Johdatus matemaattiseen päättelyyn
|
|
- Miina Manninen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu
2 Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta Suora todistus Epäsuora todistus Antiteesin muodostaminen Kuinka osoitetaan, että väite ei ole totta? Induktiotodistus Summamerkintä Joukko-oppia 4.1 Perusmääritelmiä Karteesinen tulo Miten joukot osoitetaan samoiksi? Funktioista Kuvajoukko ja alkukuva Yhdistetty kuvaus Injektiivisyys, surjektiivisuus ja bijektiivisyys Käänteiskuvaus Relaatioista 46
3 1 Johdanto Matematiikan opetus koostuu usein luennoista, seminaareista sekä laskuharjoituksista. Luennoilla esitellään opintojakson teoriaosa sekä jaetaan viikoittain kotitehtäviä, joita käsitellään laskuharjoituksissa. Matematiikan opiskelun tukena on myös tuutorit. Tuurtortuvasta löytyy apua kotitehtäviin, luentojen ymmärtämiseen sekä asioiden omaksumiseen. Pelkkä luentojen ahkera kuunteleminen ja niiden (ulkoa) opettelu ei tue matematiikan opiskelua. Matematiikan osaaminen ei ole ulkoa muistamista vaan ymmärtämistä sekä kykyä käyttää tietoja uusien ongelmien ratkaisemiseen. Tämän vuoksi oppimisen kannalta tärkeintä on itsenäinen työnteko, ts. luentojen asioiden uudelleen läpikäyminen sekä harjoitustehtävien ratkominen. Kurssimateriaali ja sisältö pohjautuu pääosin Maarit Järvenpään syksyn 011 luentomonisteeseen (kirjoittanut Tuula Ripatti). 3
4 Esitietoja ja merkintöjä Määritelmä.1. Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {0, 1,, 3,...}. Merkintä n N tarkoittaa, että n kuuluu joukkoon N, ts.n on joukon N alkio eli n on luonnollinen luku. Luonnollisten lukujen laskutoimitukset oletetaan tunnetuiksi: kahden luonnollisen luvun tulo ja summa ovat luonnollisia lukuja. Luonnollinen luku n on parillinen, jos on olemassa sellainen k N, että n =k, ja pariton, josonolemassasellainenl N, ettän =l +1. Huomautus.. Jokainen luonnollinen luku on joko parillinen tai pariton, ts. ei ole olemassa luonnollista lukua, joka on parillinen ja pariton. Esimerkissä 3.9 harjoitellaan matemaattista päättelyä jaollisuutta ja rationaalilukuja käyttäen. Määritellään tätä varten tarvittavat käsitteet. Määritelmä.3. (i) Olkoot n, m N. Lukum on jaollinen luvulla n, joson olemassa sellainen k N, ettäm = kn. (ii) Luonnollinen luku m on alkuluku, josm ja jos m on jaollinen ainoastaan luvuilla 1 ja m. Merkitään kokonaislukujen joukkoa symbolilla Z, ts. Z = {...,, 1, 0, 1,,...}. Kokonaisluku n on parillinen, jos on olemassa sellainen k Z, että n =k, ja pariton, josonolemassasellainenl Z, ettän =l +1.(Vertaamääritelmä.1.) Määritelmä.4. Reaaliluku x on rationaaliluku, josonolemassasellaisetn, m Z, ettän 6= 0ja x = m n.reaalilukua,jokaeiolerationaaliluku,sanotaan irrationaaliluvuksi. Rationaalilukujen joukkoa merkitään symbolilla Q ja reaalilukujen joukkoa symbolilla R. (Reaalilukujaeitälläkurssillamääritellä,neajatellaanlukusuoran pisteinä.) Rationaalilukujen laskutoimitukset oletetaan tunnetuiksi. Huomautus.5. Jokainen kokonaisluku on joko parillinen tai pariton, ts. ei ole olemassa kokonaislukua, joka on parillinen ja pariton. 4
