Noetherin sekä Artinin renkaat ja modulit

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Maarit Harsu Noetherin sekä Artinin renkaat ja modulit Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2012

2 ii

3 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HARSU, MAARIT: Noetherin sekä Artinin renkaat ja modulit Pro gradu -tutkielma, 72 s. Matematiikka Syyskuu 2012 Tiivistelmä Tässä työssä tarkastellaan Noetherin ja Artinin renkaita ja moduleita. Niiden käsittelemiseksi esitellään alkuideaalit ja maksimaaliset ideaalit sekä renkaiden ja modulien lokalisaatio. Työn kannalta erityisen kiinnostavia ovat sellaiset modulit, jotka ovat sekä Noetherin että Artinin moduleita, sillä niiden alimoduleista muodostettavat ketjut osajoukkorelaation suhteen ovat äärellisen pituisia. Lokalisaation avulla tällaisiin moduleihin voidaan soveltaa vastaavanlaista tekijöihin jakoa kuin kiinalaisessa jäännöslauseessa. Tämä onnistuu myös Artinin renkaille, koska niillä on äärellinen määrä maksimaalisia ideaaleja, joissa lokalisaatio voidaan tehdä. Noetherin renkailla tämä onnistuu siinä tapauksessa, että niiden kaikki alkuideaalit ovat maksimaalisia. iii

4 iv

5 Esipuhe Lähtökohtanani tämän työn tekemiselle oli saada selville, miten hyvin pystyn saamaan tolkkua matemaattisesta tekstistä omin neuvoin. Tässä asiassa onnistuin mielestäni aika hyvin. Huomasin myös, että matematiikkaa ei edes voi kovin syvällisesti oppia toisen opettamana, koska siinä oppiminen kuitenkin perustuu omiin oivalluksiin, samoin kuin epäonnistuneisiin yrityksiin. Muutenkin työn tekeminen on ollut erittäin opettavaista. Voisin melkeinpä sanoa (mitenkään väheksymättä matematiikan kurssien oppisisältöjä), että tämä työ on opettanut enemmän kuin kaikki matematiikan kurssit yhteensä. Nimittäin varsinaisen asiasisällön lisäksi olen oppinut monia hienoja asioita matematiikan luonteesta. Kaiken kaikkiaan tämän työn tekeminen on ollut erittäin mukavaa. Olen ollut asiasta niin innostunut, etten ole malttanut pitää kovinkaan pitkiä taukoja työn tekemisessä, ja siksi työ myös valmistui aika nopeasti. Haluan kiittää ohjaajaani professori Eero Hyryä erittäin miellyttävästä ja asiantuntevasta tuesta työtäni kohtaan sekä mielenkiintoisista ja opettavaisista matemaattisista keskusteluista. Hänen ansiotaan on myös se, että ylipäätään lähdin tekemään tätä opinnäytettä. Alkuperäinen tarkoitukseni oli nimittäin vain täydentää matematiikan opintojani cum laude -tasolle (60 op) saakka. Tämän täydentämisen viimeisenä vaiheena oli Eero Hyryn luennoima Algebra I -kurssi. Ajatuksenani oli vain saada kurssi suoritettua ja saattaa täydentävät opinnot päätökseen, mutta kiinnostuinkin aiheesta niin, että tulin jatkaneeksi tähän vaiheeseen saakka. Ja hyvä niin, sillä matematiikka on tuonut minulle paljon iloa. Tampereella kesällä 2012 Maarit Harsu v

6 vi

7 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Lokaalit renkaat ja renkaan lokalisaatio Renkaan alkuideaalit ja maksimaaliset ideaalit Lokaali rengas Jakorengas Renkaan lokalisaatio Modulin lokalisaatio Noetherin ja Artinin renkaat ja modulit Ideaaliketjut Hilbertin kantalause Toinen katsaus lokalisaatioon Alimoduliketjut Modulin pituus ja kompositiosarja Äärellisen pituiset alimoduliketjut Kompositiosarjojen isomorfisuus Kolmas katsaus lokalisaatioon Artinin renkaiden rakennelause Rakennelauseen esittely Radikaalit ideaalit Alkuideaalit ja maksimaaliset ideaalit Artinin renkaissa Artinin renkaiden suhde Noetherin renkaisiin Rakennelauseen todistaminen eli neljäs katsaus lokalisaatioon Täydentäviä huomioita Kirjallisuutta 72 vii

8 viii

9 Luku 1 Johdanto Tämä työ liittyy kommutatiiviseen algebraan ja erityisesti Noetherin ja Artinin renkaisiin ja moduleihin. (Tästä syystä, mikäli ei toisin mainita, renkaalla tarkoitetaan aina epätriviaalia kommutatiivista rengasta.) Noetherin renkaat ja modulit on nimetty Emmy Noetherin ( ) mukaan. Ne ovat sellaisia renkaita ja moduleita, joille pätee nousevan ketjun ehto, kun ketjut on muodostettu osajoukkorelaation suhteen. Lisäksi niiden kaikki ideaalit/alimodulit ovat äärellisviritteisiä. Noetherin renkaiden merkitys on siinä, että ne yksinkertaistavat monia laskentoja kuten renkaan alkioiden tekijöihin jakamisen. Ennen Noetherin nousevien ideaaliketjujen ideaa [5] tekijöihin jakaminen oli todistettu vaikeasti joissakin erikoistapauksissa. Noetherin työ siis yleisti ja yksinkertaisti kyseistä teoriaa. Noether hyödynsi omassa todistuksessaan Hilbertin kantalausetta, jonka mukaan äärellisen monen muuttujan polynomin jokainen ideaali on äärellisviritteinen. (Itse asiassa lauseen nimessä oleva sana kanta viittaa juuri äärelliseen virittäjistöön.) Artinin renkaat ja modulit on nimetty Emil Artinin ( ) mukaan. Ne taas noudattavat laskevan ketjun ehtoa osajoukkorelaation suhteen. Artinin renkaille pätee vastaavanlainen tekijöihin jako kuin kiinalaisessa jäännöslauseessa. Renkaiden tapauksessa laskevan ketjun ehto on tiukempi kuin nousevan ketjun ehto. Toisin sanoen jokainen Artinin rengas on myös Noetherin rengas. Vastaavaa suhdetta ei kuitenkaan ole Noetherin ja Artinin moduleilla. Noetherin ja Artinin renkaiden ja modulien ohella yksi tärkeä sisältö työssä on lokalisaatio, joka liittyy algebralliseen geometriaan [3]. Kun geometriassa halutaan tarkastella jonkin joukon käyttäytymistä lähellä jotakin tiettyä pistettä, niin algebrassa tämä vastaa lokalisaatiota kyseisessä pisteessä (alkuideaalissa). Itse asiassa lokalisaatio on juuri se menetelmä, jonka avulla tekijöihin jako onnistuu. Lokalisaatio tehdään yleensä alkuideaalissa, mutta se voidaan tehdä myös maksimaalisessa ideaalissa, sillä maksimaalinen ideaali on aina alkuideaali. Kun tarkastellaan Noetherin ja Artinin moduleita, niin erityisen kiinnostavia ovat sellaiset modulit, jotka ovat sekä Noetherin että Artinin moduleita. 1

10 Tällaisten modulien alimoduliketjuille pätee siis sekä nousevan että laskevan ketjun ehdot. Toisin sanoen nämä alimoduliketjut ovat äärellisen pituisia, ja jos ne sisältävät kaikki mahdolliset alimodulit, niin niitä kutsutaan kompositiosarjoiksi. Äärellisestä pituudesta seuraa se, että löytyy äärellinen määrä maksimaalisia ideaaleja, joissa lokalisaatio voidaan tehdä, ja näin ollen tekijöihin jako onnistuu. Myös Artinin renkailla on tämä tärkeä ominaisuus, että maksimaalisia ideaaleja on äärellinen määrä. Tällöin tekijöihin jako palautuu suoraviivaisesti äärellisen pituisten modulien tekijöihin jakoon. Noetherin renkailla tilanne on yhtä suoraviivainen siinä tapauksessa, että jokainen alkuideaali on maksimaalinen. Noetherin renkaiden tapauksessa pystytään löytämään äärellinen määrä sopivia minimaalisia alkuideaaleja, ja jos nämä alkuideaalit ovat myös maksimaalisia, niin tilanne palautuu Artinin renkaiden tapaukseen. Tämä oli myös Noetherin olennainen huomio [5]. Työn rakenne on seuraava. Toisessa luvussa tutustutaan koko työn kannalta oleellisiin käsitteisiin kuten alkuideaaleihin ja maksimaalisiin ideaaleihin, lokaaleihin renkaisiin ja moduleihin samoin kuin renkaiden ja modulien lokalisaatioon. Kolmannessa luvussa esitellään Noetherin ja Artinin renkaat ja modulit. Neljännessä luvussa tarkastellaan sellaisia moduleita, jotka ovat sekä Noetherin että Artinin moduleita ja joilla siis on äärellisen pituinen kompositiosarja. Viidennessä luvussa perehdytään erityisesti Artinin renkaisiin sekä siihen, miten Noetherin ja Artinin renkaat liittyvät toisiinsa. Työn pääasiallisia lähteitä ovat olleet kirjat [1], [2], [6] ja [7], joita on käytetty kutakuinkin tasapuolisesti. Juuri mitään sisältöä kuten todistusta ei ole otettu mistään yksittäisestä lähteestä, vaan näissä lähteissä olevia ratkaisuja (lähinnä siis todistuksia) on vertailtu, ja vertailun tuloksena on yleensä syntynyt oma versio todistuksista. Lisäksi jokunen esimerkki, lause ja todistus on alun perinkin kirjoittajan itsensä muotoilemia. Työn lukemista helpottaa, jos lukija on suorittanut Tampereen yliopiston matematiikan kurssit Algebra II (tai ainakin Algebra I) sekä Lineaarialgebra II, tai jos lukijalla muuten on vastaavat tiedot. Hyvät esitiedot saa myös kirjasta [8]. 2

11 Luku 2 Lokaalit renkaat ja renkaan lokalisaatio 2.1 Renkaan alkuideaalit ja maksimaaliset ideaalit Esitellään aluksi Zornin lemma, koska se liittyy alla olevan maksimaalisen ideaalin määritelmään, ja sitä tarvitaan jäljempänä tulevan lauseen (Lause 2.11) todistuksessa. Apulause 2.1 (Zornin lemma). Olkoon (V, ) epätyhjä osittain järjestetty joukko, jonka jokaisella ketjulla (eli täydellisesti järjestetyllä osajoukolla) on yläraja joukossa V. Tällöin joukolla V on ainakin yksi maksimaalinen alkio. Lemmassa esiintyvällä maksimaalisella alkiolla tarkoitetaan seuraavaa: Alkio m V on maksimaalinen, mikäli kaikilla n V pätee: m n m = n. Määritelmä 2.2. Renkaan R ideaalin M sanotaan olevan maksimaalinen, mikäli M on maksimaalinen jäsen aitojen ideaalien osajoukkoketjussa, eli täsmällisemmin: Renkaan R ideaali M on maksimaalinen, mikäli (i) M on renkaan R aito ideaali, eli M R, ja (ii) ei ole olemassa renkaan R ideaalia I siten, että M I R. Esimerkki 2.3. Jos R on kunta, niin sillä on täsmälleen kaksi ideaalia: R itse sekä nollaideaali. Nimittäin jos I R on ideaali ja 0 a I, niin I = R, sillä a on kääntyvä kuten kaikki nollasta eroavat kunnan alkiot. Näistä kahdesta ideaalista vain nollaideaali on maksimaalinen, sillä se on ainoa aito ideaali. Itse asiassa edellä mainittu ehto pätee myös toiseen suuntaan, eli kunta voitaisiin määritellä seuraavasti: Rengas R on kunta, jos ja vain jos sillä on täsmälleen kaksi ideaalia (0 ja R). 3

12 Määritelmä 2.4. Olkoon P renkaan R ideaali. Sanotaan, että P on alkuideaali, mikäli (i) P on renkaan R aito ideaali, eli P R, ja (ii) aina kun a,b R siten, että ab P, niin a P tai b P. Esimerkki 2.5. Jos R on kokonaisalue, niin nollaideaali on alkuideaali. Ensinnäkin nollaideaali on aito, koska kokonaisalueena R on nollasta eroava. Oletetaan sitten, että a,b R. Nyt jos ab {0}, niin ab = 0. Kokonaisalueessa tämä tarkoittaa, että a = 0 tai b = 0, eli a {0} tai b {0}. Annetaan seuraavaksi multiplikatiivisen joukon määritelmä, koska se liittyy läheisesti alkuideaaleihin. Määritelmä 2.6. Olkoon R rengas. Osajoukko S R on multiplikatiivinen, mikäli (i) 1 S, ja (ii) jos a,b S, niin ab S. Alkuideaalien ja multiplikatiivisten joukkojen välinen yhteys käy ilmi seuraavasta apulauseesta: Apulause 2.7. Olkoon R rengas ja P R ideaali. Ideaali P on alkuideaali, jos ja vain jos komplementti R\P on multiplikatiivinen. Todistus. Osoitetaan Määritelmien 2.4 ja 2.6 yhtäpitävyys valitsemalla Määritelmän 2.6 osajoukoksi R\P. Osoitetaan ensin ehtojen (i) yhtäpitävyys lähtemällä alkuideaalin määritelmästä. Ideaali P R on aito täsmälleen silloin, kun 1 / P. Koska P on renkaan R osajoukko, niin tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että 1 R\P. Siis joukko R\P täyttää multiplikatiiviselle joukolle asetetun ehdon (i). Näin ollen määritelmien ensimmäiset ehdot ovat yhtäpitäviä. Osoitetaan sitten ehtojen (ii) yhtäpitävyys lähtemällä jälleen alkuideaalin määritelmästä. Oletetaan, että a, b R. Alkuideaalille P pätee: Jos ab P, niin a P tai b P. Koska P on renkaan R osajoukko, niin tämä implikaatio voidaan kirjoittaa ekvivalentissa muodossa: Jos ab / R\P, niin a / R\P tai b / R\P. Edelleen käyttämällä kontrapositiota implikaatio saadaan muotoon: Jos a R\P ja b R\P, niin ab R\P. Näin saatu ehto on täsmälleen multiplikatiivisen joukon ehto (ii) joukolle R\P. Täten myös määritelmien toiset ehdot ovat yhtäpitäviä. Näin saatiin osoitettua, että Määritelmät 2.4 ja 2.6 ovat yhtäpitäviä. Tarkastellaan seuraavaksi alkuideaaleista muodostettuja joukkoja eli spektreja. 4

13 Määritelmä 2.8. Renkaan R alkuspektri tai spektri on renkaan R alkuideaalien joukko, josta käytetään merkintää Spec R. Eli Spec R = { P P R on alkuideaali }. Esimerkki 2.9. Spec Z = { 0, 2Z, 3Z, 5Z,...}. Ennen seuraavaa esimerkkiä esitellään siinä käytettävä merkintätapa renkaan kääntyville alkioille: Jos R on rengas, niin sen kääntyvien alkioiden joukolle käytetään merkintää R := { u R uv = 1, jollakin v R }. Kääntyviä alkioita voidaan kutsua myös yksiköiksi. Huomataan helposti, että R on multiplikatiivinen joukko. Esimerkki Jos K on kunta, niin Spec K[X] = {0} { <f> f on jaoton polynomi }. Nimittäin jos f K[X] on jaoton polynomi, niin pätee ehto: Jos f gh, niin f g tai f h joillakin f,g K[X]. Tämä vastaa alkuidealin ehtoa: Jos f = gh, niin g P tai h P jollakin P Spec K[X]. Näin ollen jaottomien polynomien virittämät ideaalit ovat alkuideaaleja. Lisäksi Esimerkin 2.5 nojalla myös nollaideaali on alkuideaali, sillä K[X] on kokonaisalue, kun K on kunta. Jos lisäksi K on algebrallisesti suljettu, niin kaikki jaottomat polynomit ovat muotoa u(x α), missä u K ja α K. Tällöin alkuideaalit ovat 0 ja (X α), missä α K. Seuraavat lauseet kuvailevat kommutatiivisten renkaiden sekä niiden maksimaalisten ja alkuideaalien ominaisuuksia. Lause Renkaan jokainen aito ideaali sisältyy johonkin maksimaaliseen ideaaliin. Todistus. Olkoon R rengas. Jotta renkaalla R voisi olla aitoja ideaaleja, niin sen täytyy olla epätriviaali. Olkoon S joukko, joka koostuu renkaan R aidoista ideaaleista. Koska R ei ole triviaali, niin nollaideaali on aito, joten 0 S, eli S on epätyhjä. Osajoukkorelaatio on osittainen järjestys joukossa S, joten renkaan R maksimaalinen ideaali on osittain järjestetyn joukon (S, ) maksimaalinen alkio. Voidaan siis soveltaa Zornin lemmaa tähän joukkoon. Olkoon T S ketju (eli täysin järjestetty osajoukko). Määritellään J := I T I. 5

14 Osoitetaan ensin, että J on ideaali. Selvästi 0 J, sillä nolla on alkiona jokaisessa ideaalissa I. Oletetaan sitten, että a, b J. Tällöin on olemassa I 1,I 2 T siten, että a I 1 ja b I 2. Koska T on ketju, niin joko I 1 I 2 tai I 2 I 1. Kummassakin tapauksessa a b I 1 I 2, joten a b J. Täten J on ryhmän (R, +) aliryhmä. Koska kukin I on ideaali, niin pätee ehto: Jos a I ja r R, niin ra I. Vastaava ehto pätee siis myös ideaalien yhdisteelle J. Näin ollen J on renkaan R ideaali. Osoitetaan vielä, että ideaali J on aito. Nyt I T S, joten jokainen ideaali I on aito. Koska siis kaikilla ideaaleilla I pätee, että 1 / I, niin myös 1 / J. Täten jokaisella ketjulla on yläraja joukossa S. Nyt Zornin lemman perusteella joukolla S on maksimaalinen alkio (eli maksimaalinen ideaali). Huomautus. Edellinen lause voitaisiin muotoilla niin, että jokaisella epätriviaalilla renkaalla on ainakin yksi maksimaalinen ideaali. Myös seuraava lause on oikeastaan toinen vaihtoehtoinen muotoilu edelliselle lauseelle. Lause Olkoon R rengas ja a R. Tällöin a R on kääntyvä, jos ja vain jos kaikilla renkaan R maksimaalisilla ideaaleilla M pätee, että a / M. (Toisin sanoen renkaan alkio on kääntyvä, jos ja vain jos se ei kuulu mihinkään maksimaaliseen ideaaliin.) Todistus. Todetaan ensin aputulos: Olkoon R rengas ja a R. Tällöin a R on kääntyvä, jos ja vain jos ar = R. Nimittäin a R on kääntyvä täsmälleen silloin, kun ab = 1 jollakin b R. Tämä taas on yhtäpitävää sen kanssa, että 1 = ab ar, mikä pitää paikkansa, jos ja vain jos ar = R. Todistetaan sitten varsinainen väite: Oletetaan, että a R on kääntyvä. Jos olisi a M jollakin renkaan R maksimaalisella ideaalilla M, niin olisi myös ar M R. Tällöin aputuloksen nojalla a ei voisi olla kääntyvä renkaassa R, mikä on ristiriita. Oletetaan, että kaikilla maksimaalisilla ideaaleilla M pätee, että a / M. Jos a R ei olisi kääntyvä, niin aputuloksen nojalla ar olisi renkaan R aito ideaali. Tällöin Lauseesta 2.11 seuraa, että ar M jollakin renkaan R maksimaalisella ideaalilla M. Nyt a ar M, mikä on ristiriita. Siis alkion a täytyy olla kääntyvä. Tarkastellaan seuraavaksi, miten alkuideaalit ja maksimaaliset ideaalit liittyvät tekijärenkaisiin. Seuraavassa lauseessa hyödynnetään sitä tosiseikkaa, että tekijärenkaan R/I ideaalit ovat muotoa J/I, missä I J, ja J R on ideaali. Myöhemmin (Apulauseessa 3.21) vastaava tosiseikka todistetaan tekijämodulien alimoduleille. Lause Renkaan R ideaali M on maksimaalinen, jos ja vain jos tekijärengas R/M on kunta. 6

15 Todistus. Oletetaan, että M on renkaan R maksimaalinen ideaali. Tällöin ei ole olemassa sellaista ideaalia J, jolle pätisi M J R. On siis oltava joko J = R tai J = M. Nyt renkaalla R/M ei voi olla muita ideaaleja kuin 0 ja R/M. Siis R/M on kunta. Oletetaan sitten, että R/M on kunta. Täten sillä on kaksi ideaalia: 0 ja R/M. Ei siis voi olla olemassa ideaalia J/M siten, että J/M R/M ja M J. Siis M on maksimaalinen. Esimerkki Tiedetään, että tekijärengas Z/pZ on kunta, jos ja vain jos p on alkuluku. Täten renkaan Z maksimaaliset ideaalit ovat täsmälleen ne ideaalit, jotka ovat muotoa pz, missä p on alkuluku. Lause Renkaan R ideaali P on alkuideaali, jos ja vain jos tekijärengas R/P on kokonaisalue. Todistus. Oletetaan, että P on renkaan R alkuideaali. Näin ollen P on aito, joten R/P ei ole triviaali. Olkoon a R sellainen alkio, että a+p R/P on nollantekijä. Näin ollen on olemassa b R siten, että b+p 0+P, mutta ab + P = (a + P)(b + P) = 0 + P. Tällöin ab P mutta b / P, joten alkuideaalin määritelmän perusteella on oltava a P. Täten a+p = 0+P, mistä seuraa, että R/P on kokonaisalue. Oletetaan, että R/P on kokonaisalue. Täten kokonaisalueen määritelmän perusteella R/P 0, joten P R, eli P on aito ideaali. Olkoot a,b R siten, että ab P. Tällöin ab + P = 0 + P. Nyt (a + P)(b + P) = ab + P = 0 + P. Koska R/P on kokonaisalue, niin joko a + P = 0 + P tai b + P = 0 + P, joten joko a P tai b P. Siis P on alkuideaali. Lause Renkaan jokainen maksimaalinen ideaali on alkuideaali. Todistus. Seuraa kahdesta edellisestä lauseesta: Jos renkaan R ideaali I on maksimaalinen, niin Lauseen 2.13 nojalla R/I on kunta. Jokainen kunta on kokonaisalue, joten Lauseen 2.15 perusteella I on alkuideaali. Esimerkki Renkaassa Z ideaalit pz, missä p on alkuluku, ovat sekä maksimaalisia että alkuideaaleja. Sen sijaan nollaideaali on alkuideaali mutta ei maksimaalinen. Esimerkki Renkaassa Z[X] ideaali <X> on alkuideaali, sillä Z on kokonaisalue ja Z[X]/<X> = Z, mutta tämä ideaali ei ole maksimaalinen. Samoin nollaideaali on alkuideaali mutta ei maksimaalinen. 7

16 2.2 Lokaali rengas Esimerkissä 2.3 todettiin, että kunnalla on aina täsmälleen yksi maksimaalinen ideaali. Seuraavaksi tarkastellaan sellaisia renkaita, jotka eivät ole kuntia mutta joilla silti on tämä ominaisuus. Määritelmä Rengas on lokaali, mikäli sillä on yksikäsitteinen maksimaalinen ideaali. Tarkastellaan seuraavaksi lokaalien renkaiden ominaisuuksia. Seuraavat lokaaleja renkaita koskevat ehdot ovat yhtäpitäviä: (i) Rengas R on lokaali. (ii) Renkaalla R on täsmälleen yksi maksimaalinen ideaali. (iii) Renkaan R ei-kääntyvät alkiot muodostavat ideaalin. (iv) Renkaalla R on maksimaalinen ideaali M siten, että alkio 1 m on kääntyvä renkaassa R kaikilla m M. Kahden ensimmäisen kohdan yhtäpitävyys seuraa suoraan lokaalin renkaan määritelmästä. Kolmannen kohdan yhtäpitävyys muiden kanssa osoitetaan seuraavassa lauseessa. Neljäs kohta jätetään tässä vaiheessa todistamatta, mutta myöhemmin (Apulauseessa 5.5) todistetaan sen yleisempi versio. Lause Rengas R on lokaali, jos ja vain jos joukko R\R on ideaali. Todistus. Oletetaan, että R on lokaali ja että sillä on maksimaalinen ideaali M. Lauseen 2.12 nojalla M R =, ja koska M R, niin M R\R. Koska lisäksi M on maksimaalinen, niin M = R\R. Siis R\R on ideaali. Oletetaan, että joukko R\R on renkaan R ideaali. Täten 0 R\R, joten nolla ei ole kääntyvä. Siis 0 1. Näin ollen R on epätriviaali, joten sillä on ainakin yksi maksimaalinen ideaali; olkoon se M. Nyt edellisen kohdan mukaisella päättelyllä saadaan, että M = R\R. Koska M sisältää kaikki renkaan R ei-kääntyvät alkiot ja koska aidot ideaalit eivät voi sisältää muita kuin ei-kääntyviä alkioita, niin muita maksimaalisia ideaaleja ei voi olla. Näin ollen M on renkaan R ainoa maksimaalinen ideaali, ja R on lokaali. Esimerkki Kunta on aina lokaali rengas, koska kunnalla on täsmälleen yksi maksimaalinen ideaali. Erityisesti Z/pZ on kunta, kun p on alkuluku, joten se on myös lokaali. Esimerkki Jos n N,n 2 ja p on alkuluku, niin rengas Z/p n Z = Z p n ei ole kunta (eikä kokonaisalue) mutta kuitenkin lokaali rengas. 8

