Kertausta Talousmatematiikan perusteista

Transkriptio

1 Kertausta Talousmatematiikan perusteista Ensimmäinen välikoe

2 luokittelu 1. asteen yhtälö 1. asteen epäyhtälö 2. asteen yhtälö 2. asteen epäyhtälö

3 Prosentti Määritelmä "b on p a a:sta." b = p 100 a p% = b a 100% missä b = arvo p = luku a = perusarvo

4 Prosentti Esimerkki 1 Yritys ostaa 2500kg raaka-ainetta, josta vettä on 12.5%. Raaka-aineeseen lisätään kuivaa ainetta niin, että lisäyksen jälkeen vettä on 10.0% massasta. Miten paljon kuivaa ainetta tulee lisätä? Ratkaisu: käytetään merkintöjä x = lisätyn kuiva-aineen määrää, v = veden määrä alussa. Aluksi veden määrä on 12.5% ja lopuksi 10.0%. Siis v = kg ja v = (2500kg + x) 100

5 Prosentti Esimerkki 1 jatkuu Merkitään lausekkeet yhtäsuuriksi ja ratkaistaan x yhtälöstä kg = (2500kg + x) kg = 2500kg + x kg 2500kg = x x = 625kg

6 t sanoja relaatio, kuvaus ja (injektio, surjektio, bijektio) käänteiskuvaus yhdistetty kuvaus kasvava ja vähenevä (konveksi ja konkaavi ) lineaarinen interpolointi raja-arvo ja jatkuvuus

7 aiheet derivaatan määritelmä erotusosamäärän raja-arvona kaavat (dierentiaali vs. interpolointi) jatkuvan n ääriarvo suljetulla välillä (korkeamman kertaluvun derivaatat) osittais

8 määritelmät R(q) = tuotto ( C MR(q) = dr dq /kk) = rajatuotto ( C C(q) = kustannus ( C MC(q) = dc dq /kk/kpl)) /kk) = rajakustannus ( C /kk/kpl) y :n x:n suhteen = y :n suhteellinen muutos jaettuna x:n suhteellisella muutoksella

9 määritelmät MC = MR kysyntä p = a bq tuotto R = aq bq 2 rajatuotto MR = a 2bq MC(q) = C q ja C(q) = MC(q)dq + FC

10 määritelmät i = (1 + i) = korkotekijä yksinkertainen korkolasku K t = (1 + itk 0 ), 0 < t 1 koronkorko K t = (1 + i) t K 0, t Z jatkuva korkolasku K t = (1 + i) t K 0, t R korkointensiteetti e ρ = 1 + i vuosi K t = e ρt K 0, t R

11 Vuosijakso ja kuukausijakso Vuosijakso ja kuukausijakso (1 + i tod ) = (1 + i kk ) 12 (a) Jos todellinen vuosikorko on 4,5%, niin (1 + i kk ) = 1, 045 1/12 (b) Jos kuukausi on 0, , niin (1 + i tod ) = 1,

12 Diskonttaus Pääoman kasvu K n = (1 + i) n K 0 (a) Prolongoinnissa lasketaan loppupääoma K n = (1 + i) n K 0 (b) Diskonttauksessa lasketaan alkupääoma K 0 = K n (1 + i) n = (1 + i) n K 0 = e ρn K 0

13 määritelmät kuukausi i = (1 + i a ) 1/12 1 kuoletuskerroin c = annuiteetti k = ck 0 i(1+i)n ((1+i) n 1) k = c(h h + m) missä H = käteishinta, h = käsiraha, m = osamaksulisä

14 nykyarvo n k j NNA = k 0 + (1 + i) j j=1 Vakiotulovirta (k j = k, j) NNA = k 0 + a n;i k Äärettömän pitkä vakiotulovirta NNA = k 0 + k i

15 Projektin nykyarvo Projektin nykyarvo (n = projektin kesto, H = perusinvestointi hetkellä 0, JA = jäännösarvo hetkellä n) NNA = H + n j=1 k j (1 + i) j + JA (1 + i) n Jos NNA > 0, niin projekti on kannattava käytetyllä laskentakorolla.

16 Sisäinen Sisäinen i sis on se laskentakorko, jolla NNA = 0. Jos on suurempi kuin tuottovaatimus, niin projekti antaa riittävän hyvän koron siihen sijoitetulle rahalle, ja on siis kannattava. Sisäistä a ei aina ole olemassa. Jos alun negatiivisia nettotuloksia seuraa loppuprojektin positiiviset nettotulokset, niin on olemassa. Sisäinen kuvaa projektin kykyä antaa siihen sijoitetut rahat takaisin korkoineen.