α cosini on kulmaa vastaavan kehäpisteen x- koordinaatti. Siis x... ja tämän pitäisi olla α Sinin ja kosinin arvojoukko on [-1, 1], ne ovat jaksollisia ja molempien perusjakso on 2π ( 1 ) sin(α) = sin(α + n 2π), ( 2 ) cos(α) = cos(α + n 2π), missä n Z. Sini on pariton funktio ja kosini parillinen funktio eli ( 3 ) sin(-α) = -sin(α), ( 4 ) cos(-α) = cos(α).

106 Trigonometrian perustuloksia Seuraavat yhteydet saadaan helposti yksikköympyrän avulla eri kulmien välille: ( 5 ) sin(π - α) = -sin(π + α), ( 6 ) cos(π - α) = cos(π + α).

107 Trigonometrian perustuloksia Seuraavat yhteydet saadaan helposti yksikköympyrän avulla eri kulmien välille: ( 5 ) sin(π - α) = -sin(π + α), ( 6 ) cos(π - α) = cos(π + α). Kulman kosini on sen komplementtikulman sini ja kulman sini on sen komplementtikulman kosini. Matemaattisesti ilmaistuna sama asia saa muodon ( 7 ) sin(α) = cos(π/2-α), ( 8 ) cos(α) = sin(π/2-α).

108 Trigonometrian perustuloksia Seuraavat yhteydet saadaan helposti yksikköympyrän avulla eri kulmien välille: ( 5 ) sin(π - α) = -sin(π + α), ( 6 ) cos(π - α) = cos(π + α). Kulman kosini on sen komplementtikulman sini ja kulman sini on sen komplementtikulman kosini. Matemaattisesti ilmaistuna sama asia saa muodon ( 7 ) sin(α) = cos(π/2-α), ( 8 ) cos(α) = sin(π/2-α). Pythagoraan lauseen nojalla (9) sin 2 (α)+cos 2 (α) = 1.

109 Trigonometrian perustuloksia Seuraavat yhteydet saadaan helposti yksikköympyrän avulla eri kulmien välille: ( 5 ) sin(π - α) = -sin(π + α), ( 6 ) cos(π - α) = cos(π + α). Kulman kosini on sen komplementtikulman sini ja kulman sini on sen komplementtikulman kosini. Matemaattisesti ilmaistuna sama asia saa muodon ( 7 ) sin(α) = cos(π/2-α), ( 8 ) cos(α) = sin(π/2-α). Pythagoraan lauseen nojalla (9) sin 2 (α)+cos 2 (α) = 1. Voidaan myös johtaa seuraavat kaavat (10) sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) (11) cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)

110 Tangenttifunktio Trigonometrinen funktio tangentti (tan) määritellään sini- ja kosinifunktion avulla: Tangenttikäyrää

111 Kotangenttifunktio Trigonometrinen funktio kotangentti (cot) määritellään sekin sini- ja kosinifunktion avulla: Kotangenttikäyrää

112 Trigonometrian kaavoja Tangentin ja kotangentin arvojoukko on R, ne ovat jaksollisia ja perusjaksona on π: ( 11 ) tan(α) = tan(α + n π) ( 12 ) cot(α) = cot(α + n π).

113 Trigonometrian kaavoja Tangentin ja kotangentin arvojoukko on R, ne ovat jaksollisia ja perusjaksona on π: ( 11 ) tan(α) = tan(α + n π) ( 12 ) cot(α) = cot(α + n π). Tangentti ja kotangentti ovat parittomia funktiota, joten ( 13 ) tan(-α) = -tan(α), ( 14 ) cot(-α) = -cot(α).

114 Trigonometrian kaavoja Tangentin ja kotangentin arvojoukko on R, ne ovat jaksollisia ja perusjaksona on π: ( 11 ) tan(α) = tan(α + n π) ( 12 ) cot(α) = cot(α + n π). Tangentti ja kotangentti ovat parittomia funktiota, joten ( 13 ) tan(-α) = -tan(α), ( 14 ) cot(-α) = -cot(α). Luvut tan(α) ja cot(α) ovat toistensa käänteislukuja, joten ( 15 ) tan(α) = 1/cot(α). Huom. Myös nimiä cosini ja cotangentti käytetään!

