Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli"

Transkriptio

1 Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli : 71,5 Siis 7 71, , 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankotaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat ydensuuntaisia, samankotaiset kulmat ovat ytä suuria eli : 8 1

2 . Merkitään kolmion lyintä sivua kirjaimella. Pisin sivu on siis ja toiseksi pisin sivu + 15 cm. Kolmion piiri on 10 cm eli :5 1 Pisin sivu on siis 1cm 6cm. Toiseksi pisin 15cm 1cm 15cm 6cm. Lyin sivu = 1 cm. Vastaus: 6 cm, 6 cm, 1 cm 4. Suunnikkaan kaden kulman sude on : 5. Merkitään kulmien suuruuksia ja 5. Suunnikkaan kulmien summa on 60 ja vastakkaiset kulmat ovat ytäsuuret, joten saadaan ytälö : ,714...

3 Kulmien suuruudet siis ovat 5 5, , , , Vastaus: Kulmat ovat 51 ja 19 ( kpl kumpaakin). 5. Suorakulmion kulmat ovat kaikki suoria, joten : 4,5 Suorakulmion lävistäjät ovat ytäpitkät. Lisäksi lävistäjät puolittavat toisensa. Tarkastellaan suorakulmiosta tiettyä kotaa, joka on tasakylkinen kolmio. Kolmion kolmas kulma on ristikulmana. Kolmion kulmien summa on 180, joten saadaan ytälö , Vastaus:,5, 45

4 6. Janat B ja DE ovat ydensuuntaisia. D E 7 cm 5 cm C 61, cm B Kolmiot BC ja ECD ovat ydenmuotoiset (kk-lause), koska kulmat C ristikulmina ytäsuuret, kulmat E ja samankotaisina kulmina ytäsuuret. Merkitään pisteen C korkeutta kirjaimella. Ydenmuotoisista kolmioista saadaan vastinsivujen suteena verranto , 18,4 44, : 7 Pöydän korkeus on siis 5 cm + 44, cm = 96, cm 96 cm. Vastaus: 96 cm 4

5 7. Hamotellaan tilannekuva. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 5,0 m ja 4,0 m. Merkitään sisään piirretyn neliön sivua kirjaimella. C 4,0 m E D 5,0 m B Kolmiot BC ja DBE ovat ydenmuotoiset (kk-lause), koska molemmissa 90 kulma, kulma B yteinen. Vastinsivut ovat siis verrannolliset, joten saadaan : 9,..., m Vastaus:, m 5

6 8. Koska D : DC =1 :, niin merkitään sivun D pituutta kirjaimella a. Tällöin sivun DC pituus on a. Janojen B ja DE etäisyys on 18 cm. Merkitään pisteen C etäisyyttä (kolmion DEC korkeus) janasta DE kirjaimella. C a a D 18 cm E 6 cm B Kolmiot BC ja DEC ovat ydenmuotoiset (kk-lause), koska kulmat ja D ovat samankotaisina kulmina ytäsuuret, molemmissa kolmioissa on kulma C. Vastinsivut ovat verrannolliset eli a a a a 4a

7 Kolmion BC korkeus on + 18 cm = 54 cm + 18 cm = 7 cm. Kolmion ala on 6 cm7 cm cm, dm dm 0,m Vastaus: 0, m 9. Kootaan annetut tiedot taulukkoon. Merkitään vaimon pituutta luonnollisessa koossa kirjaimella. Pituus kuvassa (cm) Pituus luonnossa (cm) 8, ,8 Pituudet kuvassa ja luonnossa ovat suoraan verrannolliset (vastinsivujen suteet ovat samat) eli 8,8 7,8 8, ,6 : 8,8 165, (cm) Vastaus: Vaimon todellinen pituus on 166 cm. 7

8 10. Ureilukentän ala kartalla on 0 cm. Olkoon ala luonnossa (todellinen ala). Kartan mittakaava k Pinta-alojen sude on mittakaavan neliö eli la on = cm = 0,8 a. Vastaus: 0,8 a 11. Kaden ydenmuotoisen kuvion mittakaava k. Merkitään 5 pienemmän kuvion alaa 1 ja suuremman ala. Koska pinta-alojen sude on mittakaavan neliö, niin saadaan

9 Pienempi kuvio on suuremmasta kuviosta % Vastaus: 16 % 1. Olkoon esimerkiksi kuvan leveys ennen suurennusta s, jolloin leveys suurennuksen jälkeen on 1,5s. Merkitään kuvan pinta-alaa alussa 1 ja lopussa. Kootaan tiedot taulukkoon. Leveys la s 1 1,5s Valokuvat ovat ydenmuotoisia, joten mittakaavan neliö on pinta-alojen sude eli s 1,5s 1 1,5 1 1, ,

10 Suurennuksen jälkeen kuva on 1,565-kertainen vanaan näden eli sen koko kasvaa 56,5 % 56 %. Vastaus: 56 % 1. Kuvan suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pytagoraan lauseella 9,5 1 5,75 1 cm 5,75 7,1... 9,5 cm Koska >0, niin = 7,1 cm 7, cm. Vastaus: 7, cm 10

11 14. Merkitään suorakulmaisen kolmion toista kateettia kirjaimella. Toinen kateetti on tällöin,0 cm. Hypotenuusan pituus on cm, joten Pytagoraan lauseella saadaan,0,0,0 484,0,0 9, , ,0 ( 6,0) 4 6, ( 475) 6, ,98... tai 6, ,98... Koska > 0, niin = 16,98 cm. Kateetit ovat siis = 16,98 cm 17 cm ja,0 cm = 16,98 cm,0 cm = 1,98 cm 14 cm Vastaus: 17 cm, 14 cm 11

12 15. Hamotellaan kuva. Sisäänkäynnissä on portaikon päälle suunniteltu luiska, jonka pituus on,4 m. Luiskan pää on, m päässä ovesta. Merkitään portaikon korkeutta kirjaimella. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pytagoraan lauseella,4 m, m,,4 0,47 0,47 0, Koska >0, niin = 0,685 m 0,69 m Vastaus: 0,69 m 16. a) Kolmio on suorakulmainen, joten cos 17cm 5 cm 47,

13 b) Kolmio on suorakulmainen, joten 5,4 m sin 5 sin 5 5,4 m :sin5 5,4 m sin 5 9, m 9,4 m Vastaus: a) 47 b) 9,4 m 17. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 1 cm ja 18 cm. Merkitään kolmion kulmia α, ja 90. Hamotellaan kuva kolmiosta. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1 cm α 18 cm tan 1 cm 56, cm β tan 1 cm 18 cm, Suorakulmaisen kolmion kolmas kulma on 90. Vastaus: Suoran kulman lisäksi kulmat 56 ja 4. 1

14 18. Majakan uippu on 15 m korkeudessa. Laivat ovat vastakkaisilla puolilla siten, että toisesta laivasta uippu näkyy 1 kulmassa ja toisesta 8,5 kulmassa. Hamotellaan tilannekuva. 8,5 1 Merkitään toisen laivan etäisyyttä majakasta kirjaimella ja toisen etäisyyttä y. Laivojen välinen etäisyys on tällöin + y. 15 m Muodostuvista suorakulmaisista kolmiosta saadaan y 15m tan 8,5 tan 8,5 15m 15m tan8,5 100,67...m 15m tan1 y y tan1 15 m y 15m tan1 y 70,569...m Etäisyys + y = 100,67 m + 70,569 m = 170,967 m 170 m Vastaus: 170 m 14

15 19. Tasakylkisen kolmion uippukulma on 4 ja korkeus 11 cm. Korkeusjana puolittaa uippukulman ja kannan. Huippukulman puolikas 4 on 1. Merkitään kannan pituutta ja kyljen pituutta y. y 4 11 cm 11 cm 1 y Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tan tan14,5... Koska korkeusjana puolitti kannan, niin koko kannan pituus on siis 4,5...cm 8,445...cm 8,4 cm. Tasakylkisen kolmion kyljen pituus y saadaan myös suorakulmaisesta kolmiosta 11 cos 1 y y cos 1 11 y 11 cos 1 y : cos 1 11,

16 Kyljen pituus on siis y = 11,785 cm 1 cm. Vastaus: Kylkien pituus 1 cm ja kanta 8,4 cm 0. Piirretään mallikuva. Merkitään puun pituutta kirjaimella. 8,5,5 m Tilanteesta muodostuu suorakulmainen kolmio, jossa α = 90-8,5 =81,5. cos81,5 cos81,5,5,5,5 cos81,5 : cos81,5 16, α,5 m Puun pituus on =16,9167 m 17 m. Vastaus 17 m 16

17 1. a) Lasketaan ensi kolmion korkeus. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan,4m,4 5, 5, m 16,5 16,5 4, Koska >0, niin =4,0657 m Kolmion ala on siis,4 m 4, m 6, m 6,9 m b) 85 mm 77 mm 118 α Kuviossa oleva kulma Lasketaan ensin kolmion korkeus. 17

18 Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan sin sin 6 67, Kysytyn kolmion ala on 85 mm 67, mm 889,4... mm 8,894...cm 9cm Vastaus: a) 6,9 m b) 9 cm. Tasasivuisen kolmion korkeus on 1,0 cm. Kaikki kulmat ovat 60. Merkitään kolmion kantaa lausekkeella. Koska korkeusjana puolittaa kannan, on kannan puolikas. 60 1,0 cm Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1,0 tan 60 tan 60 1,0 1,0 tan 60 6, ,0 cm 18

19 Kolmion kanta on siis 6,98...cm 1,856...cm. Kolmion ala on 1,856...cm 1,0 cm 8,184...cm 8,1cm Vastaus: 8,1 cm. Merkitään suorakulmaisen kolmion toista kateettia kirjaimella. Kateettien pituusero on 5,0 cm, joten toinen kateetti on esimerkiksi 5,0 cm. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat samat kuin kolmion kanta ja korkeus. Koska kolmion ala = 8 cm, niin saadaan 8 5,0 8 5,0 8 5,0 76 5,

20 5,0 5,0 5,0 ( 5,0) 4 1( 76) , tai 5,0 9 6, Koska >0, niin = 11,569 cm. Kateetit ovat siis = 11,569 cm 1 cm 5,0 cm = 11, 569 cm 5,0 cm =6,569 cm 6,6 cm. Vastaus: Kateetit ovat 1 cm ja 6,6 cm. 4. Merkitään kolmion kantaa kirjaimella ja korkeutta kirjaimella. Kannan ja korkeuden summa on cm eli + = = 0

21 Koska kolmion ala on 45 cm, niin saadaan ytälö ( 1) ( 90) 1 18 tai 1 5 Kolmion kanta = 5,0 cm tai = 18 cm Vastaus: 5,0 cm tai 18 cm 1

22 5. Merkitään tasakylkisen kolmion korkeutta kirjaimella. Huippukulma on 8 ja kanta 44 cm. 8 Korkeusjana puolittaa uippukulman ja kannan. 8 Huippukulman puolikas on 14ja kannan 44 cm puolikas on cm. Muodostuu suorakulmainen kolmio, josta saadaan 44 cm 14 tan14 tan14 Kolmion pinta-ala on tan14 88,7... cm 44 cm 88,7...cm 1941,...cm 19dm Vastaus: 19 dm

23 6. a) Lasketaan suunnikkaan korkeus muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. Kolmion kulma , dm 15 α 4,9 dm Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan sin 45,,, sin 45,67... Nelikulmion ala on 4,9dm,67...dm 11,087...dm 11 dm b) Kyseessä on tasakylkinen puolisuunnikas, koska kantakulmat ovat ytäsuuret. Tilanteesta muodostuu suorakulmainen kolmio, josta voidaan laskea puolisuunnikkaan korkeus. 115cm - 8cm 16,5 cm tan65 16,5 16,5 tan6516,55,

24 Puolisuunnikkaan pinta-ala on 5,84...cm 8 cm 115cm 5,84...cm 197cm 485,5...cm 5 dm Vastaus: a) 11 dm b) 5 dm 7. Merkitään suorakulmion (uoneen) leveyttä kirjaimella. Pituus on tällöin 5,0 m. Suorakulmion (uoneen) ala on 84 m eli 5,0 84 5, ,0 5,0 ( 5,0) 4 1( 84) 61 5,0 19 5, tai 5, Koska >0, niin = 1 m 4

25 Tällöin pituus on 5,0 m= 1 m 5,0 m= 7,0 m. Vastaus: Mitat ovat 1 m ja 7,0 m. 8. Hamotellaan puolisuunnikkaan kuva. Merkitään ydensuuntaisista sivuista lyyempää kirjaimella. Erisuuntaisista sivuista toinen on kotisuorassa ydensuuntaisia sivuja vastaan. Tämän sivun pituus on myös (puolisuunnikkaan korkeus). Ydensuuntaisten sivujen pituusero on,0 m, joten toisen pituus on +,0m. Pinta-ala on 16 m, joten saadaan,0 m,0 16,0 4,0 4 0 : 1, ,5 1,5 4 1( 16) 1,5 650,5 1,5 5,5 1 tai 1,5 5,5 1,5 5

26 Koska >0, niin = 1 m. Tällöin toinen ydensuuntainen sivu on +,0 m=15 m. 1 m 1 m 1 m y Merkitään puolisuunnikkaan viimeistä sivua kirjaimella y.,0 m Sivu y saadaan muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta Pytagoraan lauseella y y y 1, ,69... Koska y >0, niin y = 1,69 m 1,4 m. Vastaus: Sivut ovat 1 m, 1 m, 1,4 m ja 15 m. 6

27 9. Sormuksen alkaisija d = 1,8 cm =18 mm, joten sen keän pituus on p d 18 mm 56,548...mm Keälle matuu,0 mm timantteja 56,548...mm,0 mm 8, kappaletta. Vastaus: 8 kpl 0. Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r. Ympyrän ala on 6 cm, joten r r r 6 6 : 6,85... cm Keän pituus p on p,85...cm 1,6...cm 1cm Vastaus: 1 cm 7

28 1. Kolmio on tasasivuinen. Tasasivuisen kolmion sisään piirretty ympyrä sivuaa kolmion sivuja niiden puolessavälissä. Kolmion sivun pituus on 1 cm ja kaikki kulmat ovat 60. Kolmion uippukulma on siis myös 60. Korkeusjana puolittaa kannan ja uippukulman. 1cm Kannan puolikas on 6cm ja 60 uippukulman puolikas 0. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 6 cm r 1 cm tan0 r r 6 6tan0, Ympyrän ala on r,464...cm 7,69...cm 8cm Vastaus: 8 cm 8

29 . Olkoon ympyrän säde r, jolloin sen ala = r. Tätä alaa vastaa 60 asteen keskuskulma. Ympyrän sektorin alaa 50 cm vastaa 0 asteen keskuskulma. Keskuskulma ja vastaava sektorin ala ovat suoraan verrannollisia, joten r r r 50 r : ,90... Ympyrän säde r >0, joten r = 0,90 cm 1 cm. Vastaus: 1 cm 9

30 . Koko ympyrän keää p vastaa 60 asteen keskuskulma ja 4, dm sektorin kaaren pituutta vastaa 15 asteen keskuskulma. Kaaren pituus ja kaarta vastaavan sektorin keskuskulman suuruus ovat suoraan verrannolliset p p p 4,dm p 151 dm 100,8 dm 100dm : 15 Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r, jolloin p 100,8 dm r r r : ( ) 100,8 dm 16,04...dm 16dm Vastaus: säde 16 dm, keän pituus 100 dm 0

31 4. Sektorin kaaren pituus on sama kuin ympyrän säde r = 75 cm. Sektorin keskuskulmaa vastaa siis kaari, jonka pituus on 75 cm. 60 asteen keskuskulmaa vastaa koko ympyrän keä p p 75cm 471,...cm Koska keskuskulma ja vastaava kaaren pituus ovat suoraan verrannolliset, niin saadaan , , :471,... 57, Vastaus: Ympyrän säde r = 5 mm. Sektorin keskuskulma on 100. Koska sektorin keskuskulma on alle 180, segmentin ala saadaan väentämällä sektorin alasta keskuskolmion ala mm Sektorin ala sektori , mm 1

32 Keskuskolmio on tasakylkinen. Korkeusjana puolittaa uippukulman (sektorin keskuskulman) ja kannan. Huippukulman puolikas on Lasketaan ensin keskuskolmion korkeus ja kannan puolikas a mm cos cos50 16, mm a a sin a 5sin 50 a 19, mm Keskuskolmion kanta on a, joten ala on kolmio a a 19, mm 16, ,75...mm mm

33 Segmentin ala on segmentti sektori 40 mm kolmio 545,415...mm 7,66...mm 07,75... mm Vastaus: 40 mm 6. Ympyrän säde r = 1 m. Merkitään pisteen P etäisyyttä ympyrän keskipisteestä kirjaimella. Jana puolittaa tangenttikulman. Tangenttikulman puolikas on 5 17,5. P 17,5 1 m Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1 sin17,5 sin17,5 1 : sin17,5 1 4,... m sin17,5 Pisteen P etäisyys keästä on r = 4, m 1 m = 0, m 0 m Vastaus: 0 m

34 7. Hamotellaan tilannekuva. Merkitään läetysalueen ulottuvuutta yteensuuntaan kirjaimella b ja radiomaston korkeutta kirjaimella = 5 m = 0,05 km. Maapallon säde R = 670 km. Merkitään läetysaöueen ulottuvuutta (kaaren pituutta) vastaavan keskuskulman suuruutta α. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 670 km α b 670 km 670 cos 670 0,05 cos 0, , Läetysalue ulottuu kaaren b päään. b 0, km 60 1,116...km 1km Vastaus: 1 km 4

35 8. Hamotellaan tilannekuva. Maapallon säde 670 km. Sukkula on 50 km korkeudella. Merkitään näkyvyysaluetta eli kaaren pituutta b ja tätä vastaavaa keskuskulmaa α. Lasketaan keskuskulman puolikas α muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. 670 km α 50 km b 670 cos cos 670 cos 0, ,57... Koko näkyvyysaluetta vastaava keskuskulma α on koko maapallon keskuskulmasta (60 ) prosentteina 60 18, , % Vastaus 10 % 5

36 9. Hamotellaan tilannekuva. Teatterin alkaisija on 6 m, joten säde 6 m r 1m. Ville seisoo 150 m päässä teatterista Lyin reitti teatterin ympäri koostuu kadesta suorasta ja ympyrän kaaresta b. Kaaren pituuden b laskemiseksi tarvitaan ensin keskuskulmat α ja. b β 1 m α 150 m Ville Suorien osien pituus saadaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta m + 1 m = 181 m m α ,5... m Lasketaan kulman α suuruus muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta. 1 cos 181 cos 0, ,18... Ympyrän keää pitkin kuljettavaa matkaa vastaa keskuskulma , ,7... 6

37 Kaaren b pituus on b 199,7... 1m ,06... m Koko matkan pituus on b 108,06...m 178,5...m 464,711...m 460 m Vastaus: 460 m 40. Piirretään tilannekuva. Pallon alkaisija on 8 cm, joten säde 8cm r 19cm. Hyttysen (pisteen) etäisyys pallon keästä on 5 cm. Hyttynen näkee pallosta kaaren b verran. 19 cm α 5 cm yttynen b 7

38 Lasketaan ensin kaaren puolikasta vastaavan keskuskulman α suuruus muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. 19 cos cos 54 cos 0, ,9... Koko yttysen näkökenttää vastaava keskuskulma on α = 69,9 = 18,79. Näkökentän keskuskulma on koko ympyrän keskuskulmasta (60 ) prosentteina 18, , % Vastaus: 9 % 8

39 41. Merkitään purkin (lieriön) pojaympyrän sädettä. Purkin korkeus on ytä suuri kuin pojan säde eli =. Tilavuus on V p Koska purkkiin matuu 1, dl = 0,1 l kalaa, sen tilavuus V= 0,1 dm = 10 cm. V : 10 10,67... cm Pojan alkaisija on siis r,67...cm 6,755...cm 6,7 cm Vastaus: 6,7 cm 9

40 4. Hamotellaan kuva. Särmiön poja on neliö,jonka sivun pituus on,0 dm. Särmiön korkeus on 5,0 dm. Merkitään pojaneliön lävistäjää ja avaruuslävistäjää l. Pojaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan l 5,0 dm, ,0,0 dm,0 dm 4,4... Koska >0, niin = 4,4 dm. Toisesta muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan l l l l 5,0 4, , Koska l >0, niin l = 6,557 dm 6,6 dm. Vastaus: 6,6 dm 40

41 4. Merkitään jääkuution särmää kirjaimella. Kuutio painaa 16,1 g. Jään tieys on 0,917 kg/l. Koska massa massa tieys, tilavuus. tilavuus tieys Jääkuution tilavuus on siis 16,1g kg 0,917 dm 0,0161k g kg 0,917 dm 0, dm 17,55...cm Jos särmän pituus on, niin kuution tilavuus on eli 17,55...,599...,60 Särmä,60 cm. Vastaus:,60 cm 41

42 44. Hamotellaan kuva. Merkitään kuution sivun pituutta, jolloin lieriön säde on. Kuution ja lieriön korkeudet ovat samat eli. Lieriön tilavuus on V lieriö. Kuution tilavuus on V kuutio 8 Lieriön tilavuus kuution tilavuudesta on V V lieriä lkuutio 8 0, % 8 Vastaus: 79 % 4

43 45. Pojana oleva säännöllinen 8-kulmio voidaan jakaa 8 samanlaiseen, 60 tasakylkiseen kolmioon. Kolmion uippukulma on Säännöllisen 8- kulmion sivun pituus on,4 cm, joka on sama kuin tasakylkisen kolmion kanta. Kolmion korkeusjana puolittaa kannan ja uippukulman. Kannan puolikas on,4 cm 1,7 cm ja uippukulman puolikas on 45,5.,5,5 1,7 cm 1,7 cm Merkitään kolmion korkeutta. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tan,5 1,7cm 1,7cm tan,5 4,104...cm Kolmion ala on,4cm 4,104...cm kolmio 6, cm. Pojan ala on tällöin 8 kolmio 8 6, cm 55, cm 4

44 Koska vaippa muodostuu kadeksasta suorakulmiosta, joiden kanta on,4 cm ja korkeus 10, cm, on kokonaispinta-ala koko poja 55, cm 89,07...cm 90cm 8 suorakulmio 8,4 cm 10, cm Vastaus: 90 cm 46. Ympyräkartion korkeus = 1 dm Pojaympyrän alkaisija on 8,0 dm, joten säde 8,0dm r 4,0dm. s Tilavuus on r V 4,0dm 1 dm 01,06...dm 00 dm r Vaipan alan laskemiseksi tarvitaan sivujanan s pituus. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan s s s s r ,64... dm 44

45 Vaipan ala on v rs 4,0 dm 1,64...dm 158,95..dm 160dm Vastaus: Tilavuus on 00 dm ja vaipan ala 160 dm. 47. Kartion poja on säännöllinen viisikulmio, jonka sivun pituus on 4,1 m. Korkeus = 6,4 m. Hamotellaan kuva kartiosta. Vaipan pinta-alaa varten tarvitaan sivutakoina olevien tasakylkisten kolmioiden korkeus. Merkitään tätä kirjaimella s. Merkitään pyramidin sisälle muodostuvan suorakulmaisen kolmion toista kateettia kirjaimella. 4,1 m s Poja voidaan jakaa viideksi keskenään samanlaiseksi kolmioksi. Tällöin jokaisen 60 kolmion uippukulma on 7. 5 Kolmion korkeusjana puolittaa uippukulman ja kannan. Huippukulman puolikas on 7 6. α 4,1 m : =,05 m 45

46 Ratkaistaan ensin kateetin pituus. Pojalle muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tan 6 tan 6,05,05,05 tan 6 : tan 6,81... m Sivutakon korkeus s saadaan Pytagoraan lauseella toisesta suorakulmaisesta kolmiosta s s s s 6,4, , , , m Sivutakokolmion ala on k 4,1m 6,994...m 14,8... m Pyramidin vaippa koostuu viidestä kolmiosta, joten ala on v 5 k 514,8...m 71,69... m 7 m Vastaus: 7 m 46

47 48. Ympyrän säde r = 5,4 dm. Sektorin keskuskulma on 170. Lasketaan ensin sektorin kaaren pituus eli ympyräkartion pojan keän pituus. b 170 5,4 dm 60 16,01...dm Merkitään pojaympyrän sädettä kirjaimella. Tällöin π 16, , π, 55 (dm) :( π) Kartion sivujana ja alkuperäisen ympyräsektorin säde ovat ytä suuret. Kartion korkeus saadaan kartion sisälle muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta Pytagoraan lauseella. 5,4 dm,55 5,4,55 dm 5,4,55,6575,6575 4, dm Koska >0, niin = 4,759 dm. Kartion tilavuus on V r,55 dm 4,759...dm,41...dm dm Vastaus: dm 47

48 6,1cm 49. Samppanjalasin suuaukon säde r,05cm. Lasin tilavuus on 1 cl. Muutetaan tilavuus kuutiosenttimetreiksi. 1 cl = 1, dl = 0,1 l = 0,1 dm = 10 cm Lasi on ympyräpojainen kartio, jonka tilavuus on siis 10 cm. Saadaan ytälö r,05,05 V : 60,05 1,18...,05 cm Koko lasin korkeus on siis 1,18 cm + 6,8 cm = 19,111 cm 19 cm Vastaus: 19 cm 48

49 50. Ympyräkartion pojan alkaisijan ja korkeuden sude on :. Merkitään kartion pojan alkaisijaa merkinnällä a. Kartion korkeus on tällöin a. Pojan säde r = a a Kartion vaipan alaa varten tarvitaan sivujanan s pituus. a s Kartion tilavuus on a V r a a a Koska tilavuus on 100 cm, saadaan ytälö a a a a a 100 : , ,55... cm 49

50 Kartion sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pytagoraan lauseella sivujanan s pituus. s s s a a 10a a 9a a s s 10a a s 10 7,55... s s 56,44..., Koska s >0, niin s =,944 cm. Vaipan ala on v rs 7,55... cm,944...cm 5,00...cm 50 cm Vastaus: 50 cm 50

51 51. Rantapallon tilavuus on,0 l =,0 dm. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r. Saadaan ytälö 4 r r V,0 dm 4 99,0 :4 r,0 99,0 4 r 99,0 1, Pallon säde on siis r= 1,9897 dm. Muovin menekki riippuu pallon alasta. Pallon ala on 1, dm 49,758...dm 49,8 dm 4r 4 Muovia siis tarvitaan 49,8 dm. Vastaus: 49,8 dm 51

52 5. Kuution sisällä on suurin madollinen pallo Merkitään kuution sivua kirjaimella, joten pallon säde r r Kuution ja pallon pinta-alat ovat kuutio 6 pallo Pallon alan sude kuution pinta-alaan on pallo kuutio 6 0,5 6 Vastaus: 5 6 0, 5

53 5. Valaisimen sisäsäde on 16 cm ja ulkosäde on siis 16 cm + 0, cm =16, cm Valaisimen tilavuus on,0 mm 16 cm V valaisin V ulko V sisä 16, cm 4 16cm ,58 cm cm 651, cm 0, dm Lasin tieys on,5 kg/dm, joten valaisin painaa siis kg,5 0, dm 1,686...kg 1,6kg dm Vastaus: 1,6 kg 5

54 54. Maapallon säde on 670 km. Kysytty etäisyys on kuvaan muodostuneen sektorin (keskuskulma,5 +,5 =47 ) kaaren pituus b. Kravun kääntöpiiri b 670 km,5,5 b km 60 55,4...km 50 km Kauriin kääntöpiiri Vastaus: 50 km 55. Lasketaan kannateltavan aineksen tilavuus. Tanko on ympyrälieriö, jonka pituus on 1,5 m=150 cm ja alkaisija 1,9 1,9cm cm. Tangon säde on 0,95 cm. Tangon tilavuus on siis tanko 0,95cm 150cm 45,9... cm V. Tangon päissä olevien pallojen säde on 14 cm, joten pallojen tilavuus on V pallot 14 cm 4 988,08... cm 54

55 Yteistilavuus on siis V V tanko V pallot 45,9...cm 41,7...cm,417...dm 988,08...cm Metallin tieys on 7,8 kg/dm, joten tanko painaa kg,417...dm 7,8 dm 18,64...kg 180kg Vastaus: 180 kg 56. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r. Tällöin lieriön pojan alkaisija on r eli pallon alkaisija. Lieriön pojaympyrän säde ja pallon säde ovat siis r. Lieriön korkeus = r. Pallo siis juuri matuu lieriöön. Lieriön tilavuus on r r V lieriö poja r r r r 55

56 56 Pallon tilavuus on 4 pallo r V. Pallon tilavuuden sude lieriön tilavuuteen on lieriö pallo r r r r V V Vastaus:

57 Harjoituskoe 1 1. a) Kulma β ja 80 :een kulma ovat samankotaisia kulmia. Koska suorat l ja m ovat ydensuuntaisia, β = 80. Kolmion kulmien summa on 180. Kulmat α ja γ ovat vieruskulmia b) Kulma γ ja 0 :een kulma ovat samankotaisia kulmia. Koska suorat l ja m ovat ydensuuntaisia, γ = 0. Kulmat γ ja α muodostavat ydessä 90 :een kulman Kulmat α ja β ovat samankotaisia kulmia. Koska suorat l ja m ovat ydensuuntaisia, β = 70. Vastaus: a) α = 115, β = 80 b) α = 70, β = 70

58 Harjoituskokeiden ratkaisut. a) Merkitään lyintä matkaa rannalta saareen kirjaimella : 40 m 0 m 100 m 650 m 0 m b) Saaren säteen pituus on 10 m Reijon kodin etäisyys saaren keskipisteestä on 10 m + 40 m + 50 m = 100 m. r. r 10 m 40 m 50 m Merkitään kysytyn kulman puolikasta kirjaimella α. 10 m Reijo 10 sin 0, ,79... α 100 m Tangenttikulma on 11,

59 Harjoituskokeiden ratkaisut c) Kun sataa 8 mm, veden pinta järvessä nousee siis =8 mm = 0,8 cm = 0,08 dm = 0,008 m. Järven pinta-ala on suorakulmion ala, josta on poistettu saaren pinta-ala eli ympyrän ala. Suorakulmion ala on suorakulmio 650m 100 m 65000m Ympyrän ala ympyrä Järven pinta-ala on siis r 10 m 14,15... m suorakulmio ympyrä m 14,15... m 64685,84... m Tilavuus kasvaa siis V 64685,84...m 0,008 m 517,486...m 50 m Muutetaan tilavuus litroiksi. 50 m = dm = l Vastaus: a) 40 m b) 11 c) l 59

60 Harjoituskokeiden ratkaisut. a) Pizza jaetaan ikävuosien suteessa 15:7. Ympyrän (pizzan) keskuskulma jakautuu siis tässä suteessa. Merkitään Susannan saaman palan keskuskulmaa merkinnällä 15. Lassin palan keskuskulma on tällöin : 16, , , , , b) Säde r = 15 cm Susannan palan reunan pituus on 45, cm 60 64,59...cm 64 cm Vastaus: a) Susanna 45, Lassi 115 b) 64 cm 60

61 Harjoituskokeiden ratkaisut 4. Merkitään laivan etäisyyttä vuoresta alussa kirjaimella ja lopussa kirjaimella y. Hamotellaan tilannekuva. 70 m v u o r i 4 0 y laiva lopussa laiva alussa Etäisyys alussa saadaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. 70 tan 0 tan 0 70 : tan 0 70 tan 0 005, Etäisyys lopussa saadaan toisesta muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. tan 4 70 y y tan 4 70 y 70 y tan 4 y 810,74... m m : tan 4 61

62 Harjoituskokeiden ratkaisut Laivan on kuljettava matka on y. y 005,658...m 1194,911...m 1, km 810,74...m Vastaus: 1, km 5. Vovelikartion korkeus = 1,5 cm ja suuaukon säde 5,0 cm r,5 cm. Merkitään kartion sivujanan pituutta kirjaimella s. s r =,5 cm = 1,5 cm a) Tilavuus on V r,5 81,81... cm cm 1,5 cm 8 cm 8 cm = 0,08 dm = 0,08 l =0,8 dl 6

63 Harjoituskokeiden ratkaisut b) Vaipan alan laskemiseksi tarvitaan kartion sivujanan pituus s. Kartion sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan s s s r 1,5 cm,5 cm 16,5 cm s 16,5 cm s 1,747...cm Koska s > 0, niin s = 1,747 cm. Vaipan ala on rs,5cm 1, cm 100,119...cm 100 cm Vastaus: a) 0,8 dl b) 100 cm 6

64 Harjoituskokeiden ratkaisut 6. Kirjan 1. painoksen tetävänannossa on vireitä. Rakennuksen mittojen esitteessä pitäisi olla 40 mm 5 mm ja rakennuksen pojapinta-alan luonnossa 10 m. a) Rakennus on suorakulmio, jonka mitat esitteessä ovat 40 mm 5 mm. Lasketaan rakennuksen pinta-ala esitteessä. e site 40 mm 5 mm 1000 mm 10cm Muutetaan rakennuksen todellinen pinta-ala samaan yksikköön (cm ). luonto 10 m 1000 dm cm. Merkitään mittakaavaa kirjaimella k. Pinta-alojen sude on ytä suuri kuin mittakaavan neliö eli k k k k k esite luonto 10 cm cm ,01 1 Koska mittakaava on positiivinen luku, k = 0,01 = = 1 :

65 Harjoituskokeiden ratkaisut b) Mitat luonnossa ovat 40 mm 100 = 4000 mm = 4,0 m 5 mm 100 = 500 mm =,5 m Vastaus: a) Mittakaava on 1 : 100 b) Mitat ovat 4,0 m,5 m. 7. a) Merkitään suoraa matkaa kirjaimella. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan koulu 1 1 km 5 5,6... km koti Koska >0, niin =,6 km, km. Suoraan metsän läpi kulkeva matka on, km. b) Pidempi matka s = km+ 1 km = km. ikaa matkaan kuluu t = 0 min = 0,5. Nopeus v t s km 0,5 km 6 65

66 Harjoituskokeiden ratkaisut Polkua pitkin (metsän poikki, samalla nopeudella) aikaa kuluu t v s,6...km km 6 0,76...km,6...min min Vastaus: a), km b) min 8. Piirretään tilannekuva. Maapallon säde on 670 km. Merkitään satelliitin etäisyyttä maanpinnasta kirjaimella, ja etäisyyttä maan keskipisteestä kirjaimella y. satelliitti 86 Maapallo näkyy 86 kulmassa (tangenttikulma). Merkitään tangenttikulman puolikasta α y 670 km 670 km Ratkaistaan etäisyys y muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. sin y y y sin : sin y sin 4 y 940,19... km 670 α y 66

67 Harjoituskokeiden ratkaisut Satelliitin etäisyys maanpinnasta on y 670 km 940,19... km 670 km 970,19... km 970 km b) Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella b. Ratkaistaan ensin kaarta b vastaava keskuskulma. Koska kolmion kulmien summa on 180, saadaan ytälö satelliitti 4 b 670 km Kaaren b pituus on siis b ,4...km 50 km km Vastaus: a) 970 km b) 50 km 67

68 Harjoituskokeiden ratkaisut Harjoituskoe 1. a) Kolmio on suorakulmainen, joten sin0 6,5 cm 6,5 cm sin0,5 cm, cm b) Sisäkkäin olevat kolmiot ovat ydenmuotoisia (kk-lause): yksi yteinen kulma ja samankotaiset kulmat, jotka ovat kuvaan merkittynä, ovat ytä suuret. Ydenmuotoisuuden nojalla saadaan siis vastinsivujen suteena 5,0 10,0,0 7,0 10,0 7, , cm Vastaus: a), cm b) 1 cm 68

69 Harjoituskokeiden ratkaisut. a) Koska mittakaava on 1:50000, on kartalla,8 cm pituus luonnossa 50000,8 cm cm 1,4 km b) Suon pinta-ala kartalla on 1,0 cm. Olkoon suon ala luonnossa. Koska ydenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen sude on mittakaavan neliö, saadaan 1,0 1, cm la on siis luonnossa cm = 5 a.. Hamotellaan tilannekuva. torni ikkuna 6, 1, 8,0 m y Merkitään tornin etäisyyttä ikkunasta kirjaimella y ja tornin korkeutta ikkunan tasosta yläreunaan kirjaimella. 69

70 Harjoituskokeiden ratkaisut Muodostuvista suorakulmaisista kolmioista saadaan tan1, 8,0 y y 8,0 tan1, 7,96... tan6, 7, ,96... tan6, 18, Tornin korkeus on siis 8,0 m 18, m 8,0 m 6, m 6,9 m Vastaus: 6,9 m 70

71 Harjoituskokeiden ratkaisut 4. Hamotellaan tilannekuva. Tuulilasin pyykimen leveys on 50 mm 100 mm = 50 mmm. 50 mm 100 mm Tummennettu ala on yden pyykijän pudistama ala. 15 iso sektori cm 16,6... cm pieni sektori cm 109,08... cm Kysytty ala on tällöin iso sektori pieni sektori 16,6...cm 17,184...cm 1dm 109,08...cm Vastaus: 1 dm 71

72 Harjoituskokeiden ratkaisut 5. Maapallon säde on 670 km. Merkitään kysyttyä satelliitin korkeutta kirjaimella. Helsingin ja Lontoon etäisyys 1900 km, on kuvaan merkitty kaaren pituus. 670 km α Tätä kaaren pitutta vastaa ympyrän keskuskulma km Keskuskulma ja vastaava kaaren pituus ovat suoraan verrannollisia suureita. Koska 60 astetta vastaa koko ympyrän keän pituus, niin verrannolla saadaan , Kuvaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan cos17, cos17, cos17, , Satelliitin on oltava 90 km korkeudessa. Vastaus 90 km 7

73 Harjoituskokeiden ratkaisut 100 cm 6. Puolipallon alkaisija on 100 cm, joten säde r 50 cm. Puolipallon tilavuus on V cm 61,79...dm Jos virtausnopeus on l 0,5 s dm 0,5 s, padan täyttymiseen kuluu 61,79...dm dm 0,5 s 747,99...s 1,5 min 1 min 8 s Vastaus: 1,5 min 7. Hamotellaan tilannekuva. Teltta on neliöpojainen pyramidi, jonka pojan sivun pituus on, m ja sivusärman pituus,7 m. Pyramidin sivutako on siis tasakylkinen kolmio, jonka korkeus olkoon. Merkitään pyramidin eli teltan korkeutta kirjaimella.,7 m, m 1,6 m 7

74 Harjoituskokeiden ratkaisut Pyramidin sivutakoon muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1,6,7 4,7 4,7, Koska >0, niin =,174 m. Pyramidin sisälle muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1,6 1,6,174...,17,17 1,47... Koska >0, niin = 1,47 m Pyramidin (teltan) tilavuus on V poja, m 1,47...m 5,08...m 5,0 m Vastaus: 5,0 m 74

75 Harjoituskokeiden ratkaisut Harjoituskoe 1. a) Kartan mittakaava on 1 : Lenkin pituus kartalla oli 8 cm. Merkitään lenkin pituutta luonnossa kirjaimella. Kootaan annetut tiedot taulukkoon. Pituus kartalla (cm) Pituus luonnossa (cm) Ydenmuotoisuuden perusteella pituudet ovat suoraan verrannollisia (vastinosien sude on sama kuin mittakaava) eli = cm = m = 14 km b) Hiitonopeus oli v km 5,0, joten aika t v s 14 km 5km/,8 48 min Vastaus: a) 14 km b) 48 min 75

76 Harjoituskokeiden ratkaisut. a) Merkitään tasakylkisen kolmion korkeutta kirjaimella. Korkeusjana puolittaa kannan. 6,0 m Kanna puolikas on,0 m. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 5,0 m 5,0 m 6,0 m Koska >0, niin = 4 m Kolmion ala on 6,0 m 4,0 m 1,0 m. b) Merkitään puolisuunnikkaan korkeutta kirjaimella. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta voidaan laskea korkeus. sin 5 6,4 6,4 6,4 sin 5 5, ,4 cm 5 1, cm 16,7 cm 76

77 Harjoituskokeiden ratkaisut Puolisuunnikkaan ala on 16,7 cm 1,cm 5,04...cm 7,17...cm 7 cm Vastaus: a) 1 m b) 7 cm. Ympyrän muotoisen piirakan alkaisija on,8 cm, joten säde,8 cm r 11,4 cm. a) Piirakan ala on r 11,4 cm 408,8...cm 408cm b) Palan keskuskulma on 15, joten palan pinta-ala (sektorin ala) on ,4cm 17, cm. 60 Taikinareunan leveys on 1,8 cm, joten marjaosan säde r = 11,4 cm 1,8 cm = 9,6 cm. Marjaosan pinta-ala on siis 15 9,6cm 1,06... cm

78 Harjoituskokeiden ratkaisut Marjaosan osuus prosentteina koko palan alasta on 1 1, , , % Vastaus: a) 408 cm b) 71% 4. a) Hamotellaan tilannekuva. Merkitään lipputangon pituutta kirjaimella. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 55 tan 55 7,0 7,0 tan 55 9, (m) 7,0 7,0 m 78

79 Harjoituskokeiden ratkaisut b) Suorakulmion sivujen pituuksien sude on 1 :. Merkitään lyyempää sivua kirjaimella. Pidempi sivu on tällöin. Koska suorakulmion piiri on 5 cm, saadaan ytälö : 8,15 Lyyempi sivu on siis =,15 cm,1 cm, joten pidempi sivu on,15cm 9,75cm 9,4 cm. Vastaus: a) 10 m b),1 cm ja 9,4 cm 79

80 Harjoituskokeiden ratkaisut 5. Merkitään kolmion ypotenuusaa kirjaimella y ja pidempää kateettia kirjaimella. Lyyempi kateetti on tällöin 6,5 cm. 6,5 cm y Koska kolmion pinta-ala on 55,8 cm, niin saadaan 6,5 55,8 6,5 111,6 6,5 111,6 0 6,5 6, ,6 1 6,5 488,65 14,0... tai 10,79... Koska sivunpituus > 0, niin = 14,0 cm 14 cm. Toinen kateetti on tällöin 6,5 cm = 14,0 cm 6,5 cm =7,80 cm 7,8 cm. 80

81 Harjoituskokeiden ratkaisut Hypotenuusa saadaan Pytagoraan lauseella y 14,0... 7,80... y 14,0... 7,80... y y 65,45 16,9... Koska y >0, niin y = 16,9 cm 16 cm. Vastaus: Kateetit ovat 14 cm, 7,8 cm ja ypotenuusa 16 cm. 6. Piirretään mallikuva. Maapallon säde on 670 km. Lentäjä näkee lentokoneesta kaaren b. Lasketaan ensin kaarta b vastaava keskuskulma α. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 670 km α b 10,5 km cos ,5 670 cos 680,5,

82 Harjoituskokeiden ratkaisut Kaaren b pituus on,87... b 670 km 10,57... km. 60 Kaaren pituuden sude koko maapallon keään on 10,57...km 670 km 0, ,91% Vastaus: 0,91 % 7. Piirretään mallikuva. Lauran pituus on 160 cm = 1,6 m. Merkitään kysyttyä etäisyyttä puun juurelta lintutornille kirjaimella. C E Laura 160 cm B 1,9 m D 5,5 m 8,0 m Kolmiot BC ja DE ydenmuotoiset (kk-lause), koska kummassakin suora kulma ja kulma on yteinen. 8

83 Harjoituskokeiden ratkaisut Ydenmuotoisissa kuvioissa vastinosat ovat verrannolliset, joten 1,9 1,6 5,5 1,6 1,,9 1, 8 467,4 1, 1, ,9 908, 440,8 5,87... Etäisyys = 5,87 m 5,8 m. Vastaus: 5,8 m 8. Merkitään pyramidin pojaneliön sivua kirjaimella. Pyramidin korkeus = 4,5 cm. Merkitään sivutakon (kolmion) korkeutta kirjaimella y y 8

84 Harjoituskokeiden ratkaisut a) Lasketaan pojaneliön sivun pituus. Lävistäjä on,0 cm, joten Pytagoraan lauseella saadaan,0 4,0 :,0 cm,0,0 1, Koska >0, niin = 1,414 cm. Tilavuus on V ,414...cm 4,5cm cm a) Pojan pinta-ala 1, cm,0 cm. poja Pyramidin sivutakot (4kpl) ovat tasakylkisiä kolmioita. y 84

85 Harjoituskokeiden ratkaisut Lasketaan sivutakokolmion korkeus y kartion sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. Pytagoraan lauseella saadaan y y 4,5 0,75 y 4,55... Koska y >0, niin y = 4,55 cm. 1, y Yden sivutakokolmion ala 1,414...cm 4,55...cm,1...cm. y Kartion kokonaispinta-ala koko poja cm 14,884...cm 15cm 4 4,1...cm Vastaus: a),0 cm b) 15 cm 85

86 Harjoituskokeiden ratkaisut 9. Koska lieriön poikkileikkaus (pystysuunnassa) on neliö, ovat pojan alkaisija ja lieriön korkeus ytä suuret. Merkitään pojan alkaisijaa ja korkeutta r, joten lieriön pojaympyrän säde on r. Lieriön tilavuus on 57,0 l = 57,0 dm, joten saadaan r r r r p r r r r V : 57 57, Pojan säde on r =,085 dm =0,85 dm 0,9 dm. Korkeus on siis r,085...dm 4,171...dm 41,71...cm 41,7 cm Vastaus: pojan säde 0,9 cm, korkeus 41,7 cm 86

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92 MAB Kertaustehtävien ratkaisut 10. a) α = 15 16 1 16 1 15 60 β = 95 58 45 600 15,669 95 58 45 95,979 60 600 b) α = 11,987 0,987 = 0,987 60 = 59, 0, = 0, 60 = 1,9 α = 11 59 1,9 = 11 59 14 β = 95,4998 0,

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm.

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm. Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 149 901 a on lieriö b ei ole, ojat eivät ole ytenevät c on d ei ole, lieriön määritelmän eto suora liikkuu suuntansa säilyttäen ja alaa louksi lätöaikkaansa käymättä

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9] 2016 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 9] Avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille 1 SISÄLLYSLUETTELO 9. KURSSIN SISÄLTÖ... 3 9.0.1 MALLIKOE 1... 4 9.0.2 MALLIKOE 2...

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita MAB: Avaruuskappaleita Aluksi Tässä luvussa emme tyydy enää pelkkään tasoon. Aiheena ovat nyt avaruuskappaleet eli kolmiulotteiset kappaleet. Tarkastelemme lieriötä eli sylinteriä, kartiota, särmiötä,

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 12 3 pistettä 1. Annalla on neliöistä koostuva ruutupaperiarkki. Hän leikkaa paperista ruutujen viivoja pitkin mahdollisimman monta oikeanpuoleisessa kuvassa näkyvää kuviota. Kuinka monta ruutua

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Kuitinmäen koulu Syksy 2006 Avaruusgeometrian soveltavia tehtäviä... 3 1. Päästäänkö uimaan?... 3 2. Mummon kahvipaketti... 3 3. Tiiliseinä... 4 4. SISUSTUSTA... 5 5. Kirkon torni...

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

GEOMETRIAN PERUSTEITA. Maria Lehtonen. Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

GEOMETRIAN PERUSTEITA. Maria Lehtonen. Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO GEOMETRIN PERUSTEIT Maria Lehtonen Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MTEMTIIKN LITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Peruskäsitteitä 3 2.1 Piste, suora ja taso........................ 3 2.2 Etäisyys..............................

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 42. Luvuista keskimmäinen on a) 13 b) 14 c) 15 d) 16. Ratkaisu. Jos luvut

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA Osio 2: pinta-aloja

AVOIN MATEMATIIKKA Osio 2: pinta-aloja Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA Osio : pinta-aloja Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssillä. 1 SI-järjestelmä ja ISO Päivittäiseen elämäämme liittyy paljon mittaamista.

Lisätiedot

GeoGebra. ohjeita ja tehtäviä 2. Pohdin projekti 1

GeoGebra. ohjeita ja tehtäviä 2. Pohdin projekti 1 Pohdin projekti 1 GeoGebra ohjeita ja tehtäviä 2 1 Lukuvuosina 2008-2012 Tampereen normaalikoulun matematiikan opetusharjoittelijat ovat olleet rakentamassa joko Capri-oppaita ja niiden pohjalta nyt käsillä

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 797 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava 24 Ongelmanratkaisu yhtälön avulla Yhtälön

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN TYÖT KONNEVEDEN KENTTÄTYÖJAKSOLLA / KEVÄT 2015

MATEMATIIKAN TYÖT KONNEVEDEN KENTTÄTYÖJAKSOLLA / KEVÄT 2015 MATEMATIIKAN TYÖT KONNEVEDEN KENTTÄTYÖJAKSOLLA / KEVÄT 2015 Tehtäviin sisältyy Merikiikarin avulla suoritettavia mittauksia ja trigonometrian avulla suoritettavia laskutehtäviä. Tarvikkeet: Merikiikarit,

Lisätiedot

Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1

Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Mittakaava Avainsanat: yhdenmuotoisuus, suurennos, pienennös, mittakaava, mittaaminen, pinta-ala, tilavuus, suhde Luokkataso: 3-9 Välineet: kynä,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Copyright Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. Isto Jokinen 2013 SISÄLTÖ. Pinta-alojen laskeminen

Copyright Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. Isto Jokinen 2013 SISÄLTÖ. Pinta-alojen laskeminen Copyright Isto Jokinen 01 MTEMTIIKK Matematiikkaa pintakäsittelijöille POJ. Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ Pinta-alojen laskeminen Tilavuuksien laskeminen Prosenttilaskut Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 1

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 2: Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 2: Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio : Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY.0 -lisenssillä. 1 Osio : Trigonometriaa ja geometrian

Lisätiedot

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita 6

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita 6 MAB: Avaruuskappaleita 6 Aluksi Tässä luvussa emme tyydy enää pelkkään tasoon. Aiheena ovat nyt avaruuskappaleet eli kolmiulotteiset kappaleet. Tarkastelemme lieriötä eli sylinteriä, kartiota, särmiötä,

Lisätiedot

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Ville-Pekka

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

Pienoismallien rakentaminen Linnanmäen laitteista

Pienoismallien rakentaminen Linnanmäen laitteista Pienoismallien rakentaminen Linnanmäen laitteista Suunnittelu ja ohjeet: Hannele Ikäheimo ja Leena Kokko Valokuvat: Leena Kokko Pienoismallien rakentaminen Linnanmäen laitteista Suunnittelu ja ohjeet:

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 8 lk. Osio 3: Tasogeometriaa

AVOIN MATEMATIIKKA 8 lk. Osio 3: Tasogeometriaa Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 8 lk. Osio 3: Tasogeometriaa Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssillä. 1 Osio 3: Tasogeometriaa 1. Yhtenevät ja yhdenmuotoiset kuviot...

Lisätiedot

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lyhyt matematiikka, syksy 015 Mallivastaukset, 3.9.015 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja

Lisätiedot

Aluksi. Ympyrästä. Ympyrän osat. MAB2: Ympyrä 4

Aluksi. Ympyrästä. Ympyrän osat. MAB2: Ympyrä 4 MAB: Ympyä 4 Aluksi Tämän luvun aihe on ympyä. Ympyä on yksi geometisista peusmuodoista ja on sinulle ennestään hyvinkin tuttu. Mutta oletko tullut ajatelleeksi, että ympyää voidaan pitää säännöllisen

Lisätiedot

Matematiikkaa origameilla

Matematiikkaa origameilla Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Pro Gradu Matematiikkaa origameilla Kirjoittaja: Erja Salmela Ohjaajat: Mika Koskenoja dos. Kirsi Peltonen 1. kesäkuuta 2016 HELSINGIN YLIOPISTO

Lisätiedot

Antti Majaniemi GEOMETRIA. geometriaa, trigonometriaa ja vektorilaskentaa ISBN 978-952-93-7040-5

Antti Majaniemi GEOMETRIA. geometriaa, trigonometriaa ja vektorilaskentaa ISBN 978-952-93-7040-5 Antti Majaniemi GEOMETRIA geometriaa, trigonometriaa ja vektorilaskentaa 06 ISBN 978-95-9-7040-5 Tämä teos on lisensoitu Creative Commons Nimeä-EiKaupallinen 40 Kansainvälinen -lisenssillä Tarkastele lisenssiä

Lisätiedot

sanat nimet kätensä toimia toistaa ymmärtänyt

sanat nimet kätensä toimia toistaa ymmärtänyt AISTIVÄLINEET Aistivaikutelmat, joita lapsi saa, ja joita hän on jo koko olemassaolonsa aikana varastoinut, eivät pelkästään riitä, kun lapsi on rakentamassa älyään. Ne ovat tiedostamattomia, eikä lapsi

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 20 12 11 21. Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut a) 31 b) 0 c) 9 d) 31 Ratkaisu. Suoralla laskulla 20 12 11 21 = 240 231 = 9. (2) Kahden peräkkäisen

Lisätiedot

Kenguru 2015 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2015 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Mikä neljästä numeroidusta kuviosta jatkaa alkuperäistä kuviosarjaa? Perustele lyhyesti

Mikä neljästä numeroidusta kuviosta jatkaa alkuperäistä kuviosarjaa? Perustele lyhyesti Tehtävä 1. Mikä neljästä numeroidusta kuviosta jatkaa alkuperäistä kuviosarjaa? Perustele lyhyesti a) 1 4 b) 1 4 a) - kuvio, annetaan 1,5 p - ympyrä täyttyy neljänneksen kerrallaan, annetaan 1,5 p b) -

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 9 Osio 3: Geometrian tietojen syventämistä

AVOIN MATEMATIIKKA 9 Osio 3: Geometrian tietojen syventämistä Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 9 Osio : Geometrian tietojen syventämistä Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY.0 -lisenssillä. 1 8. Kappaleiden pinta-aloja Kappaleiden kokonaispinta-alassa

Lisätiedot

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5 Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5 3 pisteen tehtävät 1) Mikä on pienin? A) 2 + 0 + 0 + 8 B) 200 : 8 C) 2 0 0 8 D) 200 8 E) 8 + 0 + 0 2 2) Millä voidaan korvata, jotta seuraava yhtälö olisi

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa

Lisätiedot