Laskennallisen kombinatoriikan 17 perusongelmaa

Transkriptio

1 Laskeallise kobiatoriika 17 perusogelaa Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, joukkoje je. lukuääriä, o taustalla joki uutaista peruslaskutavoista tai laskuogelista. Tässä esitellää lyhyesti 17 tällaista allia. Mallit o uotoiltu tehtäviksi ratkaisuiee. Muutaat ratkaisut eivät oikeastaa ratkaise esitettyä ogelaa, vaa atavat käyttöö erkiä, jolla ratkaisu voisi ilaista, sekä palautuskaava. 1. Motako k: alkio jooa voidaa uodostaa :stä eri alkiosta? Ratkaisu. Jokaiselle k:lle paikalle voidaa valita, toisista valioista riippuatta, joki :stä eri alkiosta. Mahdollisuuksia o siis } {{ } = k. k kpl 2. Motako k: eri alkio jooa voidaa uodostaa :stä eri alkiosta? Ratkaisu. Esiäie alkio voidaa valita :llä tavalla, seuraavaa jää 1 ahdollisuutta je. Eri jooja tulee oleaa ( 1) ( k +1)=! ( k)! kappaletta. 3. Motako k: alkio joukkoa voidaa uodostaa :stä eri alkiosta? Ratkaisu. Edellise perusteella k eri alkiota voidaa laittaa jooo k! eri tavalla. Jos x o kysytty joukkoje äärä, voidaa edellise uero( tulos ) laskea yös uodossa x k!.! Yhtälöstä xk! = ( k)! ratkaistaa x =! k!( k)! =. k 4. Motako eri jooa voidaa uodostaa :stä ollastaja:stä ykkösestä? ( Ratkaisu. ) Valitaa :lle ollalle paikat + : paika joukosta. Tää voidaa tehdä + tavalla.. Motako sellaista : olla ja : ykköse jooa o, issä ei esiiy peräkkäisiä ykkösiä? Ratkaisu. Kirjoitetaa ollaa jooo. Esiäistä ollaa ee, ollie välissä ja viieise olla jälkee o yhteesä ( + 1 paikkaa. ) Jokaisessa joko o yksi ykköe tai +1 ei yhtää ykköstä. :llä ykköselläo eri ahdollisuutta täyttää äitä paikkoja. Jos >+ 1, joo ei ole ahdollie. 6. Moellako tavalla :stä alkiosta voidaa valita k alkiota, jos saa alkio voidaa valita useita kertoja, utta kaikki alkiot o valittava aiaki kerra? Ratkaisu. Ajatellaa k:ta lokeroa rivissä. Esiäisii lokeroihi laitetaa esiäiset alkiot, sitte laitetaa paksupi väliseiä, sitte seuraavii toiset je. Eri valitoje äärä ilaisevat paksupie väliseiie äärät. Väliseiiä( tarvitaa ) 1 kappaletta k 1 ja iide ahdollisia paikkoja o k 1. Eri valitoja o siis. 1

2 2 7. Moellako tavalla :stä alkiosta voidaa valita k alkiota, jos saa alkio voidaa valita useita kertoja? Ratkaisu. Lukuäärä o saa kui jos olisi valittava ( k + alkiota ) ( ja valiassa ) tulisi + k 1 + k 1 olla ukaa kaikkie : alkio aiaki kerra, siis =. 1 k 8. Moellako tavalla erilaista palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatikkoo? Ratkaisu. Esiäie pallo voidaa sijoittaa :llä eri tavalla, toie edellisestä riippuatta yös :llä eri tavalla je. Tapoja o siis kappaletta. 9. Moellako tavalla idettistä palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatikkoo? Ratkaisu. Olkoot laatikot A, B,..., X, issä kirjaiia o kappaletta. Tehtävä o saa kui uodostaa : alkio joo kirjaiista, ku kuki kirjai voi esiityä ielivaltaise ( ota ) kertaa (tietysti eitää kertaa). Kohda 7 perusteella eri tapoja o Moellako tavalla idettistä palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatikkoo, jos yksikää laatikko ei saa jäädä tyhjäksi? Ratkaisu. Tehtävä o saa( kui jos) sijoitettaisii ( ) idettistä palloa :ää erilaisee 1 1 laatikkoo. Ratkaisu o siis = Moellako tavalla erilaista palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatikkoo, jos j:tee laatikkoo tulee sijoittaa j palloa ( = )? Ratkaisu. Esiäisee( laatikkoo ) voidaa sijoittaa ikä hyväsä palloje 1 -alkioie osajoukko. Tapoja o siis.jostää o tehty, toisee laatikkoo voi sijoittaa jäljelle 1 ( ) 1 jääeide ikä tahasa 2 -alkioise osajouko; äitä tapojao je. Tapoja o kaikkiaa! 1!( 1 )! sillä ( )=. ( 1 )! 2!( 1 2 )! ( ( )! 1!( ( ))! ( )! = 1! 2!! =, 1, 2,..., 12. Jos joo uodostuu :stä eri sybolista 1, 2,...,, se pituus o, jaj esiityy joossa j kertaa, ii oeeko eri järjestyksee joo voidaa kirjoittaa?! Ratkaisu. Tehtävä o saa kui edellie; vastaus o siis 1! 2!!. 2

3 . Moellako tavalla erilaista palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatikkoo, jos ikää laatikko ei saa jäädä tyhjäksi? Ratkaisu. Lukuäärä o ( ) = T (, ). 1, 2,..., = 1, 2,..., Voidaa osoittaa, että T toteuttaa palautuskaava ku 1 <<. T (, ) =(T ( 1, 1) + T ( 1, )), Motako -kirjaiista saaa voidaa uodostaa :stä kirjaiesta, jos jokaista kirjaita o käytettävä aiaki kerra? Ratkaisu. Tehtävä o saa kui edellie. 1. Moellako tavalla erilaista alkiota voidaa jakaa :ksi osajoukoksi, joide koot ovat 1, 2,...,? Ratkaisu. Jos osajoukot olisivat iettyjä, lukuäärä olisi ( ) 1, 2,...,. Olkoo 1- alkioisia joukkoja r 1, 2-alkioisia joukkoja r 2 je. Koska joukkoje järjestyksellä eiole väliä, tehtävä vastaus o ( ) 1, 2,...,. r 1!r 2!r 3! 16. Moellako tavalla alkiota voidaa jakaa :ksi epätyhjäksi osajoukoksi? Ratkaisu. Ku verrataa ueroo ja otetaa huoioo, että joukoteivät yt ole 1 iettyjä, saadaa vastaukseksi T (, ).! 17. Moellako tavalla positiivie kokoaisluku voidaa lausua : positiivise kokoaisluvu suaa? Ratkaisu. Kysyttyä lukua erkitää P (, ). Sillä ei ole yksikertaista lauseketta, utta voidaa osoittaa, ettäpätee palautuskaava ku 1 <<. P (, ) =P ( 1, 1) + P (, ),

4 4 Muutaa kobiatorie laskutehtävä 1. Motako viisikirjaiista saaa voi uodostaa aakkosista A, B, C,...,V,W,X,Y,Z, Å, Ä Ö? 2. Motako viisikirjaiista saaa voi uodostaa aakkosista A, B, C,...,V,W,X,Y,Z, Å, Ä Ö, jos saa kaikkie kirjaiie o oltava eri kirjaiia? 3. Motako viisikirjaiista saaa voi uodostaa aakkosista A, B, C,...,V,W,X,Y,Z, Å, Ä Ö, jos saassa ei saa olla kahta saaa peräkkäistä kirjaita? 4. Motako viisikirjaiista saaa voi uodostaa aakkosista A, B, C,...,V,W,X,Y,Z, Å, Ä Ö, jos saa kirjaite o oltava o oltava eri kirjaiia ousevassa tai laskevassa aakkosjärjestyksessä?. Autoje rekisterituuksissa o kaksi tai kole kirjaita aakkostosta A, B, C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, R, S, T, U, V, X, Y, Z ja luku väliltä 1,..., 999. Moiko auto voi saada eri rekisterituukse? 6. Moellako tavalla kole autoa voidaa pysäköidä seitseälle vierekkäiselle pysäköitipaikalle ii, että jokaise kahde auto välii jää aiaki yksi tyhjä paikka? 7. Moellako tavalla voidaa valita kole ueroa joukosta {0, 1, 2,..., 9}, jos joukossa ei saa olla peräkkäisiä ueroita? 8. Motako ousevaa jooa a 1 a 2 a 9 a 10 voidaa uodostaa jouko {1, 2,..., 20} luvuista? 9. Todista, että luku(2)! o jaollie luvulla (!) Sehä yt voidaa tehdä tuhaella ja yhdellä tavalla! Etsi bioikertoiie avulla asia, joka voidaa tehdä tasa 1001:llä eri tavalla. 11. Moellako tavalla 2 korttia voidaa jakaa eljälle pelaajalle A, B, C ja D, ii että jokaiesaakorttia? 12. Muua sua ( ) ( ) ( ) ( ) 2 uotoo ( ) x. y. Pokerikäsi o viide eri korti joukko 2 korti stadardipakasta, jossa o eljä korti aata. Laske a) pokerikäsie lukuäärä; b) sellaiste pokerikäsie lukuäärä, joissa kaikki kortit ovat saaa aata ( väri ); c) sellaiste käsie lukuäärä, jossa kaikki kortit ovat saaa aata ja peräkkäisiä ueroita; ässä voi saada joko uero 1 tai uero 14 ( värisuora ); d) sellaiste käsie lukuäärä, joissa o eljä saaueroista korttia ( eloset ); e) sellaiste käsie lukuäärä, joissa o kaksi saaueroista korttia

5 ja kole aiitusta uerosta eroavaa utta saaueroista korttia ( täyskäsi ); f) sellaiste käsie lukuäärä, joissa o kole saaueroista korttia, utta jossa kaksi uuta korttia ovat keskeää eriueroisia ja eriueroisia kui kole saaueroista ( koloset ), g) sellaiste käsie lukuäärä, joissa o viisi peräkkäistä ueroa ja ässä voi olla uero 1 tai uero 14 ( suora ); h, i) Ku olet päässyt äi hyvää alkuu, voit vielä laskea käsie kaksi paria ja pari lukuäärä. Laskutehtävie ratkaisuja 1. Aakkosia o 29, ja ku jokaiselle saa viidelle paikalle voi valita kirjaie 29:lla eri tavalla, valitoja voi tehdä kaikkiaa 29 = kappaletta. 2. Esiäie kirjai voidaa valita 29:llä eri tavalla, seurava 28:lla je. Eri valitoja o = kappaletta. 3. Esiäie kirjai voidaa valita 29:llä eri tavalla. Toiseksi kirjaieksi kelpaa ikä tahasa uu kui esiäiseksi valittu kirjai. Vaihtoehtoja o siis 28. Kolaeksi kirjaieksi kelpaa ikä hyväsä uu kui toiseksi valittu kirjai. Vaihtoehtoja o taas 28. Näi jatkae todeta, että ehdo täytäviä viisikirjaiisia saoja o = kappaletta. 4. Jokaie viide eri kirjaie( joukko ) voidaa asettaa ousevaa tai laskevaa aakkosjärjestyksee. Saoja o siis 2 = = = ! kappaletta.. [Oletteko koskaa äheet suoalaista rekisterikilpeä, jossa olisi kirjai D?] Jos esitetyt ehdot pitävät paikkasa, tuukse kirjaiosa Esiäie ja toie kirjai voidaa valita kupiki 23:llä eri tavalla ja kolas 24:llä eri tavalla, koska kolae kirjaie puuttuie o yös yksi ahdollisuus. [Itse asiassa kirjai o vai perävauuje tuuksissa, ja e voivat alkaa yös olla yös W:llä, utta jätetää tää ottaatta huoioo.] Kirjaiet voidaa siis valita = eri tavalla. Nuero-osaa o 999 valitaahdollisuutta. Erilaisia tuuksia voi siis olla = kappaletta. 6. 1, ratkaisu. Ajatellaa kole auto vieree jäävää eljää tilaa laatikkoia, joihi sijoitetaa eljää palloa, joista kuki erkitsee yhtä vapaata paikkaa. Autoje välii tulevat laatikot eivät saa jäädä tyhjiksi, utta autoje ulkopuolella olevat kaksi laatikkoa voivat olla tyhjiäki. Jos autoje välissä olevissa kahdessa laatikoissa o kaksi palloa, loput kaksi palloa voidaa sijoittaa kolella tavalla: kaksi vasepaa laitaa, yksi olepii laitoihi tai kaksi oikeaa laitaa. Jos välilaatikoissa o kole palloa, e voivat olla kahdella eri tavalla. Viieie pallo voi seki olla kahdessa paikassa, jote tällaisia ahdollisuuksia o 2 2 = 4. Jos viiei kaikki eljä palloa sijoitetaa kahtee välilaatikkoo, ii ahdollisuuksia o kole: vaseapuoleisessa laatikossa o 1, 2 tai 3 palloa. Kaikkiaa vaihtoehtoja o siis = 10 kappaletta.

6 6 2. ratkaisu. Neljää vierekkäisee tyhjää paikkaa liittyy viisi viereistä paikkaa, joissa jokaisessa ( ) o auto tai ei ole autoa. Eri tapoja sijoitaa kole autoa äille paikoille o = Seitseä ei-valittava uero vieressä o kahdeksa paikkaa, joissa voi olla ( ) tai olla 8 oleatta yksi valittavista kolesta uerosta. Kahdeksa alkio joukolla o =6 3 osajoukkoa. 8. Jos 1 a 1 a 2 a 9 a 10 10, ii a 1 <a 2 +1<a 3 +2<...<a ja jos 1 b 1 <b 2 <... < b 10 19, ii 1 b 1 b 2 1 b b Tehtävässä kysytjä jooja o siis yhtä ota kui aidosti ousevia jooja 1 b 1 <b 2 <... < b 10 19; ( äitä ) oyhtä ota kui joukolla {1, 2,..., 19} o kyealkioisia 19 osajoukkoja eli = (2)! (!) 2 = (2)!!(2 )! = ( ) 2. Bioikertoiet ovat kokoaislukuja. ( ) = Etsitää bioikerroi =7 11. Luvu o oltava. k Piee kokeilu jälkee huoaa, että = =7 11 kelpaa. Tasa tavalla voi siis esierkiksi valita eljä eri pizza täytettä, jos vaihtoehtoja o Ajatellaa kortit aettavaksi järjestyksessä ( esia:lle, ) sitte B:lle, sitte C:lle ja 2 lopuksi D:lle. A:lle voidaa jakaa kaikkiaa erilaista joukkoa. B: koletoista ( ) 39 korttia voidaa tää jälkee valita 39:stä ahdollisesta, ja eri vaihtoehtoja o. ( ) 26 Nyt jäljellä o vielä 26korttia,jaC:lle iistä voidaa ataa eri tavalla. D: o tyytyie jäljelle jääeisii korttii. Eri tapoja tehdä jako o siis ( ) 2 ( ) ( ) = 2!! 39! 39!! 26! 26!!! = 2! (!) 4 = eli yli viisikyetätuhatta kvadriljooaa. [O elkei ahdotota, että kuolla sekoitetuista pakoista voisi tulla idettiset bridgejaot. Mutta kuollie sekoittaie o oa ogelasa.]

7 7 ( ) ( ) 12. Käytetää hyväksi bioikertoiie perusoiaisuutta =. Tehtävä k k sua o siis saa ku ( ) ( ). k k k=0 Tää havaito tekee ahdolliseksi ataa tehtävä sualle kobiatorise tulkia. Ajatellaa joukkoa, jossa o 2 alkiota, esierkiksi A = {1, 2,..., 2}. Jaetaa joukko kahdeksi osajoukoksi, joissa oleissa o alkiota, esierkiksi B = {1, 2,..., } ja C = { +1,+2,..., 2}. Nyt jokaie A: osajoukko E o uotoa (E B) (E C). Lasketaa kaikkie A: osajoukkoje lukuäärä ii, että kaikilla k = 0, 1,..., lasketaa sellaiset A: osajoukot E, ( joissa ) ( E B) o k-alkioie ja E C o ( k)- alkioie. Tällaisia joukkoja o juuri kappaletta. Koska A:lla o kaikkiaa ( ) k k ( ) 2 2 -alkioista osajoukkoa, o tehtävässä kysytty sua.. ( a) Pokerikäsiä ) oyhtä ota kui 2: alkio joukolla o viisialkioisia osajoukkoja, 2 siis = kappaletta. b) Tapoja valita yksi eljästä väristä o 4 ja tapoja ( ) valita Viide korti joukko kortista o = 148. c) Värille o 4 vaihtoehtoa ja aliaueroiselle kortille 10. Erilaisia värisuoria o 40. d) Neljästi esiityvä uero voi olla ikä hyväsä vaihtoehdostajaviidesikä hyväsä lopuista 48 kortista. Vaihtoehtoja siis 48 = 642. e) Se uero, joka esiityy kolesti, voidaa valita tavalla ja eljästä saaueroisesta kortista voidaa valita kole eljällä tavalla. Se ueroa, jota o kaksi, voidaa valita ( 12:lla ) tavalla ja tapoja valita e kaksi, jotka eljästä vaihtoehdosta otetaa ukaa, o = 6. Erilaisia täyskäsiä o = 1872 kappaletta. 4 2 f) Tapoja valita kole saaueroista korttia o 4 = 2. Neljäs kortti voi olla ikä hyväsä 48:sta uuueroisesta. Viideelle kortille o sitte 44 eri vaihtoehtoa. Nyt kuiteki eriueroiset yhdistelät tulee lasketuiksi kahdesti, jote koloskäsiä o siis /2 = erilaista. g) Ali uero voidaa valita 10:llä eri tavalla. Korttie värit voidaa valita ueroista riippuatta. Viide korti värit voidaa valita kuki toisista riippuatta eljällä eri tavalla. Värivalitoja o siis 4 = 2 10 = Erilaisia suoria o kappaletta. (Jos lasketaa värisuorat ( pois, ) jää jäljelle tavallista suoraa. h) Parikorttie ueroyhdistelälle o =6 vaihtoehtoa ja 2 kuassaki parissa aat voi taas valita kuudella tavalla. Viides kortti o ikä tahasa parikorttie uerosta eroava. Mahdollisuuksia o 44 erilaista. Kaksi paria -käsiä o siis = kappaletta. i) Parikortilla o uerovaihtoehtoa ja 6 aayhdistelävaihtoehtoa. Kolas kortti o joki 48 uusta, eljäs joki 44:stä uusta ja viides joki 40:stä uusta. Nyt kuiteki saa yhdistelä tulee lasketuksi kuudessa eri järjestyksessä. Vaihtoehtoja o siis /6 = kappaletta. Tai: Tapoja valita korttipari o 6 = 78 kappaletta. Muide kole korti ueroyhdisteliä o

8 8 ( ) 12 yhtä ota kui kahdetoista alkio joukolla kolialkioisia osajoukkoja, siis = kappaletta. Jokaie äistä kolesta kortista voi olla eljää eri aata. Vaihtoehtoja o 4 3 = 64. Kaikkiaa vaihtoehtoja o = kappaletta. Laskettuje lukuäärie perustella voi äärittää pokeri erilaiste käsie todeäköisyyksiä. Pelitilae o oiutkaisepi. Esierkiksi tieto oista korteista uuttaa vastustajie käsie todeäköisyyksiä: jos itsellä o ässäpari, uilla pelaajilla ei voi olla ässäelosia. Jos pakassa o jokeri, lukuäärät uuttuvat.