Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Transkriptio

1 Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu

2 Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta Suora todistus Epäsuora todistus Antiteesin muodostaminen Kuinka osoitetaan, että väite ei ole totta? Induktiotodistus Summamerkintä Joukko-oppia 4.1 Perusmääritelmiä Karteesinen tulo Miten joukot osoitetaan samoiksi? Funktioista Kuvajoukko ja alkukuva Yhdistetty kuvaus Injektiivisyys, surjektiivisuus ja bijektiivisyys Käänteiskuvaus Relaatioista 46

3 1 Johdanto Matematiikan opetus koostuu usein luennoista, seminaareista sekä laskuharjoituksista. Luennoilla esitellään opintojakson teoriaosa sekä jaetaan viikoittain kotitehtäviä, joita käsitellään laskuharjoituksissa. Matematiikan opiskelun tukena on myös tuutorit. Tuurtortuvasta löytyy apua kotitehtäviin, luentojen ymmärtämiseen sekä asioiden omaksumiseen. Pelkkä luentojen ahkera kuunteleminen ja niiden (ulkoa) opettelu ei tue matematiikan opiskelua. Matematiikan osaaminen ei ole ulkoa muistamista vaan ymmärtämistä sekä kykyä käyttää tietoja uusien ongelmien ratkaisemiseen. Tämän vuoksi oppimisen kannalta tärkeintä on itsenäinen työnteko, ts. luentojen asioiden uudelleen läpikäyminen sekä harjoitustehtävien ratkominen. Kurssimateriaali ja sisältö pohjautuu pääosin Maarit Järvenpään syksyn 011 luentomonisteeseen (kirjoittanut Tuula Ripatti). 3

4 Esitietoja ja merkintöjä Määritelmä.1. Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {0, 1,, 3,...}. Merkintä n N tarkoittaa, että n kuuluu joukkoon N, ts.n on joukon N alkio eli n on luonnollinen luku. Luonnollisten lukujen laskutoimitukset oletetaan tunnetuiksi: kahden luonnollisen luvun tulo ja summa ovat luonnollisia lukuja. Luonnollinen luku n on parillinen, jos on olemassa sellainen k N, että n =k, ja pariton, josonolemassasellainenl N, ettän =l +1. Huomautus.. Jokainen luonnollinen luku on joko parillinen tai pariton, ts. ei ole olemassa luonnollista lukua, joka on parillinen ja pariton. Esimerkissä 3.9 harjoitellaan matemaattista päättelyä jaollisuutta ja rationaalilukuja käyttäen. Määritellään tätä varten tarvittavat käsitteet. Määritelmä.3. (i) Olkoot n, m N. Lukum on jaollinen luvulla n, joson olemassa sellainen k N, ettäm = kn. (ii) Luonnollinen luku m on alkuluku, josm ja jos m on jaollinen ainoastaan luvuilla 1 ja m. Merkitään kokonaislukujen joukkoa symbolilla Z, ts. Z = {...,, 1, 0, 1,,...}. Kokonaisluku n on parillinen, jos on olemassa sellainen k Z, että n =k, ja pariton, josonolemassasellainenl Z, ettän =l +1.(Vertaamääritelmä.1.) Määritelmä.4. Reaaliluku x on rationaaliluku, josonolemassasellaisetn, m Z, ettän 6= 0ja x = m n.reaalilukua,jokaeiolerationaaliluku,sanotaan irrationaaliluvuksi. Rationaalilukujen joukkoa merkitään symbolilla Q ja reaalilukujen joukkoa symbolilla R. (Reaalilukujaeitälläkurssillamääritellä,neajatellaanlukusuoran pisteinä.) Rationaalilukujen laskutoimitukset oletetaan tunnetuiksi. Huomautus.5. Jokainen kokonaisluku on joko parillinen tai pariton, ts. ei ole olemassa kokonaislukua, joka on parillinen ja pariton. 4

5 3 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: Jos P on totta, niin Q on totta. Tässä ehtoa P kutsutaan oletukseksi ja ehtoa Q väitteeksi. Jos yo.väitelause on totta, sanotaan, että ehdosta P seuraa ehto Q tai että ehto P on riittävä ehto ehdolle Q, jamerkitään P ) Q. Nuolta ) kutsutaan implikaationuoleksi. Merkintä P ) Q luetaan joko P :stä seuraa Q tai P implikoi Q:n. Esimerkki Jos x 0 (oletus), niin x apple 0 (väite).. Jos n on parillinen luonnollinen luku (oletus), niin n on parillinen luonnollinen luku (väite). 3. Olkoot n ja m parittomia luonnollisia lukuja (oletus). Tällöin mn on pariton luonnollinen luku (väite). 4. Kahden parillisen luonnollisen luvun tulo on parillinen. Oletus: n ja m ovat parillisia luonnollisia lukuja. Väite: nm on parillinen. Väitelauseen todistus kertoo, miksi ja miten väite seuraa oletuksista. Tarkastellaan seuraavaksi, miten väitelauseita todistetaan. 3.1 Suora todistus Suorassa todistuksessa lähdetään liikkeelle oletuksesta ja edetään vaiheittain väitteeseen. Päättelyn jokainen välivaihe on pystyttävä perustelemaan ja käytettävät käsitteet on määriteltävä tarkasti. Perusteluissa käytetään oletusta, aiemmin todistettuja lauseita tai muita tunnettuja tosiasioita. Esimerkeissä 3. sekä 3.3 harjoitellaan suoraa todistamista parittomia ja parillisia luonnollisia lukuja käyttäen. Esimerkki 3.. Todista väite: jos n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, niin n + k on parillinen. Oletus: n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, ts. on olemassa sellaiset m N 5

6 ja l N, ettän =m +1ja k =l +1. Väite: n + k on parillinen, ts. on olemassa sellainen p N, ettän + k =p. Todistus. Tavoitteena on löytää oletusta käyttäen sellainen p N, ettän + k = p. Oletuksenperusteella n + k =(m +1)+(l +1)=(m + l +1), joten n + k =p, kunvalitaanp = m + l +1 N. Siisn + k on parillinen. Esimerkki 3.3. Todista väite: parillisen luonnollisen luvun n neliö n on parillinen. Oletus: n on parillinen, ts. on olemassa sellainen k N, ettän =k. Väite: n on parillinen, ts. on olemassa sellainen l N, ettän =l. Todistus. Tavoitteena on löytää oletusta käyttäen sellainen l N, ettän =l. Oletuksesta saadaan n =(k) =4k =(k ), joten valitsemalla l =k =(k)k N nähdään, että n on parillinen. Huomautus 3.4. Seuraava taulukko ei kelpaa todistukseksi, sillä kaikkia parillisia lukuja ja niiden neliöitä ei ole mahdollista taulukoida: n n Huomautus 3.5. Suorassa todistuksessa lähdetään liikkeelle oletuksesta ja päädytään väitteeseen. Päättelyssä voidaan käyttää oletusta ja tunnettuja tuloksia, väitettä ei saa käyttää. 6

7 3. Epäsuora todistus Epäsuorassa todistuksessa muodostetaan aluksi antiteesi, ts.oletetaan,että väite ei pidä paikkaansa, ja päädytään ristiriitaan joko oletusten tai tunnettujen tosiasioiden kanssa. Näin ollen väitteen on oltava totta. Esimerkki 3.6. (1) Todista väite: jos n on parillinen, niin n on parillinen. Oletus: n on parillinen. Väite: n on parillinen. Todistus.Antiteesi:n ei ole parillinen, ts. n on pariton. Antiteesin perusteella löydetään sellainen k N, että n =k +1.Nyt n =(k +1) =4k +4k +1, missä 4k +4k N. Siisn on pariton. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan n on parillinen. Näin ollen antiteesi on epätosi ja väite on totta. () Olkoot m ja n luonnollisia lukuja, joiden tulo on pariton. Tällöin sekä n että m ovat parittomia. Oletus: m ja n ovat luonnollisia lukuja ja nm on pariton. Väite: sekä n että m ovat parittomia. Todistus.Antiteesi:toinenluvuistaonparillinen.Olkoontämäparillinenlukun, ts. n =k jollakin k N. Nyt nm =km on parillinen, mikä on ristiriita, sillä oletuksen perusteella nm on pariton. Siis antiteesi on epätosi ja väite on totta. Huomautus 3.7. (1) Epäsuorassa päättelyssä antiteesin muodostaminen on tärkeää: on mietittävä huolellisesti, mitä tarkoittaa se, että väite ei olisikaan totta. Antiteesin muodostamiseen palataan myöhemmin. 7

8 () Epäsuorassa todistuksessa ei ole selvää, mistä ja miten ristiriita löydetään. (3) Esimerkissä 3.3 osoitettiin, että n on parillinen (oletus) ) n on parillinen (väite). Toisaalta esimerkissä 3.6 (1) osoitettiin, että n on parillinen (oletus) ) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta voidaan yhdistää ja kirjoittaa muodossa n on parillinen, n on parillinen. Nuolta, kutsutaan ekvivalenssinuoleksi, ja merkintä luetaan joko n on pariton, jos ja vain jos n on pariton tai n on pariton, täsmälleen silloin, kun n on pariton. Merkintä P, Q tarkoittaa siis (P ) Q) ja (Q ) P ). Esimerkki 3.8. Osoita, että luonnollinen luku n on parillinen, jos ja vain jos luonnollinen luku n +1on pariton. Todistus.Väitekoostuukahdestaväitelauseesta: n on parillinen (oletus) =) n +1on pariton (väite) ja n +1on pariton (oletus) =) n on parillinen (väite). Todistetaan nämä erikseen. ) Oletus 1: luku n on parillinen. Väite 1: luku n +1on pariton. Todistus. Koskaoletuksen1perusteellan on parillinen, niin n = k jollakin k N. Nytn +1=k +1,jotenn +1on pariton. Siis väite 1 on totta. ( Oletus : luku n +1on pariton. 8

9 Väite : luku n on parillinen. Todistus.Oletuksennojallan +1=l +1jollakin l N, jotenn = n 1= (l +1) 1=l. Näinollenn on parillinen eli väite on totta. Koska molemmat väitelauseet ovat totta, on myös alkuperäinen väite totta. Esimerkki 3.9. (1) Luku 1 on jaollinen luvuilla 1,, 3, 4, 6 ja 1, sillä 1 = 1 1 = 6=3 4. Luvulla5 ei ole muita tekijöitä kuin 1 ja 5, jotenseon alkuluku. () Todista väite: luonnollinen luku n on jaollinen luvulla 6, jos ja vain jos se on jaollinen sekä luvuilla että 3. Todistus.Väitekoostuukahdestaväitelauseesta.Todistetaanneerikseen. ) Oletus 1: luku n on jaollinen luvulla 6. Väite 1: luku n on jaollinen luvuilla ja 3. Todistus. Käytetään oletusta 1 ja jaollisuuden määritelmää.3: Koska n =6k jollakin k N, niinn = (3k) =l, missäl =3k N. Siisn on jaollinen :lla. Lisäksi n =3 (k) =3m, missäm =k. Näinn on jaollinen 3:lla. Väite 1 on siis totta. ( Oletus : luku n on jaollinen luvuilla ja 3. Väite : luku n on jaollinen luvulla 6. Todistus.Oletuksenjajaollisuudenmääritelmän.3perusteellan =l jollakin l N ja n =3m jollakin m N. Osoitetaanaluksi, että m on parillinen. Käytetään epäsuoraa päättelyä. Antiteesi: m on pariton. Tällöin m =p +1jollakin p N, joten n =3m =3(p +1)=(3p +1)+1. Siis n on pariton. Tämä on ristiriita, sillä n = l eli n on parillinen. Koska päädyttiin ristiriitaan, on antiteesi väärä. Luvun m on siis oltava parillinen eli 9

10 m =k jollakin k N. Tästä saadaan n =3m =3 (k) =6k, joten n on jaollinen 6:lla eli väite on totta. Koska sekä väitelause ( että väitelause ) ovat tosia, on alkuperäinen väite totta. () Osoita, että p on irrationaaliluku. (Pythagoras n. 550 eaa.) Todistus.Antiteesi: p ei ole irrationaaliluku, ts. p on rationaaliluku. Rationaalilukujen määritelmän.4 perusteella löydetään sellaiset luonnolliset luvut m ja n, ettän 6= 0ja p m = n. Voidaan olettaa, että osamäärää m ei voida supistaa. (Jos supistaminen on mahdollista, supistetaan niin monta kertaa kuin voidaan, ja valitaan saadut n luvut m:ksi ja n:ksi.) Nyt =( p m ) m = = n n, joten m =n.näinollenm on parillinen ja esimerkin 3.6 (1) perusteella myös m on parillinen, ts. m =k jollakin k N. Koska n = m =(k) =4k, niin n = k.sitenn on parillinen ja esimerkin 3.6 (1) nojalla myös n on parillinen, ts. n =l jollakin l N. Nytsaadaan m n = k l, joten osamäärässä m voidaan supistaa luvulla. Tämä on ristiriita, sillä aiemmin n todettiin, p että tätä osamäärää ei voida supistaa. Siis antiteesi on väärä. Näin ollen on irrationaaliluku. (3) Olkoon n Z pariton. Osoitetaan sekä suoraa että epäsuoraa todistusta käyttäen, että 5n 3 on parillinen kokonaisluku. Oletus: n Z on pariton. 10

