3.6 Todennäköisyyden laskusääntöjä Onneksi ennalta arvaamaton todennäköisyys noudattaa täsmällisiä sääntöjä. Tutustutaan niistä keskeisimpiin.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3.6 Todennäköisyyden laskusääntöjä Onneksi ennalta arvaamaton todennäköisyys noudattaa täsmällisiä sääntöjä. Tutustutaan niistä keskeisimpiin."

Transkriptio

1 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Oesi ealta arvaamato todeäöisyys oudattaa täsmällisiä säätöjä. Tutustutaa iistä eseisimpii. Kertolasusäätö Tarastellaa esi tilaetta, jossa o asi sellaista satuaista tapahtumaa, jota umpiaa eivät vaiuta siihe, miä vaihtoehto toisessa toteutuu. Ne ovat siis asi toisistaa täysi riippumatota tapahtumaa. Normaalistiha me oletamme ilma muuta, että jos Sipi ja Sippo heittävät tiaa, ii toise oistumie ei saa toista hermostumaa eiä toise epäoi rohaise toista. Tämä oletus tehdää ysiertaisuude taia. Mutta tutitaa yt tapausta, joa asi vaihetta ovat riippumattomat jo periaatetasolta lähtie. Esimeri 9 Otetaa paasta ysi ortti, atsotaa se ja palautetaa taaisi. Otetaa toie ortti. Millä todeäöisyydellä molemmat ortit ovat patoja ( )? Rataisu Kosa esimmäiseä oleva ortti palautettii meillä o lupa olettaa, että satuaisee ohtaa paassa ii toise osto tulos ei riipu esimmäise osto tulosesta. Piirretää tilateesta uva. Kosa orttipaassa o eljä maata ja joaista maata o yhtä mota paa aiiaa 5 ortista, riittää u aavioo otetaa vai maat. Eri vaihtoehtoja tulee yhteesä 4 = 6 appaletta, miä o siis aiie tapauste luumäärä. Kute oheie tauluoi osoittaa, molemmat ortit ovat patoja vai yhdessä tapausessa oo 6 vaihtoehdo jouossa. Täte suotuisie tapauste määrä o ysi ja ysytty todeäöisyys o siis 6. Toisaalta, u esimmäie ortti vedetää, todeäöisyys sille, että saadaa pata, o 4. Kosa ortti palautettii, esimmäie tulos ei vaiuta toisee, jote todeäöisyys, että myös toie ortti o pata, o sama ja = Vastaus: TN(Molemmat ortit patoja) = 6. Jos Esimeri 9 orttia ei olisi palautettu, olisi paassa ysi ortti vähemmä toista ostoa varte, miä muuttaisi tulose. Esimeri 9 säätö o voimassa aia, u tehdää asi tai useampi toisistaa riippumato oe. Sitä saotaa riippumattomie tapauste ertolasusääösi. Tiivistetää tämä säätö vielä yhtälösi. (5)

2 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Oloo tapause A todeäöisyys p(a) ja tapause B todeäöisyys p(b). Tapause A ja B todeäöisyys o erilliste tapauste A ja B tulo. Riippumattomie tapauste ertolasusäätö: P(A ja B) = P(A) P(B). Kertolasusäätöä voi usei soveltaa perääisii tapausii, vaia aiemmat tapauset vaiuttaisivati myöhempii tulosii. Seuraavaa eräs tyypillie tapaus. Esimeri 0 Otetaa orttipaasta olme orttia ysitelle ja palauttamatta. Millä todeäöisyydellä aii olme orttia ovat ruutuja? Rataisu Kysymys voidaa esittää myös muodossa Millä todeäöisyydellä esimmäie paasta vedetty ortti o ruutu JA toie paasta vedetty ortti o ruutu JA olmas paasta vedetty ortti o ruutu, u ortteja ei palauteta. Kosa esitetty ysymys o siis ja muotoa, ertolasusäätö pätee. Ku 3 esimmäie ortti vedetää, todeäöisyys, että saadaa ruutu o =. Ku toie ortti 5 4 vedetää eiä esimmäistä palautettu, jäljellä o 5 orttia. Jos esimmäie ortti oli ruutu, jäljellä o ruutua. Nyt päättelemme, jos esimmäie oli ruutu, todeäöisyys, että toiei o ruutu o ja todeäöisyys, että esimmäie ja toie ovat ruutuja o äitte 5 3 todeäöisyysie tulo: P(. ja. ortti o ruutu) =. 5 5 Kolmae orti todeäöisyys lasetaa vastaavalla tavalla. Todeäöisyys, että olmasi 3 ortti o ruutu, o. Täte todeäöisyys, että aii olme ovat ruutuja o tulo Se liiarvo 0,03. Vastaus: Todeäöisyys, että olme perääi palauttamatta otettua orttia ovat patoja, o 0,03. Esimeri Jäätelöä myydää purissa, tötterössä, tuutissa ja laatiossa. Maut ovat vailja, sulaa, masia, pääryä, appelsiii ja sametti. Oletetaa, että aii maut ja paausmuodot ovat yhtä suosittuja. Millä todeäöisyydellä satuaisesti valittu asiaas valitsee samettijäätelö purii laitettua? Rataisu Kosa puri todeäöisyys o 4 ja sameti todeäöisyys o 6, ii puri ja sameti todeäöisyys o = Vastaus: Todeäöisyys, että satuaie asiaas valitsee samettia purissa, o 0,04. (5)

3 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Esimeri Sateri heittää oppaa, joa o paiotettu site, että yöe tulee asi ertaa ii suurella todeäöisyydellä ui miä tahasa muista viidestä silmäluvusta, joilla puolestaa ullai o sama todeäöisyys. Millä todeäöisyydellä Sateri saa perääisistä heitoista tuloset, ja 3? Rataisu Yöse todeäöisyys o siis 7 ja ui muu silmäluvu todeäöisyys o 7. Kysytty todeäöisyys o siis p(esimmäisellä ja toisella ja olmaella 3) = = 0, Vastaus: P(esimmäisellä ja toisella ja olmaella 3) = 0,006. Esimeri 3 Kesilaatiossa o tähdemuotoisia ja pyöreitä esejä yhteesä 69 appaletta. Todeäöisyys sille, että asi perääi umpimähää valittua esiä ovat molemmat pyöreitä, o. Kuia 46 mota pyöreää esiä laatiossa o? Rataisu Meritää pyöreitte esie luumäärää x:llä, jolloi todeäöisyys, että esimmäie esi o pyöreä, o 69 x. Jos esimmäie valittu esi oli pyöreä, toiei o pyöreä todeäöisyydellä x. Kosa P(. esi o pyöreä ja. esi o pyöreä) = x, saadaa yhtälö x = Tämä yhtälö rataisu o x = 34 tai x = 33. Kosa esejä ei voi olla egatiivista määrää, aioasi rataisusi jää x = 34. Taristetaa Jos pyöreitä esejä o 34 appaletta, ii tähdemuotoisia o 35 appaletta ja P(asi pyöreää esiä perääi) = =, ute piti Vastaus: Laatiossa o 34 pyöreää esiä. Yhteelasusäätö Missä tilateissa todeäöisyysiä voi lasea yhtee ja millä tavalla liittyy rataisevasti siihe, ovato tapauset jouo-opi mielessä erilliset vai ei. Sisi haluat ehä errata MAB: jouoopi osuude viimeistää yt ee ui jatat tätä urssia. Ajatellaa ahta tapausta A ja B. Ne o määritelty joi ehdo avulla, joa rajaa iitte suotuisie tapauste jouot aiie tapauste jouosta. Meritää tapause A suotuisie tapauste jouoa {A}:lla ja vastaavasti B: suotuisie tapauste jouoa {B}:llä. Silloi saotaa, että tapauset A ja B ovat erilliset eli toisesa poissulevat, jos iitte suotuisie tapauste jouoilla ei ole yhteisiä alioita eli jos { A } { B} = φ. Tämä taroittaa sitä, että jos A tapahtuu, ii B ei tapahdu ja päivastoi. 3(5)

4 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Tapauset A ja B ovat toisesa poissulevat eli erilliset, jos { A } { B} = Φ Esimerisi opaheitossa seuraavissa ahdessa tilateessa tapauset A ja B ovat erilliset A = {saadaa parillie silmäluu}, B = {saadaa parito silmäluu} A = {saadaa tai 3}, B = {saadaa tai 4}, mutta seuraavissa ahdessa tilateessa A ja B eivät ole erilliset A = {silmäluu o jaollie olmella}, B = {saadaa parillie silmäluu}: tapaus silmäluu A B = 6 6 o molempie suotuisie tapauste jouossa eli { } { } { } A = {,4,5}, B = {saadaa parito silmäluu}: { A } { B} = { 5}. Palataa hippihyppiäiste parii tutimaa heidä heilöohtaisia omiaisuusiaa. Saamme erätysi tiedot, jota esitellää ja joita sovelletaai aiai heti Esimerissä 4. Esimeri 4 Kaiista hippihyppiäisistä 55% o vastaarvaisia ja loput 45% ovat tauarvaisia. Vastaarvaisista hippihyppiäisistä 30% o hitaita, u taas tauarvaiste hippihyppiäiste jouossa ei ole hitaita olleaa. Lisäsi vastaarvaisista hippihyppiäisistä 40% o iharaturisia, samoi tauarvaisista hippihyppiäisistä 40% o iharaturisia. Kuia suuri osa aiista hippihyppiäisistä o a) hitaita tai tauarvaisia? b) iharaturisia c) tauarvaisia tai iharaturisia? Rataisu Piirretää tilateesta aavio, joa lieee helpompi mieltää ui luettelo. Huomaa uitei, että oheise uvio eri osie aloje suhteet eivät ole mittaaavassa yllä lueteltuje omiaisuusie osuusie assa. Vastaarvaiset Kaii hippihyppiäiset Tauarvaiset Hitaat Kiharaturiset 4(5)

5 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Lasetaa vielä muutama luuarvo ee ui vastataa esitettyihi ysymysii. Vastaarvaiset 55% aiista Tauarvaiset 45% aiista Vastaarvaiset hitaat: 0,30 55% = 6,5% aiista. Vastaarvaiset iharaturiset: 0,40 55% = % aiista. Tauarvaiset iharaturiset: 0,40 45% = 8,0% aiista. Seuraavissa laselmissa prosettiosuudet samaistetaa asiaomaise jouo alioide luumäärällä. a) Kosa hitaita hippihyppiäisiä löytyy vai vastaarvaiste hippihyppiäiste jouosta, 30% aiista hippihyppiäisistä sisältää aii hitaat tai tauarvaiset hippihyppiäiset. Vastaus: Hitaita tai tauarvaisia hippihyppiäisiä 30% aiista hippihyppiäisistä. b) Kute aavioo o jo lasettu, vastaarvaisia iharaturisia hippihyppiäisiä o % aiista hippihyppiäisistä ja tauarvaisia iharaturisia hippihyppiäisiä o 8% aiista hippihyppiäisistä eivätä ämä asi jouoa leiaa, o iharaturisia hippihyppiäisiä yhteesä %-ys + 8%-ys = 40% aiista hippihyppiäisistä. Vastaus: Kiharaturisia hippihyppiäisiä o 40% aiista hippihyppiäisistä. c) Tauarvaisia hippihyppiäisiä o 45% aiista hippihyppiäisistä. Tämä luu sisältää myös tauarvaiset iharaturiset hippihyppiäiset. Kosa vastaarvaisia iharaturisia hippihyppiäisiä o % aiista hippihyppiäisistä, o iitä hippihyppiäisiä, jota ovat tauarvaisia tai iharaturisia yhteesä %-ys + 45%-ys = 67%. Toie tapa rataista tämä ohta perustuu suoraa jouo-opi tietoihi eli urssi MAB tietoihi. Jouo-opista tiedämme, että ahde jouo vaiapa jouot A ja B uioi alioitte luumäärä ei ole sama ui äitte jouoje alioitte summa. Tämä johtuu siitä, että lasemalla A: ja B: alioitte summa tulemme laseeesi iitte yhteiset aliot eli jouo A B aliot ahtee ertaa. Oiea tulose saamisesi äitte yhteiste alioitte luumäärä täytyy vähetää summasta. Meritää yt tauarvaiste hippihyppiäiste jouoa irjaimella A ja iharaturiste hippihyppiäiste jouoa irjaimella B. Silloi {x x o tauarvaie hippihyppiäie TAI x o iharaturie hippihyppiäie} = B # A B = #A + #B - # A B = A ja ( ) ( ) 5(5)

6 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä 45%-ys + 40%-ys 8%-ys = 67%. Kosa A B = {Tauarvaiset iharaturiset # A B = 8% aiista hippihyppiäisistä. hippihyppiäiset}, ii ( ) Vastaus: Tauarvaisia tai iharaturisia hippihyppiäisiä o 67% aiista hippihyppiäisistä. Huomaa, että äseisessä esimerissä lasettii yhtee esiäi prosettiysiöitä ja toisesi imeomaa yhteismitallisia prosettiysiöitä. Taroita tässä yhteismitallisuudella sitä, että yhteelasettavat osuudet olivat osuusia samasta jouosta, joa tällä ertaa oli aiie hippihyppiäiste jouo. Äseie esimeri motivoi yhdessä jouo-opi assa seuraavat lasusääöt. Oloot A ja B asi tapahtumaa. Tapahtumie todeäöisyysie yhteelasusäätö: P(A tai B) = P(A) + P(B) P(A ja B) eli P( A B ) = P(A) + P(B) P( A B ) Jos A ja B ovat asi erillistä tapahtumaa eli jos B = Φ 0 ja P( A B ) = P(A) + P(B) P( A B ) = P(A) + P(B). A, ii ( A B) # = 0, jote P( A B ) = Erilliste tapahtumie yhteelasusäätö: P(A tai B) = P(A) + P(B) Huomaa, että u saotaa, että tapahtuu A tai B, ii silloi tapahtuu pelästää A tai tapahtuu pelästää B tai 6(5)

7 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä tapahtuu seä A että B Esimeri 5 Korttipaasta otetaa asi orttia palauttamatta. Millä todeäöisyydellä a) esimmäie ortti o puaie tai ymppi b) esimmäie tai toie ortti o ymppi? Rataisu a) Puaisia o orttipaa orteista puolet eli 6 appaletta ja ymppejä o eljä. Siis P(puaie tai ymppi) = P(puaie) + P(ymppi) P(puaie ymppi) = = Vastaus: P(puaie tai ymppi) 0,56. b) Jaetaa tilae osii. Esimmäie tai toie ortti o ymppi o sama asia ui esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o joi muu tai toie ortti o ymppi ja esimmäie o joi muu tai molemmat ortit ovat ymppejä, jote: P(esimmäie tai toie ortti o ymppi) = P(esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o joi muu tai toie ortti o ymppi ja esimmäie joi muu tai molemmat ortit ovat ymppejä). Lasetaa ui todeäöisyys erisee. Esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o joi muu: P(esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o joi muu) = P(esimmäie ortti o ymppi) P(toie ortti o joi muu) = =. 5 5 Toie ortti o ymppi ja esimmäie o joi muu: P(toie ortti o ymppi ja esimmäie o joi muu) = P(toie ortti o ymppi) P(esimmäie o joi muu) = =. 5 5 Molemmat ortit ovat ymppejä: P(esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o ymppi) = P(esimmäie ortti o 4 3 ymppi) P(toie ortti o ymppi) = =. 5 5 Kaii olme tapausta ovat erilliset, sillä esimerisi jouo {esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o joi muu} {toie ortti o ymppi ja esimmäie o joi muu} o tyhjä. Kysytty todeäöisyys saadaa silloi lasemalla eri tapauste todeäöisyydet yhtee, jote ysytty todeäöisyys o + + = 0, 5. Vastaus: P(esimmäie tai toie ortti o ymppi) 0,5. Esimeri 6 Jos satee todeäöisyys o huomea ja ylihuomea, uai päivää erisee 70%, ii millä todeäöisyydellä a) vai toisea päivää sataa b) ei sada umpaaaa päivää? Rataisu 7(5)

8 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä a) Vai toisea päivää sataa o sama asia ui, että sataa joo huomea ja ylihuomea ei sada tai ylihuomea sataa ja huomea ei sada. Nämä tapahtumat ovat erilliset. Kosa P(huomea sataa ja ylihuomea ei sada) = 0,7 0,3 = 0,. P(huomea ei sada ja ylihuomea sataa) = 0,7 0,3 = 0,. ii P(vai toisea päivää sataa) = 0, + 0, = 0,4. Vastaus: P(vai toisea päivää sataa) = 0,4. b) Ei sada umpaaaa päivää tapahtuu tarallee silloi, u ei sada huomea ja ei sada ylihuomea tapahtuu. Siis P(ei sada umpaaaa päivää) = P(ei sada huomea) P(ei sada ylihuomea) = 0,3 0,3 = 0,09. Esimeri 7 Millä todeäöisyydellä satuaisesti valittu olmiumeroie luoollie luu o a) parillie b) jaollie olmella c) jaollie ahdella tai olmella? Rataisu Piei olmiumeroie luoollie luu o 00 ja suuri 999. Niitä o 900 appaletta. a) Joa toie luoollie luu o parillie, jote välillä [00;999] iitä o 450 appaletta. Kaiie tapauste jouossa o siis 900 aliota ja suotuisie tapauste jouossa 450 aliota, 450 jote ysytty todeäöisyys o eli 0, Vastaus: TN(parillie olmiumeroie luoollie luu aetulla välillä) = 0,5. b) Piei olmella jaollie, olmiumeroie luoollie luu o 0, seuraava o 05 ja ii edellee ues suuri olmella jaollie, olmiumeroie luoollie luu o 999. Niitä 300 o siis 300 appaletta, jote ysytty todeäöisyys o = Vastaus: TN(olmella jaollie olmiumeroie luoollie luu aetulla välillä) = 0,33. c) Kosa o olemassa aetut ehdot täyttäviä luuja, jota ovat jaollisia seä ahdella että olmella, ei todeäöisyysiä voi lasea suoraa yhtee, vaa summasta o väheettävä yhteiste alioitte todeäöisyys. Luu, joa o jaollie seä ahdella että olmella, o jaollie uudella. Piei ehdot täyttävä olmiumeroie luu o 0 ja suuri 996, jote iitä o 50 appaletta. Tästä 50 saadaa, että P(ahdella ja olmella jaollie) = P(uudella jaollie) = =, josta edellee P(ahdella tai olmella jaollie) = + = Vastaus: TN(jaollie ahdella tai olmella) = 0,67. Esimeri 8 8(5)

9 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Kasaivälise oouse osallistuu 00 heilöä eri asallisuusista. Näistä 00 heilöstä 56 aattaa alastusiitiöide pieetämistä maailmalaajuisesti. Samoista 00 oousedustajasta 6 o tullut valitusi puheejohtajisi eri valioutii ja äistä uudesta asi uuluu jouoo, joa aattaa alastuse vähetämistä. Millä todeäöisyydellä satuaisesti valittu oousedustaja aattaa alastuse vähetämistä tai o valioua puheejohtaja? Rataisu Kosa jouoissa aattaa alastuse vähetämistä ja valioua puheejohtaja o yhteisiä jäseiä maiitut asi heeä o äytettävä yleisempää tapahtumie todeäöisyysie yhteelasusäätöä. Saadaa P(aattaa pieempiä iitiöitä tai o valioua puheejohtaja) = P(aattaa pieempiä iitiöitä) + P(o valioua puheejohtaja) P (aattaa pieempiä iitiöitä ja o valioua puheejohtaja) = + = = 0, Vastaus: Satuaisesti valittu oousedustaja aattaa alastuse vähetämistä tai o valioua puheejohtaja todeäöisyydellä 0,30. Komplemeti todeäöisyys Ku oripalloilija heittää vapaaheittoa, häellä o asi mahdollisuutta: hä joo saa ori tai ei saa oria. Tilae, jossa hä seä saa ori että ei saa oria yhdellä heitolla uulostaa absurdilta; ii ei tapahdu. Kosa varma tapause todeäöisyys o, ii tapause oripalloilija saa ori tai ei saa oria vapaaheitossa todeäöisyys o. Kosa ämä asi vaihtoehtoa ovat myös erilliset, saadaa yhtälö TN(saa ori) + TN(ei saa oria) =. Sovelletaa tätä ajatusta seuraavassa esimerissä. Esimeri 9 Kolme oripalloilijaa, heilöt A, B ja C, heittävät vapaaheito ohi todeäöisyysillä vastaavasti 5%, 0% ja 5%. Heitetää ysi ierros. Millä todeäöisyydellä a) uaa ei oistu b) vai ysi oistuu c) aiai ysi oistuu? Rataisu Jos oripalloilija A todeäöisyys heittää ohi o 5%, ii todeäöisyys, että hä oistuu heitossa, o edellä oleva päättely ojalla 00% 5% = 95% = 0,95. Vastaavalla tavalla pelaajat B ja C oistuvat heitossa todeäöisyysillä 0,90 ja 0,85. a) Kuaa ei oistu tapahtuu tarallee silloi, u aii heittävät ohi eli A heittää ohi ja B heittää ohi ja C heittää ohi. P(A heittää ohi ja B heittää ohi ja C heittää ohi) = P(A heittää ohi) P(B heittää ohi) P(C heittää ohi) = 0,05 0,0 0,5 = 0, Vastaus: Todeäöisyys, että aii heittävät ohi o oi 0,00075 eli luultavasti aii eivät heitä ohi. b) Tapaus vai ysi oistuu toteutuu, u tapaus A oistuu tai B oistuu tai C oistuu toteutuu ja tämä puolestaa, u tapaus A oistuu ja B ja C eivät oistu tai B oistuu ja A ja C eivät oistu tai C oistuu ja A ja B eivät oistu toteutuu. Tapauset, jota tuossa listassa erotetaa tai - oetiivilla ovat erilliset, jote TN(A oistuu ja B ja C eivät oistu tai B oistuu ja A ja C eivät oistu tai C oistuu ja A ja B eivät oistu) = 0,95 0,0 0,5 + 0,05 0,90 0,5 + 0,05 0,0 0,85 = 0,055. Vastaus: TN(vai ysi oistuu) = 0,055 eli oi 0,03. 9(5)

10 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä c) Tapaus aiai ysi oistuu toteutuu tarallee silloi, u tapaus uaa ei oistu ei toteudu. Nämä tapauset ovat erillise ja lisäsi iistä toie toteutuu joa tapausessa. Siis TN(aiai ysi oistuu) = TN(uaa ei oistu) = 0,055 = 0, Vastaus: TN(aiai ysi oistuu) = 0,97. Tapahtumat A saa ori ja A heittää ohi ovat toistesa vastatapahtumat eli toistesa egaatiot eli e ovat erilliset, mutta toie iistä tapahtuu. Jouo-opillisesti tapahtuma ja se vastatapahtuma ovat toistesa omplemetit. Meritää tapahtuma A ieltoa (tai se omplemettia tai se egaatiota ) symbolilla A. Silloi, ute edellä oieastaa jo saottii, o p( A A) = p( A ) + p( A ) p( A A) = p( A ) + p( A ) p( Φ ) = p( A ) + p( A ) 0 = p( A ) + p( A ), osa tyhjä jouo Φ todeäöisyys eli p( Φ ) o olla. Lisäsi p( A ) + p( A ) =. Tapahtuma A ja se omplemeti eli iello A välillä o yhteys p(a) + p( A ) = Yleesä tätä yhtälöä sovelletaa aava p(a) = p( A ) avulla. Esimeri 30 Heitetää olioa olme ertaa. Millä todeäöisyydellä saadaa aiai ysi ruua? Rataisu Tapause aiai ysi ruua egaatio o ei saada yhtää ruuaa, joa puolestaa tapahtuu tarallee silloi, u tapahtuu esimmäisellä laava ja toisella laava ja olmaella laava. Siis TN(aiai ysi ruua) = TN(esimmäisellä laava ja toisella laava ja olmaella laava) = 3 = 8 = 8 7. Vastaus: TN(aiai ysi ruua) = 8 7. Esimeri 3 Kolmea päivää säätilae o seuraava uai päivää: 0(5)

11 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Sataa todeäöisyydellä 0,5 O tihusadetta todeäöisyydellä 0,4 O poutaa todeäöisyydellä 0, Millä todeäöisyydellä joa päivä sataa tai o tihusadetta? Rataisu Tapahtuma sataa tai o tihua omplemetti o o poutaa. Siis TN(sataa tai o tihua) = 0, 3 = 0,. TN(o poutaa) = 0,, jote TN(päivä sataa tai o tihua) = ( ) 79 Vastaus: TN(sataa tai o tihua) = 0,73. Esimeri 3 Laatiossa o 6 palloa. Niistä puolet o puaisia ja puolet siisiä. Otetaa olme satuaista palloa. Millä todeäöisyydellä a) ysiää puaie pallo ei tule valitusi b) valitusi tulee aiai ysi puaie pallo? Rataisu Tämä rataisu voidaa rataista raa alla työllä eli laatimalla tauluo. Lase harjoitustehtävää tehtävä tauluo avulla ja vertaa tulosiasi äihi miu tulosiii, jota saa toisella tavalla. a) p(esimmäie ei ole puaie ja toie ei ole puaie ja olmas ei ole puaie) = 3 p(esimmäie o siie ja toie o siie ja olmas o siie) = = b) Tapause valitusi tulee aiai ysi puaie omplemetti o valitusi ei tule ysiää puaie pallo. Viimesi maiittu tapahtuu, jos aii valitut pallot ovat siiset. Siis TN(aiai ysi puaie) = TN(aii valitut pallot ovat siiset) = TN(. o 9 siie) TN(. o siie) TN(3. o siie) = =. 0 0 Esimeri 33 Tuotatoerästä valitaa satuaisesti asi tuotetta. Todeäöisyys, että iistä vähitää toie o viallie, o %. Kuia mota prosettia tuotatoerästä o viallisia? Rataisu Tapause vähitää toie o viallie omplemetti o umpiaa ei ole viallie. Meritää irjaimella x todeäöisyyttä, jolla ysittäise tuote o virheetö. Silloi p(molemmat ovat virheettömät) = x ja p(vähitää toie o virheellie) = x, jote saadaa yhtälö x = % = 0,0. Se rataisut ovat x = 0, 995 tai x = 0, 995. Kosa todeäöisyys o aia vähitää olla, egatiivie rataisu hylätää. Saatii siis tulos, että ysittäie tuote o virheetö todeäöisyydellä 0,995, josta edellee todeäöisyys sille, että ysittäie tuote o virheellie, o 0,995 = 0,005 = 0,5%. Tuloperiaate ja ombiaatiot Olemme jo äsitelleet esimerejä, joissa o ollut ysymys perääiste valitoje teemisestä. Vaihtoehtoje ooaismäärä saatii iissä aiissa ertomalla ysittäiste, perääi tehtävie (5)

12 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä valitoje vaihtoehdot eseää. Tätä periaatetta saotaa tuloperiaatteesi. Aiai Esimerissä 9 tätä periaatetta sovellettii. Esimerie 9 ja 0 välissä määriteltii ertoma futio. Sitä sovellettii Esimereissä 0. Otetaa vielä ysi ertoma äyttöö liittyvä esimeri. Esimeri 34 Toilla o uusi mappia, eljä siistä ja asi puaista. Kiireissää hä heittää mapit hyllyy satuaisee järjestysee. Millä todeäöisyydellä molemmat puaiset tulevat hyllyy perääi? Rataisu Kosa erilaisia mappie järjestysiä o olemassa 6 appaletta, ii aiie tapauste jouossa o 6 aliota. Siiset mapit voidaa järjestää rivii 4 eri tavalla ja molemmat puaiset riaai viitee eri paiaa siiste mappie välii tai rivi jompaaumpaa päähä. Kosa puaisilla mapeilla o eri esiäistä järjestystä, suotuisie tapauste luumäärä o 4 5. Täte 5 4 ysytty todeäöisyys o = = 0, Vastaus: Puaiset ovat perääi todeäöisyydellä 0,33. Saastoa Ku jouosta valitaa osajouoja, ute Esimerissä 3, missä äsiteltii ahde alio osajouoje valitsemista eljä alio jouosta ja missä järjestysellä o väliä, vaihtoehtoja saotaa edellee Esimeri3 tilatee muaisesti ahde alio permutaatioisi. Kahde alio permutaatioita huomattii appaletta. Silloi, u alioide järjestysestä ei välitetä, vaihtoehtoja saotaa ombiaatioisi ja Esimerissä 3 siis ahde alio ombiaatioisi. Esimerissä 3 ahde alio ombiaatioita löydettii uusi appaletta. Valtauallisessa lottoarvoassa o ysymys seitsemä alio siis seitsemä pallo ombiaatiosta. Lotossaha arvotaa 7 palloa 39 pallosta. Näitte äsitteitte eglaiieliste imie arvaamie ei ole vaieaa: permutatio ja combiatio. Matematiia alaa, joa tutii vaihtoehtoje määriä, saotaa ombiatoriiasi. Käsitteellä ombiaatio taroitetaa osajouo valitsemista site, että alioitte valitsemise järjestysee ei iiitetä huomiota. Esimerisi, u valitaa 0 aliosta 3 eiä järjestysellä ole väliä, valitaa 0 alio 3 alio ombiaatio. Yleisesti : alio jouo : alio ombiaatio ottamie taroittaa sitä, että jouosta, jossa o aliota, valitaa : alio osajouo. Lasuaava johtamista varte palataa iha hetesi äseistä tilaetta edeltävä tilateesee, eli tilateesee, jossa järjestysellä vielä o väliä. Oloo meillä siis jouo N, jossa o aliota eli #N =. Otetaa tästä jouosta ysi alio. Vaihtoehtoja o appaletta. Valitaa sitte toie alio, jolloi vaihtoehtoja o appaletta. Jatetaa äi ues aii maiitut aliota o valittu. Vaihtoehtoja o aiiaa tähä meessä siis ( ) ( ) ( + ). Jatetaa tätä tuloa eli laveetaa se luvulla ( ): (5)

13 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä 3(5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) laveetaa = = = + + = Huomaa tässä, luu + = ( ) o yhtä suurempi ui luu, joa puolestaa o yhtä suurempi ui luu. Kaii olme ovat siis perääisiä luuja, ute pitäisii, jotta ertoma futio määritelmä ehdot täyttyisivät. Tämä aava johtamie aloitettii toteamalla, että järjestysellä o väliä. Hylätää yt tämä ja palataa äi lopultai tilateesee, joho alu peri piti: alioitte järjestysellä ei ole väliä. Tämä tapahtuu site, että poistetaa alioitte järjestysestä johtuvat ylimääräiset vaihtoehdot jaamalla oitte ylimääräiste järjestyste määrällä, joa o, osa aliota voidaa järjestää eri järjestysee. Tulos o ( ). Tämä luu ilmoittaa siis luumäärä, uia moella tavalla : alio jouosta voidaa ottaa : alio osajouo. Sille o olemassa iha oma meritäsäi: ( ) =. Meritä luetaa yli :. Luu o myös biomierroi eli ( ) = = + i i i b a i b a 0. Huomaa, että meriässä ei ole tavuviivaa : ja : välissä. Saatii siis tulos: Jouosta, jossa o aliota, voidaa ottaa : alio osajouo ( ) = eri tavalla.

14 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Huomaa, että moet lasimet atavat suoraa futio yli :. Sitä meritää lasimissa usei Cr:llä. Jos siu lasimessasi o tämä toimito, et joudu turvautumaa määritelmää ja siiä esiityvää ertoma futioo. Seuraavassa esimerissä jouue Pea, Matti, Jua, Juhai ja Hau o luoollisesti sama ui jouue Hau, Matti, Jua, Juhai ja Pea. Jouo-opista muistat, että myösää ja imeomaa jouo alioide järjestysellä ei ole väliä. Esimeri 35 Luoassa o 8 oppilasta. Heistä valitaa viide hege jääieojouue oulujevälisee turausee. Kuia moella eri tavalla jouue voidaa valita, jos aii ovat ehdoaia? Rataisu Kysymys o siis viide hege osajouo valitsemisesta 8 oppilaa jouosta. Se voidaa tehdä 8 yli viidellä eri tavalla eli 8 8 = = 5 5 ( 8 5 ) = 8568 eri tavalla. Vastaus: Jouue voidaa valita 8568 eri tavalla. Esimeri 36 Lotossa arvotaa 39 umeroidusta pallosta seitsemä palloa ja lisäsi ylimääräiset olme palloa. Näitä ylimääräisiä palloja utsutaa lisäumeroisi. Lottoaja yrittää arvata seitsemä varsiaista umeroa. Lisäumerot arvotaa tässä mielessä irjaimellisesti ylimääräisiä. Millä todeäöisyydellä lottoaja saa a) 7 oiei b) uusi ja yhde lisäumero? Rataisu 39 a) Kosa 7 palloa voidaa valita 39 pallosta eri tavalla, ii 7 oiei todeäöisyys o 7 8 = = 6,5 0 eli oi 6,5 sadasmiljooasosaa Vastaus: 7 oiei todeäöisyys o 6, b) Kaiie tapauste jouossa o aliota. Kosa uusi umeroa voidaa valita seitsemästä umerosta ja osa arvottavat olme lisäumeroa - ertaistavat eli 6 olmiertaistavat voito mahdollisuude ja samalla pieetävät voittosummaa ii 7 suotuisia tapausia o 3 appaletta. Todeäöisyys saada uusi ja lisäumero o siis 6 4(5)

15 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä = = = 0, Vastaus: TN(uusi ja lisäumero) = 0, (5)

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou

Lisätiedot

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2 Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto ja esimerejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 0. syysuuta 05 Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Prediaattilogiia Idutioperiaate Relaatiot ja

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

Ortogonaalisuus ja projektiot

Ortogonaalisuus ja projektiot MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria

Lisätiedot

Klassinen todennäköisyys

Klassinen todennäköisyys TKK (c) Ila Melli (004) Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia Klassie todeäöisyys Multiomiertoimet Johdatus todeäöisyyslasetaa Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia TKK (c) Ila Melli (004) Klassie todeäöisyys

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f 28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

8. Ortogonaaliprojektiot

8. Ortogonaaliprojektiot 44 8 Ortogoaaliprojetiot Avaruus R o eemmäi ui pelä vetoriavaruus, osa siiä o mahdollisuus määritellä vetoreide pituus, välie ulma ja erityisesti ohtisuoruus ähä päästää ottamalla äyttöö vetoreide välie

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

9. Ominaisarvot. Diagonalisointi

9. Ominaisarvot. Diagonalisointi 55 9 Omiaisarvot Diagoalisoiti Joaisee matriisii liittyy jouo sille omiaisia luuja, s omiaisarvoja, joista oostuu matriisi "spetri" ämä vaatii uitei luualuee laajetamista omplesiluuihi Jatossa matriisit

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma 9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä

Lisätiedot

KIIKUNJOEN KALATALOUDELLINEN TARKKAILU VUONNA 2009

KIIKUNJOEN KALATALOUDELLINEN TARKKAILU VUONNA 2009 KIIKUNJOEN KALATALOUDELLINEN TARKKAILU VUONNA 2009 Kymijoe vesi ja ympäristö ry: julaisu o 199/2010 Jussi Mätye ISSN 1458-8064 TIIVISTELMÄ Tässä raportissa äsitellää Kiiu-, Savero- ja Silmujoe sähöoealastus-

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

tasapainotila saavutetaan kun vuo aukon läpi on sama molempiin suuntiin

tasapainotila saavutetaan kun vuo aukon läpi on sama molempiin suuntiin S-445 FYSIIKKA III (Sf) Sysy 4, LH, Rataisut LHSf-* Kaasusäiliö o jaettu ahtee osaa, joide välisee eristävää seiämää o tehty iei ymyrämuotoie auo, joa halaisija o D Säiliö molemmissa osissa o helium aasua

Lisätiedot

MB5 YHTEENVETO. Todennäköisyyslaskenta

MB5 YHTEENVETO. Todennäköisyyslaskenta MB5 YHTEENVETO Todennäköisyyslaskenta Klassinen todennäköisyys Suotuisten tapahtumien lukumäärä Kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärä k n Todennäköisyys = P (A) = suotuisat kaikki k n Todennäköisyys

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille. Heikki Ruskeepää

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille. Heikki Ruskeepää Todeäköisyyslasketa sivuaieopiskelijoille Heikki Ruskeepää 2012 Sisällys 2 1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 3 1.2 Kombiatoriikkaa 5 1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 7 1.4 Ehdollie todeäköisyys 12

Lisätiedot

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström Näyäalueanalyysi Jouhaisselä Tuore Kulvaoselä tuulipuisto 29032012 Annua Engströ Näyäalueanalyysin uodostainen Näeäalueanalyysilla saadaan yleisuva siitä, ihin tuulivoialat äytettyjen lähtötietojen perusteella

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut

3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut MAB5: Tuusluvut 3.2 Sijaitiluvut Sijaitiluvut ovat imesä mukaiset: e etsivät muuttuja tyypillise arvo, jos sellaie o olemassa, tai aiaki luvu, joka lähellä muuttuja arvoja o eite. Sijaitiluvut jaetaa kahtee

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe 30.5.006 sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

Koska elektronin oletetaan olevan perustilassa sen ionisaatioenergia on 13,6 ev:

Koska elektronin oletetaan olevan perustilassa sen ionisaatioenergia on 13,6 ev: LH0- H vetyioi perustila eergia (ytimie välimata, 06 Å) eergia verrattua systeemii, jossa perustilassa oleva vetyatomi ja H -ioi ovat äärettömä auaa toisistaa o,65 ev Lase a) H : eergia verrattua systeemii

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ********************************************************

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ******************************************************** .. Funtion asvainen ja väheneinen.. Bijetio. Funtion asvainen ja väheneinen Palautetaan ieleen funtion äsite. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ Oloot ja B asi ei-tyhjää

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Oletteko tyytyväinen: 1. Saamanne tiedon määrään kerhopaikkaa hakiessanne?

Oletteko tyytyväinen: 1. Saamanne tiedon määrään kerhopaikkaa hakiessanne? ILTAPÄIVÄTOIMINNAN KYSELY KEVÄÄLLÄ, VANHEMPIEN OSUUS, KAIKKI KERHOT 1/5 Oletteo : 1. Saamae tiedo määrää erhoaiaa haiessae? Erittäi osaa tyytymätö tyytymätö saoa 13 % 53 % 7 % 23 % 3 % 17 % 48 % 28 % 7

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen Matematiika ja systeemiaalyysi laitos B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutitolautauta S tudetexamesämde MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 5.9. HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastauste piirteide ja sisältöje luoehdita ei sido ylioppilastutitolautaua arvostelua.

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Parametrien oppiminen

Parametrien oppiminen 38 Parametrie oppimie Tilastollise malli (Bayes-verkko rakee o kiiitetty, se umeeriste parametrie (ehdolliste todeäköisyyksie arvot pyritää määräämää Oletamme havaitoe oleva täydellisiä; s.o., okaise datapistee

Lisätiedot

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan

Lisätiedot

Kun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4

Kun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4 DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoits 8, rataisehdotset Tämän harjoitsen ideana on opetella -mnnosen ättöä differenssihtälöiden rataisemisessa. Lisäsi ätetään -mnnosen ehäpä hödllisintä ominaistta, eli

Lisätiedot

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 6 MAA11 Lukuteoria ja logiikka Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu 111A Tietoraketeet ja algoritmit, 016-017, Harjoitus, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje kompleksisuusluokat

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

1.1 Luvut ja lukujoukot

1.1 Luvut ja lukujoukot Vahimmat tuetut todisteet lukuje käytöstä ovat vähitää 30 000 vuotta vahoja [Joh D Barrow: Lukuje taivas, Art House 1999]. Lukuja o tarvittu aiaki ilmaisemaa karjalauma koko. Siksi luvut ovat mahdollisesti

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Kombinatoriikka. Iiro Honkala 2015

Kombinatoriikka. Iiro Honkala 2015 Kombiatoriikka Iiro Hokala 2015 Sisällysluettelo 1. Haoi torit 1 2. Lokeroperiaate 3 3. Tuloperiaate 3 4. Permutaatioista ja kombiaatioista 4 5. Toistokombiaatioista 5 6. Biomikertoimista 5 7. Multiomikertoimista

Lisätiedot

Uudelleenpainotus ja imputointi Perusteita

Uudelleenpainotus ja imputointi Perusteita Heisigi yliopisto Matematiia ja tilastotietee laitos Otatameetelmät Sysy 008 Uudelleepaiotus ja imputoiti Perusteita Prof. Risto Lehtoe, Helsigi yliopisto.1.008 Uudelleepaiotus Otostasoise tiedo äyttö

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, osa I 1 Joukko-oppi ja logiikka Iduktioperiaate G. Gripeberg 2 Relaatiot ja fuktiot Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 3 Kombiatoriikka ym. G. Gripeberg

Lisätiedot

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen. Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Verkoston ulkoisvaikutukset

Verkoston ulkoisvaikutukset Verkosto ulkoisvaikutukset Varia luku 35 Luettavaa Varia (2006, 7. paios, luku 35, s.658 655) Forget produtivity: more people should joi Faebook saatavilla http://www.ab.et.au/ews/stories/2008/1 1/27/2431283.htm

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Nuo mainiot binomikertoimet

Nuo mainiot binomikertoimet Nuo maiiot biomiertoimet Osasto A umeroista osa a aii osasto B umerot o varustettu tähdellä Tällaisissa umeroissa esitety väittee todistus tai tehtävä rataisu esitetää osastossa C A Kertoimet a biomiaava

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99.

R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99. 9. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Erotusluku a = a + ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs termi o 99. 0. Lukujoo rekursiivie

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot