Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011

Transkriptio

1 Toisen viikon luennot Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu paljolti lukion oppikirjoihin ja Trench in verkkokirjaan, ks. Esko Turunen

2 Reaaliluvuista Rationaalilukujen joukko Q = { m n m, n Z, n 0} ja sen osajoukot Z = {, 2,, 0, 1, 2, } ja N = {1, 2, } ovat ongelmattomia, kunhan muistamme, että kaksi rationaalilukua a b ja c d ovat samat, a b = c d, täsmälleen silloin kun ad = bc. Siten esim. 3 4 = 6 8.

3 Reaaliluvuista Rationaalilukujen joukko Q = { m n m, n Z, n 0} ja sen osajoukot Z = {, 2,, 0, 1, 2, } ja N = {1, 2, } ovat ongelmattomia, kunhan muistamme, että kaksi rationaalilukua a b ja c d ovat samat, a b = c d, täsmälleen silloin kun ad = bc. Siten esim. 3 4 = 6 8. Tällä perusteella on helppo todistaa, että 1 jokainen rationaaliluku voidaan esittää muodossa m n, missä korkeintaan toinen luvuista m, n on parillinen.

4 Reaaliluvuista Rationaalilukujen joukko Q = { m n m, n Z, n 0} ja sen osajoukot Z = {, 2,, 0, 1, 2, } ja N = {1, 2, } ovat ongelmattomia, kunhan muistamme, että kaksi rationaalilukua a b ja c d ovat samat, a b = c d, täsmälleen silloin kun ad = bc. Siten esim. 3 4 = 6 8. Tällä perusteella on helppo todistaa, että 1 jokainen rationaaliluku voidaan esittää muodossa m n, missä korkeintaan toinen luvuista m, n on parillinen. Todistimme myös jo, että, että 2 jos kokonaisluvun n neliö n 2 on parillinen, myös n on parillinen.

5 Reaaliluvuista Rationaalilukujen joukko Q = { m n m, n Z, n 0} ja sen osajoukot Z = {, 2,, 0, 1, 2, } ja N = {1, 2, } ovat ongelmattomia, kunhan muistamme, että kaksi rationaalilukua a b ja c d ovat samat, a b = c d, täsmälleen silloin kun ad = bc. Siten esim. 3 4 = 6 8. Tällä perusteella on helppo todistaa, että 1 jokainen rationaaliluku voidaan esittää muodossa m n, missä korkeintaan toinen luvuista m, n on parillinen. Todistimme myös jo, että, että 2 jos kokonaisluvun n neliö n 2 on parillinen, myös n on parillinen. Sen sijaan ei ole mitenkään ilmeistä, että irrationaalilukuja olisi edes olemassa, eli että voisi olla lukuja, joita ei voi esittää muodossa m n, missä m, n Z, n 0. Siksi todistamme nyt, että ei ole olemassa sellaista rationaalilukua, jonka neliö olisi = 2.

6 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n ( m n )2 = m2 = 2. n 2 siten, että

7 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. n 2

8 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on n 2 parillinen.

9 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku.

10 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2

11 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2 = 4k 2.

12 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2 = 4k 2. Tämä merkitsee, että 2n 2 = 4k 2

13 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2 = 4k 2. Tämä merkitsee, että 2n 2 = 4k 2 eli n 2 = 2k 2, joten n 2 on parillinen.

14 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2 = 4k 2. Tämä merkitsee, että 2n 2 = 4k 2 eli n 2 = 2k 2, joten n 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan n on parillinen,

15 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2 = 4k 2. Tämä merkitsee, että 2n 2 = 4k 2 eli n 2 = 2k 2, joten n 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan n on parillinen, mutta ominaisuuden 1 perusteella sekä m että n eivät molemmat voi olla parillisia. Tästä ristiriidasta voidaan päätellä, että vastaoletus on väärä ja väitös siten tosi.

16 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2 = 4k 2. Tämä merkitsee, että 2n 2 = 4k 2 eli n 2 = 2k 2, joten n 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan n on parillinen, mutta ominaisuuden 1 perusteella sekä m että n eivät molemmat voi olla parillisia. Tästä ristiriidasta voidaan päätellä, että vastaoletus on väärä ja väitös siten tosi. Siten neliön, jonka kannan pituus on 1 pituusyksikkö, halkaisijan x pituus (= 2) ei ole rationaalinen. Määrittelemme, että 2 on luku, jonka neliö on = 2 (ja juuret yleisemminkin).

17 Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 = 2. Silloin m 2 = 2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m = 2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 = (2k) 2 = 4k 2. Tämä merkitsee, että 2n 2 = 4k 2 eli n 2 = 2k 2, joten n 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan n on parillinen, mutta ominaisuuden 1 perusteella sekä m että n eivät molemmat voi olla parillisia. Tästä ristiriidasta voidaan päätellä, että vastaoletus on väärä ja väitös siten tosi. Siten neliön, jonka kannan pituus on 1 pituusyksikkö, halkaisijan x pituus (= 2) ei ole rationaalinen. Määrittelemme, että 2 on luku, jonka neliö on = 2 (ja juuret yleisemminkin). Ihmiskunnalta vei vuosisatoja esittää reaaliluvun aksiomaattinen määritelmä tyydyttävällä tavalla: esitämme nämä aksiomat nyt muutamassa kymmenessä minuutissa.

18 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R.

19 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R. Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki: x + y = y + x.

20 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R. Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki: x + y = y + x. Aksiooma 2. Yht.laskun liitäntälaki: x + (y + z) = (x + y) + z.

21 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R. Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki: x + y = y + x. Aksiooma 2. Yht.laskun liitäntälaki: x + (y + z) = (x + y) + z. Aksiooma 3. Yhteenlaskun neutraalialkion 0 olemassaolo ja ehto x + 0 = 0 + x = x.

22 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R. Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki: x + y = y + x. Aksiooma 2. Yht.laskun liitäntälaki: x + (y + z) = (x + y) + z. Aksiooma 3. Yhteenlaskun neutraalialkion 0 olemassaolo ja ehto x + 0 = 0 + x = x. Aksiooma 4. Luvun x vastaluvun y olemassaolo ja ehto x + y = y + x = 0.

23 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R. Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki: x + y = y + x. Aksiooma 2. Yht.laskun liitäntälaki: x + (y + z) = (x + y) + z. Aksiooma 3. Yhteenlaskun neutraalialkion 0 olemassaolo ja ehto x + 0 = 0 + x = x. Aksiooma 4. Luvun x vastaluvun y olemassaolo ja ehto x + y = y + x = 0. Aksiooma 5: Kertolaskun vaihdantalaki: x y = y x.