11 Väite: 5n 3 Z on parillinen. Suora todistus. Koskan on pariton, löydetään sellainen k Z, ettän =k +1. Näin ollen 5n 3=5(k +1) 3=10k =(5k 1), joten 5n 3 on parillinen. Siis väite on totta. Epäsuora todistus. Antiteesi:5n 3 ei ole parillinen, ts. 5n 3 on pariton. Antiteesin perusteella 5n 3=k +1jollakin k Z. Nyt n =5n 4n =(5n 3) 4n +3 = k +1 4n +3 =k 4n +4 =(k n +). Koska k on totta. n + on kokonaisluku, on n parillinen kokonaisluku. Näin ollen väite 3.3 Antiteesin muodostaminen Antiteesi eli vastaväite on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja antiteesi yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset tilanteet. Epäsuorassa todistuksessa antiteesi on lisäoletus, jota hyödynnetään ristiriitaan pyrittäessä. Väite on totta täsmälleen silloin, kun antiteesi ei ole totta, ts. väite on tosi, antiteesi on epätosi. Esimerkki Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat antiteesiä muodostettaessa. (1) Väite: tänään on pilvistä. Antiteesi: tänään ei ole pilvistä. () Väite: aurinko paistaa ja tuulee. Antiteesi: aurinko ei paista tai ei tuule. (3) Väite: sataa tai tuulee. Antiteesi: ei sada ja ei tuule. 11

12 (4) Väite: kaikki syyspäivät ovat aurinkoisia ja tuulisia. Antiteesi: on olemassa syyspäivä, joka ei ole aurinkoinen tai ei ole tuulinen. (5) Väite: on olemassa syyspäivä, jolloin tuulee tai sataa. Antiteesi: kaikki syyspäivät ovat tuulettomia ja sateettomia. Esimerkki Olkoon x R. Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteillle. (1) Väite: x apple 1. Antiteesi: x>1. () Väite: 0 <xapple 1, ts.x>0 ja x apple 1. Antiteesi: x apple 0 tai x>1. (3) Väite: on olemassa sellainen k N, ettäx =k +1. Antiteesi: ei ole olemassa sellaista lukua k N, ettäx =k +1,ts.kaikille luvuille k N pätee x 6= k +1. (4) Väite: kaikille n N on olemassa sellainen m N, että p nm +1 N. Antiteesi: on olemassa sellainen n N, ettäkaikille m N pätee p nm +1 / N. (5) Väite: on olemassa sellainen n N, ettäkaikille m N pätee m 6= n ja p mn N. Antiteesi: kaikilla n N on olemassa sellainen m N, ettän = m tai p nm / N. Esimerkki 3.1. Todista suoraa ja epäsuoraa päättelyä käyttäen väitelause: jos x R ja x 3x +< 0, niin x>0. Oletus: x R ja x 3x +< 0. Väite: x>0. Suora todistus. Koska x 3x +< 0, niin3x >x +.Näinollen x = 1 3 (3x) > 1 3 (x +) 1 3 (0 + ) = 3 > 0. 1

13 Siis x>0. Epäsuora todistus. Antiteesi: x apple 0. Tällöin 3x 0, joten x 3x => 0. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan x totta, joten väite on totta. 3x +< 0. Siisantiteesieiole Huomautus (1) Matemaattista tekstiä voidaan tiivistää nk. kvanttoreiden avulla: 8 kaikki (All) 9 on olemassa (Exist). Esimerkiksi: Väite on olemassa sellainen x R, ettäx = voidaanesittää muodossa 9x R : x =, ja väite kaikille luonnollisille luvuille m ja n pätee, että m + n N voidaanesittäämuodossa 8n, m N pätee: m + n N. () Antiteesiä muodostettaessa sanat ja, tai sekä kvanttorit 9 ja 8 käyttäytyvät näin: väite antiteesi ja tai tai ja (3) Matematiikassa tai ei ole joko-tai. Siis P on tosi tai Q on tosi tarkoittaa (i) P tosi, Q epätosi, (ii) P epätosi, Q tosi (iii) P tosi, Q tosi. tai 3.4 Kuinka osoitetaan, että väite ei ole totta? Väitelause P ) Q osoitetaan vääräksi keksimällä esimerkki, jossa oletus P pätee, mutta väite Q ei. 13

14 Esimerkki Osoita, että ao. väitelauseet eivät ole tosia. (1) Jos m ja n ovat negatiivisia kokonaislukuja, niin m n on negatiivinen kokonaisluku. Ratkaisu.Väiteeioletotta,sillä 1 ja ovat negatiivisia kokonaislukuja, mutta 1 ( ) = 1 on positiivinen kokonaisluku. () Jos x on irrationaaliluku, niin x x on irrationaaliluku. Ratkaisu.Väiteeioletotta,sillä p on irrationaaliluku, mutta x x = p p = ei ole irrationaaliluku. Jatketaan todistamisen harjoittelemista. Esimerkki (1) Olkoot n, m N. Josn + m on parillinen, niin joko n ja m ovat molemmat parillisia tai n ja m ovat molemmat parittomia. Oletus: n, m N ja n + m on parillinen. Väite: n ja m ovat parillisia tai n ja m ovat parittomia. Todistus.Antiteesi:Toinenluvuistaonparillinenjatoinenpariton. Oletetaan, että n on parillinen ja m on pariton. Tällöin löydetään sellaiset k, l N, ettän =l ja m =k +1.Näinollen n + m =l +k +1=(l + k)+1, joten n + m on pariton. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan n + m on parillinen. Antiteesi ei siis ole totta, ja näin ollen väite on totta. () Lukua 51 ei voida esittää yhden parittoman ja kahden parillisen luonnollisen luvun summana. Todistus.Antiteesi:Luku51voidaanesittäämuodossa 51 = k + l + m, missä k N on pariton ja l, m N ovat parillisia. 14

15 Koska k =n +1jollakin n N, l =p jollakin p N ja m =s jollakin s N, saadaan 51 = k + l + m =n +1+p +s =(n + p + s)+1, joten 51 on pariton. Tämä on ristiriita, sillä 51 = 56 on parillinen. Antiteesi ei siis ole totta, joten väite on totta. (3) Olkoot n, m ja k luonnollisia lukuja. Onko väite jos m + k on jaollinen n:llä, niin m on jaollinen n:llä tai k on jaollinen n:llä totta? Ratkaisu. Väiteeioletotta,mikänähdäänvalitsemallam =3, k =5ja n =. Luku m + k =3+5=8on jaollinen :lla, sillä 8=4, muttaluvut3ja5eivät ole jaollisia :lla. (4) Olkoot n, m ja k luonnollisia lukuja. Onko väite jos m on jaollinen n:llä ja k on jaollinen n:llä, niin m + k on jaollinen n:llä totta? Ratkaisu. Väiteontotta.Perustellaanse:Koskam ja k ovat jaollisia n:llä, niin m = ln ja k = pn joillakin l, p N. Nyt m + k = ln + pn =(l + p)n, joten m + k on jaollinen n:llä. Siis väite on totta. (5) Osoita, että on olemassa sellaiset irrationaaliluvut x ja y, ettäx y on rationaaliluku. Todistus.Reaaliluku p p on joko rationaaliluku tai irrationaaliluku. Jos p p on rationaaliluku, niin väite on totta, sillä voidaan valita x = y = p. (Huomaa, että p on irrationaaliluku.) Jos p p on irrationaaliluku, niin luku p p p = p = 15

16 on rationaaliluku. Tässä tapauksessa voidaan valita x = p p ja y = p. (6) Osoita, että on olemassa sellainen yksikäsitteinen reaaliluku x, että kaikilla reaaliluvuilla y. xy + x 4=4y Todistus.Todistetaanensin,ettäreaalilukux on olemassa, ja osoitetaan yksikäsitteisyys tämän jälkeen. Valitaan x =4. Tällöin olipa y mikä tahansa reaaliluku. xy + x 4=4y +4 4=4y Todistetaan vielä yksikäsitteisyys. Antiteesi: oletetaan, että on olemassa sellainen reaaliluku x 6= 4,että xy + x 4=4y kaikilla reaaliluvuilla y. Erityisesti, kun y =0, saadaan x 4=0, joten x =4,mikäonristiriita.Näinollenantiteesieioletotta,javäiteontodistettu. 16