115 Arkusfunktiot trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot Koska trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, saavat ne saman arvon usealla eri kulman arvolla eli eivät ole injektiivisiä. Täten muotoa sin(x) = a, -1 a 1, cos(x) = a, -1 a 1, tan(x) = a, a R, cot(x) = a, a R, olevilla yhtälöillä on ääretön määrä ratkaisuja.

116 Arkusfunktiot trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot Koska trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, saavat ne saman arvon usealla eri kulman arvolla eli eivät ole injektiivisiä. Täten muotoa sin(x) = a, -1 a 1, cos(x) = a, -1 a 1, tan(x) = a, a R, cot(x) = a, a R, olevilla yhtälöillä on ääretön määrä ratkaisuja. Mikäli kuitenkin rajoitutaan sopivalle välille, saadaan yksikäsitteinen ratkaistu x = α (jonka avulla voidaan lausua kaikki muutkin ratkaisut). Valitaan seuraavat aidosti monotoniset kuvaukset: ( 16 ) sin:[-π/2, π/2] [-1, 1], ( 17 ) cos: [0, π] [-1, 1], ( 18 ) tan: (-π/2, π/2) R, ( 19 ) cot: (0, π) R.

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Fysiikan matematiikka P

Fysiikan matematiikka P Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa. Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat? 2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Läpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.

Läpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella. MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:

Lisätiedot

Funktiot ja raja-arvo. Pekka Salmi

Funktiot ja raja-arvo. Pekka Salmi Funktiot ja raja-arvo Pekka Salmi Versio 0.3 13. lokakuuta 2017 Johdanto Tämä moniste on keskeneräinen... 1 1 Reaaliluvut 1.1 Lukujoukot Lukujoukoista käytettään seuraavia merkintöjä: N = {0, 1, 2, 3,...}

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

Analyysi A. Raja-arvo ja jatkuvuus. Pertti Koivisto

Analyysi A. Raja-arvo ja jatkuvuus. Pertti Koivisto Analyysi A Raja-arvo ja jatkuvuus Pertti Koivisto Kevät 207 Alkusanat Tämä moniste on tarkoitettu oheislukemistoksi Tampereen yliopistossa pidettävälle kurssille Analyysi A. Monisteen tavoitteena on tukea

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat. Funktiot, L4 eksponentti-funktio Funktio (Käytännöllinen määritelmä) 1 Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.fi) kurssi8, / Etälukio (edu.fi) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.fi) Funktio (Käytännöllinen

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 1. ALUKSI Joukko-oppia Lyhenteitä ja merkintöjä. A = B A:sta seuraa B. Implikaatio. A B A ja B yhtäpitävät. Ekvivalenssi.

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite

Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Hakemisto KATSO MYÖS: potenssi, juuret, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot, arcusfunktiot,

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Pekka Salmi 17. lokakuuta 2016 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 1 / 205 Yleistä Luennot: ma 1214, pe 1012 Luennoitsija: Pekka Salmi, MA327 Laskupäivä: ke 1014,

Lisätiedot

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat Yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi sanotaan trigonometriassa niitä kaavoja, jotka sisältävät kehitelmät kahden reaaliluvun summan tai erotuksen trigonometriselle funktiolle, kuten sin( + y) sin cos y +

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat

Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat Anu Pääkkö Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 01 Tiivistelmä: Pääkkö, A. 01, Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat,

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 3: Funktiot 4.3 Funktiot Olkoot A ja B joukkoja. Funktio joukosta A joukkoon B on sääntö, joka liittää yksikäsitteisesti määrätyn

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin

Johdatus reaalifunktioihin Johdatus reaalifunktioihin 11. syyskuuta 2014 10:28 1. Reaaliluvut ja epäyhtälöt 1.1 Lukualueet = { 1, 2, 3 } luonnolliste n lukujen joukko Suljettu yhteen ja kertolaskujen suhteen: Jos m,n en (eli m en

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen,

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen, Funktiotehtävät, 10. syyskuuta 005, sivu 1 / 4 Perustehtävät Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x. kun x on parillinen, f : N {0, 1, }, f(x) = 1 kun x on alkuluku,

Lisätiedot

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan Kirjan Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan harjoitustehtävien ratkaisuja 18. maaliskuuta 2005 Ratkaisut ovat laatineet Jukka Ilmonen ja Ismo Korkee. Ratkaisuissa olevista mahdollisista virheistä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio

Lisätiedot