24 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R. Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki: x + y = y + x. Aksiooma 2. Yht.laskun liitäntälaki: x + (y + z) = (x + y) + z. Aksiooma 3. Yhteenlaskun neutraalialkion 0 olemassaolo ja ehto x + 0 = 0 + x = x. Aksiooma 4. Luvun x vastaluvun y olemassaolo ja ehto x + y = y + x = 0. Aksiooma 5: Kertolaskun vaihdantalaki: x y = y x. Aksiooma 6: Kertolaskun liitäntälaki: x(yz) = (xy)z.

25 Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R. Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki: x + y = y + x. Aksiooma 2. Yht.laskun liitäntälaki: x + (y + z) = (x + y) + z. Aksiooma 3. Yhteenlaskun neutraalialkion 0 olemassaolo ja ehto x + 0 = 0 + x = x. Aksiooma 4. Luvun x vastaluvun y olemassaolo ja ehto x + y = y + x = 0. Aksiooma 5: Kertolaskun vaihdantalaki: x y = y x. Aksiooma 6: Kertolaskun liitäntälaki: x(yz) = (xy)z.

26 Aksiooma 7. Osittelulaki: x(y + z) = xy + xz.

27 Aksiooma 7. Osittelulaki: x(y + z) = xy + xz. Aksiooma 8. Kertolaskun neutraalialkion 1 olemassaolo ja ehto x 1 = 1 x = x.

28 Aksiooma 7. Osittelulaki: x(y + z) = xy + xz. Aksiooma 8. Kertolaskun neutraalialkion 1 olemassaolo ja ehto x 1 = 1 x = x. Aksiooma 9. Luvun x 0 käänteisluvun y olemassaoloja ja ehto xy = yx = 1.

29 Aksiooma 7. Osittelulaki: x(y + z) = xy + xz. Aksiooma 8. Kertolaskun neutraalialkion 1 olemassaolo ja ehto x 1 = 1 x = x. Aksiooma 9. Luvun x 0 käänteisluvun y olemassaoloja ja ehto xy = yx = 1. Näiden laskulakien avulla voidaan todistaa lukujen 0 ja 1 yksikäsitteisyys samoin kuin vasta-alkion (merkitään x) ja käänteisalkion ( 1 x tai x 1 ) yksikäsitteisyydet.

30 Aksiooma 7. Osittelulaki: x(y + z) = xy + xz. Aksiooma 8. Kertolaskun neutraalialkion 1 olemassaolo ja ehto x 1 = 1 x = x. Aksiooma 9. Luvun x 0 käänteisluvun y olemassaoloja ja ehto xy = yx = 1. Näiden laskulakien avulla voidaan todistaa lukujen 0 ja 1 yksikäsitteisyys samoin kuin vasta-alkion (merkitään x) ja käänteisalkion ( 1 x tai x 1 ) yksikäsitteisyydet. Määritellään myös vähennyslasku eli erotus: x y = x + ( y).

31 Aksiooma 7. Osittelulaki: x(y + z) = xy + xz. Aksiooma 8. Kertolaskun neutraalialkion 1 olemassaolo ja ehto x 1 = 1 x = x. Aksiooma 9. Luvun x 0 käänteisluvun y olemassaoloja ja ehto xy = yx = 1. Näiden laskulakien avulla voidaan todistaa lukujen 0 ja 1 yksikäsitteisyys samoin kuin vasta-alkion (merkitään x) ja käänteisalkion ( 1 x tai x 1 ) yksikäsitteisyydet. Määritellään myös vähennyslasku eli erotus: x y = x + ( y). ja jakolasku eli osamäärä: x y = x y 1.

32 Aksiooma 7. Osittelulaki: x(y + z) = xy + xz. Aksiooma 8. Kertolaskun neutraalialkion 1 olemassaolo ja ehto x 1 = 1 x = x. Aksiooma 9. Luvun x 0 käänteisluvun y olemassaoloja ja ehto xy = yx = 1. Näiden laskulakien avulla voidaan todistaa lukujen 0 ja 1 yksikäsitteisyys samoin kuin vasta-alkion (merkitään x) ja käänteisalkion ( 1 x tai x 1 ) yksikäsitteisyydet. Määritellään myös vähennyslasku eli erotus: x y = x + ( y). ja jakolasku eli osamäärä: x y = x y 1. Reaalilukujen ohella myös rationaaliluvut toteuttavat nämä aksioomat. Sensijaan kokonaisluvut eivät, sillä niiltä puuttuu käänteisalkio ja luonnollisilla luvuilla ei ole edes vasta-alkiota.

33 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P.

34 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P. Aksioma P2. Jokaiselle reaaliluvulle a täsmälleen yksi seuraavista pätee: a P, a P tai a = 0.

35 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P. Aksioma P2. Jokaiselle reaaliluvulle a täsmälleen yksi seuraavista pätee: a P, a P tai a = 0. Positiivisuusaksiomien avulla voidaan määritellä relaatio.

36 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P. Aksioma P2. Jokaiselle reaaliluvulle a täsmälleen yksi seuraavista pätee: a P, a P tai a = 0. Positiivisuusaksiomien avulla voidaan määritellä relaatio. Viimeinen reaalilukujoukon aksioomista on täydellisyysaksioma: sanotaan, että reaaliluku (tai alkio) a on reaalilukujen joukon B R yläraja jos b a aina, kun b B.

37 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P. Aksioma P2. Jokaiselle reaaliluvulle a täsmälleen yksi seuraavista pätee: a P, a P tai a = 0. Positiivisuusaksiomien avulla voidaan määritellä relaatio. Viimeinen reaalilukujoukon aksioomista on täydellisyysaksioma: sanotaan, että reaaliluku (tai alkio) a on reaalilukujen joukon B R yläraja jos b a aina, kun b B. Täydellisyysaksiooman mukaan jokaisessa ylärajajoukossa on pienin yläraja, merkitään sup B R,

38 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P. Aksioma P2. Jokaiselle reaaliluvulle a täsmälleen yksi seuraavista pätee: a P, a P tai a = 0. Positiivisuusaksiomien avulla voidaan määritellä relaatio. Viimeinen reaalilukujoukon aksioomista on täydellisyysaksioma: sanotaan, että reaaliluku (tai alkio) a on reaalilukujen joukon B R yläraja jos b a aina, kun b B. Täydellisyysaksiooman mukaan jokaisessa ylärajajoukossa on pienin yläraja, merkitään sup B R, ts. b sup B aina, kun b B ja jos b a aina, kun b B, niin sup B a.

39 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P. Aksioma P2. Jokaiselle reaaliluvulle a täsmälleen yksi seuraavista pätee: a P, a P tai a = 0. Positiivisuusaksiomien avulla voidaan määritellä relaatio. Viimeinen reaalilukujoukon aksioomista on täydellisyysaksioma: sanotaan, että reaaliluku (tai alkio) a on reaalilukujen joukon B R yläraja jos b a aina, kun b B. Täydellisyysaksiooman mukaan jokaisessa ylärajajoukossa on pienin yläraja, merkitään sup B R, ts. b sup B aina, kun b B ja jos b a aina, kun b B, niin sup B a. Rationaalilukujen joukko ei täytä täydellisyysaksioomaa.

40 Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P. Aksioma P2. Jokaiselle reaaliluvulle a täsmälleen yksi seuraavista pätee: a P, a P tai a = 0. Positiivisuusaksiomien avulla voidaan määritellä relaatio. Viimeinen reaalilukujoukon aksioomista on täydellisyysaksioma: sanotaan, että reaaliluku (tai alkio) a on reaalilukujen joukon B R yläraja jos b a aina, kun b B. Täydellisyysaksiooman mukaan jokaisessa ylärajajoukossa on pienin yläraja, merkitään sup B R, ts. b sup B aina, kun b B ja jos b a aina, kun b B, niin sup B a. Rationaalilukujen joukko ei täytä täydellisyysaksioomaa. Täydellisyysaksiooman avulla voidaan mm todistaa, että 2 = sup{x R 0 x, x 2 < 2}.

41 Näiden aksioomien avulla voidaan todistaa kaikki lukiosta tunnetut reaalilukujen ominaisuudet.

42 Näiden aksioomien avulla voidaan todistaa kaikki lukiosta tunnetut reaalilukujen ominaisuudet. Voidaan esimerkiksi määritellä reaaliluvun itseisarvo x ehdolla x = x jos 0 x ja x = x jos x < 0.

43 Näiden aksioomien avulla voidaan todistaa kaikki lukiosta tunnetut reaalilukujen ominaisuudet. Voidaan esimerkiksi määritellä reaaliluvun itseisarvo x ehdolla x = x jos 0 x ja x = x jos x < 0. Positiivisuusaksioomista seuraa silloin, että jos 0 d, niin c d jos, ja vain jos d c d, erityisesti x x x kaikille x R.

44 Näiden aksioomien avulla voidaan todistaa kaikki lukiosta tunnetut reaalilukujen ominaisuudet. Voidaan esimerkiksi määritellä reaaliluvun itseisarvo x ehdolla x = x jos 0 x ja x = x jos x < 0. Positiivisuusaksioomista seuraa silloin, että jos 0 d, niin c d jos, ja vain jos d c d, erityisesti x x x kaikille x R. Siten a a a ja b b b kaikille a, b R, josta puolittain yhteen laskemalla saadaan a b a + b a + b.

45 Näiden aksioomien avulla voidaan todistaa kaikki lukiosta tunnetut reaalilukujen ominaisuudet. Voidaan esimerkiksi määritellä reaaliluvun itseisarvo x ehdolla x = x jos 0 x ja x = x jos x < 0. Positiivisuusaksioomista seuraa silloin, että jos 0 d, niin c d jos, ja vain jos d c d, erityisesti x x x kaikille x R. Siten a a a ja b b b kaikille a, b R, josta puolittain yhteen laskemalla saadaan a b a + b a + b. Tämä viimeinen on yhtäpitävää kolmioepäyhtälön a + b a + b kanssa.

46 Näiden aksioomien avulla voidaan todistaa kaikki lukiosta tunnetut reaalilukujen ominaisuudet. Voidaan esimerkiksi määritellä reaaliluvun itseisarvo x ehdolla x = x jos 0 x ja x = x jos x < 0. Positiivisuusaksioomista seuraa silloin, että jos 0 d, niin c d jos, ja vain jos d c d, erityisesti x x x kaikille x R. Siten a a a ja b b b kaikille a, b R, josta puolittain yhteen laskemalla saadaan a b a + b a + b. Tämä viimeinen on yhtäpitävää kolmioepäyhtälön a + b a + b kanssa. Kun oletetaan tunnetuksi reaalilukujen avoimet, suljetut ja puoliavoimet välit, voidaan todistaa, että seuraavat ovat yhtäpitäviä:

47 Näiden aksioomien avulla voidaan todistaa kaikki lukiosta tunnetut reaalilukujen ominaisuudet. Voidaan esimerkiksi määritellä reaaliluvun itseisarvo x ehdolla x = x jos 0 x ja x = x jos x < 0. Positiivisuusaksioomista seuraa silloin, että jos 0 d, niin c d jos, ja vain jos d c d, erityisesti x x x kaikille x R. Siten a a a ja b b b kaikille a, b R, josta puolittain yhteen laskemalla saadaan a b a + b a + b. Tämä viimeinen on yhtäpitävää kolmioepäyhtälön a + b a + b kanssa. Kun oletetaan tunnetuksi reaalilukujen avoimet, suljetut ja puoliavoimet välit, voidaan todistaa, että seuraavat ovat yhtäpitäviä: i x a < r ii a r < x < a + r iii x (a r, a + r).

48 Relaatioista ja kuvauksista (eli funktioista) Kahden joukon A ja B tulojoukon A B = {(a, b) a A, b B} jokainen osajoukko R on relaatio joukosta A joukolle B. Voidaan merkitä arb tai R(a, b) kun (a, b) R.

49 Relaatioista ja kuvauksista (eli funktioista) Kahden joukon A ja B tulojoukon A B = {(a, b) a A, b B} jokainen osajoukko R on relaatio joukosta A joukolle B. Voidaan merkitä arb tai R(a, b) kun (a, b) R. Jos esimerkiksi A on (suomalaisten) miesten ja B (suomalaisten) naisten joukko, niin eräs relaatio R A B on (suomalaisten) avioparien (a, b) joukko.

50 Relaatioista ja kuvauksista (eli funktioista) Kahden joukon A ja B tulojoukon A B = {(a, b) a A, b B} jokainen osajoukko R on relaatio joukosta A joukolle B. Voidaan merkitä arb tai R(a, b) kun (a, b) R. Jos esimerkiksi A on (suomalaisten) miesten ja B (suomalaisten) naisten joukko, niin eräs relaatio R A B on (suomalaisten) avioparien (a, b) joukko. Tämä on esimerkki myös kuvauksesta: se liittää jokaiseen joukon A alkioon enintään yhden joukon B alkion.

51 Relaatioista ja kuvauksista (eli funktioista) Kahden joukon A ja B tulojoukon A B = {(a, b) a A, b B} jokainen osajoukko R on relaatio joukosta A joukolle B. Voidaan merkitä arb tai R(a, b) kun (a, b) R. Jos esimerkiksi A on (suomalaisten) miesten ja B (suomalaisten) naisten joukko, niin eräs relaatio R A B on (suomalaisten) avioparien (a, b) joukko. Tämä on esimerkki myös kuvauksesta: se liittää jokaiseen joukon A alkioon enintään yhden joukon B alkion. Jos sana suomalaisten korvataan sanalla arabi, ei synny kuvausta, relaatio kylläkin.

