10 Jatkuvan aineen mekaniikkaa (Continuum mechanics)
|
|
- Joel Manninen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 10 Jatkuvan aineen mekaniikkaa (Continuum mechanics) 10.1 Jatkuvan aineen dynamiikka Aineet voidaan jakaa kahteen kategoriaan, kiinteisiin aineisiin sekä fluideihin (nesteet ja kaasut). Kiinteillä aineilla on oma muotonsa. Fluidit voivat virrata paikasta toiseen. Nesteet täyttävät astian pohjasta lähtien. Niiden tilavuus ei juurikaan muutu. Kaasut puolestaan täyttävät koko astian. Ne ovat kokoonpuristettavissa. Aineen tiheys on aineen massa jaettuna sen tilavuudella ja tiheyden yksikkö on kg m 3. ρ = m V Tiheys voi olla myös paikan funktio. Tällöin ρ = ρ(r) = dm dv Tiheyden käänteisarvo on ominaistilavus v = 1 ρ = dv dm joka tarkoittaa aineen tilavuutta yksikkömassaa kohti 10.2 Kiinteän aineen kimmoiset ominaisuudet (Elastic properties of solids) Kiinteiden aineiden muoto tai tilavuus muuttuu, jos siihen vaikuttaa ulkoisia voimia. Voimien loputtua kappale voi palata entiseen muotoonsa ja/tai tilavuuteensa. Pitkittäisjännitys Olkoon meillä L:n pituinen metallilanka tai -tanko, jonka poikkipinta-ala on A. Siihen vaikuttaa voima F (= jännitysvoima). Jos voimaa kasvatetaan F:llä, kasvaa langan pituus L:llä. Tällöin suhteellinen pikittäinen venymä on L/L. Se on verrannolinen jännitykseen, joka on voima pinta-alaa kohti eli F/A. Siten saadaan F A = vakio L L = E L L 1
2 Yleisesti kimmomoduli on jännitys suht. venymä Kerrointa E (jossain myös Y ) sanotaan Youngin moduliksi, missä E = pitkittäinen jännitys suht. pitkittäinen venymä = L df A dl Youngin moduli on mitta sille, kuinka paljon kiinteä aine vastustaa siihen kohdistuvan voiman pyrkimystä muuttaa sen pituutta! Youngin modulin yksikkö on [E] = N/m 2. Tilavuuskimmomoduli (myös Bulk modulus) on vastaavasti. Nesteisiin vaikuttava voima vaikuttaa kaikkiin suuntiin. Vaikuttakoon voiman muutos F siten, että tilavuus V muuttuu V :n verran. Tällöin saadaan F A = vakio V V V = K V Kerrointa K (jossain myös B) sanotaan tilavuuskimmomoduliksi, missä K = tilavuusjännitys suht. tilavuuden muutos = V df A dv Voiman derivaatta tilavuuden suhteen on aina negatiivinen. Positiivinen voiman muutos aiheuttaa negatiivisen tilavuuden muutoksen. K:n käänteislukua sanotaan kokoonpuristuvuudeksi Liukumoduli ( shear modulus) Jos tankoa kierretään siten, että tangon päässä vaikuttaa erisuuntaiset voiman momentit, sovelletaan liukumodulia (jossain puhutaan myös leikkausmodulista). Kierrettäessä tankoavoimaksi pinta-alaa kohti F A = vakio x h = vakio φ Kerrointa G (jossain myös S) sanotaan liukumoduliksi tai leikkausmoduliksi, missä G = liukujännitys suht. liukusiirtymä = 1 df A dφ 2
3 Kaikki suhteelliset venymät ovat dimensiottomia, joten modulien dimensioiksi tulee sama kuin paineen dimensio. Oheissa taulukossa 1 on joidenkin aineiden kimmomodulien arvoja, ihan vaan näytiksi. Taulukko 1: Kimmomodulien arvoja Aine Youngin moduli tilav. kimmomod. liukumoduli N m 2 N m 2 N m 2 alumiini 7, , , kupari 1, , , kulta 7, , , vesi elohopea Esimerkki Tarkastellaan sylinterimäisen tangon torsiota. Otetaan sylinterissä elementiksi rengas, jonka säde on r ja paksuus dr. Vaikuttakoon tähän elementtiin vääntävä voima df, joka aiheuttaa voiman momentin dt sylinterin keskipisteen suhteen eli dt = (df) r Liukusiirtymäksi tulkoon s sylinterin pituudella l eli φ = s l missä φ on sylinterin kiertymäkulma. Kiertyvä pinta-ala on da = (2πr)(dr), joten df da = df (2πr)(dr) = Gφ = Gs l Koska kaaren pituus on s = rθ, saadaan df = G r l (2πr)(dr)θ Voiman momentti on dt = rdf = 2πG θr 3 dr l Integroidaan tangon säteen yli ( r = 0 a), jolloin saadaan T 0 dt = a 0 3 2πG θr 3 dr l
4 missä torsiovakio T = 2πG a θ r 3 dr l 0 T = πga4 θ = cθ 2l c = πga4 2l Mm. magnetometreissä on käytetty torsiolankaa, samoin erilaisissa herkissä mittalaitteissa kuten torsiovaa assa Levossa olevat fluidit Nesteessä olevat kuviteltavat kappaleet ovat tasapainossa ulkopuolelta tuleville voimille. Ajatellaan nesteessä olevan nestekuution, jonka tahkon pinta-ala on A. Voimat, jotka vaikuttavat kuutioon, ovat nesteen paino sekä kuhunkin tahkoon vaikuttava voima. Ohueen matalaan sylineriin vaikuttavat voimat ovat vasemmalta F ja oikealta F. Siten paine fluidissa on F P = lim A 0 A Tämä paine aiheuttaa joka paikassa samalla syvyydellä saman voiman yhtä suurta pintaalayksikköä kohti. Voima on aina kohtisuoraan pinta-alaa vastaan! Seurauksia: 1. Upotetaan vaakasuora putkenpätkä fluidiin. Olkoon puken toisessa päässä paine P 1 ja toisessa päässä paine P 2. Jos putken päiden pinta-alat ovat yhtä suuret, on vaakasuora nettovoima P 2 ( A) P 1 ( A) = (P 2 P 1 )( A) Tämän täytyy olla nolla, sillä muuten... Mitä? 2. Fluidin pinta on homogeenisessä gravitaatiokentässä vaakasuora. Siis pystysuora suunta on kohtisuorassa vapaasti olevaa nestepintaa vastaan. 3. Fluidissa oleva paine riippuu syvyydestä. Tarkastelemme sitä seuraavaksi. Olkoon meillä paine P 1 syvyydellä y 1 ja paine P 2 syvyydellä y 2. Jos meillä on pystysuora putki, jonka päät ovat syvyyksillä y 1 ja y 2, on tämänkin tilanteen oltava tasapainossa: P 2 ( A) P 1 ( A) ( M)g = 0 Oletetaan, että neste on homogeenistä eli ρ = vakio. Tällöin M = ρv = ρ( A)(y 2 y 1 ) ja saadaan 4
5 P 2 P 1 = ρg(y 2 y 1 ) Homogeenisessä gravitaatiokentässä olevassa homogeenisessä nesteessä paine kasvaa lineaarisesti syvyyden mukaan. Pascalin periaatteen mukaan paine leviää nesteessä kaikkia pintoja vastaan. Tästä seuraa hydraulisen nosturin periaate, jossa ja tästä saadaan F 1 A 1 = F 2 A 2 F 1 F 2 = A 1 A Fluidien kimmo-ominaisuudet Fluideilla ei ole pitkittäistä eikä liukujännitystä. Sen sijaan niiden tilavuus kimmomoduli on tärkeä. Kaasujen ja nesteiden tilavuuden kimmomoduli K on tai toisella lailla K = F A V V = P V V K = V dp dv = V P V Kimmomoduli kertoo kuinka suuri suhteellinen tilavuuden muutos tapahtuu paineen muutoksessa tai kuinka suuri paineen muutos tarvitaan tietyn suuruiseen suhteelliseen tilavuudenmuutokseen Mekaaninen työ fluidin laajenemisessa Olkoon fluidin tilavuus V. Se laajenee painetta P vastaan tilavuuteen V + V. Mikä työ tällöin tehdään? Jaetaan V pieniin δa:n suuruisiin pinta-alan osasiin. Kukin osa liikkuu matkan δz. Työ on tällöin määritelmänsä mukaisesti pieni työ on δw = (δf)(δz) = (PδA)(δz) = P(δA δz) = P(δV ) Kun tilavuus laajenee V :n verran saadaan 5
6 W = P V Homma voitaisiin tehdä myös siten, että pinta-alaltaan A oleva mäntä liikkuu painetta P vastaan matkan dz. Työ saadaan integroimalla W = W o dw = z o PAdz = PAz = P V 10.5 Kaasun paine Ilmakehä on erilaisten kaasujen sekoitus. Sen paine pienenee ylöspäin mentäessä eli ρ = ρ(y). Pienellä korkeusvälillä tiheys voidaan tulkita vakioksi, jolloin paineen muutokseksi saadaan P = ρ(y)g( y) Ilmanpaine Maan pinnalla P saadaan integroimalla ilmakehän läpi P = P 0 dp = 0 g(y)ρ(y)dy Käytännössä ylärajaksi riittää 100 km. Kunkin kaasukomponentin paine (=osapaine) voidaan laskea myös erikseen. Kokonaispaine saadaan näiden osapaineiden summana. Kokeellisesti ilmanpaine saadaan erilaisilla painemittareilla, esim. elohopeailmapuntarilla. Elohopea tai jokin muu neste nousee ilmanpaineen ansiosta tyhjiöputkessa tietylle korkeudelle H. Tämän korkeuden avulla saadaan ilmanpaine lausekkeesta missä ρ L on käytetyn nesteen tiheys. P a = gρ L H, Paineen SI-yksikkö on [F] = N = Pa = Pascal. Paineella on edelleen kirjava yksikkövalikoima. Älkää menkö niissä [A] m 2 sekaisin! 10.6 Arkhimedeen laki Kaikki fluidiin upotetut kappaleet kokevat nosteen (buoyancy). Olkoon kiinteän kappaleen tilavuus V. Upotetaan se fluidiin. Kappaleen oma paino on alaspäin vaikuttava voima. Ylöspäin vaikuttaa voima, joka on vektorisumma kaikista A:n suuruisiin pinta-aloihin vaikuttavista voimista P A. Jos kappale poistetaan fluidista, korvautuu sen tilavuus fluidin tilavuudella ja fluidi on omassa fluidissaan tasapainossa. 6
7 Arkhimedeen laki: Kun kappale upotetaan fluidiin, se kokee nosteen, joka on yhtä suuri kuin kappaleen syrjäyttämän fluidin paino. Olkoon noste U ja kappaleen paino W. Olkoon kappaleen tiheys ρ k ja fluidin tiheys ρ f sekä kappaleen tilavuus V. Tällöin ylöspäin oleva nettovoima on kun kappale on kokonaan fluidissa. U W = ρ f gv ρ k gv Kappale uppoaa, jos ρ k > ρ f ja kelluu kun ρ k < ρ f. Tarkastele kutakin tilannetta erikseen! 10.7 Fluidien dynamiikka Fluidien dynamiikka yleisesti on varsin monimutkaista. Sitä käsitellään tarkemmin kurssilla S Hydrodynamiikka. Tarkastelemme tässä vain joitain seikkoja, kuten Bernoullin yhtälöä sekä viskositeettia. Käsitteitä: Ideaalinen fluidi on kokoonpuristumaton eikä sillä ole sisäistä kitkaa Stationäärinen virtaus: virtausnopeus ei muutu ajan funktiona Pyörteetön virtaus, (streamline flow) tai laminaarinen virtaus: virtaus, jossa vuoputket eivät sekoitu vaan virtaavat vierekkäin hyvässä järjestyksessä Pyörteinen virtaus, (turbulent flow): kun virtausnopeus kasvaa riittävästi tai kun erilaiset rajat tai reunat muuttavat virtausta, virtauksesta voi tulla epäsäännöllistä ja pyörteistä. Testi: siipipyörä pyörii tällaisessa virtauksessa. Tarkastellaan tilannetta, jossa fluidi virtaa mielivaltaisen kohtisuorassa olevan pintaalan A 1 läpi. Vuoputken sisään menevä fluidi tulkoon ulos toisen kohtisuoran pinta-alan A 2 läpi. Kulkekoon fluidihiukkanen nopeudella v 1 ensimmäisen pinta-alan kohdalla jolloin se kulkee matkan x 1 ajassa t ja olkoon nopeus v 2 toisen pinta-alan kohdalla jolloin matka on x 2 ajassa t. Tällöin pinta-alan A 1 läpi menevä massa ajassa t on ja vastaavasti pinta-alan A 2 kohdalla m 1 = ρ 1 V 1 = ρ 1 A 1 x 1 = ρ 1 A 1 v 1 t m 2 = ρ 2 V 2 = ρ 2 A 2 x 2 = ρ 2 A 2 v 2 t 7
8 Koska putkeen menevän massan aikayksikössä on oltava sama kuin putkesta tulevan massan samassa aikayksikössä, saadaan m 1 = m 2 Jaetaan lausekkeet t:llä ja annetaan ajan mennä nollaan, jolloin saadaan massavirta eli jatkuvuusyhtälö (continuity equation) dm dt = A 1v 1 ρ 1 = A 2 v 2 ρ 2 Avρ = vakio Jos fluidi on kokoonpuristumatonta eli ρ 1 = ρ 2, saadaan massavirraksi ja edelleen dm dt = A 1v 1 ρ = A 2 v 2 ρ Av = vakio Tällöin voidaan puhua myös tilavuusvirrasta dv dt = dm/ρ dt = Av Bernoullin yhtälö Tarkastellaan nestevirtausta vuoputken kahdessa kohdassa. Olkoon ensimmäinen kohta korkeudella y 1, jossa putken halkaisija A 1, fluidin virtausnopeus v 1 ja paine P 1 ja toinen kohta korkeudella y 2 ja siinä putken halkaisija A 2 ja fluidin virtausnopeus v 2 sekä paine P 2. Siirrettäessä fluidia kohdassa 1 matkan x 1, tehdään työ Jos tämä tapahtuu ajassa t saadaan W = F 1 ( x 1 ) F 2 ( x 2 ) = P 1 A 1 ( x 1 ) P 2 A 2 ( x 2 ) W = P 1 A 1 v 1 ( t) P 2 A 2 v 2 ( t) Työ on sama kuin massan m mekaanisen energian muutos eli W = [ 1 2 ( m)v2 2 + ( m)gy 2 ] [ 1 2 ( m)v2 1 + ( m)gy 1 ] 8
9 Muokataan tätä jakamalla massalla ja saadaan P 1 A 1 v 1 ( t) m P 2A 2 v 2 ( t) m = 1 2 (v2 2 v 2 1) + g(y 2 y 1 ) Kappaleen alkupuoliskossa saatiin m = Avρ( t). Sijoitetaan se edelliseen lausekkeeseen P 1 ρ 1 P 2 ρ 2 = 1 2 (v2 2 v 2 1) + g(y 2 y 1 ) Järjestetään indeksit 1 vasemmalle puolelle ja indeksit 2 oikealle puolelle P 1 ρ v2 1 + gy 1 = P 2 ρ v2 2 + gy 2 Jos lauseke pätee kahdelle mielivaltaisesti valitulle paikalle on P ρ v2 + gy = vakio Tämä on Bernoullin yhtälö joka yleensä kirjoitetaan muodossa P ρv2 + ρgy = vakio Muutama sovellus a) Olkoon fluidi levossa. Tällöin v 1 = v 2 = 0 ja saadaan... b)virratkoon fluidi vaakasuorassa. Tällöin... ja saadaan... Miten tämä toimii lentokoneessa?? Virtausmittari (venturi meter) Jos haluamme mitata putkessa tapahtuvan virtauksen nopeuden, voimme mitata paine-eron kahdessa eri kohdassa, joissa on eri suuruinen poikkipinta-ala. Olkoon poikkipinta-alat A 1 ja A 2 ja olkoon putki vakasuorassa. Tällöin P ρv2 1 = P ρv2 2 Koska A 1 v 1 = A 2 v 2 9
10 saadaan P ρv2 1 = P ( ) 2 2 ρ A1 v 1 A 2 Lausekkeesta voidaan ratkaista virtausnopeus kohdassa 1 eli v 1 = 2(P 1 P 2 ) ρ[(a 1 /A 2 ) 2 1] Tilavusvirta on vastaavasti ja massavirta dv dt = A 1v 1 dm dt = ρa 1 v Viskositeetti (viscosity) Ideaalinen fluidi virtaa kitkatta. Vain paine-ero pitää yllä virtausta. Reaalifluidi on erilaista. Sillä on nesteen sisäistä kitkaa eli viskositeettia. Se vastustaa fluidikerrosten likkumista toistensa suhteen. Jos fluidi virtaa tasaisen levyn yli, kasvaa virtausnopeus levyn etäisyyden kasvaessa. Virtausnopeus levyn pinnalla on nolla. Siten fluideilla on nopeusgradientti. Fluidikerrokset kokevat liukujännityksen df/da, missä voima on tangentiaalinen eli virtaussuunnassa oleva voima pinta-alaa A kohti. Nopeusgradientti dv/dz on suoraan verrannollinen fluidin liukujännitykseen eli df da = vakiodv dz Verrannollisuuskerrointa η sanotaan viskositeetiksi. df = η dv da dz Fluideja, jotka käyttäytyvät näin, sanotaan Newtonin nesteiksi. Viskositeetin dimensio on Nsm 2. Viskositeetti on suuri jähmeille fluideille ja pieni vilkkaasti liikkuville fluideille. Sovellus: Nesteen virtaus putkessa. Käy itse huolellisesti läpi! 10