5 3 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: Jos P on totta, niin Q on totta. Tässä ehtoa P kutsutaan oletukseksi ja ehtoa Q väitteeksi. Jos yo.väitelause on totta, sanotaan, että ehdosta P seuraa ehto Q tai että ehto P on riittävä ehto ehdolle Q, jamerkitään P ) Q. Nuolta ) kutsutaan implikaationuoleksi. Merkintä P ) Q luetaan joko P :stä seuraa Q tai P implikoi Q:n. Esimerkki Jos x 0 (oletus), niin x apple 0 (väite).. Jos n on parillinen luonnollinen luku (oletus), niin n on parillinen luonnollinen luku (väite). 3. Olkoot n ja m parittomia luonnollisia lukuja (oletus). Tällöin mn on pariton luonnollinen luku (väite). 4. Kahden parillisen luonnollisen luvun tulo on parillinen. Oletus: n ja m ovat parillisia luonnollisia lukuja. Väite: nm on parillinen. Väitelauseen todistus kertoo, miksi ja miten väite seuraa oletuksista. Tarkastellaan seuraavaksi, miten väitelauseita todistetaan. 3.1 Suora todistus Suorassa todistuksessa lähdetään liikkeelle oletuksesta ja edetään vaiheittain väitteeseen. Päättelyn jokainen välivaihe on pystyttävä perustelemaan ja käytettävät käsitteet on määriteltävä tarkasti. Perusteluissa käytetään oletusta, aiemmin todistettuja lauseita tai muita tunnettuja tosiasioita. Esimerkeissä 3. sekä 3.3 harjoitellaan suoraa todistamista parittomia ja parillisia luonnollisia lukuja käyttäen. Esimerkki 3.. Todista väite: jos n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, niin n + k on parillinen. Oletus: n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, ts. on olemassa sellaiset m N 5
6 ja l N, ettän =m +1ja k =l +1. Väite: n + k on parillinen, ts. on olemassa sellainen p N, ettän + k =p. Todistus. Tavoitteena on löytää oletusta käyttäen sellainen p N, ettän + k = p. Oletuksenperusteella n + k =(m +1)+(l +1)=(m + l +1), joten n + k =p, kunvalitaanp = m + l +1 N. Siisn + k on parillinen. Esimerkki 3.3. Todista väite: parillisen luonnollisen luvun n neliö n on parillinen. Oletus: n on parillinen, ts. on olemassa sellainen k N, ettän =k. Väite: n on parillinen, ts. on olemassa sellainen l N, ettän =l. Todistus. Tavoitteena on löytää oletusta käyttäen sellainen l N, ettän =l. Oletuksesta saadaan n =(k) =4k =(k ), joten valitsemalla l =k =(k)k N nähdään, että n on parillinen. Huomautus 3.4. Seuraava taulukko ei kelpaa todistukseksi, sillä kaikkia parillisia lukuja ja niiden neliöitä ei ole mahdollista taulukoida: n n Huomautus 3.5. Suorassa todistuksessa lähdetään liikkeelle oletuksesta ja päädytään väitteeseen. Päättelyssä voidaan käyttää oletusta ja tunnettuja tuloksia, väitettä ei saa käyttää. 6
7 3. Epäsuora todistus Epäsuorassa todistuksessa muodostetaan aluksi antiteesi, ts.oletetaan,että väite ei pidä paikkaansa, ja päädytään ristiriitaan joko oletusten tai tunnettujen tosiasioiden kanssa. Näin ollen väitteen on oltava totta. Esimerkki 3.6. (1) Todista väite: jos n on parillinen, niin n on parillinen. Oletus: n on parillinen. Väite: n on parillinen. Todistus.Antiteesi:n ei ole parillinen, ts. n on pariton. Antiteesin perusteella löydetään sellainen k N, että n =k +1.Nyt n =(k +1) =4k +4k +1, missä 4k +4k N. Siisn on pariton. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan n on parillinen. Näin ollen antiteesi on epätosi ja väite on totta. () Olkoot m ja n luonnollisia lukuja, joiden tulo on pariton. Tällöin sekä n että m ovat parittomia. Oletus: m ja n ovat luonnollisia lukuja ja nm on pariton. Väite: sekä n että m ovat parittomia. Todistus.Antiteesi:toinenluvuistaonparillinen.Olkoontämäparillinenlukun, ts. n =k jollakin k N. Nyt nm =km on parillinen, mikä on ristiriita, sillä oletuksen perusteella nm on pariton. Siis antiteesi on epätosi ja väite on totta. Huomautus 3.7. (1) Epäsuorassa päättelyssä antiteesin muodostaminen on tärkeää: on mietittävä huolellisesti, mitä tarkoittaa se, että väite ei olisikaan totta. Antiteesin muodostamiseen palataan myöhemmin. 7
8 () Epäsuorassa todistuksessa ei ole selvää, mistä ja miten ristiriita löydetään. (3) Esimerkissä 3.3 osoitettiin, että n on parillinen (oletus) ) n on parillinen (väite). Toisaalta esimerkissä 3.6 (1) osoitettiin, että n on parillinen (oletus) ) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta voidaan yhdistää ja kirjoittaa muodossa n on parillinen, n on parillinen. Nuolta, kutsutaan ekvivalenssinuoleksi, ja merkintä luetaan joko n on pariton, jos ja vain jos n on pariton tai n on pariton, täsmälleen silloin, kun n on pariton. Merkintä P, Q tarkoittaa siis (P ) Q) ja (Q ) P ). Esimerkki 3.8. Osoita, että luonnollinen luku n on parillinen, jos ja vain jos luonnollinen luku n +1on pariton. Todistus.Väitekoostuukahdestaväitelauseesta: n on parillinen (oletus) =) n +1on pariton (väite) ja n +1on pariton (oletus) =) n on parillinen (väite). Todistetaan nämä erikseen. ) Oletus 1: luku n on parillinen. Väite 1: luku n +1on pariton. Todistus. Koskaoletuksen1perusteellan on parillinen, niin n = k jollakin k N. Nytn +1=k +1,jotenn +1on pariton. Siis väite 1 on totta. ( Oletus : luku n +1on pariton. 8
9 Väite : luku n on parillinen. Todistus.Oletuksennojallan +1=l +1jollakin l N, jotenn = n 1= (l +1) 1=l. Näinollenn on parillinen eli väite on totta. Koska molemmat väitelauseet ovat totta, on myös alkuperäinen väite totta. Esimerkki 3.9. (1) Luku 1 on jaollinen luvuilla 1,, 3, 4, 6 ja 1, sillä 1 = 1 1 = 6=3 4. Luvulla5 ei ole muita tekijöitä kuin 1 ja 5, jotenseon alkuluku. () Todista väite: luonnollinen luku n on jaollinen luvulla 6, jos ja vain jos se on jaollinen sekä luvuilla että 3. Todistus.Väitekoostuukahdestaväitelauseesta.Todistetaanneerikseen. ) Oletus 1: luku n on jaollinen luvulla 6. Väite 1: luku n on jaollinen luvuilla ja 3. Todistus. Käytetään oletusta 1 ja jaollisuuden määritelmää.3: Koska n =6k jollakin k N, niinn = (3k) =l, missäl =3k N. Siisn on jaollinen :lla. Lisäksi n =3 (k) =3m, missäm =k. Näinn on jaollinen 3:lla. Väite 1 on siis totta. ( Oletus : luku n on jaollinen luvuilla ja 3. Väite : luku n on jaollinen luvulla 6. Todistus.Oletuksenjajaollisuudenmääritelmän.3perusteellan =l jollakin l N ja n =3m jollakin m N. Osoitetaanaluksi, että m on parillinen. Käytetään epäsuoraa päättelyä. Antiteesi: m on pariton. Tällöin m =p +1jollakin p N, joten n =3m =3(p +1)=(3p +1)+1. Siis n on pariton. Tämä on ristiriita, sillä n = l eli n on parillinen. Koska päädyttiin ristiriitaan, on antiteesi väärä. Luvun m on siis oltava parillinen eli 9
10 m =k jollakin k N. Tästä saadaan n =3m =3 (k) =6k, joten n on jaollinen 6:lla eli väite on totta. Koska sekä väitelause ( että väitelause ) ovat tosia, on alkuperäinen väite totta. () Osoita, että p on irrationaaliluku. (Pythagoras n. 550 eaa.) Todistus.Antiteesi: p ei ole irrationaaliluku, ts. p on rationaaliluku. Rationaalilukujen määritelmän.4 perusteella löydetään sellaiset luonnolliset luvut m ja n, ettän 6= 0ja p m = n. Voidaan olettaa, että osamäärää m ei voida supistaa. (Jos supistaminen on mahdollista, supistetaan niin monta kertaa kuin voidaan, ja valitaan saadut n luvut m:ksi ja n:ksi.) Nyt =( p m ) m = = n n, joten m =n.näinollenm on parillinen ja esimerkin 3.6 (1) perusteella myös m on parillinen, ts. m =k jollakin k N. Koska n = m =(k) =4k, niin n = k.sitenn on parillinen ja esimerkin 3.6 (1) nojalla myös n on parillinen, ts. n =l jollakin l N. Nytsaadaan m n = k l, joten osamäärässä m voidaan supistaa luvulla. Tämä on ristiriita, sillä aiemmin n todettiin, p että tätä osamäärää ei voida supistaa. Siis antiteesi on väärä. Näin ollen on irrationaaliluku. (3) Olkoon n Z pariton. Osoitetaan sekä suoraa että epäsuoraa todistusta käyttäen, että 5n 3 on parillinen kokonaisluku. Oletus: n Z on pariton. 10
11 Väite: 5n 3 Z on parillinen. Suora todistus. Koskan on pariton, löydetään sellainen k Z, ettän =k +1. Näin ollen 5n 3=5(k +1) 3=10k =(5k 1), joten 5n 3 on parillinen. Siis väite on totta. Epäsuora todistus. Antiteesi:5n 3 ei ole parillinen, ts. 5n 3 on pariton. Antiteesin perusteella 5n 3=k +1jollakin k Z. Nyt n =5n 4n =(5n 3) 4n +3 = k +1 4n +3 =k 4n +4 =(k n +). Koska k on totta. n + on kokonaisluku, on n parillinen kokonaisluku. Näin ollen väite 3.3 Antiteesin muodostaminen Antiteesi eli vastaväite on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja antiteesi yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset tilanteet. Epäsuorassa todistuksessa antiteesi on lisäoletus, jota hyödynnetään ristiriitaan pyrittäessä. Väite on totta täsmälleen silloin, kun antiteesi ei ole totta, ts. väite on tosi, antiteesi on epätosi. Esimerkki Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat antiteesiä muodostettaessa. (1) Väite: tänään on pilvistä. Antiteesi: tänään ei ole pilvistä. () Väite: aurinko paistaa ja tuulee. Antiteesi: aurinko ei paista tai ei tuule. (3) Väite: sataa tai tuulee. Antiteesi: ei sada ja ei tuule. 11
12 (4) Väite: kaikki syyspäivät ovat aurinkoisia ja tuulisia. Antiteesi: on olemassa syyspäivä, joka ei ole aurinkoinen tai ei ole tuulinen. (5) Väite: on olemassa syyspäivä, jolloin tuulee tai sataa. Antiteesi: kaikki syyspäivät ovat tuulettomia ja sateettomia. Esimerkki Olkoon x R. Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteillle. (1) Väite: x apple 1. Antiteesi: x>1. () Väite: 0 <xapple 1, ts.x>0 ja x apple 1. Antiteesi: x apple 0 tai x>1. (3) Väite: on olemassa sellainen k N, ettäx =k +1. Antiteesi: ei ole olemassa sellaista lukua k N, ettäx =k +1,ts.kaikille luvuille k N pätee x 6= k +1. (4) Väite: kaikille n N on olemassa sellainen m N, että p nm +1 N. Antiteesi: on olemassa sellainen n N, ettäkaikille m N pätee p nm +1 / N. (5) Väite: on olemassa sellainen n N, ettäkaikille m N pätee m 6= n ja p mn N. Antiteesi: kaikilla n N on olemassa sellainen m N, ettän = m tai p nm / N. Esimerkki 3.1. Todista suoraa ja epäsuoraa päättelyä käyttäen väitelause: jos x R ja x 3x +< 0, niin x>0. Oletus: x R ja x 3x +< 0. Väite: x>0. Suora todistus. Koska x 3x +< 0, niin3x >x +.Näinollen x = 1 3 (3x) > 1 3 (x +) 1 3 (0 + ) = 3 > 0. 1
13 Siis x>0. Epäsuora todistus. Antiteesi: x apple 0. Tällöin 3x 0, joten x 3x => 0. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan x totta, joten väite on totta. 3x +< 0. Siisantiteesieiole Huomautus (1) Matemaattista tekstiä voidaan tiivistää nk. kvanttoreiden avulla: 8 kaikki (All) 9 on olemassa (Exist). Esimerkiksi: Väite on olemassa sellainen x R, ettäx = voidaanesittää muodossa 9x R : x =, ja väite kaikille luonnollisille luvuille m ja n pätee, että m + n N voidaanesittäämuodossa 8n, m N pätee: m + n N. () Antiteesiä muodostettaessa sanat ja, tai sekä kvanttorit 9 ja 8 käyttäytyvät näin: väite antiteesi ja tai tai ja (3) Matematiikassa tai ei ole joko-tai. Siis P on tosi tai Q on tosi tarkoittaa (i) P tosi, Q epätosi, (ii) P epätosi, Q tosi (iii) P tosi, Q tosi. tai 3.4 Kuinka osoitetaan, että väite ei ole totta? Väitelause P ) Q osoitetaan vääräksi keksimällä esimerkki, jossa oletus P pätee, mutta väite Q ei. 13
14 Esimerkki Osoita, että ao. väitelauseet eivät ole tosia. (1) Jos m ja n ovat negatiivisia kokonaislukuja, niin m n on negatiivinen kokonaisluku. Ratkaisu.Väiteeioletotta,sillä 1 ja ovat negatiivisia kokonaislukuja, mutta 1 ( ) = 1 on positiivinen kokonaisluku. () Jos x on irrationaaliluku, niin x x on irrationaaliluku. Ratkaisu.Väiteeioletotta,sillä p on irrationaaliluku, mutta x x = p p = ei ole irrationaaliluku. Jatketaan todistamisen harjoittelemista. Esimerkki (1) Olkoot n, m N. Josn + m on parillinen, niin joko n ja m ovat molemmat parillisia tai n ja m ovat molemmat parittomia. Oletus: n, m N ja n + m on parillinen. Väite: n ja m ovat parillisia tai n ja m ovat parittomia. Todistus.Antiteesi:Toinenluvuistaonparillinenjatoinenpariton. Oletetaan, että n on parillinen ja m on pariton. Tällöin löydetään sellaiset k, l N, ettän =l ja m =k +1.Näinollen n + m =l +k +1=(l + k)+1, joten n + m on pariton. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan n + m on parillinen. Antiteesi ei siis ole totta, ja näin ollen väite on totta. () Lukua 51 ei voida esittää yhden parittoman ja kahden parillisen luonnollisen luvun summana. Todistus.Antiteesi:Luku51voidaanesittäämuodossa 51 = k + l + m, missä k N on pariton ja l, m N ovat parillisia. 14
15 Koska k =n +1jollakin n N, l =p jollakin p N ja m =s jollakin s N, saadaan 51 = k + l + m =n +1+p +s =(n + p + s)+1, joten 51 on pariton. Tämä on ristiriita, sillä 51 = 56 on parillinen. Antiteesi ei siis ole totta, joten väite on totta. (3) Olkoot n, m ja k luonnollisia lukuja. Onko väite jos m + k on jaollinen n:llä, niin m on jaollinen n:llä tai k on jaollinen n:llä totta? Ratkaisu. Väiteeioletotta,mikänähdäänvalitsemallam =3, k =5ja n =. Luku m + k =3+5=8on jaollinen :lla, sillä 8=4, muttaluvut3ja5eivät ole jaollisia :lla. (4) Olkoot n, m ja k luonnollisia lukuja. Onko väite jos m on jaollinen n:llä ja k on jaollinen n:llä, niin m + k on jaollinen n:llä totta? Ratkaisu. Väiteontotta.Perustellaanse:Koskam ja k ovat jaollisia n:llä, niin m = ln ja k = pn joillakin l, p N. Nyt m + k = ln + pn =(l + p)n, joten m + k on jaollinen n:llä. Siis väite on totta. (5) Osoita, että on olemassa sellaiset irrationaaliluvut x ja y, ettäx y on rationaaliluku. Todistus.Reaaliluku p p on joko rationaaliluku tai irrationaaliluku. Jos p p on rationaaliluku, niin väite on totta, sillä voidaan valita x = y = p. (Huomaa, että p on irrationaaliluku.) Jos p p on irrationaaliluku, niin luku p p p = p = 15
16 on rationaaliluku. Tässä tapauksessa voidaan valita x = p p ja y = p. (6) Osoita, että on olemassa sellainen yksikäsitteinen reaaliluku x, että kaikilla reaaliluvuilla y. xy + x 4=4y Todistus.Todistetaanensin,ettäreaalilukux on olemassa, ja osoitetaan yksikäsitteisyys tämän jälkeen. Valitaan x =4. Tällöin olipa y mikä tahansa reaaliluku. xy + x 4=4y +4 4=4y Todistetaan vielä yksikäsitteisyys. Antiteesi: oletetaan, että on olemassa sellainen reaaliluku x 6= 4,että xy + x 4=4y kaikilla reaaliluvuilla y. Erityisesti, kun y =0, saadaan x 4=0, joten x =4,mikäonristiriita.Näinollenantiteesieioletotta,javäiteontodistettu. 16
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotVastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 2 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Marko Leinonen Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2018 1 Merkintöjä ja määritelmiä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko ja kokonaislukujen
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
Lisätiedot+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain
Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain
LisätiedotLukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotTodistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.
3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotJOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen
JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Petri Juutinen 7. toukokuuta 04 Sisältö Joukko-oppia 4. Joukko-opin peruskäsitteitä ja merkintöjä........... 4 Todistamisen ja matemaattisen päättelyn alkeita 3. Alkupala..............................
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
LisätiedotRatkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):
Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotJOHDATUS MATEMATIIKKAAN
JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Toitteko minulle ihmisen, joka ei osaa laskea sormiaan? Kuolleiden kirja JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Alkusanat Tämä tiivistelmä on allekirjoittaneen
LisätiedotJOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen
JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Petri Juutinen 15. syyskuuta 2015 Alkulause Much more important than specific mathematical results are the habits of mind used by the people who create those results. Cuoco, Goldenberg
LisätiedotJOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen
JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Petri Juutinen 14.8.2003 Sisältö 1 Todistamisen ja matemaattisen päättelyn alkeita 3 1.1 Maalaisjärjellä päätteleminen.................. 3 1.2 Todistamisen alkeita.......................
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
LisätiedotValitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.
MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Lisätiedot= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
LisätiedotSurjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.
5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
LisätiedotLOGIIKKA johdantoa
LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt
LisätiedotLisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan, 1. viikko (2 op)
Johdatus yliopistomatematiikkaan, 1. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Mitä matematiikka on? Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että matematiikka on tietyistä peruskäsitteistä ja perustotuuksista
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
LisätiedotRatkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotPredikaattilogiikkaa
Predikaattilogiikkaa UKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Kertausta ogiikan tehtävä: ogiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotMääritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki
Alkuluvut LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Jokainen luku 0 on jaollinen ainakin itsellään, vastaluvullaan ja luvuilla ±1. Kun muita eri ole, niin kyseinen luku on alkuluku. Määritelmä, alkuluku/yhdistetty
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotFunktioista. Esimerkki 1
Funktio eli kuvaus on matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Seuraavaksi tarkastellaan funktioita ja todistetaan niiden ominaisuuksia. Määritelmä 1 Olkoot A ja B. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Lisätiedot1 Perusasioita joukoista
1 Perusasioita joukoista 1.1 Merkintöjä Joukko voidaan määritellä luettelemalla siihen kuuluvat alkiot. Esimerkiksi voidaan merkitä = { 2, 1, 0, 1, 2}. Tästä merkinnästä nähdään, mitkä luvut ovat joukon
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 1 / Ratkaisuehdotuksia (AK) alkavalle viikolle
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 1 / Ratkaisuehdotuksia (AK) 14.9.009 alkavalle viikolle Näissä ohjauksissa opetellaan laskusääntöjen ja epäyhtälöiden huolellista käyttöä. Ratkaisuissa
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotMatemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja
Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedot