302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360"

Transkriptio

1 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon lävistäjät on piirretty katkoviivalla. kovera viisikulmio b) Kaikki kulmat ovat alle 180. kupera kuusikulmio b) = 60, joten ei ole olemassa nelikulmiota, jossa olisi 155 ja 05 kulmat. Vastaus a) on b) ei ole

2 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 4 0 a) b) β γ α = 110 ristikulmat δ = 180 α vieruskulmat δ = δ = 70 γ = 0 samankotaiset kulmat ja ABCD β = 180 α γ kolmion kulmien summa β = β = 40 ε = kolmion kulmien summa ε = 60 β = = 87 oikokulma γ = 4 samankotaiset kulmat ja l α + β + γ = 180 kolmion kulmien summa α=180 β γ α = α = 50 l 1 Vastaus a) α = 110, β = 40, γ = 0, δ = 70 ja ε = 60 b) α = 50

3 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu CA DE γ = suorakulmainen kolmio EBD γ = 60 Toisin γ = 60 samankotaiset kulmat ja CA DE AJ + IH = BC = 4, cm JI + HG + FE + DC = AB = 1, cm FG = ED = 1, 4 cm β = 70 0' samankotaiset kulmat ja CA DE 0 = = 70,5 α = 180 β γ oikokulma eli α + β + γ=180 = ,5 60 = 49,5 Monikulmion ABCDEFGHIJ piiri on Vastaus p = 1, cm + 4, cm + 1,4 cm = 5,8 cm 5,8 cm Vastaus α = 49,5, β = 70,5, γ = 60

4 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 6 06 Esimerkiksi a) b) c) a) mm = km=745,6 km , b) 6,7 10 m = km = 6,7 10 km = 670 km c) 0,0146 m = 0, cm = 1,46 cm d) km = m = m = 05 m e) mm = a = a = 1,4 a , f) 7,8 10 cm = a = 7,8 10 a = 7,8 a g) 0, km = 0, m = 56,7 m ) 184,6 10 m = 184, cm = 184,6 cm 5600 i) ml = l = l = 5,6 l 1000 j) 1 l = 1 dm k) l = dm = m = 1 m l) cl = ml = cm = m = 0,6 m m) dl = dm = km = 0,45 km n) 1,46 10 mm = 1, m = 1,46 m ) 1079,6 10 m = 1079, cm = 107,96 ml

5 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 7 08 a) Lävistäjien lukumäärä on 8 ( 8 ) = 0. b) Kulmien summa on ( 8 ) 180 = 1080 Vastaus a) 0 b) a) Merkitään sivujen määrää kirjaimella n. Saadaan ytälö ( n ) 180 = 600 :180 n = 0 n = 10 Olkoon n ( n ) monikulmion sivujen lukumäärä. Saadaan ytälö n nn ( ) = 65 nn ( ) = 10 n 10= 0 ± ( ) 4 1 ( 10) ± n = = 1 n= 10 tai n= 1 n ei kelpaa kelpaa b) Merkitään sivujen määrää kirjaimella n. Saadaan ytälö ( n ) 180 = 1890 :180 n = 10,5 n = 1,5 N Vastaus a) sivua b) ei ole Vastaus Monikulmiossa on 1 sivua.

6 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 8 11 Olkoon n( n ) monikulmion sivujen lukumäärä. Saadaan epäytälö nn ( ) 9 ( > 0) n n 18 n n 18 0 Nollakodat: n Kuvaaja: n 18= 0 ± ( 18) ± 9 n = = n= tai n= 6 1 Olkoon nn monikulmion sivujen lukumäärä. Saadaan epäytälö nn ( ) 50 > 0 nn ( ) 100 n n Nollakodat: n n 100= 0 ± ± 409 n = = n= = 8,61... tai n= = 11,61... n 8,6 tai n 11,6 Kuvaaja: Epäytälö toteutuu, kun n 6, Koska n, niin arvot, 4, 5 ja 6 kelpaavat. Epäytälö toteutuu, kun n 8,6 tai n 11,6 Koska n, niin arvot n = 1, 1, 14,... kelpaavat. Vastaus Monikulmion sivujen lukumäärä on, 4, 5 tai 6. Vastaus Monikulmiossa on väintään 1 sivua.

7 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 9 1 Olkoon nn monikulmion sivujen lukumäärä. Saadaan epäytälö nn ( ) < n > 0 nn ( ) < n n 5n< 0 Nollakodat: Kuvaaja: n 5n= 0 nn ( 5) = 0 n= 0 tai n= 5 Epäytälö toteutuu, kun 0 < n < 5, Koska n, niin arvot n= ja n= 4 kelpaavat. 14 Olkoon nn monikulmion sivujen lukumäärä. Kaksitoistakulmion kulmien summa on ( 1 ) 180 ( n ) 180 = Uuden monikulmion kulmien summa on 0, % 0% = 70% = 0,7 Toisaalta uuden monikulmion kulmien summa on ( n ) 180 joten saadaan ytälö ( n ) 180 = 0, :180 n = 7 n = 9, Vastaus Monikulmiossa on tai 4 kulmaa. 9-kulmiossa on lävistäjiä nn = = 7 Vastaus Monikulmiossa on 7 lävistäjää.

8 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu a) Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat ytä suuret, joten β + 90 = 180 β = 90 β = 45 α on kantakulman vieruskulma, joten α = = 15 α = 40 eijastuskulma on sama kuin tulokulma β = = 0 kolmion kulmien summa γ = = 50 kolmion kulmien summa Valonsäde kääntyy yteensä kulman α + β + γ = = 0 > 180 joten valonsäteet kotaavat toisensa. Kotaamiskulma on = 40 b) β = 40 tasakylkisen kolmion kantakulmana. Kolmion kulmien summa on 180, joten γ = = 100 Vieruskulma: δ = 180 γ = = 80 Tasakylkisestä kolmiosta DBC saadaan α = 180 δ = = 0 Vastaus a) α = 15 b) α = 0 Vastaus Valonsäteet kotaavat 40 kulmassa.

9 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 1 17 a Kolmion ala on A = a) a = 6+ = 9 = A = = 18 b) a = 6 = A = = 1 c) a = 4 = 4 A = = 6 18 Pytagoraan lauseen mukaan AB + 0 = 9 AB AB AB = 9 0 = 441 = ± 441 AB = 1 Siis sivun AB pituus on 1. ABC + 46, = 180 ABC = ,4 90 ABC = 4,6 Vastaus a) AB = 1 ja ABC = 4,6 Vastaus a) 18 b) 1 c) 6

10 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 19 a) ED DC, joten D = 90 0 a) Kolmiosta ABF saadaan α = = 65 Koska AB ED, niin β = 5 samankotaisena kulmana kulman ABE kanssa. Kolmiosta ECD saadaan γ = β = 90 5 = 55 b) AB DC, joten BDC = 8 samankotaisena kulmana kulman ABD kanssa. Kolmiosta DEC saadaan β = = 100 Vieruskulma γ = 180 β = = 80 Kolmio EBC on tasakylkinen, joten α = 180 γ = = 0 Vastaus a) α = 65, β = 5 ja γ = 55 b) α = 0 Olkoon kolmion korkeus. Pytagoraan lauseen mukaan + 5 = 1 = 144 = ± = Kolmion ala on a A= a= 10, = 1 10 = = 60 Vastaus Ala on 60.

11 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 0 b)olkoon kolmion sivu a. Pytagoraan lauseen mukaan a + = a a + 9 = a 4 4) a a = 9 4 a 4 = 9 4 a = 1 a = ± 4 a = Kolmion ala on a A= a=, = = = Vastaus Ala on. 1 Olkoon kolmion kanta x. Silloin korkeus on x. Kolmion ala on Siis x = 10 a A = A= 50, a= x, = x x x 50 = x = 50 x = 5 x = ± 5 Vastaus Kolmion korkeus on 10.

12 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 4 Valitaan yksiköksi 0,5 cm. a) Muodostuu kolmio, koska + 11= 14> 1 + 1= 15> = > b) Ei muodostu kolmiota, koska = 16 < 18 Merkitään kolmion sivuja kirjaimilla a, b ja c, missä c on pisin sivu. Kolmio on suorakulmainen, jos on voimassa eto a + b = c. a) a = b = 5 c = 6 Kaden lyyemmän sivun neliöiden summa on a + b = + 5 = 9+ 5= 4 Pisimmän sivun neliö on c = 6 = 6 4 Koska a + b c, ei kolmio ole suorakulmainen, c) Ei muodostu kolmiota, koska +1=15 b) a = 6 b = 8 c = 10 a + b = = = 100 c = 10 = 100 Vastaus a) on b) ei c) ei Koska a + b = c, on kolmio suorakulmainen. Vastaus a) ei b) on

13 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 5 4 Lyimmän sivun vastainen kulma on pienin. 5 BC = 15 piiri = 0 Kulmanpuolittajalauseen mukaan x 0 = 10 x 5 x 4 = 10 x 5 5x = 4( 10 x) 5x = 40 4x 9x = x = = Toinen osa on 10 x = 10 4 = Osien pituudet ovat 4 ja Vastaus 4 ja Kulmanpuolittajalauseen mukaan b c = b= Koska piiri on 0, niin c c+ c+ 15 = 0 c+ c= 15 c+ c= 45 5c = 45 :5 c = 9 b= c= 9 = 6 Vastaus Muut sivut ovat 6 ja 9.

14 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 6 6 Lasketaan kanta a. Kolmiosta ABC saadaan Pytagoraan lauseen mukaan + = a a = 4 a = ( ± ) a = Kulmanpuolittajalauseen mukaan x = x x= ( x) x= x x+ x= ( + ) x = :( + ) ) ( ) x 4 = = = + 7 Pienin kulma on B. Suurin kulma on A. Kulman A puolittaja jakaa sivun BC suteessa 7:5. Siis x 7 = 8 x 5 5x = 7( 8 x) 5x = 56 7x 1x = x = 1 14 x = Kulman B puolittaja jakaa sivun AD suteessa 7:x eli Vastaus : : = = = Toinen osa ( ) = Vastaus Osat ovat ja

15 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 7 8 a) 9 a) Kolmiossa ABC kannalle AB piirretty korkeusjana on CA AC piirretty korkeusjana on BA BC piirretty korkeusjana on DA Korkeusjanat leikkaavat toisensa pisteessä A. b) b) Koska kolmio ABC on tasakylkinen, niin korkeusjana AD on myös keskinormaali, joten BD= DC = a Pytagoraan lauseen mukaan a = a = a = a = 4 5 a =

16 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 8 Kolmiosta ABD saadaan 5 x + a = 5 a = 5 x + = 5 5 x = 5 5 x = 5 x = ( ± ) Muut korkeusjanat ovat BA= CA= 5 0 Mediaanilauseen mukaan mediaani jakautuu suteessa :1 kärjestä lukien. Merkitään mediaanin osia vastaavasti x ja x. Siis x + x = 4 x = 4 x = 8 Vastaus a) Korkeusjanojen leikkauspiste on suoran kulman kärkipiste. 5 b) Korkeusjanojen pituudet ovat 5, 5 ja. Toinen osa on 8 = 16 Osien pituudet ovat 8 ja 16 Vastaus 8 ja 16

17 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 9 1 b) Merkitään painopisteen M etäisyyttä kantakulman A kärjestä kirjaimella y. Mediaanilauseen mukaan 1 1 DM = CD = 1 = 4 Tasakylkisessä kolmiossa uipusta piirretty mediaani on samalla myös korkeusjana. Olkoon mediaanien leikkauspiste eli painopiste M ja uipusta piirretty mediaani CD = x. Pytagoraan lauseen mukaan x + 5 = 1 x x = = 144 x = ± 1 Kolmiosta ADM saadaan y y y = = = 41 y = ± 41 y = 6, ,4 a) Painopisteen M etäisyys uippukulman C kärjestä on mediaanilauseen mukaan Vastaus a) Painopisteen etäisyys kolmion uippukulman kärjestä on 8. CM = CD = 1 = 8 b) Painopisteen etäisyys kolmion kantakulman kärjestä on 41 6,4.

18 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 40 Tasasivuisessa kolmiossa mediaani ja korkeusjana ytyvät. Painopiste M jakaa mediaanit kolmion kärjestä lukien suteessa :1. Merkitään mediaanin osia x ja x. Pytagoraan lauseen mukaan a ( x) + = a 1 9x + a = a 4 9x = a 4 a x = 1 Tällöin x = Vastaus x = ± a a Tasasivuisen kolmion painopisteen etäisyys a kärjestä on. Olkoon ACB = γ. Kolmiossa ABC on voimassa α + γ + 90 = 180 α + γ = 90 γ = 90 α Koska DC AC, niin β + γ = 90 β = 90 γ γ = 90 α β = ( α) β = α β = α Vastaus β = α.

19 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 41 4 Olkoon A = α, B= β ja C = γ. Tetävän etojen mukaan α = β + 0 α = γ 15 Siis β + 0 = γ 15 β = γ 45 Kolmion kulmien summa on 180, joten α + β + γ = 180 sijoitetaan α ja β γ 15 + γ 45 + γ = 180 γ = γ = 40 : γ = 80 Siis α = = 65 β = = 5 Vastaus Kulma A on 65, kulma B on 5 ja kulma C on Koska kolmiota ABC leikkaava suora l on ydensuuntainen kannan AB kanssa, niin samankotaiset kulmat ovat ytä suuret. Siis α = β. Kolmion kulmien summa on 180, joten α + 40 = 180 α = 140 α = 70 β = 70 Kulma γ on kulman β vieruskulma, joten γ = 180 β = = 110 > α Näin ollen α on pienin kulma. Vastaus Nelikulmion pienin kulma on 70.

20 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 4 6 Piirretään tasakylkinen kolmio, jonka kanta on a, korkeus ja kylki. 7 Piirretään tasasivuinen kolmio ja merkitään kylkeä kirjaimella a ja korkeutta kirjaimella. Ala a A= A= Korkeuden ja kannan sude on 1:, joten 1 = a a= Pytagoraan lauseen mukaan a + = = = = 9 = 9 = ( ± ) = Kolmion ala on a A = 6 = = 9 9 = a= = 6 Pytagoraan lauseen mukaan a + = a a + = a 4 a = a 4 = a 4 = ( ± ) a 4 a = Vastaus Kolmion ala on 9.

21 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 4 Saadaan ytälö Kolmion piiri a a = a = 8 a = ± a = 8 a = = 6 Vastaus Kolmion piiri on 6. 8 Merkitään P = pojoispää E = eteläpää S = sauna V = vene Valokiilan keskimmäisin säde osuu rantasaunaan, joten PVS = EVS. Kulmanpuolittajalauseen mukaan x y = y= x< x eli matka VE on lyyempi kuin matka VP. Vastaus Riitta soutaa saaren eteläpäään.

22 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 44 9 Olkoon sisään piirretyn ympyrän säde r ja ympäri piirretyn ympyrän säde R.. Tasasivuisen kolmion mediaani on myös keskinormaali ja kulmanpuolittaja, joten ympyröillä on sama keskipiste. Mediaanilauseen mukaan r 1 = R R = r Halkaisijat ovat siis dy = R= 4 r ja ds = r. Ympäri piirretyn ympyrän alkaisija d y on suurempi kuin sisään piirretyn ympyrän alkaisija d s prosentteina dy ds 100% ds 4r r = 100% r r = 100% r = 100% Vastaus 100% 40 a) Tapa 1 Jaetaan kuvio suorakulmioksi ja puolisuunnikkaaksi. A1 = Asuorakulmio = 8 = 16 Lasketaan puolisuunnikkaan korkeus katkoviivalla merkitystä kolmiosta. A = A puolisuunnikas + 5 = 1 = = 144 = ± 1 a+ b A = a= 8, b=, = 1 8+ = = = 66 Akoko = A1+ A = = 8

23 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 45 Tapa Täydennetään kuvio suorakulmioksi Katkoviivalla merkityn kolmion kateetit ovat 8 = 5 ja. Pytagoraan lauseen mukaan + 5 = 1 = = 144 = ± 1 Kuvion ala A on A= A A suorakulmio kolmio 5 = 8 + = 1 51 = 814 = 11 0 = 8 Vastaus Kuvion pinta-ala on b)koska ABED FC, niin kuvio muodostuu kadesta puolisuunnikkaasta. Koska puolisuunnikas on tasakylkinen, saadaan ytälö x + 5+ x = 1 x = 16 x = 8 Pytagoraan lauseen mukaan x x + = 10 = = 10 = = 6 = ± 6 Puolisuunnikkaan ala on a+ b A= a= 5, b= 1, = = 6 6 = 6 = 78 Kuvion ala on 78 = 156 Vastaus Kuvion ala on 156.

24 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu Olkoon puolisuunnikkaan pitempi kanta x. Koska puolisuunnikas on tasakylkinen, jakavat kannalle piirretyt korkeudet kannan osiin y, 10 ja y. Pytagoraan lauseen mukaan Olkoon korkeus. Puolisuunnikkaan ala on a+ b A1 = A1 = 0, a= 10, b= = 1 0 = 6 = 0 :6 = 5 Toisen puolisuunnikkaan ala on a+ b a+ b A = = 0, = 5 A = 0 5 = 100 y + 8 = 10 y = y = 6 y = ± 6 Siis pitempi kanta on =. Puolisuunnikkaan pinta-ala on a+ b A= a=, b= 10, = = 8 = 18 Vastaus 100 Vastaus Puolisuunnikkaan ala on 18.

25 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 47 4 A = 76 m = 8 m leveys: x ( m) pojan leveys: x 5 ( m) Puolisuunnikkaan ala on Siis a+ b A= 4 x 5 + x = 8 = ( x 5) 4 ( x 5) 4= 76 x 5= 19 x = 4 x = 1, joten x 5= 7 Vastaus Pojan leveys on 7 m. a= x 5, b= x, = 8 44 Pellon pinta-ala on m m A = = = 140 a Torjunta-ainetta tarvitaan l 140 a 0,15 a Ruiskutuksen inta on 1 l = 1 l 50 = l Vastaus Pellon ruiskutus maksaa Merkitään kannaksi x ja korkeudeksi x. A= a a= x, = x, A= 147 x x = 147 x = 49 x = ( ± ) 49 x = 7 Korkeus on 7, joten kanta on 7 = 1. Vastaus Kanta on 1 ja korkeus on 7.

26 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat ytä suuret, joten 47 α = 5 ja γ = β. Suunnikkaan (nelikulmion) kulmien summa on 60, joten saadaan ytälö 5 + β + α + γ = 60 α = 5, γ = β 5 + β β = 60 β = 90 β = 145 Siis α = 5, β = 145 ja γ = 145. Kulma β = 7 γ = β = = 119 samankotaiset kulmat ja AB DC ABE kulmien summa 180 Vastaus Suunnikkaan kulmat ovat 5, 145 ja 145. α = = 61 α ja γ vieruskulmat Vastaus Lävistäjien välinen kulma on 61.

27 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu Merkitään suunnikkaan korkeutta kirjaimella x. Koska kulma EAD on kulman DAB vieruskulma, on α = = 45 Siis β = β = 45 Näin ollen EAD on tasakylkinen, joten EA= ED= x. Pytagoraan lauseen mukaan x + x = 6 x = 6 x = 6 x = ± 6 Kanta AB = AD = 6 = 1 Suunnikkaan ala on A= a a= 1, = 6 = 1 6 = 7 Vastaus Suunnikkaan ala on Koska EF AD, niin nelikulmiot AEFD ja EBCF ovat suunnikkaita. Olkoon suunnikkaiden korkeus, AE = x ja EB= y. Suunnikkaan ala on A = a, joten AAEFD = x AEBCF = y Siis x = y x y = x = y Saadaan ytälöpari () 1 x= y sijoitetaan ytälöön x+ y= 0 y+ y= 0 y+ y= 60 5y = 60 :5 y = 1 () 1 x = 1= 8 Vastaus Osat ovat 8 ja 1.

28 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu Merkitään suorakulmion lävistäjäksi x, jolloin toinen suorakulmion sivu on x. Pytagoraan lauseen mukaan x x + 1 = ( x) = 9x 8x = x = 8 x = 18 x = ± Siis x = 9 x = 18 Vastaus Suorakulmion lävistäjä on Lasketaan kolmiota ympäröivien kuvioiden alat. 4 A1 = = A = = = 40 A on puolisuunnikas, jossa a= 8, b= ja = 1 8+ A = 1 = 66 Aneliö = 1 1 = 144 A = A A + A + A kolmio neliö 1 1 = = 1 Kolmion ala on neliön alasta % = 1 % = 1,875% 1,9% Vastaus Kolmion ala on neliön alasta. 1 1 ja se on 7 1 % 1,9% 8

29 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 51 5 a) Esimerkiksi kaksi tarjotinta sijoitetaan pöydän reunojen suuntaisesti niin, että sivujen summa on 40 cm + 40 cm = 80 cm < 100 cm ja 0 cm + 0 cm = 60 cm < 100 cm. Siis tarjottimet matuvat pöydälle. b) Asetellaan tarjottimet pöydälle niin, että jokainen niistä koskettaa ytä pöydän kärjistä kuvion mukaisesti. Koska 0 cm + 40 cm = 70 cm < 75 cm, niin tarjottimet matuvat pöydälle. c) Yksittäisen tarjottimen pinta-ala on 0 cm 40 cm = 1 00 cm. Neljä tarjotinta tarvitsee pinta-alaa yteensä cm = cm. 5 Vinoneliön eli neljäkkään lävistäjät ovat kotisuorassa toisiaan vastaan ja puolittavat toisensa. Tällöin syntyy neljä samanlaista suorakulmaista kolmiota. Siis A neljäkäs Vastaus Vinoneliön ala on 80. = 4 Akolmio a = 4 a= 10, = = 4 = 80 Koska pöydän pinta-ala on vain 68 cm = 4 64 cm < cm, niin tarjottimet eivät madu pöydälle. Vastaus a) kyllä b) kyllä c) ei

30 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 5 54 a) Säleikössä on neljäkkäitä 1 pystysuunnassa 5 kpl ja vaakasuunnassa 10 kpl. Neljäkkäiden lävistäjät ovat b) Säleikön leveys on 00 cm ja vaakasuunnassa on 10 neljäkästä, joten neljäkkään vaakasuora lävistäjä on 0 cm. Kuviossa on yksikkönä cm. Neljäkkään lävistäjät puolittavat toisensa. Siis a = 15( cm). 165 cm = 0 cm 5,5 00 cm = 0 cm 10 Neljäkkään lävistäjät ovat kotisuorassa toisiaan vastaan, joten x x = = 5 x = ( ± ) 5 x = 18, ( cm) Pytagoraan lauseen mukaan a b a + = 5 = b = 5 b = 5 5 b = 100 b = ± 10 ( cm) Pystysuunnassa on korkeus on Vastaus 1 5 neljäkästä, joten säleikön 1 5 b= 11b= = 110 ( cm) a) Neljäkkään sivun pituus on 18 cm. b) Säleikön korkeus on 110 cm.

31 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 5 55 Neljäkkään lävistäjät puolittavat toisensa ja ovat kotisuorassa toisiaan vastaan. Siis BE = ED ja AE BD, joten AE on tasakylkisen kolmion ABD mediaani, keskinormaali ja uippukulman A puolittaja. Vastaavasti CE on kulman C puolittaja ja BD on kulmien B ja D puolittaja. 80 Olkoon A = 80. Tällöin α = α' = = 40 Merkitään B = β + β ', missä β = β '. Kolmion kulmien summa on180, joten α + β + 90 = 180 α = β + 90 = 180 β = β = 50 β ' = 50 Koska C = A, jakautuu se kateen 40 kulmaan. Koska D= B, jakautuu se kateen 50 kulmaan. Vastaus Toinen pari vastakkaisia kulmia jakautuu kateen 40 kulmaan ja toinen pari kateen 50 kulmaan. 56 a) Koska kolmio ABD on tasasivuinen, on neljäkkään korkeus a = a= 6 6 = = Neljäkkään ala on A= a a= 6, = A = 6 = 18 b) Neljäkkään lävistäjät puolittavat toisensa. Merkitään AE = EC = x BE = ED=

32 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 54 Neljäkkään lävistäjät ovat kotisuorassa toisiaan vastaan, joten Toisaalta Siis A neljäkäs = 4 A x = 4 = 6x A neljäkäs = 18 kolmio 6x = 18 :6 x = Pidempi lävistäjä on AC = x = 6 Vastaus a) Neljäkkään ala on 18. b) Pitempi lävistäjä on Puolisuunnikkaan ala on x Kuviossa on yksikkönä metri a+ b a= 40, b= x, = x, A= A = x 148 = x ( 40 + x) x= x 964 = 0 40 ± ( 964) x = 1 40 ± 1456 = 40 ± 116 = x= = 78, ei kelpaa ( x> 0) x = = 8, kelpaa Vastaus Lyyempi ydensuuntaisista sivuista on 8 m.

33 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu Alkuperäisen suunnikkaan ala on A= a a= 8, = 5 A = 85 = Oletus: AB DC Uuden suunnikkaan kanta pienenee 75%, 1 kanta a = 8 = 1 4 jäljellä 5% eli 4 korkeus p = korkeus suurenee p% ala p A = p = Siis p = :10 p 1+ = p = 100 p = 00 Väite: Ala on a+ b A = Todistus: Jaetaan puolisuunnikas kateen kolmioon ydistämällä kaksi vastakkaista kärkeä (esimerkiksi A ja C). Tällöin puolisuunnikkaan ala on ytä suuri kuin kolmioiden ABC ja ACD alojen summa eli a b a + b ( a + b) a + b A = + = = = Siis väite on tosi. Vastaus Korkeus suurenee 00%.

34 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu Kolmion ABO uippukulma on 60 β = = 60 6 Kolmion kulmien summa on180, joten α + α + β = 180 α = 180 β β = 60 α = 10 α = 60 Näin ollen kolmio ABO on tasasivuinen, joten x = AB = 4. Koska piiri on 4 ja kuusikulmio on säännöllinen, niin sivu on =. Siis AB = 4. Kuusikulmion kulmien summa on ( n ) 180 n= 6 = ( 6 ) 180 = 70 Säännöllisen kuusikulmion yksi kulma on 70 6 =10 Säännöllisen monikulmion keskipiste on ytä kaukana jokaisesta kärjestä, joten ABO on tasakylkinen. Merkitään kantakulmia α : lla. Vastaus Kuusikulmion kulma on 10. Keskipisteen etäisyys kärjestä on 4. Huomautus Koska säännöllisen kuusikulmion ympäri piirretyn ympyrän säde on ytä pitkä kuin kuusikulmion sivu, voidaan säännöllinen kuusikulmio piirtää seuraavalla tavalla: Piirretään ensin ympyrä. Valitaan keältä mielivaltainen piste. Erotetaan keältä tästä pisteestä lätien peräkkäin säteen pituisia jänteitä. Nämä jänteet muodostavat säännöllisen kuusikulmion.

35 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu Monikulmion kulmien summa on ( n ) 180 Olkoon α monikulmion kulma. a) n = 8 8 α = ( 8 ) 180 8α = α = = 15 8 b) n = α = ( 16 ) α = α = = 157, Sisään piirretyn ympyrän säde on a r = = 4 a= 8 Monikulmion lävistäjien lukumäärä on 8 ( 8 ) a) = 45 = 0 b) Vastaus 16 ( 16 ) = 81 = 104 a) 15 ; 0 lävistäjää b) 157,5 ; 104 lävistäjää nn. Ympäri piirretyn ympyrän säde olkoon R. Pytagoraan lauseen mukaan R = R R = = 16 R = ± 16 R = 4 Vastaus Säteet ovat 4 ja 4.

36 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 58 6 Vastaus Ala on 7. Neliön lävistäjät ovat kotisuorassa toisiaan vastaan, joten ACO on suorakulmainen kolmio. Lisäksi AO= CO= 6. Pytagoraan lauseen mukaan a a a = = = 7 Nelikulmion ala A = a = 7 64 a) Kuusikulmion kulmien summa on ( 6 ) 180 = 70 Siis yksi kulma on =. Lävistäjä AB puolittaa kulmat A ja B. Puolisuunnikkaan kulmat ovat A= B= 60 C = D= 10 b) Kolmio AOD on tasasivuinen, joten korkeusjana puolittaa kannan. Pytagoraan lauseen mukaan 5 + = 10 = = 75 = ± 75 = 5 = 5 Vastaus a) Puolisuunnikkaan kulmat ovat 60, 60, 10 ja 10. b)puolisuunnikkaan korkeus on 5.

37 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu a) Säännöllisen monikulmion keskipiste on myös sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Säännöllinen viisikulmio voidaan jakaa viideksi samanlaiseksi tasakylkiseksi kolmioksi. Pytagoraan lauseen mukaan r + 6 = 10 r = r = 64 r = ± 8 Siis r = 8. b) Ympäri piirretyn ympyrän säde on R = 10. Ympyrän keän suurin etäisyys sivusta on x= R r R= 10, r = 8 x = 10 8 x = Vastaus a) Sisään piirretyn ympyrän säde on 8. b) Etäisyys on. 66 Merkitään tasasivuisen kolmion sivua kirjaimella a. Pytagoraan lauseen mukaan a + = a a + = a 4 = a 4 a = ± Kolmion ala on a A= A= a = a a = a = 4 4 a = 4 : a = 4 a = ±.

38 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 60 Koska säännöllinen kuusikulmio on symmetrinen, riittää tarkastella ydestä kärkipisteestä piirrettyjä lävistäjiä. 67 Lävistäjien pituudet ovat a ja. Koska a>, niin pisin lävistäjä on a = = 4. Vastaus Kuusikulmion pisimmän lävistäjän pituus on 4. Olkoon neliön sivu a. Kolmiosta ABE saadaan a 1 tanα = =, joten α = 5, ,6. a Kadeksankulmion yksi kulmista on suuruudeltaan β = 180 α = 16, ,9. Säännöllisen 8-kulmion kulmien summa on ( 8 ) 180 = 1080, joten yksi kulma on 1080 = 8 15 Kulma β < 15, joten monikulmio ei ole säännöllinen..

39 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu A A A kuusikulmio tasas.kolmio kuusikulmio = 6 A tasas.kolmio a a = = a a = a = 4 a = 6 4 = a A = A 6 A täti kuusikulmio kolmio Lasketaan kolmion ABF ala. Olkoon säännöllisen kuusikulmion sivu a. Säännöllinen kuusikulmio muodostuu kuudesta tasasivuisesta kolmiosta. Nelikulmio ABCD on neljäkäs, sillä samankotaiset kulmat 1) AB DC ja AD BC ytä suuret ) AB= BC = CD= CA= a Neljäkkään lävistäjät puolittavat toisensa, joten AH on kolmion ABD mediaani. Samoin voidaan osoittaa, että BE on mediaani. Tasasivuisen kolmion ABD korkeusjana DG on samalla myös mediaani.

40 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 6 Siis mediaanilauseen mukaan Kolmion ABF ala on 1 a FG = DG DG = = 1 a = 1 = a 6 A kolmio 1 a a = 6 1 = a 1 Prosentteina A A täti kuusikulmio 100% a = 100% a = 100% 00 = % = 66 % = 66,66...% 66,7% Näin ollen 1 Atäti = a 6 a 1 1 = a a = a Vastaus 66 % 66,7%

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 1 Monikulmiot Ennakkotehtävät 1. a) Taitetaan paperi kuvan mukaisesti lyhyempi sivu pidemmän sivun suuntaisesti. Kulma 45 on puolet suorasta kulmasta. 45 b) Kulma muodostuu a-kohdan taitoksen mukaan. 135

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 7.lk matematiikka Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 15. Kolmio... 4 16. Nelikulmiot... 8 17. Monikulmiot... 12 18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset... 16 19. Pinta aloja

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Valitse Näkymät->Geometria PIIRRETÄÄN KOLMIOITA: suorakulmainen kolmio keksitkö, miten korostat suoraa kulmaa? tasakylkinen kolmio keksitkö,

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2012 helpommat valmennustehtävät ratkaisuja 1 Määritä sellaisen kolmion ala, jonka kaksi kulmaa ovat 60 ja 45 ja jonka pisimmän sivun pituus on 1 Ratkaisu Olkoon

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Kolmion kulmien summa. Maria Sukura

Kolmion kulmien summa. Maria Sukura Kolmion kulmien summa Maria Sukura Oppituntien johdanto Oppilaat kuulevat triangelin äänen. He voivat katsoa sitä ja yrittää nimetä tämän soittimen. Tutkimme, miksi triangelia kutsutaan tällä nimellä,

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

11. Geometria Valikot ja näppäintoiminnot. Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa.

11. Geometria Valikot ja näppäintoiminnot. Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa. 11. Geometria Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa. 11.1 Valikot ja näppäintoiminnot Kun valitset päävalikosta Geometry, näyttö tyhjenee ja näkyviin ilmestyy uusi painikevalikko

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm.

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm. Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 149 901 a on lieriö b ei ole, ojat eivät ole ytenevät c on d ei ole, lieriön määritelmän eto suora liikkuu suuntansa säilyttäen ja alaa louksi lätöaikkaansa käymättä

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi

Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi 2. OSA: GEOMETRIA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Montako tasokuviota voit muodostaa viidestä neliöstä siten, että jokaisen neliön vähintään

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville

Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville Tutki GeoGebralla Näkymät->Geometria a) Kuinka suuria ovat kolmion kulmat, jos sen sivut ovat 5, 7 ja 9. Vihje: Aloita kolmion piirtäminen yhdestä

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 YMPYRÄ POHDITTAVAA 1. Piin likiarvo yhden desimaalin tarkkuudella on 3,1. Lasketaan piin likiarvoja vaihe vaiheelta, kunnes saavutetaan haluttu tarkkuus. 1 π = 4 = 4 1 1 1 π = 4 =,66... 1 3 1 1 1 π =

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 2. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen

7.lk matematiikka. Geometria 2. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 7.lk matematiikka Geometria 2 Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 8. Keskinormaali (kulmaviivaimella tai geometrisesti)... 4 9. Kulman puolittaminen ja siirtäminen geometrisesti...

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja. (Omaan käyttöön muuntanut ja muokannut Jan-Erik Sandelin)

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja. (Omaan käyttöön muuntanut ja muokannut Jan-Erik Sandelin) AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja Marika Toivola Tiina Härkönen (Omaan käyttöön muuntanut ja muokannut Jan-Erik Sandelin) Alkuperäinen sisältö on lisensoitu avoimella

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssillä. 1 Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 AVARUUSGEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. Muovinappulan tilavuus on V = 1 cm cm 4 cm = 8 cm 3 = 8000 mm 3. Tulostus kestää 3 8000 mm 3 800 s 10 mm / s =. Muutetaan aika minuuteiksi ja sekunneiksi. 800 s 13,333...

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että + + 5 + 7 = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on + + 5 + 7 + 9 + + + 5 + 7? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.

Lisätiedot

Avaruusgeometrian kysymyksiä

Avaruusgeometrian kysymyksiä Avaruusgeometrian kysymyksiä Tässä esitettävät tehtävät ja lauseet kattavat asioita, jotka saattavat tulla vastaan mahdollisissa kolmiulotteisen geometrian kilpailukysymyksissä. Lukemista helpottaa, jos

Lisätiedot

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600 Tekijä 3 Geometria 7.10.016 47 Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot