3.6 Todennäköisyyden laskusääntöjä Onneksi ennalta arvaamaton todennäköisyys noudattaa täsmällisiä sääntöjä. Tutustutaan niistä keskeisimpiin.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3.6 Todennäköisyyden laskusääntöjä Onneksi ennalta arvaamaton todennäköisyys noudattaa täsmällisiä sääntöjä. Tutustutaan niistä keskeisimpiin."

Transkriptio

1 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Oesi ealta arvaamato todeäöisyys oudattaa täsmällisiä säätöjä. Tutustutaa iistä eseisimpii. Kertolasusäätö Tarastellaa esi tilaetta, jossa o asi sellaista satuaista tapahtumaa, jota umpiaa eivät vaiuta siihe, miä vaihtoehto toisessa toteutuu. Ne ovat siis asi toisistaa täysi riippumatota tapahtumaa. Normaalistiha me oletamme ilma muuta, että jos Sipi ja Sippo heittävät tiaa, ii toise oistumie ei saa toista hermostumaa eiä toise epäoi rohaise toista. Tämä oletus tehdää ysiertaisuude taia. Mutta tutitaa yt tapausta, joa asi vaihetta ovat riippumattomat jo periaatetasolta lähtie. Esimeri 9 Otetaa paasta ysi ortti, atsotaa se ja palautetaa taaisi. Otetaa toie ortti. Millä todeäöisyydellä molemmat ortit ovat patoja ( )? Rataisu Kosa esimmäiseä oleva ortti palautettii meillä o lupa olettaa, että satuaisee ohtaa paassa ii toise osto tulos ei riipu esimmäise osto tulosesta. Piirretää tilateesta uva. Kosa orttipaassa o eljä maata ja joaista maata o yhtä mota paa aiiaa 5 ortista, riittää u aavioo otetaa vai maat. Eri vaihtoehtoja tulee yhteesä 4 = 6 appaletta, miä o siis aiie tapauste luumäärä. Kute oheie tauluoi osoittaa, molemmat ortit ovat patoja vai yhdessä tapausessa oo 6 vaihtoehdo jouossa. Täte suotuisie tapauste määrä o ysi ja ysytty todeäöisyys o siis 6. Toisaalta, u esimmäie ortti vedetää, todeäöisyys sille, että saadaa pata, o 4. Kosa ortti palautettii, esimmäie tulos ei vaiuta toisee, jote todeäöisyys, että myös toie ortti o pata, o sama ja = Vastaus: TN(Molemmat ortit patoja) = 6. Jos Esimeri 9 orttia ei olisi palautettu, olisi paassa ysi ortti vähemmä toista ostoa varte, miä muuttaisi tulose. Esimeri 9 säätö o voimassa aia, u tehdää asi tai useampi toisistaa riippumato oe. Sitä saotaa riippumattomie tapauste ertolasusääösi. Tiivistetää tämä säätö vielä yhtälösi. (5)

2 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Oloo tapause A todeäöisyys p(a) ja tapause B todeäöisyys p(b). Tapause A ja B todeäöisyys o erilliste tapauste A ja B tulo. Riippumattomie tapauste ertolasusäätö: P(A ja B) = P(A) P(B). Kertolasusäätöä voi usei soveltaa perääisii tapausii, vaia aiemmat tapauset vaiuttaisivati myöhempii tulosii. Seuraavaa eräs tyypillie tapaus. Esimeri 0 Otetaa orttipaasta olme orttia ysitelle ja palauttamatta. Millä todeäöisyydellä aii olme orttia ovat ruutuja? Rataisu Kysymys voidaa esittää myös muodossa Millä todeäöisyydellä esimmäie paasta vedetty ortti o ruutu JA toie paasta vedetty ortti o ruutu JA olmas paasta vedetty ortti o ruutu, u ortteja ei palauteta. Kosa esitetty ysymys o siis ja muotoa, ertolasusäätö pätee. Ku 3 esimmäie ortti vedetää, todeäöisyys, että saadaa ruutu o =. Ku toie ortti 5 4 vedetää eiä esimmäistä palautettu, jäljellä o 5 orttia. Jos esimmäie ortti oli ruutu, jäljellä o ruutua. Nyt päättelemme, jos esimmäie oli ruutu, todeäöisyys, että toiei o ruutu o ja todeäöisyys, että esimmäie ja toie ovat ruutuja o äitte 5 3 todeäöisyysie tulo: P(. ja. ortti o ruutu) =. 5 5 Kolmae orti todeäöisyys lasetaa vastaavalla tavalla. Todeäöisyys, että olmasi 3 ortti o ruutu, o. Täte todeäöisyys, että aii olme ovat ruutuja o tulo Se liiarvo 0,03. Vastaus: Todeäöisyys, että olme perääi palauttamatta otettua orttia ovat patoja, o 0,03. Esimeri Jäätelöä myydää purissa, tötterössä, tuutissa ja laatiossa. Maut ovat vailja, sulaa, masia, pääryä, appelsiii ja sametti. Oletetaa, että aii maut ja paausmuodot ovat yhtä suosittuja. Millä todeäöisyydellä satuaisesti valittu asiaas valitsee samettijäätelö purii laitettua? Rataisu Kosa puri todeäöisyys o 4 ja sameti todeäöisyys o 6, ii puri ja sameti todeäöisyys o = Vastaus: Todeäöisyys, että satuaie asiaas valitsee samettia purissa, o 0,04. (5)