52 Relaatioista ja kuvauksista (eli funktioista) Kahden joukon A ja B tulojoukon A B = {(a, b) a A, b B} jokainen osajoukko R on relaatio joukosta A joukolle B. Voidaan merkitä arb tai R(a, b) kun (a, b) R. Jos esimerkiksi A on (suomalaisten) miesten ja B (suomalaisten) naisten joukko, niin eräs relaatio R A B on (suomalaisten) avioparien (a, b) joukko. Tämä on esimerkki myös kuvauksesta: se liittää jokaiseen joukon A alkioon enintään yhden joukon B alkion. Jos sana suomalaisten korvataan sanalla arabi, ei synny kuvausta, relaatio kylläkin. Jos taas A on naisten ja B lasten joukko, niin eräs relaatio R A B on äiti - lapsi -parien (a, b) joukko, joka ei ole kuvaus, mutta relaatio R B A, lapsi - äiti -parien (a, b) joukko on kuvaus.

53 Relaatioista ja kuvauksista (eli funktioista) Kahden joukon A ja B tulojoukon A B = {(a, b) a A, b B} jokainen osajoukko R on relaatio joukosta A joukolle B. Voidaan merkitä arb tai R(a, b) kun (a, b) R. Jos esimerkiksi A on (suomalaisten) miesten ja B (suomalaisten) naisten joukko, niin eräs relaatio R A B on (suomalaisten) avioparien (a, b) joukko. Tämä on esimerkki myös kuvauksesta: se liittää jokaiseen joukon A alkioon enintään yhden joukon B alkion. Jos sana suomalaisten korvataan sanalla arabi, ei synny kuvausta, relaatio kylläkin. Jos taas A on naisten ja B lasten joukko, niin eräs relaatio R A B on äiti - lapsi -parien (a, b) joukko, joka ei ole kuvaus, mutta relaatio R B A, lapsi - äiti -parien (a, b) joukko on kuvaus. Seuraava on lähinnä lukion funktioopin pintapuolista kertausta: käsittelemme sitä tarkemmin viikoilla 4 6, kun meillä on mm jatkuvuuden käsite käytössä

54 Oletetaan aluksi, että A, B R

55 Oletetaan aluksi, että A, B R Määritelmiä. Funktiolla eli kuvauksella f : A B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon x täsmälleen yhden joukon B alkion y, merkitään y = f (x).

56 Oletetaan aluksi, että A, B R Määritelmiä. Funktiolla eli kuvauksella f : A B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon x täsmälleen yhden joukon B alkion y, merkitään y = f (x). Funktion f lähtöjoukko eli määrittelyjoukko D(f ) on tällöin A ja maalijoukko on B.

57 Oletetaan aluksi, että A, B R Määritelmiä. Funktiolla eli kuvauksella f : A B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon x täsmälleen yhden joukon B alkion y, merkitään y = f (x). Funktion f lähtöjoukko eli määrittelyjoukko D(f ) on tällöin A ja maalijoukko on B. Jos y = f (x), niin y on funktion arvo muuttujan arvolla x. Myös sanotaan, että y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva.

58 Oletetaan aluksi, että A, B R Määritelmiä. Funktiolla eli kuvauksella f : A B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon x täsmälleen yhden joukon B alkion y, merkitään y = f (x). Funktion f lähtöjoukko eli määrittelyjoukko D(f ) on tällöin A ja maalijoukko on B. Jos y = f (x), niin y on funktion arvo muuttujan arvolla x. Myös sanotaan, että y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva. Muuttujan sellainen arvo, jolla funktio saa arvon nolla, on funktion nollakohta.

59 Oletetaan aluksi, että A, B R Määritelmiä. Funktiolla eli kuvauksella f : A B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon x täsmälleen yhden joukon B alkion y, merkitään y = f (x). Funktion f lähtöjoukko eli määrittelyjoukko D(f ) on tällöin A ja maalijoukko on B. Jos y = f (x), niin y on funktion arvo muuttujan arvolla x. Myös sanotaan, että y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva. Muuttujan sellainen arvo, jolla funktio saa arvon nolla, on funktion nollakohta. Funktion f kaikkien arvojen joukkoa sanotaan arvojoukoksi, merkitään R(f ). Arvojoukko on aina maalijoukon osajoukko.

60 Oletetaan aluksi, että A, B R Määritelmiä. Funktiolla eli kuvauksella f : A B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon x täsmälleen yhden joukon B alkion y, merkitään y = f (x). Funktion f lähtöjoukko eli määrittelyjoukko D(f ) on tällöin A ja maalijoukko on B. Jos y = f (x), niin y on funktion arvo muuttujan arvolla x. Myös sanotaan, että y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva. Muuttujan sellainen arvo, jolla funktio saa arvon nolla, on funktion nollakohta. Funktion f kaikkien arvojen joukkoa sanotaan arvojoukoksi, merkitään R(f ). Arvojoukko on aina maalijoukon osajoukko. Joskus, kun tarkasteltavaa kuvausta ei haluta nimetä, merkitään näkyviin pelkästään kuvauksen määrittävä sääntö muodossa x lauseke. Esimerkiksi x 2x + 3 on tällainen merkintä.

61 Oletetaan aluksi, että A, B R Määritelmiä. Funktiolla eli kuvauksella f : A B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon x täsmälleen yhden joukon B alkion y, merkitään y = f (x). Funktion f lähtöjoukko eli määrittelyjoukko D(f ) on tällöin A ja maalijoukko on B. Jos y = f (x), niin y on funktion arvo muuttujan arvolla x. Myös sanotaan, että y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva. Muuttujan sellainen arvo, jolla funktio saa arvon nolla, on funktion nollakohta. Funktion f kaikkien arvojen joukkoa sanotaan arvojoukoksi, merkitään R(f ). Arvojoukko on aina maalijoukon osajoukko. Joskus, kun tarkasteltavaa kuvausta ei haluta nimetä, merkitään näkyviin pelkästään kuvauksen määrittävä sääntö muodossa x lauseke. Esimerkiksi x 2x + 3 on tällainen merkintä. Yksinkertaisimmat funktiot ovat f (x) = k (vakiofunktio), f (x) = x, f (x) = x 2, f (x) = x 3, jne.

62 > f0:=5:f1:=x:f2:=x^2:f3:=x^3: > plot({f0,f1,f2,f3},x=-3..3,color = blue, thickness=3,title=`perusfunktioiden kuvaajia`); >

63 Määritelmä (Injektio) Funktio f : A B on injektio eli injektiivinen funktio, jos ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa aina, että x 1 = x 2.

64 Määritelmä (Injektio) Funktio f : A B on injektio eli injektiivinen funktio, jos ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa aina, että x 1 = x 2. Injektio ei siis saa muuttujan x eri arvoilla samaa arvoa. Jokaisella kuvalla on vain yksi alkukuva. Injektion kuvaaja leikkaa x-akselin suuntaisen suoran enintään yhden kerran.

65 Määritelmä (Injektio) Funktio f : A B on injektio eli injektiivinen funktio, jos ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa aina, että x 1 = x 2. Injektio ei siis saa muuttujan x eri arvoilla samaa arvoa. Jokaisella kuvalla on vain yksi alkukuva. Injektion kuvaaja leikkaa x-akselin suuntaisen suoran enintään yhden kerran. Esim. f (x) = x 3 on injektio, mutta f (x) = x 2 ei ole: vaikkapa f (2) = f ( 2) = 4.

66 Määritelmä (Injektio) Funktio f : A B on injektio eli injektiivinen funktio, jos ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa aina, että x 1 = x 2. Injektio ei siis saa muuttujan x eri arvoilla samaa arvoa. Jokaisella kuvalla on vain yksi alkukuva. Injektion kuvaaja leikkaa x-akselin suuntaisen suoran enintään yhden kerran. Esim. f (x) = x 3 on injektio, mutta f (x) = x 2 ei ole: vaikkapa f (2) = f ( 2) = 4. Funktio f on kasvava jollakin määrittelyalueensa välillä I jos ehdosta x < y seuraa, että f (x) f (y). Jos ehdosta x < y seuraa, että f (x) < f (y), on f aidosti kasvava.

67 Määritelmä (Injektio) Funktio f : A B on injektio eli injektiivinen funktio, jos ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa aina, että x 1 = x 2. Injektio ei siis saa muuttujan x eri arvoilla samaa arvoa. Jokaisella kuvalla on vain yksi alkukuva. Injektion kuvaaja leikkaa x-akselin suuntaisen suoran enintään yhden kerran. Esim. f (x) = x 3 on injektio, mutta f (x) = x 2 ei ole: vaikkapa f (2) = f ( 2) = 4. Funktio f on kasvava jollakin määrittelyalueensa välillä I jos ehdosta x < y seuraa, että f (x) f (y). Jos ehdosta x < y seuraa, että f (x) < f (y), on f aidosti kasvava. Siten esimerkiksi vakiofunktio on kasvava, muttei aidosti kasvava. f (x) = x 3 on aidosti kasvava koko määrittelyalueessaan R.

68 Vastaavalla tavalla määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä funktio f.

69 Vastaavalla tavalla määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä funktio f. Funktio, joka on välillä I kasvava tai vähenevä (mutta ei molempia) on monotoninen.

70 Vastaavalla tavalla määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä funktio f. Funktio, joka on välillä I kasvava tai vähenevä (mutta ei molempia) on monotoninen. Määritelmä (Surjektio) Funktio f : A B on surjektio eli surjektiivinen funktio, jos sen arvojoukko on sama kuin maalijoukko eli R(f ) = B.

71 Vastaavalla tavalla määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä funktio f. Funktio, joka on välillä I kasvava tai vähenevä (mutta ei molempia) on monotoninen. Määritelmä (Surjektio) Funktio f : A B on surjektio eli surjektiivinen funktio, jos sen arvojoukko on sama kuin maalijoukko eli R(f ) = B. Vakiofunktio f (x) = k ei ole surjektio, ei myöskään f (x) = x 2 (jos B on koko R), mutta f (x) = x 3 on surjektio.

72 Vastaavalla tavalla määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä funktio f. Funktio, joka on välillä I kasvava tai vähenevä (mutta ei molempia) on monotoninen. Määritelmä (Surjektio) Funktio f : A B on surjektio eli surjektiivinen funktio, jos sen arvojoukko on sama kuin maalijoukko eli R(f ) = B. Vakiofunktio f (x) = k ei ole surjektio, ei myöskään f (x) = x 2 (jos B on koko R), mutta f (x) = x 3 on surjektio. Määritelmä (Bijektio) Funktio f : A B on bijektio eli bijektiivinen funktio, jos se on sekä injektio että surjektio.

73 Määritelmä (Käänteisfunktio) Olkoon f bijektiivinen funktio. Silloin funktio f 1, joka on määritelty f :n arvojoukossa B ja jokaisella B alkiolla f (x) toteuttaa yhtälön f 1 (f (x)) = x on f :n käänteisfunktio.

74 Määritelmä (Käänteisfunktio) Olkoon f bijektiivinen funktio. Silloin funktio f 1, joka on määritelty f :n arvojoukossa B ja jokaisella B alkiolla f (x) toteuttaa yhtälön f 1 (f (x)) = x on f :n käänteisfunktio. Jokaisella aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio.

75 Määritelmä (Käänteisfunktio) Olkoon f bijektiivinen funktio. Silloin funktio f 1, joka on määritelty f :n arvojoukossa B ja jokaisella B alkiolla f (x) toteuttaa yhtälön f 1 (f (x)) = x on f :n käänteisfunktio. Jokaisella aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio. Esimerkki Identiteettikuvauksen eli funktion f : R R, f (x) = x käänteisfunktio on funktio f itse, sillä f on aidosti monotoninen ja R(f ) = R = D(f 1 ) sekä x = f (f 1 (x)) = f 1 (x) ja kuvaajaksi tulee suora y = x.

76 Määritelmä (Käänteisfunktio) Olkoon f bijektiivinen funktio. Silloin funktio f 1, joka on määritelty f :n arvojoukossa B ja jokaisella B alkiolla f (x) toteuttaa yhtälön f 1 (f (x)) = x on f :n käänteisfunktio. Jokaisella aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio. Esimerkki Identiteettikuvauksen eli funktion f : R R, f (x) = x käänteisfunktio on funktio f itse, sillä f on aidosti monotoninen ja R(f ) = R = D(f 1 ) sekä x = f (f 1 (x)) = f 1 (x) ja kuvaajaksi tulee suora y = x. Esimerkki Jos määritellään f (x) = x 2 rajoittumana f : R + R +, on f bijektio, jonka käänteisfunktio f 1 : R + R + on f 1 (x) = x.

77 Määritelmä (Yhdistetty funktio) Olkoot f : A B ja g : B C funktioita. Tällöin jokaista A:n alkiota x vastaa yksikäsitteisesti määrätty B:n alkio f (x). Tämän kuvana puolestaan on yksikäsitteisesti määrätty C:n alkio g(f (x)). Täten on olemassa funktioista f ja g yhdistetty funktio A C, joka siis kuvaa A:n alkion x C:n alkioksi g(f (x)). Tästä funktiosta käytetään merkintää g f, missä f on sisäfunktio ja g ulkofunktio. Yhdistetty funktio g f on olemassa, jos f :n arvojoukolla ja g:n määrittelyjoukolla on yhteisiä alkioita, eli niiden leikkaus ei ole tyhjä. Tällöin D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}.

78 Määritelmä (Yhdistetty funktio) Olkoot f : A B ja g : B C funktioita. Tällöin jokaista A:n alkiota x vastaa yksikäsitteisesti määrätty B:n alkio f (x). Tämän kuvana puolestaan on yksikäsitteisesti määrätty C:n alkio g(f (x)). Täten on olemassa funktioista f ja g yhdistetty funktio A C, joka siis kuvaa A:n alkion x C:n alkioksi g(f (x)). Tästä funktiosta käytetään merkintää g f, missä f on sisäfunktio ja g ulkofunktio. Yhdistetty funktio g f on olemassa, jos f :n arvojoukolla ja g:n määrittelyjoukolla on yhteisiä alkioita, eli niiden leikkaus ei ole tyhjä. Tällöin D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. Esimerkki. Jos f : (, 1] R, f (x) = 1 x ja g : R R, g(x) = 1 x 2, niin g f (x) = 1 ( 1 x) 2 = 1 (1 x) = x.

79 Määritelmä (Yhdistetty funktio) Olkoot f : A B ja g : B C funktioita. Tällöin jokaista A:n alkiota x vastaa yksikäsitteisesti määrätty B:n alkio f (x). Tämän kuvana puolestaan on yksikäsitteisesti määrätty C:n alkio g(f (x)). Täten on olemassa funktioista f ja g yhdistetty funktio A C, joka siis kuvaa A:n alkion x C:n alkioksi g(f (x)). Tästä funktiosta käytetään merkintää g f, missä f on sisäfunktio ja g ulkofunktio. Yhdistetty funktio g f on olemassa, jos f :n arvojoukolla ja g:n määrittelyjoukolla on yhteisiä alkioita, eli niiden leikkaus ei ole tyhjä. Tällöin D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. Esimerkki. Jos f : (, 1] R, f (x) = 1 x ja g : R R, g(x) = 1 x 2, niin g f (x) = 1 ( 1 x) 2 = 1 (1 x) = x. Funktion f arvojoukko R(f ) = [0, ) ja g:n R(g) = (, 1].

80 Määritelmä (Yhdistetty funktio) Olkoot f : A B ja g : B C funktioita. Tällöin jokaista A:n alkiota x vastaa yksikäsitteisesti määrätty B:n alkio f (x). Tämän kuvana puolestaan on yksikäsitteisesti määrätty C:n alkio g(f (x)). Täten on olemassa funktioista f ja g yhdistetty funktio A C, joka siis kuvaa A:n alkion x C:n alkioksi g(f (x)). Tästä funktiosta käytetään merkintää g f, missä f on sisäfunktio ja g ulkofunktio. Yhdistetty funktio g f on olemassa, jos f :n arvojoukolla ja g:n määrittelyjoukolla on yhteisiä alkioita, eli niiden leikkaus ei ole tyhjä. Tällöin D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. Esimerkki. Jos f : (, 1] R, f (x) = 1 x ja g : R R, g(x) = 1 x 2, niin g f (x) = 1 ( 1 x) 2 = 1 (1 x) = x. Funktion f arvojoukko R(f ) = [0, ) ja g:n R(g) = (, 1]. Mikä on yhdistetyn funktion g f määrittelyjoukko?

81 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R}

82 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )}

83 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1].

84 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1]. Jos f ja g ovat funktioita, niin niiden välille on määritelty laskutoimitukset f + g, f g, f g ja f g, g 0, ilmeisellä tavalla, määrittelyjoukkona D(f ) D(g).

85 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1]. Jos f ja g ovat funktioita, niin niiden välille on määritelty laskutoimitukset f + g, f g, f g ja f g, g 0, ilmeisellä tavalla, määrittelyjoukkona D(f ) D(g). Esimerkki. Olkoon f (x) = 2x + 1 ja g(x) = x 2. Silloin näiden funktioiden

86 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1]. Jos f ja g ovat funktioita, niin niiden välille on määritelty laskutoimitukset f + g, f g, f g ja f g, g 0, ilmeisellä tavalla, määrittelyjoukkona D(f ) D(g). Esimerkki. Olkoon f (x) = 2x + 1 ja g(x) = x 2. Silloin näiden funktioiden (a) yhteenlasku (f + g)(x) = 2x x 2 = x 2 + 2x + 1,

87 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1]. Jos f ja g ovat funktioita, niin niiden välille on määritelty laskutoimitukset f + g, f g, f g ja f g, g 0, ilmeisellä tavalla, määrittelyjoukkona D(f ) D(g). Esimerkki. Olkoon f (x) = 2x + 1 ja g(x) = x 2. Silloin näiden funktioiden (a) yhteenlasku (f + g)(x) = 2x x 2 = x 2 + 2x + 1, (b) vähennyslasku (f g)(x) = 2x + 1 x 2 = x 2 + 2x + 1,

88 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1]. Jos f ja g ovat funktioita, niin niiden välille on määritelty laskutoimitukset f + g, f g, f g ja f g, g 0, ilmeisellä tavalla, määrittelyjoukkona D(f ) D(g). Esimerkki. Olkoon f (x) = 2x + 1 ja g(x) = x 2. Silloin näiden funktioiden (a) yhteenlasku (f + g)(x) = 2x x 2 = x 2 + 2x + 1, (b) vähennyslasku (f g)(x) = 2x + 1 x 2 = x 2 + 2x + 1, (c) kertolasku (fg)(x) = (2x + 1)x 2 = 2x 3 + x 2,

89 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1]. Jos f ja g ovat funktioita, niin niiden välille on määritelty laskutoimitukset f + g, f g, f g ja f g, g 0, ilmeisellä tavalla, määrittelyjoukkona D(f ) D(g). Esimerkki. Olkoon f (x) = 2x + 1 ja g(x) = x 2. Silloin näiden funktioiden (a) yhteenlasku (f + g)(x) = 2x x 2 = x 2 + 2x + 1, (b) vähennyslasku (f g)(x) = 2x + 1 x 2 = x 2 + 2x + 1, (c) kertolasku (fg)(x) = (2x + 1)x 2 = 2x 3 + x 2, (d) jakolasku f 2x+1 g (x) =, kun x 0. x 2

90 D(g f ) = {x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1]. Jos f ja g ovat funktioita, niin niiden välille on määritelty laskutoimitukset f + g, f g, f g ja f g, g 0, ilmeisellä tavalla, määrittelyjoukkona D(f ) D(g). Esimerkki. Olkoon f (x) = 2x + 1 ja g(x) = x 2. Silloin näiden funktioiden (a) yhteenlasku (f + g)(x) = 2x x 2 = x 2 + 2x + 1, (b) vähennyslasku (f g)(x) = 2x + 1 x 2 = x 2 + 2x + 1, (c) kertolasku (fg)(x) = (2x + 1)x 2 = 2x 3 + x 2, (d) jakolasku f 2x+1 g (x) =, kun x 0. x 2 Kaikki polynomit p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n saadaan vakiofunktioilla, kertomalla ja yhteenlaskemalla, murtofunktiot jakolaskulla.

91 Eksponentti- ja trigonometrisista funktioista Jos meillä olisi jo käytössä reaalimuuttujan funktion jatkuvuuden ja siihen perustuvan derivaatan käsitteet, voisimme määritellä lukiosta tutut 1 eksponettifunktion f (x) = e x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) = f (x) kaikilla x R, f (0) = 1.

92 Eksponentti- ja trigonometrisista funktioista Jos meillä olisi jo käytössä reaalimuuttujan funktion jatkuvuuden ja siihen perustuvan derivaatan käsitteet, voisimme määritellä lukiosta tutut 1 eksponettifunktion f (x) = e x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) = f (x) kaikilla x R, f (0) = 1. 2 cosinifunktion f (x) = cos x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) + f (x) = 0 kaikilla x R, f (0) = 1, f (0) = 0.

93 Eksponentti- ja trigonometrisista funktioista Jos meillä olisi jo käytössä reaalimuuttujan funktion jatkuvuuden ja siihen perustuvan derivaatan käsitteet, voisimme määritellä lukiosta tutut 1 eksponettifunktion f (x) = e x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) = f (x) kaikilla x R, f (0) = 1. 2 cosinifunktion f (x) = cos x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) + f (x) = 0 kaikilla x R, f (0) = 1, f (0) = 0. 3 sinifunktion f (x) = sin x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) + f (x) = 0 kaikilla x R, f (0) = 0, f (0) = 1.

94 Eksponentti- ja trigonometrisista funktioista Jos meillä olisi jo käytössä reaalimuuttujan funktion jatkuvuuden ja siihen perustuvan derivaatan käsitteet, voisimme määritellä lukiosta tutut 1 eksponettifunktion f (x) = e x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) = f (x) kaikilla x R, f (0) = 1. 2 cosinifunktion f (x) = cos x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) + f (x) = 0 kaikilla x R, f (0) = 1, f (0) = 0. 3 sinifunktion f (x) = sin x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) + f (x) = 0 kaikilla x R, f (0) = 0, f (0) = 1. Ks. Fitzpatrick, Advanced Calculus, luku 5. Nyt tyydymme lähinnä kertaamaan näiden funktioiden lukiosta tuttuja ominaisuuksia.

95 Yksikköympyrä Määritelmä. Yksikköympyrä on suorakulmaiseen, tasamittaiseen koordinaatistoon piirretty, origokeskinen ja yksi säteinen ympyrä. Tällöin se leikkaa x- ja y-akselit kohdissa 1 sekä -1. Yksiköympyrää käytetään varsin usein etenkin trigonometristen funktioiden tarkastelussa. Koordinaattiakselit jakavat yksikköympyrän neljään osaan. Eri neljänneksiä merkitään roomalaisin numeroin kuvan mukaisesti.

96 Määritelmä. Suunnattu kulma on sellainen kulma, joka muodostuu jonkin puolisuoran kiertyessä tasossa alkupisteensä ympäri. Kiertymisen määrää ei mitenkään rajoiteta. Puolisuoran alkuasemaa sanotaan kulman alkukyljeksi ja loppuasemaa kulman loppukyljeksi. Positiivisena kiertosuuntana pidetään vastapäivään tapahtuvaa kiertoa ja negatiivisena kiertoa myötäpäivään. Kiertosuunnan mukaisesti pidetään suunnattua kulmaa positiivisena tai negatiivisena. Kuva. Suunnattu kulma

97 Useassa yhteydessä merkitystä on vain suunnatun kulman α suuruudella. Tällöin voimme ajatella kulman piirretyksi koordinaatistoon siten, että sen kärkenä on origo ja alkukylkenä positiivinen x-akseli. Pistettä P, jossa α:n loppukylki leikkaa yksikköympyrän, sanotaan kulman α kehäpisteeksi. Kuva. Kehäpiste P yksikköympyrällä Jokaista suunnattua kulmaa α vastaa täysin määrätty suunnattu kaari. Kaaren suuruutta voidaan käyttää myös vastaavan suunnatun kulman suuruuden ilmoittamiseen. Täten määriteltyä kulman suuruuden yksikköä nimitetään radiaaniksi.

98 Määritelmä. Yksi radiaani (1 rad) on sen kulman suuruus, jota vastaavan suunnatun kaaren suuruus on 1. Radiaania sanotaan myös absoluuttiseksi kulmayksiköksi. Jos kulman suuruuden yksikkönä käytetään radiaania ja asiayhteydestä käy ilmi, että kyse on kulman suuruudesta, niin yksikköä ei yleensä merkitä näkyviin. Täyttä kulmaa, eli yhtä kierrosta, vastaava kaari on yksikköympyrän kehä. Sen pituus on 2π. Näin ollen 360 = 2π.

99 Vaikka jokaisella kulmalla on yksikäsitteisesti määrätty kehäpiste, niin kehäpiste puolestaan ei määrää suunnattua kulmaa yksikäsitteisesti, sillä lisäksi tarvitaan tieto kiertosuunnasta ja siitä, montako täyttä kierrosta kiertoon sisältyy. Jos kulmalla α on kehäpisteenä P, niin kaikilla joukon {α + n 2π n Z }kulmilla ja vain niillä on kehäpisteenä P.

100 Vaikka jokaisella kulmalla on yksikäsitteisesti määrätty kehäpiste, niin kehäpiste puolestaan ei määrää suunnattua kulmaa yksikäsitteisesti, sillä lisäksi tarvitaan tieto kiertosuunnasta ja siitä, montako täyttä kierrosta kiertoon sisältyy. Jos kulmalla α on kehäpisteenä P, niin kaikilla joukon {α + n 2π n Z }kulmilla ja vain niillä on kehäpisteenä P. Esimerkki 1. Edellä olleessa kuvassa kulma α oli noin 2,1 rad. Sama kehäpiste P voidaan ilmaista myös kiertämällä myötäpäivään, jolloin saadaan kulma -4,2 tai tekemällä ensin kaksi täyttä kierrosta vastapäivään, jolloin kulman suuruus on 2 2π + 2,1 14,7.

101 Vaikka jokaisella kulmalla on yksikäsitteisesti määrätty kehäpiste, niin kehäpiste puolestaan ei määrää suunnattua kulmaa yksikäsitteisesti, sillä lisäksi tarvitaan tieto kiertosuunnasta ja siitä, montako täyttä kierrosta kiertoon sisältyy. Jos kulmalla α on kehäpisteenä P, niin kaikilla joukon {α + n 2π n Z }kulmilla ja vain niillä on kehäpisteenä P. Esimerkki 1. Edellä olleessa kuvassa kulma α oli noin 2,1 rad. Sama kehäpiste P voidaan ilmaista myös kiertämällä myötäpäivään, jolloin saadaan kulma -4,2 tai tekemällä ensin kaksi täyttä kierrosta vastapäivään, jolloin kulman suuruus on 2 2π + 2,1 14,7. Esimerkki 2. Kulman 2,1 rad suuruus asteina saadaan ratkaisemalla verranto:

102 Sini-funktio Koska jokaista suunnattua kulmaa α vastaa täsmälleen yksi yksikköympyrän kehäpiste, niin on olemassa kuvaus suunnattujen kulmien joukolta kehäpisteiden joukolle. Siis on olemassa myös kuvaukset suunnattujen kulmien joukolta kehäpisteiden x- ja y-koordinaattien joukoille. Määritelmä. Kulman α sini on kulmaa vastaavan kehäpisteen y- koordinaatti.

103 Sini-funktio Koska jokaista suunnattua kulmaa α vastaa täsmälleen yksi yksikköympyrän kehäpiste, niin on olemassa kuvaus suunnattujen kulmien joukolta kehäpisteiden joukolle. Siis on olemassa myös kuvaukset suunnattujen kulmien joukolta kehäpisteiden x- ja y-koordinaattien joukoille. Määritelmä. Kulman α sini on kulmaa vastaavan kehäpisteen y- koordinaatti. Tän pitäis olla α!

104 Cosini-funktio Määritelmä. Kulman α cosini on kulmaa vastaavan kehäpisteen x- koordinaatti. Sinin ja kosinin arvojoukko on [-1, 1], ne ovat jaksollisia ja molempien perusjakso on 2π ( 1 ) sin(α) = sin(α + n 2π), ( 2 ) cos(α) = cos(α + n 2π), missä n Z. Sini on pariton funktio ja kosini parillinen funktio eli ( 3 ) sin(-α) = -sin(α), ( 4 ) cos(-α) = cos(α).

105 Cosini-funktio Määritelmä. Kulman α cosini on kulmaa vastaavan kehäpisteen x- koordinaatti. Siis x... ja tämän pitäisi olla α Sinin ja kosinin arvojoukko on [-1, 1], ne ovat jaksollisia ja molempien perusjakso on 2π ( 1 ) sin(α) = sin(α + n 2π), ( 2 ) cos(α) = cos(α + n 2π), missä n Z. Sini on pariton funktio ja kosini parillinen funktio eli ( 3 ) sin(-α) = -sin(α), ( 4 ) cos(-α) = cos(α).

106 Trigonometrian perustuloksia Seuraavat yhteydet saadaan helposti yksikköympyrän avulla eri kulmien välille: ( 5 ) sin(π - α) = -sin(π + α), ( 6 ) cos(π - α) = cos(π + α).

107 Trigonometrian perustuloksia Seuraavat yhteydet saadaan helposti yksikköympyrän avulla eri kulmien välille: ( 5 ) sin(π - α) = -sin(π + α), ( 6 ) cos(π - α) = cos(π + α). Kulman kosini on sen komplementtikulman sini ja kulman sini on sen komplementtikulman kosini. Matemaattisesti ilmaistuna sama asia saa muodon ( 7 ) sin(α) = cos(π/2-α), ( 8 ) cos(α) = sin(π/2-α).

108 Trigonometrian perustuloksia Seuraavat yhteydet saadaan helposti yksikköympyrän avulla eri kulmien välille: ( 5 ) sin(π - α) = -sin(π + α), ( 6 ) cos(π - α) = cos(π + α). Kulman kosini on sen komplementtikulman sini ja kulman sini on sen komplementtikulman kosini. Matemaattisesti ilmaistuna sama asia saa muodon ( 7 ) sin(α) = cos(π/2-α), ( 8 ) cos(α) = sin(π/2-α). Pythagoraan lauseen nojalla (9) sin 2 (α)+cos 2 (α) = 1.

109 Trigonometrian perustuloksia Seuraavat yhteydet saadaan helposti yksikköympyrän avulla eri kulmien välille: ( 5 ) sin(π - α) = -sin(π + α), ( 6 ) cos(π - α) = cos(π + α). Kulman kosini on sen komplementtikulman sini ja kulman sini on sen komplementtikulman kosini. Matemaattisesti ilmaistuna sama asia saa muodon ( 7 ) sin(α) = cos(π/2-α), ( 8 ) cos(α) = sin(π/2-α). Pythagoraan lauseen nojalla (9) sin 2 (α)+cos 2 (α) = 1. Voidaan myös johtaa seuraavat kaavat (10) sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) (11) cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)

110 Tangenttifunktio Trigonometrinen funktio tangentti (tan) määritellään sini- ja kosinifunktion avulla: Tangenttikäyrää

111 Kotangenttifunktio Trigonometrinen funktio kotangentti (cot) määritellään sekin sini- ja kosinifunktion avulla: Kotangenttikäyrää

112 Trigonometrian kaavoja Tangentin ja kotangentin arvojoukko on R, ne ovat jaksollisia ja perusjaksona on π: ( 11 ) tan(α) = tan(α + n π) ( 12 ) cot(α) = cot(α + n π).

113 Trigonometrian kaavoja Tangentin ja kotangentin arvojoukko on R, ne ovat jaksollisia ja perusjaksona on π: ( 11 ) tan(α) = tan(α + n π) ( 12 ) cot(α) = cot(α + n π). Tangentti ja kotangentti ovat parittomia funktiota, joten ( 13 ) tan(-α) = -tan(α), ( 14 ) cot(-α) = -cot(α).

114 Trigonometrian kaavoja Tangentin ja kotangentin arvojoukko on R, ne ovat jaksollisia ja perusjaksona on π: ( 11 ) tan(α) = tan(α + n π) ( 12 ) cot(α) = cot(α + n π). Tangentti ja kotangentti ovat parittomia funktiota, joten ( 13 ) tan(-α) = -tan(α), ( 14 ) cot(-α) = -cot(α). Luvut tan(α) ja cot(α) ovat toistensa käänteislukuja, joten ( 15 ) tan(α) = 1/cot(α). Huom. Myös nimiä cosini ja cotangentti käytetään!

115 Arkusfunktiot trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot Koska trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, saavat ne saman arvon usealla eri kulman arvolla eli eivät ole injektiivisiä. Täten muotoa sin(x) = a, -1 a 1, cos(x) = a, -1 a 1, tan(x) = a, a R, cot(x) = a, a R, olevilla yhtälöillä on ääretön määrä ratkaisuja.

116 Arkusfunktiot trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot Koska trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, saavat ne saman arvon usealla eri kulman arvolla eli eivät ole injektiivisiä. Täten muotoa sin(x) = a, -1 a 1, cos(x) = a, -1 a 1, tan(x) = a, a R, cot(x) = a, a R, olevilla yhtälöillä on ääretön määrä ratkaisuja. Mikäli kuitenkin rajoitutaan sopivalle välille, saadaan yksikäsitteinen ratkaistu x = α (jonka avulla voidaan lausua kaikki muutkin ratkaisut). Valitaan seuraavat aidosti monotoniset kuvaukset: ( 16 ) sin:[-π/2, π/2] [-1, 1], ( 17 ) cos: [0, π] [-1, 1], ( 18 ) tan: (-π/2, π/2) R, ( 19 ) cot: (0, π) R.