17 Todistus. Selvästi renkaalla Z/p n Z on ideaali <p> = pz/p n Z, joka on aito. Todistetaan nyt, että kaikki tämän ideaalin alkiot ovat ei-kääntyviä ja että kaikki sen ulkopuoliset alkiot ovat kääntyviä. Olkoon a <p>. Jos a olisi kääntyvä, niin olisi olemassa a 1 Z/p n Z siten, että aa 1 = 1. Mutta tällöin 1 <p>, mikä on ristiriita. Siis a ei ole kääntyvä. Oletetaan sitten, että a / <p>. Tällöin p a. Koska lisäksi p on alkuluku, niin syt(a,p) = 1, jolloin myös syt(a,p n ) = 1. Täten 1 = λa + µp n joillakin λ,µ Z/p n Z. Siis 1 = λa, joten a on kääntyvä. Näin ollen ideaali <p> sisältää täsmälleen ne renkaan Z/p n Z alkiot, jotka eivät ole kääntyviä. Siis Z/p n Z on lokaali. Esimerkki Havainnollistetaan edellistä esimerkkiä konkreettisemmalla tilanteella. Tarkastellaan rengasta Z/9Z, joka siis edellisen esimerkin perusteella on lokaali. Joukon Z/9Z = Z 9 = { 0, 1,..., 8 } ei-kääntyviä alkiota ovat 0, 3, 6, ja ne muodostavat ideaalin. 2.3 Jakorengas Lokaalit renkaat muistuttavat kuntia siinä mielessä, että niillä molemmilla on täsmälleen yksi maksimaalinen ideaali. Lokaalisuus on siis varsin toivottava ominaisuus renkailla. Siksi onkin oleellista tarkastella, miten jostakin mielivaltaisesta renkaasta saadaan aikaiseksi lokaali rengas. Lokaaleihin renkaisiin päästään jakorenkaiden avulla, joten tarkastellaan seuraavaksi niitä. Aloitetaan niihin liittyvästä ekvivalenssirelaatiosta. Apulause Olkoon R rengas ja S R multiplikatiivinen. Olkoot lisäksi a,b R ja s,t S. Määritellään relaatio joukossa R S siten, että (a,s) (b,t) on olemassa u S siten, että u(ta sb) = 0 Tällöin on ekvivalenssirelaatio joukossa R S. Todistus. Oletetaan, että (a,s) R S. Nyt ehto 1 (sa sa) = 0 on selvästi tosi, ja koska 1 S, niin (a,s) (a,s). Täten relaatio on refleksiivinen. Oletetaan seuraavaksi, että (a,s), (b,t) R S siten, että (a,s) (b,t). Tällöin on olemassa u S siten, että u(ta sb) = 0. Siis u(sb ta) = 0, joten (b,t) (a,s), eli relaatio on symmetrinen. Oletetaan vielä lopuksi, että (a,s), (b,t), (c,u) R S siten, että (a,s) (b,t) ja (b,t) (c,u). Tällöin on olemassa v,w S siten, että { v(ta sb) = 0 w(ub tc) = 0 wu vs Suorittamalla yllä olevat kertolaskut ja laskemalla puolittain yhteen saadaan vwt(ua sc) = 0. 9

18 Koska vwt S, niin (a,s) (c,u), eli relaatio on transitiivinen. Näin ollen on ekvivalenssirelaatio. Tämän ekvivalenssirelaation avulla voidaan määritellä jakorengas seuraavasti. Määritelmä Olkoon R rengas ja S R multiplikatiivinen. Oletetaan lisäksi, että tarkoittaa Apulauseen 2.24 ekvivalenssirelaatiota. Tällöin merkinnällä a/s tarkoitetaan sellaista relaation ekvivalenssiluokkaa, joka sisältää alkion (a,s) R S. Merkintä S 1 R tarkoittaa kaikkia relaation ekvivalenssiluokkia, ja sitä kutsutaan renkaan R jakorenkaaksi osajoukon S suhteen. Osoitetaan sitten, että edellä mainitulla tavalla muodostettu struktuuri (nimeltään jakorengas) on rengas. Lause Olkoon R rengas ja S R multiplikatiivinen. Oletetaan lisäksi, että a,b R ja s,t S. Tällöin jakorengas S 1 R varustettuna laskutoimituksilla on rengas. a s + b t = ta + sb st ja a b s t = ab st Todistus. Osoitetaan ensin, että laskutoimitusten määrittelyt ovat mielekkäitä. Olkoot a,a,b,b R ja s,s,t,t S siten, että joukossa S 1 R pätee: a s = a s ja b t = b t. Toisin sanoen (a,s) (a,s ) ja (b,t) (b,t ). Tällöin Apulauseen 2.24 nojalla on olemassa u,v S siten, että { u(s a sa ) = 0 v(t b tb ) = 0 { uv(s t ta stt a ) = 0 uv(s t sb sts b ) = 0. Laskemalla jälkimmäiset yhtälöt puolittain yhteen saadaan uv(s t (ta + sb) st(t a + s b )) = 0. Koska uv S, niin voidaan päätellä, että ta + sb st = t a + s b s t. Näin on osoitettu yhteenlasku mielekkääksi. Tehdään sama vielä kertolaskulle. Jälleen saadaan Apulauseen 2.24 perusteella { u(s a sa ) = 0 v(t b tb ) = 0 { uv(s tab sta b ) = 0 uv(s t ab s tab ) = 0. 10

19 Tästä saadaan uv(sta b s t ab) = 0. Koska uv S, niin ab st = a b s t. Täten myös kertolasku on mielekäs. Osoitetaan vielä, että S 1 R toteuttaa renkaalle asetetut ehdot. (i) 0 S 1 R = 0/1 S 1 R, sillä 0 R ja 1 S. (ii) Oletetaan, että a/s,b/t S 1 R. Tällöin a,b, b R, ja s,t S. Nyt a s b t = a s + b t sillä ta sb R ja st S. = ta sb st S 1 R, (iii) Oletetaan, että a/s,b/t S 1 R, jolloin a,b R, ja s,t S. Nyt sillä ab R ja st S. a b s t = ab st S 1 R, (iv) 1 S 1 R = 1/1 S 1 R, sillä 1 R ja 1 S. Näin ollen S 1 R on renkaan R alirengas, joten se on rengas. Huomautus. Jakorenkaan S 1 R alkio a/s on nolla-alkio, eli a/s = 0/1, jos ja vain jos on olemassa u S siten, että u(1 a s 0) = 0, eli jos ja vain jos ua = 0. Lisäksi 0/s = 0/1 kaikilla s S, sillä u(0 1 0 s) = u 0 = 0 millä tahansa u S. Esimerkki Olkoon R kokonaisalue ja S = R\{0} (S on siis multiplikatiivinen). Olkoot lisäksi (a,s), (b,t) R S. Nyt Apulauseessa 2.24 määritelty ekvivalenssirelaation ehto u(ta sb) = 0, missä u S, voidaan kirjoittaa yksinkertaisempaan muotoon ta = sb. Tämä on mahdollista, koska kokonaisalueessa ei tarvitse varautua nollantekijöihin. Toisin sanoen kun R on kokonaisalue, niin jakorengas S 1 R on kunta (kokonaisalueen jakokunta). Osoitetaan vielä, että on olemassa homomorfismi renkaalta R renkaalle S 1 R. Tätä kuvausta kutsutaan kanoniseksi eli luonnolliseksi rengashomomorfismiksi. Lause Olkoon R rengas ja S R multiplikatiivinen. Kuvaus f : R S 1 R on rengashomomorfismi ehdolla r r/1, missä r R. Todistus. Todetaan seuraavat kolme kohtaa: 11

20 (i) f(1 R ) = 1/1 = 1 S 1 R. (ii) Olkoot a,b R. Nyt f(a) + f(b) = a 1 + b 1 = a + b 1 = f(a + b). (iii) Olkoot a,b R. Nyt f(a)f(b) = a 1 b 1 = ab 1 = f(ab). Edellä todistettujen kohtien nojalla f on rengashomomorfismi. Huomautus. Jakorengas S 1 R on triviaali (eli 1/1 = 0/1), jos ja vain jos on olemassa u S siten, että u 1 = 0, eli jos ja vain jos 0 S. Vaikka näin ei olisikaan (eli 0 / S), niin luonnollinen rengashomomorfismi ei välttämättä ole injektio. Nimittäin Kerf = { a R f(a) = 0 S 1 R } = { a R a 1 = 0 1 } = { a R on olemassa u S siten, että u(a 1 1 0) = 0 } = { a R on olemassa u S siten, että ua = 0 }. Esimerkki Olkoon R = Z/6Z ja S = { 1, 3, 5 }. Tällöin luonnollisen rengashomomorfismin f : R S 1 R ytimeksi saadaan Kerf = { n R n Z ja s n = 0 jollakin s S } = { 0, 2, 4 }. 2.4 Renkaan lokalisaatio Edellä on tarkasteltu jakorenkaita S 1 R, missä R on rengas ja S R multiplikatiivinen. Tilanne tulee vielä mielenkiintoisemmaksi, jos multiplikatiiviseksi osajoukoksi valitaan R\P, missä P on renkaan R alkuideaali. Tämä valinta on mahdollinen, sillä Apulauseen 2.7 nojalla R\P on multiplikatiivinen, aina kun P on alkuideaali. Määritelmä Olkoon R rengas ja P Spec R. Merkitään S := R\P. Tällöin jakorengasta S 1 R kutsutaan renkaan R lokalisaatioksi alkuideaalissa P, ja siitä käytetään merkintää R P. Lause Olkoon R rengas, ja P Spec R. Tällöin lokalisaatio R P on lokaali rengas, jolla on maksimaalinen ideaali { a s R P a P,s R\P }. 12

21 Todistus. Merkitään I := { a s R P a P,s R\P }. Riittää osoittaa, että I on renkaan R P ideaali ja että I = R P \R P. Osoitetaan ensin, että I on renkaan R P ideaali. Ensinnäkin 0/1 I, sillä 0 P ja 1 R\P. Olkoot a/s,b/t I joillakin a,b P, ja s,t R\P. Nyt a s + b t = ta + sb st I, sillä ta+sb P ja st R\P. Jos lisäksi r/u R P, missä r R ja u R\P, niin (r/u)(a/s) = (ra)/(us) I, sillä ra P ja us R\P. Näin ollen I on renkaan R P ideaali. Osoitetaan sitten, että ne alkiot, jotka eivät kuulu ideaaliin I, ovat kääntyviä. Olkoon a/s mielivaltainen komplementin R P \I alkio. Koska a/s R P, niin a R,s R\P. Koska kuitenkin a/s / I, niin a / P, joten a R\P. Täten s/a R P, jolloin (a/s)(s/a) = 1. Huomataan siis, että a/s on kääntyvä renkaassa R P. Koska a/s valittiin mielivaltaisesti, niin voidaan päätellä, että kaikki komplementin R P \I alkiot ovat kääntyviä. Osoitetaan vielä, että mikään renkaan R P kääntyvä alkio ei kuulu ideaaliin I. Olkoon a/s renkaan R P mielivaltainen kääntyvä alkio. Tällöin a R,s R\P. Koska a/s on kääntyvä, niin on olemassa b R,t R\P siten, että a b s t = 1 1 R P. Koska a/s = t/b, niin on olemassa u R\P siten, että u(ab st) = 0, jolloin uab = ust R\P. Siis a / P, joten a/s / I. Koska alkio a/s valittiin mielivaltaisesti, niin voidaan päätellä, että mikään kääntyvä alkio ei kuulu ideaaliin I. Saatiin siis osoitettua, että renkaan R P ideaali I on täsmälleen sama kuin renkaan R P ei-kääntyvien alkioiden joukko, mikä tarkoittaa, että R P on lokaali. Esimerkki Esimerkin 2.5 nojalla tiedetään, että kokonaisalueessa nollaideaali on alkuideaali. Jos kokonaisalue lokalisoidaan nollaideaalissa, niin saadaan kokonaisalueen jakokunta, esimerkiksi Z 0 = Q. Tällöin nollaideaali on ainoa maksimaalinen ideaali, sillä nolla on ainoa ei-kääntyvä alkio. Esimerkki Renkaalla Z on alkuideaali 2Z (eli <2>), joten saadaan lokalisaatio Z 2Z. Tämä lokalisaatio on sellainen renkaan Q alirengas, jossa nimittäjät ovat parittomia. Täsmällisemmin Z 2Z = { q Q q = a b siten, että a,b Z, 2 b }. 13

22 Etsitään vielä tämän lokaalin renkaan maksimaalinen ideaali. Nyt q Z 2Z on kääntyvä täsmälleen silloin, kun on olemassa u Z 2Z siten, että qu = (a/b)u = 1 eli au = b. Täten q = a b on kääntyvä renkaassa Z 2Z 2 a, jolloin ei-kääntyvien alkioiden joukoksi saadaan { a b Z 2Z (2 a) } = 2Z 2Z. Ei-kääntyvät alkiot muodostavat ideaalin, joten saadaan siis tekijärengas Z 2Z /2Z 2Z. Esimerkki Tarkastellaan vielä äärellistä rengasta Z/6Z = Z 6 ja sen lokalisaatioita. Etsitään ensin alkuideaalit, joissa lokalisaatio voidaan tehdä. Kyseisen tekijärenkaan ideaalit ovat muotoa P/6Z, missä P on renkaan Z ideaali siten, että P 6Z. Etsimällä kyseisen ehdon täyttävistä ideaaleista alkuideaalit löydetään 2Z/6Z ja 3Z/6Z. Tehdään nyt lokalisaatio kummassakin edellä löydetyssä alkuideaalissa. Lokalisaatioksi ideaalissa 2Z/6Z saadaan rengas, jonka alkiot ovat muotoa r/s, missä r Z/6Z ja s (Z/6Z)\(2Z/6Z). Toisin sanoen s voi saada arvoikseen renkaan Z/6Z parittomat alkiot. Lokalisoidun renkaan mahdollisia alkioita on siis 18, mutta useimmat niistä ovat samoja. Vain kaksi alkioista on eri alkioita, ja niillä kummallakin on yhdeksän esitysmuotoa: 0 1 = 0 3 = 0 5 = 2 1 = 2 3 = 2 5 = 4 1 = 4 3 = 4 5, 1 1 = 1 3 = 1 5 = 3 1 = 3 3 = 3 5 = 5 1 = 5 3 = 5 5. Alkioiden yhtäsuuruus voidaan todeta seuraavasti. Tarkastellaan esimerkiksi alkioita 4/1 ja 2/3. Ne ovat samoja, sillä = 10, ja joukosta (Z/6Z)\(2Z/6Z) löytyy alkio 3, jolla kerrottuna saadaan nolla, eli 3 10 = 30 0 (mod 6). Muiden alkioiden yhtäsuuruus voidaan päätellä samaan tapaan. Ideaalissa 3Z/6Z lokalisaatioksi saadaan kolmen alkion rengas, jossa kullakin alkioilla on kahdeksan esitysmuotoa: 0 1 = 0 2 = 0 4 = 0 5 = 3 1 = 3 2 = 3 4 = 3 5, 1 1 = 4 1 = 2 2 = 5 2 = 1 4 = 4 4 = 2 5 = 5 5, 2 1 = 5 1 = 1 2 = 4 2 = 2 4 = 5 4 = 1 5 = 4 5. Molemmissa tapauksissa nolla-alkio on ainoa ei-kääntyvä alkio, joten nollaideaali on ainoa maksimaalinen ideaali. 14

23 Lokalisaatio tarkoittaa siis menetelmää, jolla mistä tahansa renkaasta voidaan konstruoida lokaali rengas. Lause 2.31 osoittaa, että lopputuloksena saatava rengas on lokaali. Lisäksi lokalisaatio on aina mahdollista. Aikaisemmin on nimittäin todettu, että renkaalla on ainakin yksi maksimaalinen ideaali (Lause 2.11), ja edelleen jokainen maksimaalinen ideaali on alkuideaali (Lause 2.16). Näin ollen jokaiselle renkaalle R löytyy aina alkuideaali P, ja voidaan muodostaa lokaali rengas R P. 2.5 Modulin lokalisaatio Vastaavalla tavalla, kuin saatiin renkaan lokalisaatio, voidaan muodostaa myös modulin lokalisaatio. Nimittäin jos R on rengas, niin R on myös R- moduli. Moduleille saadaan siis vastaavanlainen ekvivalenssirelaatio kuin renkaille. Olkoon R rengas ja M R-moduli, ja olkoon S R multiplikatiivinen. Tällöin S 1 M on S 1 R-moduli, joka voidaan määritellä antamalla samanlainen ekvivalenssirelaatio kuin renkaita koskevassa Apulauseessa 2.24: Olkoot m,n M ja s,t S. Tällöin (m,s) (n,t) on olemassa u S siten, että u(tm sn) = 0. Nyt on ekvivalenssirelaatio joukossa M S, eli S 1 M = (M S)/. Tämä voidaan osoittaa ekvivalenssirelaatioksi samalla tavalla kuin tehtiin renkaiden tapauksessa. Samoin voidaan ottaa käyttöön samanlaiset laskutoimitukset, ja osoittaa, että kyseisillä laskutoimituksilla varustettu struktuuri S 1 M on S 1 R-moduli. Määritelmä Olkoon R rengas ja M R-moduli, ja olkoon S R multiplikatiivinen. Tällöin S 1 M on S 1 R-moduli, ja sitä kutsutaan modulin M jakomoduliksi osajoukon S suhteen. Jos P Spec R ja S = R\P, niin modulista S 1 M käytetään merkintää M P, ja sitä kutsutaan modulin M lokalisaatioksi alkuideaalissa P. Tarkastellaan seuraavaksi, miten lokaalista renkaasta saadaan lokaali moduli. Lause Olkoon R rengas, M R-moduli ja P Spec R. Tällöin renkaan R lokalisaatiolle R P ja modulin M lokalisaatiolle M P pätee: R P R M = M P. Todistus. Tarkastellaan kuvausta f : R P M M P ehdolla ( r s,m) rm s. Kuvaus f on selvästi R-bilineaarinen, joten on olemassa R-homomorfismi g : R P R M M P siten, että f = g ϕ, missä ϕ : R P M R P M. Riittää siis osoittaa, että kuvaus g : R P R M M P ehdolla r s m rm s 15

24 on bijektio. Osoitetaan ensin, että g on surjektio. Olkoon y M P. Tällöin y = m/s joillakin m M ja s R\P. Siis y = m s = 1 m s = g( 1 s m) g(r P R M), joten g on surjektio. Kuvaus g on myös injektio, sillä Kerg = { x R P R M g(x) = 0 } n = { ( r n i m i ) g( ( r i m i )) = 0 } s i s i = { = { ( i=1 n i=1 n i=1 ( r im i s i 1) r i m i s i ) 1 = { 0 1 } = {0}. i=1 n i=1 n i=1 g( r i s i m i ) = 0 } r i m i s i = 0 } Näin ollen g on bijektiivinen homomorfismi, joten R P R M = M P. Lokalisaatio kommutoi useiden algebrallisten operaatioiden kanssa. Ensinnäkin lokalisaatio on eksakti, mikä todistetaan vähän myöhemmin (Lauseena 2.42), kunhan kyseinen ominaisuus on ensin esitelty ja todistettu muutamia muita tarvittavia lauseita. Määritelmä Olkoon R rengas, ja olkoot L, M ja N R-moduleita. Olkoot lisäksi f : L M ja g : M N R-homomorfismeja. Sanotaan, että jono L f M g N on eksakti, mikäli Im f = Kerg. Yleisemmin R-modulien ja R-homomorfismien jono f i 1 f i f i+1 M i 1 Mi Mi+1 Mi+2... on eksakti, mikäli jokaisessa kohdassa Im f i 1 = Kerf i. Voidaan myös sanoa, että tällöin jono on eksakti jokaisessa kohdassa M i. Eksakteja jonoja voidaan hyödyntää monissa isomorfisuustodistuksissa, mikä tulee esiin seuraavassa lauseessa, jossa tarkastellaan muutamaa eksaktin jonon oleellista ominaisuutta. Lause Olkoon R rengas, ja olkoon 0 L f M g N 0 16

25 jono, missä L,M ja N ovat R-moduleita sekä f ja g R-homomorfismeja. (Tässä kuvaus 0 L tarkoittaa homomorfismia, jonka kuva on 0, ja kuvaus N 0 tarkoittaa homomorfismia, jonka ydin on N.) Tällöin pätevät seuraavat ominaisuudet: (i) Osajono 0 L f M on eksakti, jos ja vain jos f on injektio. (ii) Osajono M g N 0 on eksakti, jos ja vain jos g on surjektio. (iii) Koko jono 0 L f M g N 0 on eksakti, jos ja vain jos f on injektio, g on surjektio, ja Im f = Ker g. Erityisesti jos tässä tapauksessa L M, niin N = M/L. Todistus. (i) Jono 0 L f M on eksakti (kohdassa L) täsmälleen silloin, kun Kerf = Im (0 L) = 0, eli täsmälleen silloin, kun f on injektio. (ii) Jono M g N 0 on eksakti (kohdassa N) täsmälleen silloin, kun Im g = Ker (N 0) = N, eli täsmälleen silloin, kun g on surjektio. (iii) Tämän kohdan ensimmäinen väite seuraa suoraan edellisistä kohdista sekä Määritelmästä Tarkastellaan sitten väitteen jälkimmäistä osaa, ja oletetaan, että L M. Kohtien (i) ja (ii) perusteella tiedetään, että Kerf = 0 ja Im g = N. Lisäksi tämän kohdan ensimmäisen väitteen mukaan Im f = Kerg. Koska f on homomorfismi, niin L/ Kerf = Im f, mikä edellä mainittujen yhtälöiden perusteella saadaan muotoon L = Kerg. Koska myös g on homomorfismi, niin M/ Kerg = Im g, mikä taas saadaan muotoon M/L = N, sillä oletetuksen mukaan lisäksi L M. Huomautus. Edellisen lauseen kohdan (iii) erikoistapauksessa (jossa L M) eksakti jono voidaan aina löytää. Toisin sanoen jos R on rengas, M R-moduli ja L M alimoduli, niin on olemassa eksakti jono 0 L M M/L 0. Ensinnäkin koska L M, niin on olemassa inkluusio f : L M siten, että Im f = L. On myös olemassa kanoninen surjektio g : M M/L siten, että Kerg = L. Koska siis Im f = L = Kerg, niin kyseinen jono on eksakti. Lokalisaation eksaktisuus tarkoittaa sitä, että lokalisaatio säilyttää eksaktit jonot eksakteina. Tämä ominaisuus voitaisiin osoittaa hetikin, mutta todistetaan se kuitenkin vähän myöhemmin (Lauseena 2.42), jolloin se saadaan muutaman muun lauseen seurauksena. Ennen tämän ominaisuuden todistamista tarkastellaan lokalisaation laakeutta. Se, että lokalisaatio on eksakti, voidaan modulien tapauksessa ilmaista myös seuraavasti: Jos R on rengas ja P Spec R, niin renkaan R lokalisaatio R P on R-modulina laakea. Tämä ominaisuus esitellään seuraavassa määritelmässä, ja sitä seuraavassa lauseessa osoitetaan ominaisuuden pätevän lokalisaatiolle. 17

26 Määritelmä Olkoon R rengas ja M,N 1,N 2 R-moduleita. Sanotaan, että M on laakea, mikäli injektion N 1 N 2 indusoima kuvaus M R N 1 M R N 2 on myös injektio. Lause Olkoon R rengas ja P Spec R. Tällöin renkaan R lokalisaatio R P on laakea R-moduli. Todistus. Olkoot M ja N R-moduleita, ja olkoon f : M N injektiivinen homomorfismi. Pitää osoittaa, että indusoitu kuvaus R P R M R P R N on injektio. Lauseen 2.36 nojalla riittää määritellä kuvaus f P : M P N P siten, että m s f(m) s ja osoittaa sen injektiivisyys. Oletetaan, että m M,s R\P siten, että m/s M P on sellainen alkio, joka kuvautuu nollalle, eli f P (m/s) = 0. Tällöin myös f(m)/s = 0, eli on olemassa sellainen u R\P, että uf(m) = 0. Koska f on R-homomorfismi, niin f(um) = 0. Edelleen koska f on injektio, niin um = 0. Näin ollen m/s = 0, joten f P on injektio. Täten myös indusoitu kuvaus R P R M R P R N on injektio, ja R P on laakea. Huomautus. Edellinen lause voidaan tulkita niin, että lokalisaatio säilyttää alimodulit alimoduleina (R-alimodulit kuvautuvat R P -alimoduleiksi). Nimittäin jos M N, niin R P R M R P R N, jolloin Lauseen 2.36 nojalla M P N P. Itse asiassa tämä seuraa siitä, että inkluusio on injektion erikoistapaus. Erityisesti lokalisaatio säilyttää homomorfismien ytimet ja kuvat (sillä ne ovat alimoduleja). Tätä hyödynnetään seuraavassa apulauseessa. Apulause Olkoon R rengas, M ja N R-moduleita ja P Spec R. Olkoon lisäksi f : M N R-homomorfismi, jolloin voidaan määritellä vastaavien lokaalien modulien välinen R P -homomorfismi f P : M P N P siten, että m s f(m), s missä siis M P ja N P ovat R P -moduleita, sekä m M ja s R\P. Tällöin Kerf P = (Kerf) P ja Im f P = (Im f) P. Todistus. Osoitetaan ensin, että (Kerf) P Kerf P. Jos a (Kerf) P, niin a on saatu lokalisoimalla jokin alimodulin Ker f alkio. Toisin sanoen alkiolle 18

27 a on olemassa sellainen esitysmuoto a = m/s, että m Kerf ja s R\P. Täten f(m) = 0, jolloin 0 1 = 0 s = f(m) s = f P ( m s ) = f P(a). Siis a Kerf P. Osoitetaan sitten, että Kerf P (Kerf) P. Olkoon m/s Kerf P joillakin m M,s R\P. Tällöin 0 1 = f P( m s ) = f(m), s joten uf(m) = 0 jollakin u R\P. Tällöin um Kerf. Koska R\P on multiplikatiivinen, niin us R\P. Täten m s = um us (Kerf) P. Tähän mennessä on siis saatu osoitettua, että Kerf P = (Kerf) P. Osoitetaan seuraavaksi, että (Im f) P Im f P. Jos b (Im f) P, niin b on saatu lokalisoimalla jokin alimodulin Im f alkio. Toisin sanoen b voidaan esittää muodossa b = n/s, missä n Im f, ja s R\P. Täten n = f(m) jollakin m M, jolloin b = n s = f(m) s = f P ( m s ). Nyt m/s M P, joten b Im f P. Osoitetaan vielä, että Im f P (Im f) P. Olkoon n/s Im f P joillakin n N,s R\P. Tällöin on olemassa sellaiset m M,t R\P, joilla m/t M P siten, että n s = f P( m t ) = f(m). t Tällöin on olemassa u R\P siten, että u(tn sf(m)) = 0, joten utn = usf(m) = f(usm). Siis utn Im f. Koska R\P on multiplikatiivinen, niin uts R\P. Täten n s = utn uts (Im f) P. Näin saatiin osoitettua, että myös Im f P = (Im f) P. Näiden tulosten jälkeen on helppo osoittaa, että lokalisaatio säilyttää eksaktit jonot eksakteina. Lause Olkoon R rengas, ja olkoon 0 L f M g N 0 19

28 eksakti jono, missä L,M ja N ovat R-moduleita sekä f injektiivinen R- homomorfismi ja g surjektiivinen R-homomorfismi. Jos P Spec R, jolloin R P on renkaan R lokalisaatio, niin indusoitu jono f 0 L P g P P MP NP 0 on myös eksakti. Tässä L P,M P ja N P ovat R P -moduleita sekä f P ja g P R P - homomorfismeja. Todistus. Pitää siis osoittaa, että f P on injektio, g P on surjektio, ja Im f P = Kerg P. Koska f on injektio, niin Kerf = 0. Täten (Kerf) P = 0, jolloin Apulauseen 2.41 nojalla Kerf P = 0, eli f P on injektio. (Kuvauksen f P on injektiivisyys saadaan helposti myös Lauseen 2.40 todistuksen nojalla.) Koska g on surjektio, niin Im g = N. Täten (Im g) P = N P, jolloin Apulauseen 2.41 nojalla Im g P = N P, eli g P on surjektio. Koska alkuperäinen jono on eksakti, niin Im f = Kerg. Siis (Im f) P = (Kerf) P, jolloin Apulauseen 2.41 nojalla Im f P = Kerg P. Saatiin siis osoitettua, että myös lokalisoitu jono on eksakti, joten lokalisaatio säilyttää eksaktit jonot eksakteina. Huomautus. Nyt huomataan helposti, että Lauseet 2.40 ja 2.42 kertovat saman asian. Lause 2.42 todistettiin Lauseen 2.40 seurauksena (tai oikeammin Apulauseen 2.41 seurauksena, joka taas seurasi Lauseesta 2.40). Toiseen suuntaan implikaatio on vielä helpompi huomata. Toisin sanoen lokalisaation suhteen laakeus ja eksaktisuus ovat sama asia moduleilla. Eksaktisuuden (tai laakeuden) lisäksi toisena esimerkkinä lokalisaation kommutoinnista algebrallisten ominaisuuksien kanssa näytetään kommutointi tekijämodulin kanssa. Lause Olkoon R rengas ja P Spec R. Olkoon lisäksi M R-moduli ja N M alimoduli. Tällöin lokalisaatioille M P,N P sekä (M/N) P pätee: M P /N P = (M/N)P. Todistus. Koska N M, niin Lauseeseen 2.38 liittyvän huomautuksen perusteella tiedetään, että jono 0 N M M/N 0 on eksakti. Nyt Lauseen 2.42 nojalla myös jono 0 N P M P (M/N) P 0 on eksakti. Koska N M, niin Lauseen 2.40 ja sitä seuraavan huomautuksen nojalla myös N P M P. Näin ollen Lauseen 2.38 kohdasta (iii) seuraa, että M P /N P = (M/N)P. 20

29 Huomautus. Rengas R on R-moduli, jolloin sen ideaali on alimoduli. Näin ollen edellisen lauseen tulos pätee myös renkaille. Siis R P /I P = (R/I)P, missä R on rengas, I R ideaali ja P Spec R. Oikeastaan merkinnän (R/I) P sijasta pitäisi kirjoittaa (R/I) P/I, mutta yleensä käytetään lyhyempää muotoa. Tämä on mahdollista, sillä jos M on R/I-moduli, niin se on myös R-moduli. (Tämä todistetaan myöhemmin Apulauseena 5.9.) Esimerkki Palataan vielä aikaisempaan esimerkkiin 2.33, jossa saatiin tekijärengas Z 2Z /2Z 2Z. Tarkastellaan nyt sen yleisempää versiota eli tekijärengasta Z pz /pz pz, missä p on mikä tahansa alkuluku. Lauseen 2.43 ja siihen liittyvän huomautuksen perusteella ja edelleen Z pz /pz pz = (Z/pZ)pZ, (Z/pZ) pz = (Z/pZ)pZ/pZ = (Z/pZ) 0 = Z/pZ. Viimeinen askel seuraa siitä, että Z/pZ on kunta, ja kun se lokalisoidaan nollaideaalissa, niin joukkojen (Z/pZ) 0 ja Z/pZ alkioiden välille saadaan vastaavuus n/s = ns 1, missä n Z/pZ ja s (Z/pZ)\{0}. Tämä taas perustuu siihen, että kunnan kaikki nollasta eroavat alkiot ovat kääntyviä. 21

30 Luku 3 Noetherin ja Artinin renkaat ja modulit 3.1 Ideaaliketjut Aloitetaan ketjujen eli osittain järjestettyjen joukkojen yleisellä tarkastelulla. Seuraavassa määritelmässä (ja jatkossa muuallakin) merkinnällä N tarkoitetaan joukkoa N\{0}. Määritelmä 3.1. Olkoon (V, ) epätyhjä osittain järjestetty joukko. (i) Sanotaan, että (V, ) täyttää nousevan ketjun ehdon, mikäli pätee: Aina kun (v i ) i 1 on jono joukon V alkioita siten, että v 1 v 2 v i v i+1..., niin on olemassa k N siten, että v k = v k+1. (ii) Sanotaan, että (V, ) täyttää maksimaalisuusehdon, mikäli jokainen joukon V epätyhjä osajoukko sisältää maksimaalisen alkion (relaation suhteen). Seuraavassa apulauseessa osoitetaan, että edellä olevan määritelmän ehdot ovat yhtäpitäviä. Apulause 3.2. Olkoon (V, ) epätyhjä osittain järjestetty joukko. Tällöin joukko (V, ) täyttää nousevan ketjun ehdon täsmälleen silloin, kun se täyttää maksimaalisuusehdon. Todistus. Jos v,w V, niin merkinnällä v w tarkoitetaan, että v w ja v w. Olkoon T V epätyhjä. Oletetaan, että joukolla T ei ole maksimaalista alkiota. Koska T on epätyhjä, niin on olemassa t 1 T, ja koska joukolla T ei ole maksimaalista alkiota, niin on myös olemassa t 2 T siten, 22

31 että t 1 t 2. Näin voidaan jatkaa: Aina kun on löytynyt t i T, niin täytyy olla olemassa t i+1 T siten, että t i t i+1. Näin saadaan ääretön nouseva ketju t 1 t 2 t i t i+1... osajoukon T alkioita. Oletetaan sitten, että (V, ) täyttää maksimaalisuusehdon. Olkoon v 1 v i v i+1... nouseva ketju joukon V alkioita. Tarkastellaan joukon V osajoukkoa T := { v j j N }, johon kuuluvat kaikki edellä esitetyn ketjun alkiot. Maksimaalisuusehdon perusteella on olemassa k N siten, että v k on joukon T maksimaalinen alkio. Tällöin v k = v k+1. Siirrytään sitten tarkastelemaan tilannetta, jossa joukon alkiot ovat ideaaleja ja relaationa on osajoukkorelaatio. Aluksi todistetaan ideaalien äärettömiä ketjuja koskeva aputulos, jota tarvitaan useassa jäljempänä tulevassa todistuksessa. Apulause 3.3. Olkoon R rengas ja (I i ) i 1 jono sen ideaaleja siten, että I i I i+1 kaikilla i N. Tällöin myös yhdiste on ideaali. i=1 Todistus. Selvästi nolla kuuluu yhdisteeseen. Jos a I i ja b I j joillakin i,j N, niin alkio a b kuuluu joko ideaaliin I i tai ideaaliin I j. Kummassakin tapauksessa alkiot a,b, ja a b kuuluvat yhdisteeseen. Oletetaan lisäksi, että r R. Tällöin ra I i, sillä I i on ideaali. Näin ollen ra on myös yhdisteen alkio. Täten yhdiste on renkaan R ideaali. Määritelmä 3.4. Olkoon R rengas ja (I i ) i 1 jono sen ideaaleja. Sanotaan, että R on Noetherin rengas, mikäli jokainen sen ideaaleista muodostettu nouseva ketju I 1 I i I i+1... lopulta vakiintuu, eli mikäli on olemassa k N siten, että I k = I k+1. Noetherin renkaat toteuttavat siis nousevan ketjun ehdon. Sen lisäksi niille on olemassa kaksi muutakin yhtäpitävää luonnehdintaa, mikä käy ilmi seuraavasta lauseesta. Lause 3.5. Olkoon R rengas ja (I i ) i 1 jono sen ideaaleja. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: I i 23

32 (i) Renkaan R ideaalien jono täyttää nousevan ketjun ehdon. Toisin sanoen ketju I 1 I 2 I i... päättyy lopulta, eli I k = I k+1 jollakin k N. (ii) Jokaisella renkaan R epätyhjällä ideaalien joukolla on maksimaalinen alkio. (iii) Jokainen ideaali I R on äärellisviritteinen. Todistus. (i) (ii) Seuraa suoraan Apulauseesta 3.2. (ii) (iii) Olkoon R rengas ja I R ideaali. Olkoon S joukko, joka koostuu niistä äärellisviritteisistä ideaaleista, jotka sisältyvät ideaaliin I. Nollaideaali on äärellisviritteinen, ja se sisältyy jokaiseen ideaaliin, joten 0 S. Siis S on epätyhjä, joten oletuksen perusteella jokin joukkoon S kuuluvista ideaaleista on maksimaalinen; olkoon se M. Täten M I. Mutta jos olisi M I, niin olisi olemassa jokin alkio a I,a / M. Tällöin saataisiin aidosti suurempi äärellisviritteinen ideaali <M,a> siten, että M <M,a> I. Tämä on ristiriita, sillä M oli maksimaalinen. Siis I = M, joten I on äärellisviritteinen. (iii) (i) Olkoon I 1 I 2 I i... nouseva ketju renkaan R ideaaleja. Tällöin Apulauseen 3.3 nojalla myös näiden ideaalien yhdiste on ideaali; olkoon tämä yhdiste J. Oletuksen mukaan J on äärellisviritteinen, eli J = <a 1,...,a n >, missä jokainen a j I ij. Nyt valitsemalla i = max{i j } saadaan J = I i, joten ketju on päättyvä. Apulause 3.6. Jokainen pääideaalialue on Noetherin rengas. Todistus. Olkoon R pääideaalialue, ja olkoon I 1 I i I i+1... nouseva ketju renkaan R ideaaleja. Osoitetaan, että ketju on päättyvä. Merkitään J := i N I i, jolloin Apulauseen 3.3 nojalla J on ideaali. Koska R on pääideaalialue, niin on olemassa a R siten, että J = ar. Ideaalin J määrittelystä seuraa, että on olemassa k N siten, että a I k. Tällöin J = ar I k I k+1 J. Näin ollen ideaalien nouseva ketju vakiintuu. 24

33 Ideaaleista voidaan muodostaa myös laskevia ketjuja, mikä käy ilmi seuraavasta määritelmästä. Määritelmä 3.7. Olkoon R rengas ja (I i ) i 1 jono sen ideaaleja. Sanotaan, että R on Artinin rengas, mikäli jokainen sen ideaaleista muodostettu laskeva ketju I 1 I i I i+1... lopulta vakiintuu, eli mikäli on olemassa k N siten, että I k = I k+1. Huomautus. Artinin renkaille on olemassa toinenkin yhtäpitävä luonnehdinta: Jokaisella renkaan R epätyhjällä ideaalien joukolla on minimaalinen alkio. Minimaalisella alkiolla tarkoitetaan seuraavaa: Jos (V, ) on joukko, niin sen alkio m V on minimaalinen, mikäli kaikilla n V pätee: n m m = n. Yhtäpitävyys näiden kahden luonnehdinnan (laskevan ketjun ehdon ja minimaalisuusehdon) välillä voidaan osoittaa vastaavalla tavalla kuin tehtiin Apulauseessa 3.2, jossa osoitettiin nousevan ketjun ehdon ja maksimaalisuusehdon välinen yhtäpitävyys. Esimerkki 3.8. Koska Z on pääideaalialue, niin Apulauseen 3.6 nojalla se on myös Noetherin rengas. Kuitenkaan Z ei ole Artinin rengas, sillä sen ideaalien ketjulla ei ole minimaalista alkiota. 2Z 2 2 Z 2 i Z 2 i+1 Z... Esimerkki 3.9. Kunta on sekä Artinin rengas että Noetherin rengas. Nimittäin jos K on kunta, niin sillä on täsmälleen kaksi ideaalia: 0 ja K, jolloin ainoa mahdollinen ideaaliketju on 0 K. Tämä ketju on molemmista suunnista päättyvä. (Itse asiassa nollaideaali on ainoa aito ideaali, joten se on sekä maksimaalinen että minimaalinen ideaali.) Apulause Jos Artinin rengas on kokonaisalue, niin se on kunta. Todistus. Olkoon R on Artinin rengas ja kokonaisalue, ja olkoon a R mikä tahansa nollasta eroava alkio. Nyt voidaan muodostaa laskeva ketju ar a 2 R a i R a i+1 R..., joka on päättyvä, sillä R on Artinin rengas. Toisin sanoen a i R = a i+1 R jollakin i N. Siis on olemassa r R siten, että a i = a i+1 r. Koska R on kokonaisalue, niin voidaan supistaa, joten 1 = ar. Näin ollen a on kääntyvä. Voidaan siis päätellä, että kaikki renkaan R nollasta eroavat alkiot ovat kääntyviä, joten R on kunta. Lause Olkoot R ja S renkaita sekä f : R S surjektiivinen rengashomomorfismi. Jos R on Noetherin rengas (tai vaihtoehtoisesti Artinin rengas), niin samoin on S. Erityisesti jos I R on ideaali, niin tekijärengas R/I on Noetherin rengas (tai vaihtoehtoisesti Artinin rengas), jos R on tätä. 25