3 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Esimeri Sateri heittää oppaa, joa o paiotettu site, että yöe tulee asi ertaa ii suurella todeäöisyydellä ui miä tahasa muista viidestä silmäluvusta, joilla puolestaa ullai o sama todeäöisyys. Millä todeäöisyydellä Sateri saa perääisistä heitoista tuloset, ja 3? Rataisu Yöse todeäöisyys o siis 7 ja ui muu silmäluvu todeäöisyys o 7. Kysytty todeäöisyys o siis p(esimmäisellä ja toisella ja olmaella 3) = = 0, Vastaus: P(esimmäisellä ja toisella ja olmaella 3) = 0,006. Esimeri 3 Kesilaatiossa o tähdemuotoisia ja pyöreitä esejä yhteesä 69 appaletta. Todeäöisyys sille, että asi perääi umpimähää valittua esiä ovat molemmat pyöreitä, o. Kuia 46 mota pyöreää esiä laatiossa o? Rataisu Meritää pyöreitte esie luumäärää x:llä, jolloi todeäöisyys, että esimmäie esi o pyöreä, o 69 x. Jos esimmäie valittu esi oli pyöreä, toiei o pyöreä todeäöisyydellä x. Kosa P(. esi o pyöreä ja. esi o pyöreä) = x, saadaa yhtälö x = Tämä yhtälö rataisu o x = 34 tai x = 33. Kosa esejä ei voi olla egatiivista määrää, aioasi rataisusi jää x = 34. Taristetaa Jos pyöreitä esejä o 34 appaletta, ii tähdemuotoisia o 35 appaletta ja P(asi pyöreää esiä perääi) = =, ute piti Vastaus: Laatiossa o 34 pyöreää esiä. Yhteelasusäätö Missä tilateissa todeäöisyysiä voi lasea yhtee ja millä tavalla liittyy rataisevasti siihe, ovato tapauset jouo-opi mielessä erilliset vai ei. Sisi haluat ehä errata MAB: jouoopi osuude viimeistää yt ee ui jatat tätä urssia. Ajatellaa ahta tapausta A ja B. Ne o määritelty joi ehdo avulla, joa rajaa iitte suotuisie tapauste jouot aiie tapauste jouosta. Meritää tapause A suotuisie tapauste jouoa {A}:lla ja vastaavasti B: suotuisie tapauste jouoa {B}:llä. Silloi saotaa, että tapauset A ja B ovat erilliset eli toisesa poissulevat, jos iitte suotuisie tapauste jouoilla ei ole yhteisiä alioita eli jos { A } { B} = φ. Tämä taroittaa sitä, että jos A tapahtuu, ii B ei tapahdu ja päivastoi. 3(5)

4 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Tapauset A ja B ovat toisesa poissulevat eli erilliset, jos { A } { B} = Φ Esimerisi opaheitossa seuraavissa ahdessa tilateessa tapauset A ja B ovat erilliset A = {saadaa parillie silmäluu}, B = {saadaa parito silmäluu} A = {saadaa tai 3}, B = {saadaa tai 4}, mutta seuraavissa ahdessa tilateessa A ja B eivät ole erilliset A = {silmäluu o jaollie olmella}, B = {saadaa parillie silmäluu}: tapaus silmäluu A B = 6 6 o molempie suotuisie tapauste jouossa eli { } { } { } A = {,4,5}, B = {saadaa parito silmäluu}: { A } { B} = { 5}. Palataa hippihyppiäiste parii tutimaa heidä heilöohtaisia omiaisuusiaa. Saamme erätysi tiedot, jota esitellää ja joita sovelletaai aiai heti Esimerissä 4. Esimeri 4 Kaiista hippihyppiäisistä 55% o vastaarvaisia ja loput 45% ovat tauarvaisia. Vastaarvaisista hippihyppiäisistä 30% o hitaita, u taas tauarvaiste hippihyppiäiste jouossa ei ole hitaita olleaa. Lisäsi vastaarvaisista hippihyppiäisistä 40% o iharaturisia, samoi tauarvaisista hippihyppiäisistä 40% o iharaturisia. Kuia suuri osa aiista hippihyppiäisistä o a) hitaita tai tauarvaisia? b) iharaturisia c) tauarvaisia tai iharaturisia? Rataisu Piirretää tilateesta aavio, joa lieee helpompi mieltää ui luettelo. Huomaa uitei, että oheise uvio eri osie aloje suhteet eivät ole mittaaavassa yllä lueteltuje omiaisuusie osuusie assa. Vastaarvaiset Kaii hippihyppiäiset Tauarvaiset Hitaat Kiharaturiset 4(5)

5 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Lasetaa vielä muutama luuarvo ee ui vastataa esitettyihi ysymysii. Vastaarvaiset 55% aiista Tauarvaiset 45% aiista Vastaarvaiset hitaat: 0,30 55% = 6,5% aiista. Vastaarvaiset iharaturiset: 0,40 55% = % aiista. Tauarvaiset iharaturiset: 0,40 45% = 8,0% aiista. Seuraavissa laselmissa prosettiosuudet samaistetaa asiaomaise jouo alioide luumäärällä. a) Kosa hitaita hippihyppiäisiä löytyy vai vastaarvaiste hippihyppiäiste jouosta, 30% aiista hippihyppiäisistä sisältää aii hitaat tai tauarvaiset hippihyppiäiset. Vastaus: Hitaita tai tauarvaisia hippihyppiäisiä 30% aiista hippihyppiäisistä. b) Kute aavioo o jo lasettu, vastaarvaisia iharaturisia hippihyppiäisiä o % aiista hippihyppiäisistä ja tauarvaisia iharaturisia hippihyppiäisiä o 8% aiista hippihyppiäisistä eivätä ämä asi jouoa leiaa, o iharaturisia hippihyppiäisiä yhteesä %-ys + 8%-ys = 40% aiista hippihyppiäisistä. Vastaus: Kiharaturisia hippihyppiäisiä o 40% aiista hippihyppiäisistä. c) Tauarvaisia hippihyppiäisiä o 45% aiista hippihyppiäisistä. Tämä luu sisältää myös tauarvaiset iharaturiset hippihyppiäiset. Kosa vastaarvaisia iharaturisia hippihyppiäisiä o % aiista hippihyppiäisistä, o iitä hippihyppiäisiä, jota ovat tauarvaisia tai iharaturisia yhteesä %-ys + 45%-ys = 67%. Toie tapa rataista tämä ohta perustuu suoraa jouo-opi tietoihi eli urssi MAB tietoihi. Jouo-opista tiedämme, että ahde jouo vaiapa jouot A ja B uioi alioitte luumäärä ei ole sama ui äitte jouoje alioitte summa. Tämä johtuu siitä, että lasemalla A: ja B: alioitte summa tulemme laseeesi iitte yhteiset aliot eli jouo A B aliot ahtee ertaa. Oiea tulose saamisesi äitte yhteiste alioitte luumäärä täytyy vähetää summasta. Meritää yt tauarvaiste hippihyppiäiste jouoa irjaimella A ja iharaturiste hippihyppiäiste jouoa irjaimella B. Silloi {x x o tauarvaie hippihyppiäie TAI x o iharaturie hippihyppiäie} = B # A B = #A + #B - # A B = A ja ( ) ( ) 5(5)

6 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä 45%-ys + 40%-ys 8%-ys = 67%. Kosa A B = {Tauarvaiset iharaturiset # A B = 8% aiista hippihyppiäisistä. hippihyppiäiset}, ii ( ) Vastaus: Tauarvaisia tai iharaturisia hippihyppiäisiä o 67% aiista hippihyppiäisistä. Huomaa, että äseisessä esimerissä lasettii yhtee esiäi prosettiysiöitä ja toisesi imeomaa yhteismitallisia prosettiysiöitä. Taroita tässä yhteismitallisuudella sitä, että yhteelasettavat osuudet olivat osuusia samasta jouosta, joa tällä ertaa oli aiie hippihyppiäiste jouo. Äseie esimeri motivoi yhdessä jouo-opi assa seuraavat lasusääöt. Oloot A ja B asi tapahtumaa. Tapahtumie todeäöisyysie yhteelasusäätö: P(A tai B) = P(A) + P(B) P(A ja B) eli P( A B ) = P(A) + P(B) P( A B ) Jos A ja B ovat asi erillistä tapahtumaa eli jos B = Φ 0 ja P( A B ) = P(A) + P(B) P( A B ) = P(A) + P(B). A, ii ( A B) # = 0, jote P( A B ) = Erilliste tapahtumie yhteelasusäätö: P(A tai B) = P(A) + P(B) Huomaa, että u saotaa, että tapahtuu A tai B, ii silloi tapahtuu pelästää A tai tapahtuu pelästää B tai 6(5)

7 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä tapahtuu seä A että B Esimeri 5 Korttipaasta otetaa asi orttia palauttamatta. Millä todeäöisyydellä a) esimmäie ortti o puaie tai ymppi b) esimmäie tai toie ortti o ymppi? Rataisu a) Puaisia o orttipaa orteista puolet eli 6 appaletta ja ymppejä o eljä. Siis P(puaie tai ymppi) = P(puaie) + P(ymppi) P(puaie ymppi) = = Vastaus: P(puaie tai ymppi) 0,56. b) Jaetaa tilae osii. Esimmäie tai toie ortti o ymppi o sama asia ui esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o joi muu tai toie ortti o ymppi ja esimmäie o joi muu tai molemmat ortit ovat ymppejä, jote: P(esimmäie tai toie ortti o ymppi) = P(esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o joi muu tai toie ortti o ymppi ja esimmäie joi muu tai molemmat ortit ovat ymppejä). Lasetaa ui todeäöisyys erisee. Esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o joi muu: P(esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o joi muu) = P(esimmäie ortti o ymppi) P(toie ortti o joi muu) = =. 5 5 Toie ortti o ymppi ja esimmäie o joi muu: P(toie ortti o ymppi ja esimmäie o joi muu) = P(toie ortti o ymppi) P(esimmäie o joi muu) = =. 5 5 Molemmat ortit ovat ymppejä: P(esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o ymppi) = P(esimmäie ortti o 4 3 ymppi) P(toie ortti o ymppi) = =. 5 5 Kaii olme tapausta ovat erilliset, sillä esimerisi jouo {esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o joi muu} {toie ortti o ymppi ja esimmäie o joi muu} o tyhjä. Kysytty todeäöisyys saadaa silloi lasemalla eri tapauste todeäöisyydet yhtee, jote ysytty todeäöisyys o + + = 0, 5. Vastaus: P(esimmäie tai toie ortti o ymppi) 0,5. Esimeri 6 Jos satee todeäöisyys o huomea ja ylihuomea, uai päivää erisee 70%, ii millä todeäöisyydellä a) vai toisea päivää sataa b) ei sada umpaaaa päivää? Rataisu 7(5)

8 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä a) Vai toisea päivää sataa o sama asia ui, että sataa joo huomea ja ylihuomea ei sada tai ylihuomea sataa ja huomea ei sada. Nämä tapahtumat ovat erilliset. Kosa P(huomea sataa ja ylihuomea ei sada) = 0,7 0,3 = 0,. P(huomea ei sada ja ylihuomea sataa) = 0,7 0,3 = 0,. ii P(vai toisea päivää sataa) = 0, + 0, = 0,4. Vastaus: P(vai toisea päivää sataa) = 0,4. b) Ei sada umpaaaa päivää tapahtuu tarallee silloi, u ei sada huomea ja ei sada ylihuomea tapahtuu. Siis P(ei sada umpaaaa päivää) = P(ei sada huomea) P(ei sada ylihuomea) = 0,3 0,3 = 0,09. Esimeri 7 Millä todeäöisyydellä satuaisesti valittu olmiumeroie luoollie luu o a) parillie b) jaollie olmella c) jaollie ahdella tai olmella? Rataisu Piei olmiumeroie luoollie luu o 00 ja suuri 999. Niitä o 900 appaletta. a) Joa toie luoollie luu o parillie, jote välillä [00;999] iitä o 450 appaletta. Kaiie tapauste jouossa o siis 900 aliota ja suotuisie tapauste jouossa 450 aliota, 450 jote ysytty todeäöisyys o eli 0, Vastaus: TN(parillie olmiumeroie luoollie luu aetulla välillä) = 0,5. b) Piei olmella jaollie, olmiumeroie luoollie luu o 0, seuraava o 05 ja ii edellee ues suuri olmella jaollie, olmiumeroie luoollie luu o 999. Niitä 300 o siis 300 appaletta, jote ysytty todeäöisyys o = Vastaus: TN(olmella jaollie olmiumeroie luoollie luu aetulla välillä) = 0,33. c) Kosa o olemassa aetut ehdot täyttäviä luuja, jota ovat jaollisia seä ahdella että olmella, ei todeäöisyysiä voi lasea suoraa yhtee, vaa summasta o väheettävä yhteiste alioitte todeäöisyys. Luu, joa o jaollie seä ahdella että olmella, o jaollie uudella. Piei ehdot täyttävä olmiumeroie luu o 0 ja suuri 996, jote iitä o 50 appaletta. Tästä 50 saadaa, että P(ahdella ja olmella jaollie) = P(uudella jaollie) = =, josta edellee P(ahdella tai olmella jaollie) = + = Vastaus: TN(jaollie ahdella tai olmella) = 0,67. Esimeri 8 8(5)

9 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Kasaivälise oouse osallistuu 00 heilöä eri asallisuusista. Näistä 00 heilöstä 56 aattaa alastusiitiöide pieetämistä maailmalaajuisesti. Samoista 00 oousedustajasta 6 o tullut valitusi puheejohtajisi eri valioutii ja äistä uudesta asi uuluu jouoo, joa aattaa alastuse vähetämistä. Millä todeäöisyydellä satuaisesti valittu oousedustaja aattaa alastuse vähetämistä tai o valioua puheejohtaja? Rataisu Kosa jouoissa aattaa alastuse vähetämistä ja valioua puheejohtaja o yhteisiä jäseiä maiitut asi heeä o äytettävä yleisempää tapahtumie todeäöisyysie yhteelasusäätöä. Saadaa P(aattaa pieempiä iitiöitä tai o valioua puheejohtaja) = P(aattaa pieempiä iitiöitä) + P(o valioua puheejohtaja) P (aattaa pieempiä iitiöitä ja o valioua puheejohtaja) = + = = 0, Vastaus: Satuaisesti valittu oousedustaja aattaa alastuse vähetämistä tai o valioua puheejohtaja todeäöisyydellä 0,30. Komplemeti todeäöisyys Ku oripalloilija heittää vapaaheittoa, häellä o asi mahdollisuutta: hä joo saa ori tai ei saa oria. Tilae, jossa hä seä saa ori että ei saa oria yhdellä heitolla uulostaa absurdilta; ii ei tapahdu. Kosa varma tapause todeäöisyys o, ii tapause oripalloilija saa ori tai ei saa oria vapaaheitossa todeäöisyys o. Kosa ämä asi vaihtoehtoa ovat myös erilliset, saadaa yhtälö TN(saa ori) + TN(ei saa oria) =. Sovelletaa tätä ajatusta seuraavassa esimerissä. Esimeri 9 Kolme oripalloilijaa, heilöt A, B ja C, heittävät vapaaheito ohi todeäöisyysillä vastaavasti 5%, 0% ja 5%. Heitetää ysi ierros. Millä todeäöisyydellä a) uaa ei oistu b) vai ysi oistuu c) aiai ysi oistuu? Rataisu Jos oripalloilija A todeäöisyys heittää ohi o 5%, ii todeäöisyys, että hä oistuu heitossa, o edellä oleva päättely ojalla 00% 5% = 95% = 0,95. Vastaavalla tavalla pelaajat B ja C oistuvat heitossa todeäöisyysillä 0,90 ja 0,85. a) Kuaa ei oistu tapahtuu tarallee silloi, u aii heittävät ohi eli A heittää ohi ja B heittää ohi ja C heittää ohi. P(A heittää ohi ja B heittää ohi ja C heittää ohi) = P(A heittää ohi) P(B heittää ohi) P(C heittää ohi) = 0,05 0,0 0,5 = 0, Vastaus: Todeäöisyys, että aii heittävät ohi o oi 0,00075 eli luultavasti aii eivät heitä ohi. b) Tapaus vai ysi oistuu toteutuu, u tapaus A oistuu tai B oistuu tai C oistuu toteutuu ja tämä puolestaa, u tapaus A oistuu ja B ja C eivät oistu tai B oistuu ja A ja C eivät oistu tai C oistuu ja A ja B eivät oistu toteutuu. Tapauset, jota tuossa listassa erotetaa tai - oetiivilla ovat erilliset, jote TN(A oistuu ja B ja C eivät oistu tai B oistuu ja A ja C eivät oistu tai C oistuu ja A ja B eivät oistu) = 0,95 0,0 0,5 + 0,05 0,90 0,5 + 0,05 0,0 0,85 = 0,055. Vastaus: TN(vai ysi oistuu) = 0,055 eli oi 0,03. 9(5)

10 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä c) Tapaus aiai ysi oistuu toteutuu tarallee silloi, u tapaus uaa ei oistu ei toteudu. Nämä tapauset ovat erillise ja lisäsi iistä toie toteutuu joa tapausessa. Siis TN(aiai ysi oistuu) = TN(uaa ei oistu) = 0,055 = 0, Vastaus: TN(aiai ysi oistuu) = 0,97. Tapahtumat A saa ori ja A heittää ohi ovat toistesa vastatapahtumat eli toistesa egaatiot eli e ovat erilliset, mutta toie iistä tapahtuu. Jouo-opillisesti tapahtuma ja se vastatapahtuma ovat toistesa omplemetit. Meritää tapahtuma A ieltoa (tai se omplemettia tai se egaatiota ) symbolilla A. Silloi, ute edellä oieastaa jo saottii, o p( A A) = p( A ) + p( A ) p( A A) = p( A ) + p( A ) p( Φ ) = p( A ) + p( A ) 0 = p( A ) + p( A ), osa tyhjä jouo Φ todeäöisyys eli p( Φ ) o olla. Lisäsi p( A ) + p( A ) =. Tapahtuma A ja se omplemeti eli iello A välillä o yhteys p(a) + p( A ) = Yleesä tätä yhtälöä sovelletaa aava p(a) = p( A ) avulla. Esimeri 30 Heitetää olioa olme ertaa. Millä todeäöisyydellä saadaa aiai ysi ruua? Rataisu Tapause aiai ysi ruua egaatio o ei saada yhtää ruuaa, joa puolestaa tapahtuu tarallee silloi, u tapahtuu esimmäisellä laava ja toisella laava ja olmaella laava. Siis TN(aiai ysi ruua) = TN(esimmäisellä laava ja toisella laava ja olmaella laava) = 3 = 8 = 8 7. Vastaus: TN(aiai ysi ruua) = 8 7. Esimeri 3 Kolmea päivää säätilae o seuraava uai päivää: 0(5)

11 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Sataa todeäöisyydellä 0,5 O tihusadetta todeäöisyydellä 0,4 O poutaa todeäöisyydellä 0, Millä todeäöisyydellä joa päivä sataa tai o tihusadetta? Rataisu Tapahtuma sataa tai o tihua omplemetti o o poutaa. Siis TN(sataa tai o tihua) = 0, 3 = 0,. TN(o poutaa) = 0,, jote TN(päivä sataa tai o tihua) = ( ) 79 Vastaus: TN(sataa tai o tihua) = 0,73. Esimeri 3 Laatiossa o 6 palloa. Niistä puolet o puaisia ja puolet siisiä. Otetaa olme satuaista palloa. Millä todeäöisyydellä a) ysiää puaie pallo ei tule valitusi b) valitusi tulee aiai ysi puaie pallo? Rataisu Tämä rataisu voidaa rataista raa alla työllä eli laatimalla tauluo. Lase harjoitustehtävää tehtävä tauluo avulla ja vertaa tulosiasi äihi miu tulosiii, jota saa toisella tavalla. a) p(esimmäie ei ole puaie ja toie ei ole puaie ja olmas ei ole puaie) = 3 p(esimmäie o siie ja toie o siie ja olmas o siie) = = b) Tapause valitusi tulee aiai ysi puaie omplemetti o valitusi ei tule ysiää puaie pallo. Viimesi maiittu tapahtuu, jos aii valitut pallot ovat siiset. Siis TN(aiai ysi puaie) = TN(aii valitut pallot ovat siiset) = TN(. o 9 siie) TN(. o siie) TN(3. o siie) = =. 0 0 Esimeri 33 Tuotatoerästä valitaa satuaisesti asi tuotetta. Todeäöisyys, että iistä vähitää toie o viallie, o %. Kuia mota prosettia tuotatoerästä o viallisia? Rataisu Tapause vähitää toie o viallie omplemetti o umpiaa ei ole viallie. Meritää irjaimella x todeäöisyyttä, jolla ysittäise tuote o virheetö. Silloi p(molemmat ovat virheettömät) = x ja p(vähitää toie o virheellie) = x, jote saadaa yhtälö x = % = 0,0. Se rataisut ovat x = 0, 995 tai x = 0, 995. Kosa todeäöisyys o aia vähitää olla, egatiivie rataisu hylätää. Saatii siis tulos, että ysittäie tuote o virheetö todeäöisyydellä 0,995, josta edellee todeäöisyys sille, että ysittäie tuote o virheellie, o 0,995 = 0,005 = 0,5%. Tuloperiaate ja ombiaatiot Olemme jo äsitelleet esimerejä, joissa o ollut ysymys perääiste valitoje teemisestä. Vaihtoehtoje ooaismäärä saatii iissä aiissa ertomalla ysittäiste, perääi tehtävie (5)

12 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä valitoje vaihtoehdot eseää. Tätä periaatetta saotaa tuloperiaatteesi. Aiai Esimerissä 9 tätä periaatetta sovellettii. Esimerie 9 ja 0 välissä määriteltii ertoma futio. Sitä sovellettii Esimereissä 0. Otetaa vielä ysi ertoma äyttöö liittyvä esimeri. Esimeri 34 Toilla o uusi mappia, eljä siistä ja asi puaista. Kiireissää hä heittää mapit hyllyy satuaisee järjestysee. Millä todeäöisyydellä molemmat puaiset tulevat hyllyy perääi? Rataisu Kosa erilaisia mappie järjestysiä o olemassa 6 appaletta, ii aiie tapauste jouossa o 6 aliota. Siiset mapit voidaa järjestää rivii 4 eri tavalla ja molemmat puaiset riaai viitee eri paiaa siiste mappie välii tai rivi jompaaumpaa päähä. Kosa puaisilla mapeilla o eri esiäistä järjestystä, suotuisie tapauste luumäärä o 4 5. Täte 5 4 ysytty todeäöisyys o = = 0, Vastaus: Puaiset ovat perääi todeäöisyydellä 0,33. Saastoa Ku jouosta valitaa osajouoja, ute Esimerissä 3, missä äsiteltii ahde alio osajouoje valitsemista eljä alio jouosta ja missä järjestysellä o väliä, vaihtoehtoja saotaa edellee Esimeri3 tilatee muaisesti ahde alio permutaatioisi. Kahde alio permutaatioita huomattii appaletta. Silloi, u alioide järjestysestä ei välitetä, vaihtoehtoja saotaa ombiaatioisi ja Esimerissä 3 siis ahde alio ombiaatioisi. Esimerissä 3 ahde alio ombiaatioita löydettii uusi appaletta. Valtauallisessa lottoarvoassa o ysymys seitsemä alio siis seitsemä pallo ombiaatiosta. Lotossaha arvotaa 7 palloa 39 pallosta. Näitte äsitteitte eglaiieliste imie arvaamie ei ole vaieaa: permutatio ja combiatio. Matematiia alaa, joa tutii vaihtoehtoje määriä, saotaa ombiatoriiasi. Käsitteellä ombiaatio taroitetaa osajouo valitsemista site, että alioitte valitsemise järjestysee ei iiitetä huomiota. Esimerisi, u valitaa 0 aliosta 3 eiä järjestysellä ole väliä, valitaa 0 alio 3 alio ombiaatio. Yleisesti : alio jouo : alio ombiaatio ottamie taroittaa sitä, että jouosta, jossa o aliota, valitaa : alio osajouo. Lasuaava johtamista varte palataa iha hetesi äseistä tilaetta edeltävä tilateesee, eli tilateesee, jossa järjestysellä vielä o väliä. Oloo meillä siis jouo N, jossa o aliota eli #N =. Otetaa tästä jouosta ysi alio. Vaihtoehtoja o appaletta. Valitaa sitte toie alio, jolloi vaihtoehtoja o appaletta. Jatetaa äi ues aii maiitut aliota o valittu. Vaihtoehtoja o aiiaa tähä meessä siis ( ) ( ) ( + ). Jatetaa tätä tuloa eli laveetaa se luvulla ( ): (5)

13 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä 3(5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) laveetaa = = = + + = Huomaa tässä, luu + = ( ) o yhtä suurempi ui luu, joa puolestaa o yhtä suurempi ui luu. Kaii olme ovat siis perääisiä luuja, ute pitäisii, jotta ertoma futio määritelmä ehdot täyttyisivät. Tämä aava johtamie aloitettii toteamalla, että järjestysellä o väliä. Hylätää yt tämä ja palataa äi lopultai tilateesee, joho alu peri piti: alioitte järjestysellä ei ole väliä. Tämä tapahtuu site, että poistetaa alioitte järjestysestä johtuvat ylimääräiset vaihtoehdot jaamalla oitte ylimääräiste järjestyste määrällä, joa o, osa aliota voidaa järjestää eri järjestysee. Tulos o ( ). Tämä luu ilmoittaa siis luumäärä, uia moella tavalla : alio jouosta voidaa ottaa : alio osajouo. Sille o olemassa iha oma meritäsäi: ( ) =. Meritä luetaa yli :. Luu o myös biomierroi eli ( ) = = + i i i b a i b a 0. Huomaa, että meriässä ei ole tavuviivaa : ja : välissä. Saatii siis tulos: Jouosta, jossa o aliota, voidaa ottaa : alio osajouo ( ) = eri tavalla.

14 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Huomaa, että moet lasimet atavat suoraa futio yli :. Sitä meritää lasimissa usei Cr:llä. Jos siu lasimessasi o tämä toimito, et joudu turvautumaa määritelmää ja siiä esiityvää ertoma futioo. Seuraavassa esimerissä jouue Pea, Matti, Jua, Juhai ja Hau o luoollisesti sama ui jouue Hau, Matti, Jua, Juhai ja Pea. Jouo-opista muistat, että myösää ja imeomaa jouo alioide järjestysellä ei ole väliä. Esimeri 35 Luoassa o 8 oppilasta. Heistä valitaa viide hege jääieojouue oulujevälisee turausee. Kuia moella eri tavalla jouue voidaa valita, jos aii ovat ehdoaia? Rataisu Kysymys o siis viide hege osajouo valitsemisesta 8 oppilaa jouosta. Se voidaa tehdä 8 yli viidellä eri tavalla eli 8 8 = = 5 5 ( 8 5 ) = 8568 eri tavalla. Vastaus: Jouue voidaa valita 8568 eri tavalla. Esimeri 36 Lotossa arvotaa 39 umeroidusta pallosta seitsemä palloa ja lisäsi ylimääräiset olme palloa. Näitä ylimääräisiä palloja utsutaa lisäumeroisi. Lottoaja yrittää arvata seitsemä varsiaista umeroa. Lisäumerot arvotaa tässä mielessä irjaimellisesti ylimääräisiä. Millä todeäöisyydellä lottoaja saa a) 7 oiei b) uusi ja yhde lisäumero? Rataisu 39 a) Kosa 7 palloa voidaa valita 39 pallosta eri tavalla, ii 7 oiei todeäöisyys o 7 8 = = 6,5 0 eli oi 6,5 sadasmiljooasosaa Vastaus: 7 oiei todeäöisyys o 6, b) Kaiie tapauste jouossa o aliota. Kosa uusi umeroa voidaa valita seitsemästä umerosta ja osa arvottavat olme lisäumeroa - ertaistavat eli 6 olmiertaistavat voito mahdollisuude ja samalla pieetävät voittosummaa ii 7 suotuisia tapausia o 3 appaletta. Todeäöisyys saada uusi ja lisäumero o siis 6 4(5)

15 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä = = = 0, Vastaus: TN(uusi ja lisäumero) = 0, (5)

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia

Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg 1 Jouo-oppi ja logiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O alto-yliopisto 12. maalisuuta 2015 3 Kombiatoriia ym. Summa-,

Lisätiedot

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2 Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-0401 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg alto-yliopisto 30. syysuuta 2015 1 Jouo-oppi ja logiia Prediaattilogiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O 3 Kombiatoriia

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto ja esimerejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 0. syysuuta 05 Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Prediaattilogiia Idutioperiaate Relaatiot ja

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

Klassinen todennäköisyys

Klassinen todennäköisyys TKK (c) Ila Melli (004) Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia Klassie todeäöisyys Multiomiertoimet Johdatus todeäöisyyslasetaa Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia TKK (c) Ila Melli (004) Klassie todeäöisyys

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus

Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia

Lisätiedot

Ortogonaalisuus ja projektiot

Ortogonaalisuus ja projektiot MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria

Lisätiedot

Kiinteätuottoiset arvopaperit

Kiinteätuottoiset arvopaperit Mat-.34 Ivestoititeoria Kiiteätuottoiset arvopaperit 6..05 Lähtöohtia Lueolla tarasteltii tilateita, joissa yyarvo laseassa äytettävä oro oli aettua ja riippuato aiaperiodista Käytäössä orot äärittyvät

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus

Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

3.6. Geometrisen summan sovelluksia

3.6. Geometrisen summan sovelluksia Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f 28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k = Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

8. Ortogonaaliprojektiot

8. Ortogonaaliprojektiot 44 8 Ortogoaaliprojetiot Avaruus R o eemmäi ui pelä vetoriavaruus, osa siiä o mahdollisuus määritellä vetoreide pituus, välie ulma ja erityisesti ohtisuoruus ähä päästää ottamalla äyttöö vetoreide välie

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5. Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato

Lisätiedot

9. Ominaisarvot. Diagonalisointi

9. Ominaisarvot. Diagonalisointi 55 9 Omiaisarvot Diagoalisoiti Joaisee matriisii liittyy jouo sille omiaisia luuja, s omiaisarvoja, joista oostuu matriisi "spetri" ämä vaatii uitei luualuee laajetamista omplesiluuihi Jatossa matriisit

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

KUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET

KUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET KUNTIN LÄKVKUUTU 328 VRHILÄKMNORUTI MKU 29 LÄHTIN NOUDTTTVT LKURUTT Valtuusuta ahstaa arhaseläemeoperustese masu eaode yhtesmäärä uodelle euromääräsest Tämä ahstettu masu o samalla lopullste masue yhtesmäärä

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia Todeäköisyyslasketa I, kesä 207 Helsigi yliopisto/avoi yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia. Aikaisemma viiko teemaa. Edessäsi o kaksi laatikkoa A ja B. Laatikossa A o 8 palloa, joista puolet valkoisia.

Lisätiedot

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2) . Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:

ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla: 10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 24: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 2

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 24: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 2 / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usea vapausastee vaeeato oasvärähtely osa MONINKERAISE OMINAISAAJUUDE Sesso MS oreeratu oasuodo { lasetaeetelässä oletett, että o ysertae oasulataauus. arastellaa velä tapausta,

Lisätiedot

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x = TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii

Lisätiedot

, sanotaan niiden sääntöjen ja menetelmien kokonaisuutta, joilla otos poimitaan määritellystä perusjoukosta.

, sanotaan niiden sääntöjen ja menetelmien kokonaisuutta, joilla otos poimitaan määritellystä perusjoukosta. Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) TEKIE YTEEVETO I Otata-asetelmat ja estimoitiasetelmat Perusjouo ja muuttujat Äärellie perusjouo U = {,...,,..., } Tulosmuuttuja y tutemattomat arvot Y,,Y,,Y

Lisätiedot

OHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan Syksy 2008

OHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan Syksy 2008 OHJ-2300 Johdatus tietojenäsittelyteoriaan Sysy 2008 1 2 Organisaatio & aiataulu Luennot: prof. Tapio Elomaa P1: Ti 14-16 TC 103 ja to 14 16 TC 133 P2: Ti 14-16 TB 219 ja to 12 14 TB 224 26.8. 20.11. Jussi

Lisätiedot

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I. Heikki Ruskeepää

Todennäköisyyslaskenta I. Heikki Ruskeepää Todeäköisyyslasketa I Heikki Ruskeepää 2012 Sisällys 2 1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 3 1.2 Kombiatoriikkaa 4 1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 8 1.4 Ehdollie todeäköisyys 13 1.5 Riippumattomuus

Lisätiedot

tasapainotila saavutetaan kun vuo aukon läpi on sama molempiin suuntiin

tasapainotila saavutetaan kun vuo aukon läpi on sama molempiin suuntiin S-445 FYSIIKKA III (Sf) Sysy 4, LH, Rataisut LHSf-* Kaasusäiliö o jaettu ahtee osaa, joide välisee eristävää seiämää o tehty iei ymyrämuotoie auo, joa halaisija o D Säiliö molemmissa osissa o helium aasua

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. Tilastojen esittäminen. 212. a) 15-19 vuotiaita tyttöjä 156 377 Koko väestö 5 219 732 156 277 Näiden tyttöjen osuus

KERTAUSHARJOITUKSIA. Tilastojen esittäminen. 212. a) 15-19 vuotiaita tyttöjä 156 377 Koko väestö 5 219 732 156 277 Näiden tyttöjen osuus KERTAUSHARJOITUKSIA Tilastoje esittämie. a) -9 vuotiaita tyttöjä 377 Koko väestö 9 73 77 Näide tyttöje osuus 3, 0 % 9 73 b) Pojat ja tytöt: 3 377 + 77 = 39 4 39 4 Osuus koko väestöstä, % 9 73 c) Ikäluokka

Lisätiedot

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen Matematiika ja systeemiaalyysi laitos 1B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava

Lisätiedot

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y 36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien

Lisätiedot

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut: Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie

Lisätiedot

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja. MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille. Heikki Ruskeepää

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille. Heikki Ruskeepää Todeäköisyyslasketa sivuaieopiskelijoille Heikki Ruskeepää 2012 Sisällys 2 1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 3 1.2 Kombiatoriikkaa 5 1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 7 1.4 Ehdollie todeäköisyys 12

Lisätiedot

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi

Lisätiedot

3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut

3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut MAB5: Tuusluvut 3.2 Sijaitiluvut Sijaitiluvut ovat imesä mukaiset: e etsivät muuttuja tyypillise arvo, jos sellaie o olemassa, tai aiaki luvu, joka lähellä muuttuja arvoja o eite. Sijaitiluvut jaetaa kahtee

Lisätiedot

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2 TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

Koska elektronin oletetaan olevan perustilassa sen ionisaatioenergia on 13,6 ev:

Koska elektronin oletetaan olevan perustilassa sen ionisaatioenergia on 13,6 ev: LH0- H vetyioi perustila eergia (ytimie välimata, 06 Å) eergia verrattua systeemii, jossa perustilassa oleva vetyatomi ja H -ioi ovat äärettömä auaa toisistaa o,65 ev Lase a) H : eergia verrattua systeemii

Lisätiedot

KIIKUNJOEN KALATALOUDELLINEN TARKKAILU VUONNA 2009

KIIKUNJOEN KALATALOUDELLINEN TARKKAILU VUONNA 2009 KIIKUNJOEN KALATALOUDELLINEN TARKKAILU VUONNA 2009 Kymijoe vesi ja ympäristö ry: julaisu o 199/2010 Jussi Mätye ISSN 1458-8064 TIIVISTELMÄ Tässä raportissa äsitellää Kiiu-, Savero- ja Silmujoe sähöoealastus-

Lisätiedot

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

Bernoullijakauma. Binomijakauma

Bernoullijakauma. Binomijakauma Beroulljaauma Beroull oe o ahde mahdollse ulostulo oe, jossa taahtumsta äytetää mtysä ostume ja eäostume. Esmerejä: rahahetto (ruua ta laava), lase sytymä (tyttö ta oa), helö verryhmä ( ta c ), oselja

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma 9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että

Lisätiedot

Ruletti ja Martingaalistrategia

Ruletti ja Martingaalistrategia POHDIN projekti Ruletti ja Martigaalistrategia Ruletti o uhkapeli, jossa pelaaja pyrkii veikkaamaa kuula pysähtymiskohda pyörivältä kehältä. Euroopassa käytettävässä ruletissa o käytössä 37 umeroa (0-36)

Lisätiedot

Kaupunkisuunnittelu 17.8.2015

Kaupunkisuunnittelu 17.8.2015 VANTAAN KAUPUNKI MIEIPITEIDEN KOONTI Kaupunisuunnittelu..0 MR :N MUKAISEEN KUUEMISKIRJEESEEN..0 VASTAUKSENA SAADUT MIEIPITEET JA KANNANOTOT ASEMAKAAVAN MUUTOKSESTA NRO 009, MARTINAAKSO YHTEENSÄ KANNANOTTOJA

Lisätiedot

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q

Lisätiedot