Klassinen todennäköisyys
|
|
- Auvo Sipilä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TKK (c) Ila Melli (004) Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia Klassie todeäöisyys Multiomiertoimet Johdatus todeäöisyyslasetaa Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia TKK (c) Ila Melli (004) Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia: Mitä opimme? / Tarastelemme tässä luvussa lassise todeäöisyyde määritelmää liittyvie aleistapahtumie luumäärie lasemista ombiatoriia avulla. Opimme uia ombiatoriia perusogelmat, äärellise jouo alioide muodostamie jooje, osajooje ja osajouoje luumäärie lasemie, voidaa rataista ombiatoriia perusperiaatteide, yhteelasuperiaattee ja ertolasuperiaattee, avulla. Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia: Mitä opimme? / Opimme myös seuraavat äsitteet: (i) Äärellise jouo alioide jooja utsutaa alioide permutaatioisi. (ii) Äärellise jouo alioide osajooja utsutaa alioide variaatioisi tai -permutaatioisi. (iii) Äärellise jouo alioide osajouoja utsutaa alioide ombiaatioisi. Näemme mite aiie mahdolliste permutaatioide luumäärä voidaa ilmaista ertomafutio avulla. Näemme mite aiie mahdolliste ombiaatioide luumäärä voidaa ilmaista biomiertoimie avulla. TKK (c) Ila Melli (004) 3 TKK (c) Ila Melli (004) 4 Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia: Esitiedot Esitiedot: s. seuraavia luuja: Todeäöisyyslasea perusäsitteet Todeäöisyyslasea peruslasusääöt Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia >> Klassie todeäöisyys Multiomiertoimet TKK (c) Ila Melli (004) 5 TKK (c) Ila Melli (004) 6
2 TKK (c) Ila Melli (004) 7 Klassie todeäöisyys Avaisaat Klassie todeäöisyys Kombiatoriia Suotuisa aleistapahtuma Symmetriset aleistapahtumat Tapahtuma Äärellie otosavaruus Klassie todeäöisyys Klassie todeäöisyys: Määritelmä Oloo S = {s, s,, s } äärellie otosavaruus. Oletetaa, että Pr( si ) =, aiille i =,,, Tällöi saomme, että aleistapahtumat s i ovat symmetrisiä. Tarastellaa tapahtumaa A S, joho uuluu aleistapahtumaa, joita utsutaa tapahtumalle A suotuisisi. Tällöi tapahtuma A lassie todeäöisyys o Pr( A) = TKK (c) Ila Melli (004) 8 Klassie todeäöisyys Klassie todeäöisyys: Kommetteja /3 Uhapelit muodostavat lassise todeäöisyyde määritelmä täreimmä sovellusohtee. Useimmissa uhapeleissä pelii liittyvät aleistapahtumat ovat symmetrisiä peli säätöje muaa. Jos satuaisilmiö aleistapahtumat ovat symmetrisiä, erilaiste tapahtumie todeäöisyydet voidaa määrätä päättelemällä äyttämällä apua ombiatorisia lasutoimitusia. Todeäöisyyslaseta sai alusa eräide uhapelie voitomahdollisuusia oseeista ogelmista 600- luvulla. Klassie todeäöisyys Klassie todeäöisyys: Kommetteja /3 Pitääö oletus aleistapahtumie symmetrisyydestä paiaasa myös reaalimaailmassa, o empiirie ysymys. Jos satuaisilmiöstä o havaitoja, voidaa symmetriaoletusta testata tilastollisilla testeillä. Otosavaruutee ja se tapahtumii uuluvie aleistapahtumie luumäärie lasemie o usei epätriviaali tehtävä, jossa voidaa äyttää apua ombiatoriiaa. TKK (c) Ila Melli (004) 9 TKK (c) Ila Melli (004) 0 Klassie todeäöisyys Klassie todeäöisyys: Kommetteja 3/3 Klassise todeäöisyyde määritelmä o liia rajoittava ollasee äyttöelpoie todeäöisyyde yleiseä määritelmää: (i) Määritelmä ei aa mahdollisuutta puhua todeäöisyysistä sellaisissa tilateissa, joissa satuaisilmiöö liittyvä otosavaruude aleistapahtumat eivät ole symmetrisiä. (ii) Määritelmä ei aa mahdollisuutta puhua äärettömii otosavaruusii liittyvie tapahtumie todeäöisyysistä. Matemaattisesti elvollise määritelmä todeäöisyydelle atavat s. Kolmogorovi asioomat. Klassie todeäöisyys Esimeri Heitetää oppaa. Tällöi otosavaruus o S = {,, 3, 4, 5, 6}. Oletetaa, että oppa o virheetö eli Pr( i) =, aiille i =,, 3, 4, 5, 6 6 Oloo tapahtuma A = {5, 6} S. Tapahtumalle A suotuisie aleistapahtumie luumäärä =. Site tapahtuma A todeäöisyys o Pr( A ) = = TKK (c) Ila Melli (004) TKK (c) Ila Melli (004)
3 TKK (c) Ila Melli (004) 3 Klassie todeäöisyys Jouo alioide luumäärä lasemie ja ombiatoriia Perusjouo (otosavaruude) ja se osajouoje (tapahtumie) alioide (aleistapahtumie) luumäärie lasemisessa tarvitaa apua jotai järjestelmällistä meetelmää. Järjestelmällise meetelmä jouo alioide luumäärä lasemisee tarjoaa ombiatoriiasi utsuttu matematiia osa-alue. Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia Klassie todeäöisyys >> Multiomiertoimet TKK (c) Ila Melli (004) 4 Kombiatoriia perusperiaatteet / Avaisaat Joo Jouo Kertolasuperiaate Kombiatoriia perusogelmat Kombiatoriia perusperiaatteet Kombiatoriia Operaatio Osajoo Osajouo Riippumattomat operaatiot Toisesa poissulevat operaatiot Yhteelasuperiaate Kombiatoriia aavoje johtamisee ja perustelemisee tarvitaa usei vai ahta ysiertaista periaatetta, joita saotaa ombiatoriia perusperiaatteisi: () Yhteelasuperiaate () Kertolasuperiaate TKK (c) Ila Melli (004) 5 TKK (c) Ila Melli (004) 6 Kombiatoriia perusperiaatteet / Tarastellaa operaatioita M ja N. Tehdää seuraavat oletuset: () Operaatio M voidaa suorittaa m eri tavalla. () Operaatio N voidaa suorittaa eri tavalla. Operaatiot M ja N voidaa yhdistää uudesi, yhdistetysi operaatiosi seuraavilla tavoilla: (i) Suoritetaa MtaiN (ii) Suoritetaa MjaN Kombiatoriia perusperiaatteet liittyvät äide ahde yhdistety operaatio suoritustapoje luumäärie lasemisee. Toisesa poissulevat operaatiot ja yhteelasuperiaate Saomme, että operaatiot M ja N ovat toisesa poissulevia, jos operaatioita M ja N ei voisuorittaa yhtäaiaa eli samaaiaisesti. Oloot operaatiot M ja N toisesa poissulevia. Oletetaa lisäsi, että operaatio M voidaa suorittaa m eri tavalla ja operaatio N voidaa suorittaa eri tavalla. Tällöi yhdistetty operaatio (i) Suoritetaa M tain voidaa suorittaa m + eri tavalla. TKK (c) Ila Melli (004) 7 TKK (c) Ila Melli (004) 8
4 TKK (c) Ila Melli (004) 9 Riippumattomat operaatiot ja ertolasuperiaate Kombiatoriia perusperiaatteet: Esimeri /3 Saomme, että operaatiot M ja N ovat riippumattomia, jos se, miä vaihtoehtoisista tavoista suorittaa operaatio M valitaa, ei vaiuta siihe, miä vaihtoehtoisista tavoista suorittaa operaatio N valitaa ja äätäe. Oloot operaatiot M ja N riippumattomia. Oletetaa lisäsi, että operaatio M voidaa suorittaa m eri tavalla ja operaatio N voidaa suorittaa eri tavalla. Tällöi yhdistetty operaatio (ii) Suoritetaa M jan voidaa suorittaa m eri tavalla. Kaupuie X ja Y välillä o suoraa letoa. X:stä Y:hy pääsee myös aupugi Z autta: (i) Kaupuie X ja Z välillä o 3 letoa. (ii) Kaupuie Z ja Y välillä o letoa. Oletetaa lisäsi, että letoje valiat voidaa tehdä toisistaa riippumatta. Kuia moella eri tavalla voidaa letää X:stä Y:hy? X Z Y TKK (c) Ila Melli (004) 0 Kombiatoriia perusperiaatteet: Esimeri /3 Kombiatoriia perusperiaatteet: Esimeri 3/3 Kosa letoje valiat voidaa tehdä toisistaa riippumatta, Z: autta tapahtuvii letoihi voidaa soveltaa ombiatoriia ertolasuperiaatetta. Se muaa X:stä Y:hy pääsee letämää Z: autta 3 = 6 eri tavalla. X Z Y Kosa suoraa letoa X:stä Y:hy ja 6 eri tapaa letää X:stä Y:hy Z: autta ovat toisesa poissulevia, letoje ooaisluumäärä saadaa soveltamalla ombiatoriia yhteelasuperiaatetta. Se muaa X:stä Y:hy pääsee letämää + 6 = 8 eri tavalla. X Z Y TKK (c) Ila Melli (004) TKK (c) Ila Melli (004) Kombiatoriia perusogelmat / Kombiatoriia perusogelmat / Oloo S = {s, s,, s } äärellie jouo, joa alioide luumäärä o = S = (S), jossa S = (S) o luumääräfutio, joa ertoo jouo S alioide luumäärä. Kombiatoriia perusogelmat liittyvät jouo S alioide muodostamie osajooje ja osajouoje luumäärie lasemisee. Kombiatoriia perusogelmat: (a) Kuia moella erilaisella tavalla jouo S aliot voidaa järjestää jooo? (b) Kuia moella erilaisella tavalla jouo S alioista voidaa muodostaa : alio osajoo? () Kuia moella erilaisella tavalla jouo S alioista voidaa muodostaa : alio osajouo? TKK (c) Ila Melli (004) 3 TKK (c) Ila Melli (004) 4
5 TKK (c) Ila Melli (004) 5 Jouo Jouoje samuus Palautetaa mielee, että jouo o täysi määrätty, jos se aliot tuetaa. Oloot äärellise jouo A aliot a, a,, a. Tällöi meritää A = {a, a,, a }. Jouot A ovat samat, jos iissä o täsmällee samat aliot: A = B, jos ja vai jos x A x B. TKK (c) Ila Melli (004) 6 Joo Jooje samuus Palautetaa mielee, että joo o täysi määrätty, jos se aliot ja iide järjestys tuetaa. Oloo a joo, joa i. alio o a i, i =,,,. Tällöi meritää a = (a, a,, a ). -umeroiste ei-egatiivisiste ooaisluuje muodostamia jooja meritää usei irjoittamalla umerot perääi ilma sulumerejä ja piluja ute moiumeroisissa luvuissa. Esimeri: 649 = (6, 4, 9, ) Joot a = (a, a,, a ) ja b = (b, b,, b ) ovat samat, jos iissä o samat aliot samassa järjestysessä: a = b, jos ja vai jos a i = b i, i =,,,. TKK (c) Ila Melli (004) 7 TKK (c) Ila Melli (004) 8 Jouo vs joo: Esimeri Jouot {,, 3} {, 3, } {3,, 3, } ovat jouoia samat: {,, 3} = {, 3, } = {3,, 3, } Joot 3 3 ovat eri jooja: (,, 3) (, 3, ) Jouo osajouot: Esimeri Oloo S = {,, 3} Kaii jouo S alioide muodostamat osajouot: Kolme alio osajouot: {,, 3} pl Kahde alio osajouot: {, }, {, 3}, {, 3} 3 pl Yhde alio osajouot: {}, {}, {3} 3 pl Kaii jouo S: osajouot: {,, 3}, {, }, {, 3}, {, 3}, {}, {}, {3}, 8 pl TKK (c) Ila Melli (004) 9 TKK (c) Ila Melli (004) 30
6 TKK (c) Ila Melli (004) 3 Jouo osajoot: Esimeri Oloo S = {,, 3} Kaii jouo S alioide muodostamat osajoot: Kolme alio osajoot: 3, 3, 3, 3, 3, 3 6 pl Kahde alio osajoot:,, 3, 3, 3, 3 6 pl Yhde alio osajoot:,, 3 3 pl Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia Klassie todeäöisyys Kombiatoriia perusogelmat ja perusperiaatteet >> Multiomiertoimet TKK (c) Ila Melli (004) 3 Permutaatio Avaisaat Joo Jouo Kertoma Kombiatoriia perusogelmat -permutaatio -ertoma Osajoo Permutaatio Permutaatioide luumäärä Symmetriset aleistapahtumat Variaatio Variaatioide luumäärä Miä tahasa äärellise jouo S aiie alioide muodostama joo o jouo S alioide permutaatio. TKK (c) Ila Melli (004) 33 TKK (c) Ila Melli (004) 34 Permutaatioide luumäärä Oloo jouo S alioide luumäärä = (S). Tällöi jouo S alioide aiie mahdolliste permutaatioide luumäärä o! = ( ) jossa! o s. -ertoma. Tulos rataisee ombiatoriia perusogelma (a): Kuia moella erilaisella tavalla jouo S aliot voidaa järjestää jooo? Permutaatioide luumäärä: Perustelu /3 Käytetää permutaatioide luumäärä aava johdossa apua s. loeromallia. Oloo jouo S alioide luumäärä. Oletetaa, että äytettävissä o loerio, jossa o loeroa. Asetetaa jouo S aliot loerioo ysi errallaa ii, että joaisee loeroo tulee täsmällee ysi alio. TKK (c) Ila Melli (004) 35 TKK (c) Ila Melli (004) 36
7 TKK (c) Ila Melli (004) 37 Permutaatioide luumäärä: Perustelu /3 Loeroide täyttämie voidaa tehdä vaiheittai. Vaiheessa =,,, : (i) Loeroista o täytetty ( ) pl. (ii) Jouossa S o jäljellä ( + ) aliota. (iii) Suoritetaa operaatio Valitaa jouo S jäljellä olevista alioista ysi loeroo (iv) Operaatio voidaa tehdä ( + ) eri tavalla: = : Jouosta S voidaa valita alio tavalla. = : Jouosta S voidaa valita alio ( ) tavalla. = : Jouosta S voidaa valita alio tavalla. = : Jouosta S voidaa valita alio tavalla. Permutaatioide luumäärä: Perustelu 3/3 Tarastellaa yhdistettyä operaatiota, jossa aii vaiheet =,,, äydää läpi perääi. Kysymys: Kuia moella eri tavalla tämä yhdistetty operaatio voidaa suorittaa? Kosa joaie valitaoperaatio voidaa suorittaa edellisistä vaiheista riippumatta, ombiatoriia ertolasuperiaatteesta seuraa, että loeroide täyttämie voidaa tehdä ( ) =! eri tavalla. TKK (c) Ila Melli (004) 38 -ertoma Variaatio eli -permutaatio -ertoma voidaa lasea seuraavalla palautusaavalla:! = ( )!, =,, Määritellää: 0! = Palautusaavasta:! = 0! = =! =! = = 3! = 3! = 3 = 6 4! = 4 3! = 4 3 = 4 5! = 5 4! = = 0 TKK (c) Ila Melli (004) 39 Oloo äärellise jouo S alioide luumäärä = (S). Miä tahasa jouo S alioide osajoo, jossa o aliota, o jouo S alioide variaatio eli - permutaatio. Meritä: P(, ) =: alio jouo -permutaatioide luumäärä Jos =, saadaa jouo S alioide permutaatio. TKK (c) Ila Melli (004) 40 Variaatioide eli -permutaatioide luumäärä Oloo jouo S alioide luumäärä = (S). Tällöi jouo S alioide aiie mahdolliste -permutaatioide luumäärä o! P(, ) = ( )! Tulos rataisee ombiatoriia perusogelma (b): Kuia moella erilaisella tavalla jouo S alioista voidaa muodostaa : alio osajoo? Jos =, utistuu ombiatoriia perusogelma (b) perusogelmasi (a), jote P(, ) =! Variaatioide eli -permutaatioide luumäärä: Perustelu Oloo jouo S alioide luumäärä. Jouo S aiie alioide permutaatioide luumäärää osevasta todistusesta ähdää, että :stä aliosta voidaa valita aliota :ho esimmäisee loeroo ( ) ( +) eri tavalla. Lavetamalla saadaa ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( )! = ( )!! = ( )! TKK (c) Ila Melli (004) 4 TKK (c) Ila Melli (004) 4
8 TKK (c) Ila Melli (004) 43 Permutaatioide luumäärä: Esimeri /4 Kuia mota erilaista 3-umeroista ooaisluua voidaa muodostaa umeroista 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? Meritää luuja muodostettaessa etuollat äyvii. Esimerejä: 5 = 005 ja 9 = 09 Kaii äi saatavat 3-umeroiset ooaisluvut ovat muotoa xyz olevia jooja, joissa umerot x, y ja z valitaa jouosta {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Numeroide x, y ja z valita jooo xyz voidaa tehdä ahdella eri tavalla: (i) Aiaisemmi valitu umero saa valita uudellee. (ii) Aiaisemmi valittua umeroa ei saa valita uudellee. Permutaatioide luumäärä: Esimeri /4 Tarastellaa esi tapausta (i) Aiaisemmi valitu umero saa valita uudellee. Käytetää apua loeromallia. Kooaisluu xyz muodostuu olmesta loerosta, joista joaie voidaa täyttää toisistaa riippumatta 0:llä erilaisella objetilla. Kertolasuperiaattee muaa loerot xyz voidaa täyttää = 000 eri tavalla. Site erilaisia 3-umeroisia luuja, joissa saa olla samoja umeroita, o 000 pl. Tulos o tietysti sopusoiussa se assa, että ooaisluuje 000, 00, 00,, 00, 0, 0,, 00, 0, 0,, 999 luumäärä o 000. TKK (c) Ila Melli (004) 44 Permutaatioide luumäärä: Esimeri 3/4 Tarastellaa seuraavasi tapausta (ii) Aiaisemmi valittua umeroa ei saa valita uudellee. Käytetää apua loeromallia. Kooaisluu xyz muodostuu olmesta loerosta, jota voidaa täyttää vaiheittai seuraavalla tavalla: (). loero x voidaa täyttää 0 erilaisella objetilla. (). loero y voidaa täyttää vaiheesta () riippumatta 9 erilaisella objetilla, osa objeteista o äytetty. (3) 3. loero z voidaa täyttää vaiheesta () riippumatta 8 erilaisella objetilla, osa objeteista o äytetty. Kertolasuperiaattee muaa loerot xyz voidaa täyttää = 70 eri tavalla. Permutaatioide luumäärä: Esimeri 4/4 Site erilaisia 3-umeroisia luuja, joissa sama umero ei saa esiityä ui erra, o 70 pl. Huomaa, että sama tulos saadaa huomaamalla, että tapausessa (ii) o määrättävä jouo {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 3-permutaatioide luumäärä. 3-permutaatioide luumääräsi saadaa 0! P(0,3) = = = 70 7! miä tietysti yhtyy edellä saatuu tulosee. TKK (c) Ila Melli (004) 45 TKK (c) Ila Melli (004) 46 Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia Klassie todeäöisyys Kombiatoriia perusogelmat ja perusperiaatteet >> Multiomiertoimet Avaisaat Biomi Biomiaava Biomierroi Joo Jouo Kombiaatio Kombiaatioide luumäärä Kombiatoriia perusogelmat -ertoma Osajouo Osajouoje luumäärä Pascali olmio Permutaatio TKK (c) Ila Melli (004) 47 TKK (c) Ila Melli (004) 48
9 TKK (c) Ila Melli (004) 49 Kombiaatio Kombiaatioide luumäärä Oloo äärellise jouo S alioide luumäärä = (S). Miä tahasa jouo S osajouo, jossa o aliota, muodostaa jouo S alioide aliota sisältävä ombiaatio. Meritä: C(, ) =: alio jouo aliota sisältävie ombiaatioide luumäärä Oloo jouo S alioide luumäärä = (S). Tällöi jouo S alioide aiie mahdolliste aliota sisältävie ombiaatioide luumäärä o! C(, ) =!( )! jossa! = ( ) o s. -ertoma. Tulos rataisee ombiatoriia perusogelma (): Kuia moella erilaisella tavalla jouo S alioista voidaa muodostaa : alio osajouo? TKK (c) Ila Melli (004) 50 Kombiaatioide luumäärä ja biomiertoimet Kombiaatioide luumäärää C(, ) meritää usei s. biomiertoimella joa luetaa yli :. Biomiertoime määrittely ja imityse tausta: s. >. Kombiaatioide luumäärä: Perustelu /3 Oletetaa, että jouossa S o (S) = aliota. Kombiaatioide luumäärää oseva aava voidaa perustella määräämällä jouo S alioide aliota sisältävie permutaatioide luumäärä ahdella eri tavalla ja meritsemällä tuloset yhtä suurisi. Jouo S, jossa o aliota, -permutaatioide luumäärä o aiaisemma tulose perusteella! P(, ) = ( )! TKK (c) Ila Melli (004) 5 TKK (c) Ila Melli (004) 5 Kombiaatioide luumäärä: Perustelu /3 Toisaalta jouo S alioide permutoiti voidaa tehdä ahdessa vaiheessa: () Valitaa jouo S alioista aliota sisältävä osajouo. Tämä voidaa tehdä tehdä C(, ) eri tavalla, jossa C(, ) o toistaisesi tutemato luu. () Järjestetää valitu osajouo aliota jooo. Tämä voidaa voidaa tehdä! eri tavalla. Vaiheet () ja () voidaa suorittaa toisistaa riippumatta. Kombiaatioide luumäärä: Perustelu 3/3 Kombiatoriia ertolasuperiaattee muaa jouo S alioide aliota sisältävie permutaatioide luumäärä o siis P(, ) = C(, )! Sijoittamalla tähä permutaatioide luumäärä lausee! P(, ) = ( )! saadaa yhtälö! C(, )! = ( )! josta C(, ) rataisemalla saadaa haluttu tulos. TKK (c) Ila Melli (004) 53 TKK (c) Ila Melli (004) 54
10 TKK (c) Ila Melli (004) 55 Kombiaatioide luumäärä: Esimeri /3 Edellä o äsitelty esimeriä, jossa tarasteltii 3-umeroiste luuje muodostamista, u äytössä o umerot 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Tällöi todettii seuraavaa: (i) Jos sama umero saa esiityä luvussa useamma erra, erilaisia luuja o 000 pl. (ii) Jos sama umero ei saa esiityä luvussa useammi ui erra, erilaisia luuja o 70 pl. Kummassai tapausessa 3-umeroisia luuja äsiteltii umeroide 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 muodostamia jooia. Määrätää yt uia moella eri tavalla umeroide 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 muodostamasta jouosta {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} voidaa valita osajouo, jossa o 3 aliota. Kombiaatioide luumäärä: Esimeri /3 Rataisu ataa biomierroi C(0, 3): 0 0! C(0,3) = 0 3 = = = 3!7! 3 Site jouosta {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} voidaa valita 3: alio osajouo 0:llä eri tavalla. TKK (c) Ila Melli (004) 56 Kombiaatioide luumäärä: Esimeri 3/3 Huomaa asetettuje ehtoje vaiutus luumäärii: (i) Numeroista 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 voidaa muodostaa 000 pl 3-umeroisia luuja, joissa sama umero saa esiityä useamma erra. (ii) Jouosta {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} voidaa muodostaa 70 pl 3: umero osajooja. (iii) Jouosta {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} voidaa muodostaa 0 pl 3: umero osajouoja. Permutaatiot vs ombiaatiot Jouo alioide permutaatioissa alioide järjestysellä o meritystä. Jouo alioide ombiaatioissa alioide järjestysellä ei ole meritystä. TKK (c) Ila Melli (004) 57 TKK (c) Ila Melli (004) 58 Permutaatiot vs ombiaatiot: Esimerejä Opiselijaravitola ruoajoo muodostaa siiä seisovie opiselijoide permutaatio, jossa opiselijoide järjestysellä o meritystä joottaville opiselijoille. Lotossa oiea rivi atavat 7 voittoumeroa muodostavat 39: umero jouo erää 7: alio ombiaatio, jossa umeroide arvotajärjestysellä ei ole meritystä. Biomierroi Kerroita! C(, ) = =!( )! utsutaa biomiertoimesi. Biomierroi luetaa yli :. Kosa 0! =, ii!! 0 = = = = 0!!!0! TKK (c) Ila Melli (004) 59 TKK (c) Ila Melli (004) 60
11 TKK (c) Ila Melli (004) 6 Pascali olmio Pascali olmio muodostamissäätö Biomiertoimet voidaa muodostaa äyttäe apua s. Pascali olmiota (5 esimmäistä riviä): Luuu ottamatta olmio reuoilla olevia yösiä, Pascali olmio luvut saadaa lasemalla yhtee asi edeltävä rivi luua uolte suutaa. Biomiertoimet C(, 0), C(, ), C(, ),, C(, ), C(, ) muodostavat Pascali olmio ( + ). rivi luvut. Site Pascali olmio muodostamissäätö voidaa ilmaista biomiertoimie avulla seuraavasti: = + Saoi: Pascali olmio. rivi. luu saadaa lasemalla yhtee ( ). rivi ( ). luu ja. luu. TKK (c) Ila Melli (004) 6 Pascali olmio muodostamissäätö: Perustelu Pascali olmio muodostamissäätö voidaa perustella seuraavalla tavalla: (! ) (! ) + = + ( )!(( ) ( ) )!! (( ) )! (! ) (! ) = + (! ) ( )!! (! ) (! ) ( )(! ) = +! ( )!! ( )! ( + ( ) )(! ) =! ( )!! = =! ( )! Pascali olmio symmetrisyys Pascali olmio o symmetrie olmio rivie esiohda suhtee:! = =!( )! TKK (c) Ila Melli (004) 63 TKK (c) Ila Melli (004) 64 Pascali olmio symmetrisyys: Perustelu Pascali olmio symmetrisyys olmio rivie esiohda suhtee voidaa perustella seuraavalla tavalla:! =! ( )!! = ( )!( ( ) )! = Biomiaava Biomiaava muaa :s potessi biomille x + y voidaa esittää muodossa ( x + y) = x y = 0 = x x y x y xy + y TKK (c) Ila Melli (004) 65 TKK (c) Ila Melli (004) 66
12 TKK (c) Ila Melli (004) 67 Biomiaava: Perustelu /3 Ku biomi x + y orotetaa potessii, saadaa summalausee, joa aii termit ovat muotoa x y, = 0,,,, Yhdistetää sellaiset termit, joissa esiityy sama x: potessi ja järjestetää äi saadut termit x: aleevie potessie muaisee järjestysee. Yhdistämise tulosea saadaa ( +) termiä sisältävä summalausee, joa ( + ). termi o muotoa D(, ) x y, = 0,,,, jossa D(, ) o muotoa x y olevie termie luumäärä. Tehtävää o määrätä D(, ) eli se uia moella eri tavalla muotoa x y oleva termi sytyy orotettaessa biomi x + y potessii. Biomiaava: Perustelu /3 Käytetää tehtävä rataisemisessa loeromallia. Täytetää loerio, jossa o loeroa, tyyppiä x ja tyyppiä y olevilla objeteilla, u tyyppiä x olevia objeteja o ( ) pl ja tyyppiä y olevia objeteja o pl. Kuia moella eri tavalla tämä täyttöoperaatio voidaa suorittaa? Huomaa, että tyyppiä y olevie objetie paiat o määrätty se jälee, u tyyppiä x olevat objetit o saatu sijoitetusi loeroihi. Sisi riittää tarastella sitä, uia moella eri tavalla ( ) pl tyyppiä x olevaa objetia voidaa sijoittaa loerioo, jossa o loeroa. TKK (c) Ila Melli (004) 68 Biomiaava: Perustelu 3/3 Tämä tehtävä voidaa formuloida myös seuraavassa, vaihtoehtoisessa muodossa: Kuia moella eri tavalla jouosta, jossa o aliota, voidaa valita osajouo, jossa o ( ) aliota? Tämä o ombiatoriia perusogelma (). Site ysyty luumäärä D(, ) ataa biomierroi C(, ) = = Biomiaava: Esimeri / Biomiaava muaa 4. potessi biomille x + y voidaa esittää muodossa ( x+ y) = x y 0 = = x xy xy xy y = x + 4x y+ 6x y + 4xy + y Tulos o sopusoiussa se assa, että Pascali olmio 5. rivi luvut ovat, 4, 6, 4, TKK (c) Ila Melli (004) 69 TKK (c) Ila Melli (004) 70 Biomiaava: Esimeri / Tarastellaa esimeriä, mite tyyppiä x y olevat termit sytyvät. Kaii mahdolliset muotoa x y olevat tulot ovat xxyy xyxy xyyx yxxy yxyx yyxx Tuloja o siis 6 appaletta. Kosa tässä = 4 ja =, biomiertoime aavasta saadaa tämä tulose assa yhtäpitävästi 4 4! 4 3 C(4,) = 6 = = =!! Osajouoje luumäärä Oloo jouo S alioide luumäärä = (S). Jouo S osajouoje luumäärä o Luumäärässä ovat muaa: () Tyhjä jouo () Kaii yhde alio osajouot (3) Kaii ahde alio osajouot (4) Kaii olme alio osajouot () Kaii ( ): alio osajouot ( + ) Jouo S TKK (c) Ila Melli (004) 7 TKK (c) Ila Melli (004) 7
13 TKK (c) Ila Melli (004) 73 Osajouoje luumäärä: Perustelu / Oloo jouo S alioide luumäärä = (S). Jouolla S o aliota sisältävie ombiaatioide luumäärää oseva tulose muaa C(, ) = osajouoa, jossa o aliota, = 0,,,,. Jouo S osajouoje ooaisluumäärä N saadaa lasemalla aii biomiertoimet C(, ), = 0,,,, yhtee: N = Toisaalta biomiaavasta saadaa sijoittamalla x = y = : (+ ) = = Osajouoje luumäärä: Perustelu / Yhdistämällä ämä tuloset saadaa jouo S, jossa o = (S) aliota, aiie osajouoje luumääräsi N = = jossa biomierroi ertoo jouo S sellaiste osajouoje luumäärä, joissa o aliota, = 0,,,,. TKK (c) Ila Melli (004) 74 Kombiatorisia lasutoimitusia: Esimeri Lotossa ruuduo lototaa valitsemalla 7 umeroa 39:stä. Motao erilaista lottoruuduoa o olemassa? Toie muotoilu: Kuia mota erilaista 7 alio osajouoa voidaa valita 39 alio jouosta? Vastause ataa ombiaatioide luumäärää oseva tulos: 39 39! = = !3! Kombiatorisia lasutoimitusia: Esimeri Motao sellaista lottoruuduoa o olemassa, joissa o täsmällee 5 oiei? 5 oiei saadaa, jos o valittu 5 oieata umeroa 7 oiea umero jouosta ja väärää umeroa 3 väärä umero jouosta. Valiat voidaa tehdä toisistaa riippumatta. Kertolasuperiaattee muaa 5 oiei sisältävie rivie luumäärä o 7 3 7! 3! = = = 5!!!30! TKK (c) Ila Melli (004) 75 TKK (c) Ila Melli (004) 76 Kombiatorisia lasutoimitusia: Esimeri 3 Korttipelit: poeri Motao erilaista 5 orti ättä o olemassa? Kombiaatioide luumäärää oseva tulose muaa: = Korttipelit: bridge Motao erilaista 3 orti ättä o olemassa? Kombiaatioide luumäärää oseva tulose muaa: 5 = Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia Klassie todeäöisyys Kombiatoriia perusogelmat ja perusperiaatteet >> Multiomiertoimet TKK (c) Ila Melli (004) 77 TKK (c) Ila Melli (004) 78
14 TKK (c) Ila Melli (004) 79 Multiomiertoimet Multiomiertoimet Multiomierroi / Avaisaat Biomierroi Multiomi Multiomierroi Ositus Oloo äärellise jouo S alioide luumäärä = (S). Oletetaa, että positiiviset ooaisluvut i, i =,,, toteuttavat ehdo = Ositetaa jouo S pistevieraisii osajouoihi A i, i =,,, site, että jouossa A i o (A i ) = i aliota. Kuia moella tavalla jouo S voidaa osittaa pistevieraisii osajouoihi ii, että osajouoje alioide luumäärät toteuttavat ym. ehdot? TKK (c) Ila Melli (004) 80 Multiomiertoimet Multiomierroi / Jouo S, jossa o = (S) aliota, voidaa osittaa! =!!! tavalla pistevieraisii osajouoihi A i, i =,,,, joide alioide luumäärät toteuttavat ehdot: (i) (A i ) = i, i =,,,, (ii) = Luumäärä atavaa lauseetta utsutaa multiomiertoimesi. Multiomiertoimet Multiomierroi: Kommetteja Epätyhjät jouot A i S, i =,,, muodostavat jouo S osituse, jos i i j i= S = A ja A A =, u i j Multiomierroi ertoo uia moella eri tavalla jouo S, jossa o aliota, voidaa osittaa pistevieraisii osajouoihi A i, i =,,, ii, että osajouossa A i o i aliota ja = TKK (c) Ila Melli (004) 8 TKK (c) Ila Melli (004) 8 Multiomiertoimet Multiomierroi: Kommetteja Multiomiertoimet ovat multiomi ( x+ x + + x ) ehitysaavassa tuloje x x x ertoimia. Biomierroi saadaa multiomiertoime erioistapausea, u =. Multiomiertoimet Multiomierroi:. esimeri / Saassa asa o 4 irjaita, joide jouossa o 3 erilaista irjaita: pl a pl s pl Kuia mota erilaista eljä irjaime mittaista saaa voidaa muodostaa permutoimalla irjaimia, a, a ja s? Erilaiste saoje luumäärä ataa multiomierroi 4 4! = =!!! TKK (c) Ila Melli (004) 83 TKK (c) Ila Melli (004) 84
15 TKK (c) Ila Melli (004) 85 Multiomiertoimet Multiomierroi:. esimeri / Tässä tapausessa erilaiset saat o helppo luetella: a-aluiset saat: aas aas aas asa asa asa -aluiset saat: aas asa saa s-aluiset saat saa saa saa Saoja o todellai pl ute edellä todettii. Multiomiertoimet Multiomierroi:. esimeri Korttipeli: poeri Oletetaa, että pelii osallistuu 4 pelaajaa. Jaetaa 5 orttia joaiselle pelaajalle. Kuia mota erilaista jaoa o olemassa? Korttipaa (5 orti paa) jaetaa siis 5 osaa, joissa o 5, 5, 5, 5 ja 3 orttia. Erilaiste jaoje luumäärä ataa multiomierroi 5 5! 4 = = !5!5!5!3! TKK (c) Ila Melli (004) 86
9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
LisätiedotC (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen
LisätiedotLaskennallisen kombinatoriikan perusongelmia
Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg
Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg 1 Jouo-oppi ja logiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O alto-yliopisto 12. maalisuuta 2015 3 Kombiatoriia ym. Summa-,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikan perusperiaatteet
LisätiedotTehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2
Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-0401 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg alto-yliopisto 30. syysuuta 2015 1 Jouo-oppi ja logiia Prediaattilogiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O 3 Kombiatoriia
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto ja esimerejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto. maalisuuta 05 Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Idutioperiaate Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto ja esimerejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 0. syysuuta 05 Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Prediaattilogiia Idutioperiaate Relaatiot ja
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
LisätiedotLuku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotLuku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä
Lisätiedot3.6 Todennäköisyyden laskusääntöjä Onneksi ennalta arvaamaton todennäköisyys noudattaa täsmällisiä sääntöjä. Tutustutaan niistä keskeisimpiin.
3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Oesi ealta arvaamato todeäöisyys oudattaa täsmällisiä säätöjä. Tutustutaa iistä eseisimpii. Kertolasusäätö Tarastellaa esi tilaetta, jossa o asi
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista
LisätiedotSattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotHanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
LisätiedotTämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f
28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
Lisätiedotq =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2.
Luuteoria I Harjoitusia 2009 1 Osoita, että (a x = x x R, (b x x< x +1 x R, (c x + = x + x R, Z, (d x + y x + y x, y R, (e x y xy x, y R 0 2 Oloot a, b, q, r Z ja a = qb + r, 0 r< b Näytä, että a a q =,
Lisätiedot10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.
10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).
LisätiedotMiehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
Lisätiedoti ni 9 = 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, k k
1. Neljä tuistettavissa oleva hiuase iroaoise jouo ahdolliset eergiatasot ovat 0, ε, ε, ε, 4ε,, jota aii ovat degeeroituattoia. Systeei ooaiseergia o 6ε. sitä aii ahdolliset partitiot ja osoita, että irotiloje
LisätiedotOrtogonaalisuus ja projektiot
MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Olkoon S = {s 1,s 2,...,s n } äärellinen otosavaruus. Oletetaan, että Pr(s i ) = 1, kaikille i = 1, 2,...,n n Tällöin alkeistapahtumat
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
LisätiedotMAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan
3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi
Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
LisätiedotRyhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
Lisätiedot9. Ominaisarvot. Diagonalisointi
55 9 Omiaisarvot Diagoalisoiti Joaisee matriisii liittyy jouo sille omiaisia luuja, s omiaisarvoja, joista oostuu matriisi "spetri" ämä vaatii uitei luualuee laajetamista omplesiluuihi Jatossa matriisit
Lisätiedot, sanotaan niiden sääntöjen ja menetelmien kokonaisuutta, joilla otos poimitaan määritellystä perusjoukosta.
Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) TEKIE YTEEVETO I Otata-asetelmat ja estimoitiasetelmat Perusjouo ja muuttujat Äärellie perusjouo U = {,...,,..., } Tulosmuuttuja y tutemattomat arvot Y,,Y,,Y
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotJakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2
TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
LisätiedotKolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.
Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial......................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotSTOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
LisätiedotOHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan Syksy 2008
OHJ-2300 Johdatus tietojenäsittelyteoriaan Sysy 2008 1 2 Organisaatio & aiataulu Luennot: prof. Tapio Elomaa P1: Ti 14-16 TC 103 ja to 14 16 TC 133 P2: Ti 14-16 TB 219 ja to 12 14 TB 224 26.8. 20.11. Jussi
Lisätiedot4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet
4.3 Erillisten jouojen yhdisteet Ongelmana on pitää yllä ooelmaa S 1,..., S perusjouon X osajouoja, jota voivat muuttua ajan myötä. Rajoitusena on, että miään alio x ei saa uulua useampaan uin yhteen jouoon.
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
LisätiedotLuku kahden alkuluvun summana
Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun
LisätiedotVALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA
VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q
Lisätiedot8. Ortogonaaliprojektiot
44 8 Ortogoaaliprojetiot Avaruus R o eemmäi ui pelä vetoriavaruus, osa siiä o mahdollisuus määritellä vetoreide pituus, välie ulma ja erityisesti ohtisuoruus ähä päästää ottamalla äyttöö vetoreide välie
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
LisätiedotEnnen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
LisätiedotNuo mainiot binomikertoimet
Nuo maiiot biomiertoimet Osasto A umeroista osa a aii osasto B umerot o varustettu tähdellä Tällaisissa umeroissa esitety väittee todistus tai tehtävä rataisu esitetää osastossa C A Kertoimet a biomiaava
Lisätiedot2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
/ Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma,
LisätiedotTalousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
LisätiedotVakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15
SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotKiinteätuottoiset arvopaperit
Mat-.34 Ivestoititeoria Kiiteätuottoiset arvopaperit 6..05 Lähtöohtia Lueolla tarasteltii tilateita, joissa yyarvo laseassa äytettävä oro oli aettua ja riippuato aiaperiodista Käytäössä orot äärittyvät
Lisätiedot(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.
Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia 2016 1. Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c)
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus diskreettiin matematiikkaan (Syksy 2008) 4. harjoitus Ratkaisuja (Jussi Martin)
Matematan ja tlastoteteen latos Johdatus dsreettn matemataan (Sysy 28 4. harjotus Ratasuja (Juss Martn 1. Kertomus Hotell Kosmosesta jatuu: Hotellyhtymän johdolta tul määräys laata luettelo asta mahdollssta
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
Lisätiedottasapainotila saavutetaan kun vuo aukon läpi on sama molempiin suuntiin
S-445 FYSIIKKA III (Sf) Sysy 4, LH, Rataisut LHSf-* Kaasusäiliö o jaettu ahtee osaa, joide välisee eristävää seiämää o tehty iei ymyrämuotoie auo, joa halaisija o D Säiliö molemmissa osissa o helium aasua
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
LisätiedotKUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET
KUNTIN LÄKVKUUTU 328 VRHILÄKMNORUTI MKU 29 LÄHTIN NOUDTTTVT LKURUTT Valtuusuta ahstaa arhaseläemeoperustese masu eaode yhtesmäärä uodelle euromääräsest Tämä ahstettu masu o samalla lopullste masue yhtesmäärä
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen
Lisätiedot(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA
Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi
LisätiedotEulerin φ-funktion ominaisuuksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Jua Peltola Eulerin φ-funtion ominaisuusia Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Marrasuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PELTOLA, JUKKA: Eulerin
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden
Lisätiedot7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen
7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotYleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme? 2/4. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme?
TKK (c) Ila Melli (004) Yleie lieaarie malli Johdatus tilastotieteesee Yleie lieaarie malli Usea selittää lieaarie regressiomalli Yleise lieaarise malli matriisisesitys Yleise lieaarise malli estimoiti
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.
Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
Lisätiedot