11 10.9 Pinnan ominaisuuksia Nesteiden pinnalla esiintyy voimia, joita voidaan havaita eri lailla. Nesteen tiheyttä suuremman tiheyden kappaleita saattaa myös kellua nesteen pinnalla. Se on mahdollista pintajännityksen avulla. Pintajännitys on γ = lim l 0 T l Mekaaninen työ, joka tehdään liikutettaessa l:n pitusta nesterajaa matkan x saadaan lausekkeesta W = T ( x) = γ( l)( x) = γ( A) Täten siis γ = dw da ja se voidaan tulkita energiana pinta-alaa kohti. Pintajännityksen yksiköksi tulee N/m = J/m Kaasun paine Nesteet pysyvät avoimessakin astiassa, mutta kaasuille on oltava suljettu astia. Painemittarilla voi mitata kaasun paineita. Olkoon kaasua astiassa ja olkoon sen paine P. Astiaan on kytketty U-putki, johon on laitettu nestettä, jonka tiheys tunnetaan. U-putken toineen pää on avoin ja normaalissa ilmanpaineessa P a. Paine astiassa on P = P a + ρ l g h missä ρ l on putkessa olevan nesteen tiheys ja h on nestepinnan korkeusero putken eri haaroissa. Boylen laki Olkoon meillä kaasua astiassa, joka on suljettu liikkuvalla männällä. Olkoon männän pinta-ala A. Vaikuttakoon mäntään alaspäin oleva voima F. Myös astiassa oleva kaasu aiheuttaa voiman mäntään. Mäntä on tasapainossa, jos eri suuntaiset voimat ovat yhtä suuret. Tällöin P = F A Jos ylhäältäpäin olevaa voimaa kasvatetaan, liikkuu mäntä alaspäin ja kaasun tilavuus astiassa pienenee. 11
12 Jos astiassa olevan kaasun paine piirretään tilavuuden funktiona, saadaan hyperbelin kaari. Se tarkoittaa sitä, että paine on verrannolinen 1/V :hen. Jos paine piirretään 1/V :n funktiona, saadaan suora jolloin P = vakio 1 V = C 1 V eli PV = vakio Tilavuuskimmomodulista tiedämme K = V A df dv = V AdP A dv = V dp dv Jos P derivoidaan V :n suhteen, saadaan ja sijoitettuna kimmomodulin lausekkeeseen dp dv = C V 2 K = V dp dv = V C V 2 = C V = P Tämä pätee ideaalikaasuille, mutta hyvin myös reaalikaasuille Kineettinen kaasuteoria Mikroskooppinen malli kaasuille. Oletukset: 1. Missä tahansa tilavuudessa on hyvin suuri joukko hiukkasia (= molekyylejä) 2. Molekyylin koko molekyylien keskimääräinen välimatka 3. Molekyylien väliset ja molekyylien ja astian seinämän väliset törmäykset ovat täysin kimmoisia 4. Kaikilla molekyyleillä on sama massa 5. Molekyylien välisillä voimilla on hyvin lyhyt kantama molekyylit liikkuvat suoraviivaisesti törmäysten välillä 6. Molekyylit ovat kovia palloja Mieti, kuinka hyviä nämä oletukset ovat? Tarkastellaan jatkossa molekyylien törmäyksiä astian seinämiin. Olkoon molekyylin massa m ja olkoon molekyylin liikemäärä p ennen törmäystä. Jaetaan liiekmäärä kohtisuoraan seinämää vastaan ja seinämän suuntaiseen komponenttiin. Tällöin p = p + p. 12
13 Tarkastellaan molempia komponentteja erikseen. Koska törmäys on kimmoinen, tulee olla p = p eli p 2 2m = p2 2m Seinänsuuntanien komponentti säilyy muuttumattomana eli p = p jolloin kohtisuoran komponentin tulee olla p = p Siten liikemäärän muutos p = p p = p p = 2p = 2p Tarkastellaan kuution muotoista astiaa, jonka sivut ovat kukin h:n pituiset ja ne ovat kolmen koordinaattiakselin suuntaiset ja jonka tahkojen pinta-alat ovat A. Kussakin törmäyksessä seinämän kanssa tapahtuu 2p suuruinen liikemäärän muutos. Unohdetaan molekyylien väliset törmäykset. Molekyylin ja pohjatahkon väliset törmäykset tapahtuvat 2h/v z väliajoin, missä v z on molekyylin z-suuntainen nopeus. Törmäystaajuus pohjatahkoon on siten v z /2h. Liikemäärän muutos aikayksikössä eli voima on ( ) dp dt = 2p vz z = p zv z 2h h Voima kullekin molekyylille on keskimäärin sama. Jos astiassa on N molekyyliä, saadaan kokonaisvoimaksi per seinä F = N p zv z h = N h (p zv z ) saadaan Koska p v = p x v x + p y v y + p z v z F = N p v 3h Viimein paineeksi saadaan P = F A = N 3Ah p v = N p v 3V 13
14 sillä V = Ah on astiamme tilavuus. Paine on siis kääntäen verrannollinen tilavuuteen. Koska p = mv saadaan P = N 3V p v = N 3V mv2 = 2N 3V 1 2 mv2 Termi 1 2 mv2 on molekyylin keskimääräinen kineettinen energia. Astian molekyylien kokonaisenergia on sama kuin systeemin sisäinen energia U U = N 1 2 mv2 Boylen laki saa nyt muodon PV = 2 3 U Relativistisessa tapauksessa Boylen laista saadaan (käy itse läpi) PV = 1 3 U Ainemäärä Käy läpi Van der Waals in tilanyhtälö Molekyylit oletettiin koviksi palloiksi. Tällöin molekyylien väliset voimat ovat nollia paitsi törmäyshetkellä. Tällaisessa tapauksessa potentiaalienergiakäyrä on ääretön kun pallojen välimatka on pallonhalkaisijan verran tai alle, muuten nolla. U(r) = { for r < 2R0 0 for r > 2R 0 Reaalimolekyyleillä potentiaalienergiakäyrä on toisenlainen. Sitä voidaan approksimoida käyrällä, jolla for r < 2R 0 U(r) = E for 2R 0 < r < R 0 for r > R 14
15 Molekyylienvälisten voimien vaikutusmatka Lähimpien molekyylien välillä on vetovoimaa eli attraktiota. Kaasussa, etäällä seinistä, vuorovaikutuksilla ei ole nettovoimaa. Seinän lähellä vuorovaikutus pienentää kaasun painetta seinämää vastaan P 2/3u m P i v m missä u m = N A 1 2 mv2 on moolinen sisäinen energia ja P i ns. sisäinen paine. Yhden molekyylin vuorovaikutustilavuus on V vv = 4 3 π(r3 R 3 o) Todennäköisyys, että N:stä molekylistä kaksi molekyyliä vuorovaikuttavat keskenään tilavuudessa V on verrannollinen lausekkeeseen N (R3 R 3 o) V Todennäköisyys, että seinää lähestyvä molekyyli kokee muiden molekyylien aiheuttaman voiman on (N 1)N (R3 R 3 o) V N2 V Saamme voimaksi nyt missä α 1 on vakio. Paineeksi tulee näin F = N 3h p v α N 2 1 V N 2 P = F A = N 3V p v α 1 V A = N 3V p v α 1h N2 V Ah = N ( ) N 2 3V p v α 2 V Siirretään alfa-termi vasemmalle puolelle ja koska n = N/N A sekä V m = V/m saadaan missä a = α 2 N 2 A N 2 P + α 2 V = N p v 2 3V P + a V 2 m = N A 3V m p v 15
16 Oikea puoli on 2/3u m joten ( P + a ) V Vm 2 m = 2 3 u m Koska molekyylien kokonaistilavuus ei ole nolla, korvataan V V Nβ. Jos tilavuudet muutetaan moolitilavuuksiksi, saadaan V m V m N A β ja paineen Van der Waals -lauseke viimein muotoon ( P + a ) (V Vm 2 m b) = 2 3 u m missä a ja b ovat kullekin kaasulle ominaisia vakioita ja b = N A β. Se tosin esitetään usein muodossa ( ) P + an2 (V nb) = nrt V 2 Jatkoa: Muuttuva massan systeemi (Alonso-Finn: University physics) Tähän asti olemme tarkastelleen hiukkasia tai systeemeitä, joilla on vakio massa. Usein massa myös muuttuu, esim. putoavassa vesipisarassa. Liikemäärän derivaatta ajan suhteen on voima ja yleisesti F = d(mv) dt = dm dt v + mdv dt Oletetaan pisaran massaksi m ja nopeudeksi v. Siihen kondensoituu lisää vettä. Kasvakoon sen massa nopeudella dm/dt. Jos höyryn nopeus on v 0, saadaan pisaralle liikeyhtälöksi F = m dv dt + dm dt (v v 0) Esimerkki Tarkastellaan rakettia, jonka massa on m ja joka liikkuu nopeudella v hetkellä t. Sen rakettimoorrotit sytytetään ja ajassa dt pakokaasuja poistuu massan dm verran. Pakokaasujen nopeus rakettiin nähden on v p. Raketti saakoon nopeuden lisäyksen dv. on Kokonaisliikemäärä säilyy. Alussa raketin liikemäärä oli P = mv ja hetkellä t + t se P = (m + dm)(v + dv) + ( dm)v 16
17 Oikean puolen ensimmäinen termi on rakettiin liittyvä termi ja toinen termi pakokaasuihin liittyvä termi. Tästä sieventämällä saadaan P mv + mdv (v v)(dm) Koska v p = v v saadaan P = mv + mdv v p dm Ajassa dt liikemäärän muutos on siten P P = dp = mv + mdv v p dm mv dp = mdv v p dm Jos liikemäärä säilyy, saadaan mdv = v p dm Jaetaan liikemäärän muutoksen lauseke ajalla dt ja saadaan dp dt = mdv dt v dm p dt Jos siis ulkoinen voima F vaikuttaa rakettiin, saadaan F = dp dt = mdv dt v dm p dt Jos voima on painovoima eli F = mg saadaan dv dt v p dm m dt = g Jos raketti nousee Maan pinnalta, on v ylöspäin ja v p ja g alaspäin. Muutetaan vektorit skalaareiksi (ottaen suunnat huomioon) dv dt + v p dm m dt = g Siirretään dt-termit oikealle puolelle ja integroidaan v f v o dv + v p m f m o 1 m 17 t dm = g 0 dt
18 josta tulee v f v o + v p ln m f m o = gt Loppunopeudeksi v f saadaan v f = v o v p ln m f m o gt Jotta raketti ylipäätään nousisi Maan pinnalta, tulee olla Tällöin Tästä seuraa F = dp dt = mdv dt v dm p dt mg dv dt v p dm m dt + g 0 m v p g dm/dt Esimerkki: Raketin massa ennen lähtöä on 1260 kg. Raketin noustessa sen massa pienenee 2,2 kg/s. a) Laske pakokaasujen miniminopeus, jotta raketti alkaa juuri ja juuri nousta. b) Mikä on raketin kiihtyvyys, jos pakokaasujen nopeus on 5900 m/s? 18
Luento 16: Fluidien mekaniikka
Luento 16: Fluidien mekaniikka Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki Luennon sisältö Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki Jatkuvan aineen mekaniikka Väliaine yhteisnimitys kaasuilla
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 10 Noste Nesteeseen upotettuun kappaleeseen vaikuttaa nesteen pintaa kohti suuntautuva nettovoima, noste F B Kappaleen alapinnan kohdalla nestemolekyylien
LisätiedotLuku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste
Luku 13 Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Uutta Jatkuvuusyhtälö Bernoullin laki Virtauksen mallintaminen Esitiedot Voiman ja energian käsitteet Liike-energia ja potentiaalienergia Itseopiskeluun jää
LisätiedotLuku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste
Luku 13 Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Uutta Jatkuvuusyhtälö Bernoullin laki Virtauksen mallintaminen Esitiedot Voiman ja energian käsitteet Liike-energia ja potentiaalienergia Itseopiskeluun jää
LisätiedotLuvun 12 laskuesimerkit
Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine
LisätiedotLuento 16: Fluidien mekaniikka
Luento 16: Fluidien mekaniikka Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki Luennon sisältö Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki Jatkuvan aineen mekaniikka Väliaine yhteisnimitys kaasuilla
Lisätiedoty 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.
Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon
LisätiedotKuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa
8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 8 Paine nesteissä Nesteen omalla painolla on merkitystä Nestealkio korkeudella y pohjasta: dv Ady dm dv dw gdm gady paino Painon lisäksi alkioon
Lisätiedot= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan
LisätiedotPuhtaan kaasun fysikaalista tilaa määrittävät seuraavat 4 ominaisuutta, jotka tilanyhtälö sitoo toisiinsa: Paine p
KEMA221 2009 KERTAUSTA IDEAALIKAASU JA REAALIKAASU ATKINS LUKU 1 1 IDEAALIKAASU Ideaalikaasu Koostuu pistemäisistä hiukkasista Ei vuorovaikutuksia hiukkasten välillä Hiukkasten liike satunnaista Hiukkasten
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 010 Jukka Maalampi LUENTO 9 Paine nesteissä Nesteen omalla painolla on merkitystä Nestealkio korkeudella y pohjasta: dv Ady dm dv dw gdm gady paino Painon lisäksi alkioon
Lisätiedot4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.
K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy
Lisätiedot= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6,
S-435, Fysiikka III (ES) entti 43 entti / välikoeuusinta I Välikokeen alue Neljän tunnistettavissa olevan hiukkasen mikrokanonisen joukon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, 4ε,, jotka kaikki ovat
LisätiedotDiplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut
A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotLiike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä
Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan
Lisätiedotg-kentät ja voimat Haarto & Karhunen
g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle
LisätiedotPHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op)
PHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op) Sisältö: Nestevirtaukset Elastiset muodonmuutokset Kineettinen kaasuteoria Termodynamiikan käsitteet Termodynamiikan pääsäännöt Termodynaamiset prosessit Termodynaamiset
LisätiedotKAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]
KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 2: kineettistä kaasuteoriaa Pe 24.2.2017 1 Aiheet tänään 1. Maxwellin ja Boltzmannin
LisätiedotLuvun 8 laskuesimerkit
Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20
LisätiedotMonissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta
8 LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta Tällöin dynamiikan peruslain F = ma käyttäminen ei ole helppoa tai edes mahdollista Newtonin
LisätiedotLuento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä
Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen
LisätiedotEsim: Mikä on tarvittava sylinterin halkaisija, jolla voidaan kannattaa 10 KN kuorma (F), kun käytettävissä on 100 bar paine (p).
3. Peruslait 3. PERUSLAIT Hydrauliikan peruslait voidaan jakaa hydrostaattiseen ja hydrodynaamiseen osaan. Hydrostatiikka käsittelee levossa olevia nesteitä ja hydrodynamiikka virtaavia nesteitä. Hydrauliikassa
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
LisätiedotT F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15
LisätiedotREAKTIOT JA ENERGIA, KE3. Kaasut
Kaasut REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Kaasu on yksi aineen olomuodosta. Kaasujen käyttäytymistä kokeellisesti tutkimalla on päädytty yksinkertaiseen malliin, ns. ideaalikaasuun. Määritelmä: Ideaalikaasu on yksinkertainen
LisätiedotTarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0:
8.4 Elastiset törmäykset Liike-energia ja liikemäärä säilyvät elastisissa törmäyksissä Vain konservatiiviset voimat vaikuttavat 1D-tilanteessa kappaleiden A ja B törmäykselle: 1 2 m Av 2 A1x + 1 2 m Bv
Lisätiedotdl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl
Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan
LisätiedotKJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai :00-12:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.
KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai 26.5.2017 8:00-12:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin.
LisätiedotLuento 6: Liikemäärä ja impulssi
Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotDemo 5, maanantaina 5.10.2009 RATKAISUT
Demo 5, maanantaina 5.0.2009 RATKAISUT. Lääketieteellisen tiedekunnan pääsykokeissa on usein kaikenlaisia laitteita. Seuraavassa yksi hyvä kandidaatti eli Venturi-mittari, jolla voi määrittää virtauksen
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen
LisätiedotPAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE
PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
Lisätiedot5 Kentät ja energia (fields and energy)
5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
Lisätiedot4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten partikkelisysteemiin liittyvän suuren säilyminen esitetään tarkastelualueen taseena ja miten massan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT N = 1,40 N -- 0,84 N = 0,56 N. F 1 = p 1 A = ρgh 1 A. F 2 = p 2 A = ρgh 2 A
TEHTÄVIEN RATKAISUT 8-1. Jousivaa an lukema suolavedessä on pienempi kuin puhtaassa vedessä, koska suolaveden tiheys on suurempi kuin puhtaan veden ja siksi noste suolavedessä on suurempi kuin puhtaassa
LisätiedotTeddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011
Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin
LisätiedotKJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, pe :00-17:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.
KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, pe 16.2.2018 13:00-17:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin. Arvioinnin
Lisätiedot6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions)
6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions) 6.1 Newtonin III laki Voimme laskea kappaleen liiketilan Newtonin II lain avulla, jos tunnemme kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. Jos kappaleita
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
LisätiedotTermodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki
Termodynamiikka Fysiikka III 2007 Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Tilanyhtälö paine vakio tilavuus vakio Ideaalikaasun N p= kt pinta V Yleinen aineen p= f V T pinta (, ) Isotermit ja isobaarit Vakiolämpötilakäyrät
LisätiedotKerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)
Noste Ympyräliike I Luennon tavoitteet Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Aloitetaan ympyräliikettä Keskeisvoiman
LisätiedotKertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Käsitteelliset tehtävät Käsitteelliset tehtävät Ulkopuoliset virtaukset Miten Reynoldsin luku vaikuttaa rajakerrokseen?
LisätiedotPHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op)
PHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op) Sisältö: Nestevirtaukset Elastiset muodonmuutokset Kineettinen kaasuteoria Termodynamiikan käsitteet Termodynamiikan pääsäännöt Termodynaamiset prosessit Termodynaamiset
LisätiedotP = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 2: Kaasujen kineettistä teoriaa Pe 26.2.2016 1 AIHEET 1. Maxwellin-Boltzmannin
LisätiedotIntegroimalla ja käyttämällä lopuksi tilanyhtälöä saadaan T ( ) ( ) H 5,0 10 J + 2,0 10 0,50 1,0 10 0,80 Pa m 70 kj
S-4.35 Fysiikka (ES) entti 3.8.. ääritä yhden haikaasumoolin (O) (a) sisäenergian, (b) entalian muutos tilanmuutoksessa alkutilasta =, bar, =,8 m3 loutilaan =, bar, =,5 m3. ärähtelyn vaausasteet voidaan
LisätiedotSuhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää
3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :
LisätiedotLämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi.
Lämpöoppi Termodynaaminen systeemi Tilanmuuttujat (suureet) Lämpötila T (K) Absoluuttinen asteikko eli Kelvinasteikko! Paine p (Pa, bar) Tilavuus V (l, m 3, ) Ainemäärä n (mol) Eristetty systeemi Ei ole
Lisätiedoton radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).
H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
Lisätiedoty 1 x l 1 1 Kuva 1: Momentti
BMA58 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Kevät 17 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Integraalit eivät tosin ole niin vaikeita etteikö niitä suurimmassa
LisätiedotVISKOSITEETTI JA PINTAJÄNNITYS
VISKOSITEETTI JA PINTAJÄNNITYS 1 VISKOSITEETTI Virtaavissa nesteissä ja kaasuissa vaikuttaa kitkavoimia, jotka vastustavat hiukkasten liikettä toisiinsa nähden. Tämä sisäinen kitka johtuu hiukkasten välisestä
LisätiedotKitka ja Newtonin lakien sovellukset
Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka
LisätiedotTyössä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste.
TYÖ 36b. ILMANKOSTEUS Tehtävä Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste. Välineet Taustatietoja
LisätiedotFysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto
Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotIdeaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua
Ideaalikaasulaki Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua ja tilanmuuttujat (yhä) paine, tilavuus ja lämpötila Isobaari, kun paine on vakio Kaksi
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotLuento 9: Potentiaalienergia
Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta
LisätiedotSMG-4500 Tuulivoima. Kolmannen luennon aihepiirit ILMAVIRTAUKSEN ENERGIA JA TEHO. Ilmavirtauksen energia on ilmamolekyylien liike-energiaa.
SMG-4500 Tuulivoima Kolmannen luennon aihepiirit Tuulen teho: Betzin lain johtaminen Tuulen mittaaminen Tuulisuuden mallintaminen Weibull-jakauman hyödyntäminen ILMAVIRTAUKSEN ENERGIA JA TEHO Ilmavirtauksen
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
LisätiedotKäyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on
766328A ermofysiikka Harjoitus no. 3, ratkaisut (syyslukukausi 201) 1. (a) ilavuus V (, P ) riippuu lämpötilasta ja paineesta P. Sen differentiaali on ( ) ( ) V V dv (, P ) dp + d. P Käyttämällä annettua
LisätiedotHARJOITUS 4 1. (E 5.29):
HARJOITUS 4 1. (E 5.29): Työkalulaatikko, jonka massa on 45,0 kg, on levossa vaakasuoralla lattialla. Kohdistat laatikkoon asteittain kasvavan vaakasuoran työntövoiman ja havaitset, että laatikko alkaa
Lisätiedot3. Bernoullin yhtälön käyttö. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
3. Bernoullin yhtälön käyttö KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Mitä Bernoullin yhtälö tarkoittaa ja miten sitä voidaan käyttää virtausongelmien ratkaisemiseen? Motivointi: virtausnopeuden
LisätiedotLuento 8: Liikemäärä ja impulssi
Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä Ajankohtaista Konseptitesti 1 ÄLÄ KOKEILE TÄTÄ KOTONA! Kysymys
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto
LisätiedotFluidi virtaa vaakasuoran pinnan yli. Pinnan lähelle muodostuvan rajakerroksen nopeusjakaumaa voidaan approksimoida funktiolla
Tehtävä 1 Fluidi virtaa vaakasuoran pinnan yli. Pinnan lähelle muodostuvan rajakerroksen nopeusjakaumaa voidaan approksimoida funktiolla ( πy ) u(y) = U sin, kun 0 < y < δ. 2δ Tässä U on nopeus kaukana
Lisätiedot3Työ. 3.1 Yleinen määritelmä
3Työ Edellisessä luvussa käsittelimme systeemin sisäenergian muutosta termisen energiansiirron myötä, joka tapahtuu spontaanisti kahden eri lämpötilassa olevan kappaleen välillä. Toisena mekanismina systeemin
LisätiedotVedetään kiekkoa erisuuruisilla voimilla! havaitaan kiekon saaman kiihtyvyyden olevan suoraan verrannollinen käytetyn voiman suuruuteen
4.3 Newtonin II laki Esim. jääkiekko märällä jäällä: pystysuuntaiset voimat kumoavat toisensa: jään kiekkoon kohdistama tukivoima n on yhtäsuuri, mutta vastakkaismerkkinen kuin kiekon paino w: n = w kitka
Lisätiedot766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4
766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä
LisätiedotNyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi
Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle
LisätiedotFysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2
Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,
LisätiedotLuento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä
Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 1 / 36 Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait
LisätiedotLuku 8. Mekaanisen energian säilyminen. Konservatiiviset ja eikonservatiiviset. Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia.
Luku 8 Mekaanisen energian säilyminen Konservatiiviset ja eikonservatiiviset voimat Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia Mekaanisen energian säilyminen Teho Tavoitteet: Erottaa konservatiivinen
LisätiedotTermodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka
Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka 2006 m@hyl.fi 1 Lämpötila Suure lämpötila kuvaa kappaleen/systeemin lämpimyyttä (huono ilmaisu). Ihmisen aisteilla on hankala tuntea lämpötilaa,
LisätiedotLuvun 10 laskuesimerkit
Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla
Lisätiedot766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012
766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012 Gravitaatio, liikemäärämomentti, ellipsiradat T 1: Oleta, että Marsin kuu Phobos kiertää Marsia ympyrärataa pitkin. Ympyrän säde on 9380 km ja kiertoaika
Lisätiedota) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.
Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
Lisätiedotx n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
Lisätiedot3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta
Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate
LisätiedotMassakeskipiste Kosketusvoimat
Massakeskipiste Kosketusvoimat Luennon tavoitteet Kosketusvoimia Kitka Tukivoima Jännitys Jousivoima Massakeskipisteen käsite ja sillä laskeminen (Resonanssi tiedottaa tarjoavansa kahvia luentotauolla)
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedot